Matemática - Livro 4-079-081

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F
R
E
N
T
E
 2
79
16 Uerj Um ciclista e um corredor começam, juntos, uma
competição.
A curva abaixo, cuja equação é e = t3 + at2 + bt + c,
representa a posição e, em metros, do ciclista, em fun-
ção do tempo t, em segundos, em que a, b e c são
números reais xos.
No instante em que o ciclista parte da posição zero, o
corredor inicia um movimento, descrito pela equação
e = 4t, na mesma pista e no mesmo sentido. Deter-
mine a posição mais afastada da origem na qual o
ciclista e o corredor voltam a se encontrar.
17 UFF Considere o polinômio p(x) = x3 - 3x + 2 e a fun-
ção real de variável real f definida por =f (x)
1
p(x)
.
Sabe-se que uma das raízes de p(x) é 1. Escreva o do-
mínio de f sob a forma de intervalo.
18 UFJF 2019 Observe as divisões entre polinômios apre-
sentadas a seguir:
p(x) 4x 3
 2 q (x)
1
⋅ (x 2) p(x) 4x 3
 r q (x)
3
2
Calcule o resto r da segunda divisão.
19 UFJF 2018 Determine o polinômio P(x) de grau 4 que
satisfaz todas as propriedades abaixo:
I. P( x) = P(x), para todo x real.
II. P( 1) = 3.
III. O produto de suas raízes é igual a 2.
IV. O resto da divisão de P(x) por x3 + 1 é um polinô-
mio de grau 1.
20 Unicamp 2017 Sabendo que a e b são números reais,
considere o polinômio cúbico p(x) = x3 + ax2 + bx + 1.
a) Mostre que, se r é uma raiz de p(x) então 1
r
 é uma
raiz do polinômio q(x) = x3 + bx2 + ax + 1.
b) Determine os valores de a e b para os quais a
sequência (p( 1), p(0), p(1)) é uma progressão arit
mética (PA), cuja razão é igual a p(2).
21 UFU 2017 Considere os polinômios p(x) = x3 + 2a + b e
h(x) = x4 + a 2b, em que a e b são constantes reais
e x é uma variável real. Determine os valores de a e
b para os quais esses polinômios sejam divisíveis por
x 4.
12 UFF Uma parte do esboço do gráfico de uma função
polinomial f é dada na figura:
Sabe-se que a função f possui somente três raízes:
a raiz x = 2 e outras duas que são reais e simétricas.
Determine:
a) a expressão polinomial que define f.
b) o(s) intervalo(s) em que f é positiva.
13 Unirio Seja f um polinômio de grau 4, cujo gráfico é
dado pela seguinte figura:
0 2
1,51
y
x
–1
–
27
16
Sabendo que zero é raiz tripla de f, determine:
a) A lei que define f.
b) Os valores de x < 1,5 tais que 1 < f(x) ≤ 0.
14 UFRJ Considere o polinômio p dado por p(x) = x4 4x3 +
+ 6x2 4x + 5. Mostre que = −i 1 é uma de suas raí-
zes e calcule as demais raízes.
15 Uenf O gráfico abaixo é a representação cartesiana do
polinômio y = x3 - 3x2 - x + 3.
a) Determine o valor de B.
b) Resolva a inequação x3 3x2 x + 3 > 0.
MATEMÁTICA Capítulo 9 Polinômios80
22 UFJF 2016 Sabendo que o polinômio p(x) = ax3 + bx + 2
é divisível por (x + 1)2, determine a e b.
23 Unicamp 2015 Seja (a, b, c, d) uma progressão geomé-
trica (PG) de números reais, com razão q ≠ 0 e a ≠ 0.
a) Mostre que =x
1
q
 é uma raiz do polinômio cúbi
co p(x) = a + bx + cx2 + dx3.
b) Sejam e e f números reais quaisquer e considere o
sistema linear nas variáveis x e y,








=




a c
d b
x
y
e
f
.
Determine para que valores da razão q esse siste-
ma tem resolução única.
24 UFPE 2013 Determine o polinômio com coeficientes
reais p(x) = ax3 + bx2 + cx, tal que p(x + 1) - p(x) = 6x2 e
indique a2 + b2 + c2.
