Matemática - Livro 3-229-231

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F
R
E
N
T
E
 3
229
1 UEM 2018 Sobre geometria espacial, assinale o que
for correto.
01 Dois planos sempre se interceptam.
02 Duas retas perpendiculares determinam um único
plano.
04 Dado um ponto qualquer P em um plano π, existe uma
única reta passando por P perpendicular ao plano.
08 Se duas retas não são paralelas, então elas são
reversas.
16 Se uma reta não intercepta um determinado plano,
então necessariamente ela é paralela a ele.
Soma:
2 Fatec Na figura abaixo tem-se: o plano a definido pelas
retas c e d, perpendiculares entre si; a reta b, perpen-
dicular a a em A, com A ∈c; o ponto B, interseção de
c e d. Se X é um ponto de b, X ∉a, então a reta s, defi-
nida por X e B,
b
A
α
c B
d
a é paralela à reta c.
b é paralela à reta b.
c está contida no plano a.
d é perpendicular à reta d.
e é perpendicular à reta b.
3 Enem 2016 Os alunos de uma escola utilizaram cadeiras
iguais às da figura para uma aula ao ar livre. A professora,
ao final da aula, solicitou que os alunos fechassem as ca-
deiras para guardá-las. Depois de guardadas, os alunos
fizeram um esboço da vista lateral da cadeira fechada.
Qual é o esboço obtido pelos alunos?
a
b
c
d
e
4 Enem 2018 Uma torneira do tipo
1
4
 de volta é mais eco-
nômica, já que seu registro abre e fecha bem mais
rapidamente do que o de uma torneira comum. A fi-
gura de uma torneira do tipo
1
4
 de volta tem um ponto
preto marcado na extremidade da haste de seu re-
gistro, que se encontra na posição fechado, e, para
abri lo completamente, é necessário girar a haste
1
4
de volta no sentido anti horário. Considere que a has-
te esteja paralela ao plano da parede.
 Disponível em: www.furkin.com.br. Acesso em: 13 nov. 2014.
Qual das imagens representa a projeção ortogonal, na
parede, da trajetória traçada pelo ponto preto quando
o registro é aberto completamente?
a
b
c
d
e
Quer saber mais?
• Geometria Espacial
Disponível em: <https://esquadraodoconhecimento.wordpress.
com/2011/12/13/geometria-espacial/>.
Sites
• Geometria
Disponível em: <www.todamateria.com.br/matematica/geometria/>.
Exercícios complementares
MATEMÁTICA Capítulo 11 Posições relativas no espaço230
5 Fatec O ponto A pertence à reta r, contida no plano
α. A reta s, perpendicular a α, o intercepta no ponto
B. O ponto C pertence a s e dista 2 5 cm de B. Se a
projeção ortogonal de AB em r mede 5 cm e o ponto
B dista 6 cm de r, então a distância de A a C, em cen-
tímetros, é igual a
A 9 5
b 9
C 7
d 4
E 3 5
6 IME 2016 Sejam dois quadrados de lado a situados
em planos distintos que são paralelos entre si e si
tuados a uma distância d, um do outro A reta que liga
os centros dos quadrados é perpendicular a esses
planos Cada diagonal de um quadrado é paralela a
dois lados do outro quadrado Liga se cada vértice de
cada quadrado aos dois vértices mais próximos do
outro quadrado. Obtêm se, assim, triângulos que,
conjuntamente com os quadrados, formam um só
lido S Qual a distância entre estes planos distintos
em função de a, de modo que os triângulos descri
tos acima sejam equiláteros?
A
a
2
b
a 3
2
C a 10
8
d
a 8
2
4
E
( )a 4 3 2
2
7 Pretende-se montar uma escultura metálica compos-
ta de três chapas com a forma de setores circulares
soldadas entre si e sobre um pedestal cilíndrico,
como mostram as figuras.
Para fazê-la, um escultor pode usar cinco chapas com
diferentes raios e ângulos internos:
Tipo Raio Ângulo central
A 1,3 m 85o
B 1,5 m 115o
C 1,4 m 125o
D 1,1 m 165o
E 1,8 m 170o
Como a escultura apresenta características espa-
ciais, pois as três placas soldadas formam um vértice
triédrico, o escultor deverá, necessariamente, usar a
combinação:
A A, B e D.
b B, C e D.
C C, D e A.
d A, B e C.
E E, A e C.
