Matemática - Livro 3-274-276

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MATEMÁTICA Capítulo 13 Poliedros274
Pirâmides regulares
Para determinar se uma pirâmide é ou não regular, de-
vemos verificar as seguintes condições:
• A base da pirâmide é um polígono regular.
• O pé da altura coincide com o centro da base.
• As faces laterais são triângulos isósceles congruentes
uns aos outros.
A terceira condição permite concluir que a área lateral de
uma pirâmide regular pode ser obtida a partir da área de uma
única face lateral multiplicada pelo número de lados de sua base.
Pirâmides regulares possuem outros importantes ele-
mentos denominados apótemas, que são de dois tipos:
apótemas da base e apótemas laterais, também chamados
de apótemas da pirâmide.
P
H
M
m
g
Para encontrar os apótemas desses sólidos, é necessá-
rio considerar os pontos médios das arestas de sua base
Assim, sendo P o vértice de uma pirâmide regular, H o cen
tro de sua base e M o ponto médio de uma aresta dessa
base, temos que:
• O segmento PM é um apótema da pirâmide ou apó-
tema lateral.
• O segmento HM é um apótema da base.
Os apótemas laterais de uma pirâmide regular são
também as alturas de suas faces laterais, por isso seu
comprimento é usado no cálculo das áreas lateral e total.
Assim, dada uma pirâmide regular cuja base possui n
lados de comprimento l e cujos apótemas laterais têm com-
primento g, sua área lateral é expressa por:
A
n g
2lateral
= ⋅ ⋅
Portanto, temos:
Tipo de
pirâmide
Área lateral
Triangular
regular


⋅ ⋅ = ⋅ ⋅3 g
2
1,5 g
Quadrangular
regular


⋅ ⋅ = ⋅ ⋅4 g
2
2 g
Pentagonal
regular


⋅ ⋅ = ⋅ ⋅5 g
2
2,5 g
Hexagonal
regular


⋅ ⋅ = ⋅ ⋅6 g
2
3 g
Os comprimentos dos apótemas das bases também po-
dem ser usados no cálculo da área da base Assim, sendo
m o comprimento dos apótemas da base de uma pirâmide
regular, a área da base dessa pirâmide é expressa por:
A
n m
2
base
= ⋅ ⋅
Observando que a expressão ⋅n
2
 presente nas fórmulas das áreas
(lateral e da base) de uma pirâmide regular representa o semipe
rímetro (p) de sua base, as fórmulas das áreas das superfícies das
pirâmides regulares podem ser memorizadas da seguinte maneira:
+ =
⋅Área dabase
Área lateral
semiperímetro da base apótema da ba sse p m
semiperímetro da base apótema da pirâmide p g
Área t
= ⋅
⋅ = ⋅
ootal semiperímetro dabase soma dos apótemas p m g= ⋅ = +( )
Atenção
Exercícios resolvidos
 14 Determine os comprimentos dos apótemas de uma pi-
râmide quadrangular regular sabendo que as arestas
de sua base medem 6 cm e que suas arestas laterais
medem 5 cm.
Resolução:
A base dessa pirâmide é um quadrado de lado 6 cm.
Como os apótemas de um quadrado têm a metade
do comprimento de seus lados, então os apótemas
da base da pirâmide medem = =m 6
2
3 cm cada um.
As faces laterais dessa pirâmide são triângulos isós-
celes de lados 6 cm, 5 cm e 5 cm e os apótemas da
pirâmide são as alturas desses triângulos. Esses apó-
temas dividem as faces laterais em dois triângulos
retângulos ocupando o lugar de um dos catetos. En-
tão, como a hipotenusa desses triângulos retângulos
medem 5 cm e o outro cateto mede =
6
2
3 cm , sendo
g > 0, o comprimento dos apótemas da pirâmide, do
teorema de Pitágoras, é:
+ = ⇒ = - = ⇒ =3 g 5 g 25 9 16 g 4 cm2 2 2 2
Portanto, os apótemas dessa pirâmide medem 4 cm.
 15 Quanto mede a área lateral de uma pirâmide triangu-
lar regular cujas arestas da base medem 10 cm e os
apótemas medem 12 cm?
Resolução:
A base dessa pirâmide é um triângulo equilátero de
lado 10cm, e as faces laterais são triângulos isósceles 
de bases 10 cm e alturas 12 cm, pois os apótemas da
pirâmide são as alturas de suas faces laterais
F
R
E
N
T
E
 3
275
Assim, a área lateral dessa pirâmide mede:
= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =A 3 g
2
3 10 12
2
180 cm
lateral
2
Pirâmides regulares e o teorema de Pitágoras
Considere uma pirâmide regular de vértice P cuja base de
centro H tem um lado AB e o ponto médio M desse lado AB
P
H
M

B
A
r
m
gh a
Entre os elementos dessa pirâmide, temos os seguintes
segmentos:
PH é a altura da pirâmide   → PH = h
PA é uma aresta lateral da pirâmide → PA = a
PM é um apótema lateral da pirâmide → PM = g
AB é uma aresta da base da pirâmide → AB = l
HM é um apótema da base da pirâmide → HM = m
HA é o raio do círculo circunscrito à base → HA = r
Como a altura de uma pirâmide é perpendicular ao pla
no da base da pirâmide, ambos os triângulos PHM e PHA
são retângulos no vértice H Assim, do teorema de Pitágoras:
∆
∆
PHM g h m
PHA a h r
⇒ = +
⇒ = +




2 2 2
2 2 2
Como cada apótema de um polígono regular é perpen
dicular a um lado do polígono, o triângulo AMH é retângulo
no vértice M Do teorema das três perpendiculares, temos
que o triângulo AMP também é retângulo no vértice M
Assim, novamente do teorema de Pitágoras:
AMP a g
2
AMH r m
2
2 2
2
2 2
2