25 UFPE 2011 Sabendo que − +
+ −
= +
+
+
−
x 2x 4
x x 2x
A
x
B
x 2
C
x 1
2
3 2
,
assinale A + B + 2C.
26 FGV-SP Os vértices do quadrado na figura a seguir
representam, no plano de Argand – Gauss (plano
complexo), todas as raízes de um polinômio p(x) cujo
coeficiente do termo de maior grau é 1.
a) Determine a expressão do polinômio p(x).
b) Calcule o resto da divisão de p(x) pelo polinômio
q(x) = x3 2x2 + 4x 8.
27 Insper 2016 Considere um polinômio P(x) do 4o grau,
de coeficientes reais, tal que:
• P(-3) = P(1) = P(5) = 0
• P(0) e P(2) são, ambos, números positivos.
Nessas condições, os sinais dos números P(-5), P(4) e
P(6) são, respectivamente,
A positivo, negativo e negativo.
 positivo, negativo e positivo.
C negativo, negativo e negativo.
d negativo, positivo e negativo.
E negativo, positivo e positivo.
28 FGV-SP 2016 Sabendo-se que o resto da divisão do
polinômio P(x) = x3 - x2 + 2k + 2 por x - 3 é igual a
4k - 220, o valor de k é
A –4
 –2
C 2
d 3
E 4
29 IFSC 2014 Dado o polinômio -6 + 11x - 6x2 + x3 é COR-
RETO afirmar que:
A Trata-se de um polinômio de grau 6.
 A fatoração do polinômio é (x - 1)(x - 2)(x - 3).
C Se dividirmos o polinômio por x - 3 o polinômio
quociente é x2 - 2x + 3.
d O grau do polinômio é 11.
E Podemos dividir o polinômio por x5 - 6x2 + 11x - 6 e
obteremos como resposta o monômio x2.
30 Cefet-MG 2013 Perdeu-se parte da informação que
constava em uma resolução de um problema, pois o
papel foi rasgado e faz-se necessário encontrar três
dos números perdidos que chamaremos de A, B e C
na equação abaixo.
−
+ +
+ =
− −
+ + −
Ax 2
x x 3
B
2x 1
Cx 9x C
2x x 5x 3
2
2
3 2
O valor de A + B + C é
A –3
 –2
C 4
d 5
E 7
31 Esc. Naval 2013 Sejam F(x) = x3 + ax + b e G(x) = 2x2 +
+ 2x 6 dois polinômios na variável real x, com a e b
números reais. Qual valor de (a + b) para que a divisão
F(x)
G(x)
 seja exata?
A –2
 –1
C 0
d 1
E 2
32 Udesc 2012 Seja r(x) o resto da divisão do polinômio
p(x) = 4x2 + 3x + 5 por q(x) = 2x2 - x - 1. Se f(x) = 2x + k e
f(g(x)) = r(x), então o valor da constante k para que o con-
junto solução da inequação g(x) ≥ 10 seja {x ∈ ℝ | x ≥ 3} é:
A –12
 –2
C 12
d 2
E −
32
5
33 Ufpr Determine m e n de modo que o resto da divisão
do polinômio y5 - my3 + n por y3 + 3y2 seja 5.
A m = +9; n = –5
 m = +9; n = +5
C m = –4; n = –5
d m = +4; n = +5
E m = –9; n = –5
34 Udesc 2012 Sejam q(x) e r(x) respectivamente, o quo
ciente e o resto da divisão de f(x) = 6x4 x3 9x2 3x + 7
por g(x) = 2x2 + x + 1. O produto entre todas as raízes
de q(x) e r(x) é igual a:
A
7
3
 3
C
3
5
d 5
E
5
3
F
R
E
N
T
E
 2
81
35 A figura representa o trecho do gráfico do polinômio
de coeficientes reais P(x) onde ocorrem todas as suas
interseções com os eixos coordenados.
–1 5
y
x
–3
Assinale a alternativa que apresenta o conjunto solu-
ção da inequação P(x) ⋅ P(x + 2) < 0.
