Matemática - Livro 4-022-024

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MATEMÁTICA Capítulo 14 Teoria das probabilidades22
Tem-se as seguintes probabilidades:
P(E )
n(E )
n(S)
P(E )
4
52
;
1
1
1
= ⇒ =
P(E )
n(E )
n(S)
P(E )
13
52
 e
2
2
2
= ⇒ =
P(E E )
n(E E )
n(S)
P(E E )
1
521 2
1 2
1 2
∩ =
∩
⇒ ∩ =
Aplicando-se o conceito de probabilidade da união
de eventos, temos:
P(E1 ∪ E2) = P(E1) + P(E2) – P(E1 ∩ E2)
P(E E )
4
52
13
52
1
521 2
∪ = + ⇒ P(E E )
16
521 2
∪ =
Portanto: P(E E )
4
131 2
∪ = .
b) Sejam os eventos:
E3: sair carta vermelha⇒ n(E3) = 26;
E4: sair gura⇒ n(E4) = 12;
E3 ∩ E4: sair carta vermelha e gura⇒ n(E3 ∩ E4) = 6.
Tem-se:
P(E )
n(E )
n(S)
P(E )
26
52
;
3
3
3
= ⇒ =
P(E )
n(E )
n(S)
P(E )
12
52
 e
4
4
4
= ⇒ =
P(E E )
n(E E )
n(S)
P(E E )
6
523 4
3 4
3 4
∩ =
∩
⇒ ∩ =
Então:
P E E
26
52
12
52
6
52
3 4( )∪ = + − ⇒ P E E
32
52
1 2( )∪ =
Portanto: P E E
8
13
3 4( )∪ = .
Probabilidade do evento complementar
Sejam os eventos E e seu complementar E do espaço
amostral S. Como E e E são mutuamente exclusivos, isto
é, E E ,∩ = φ tem-se:
P(E ∪ E) = P(E) + P(E)
Como E ∪ E = S, então P(E ∪ E) = 1.
Portanto: P(E) + P(E) = 1.
Observe os exercícios resolvidos a seguir.
Exercícios resolvidos
10 Uma caixa contém dez bolas, das quais três são ver-
melhas, cinco são azuis e duas são pretas. Retira-se
uma bola ao acaso. Qual é a probabilidade de:
a) ser vermelha?
b) não ser vermelha?
Resolução:
Tem-se n(S) = 10.
a) Seja o evento E: sair bola vermelha⇒ n(E) = 3.
Então: P(E)
3
10
= .
b) Seja E: não sair bola vermelha (evento complementar
do evento E).
Como P(E) P E 1( )+ = .
Então: P E 1 P(E) P E 1
3
10
( ) ( )= − ⇒ = − .
Portanto: P E
7
10
( ) = .
11 Em uma luta de boxe, costuma-se dizer que as chan-
ces de um boxeador ganhar uma luta são de “dois
para um”. Então, qual é a probabilidade de esse bo-
xeador ganhar? E de perder?
Resolução:
Escrevendo-se o enunciado na forma de proporção,
tem-se:
P(ganhar)
P(perder)
2
1
,= indicando P(ganhar) = p
Então: P(perder) = 1 – p.
Substituindo-se, tem-se: = ⇒ =
p
1 p
2
1
p
2
3
(66,67%)
e 1 – p = 1 – 0,6667⇒ 1 – p = 100% – 66,67% = 33,33%.
Portanto: P(ganhar) = 66,67% e P(perder) = 33,33%.
12 Em um grupo de sete estudantes, há quatro de En-
genharia e três de Matemática. Escolhidos dois
estudantes ao acaso, qual é a probabilidade de pelo
menos um deles ser de Matemática?
Resolução:
Existem C7,  2 maneiras de escolher dois estudantes,
isto é, C
A
2!
7 6
2
21,
7,2
7,2
= =
⋅
= então, n(S) = 21.
Existem C
4 3
2
6
4,2
=
⋅
= maneiras de escolher dois es-
tudantes de Engenharia.
Seja E: escolher dois estudantes de Engenharia,
então:
P(E)
n(E)
n(S)
P(E)
6
21
P(E)
2
7
= ⇒ = ⇒ =
Seja E: sair pelo menos um estudante de Matemática.