8 Se, em um triedro, duas faces medirem 175o e 120o, o
intervalo de variação da terceira face será:
A 50° ≤ x < 60°
b 55° < x < 65°
C 50° < x < 60°
d 40° < x < 50°
E 45° ≤ x ≤ 55°
9 O plano de apoio de uma arquibancada forma com o pla-
no do piso um ângulo diedro θ, tal que senθ = 0,6 Uma
aranha, que inicialmente está sob a arquibancada, em
um ponto situado a dois metros de distância da aresta
do diedro, começa a tecer sua teia descendo vertical-
mente, sob ação do vento, como ilustra a figura a seguir:
Arquibancada
Teia
Aranha
Piso
Em um determinado momento em que a aranha já
teceu um metro de teia, o vento cessa e a teia ca
completamente esticada, deixando a aranha afastada:
A 25 cm do piso.
b 20 cm do piso.
C 15 cm do piso.
d 10 cm do piso.
E 5 cm do piso.
10 Um chefe de construção deseja verificar a medida do
ângulo de inclinação de uma escada em relação ao solo.
Para isso, ele se posiciona sob a rampa de concreto que
sustenta a escada dispondo de um objeto de madeira,
capaz de ser apoiado em qualquer superfície plana de
modo que uma de suas hastes fique perpendicular ao
plano de apoio. Em uma extremidade do objeto, um
barbante é amarrado, e, na outra, um peso faz com que
o barbante fique esticado como um fio de prumo.
148°
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O operário mede, com um transferidor, o ângulo entre
a haste e o barbante e encontra 148° Assim, ele pode
concluir que o ângulo de inclinação da escada em re
lação ao solo mede:
A 148°
b 58°
C 48°
d 45°
E 32°
11 Algumas vezes, pequenas imprecisões nas medidas
das pernas de uma mesa fazem com que ela balance
um pouco, mesmo quando apoiada em um piso perfei
tamente plano. Isso acontece porque os pés da mesa
não determinam pontos de apoio que sejam coplanares.
Uma fábrica de móveis produz diversos tipos de me
sas de madeira, e as alternativas a seguir ilustram
cinco modelos diferentes produzidos por essa fábrica.
Assinale a que mostra um modelo de mesa que não
balança quando apoiada em um piso perfeitamente
plano, mesmo que haja pequenas imprecisões nos
comprimentos de suas pernas:
A
b
C
d
E
12 Embora destinada a ficar na vertical, a Torre de Pisa
começou a inclinar-se logo após o início de sua cons-
trução, em 1173, devido à sua fundação, construída em
um solo mal compactado. Após ser fechada em 1990
por causa do aumento da inclinação, várias propostas
foram feitas para aprumar a torre até que uma foi acei-
ta, reduzindo a inclinação em 40 cm.
Imagine que a inclinação da torre em relação à ver
tical seja de 6° 17'. No momento em que os raios de
sol projetam a sombra da torre no solo horizontal, a
medida, em graus, do ângulo formado entre a torre e
sua sombra:
S
_
A
_
N
/i
S
to
c
k
p
h
o
to
.c
o
m
A não pode ser de 90°, pois a torre não está perfeita-
mente na vertical
b não pode ultrapassar 93° 43' qualquer que seja o
horário do dia
C não pode ultrapassar 96° 17' qualquer que seja o
horário do dia
d pode assumir qualquer valor entre 80° e 100° de-
pendendo da hora do dia
E pode assumir qualquer valor entre 90° e 110° du-
rante o período da manhã
13 Uma pizzaria entrega suas pizzas em caixas de pa-
pelão cujo formato é o de um prisma reto de bases
octogonais, como mostra a figura a seguir:
O
M
E
D
C
B
A
I
N
G
H
L
K
J
F
G
H
L
K
J
F
P
Considere que os vértices dessa caixa determinam as
retas declaradas na seguinte tabela:
Reta r s t u v
Vértices A e B F e G D e L J e K M e N
Sabendo que os ângulos internos dos octógonos
ABCDEFGH e IJKLMNOP têm todos a mesma medida,
determine qual é a posição relativa entre a reta r e
cada uma das retas a seguir, justicando sua resposta:
a) s ) t c) u ) v
14 Um pedaço de cartolina é recortado na forma de um
losango com lado medindo 6 cm e ângulos internos
de 60o e 120o, como mostra a figura 1. Esse pedaço
é dobrado, formando um vinco sobre sua diagonal
menor, de modo que forma um ângulo diedro, como
mostra a figura 2.
D
D
B B
Figura 1 Figura 2
60°
6 cm
A AC
C'
C
Sabendo que, na gura 2, o ponto C', projeção orto-
gonal do ponto C no plano determinado pelos pontos
A, B e D, é o centro do triângulo equilátero ABD, qual
é o valor do cosseno do ângulo diedro formado pelos
triângulos ABD e BCD?