A {x ∈ ℝ | x > 5}
 {x ∈ ℝ | x < -1}
C {x ∈ ℝ | 3 < x < 5}
d {x ∈ ℝ | x < 5}
E {x ∈ ℝ | -3 < x < -1 ou 3 < x < 5}
36 FGV-SP Um polinômio P(x) do 4o grau é divisível por (x
- 3)3. Sendo P(0) = 27 e P(2) = -1, então o valor de P(5) é:
A 48
 32
C 27
d 16
E 12
37 Ifal 2011 Dividindo o polinômio p(x) pelo polinômio
(x - 2)(x - 4)(x - 5) obtém-se resto x + 3. Se os restos
das divisões de p(x) por x - 2, x - 4 e x - 5 são, res-
pectivamente, os números A, B e C, então ABC vale
A 100
 180
C 200
d 280
E 360
38 Quais devem ser os valores de a e b, a, b ∈ℝ, para
que o polinômio P(x) = x3 - 4x2 - 5ax + 6b seja divisível
pelo polinômio Q(x) = x2 + 2x - 3?
39 UCPel 2011 Na divisão do polinômio P(x) = 4x3 +
+ mx2 3x + 4 por x 2 o resto é 18. Nessas condi-
ções, o valor de m é
A –6  3 C –3 d 6 E –5
40 UPE 2011 Para que o polinômio 6x3 - 4x2 + 2mx - (m + 1)
seja divisível por x - 3, o valor da raiz quadrada do mó-
dulo dem deve ser igual a
A 0
 1
C 2
d 3
E 5
41 UTFPR Quais são os polinômios que representam o
quociente q(x) e o resto r(x) da divisão do polinômio
p(x) = x3 + 5x2 + 6 pelo polinômio d(x) = x2 - 3?
A q(x) = –(x + 5) e r(x) = 3x + 21.
 q(x) = x + 5 e r(x) = –(3x + 21).
C q(x) = x – 5 e r(x) = –3x + 21.
d q(x) = –(x + 5) e r(x) = 3x – 21.
E q(x) = x + 5 e r(x) = 3x + 21.
42 UFPE Seja p(x) um polinômio com coeficientes reais,
com coeficiente líder 1, de grau 4, satisfazendo:
p(x) = p(-x) para todo x real, p(0) = 4 e p(1) = -1. Parte do
gráfico de p(x) está esboçado a seguir.
Analise as armações a seguir, acerca de p(x).
J p(x) = x4 + 6x2 + 4.
J As raízes de p(x) são ± ±3 5 , para qualquer es-
colha dos sinais positivos e negativos.
J As raízes de p(x) são ± ±10 2
2
 para qualquer es-
colha dos sinais positivos e negativos.
J p(x) = (x2 - 3)2 + 5.
J O valor mínimode p(x) ocorre em = ±x 3 .
43 O resto da divisão de P(x) = 2x3 + 2kx + 8t por D(x) =
= x2 - x + 3 é igual a 10, então podemos afirmar que
kt vale:
A 2
 –2
C 4
d –4
E 16
44 Unemat Seja Q(x) o quociente da divisão do polinô-
mio P(x) = x4 - 1 pelo polinômio D(x) = x - 1, é correto
afirmar.
A Q(0) = 0
 Q(0) < 0
C Q(1) = 0
d Q(-1) = 0
E Q(1) = 2
45 Uece Se Q1(x) é o quociente da divisão de x
2
+ 2 por
x + 1 e Q2(x) é o quociente da divisão de x
2
+ 2 por x - 1,
então Q1(3) + Q2(4) é igual:
A 7  8 C 9 d 10
46 Uerj Considere o polinômio P(n) = (n + 1)(n2 + 3n + 2),
n ∈ N. Calcule:
a) a quantidade de paralelepípedos retângulos
de bases quadradas e volumes numericamente
iguais a P(11), cujas medidas das arestas são ex-
pressas por números naturais.
b) o valor da expressão:
( )+ ⋅ + ⋅ +7 4 7 5 7 2
344
9 6 3
2
.
47 Unicamp Seja p(x) = x3 - 12x + 16.
a) Verifique que x = 2 é raiz de p(x).
b) Use fatoração para mostrar que se x > 0 e x ≠ 2,
então p(x) > 0.
c) Mostre que, entre todos os prismas retos de ba-
ses quadradas que têm volume igual a 8 m³, o
cubo é o que tem menor área total.