Tem-se, então: P E 1 P(E) P E 1
2
7
( ) ( )= − ⇒ = − .
Portanto, P E
5
7
( ) = é a probabilidade de pelo menos
um dos estudantes ser de Matemática.
F
R
E
N
T
E
 1
23
Probabilidade condicional
Acompanhe o seguinte exemplo.
Considere um grupo de vinte estudantes, dos quais
treze são homens e sete são mulheres. Cinco homens e
três mulheres usam óculos, como mostra o quadro abaixo.
Usam Não usam Total
Homem 5 8 13
Mulher 3 4 7
Total 8 12 20
Escolhido um estudante ao acaso, considere os se-
guintes eventos.
E1: o estudante escolhido não usa óculos→ P(E )
12
20
3
51
= =
E2: o estudante é mulher→ P(E )
7
202
=
Qual é a probabilidade de o estudante não usar óculos,
sabendo que é mulher?
Observe que, a partir da nova informação “sabendo que
é mulher”, pode-se reduzir o espaço amostral.
O novo espaço amostral será constituído por sete mu
lheres, das quais quatro não usam óculos.
Portanto, a probabilidade procurada é
4
7
.
Sabendo-se que o evento E2 já ocorreu e que a pro-
babilidade de E1 é a desejada, pode-se calculá-la pela
expressão:
P E E
P(E E )
P(E )1 2
1 2
2
( ) =
∩
A probabilidade P(E1/E2), que se lê “probabilidade
do evento E1, dado E2”, é denominada probabilidade
condicional.
43
E
2
E
1
∩ E
2
Aplicando no exemplo dado, tem-se:
P(E E )
4
20
; P(E )
7
201 2 2
∩ = =
Então: P E E
P(E E )
P(E )1 2
1 2
2
( ) =
∩
.
P E E
4
20
7
20
4
20
20
7
1 2( ) = = ⋅
Portanto: P E E
4
7
1 2( ) = .
De um modo geral, se S é um espaço amostral e E1 e
E2 seus eventos, denomina-se probabilidade condicional
de E1, dado E2, representada por P(E1/E2), a probabilidade
de ocorrer E1 uma vez que já ocorreu E2, isto é:
P E E
P(E E )
P(E )1 2
1 2
2
( ) =
∩
 com P(E2) ≠ 0
Exercício resolvido
13 Lançam-se dois dados. Qual é a probabilidade de o nú-
mero do primeiro dado ser quatro, sabendo-se que os
números são pares?
Resolução:
Sejam os eventos:
E1: o número no primeiro dado é quatro:
E1 = {(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)}
E2: os dois números são pares:
E2 = {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (6, 2), (6, 4),
(6, 6)}⇒ n(E2) = 9
Observe que o evento E2 já ocorreu e P(E )
n(E )
n(S)2
2
= .
Então, P(E )
9
362
= .
Tem-se também E1 ∩ E2 = {(4, 2), (4, 4), (4, 6)},
n(E1 ∩ E2) = 3 e P(E E )
3
36
.
1 2
∩ =
Como P E E
P E E
P(E )
,
1 2
1 2
2
( )
( )
=
∩
 então temos:
P E E
3
36
9
36
P E E
3
9
1 2 1 2( ) ( )= ⇒ =
Portanto: P E E
1
3
1 2( ) = .
Produto de probabilidades
Da definição de probabilidade condicional, deve-se
lembrar que:
P E E
P(E E )
P(E )
P(E E )
1 2
1 2
2
1 2( ) =
∩
⇒ ∩ =  P(E2) · P(E1/E2) e
P E E
P(E E )
P(E )2 1
2 1
1
( ) =
∩
⇒ P(E E ) P(E ) P E E
2 1 1 2 1( )∩ = ⋅
Observe que P(E1 ∩ E2) = P(E2 ∩ E1), então:
P(E2) · P(E1/E2) = P(E1) · P(E2/E1)
MATEMÁTICA Capítulo 14 Teoria das probabilidades24
Portanto:
A probabilidade de ocorrer, simultaneamente, dois
eventos, é igual ao produto da probabilidade de um deles
pela probabilidade do outro, dado que o primeiro ocorreu.