∆ ⇒ = +




∆ ⇒ = +











Exercícios resolvidos
 16 Quanto mede a altura de uma pirâmide regular cujos
apótemas medem 5 cm e 13 cm?
A 14 cm.
b 13 cm.
C 12 cm
d 11 cm
E 10 cm
Resolução:
Como o apótema da base de uma pirâmide é, necessa-
riamente, menor do que o apótema lateral, temos que:
• o apótema da base mede m = 5 cm.
• o apótema da pirâmide mede g = 13 cm.
Uma das aplicações do teorema de Pitágoras aos ele-
mentos da pirâmide regular é:
(Apótema da pirâmide)
2
 = (Altura)
2
 + (Apótema da base)
2
Assim, sendo h > 0, a medida da altura da pirâmide, em
centímetros, é:
= + ⇒ = + ⇔
⇔ = = ⇒ =
g h m 13 h 5
h 169 25 144 h 12 cm
2 2 2 2 2 2
2
Alternativa: C
 17 Quanto mede, aproximadamente, a aresta lateral de
uma pirâmide quadrangular regular em que as arestas
da base medem 10 cm e a altura mede 4 cm?
A 7 cm.
b 8 cm.
C 9 cm.
d 10 cm.
E 11 cm.
Resolução:
Como o raio do círculo que circunscreve um quadrado
equivale à metade da diagonal do quadrado, temos
que esse raio mede =r 5 2 cm.
Uma das aplicações do teorema de Pitágoras aos ele-
mentos da pirâmide regular é:
(Aresta lateral)
2
 = (Altura)
2
 + (Raio da base)
2
Assim, sendo a > 0, temos:
( )= + ⇒ = + ⇔
⇔ = + = ⇒ = ≅
a h r a 4 5 2
a 16 50 66 a 66 8cm
2 2 2 2 2
2
2
Alternativa: b
 18 Quanto mede a aresta da base de uma pirâmide hexa-
gonal regular em que a altura mede 2 cm e as arestas
laterais medem 5 cm?
A 1 cm
b 2 cm
C 3 cm.
d 2 cm.
E 5 cm.
Resolução:
Como o lado de um hexágono regular equivale ao
raio do círculo que o circunscreve (r > 0), basta encon-
trarmos a medida r desse raio. Assim:
(Aresta lateral)2 = (Altura)
2
 + (Raio da base)
2
Logo:
( )= + ⇒ = + ⇔
⇔ = = ⇒ =
a h r 5 2 r
r 5 4 1 r 1 cm
2 2 2
2
2 2
2
Alternativa: A
MATEMÁTICA Capítulo 13 Poliedros276
Planificações das pirâmides
Semelhante ao que ocorre com os prismas, as plani-
ficações de uma pirâmide são figuras geométricas planas
formadas pela justaposição de polígonos congruentes às
faces da pirâmide.
As figuras a seguir, formadas por seis triângulos isós-
celes e um hexágono regular, são possíveis planificações
de uma pirâmide hexagonal regular, por exemplo.
A figura a seguir é uma planificação possível de uma
pirâmide retangular irregular:
A B
E
1
E
2
E
3
E
4
CD
Para que as relações entre as áreas da superfície
desse tipo de sólido sejam mais bem compreendidas,
planificações como essas permitem que todas as faces
da pirâmide sejam observadas simultaneamente
Sendo Li = (L1, L2, L3, ) a sucessão das áreas das faces
laterais de uma pirâmide, sobre a superfície dessa pirâmide,
temos que:
Área lateral: L L L L L
i
i
n
n
= + + + +
=
∑ 1 2 3
1
...
Área total: Área da base Área lateral( ) ( )+
Observe também, na planificação da pirâmide irregular,
que a base é o retângulo ABCD. Como só pode haver um
vértice que não pertença ao plano da base de uma pirâ
mide, os pontos indicados por E1, E2, E3 e E4 devem ser
coincidentes no sólido real. Assim, para que essa figura
seja realmente a planificação de uma pirâmide irregular,
é necessário haver a igualdade entre as medidas dos se-
guintes pares de segmentos:
AE1 = AE4 BE1 = BE2CE2 = CE3 DE3 = DE4
Exercício resolvido
 19 Considere a planificação de um tetraedro, conforme a
figura a seguir
A
6
B
5
C
D
FE
7
3
Os triângulos ABC e ABD são isósceles de bases AC e
AB, respectivamente. As medidas dos segmentos AC,
BC, BD e DF estão  indicadas na gura. A soma das
medidas de todas as arestas do tetraedro é:
A 33
b 34
C 43
d 47
E 48
Resolução:
No triângulo isósceles ABC, temos: AB = BC = 5.
No triângulo isósceles ABD, temos: AD = BD = 7.
Quando o tetraedro for montado, os vértices C, E e F
coincidirão, assim como os seguintes pares de ares-
tas: AC com AE, BC com BF e DE comDF.
Portanto, a soma dos comprimentos das seis arestas
do tetraedro será: 3 + 5 + 5 + 6 + 7 + 7 = 33.
Alternativa: A
Volume da pirâmide
Para obter o volume de uma pirâmide, basta multiplicar
a área de sua base pelo comprimento de sua altura e dividir
o resultado por 3. Assim, sendo B o valor da área da base
de uma pirâmide de altura h, seu volume V é expresso por:
V
B h
3
=
⋅
A veracidade dessa expressão, para qualquer tipo de
pirâmide, também pode ser comprovada retomando alguns
dos conceitos vistos neste capítulo e no anterior, como o
fato de que os cubos podem ser decompostos em três
pirâmides congruentes e a aplicação do princípio de Cavalieri
para volumes.