Eventos independentes
Considere o seguinte experimento: “Um dado é lança-
do e observa-se a face voltada para cima”.
Sejam os eventos:
E1: ocorrer face par,
E2: ocorrer face maior que quatro.
Tem-se:
P(E )
n(E )
n(S)
P(E )
3
6
P(E )
1
21
1
1 1
= ⇒ = ⇒ =
P(E E )
1
6
; P(E )
2
6
1
31 2 2
∩ = = =
Como: P E E
P(E E )
P(E )1 2
1 2
2
( ) =
∩
⇒ P E E
1
6
1
3
1
2
1 2( ) = = .
Observe que P E E
1
2
1 2( ) = e P(E )
1
2
.
1
=
Isso significa que o fato de ter ocorrido E2 não influen-
ciou no cálculo da probabilidade de E1. Nesse caso, diz-se
que os eventos E1 e E2 são independentes.
Portanto, diz-se que dois eventos, E1 e E2, de um espa-
ço amostral S são independentes se:
P(E1/E2) = P(E1) ou P(E2/E1) = P(E2)
Tem-se, então:
P E E
P(E E )
P(E )1 2
1 2
2
( ) =
∩
Como P(E1/E2) = P(E1), vem:
P(E )
P(E E )
P(E )1
1 2
2
=
∩
Assim:
P(E E ) P(E ) P(E )
1 2 1 2
∩ = ⋅
A regra do produto pode ser generalizada para n even-
tos independentes entre si. A probabilidade de ocorrer,
simultaneamente, os eventos E1, E2, ... En é dada por:
P(E1 ∩ E2 ∩ ... ∩ En) = P(E1) · P(E2) · ... · P(En)
Exercícios resolvidos
14 Qual é a probabilidade de, no lançamento de um dado
branco e um dado preto, ocorrer face quatro no
dado branco e face dois no dado preto?
Resolução:
Sejam os eventos:
E1: ocorrer face quatro no dado branco;
E2: ocorrer face dois no dado preto.
Tem-se: P(E )
1
6
 e P(E )
1
61 2
= = .
Então:
P(E E ) P(E ) P(E ) P(E E )
1
6
1
61 2 1 2 1 2
∩ = ⋅ ⇒ ∩ = ⋅
Portanto: P(E E )
1
361 2
∩ = .
15 Lançam-se um dado e uma moeda. Qual é a proba-
bilidade de se obter face três no dado e coroa na
moeda?
Resolução:
Sejam os eventos:
E1: obter face dois no dado;
E2: obter coroa na moeda.
Tem-se: P(E )
1
6
 e P(E )
1
21 2
= = .
Então: P(E E )
1
6
1
2
P(E E )
1
121 2 1 2
∩ = ⋅ ⇒ ∩ = .
16 Lançam-se três dados. Qual é a probabilidade de se
obter face cinco nos três?
Resolução:
Sejam os eventos:
E1: ocorrer face cinco no primeiro dado;
E2: ocorrer face cinco no segundo dado;
E3: ocorrer face cinco no terceiro dado.
Tem-se: P(E )
1
6
; P(E )
1
6
 e P(E )
1
61 2 3
= = = .
Então: P(E E E )
1
6
1
6
1
61 2 3
∩ ∩ = ⋅ ⋅ .
Portanto: P(E E E )
1
2161 2 3
∩∩ = .
17 Seja uma urna contendo seis bolas numeradas de um
a seis. Qual é a probabilidade de se retirar a bola nú-
mero um e, sem repetição desta, a bola número dois
sair em seguida?
Resolução:
Sejam os eventos:
E1: ocorrer bola número um P(E )
1
6
,
1
⇒ =
E2: ocorrer bola número dois, sabendo que ocorreu
bola número um P E E
1
5
.
1 2( )⇒ =
Então:
P(E1 ∩ E2) = P(E1) ⋅ P(E1/E2) P(E E )
1
6
1
51 2
⇒ ∩ = ⋅
Portanto: P(E E )
1
301 2
∩ = .