05 - conicas

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GEOMETRIA ANALÍTICA
AULA 5
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Prof. Ricardo Alexandre Deckmann Zanardini
CONVERSA INICIAL
Chegamos na nossa quinta aula de Geometria Analítica. Nesta aula estudaremos, inicialmente, as
distâncias. Abordaremos a distância entre pontos, entre ponto e reta, entre ponto e plano. Em
seguida, iniciaremos nossos estudos relacionados às cônicas. Mas o que são as cônicas? São figuras
geradas a partir de cortes feitos em um cone. No decorrer da aula, abordaremos cada uma delas.
TEMA 1 – DISTÂNCIAS
É muito comum determinarmos constantemente as distâncias, tanto no mundo real quanto no
mundo virtual. Na computação, em um projeto de uma construção, de uma peça ou no
desenvolvimento de jogos, o cálculo da distância entre pontos é muito comum. Ao pensarmos em
entregas ou em uma viagem, também é usual pensarmos nas distâncias entre determinados pontos.
Assim, iniciaremos nossa aula tratando deste importante tópico.
O mais usual é determinarmos a distância entre dois pontos. Tendo as coordenadas destes
pontos, podemos obter de uma forma bastante simples a respectiva distância entre eles.
Em duas dimensões, a distância entre os pontos A e B é dada por:
Graficamente, temos:
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Considerando o espaço tridimensional R3, a forma de calcularmos a distância entre dois pontos
dados segue a mesma ideia:
.
            Graficamente:
Veremos a seguir alguns exemplos referentes à distância entre dois pontos.
Exemplo: em um ambiente 3D foram criados dois blocos referentes à representação simplificada
de dois prédios. Podemos observar dois pontos A e B associados a cada um dos prédios. Calcule a
distância, em metros, do ponto A(20, -10, 30) ao ponto B(18, -2, 25).
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Resolução: a distância entre os pontos A e B é dada pela fórmula:
Fazendo as substituições das coordenadas de cada ponto, temos:
Logo, a distância entre A e B corresponde a 9,64 metros.
Exemplo: considerando os pontos A e B representados a seguir, determine a distância d(A, B).
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Resolução: as coordenadas dos pontos A e B são, respectivamente, (3, 4) e (7, 2). Como a
distância entre dois pontos é dada por
, temos:
Portanto, a distância entre os pontos A e B é igual a 4,47 unidades de comprimento (u.c.).
Exemplo: Sejam A(2, 5, -4) e B(3, 3, 2). Calcule d(A, B).
Resolução: quando estamos tratando de pontos no R3, a distância entre A e B é dada por
Para que possamos calcular a distância entre os pontos A e B, vamos substituir xA por 2, xB por 5,
yA por 5, yB por 3, zA por -4 e zB por 2:
que é a distância entre os pontos A e B.
Exemplo: um cabo deverá conectar o ponto A de uma torre de transmissão ao ponto B de outra
torre. As coordenadas cartesianas dos pontos a serem conectados são A(10, 12, 20) e B(32, 10, 25).
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Essas coordenadas, em metros, foram estabelecidas a partir de um mapeamento da região na qual as
torres estão instaladas. Calcule a distância entre os pontos A e B.
Resolução:
A distância é igual a 22,65 metros.
Exemplo: uma empresa precisa construir uma ponte em desnível sobre um rio bastante largo e
extenso e tem as coordenadas dos pontos de referência nas margens opostos obtidas a partir de um
rastreamento tridimensional feito com um GPS (Global Positioning System – Sistema de
Posicionamento Global). As coordenadas tridimensionais geodésicas, em metros, do ponto A(xA, yA,
zA) referente ao início da ponte e B(xB, yB, zB) referente ao final da ponte são
xA = 3451241,12
yA = -4567581,79
zA = -2893340,12
xB=3452001,35
yB=-4567588,21
zB=-2893324,99
Calcule a distância, em metros, entre os pontos A e B.
Resolução:
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.
Assim, a distância entre o ponto inicial e o ponto final da ponte é igual a 760,41 metros.
Além da distância entre pontos, também podemos obter, por meio da Geometria Analítica, a
distância entre um ponto P e uma reta r. Há diferentes formas de calcularmos essa distância.
Inicialmente, vamos estudar casos em R3 em que utilizamos o módulo do produto vetorial entre o
vetor  que tem a direção da reta r e o vetor  que tem origem em um ponto A pertencente à reta r e
final no ponto P. O resultado obtido precisa ser dividido pelo módulo de   para que tenhamos a
respectiva distância. Assim, a fórmula é:
Para compreendermos melhor, temos a seguinte ilustração:
Temos uma vista lateral dos elementos, mas é importante ressaltar que essa abordagem é feita
em um sistema tridimensional de eixos coordenados. Vamos acompanhar agora um exemplo.
Exemplo: em um dado sistema de eixos, o ponto P(2, 1, 4) está associado ao centro de um alvo e
à reta r:(4t+3, t-1, 2t+2) indica a trajetória da flecha.
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Créditos: Irinakeinanen/Pixabay.
Sabendo que as unidades estão em metros, encontre a distância entre o ponto P e a reta r.
Resolução: a partir das equações paramétricas da reta r, temos . Note que os
componentes de  correspondem aos coeficientes de t nessas equações. Além do vetor , precisamos
de um ponto A pertencente à reta. Como é um ponto qualquer, podemos fazer t=0 nas equações
paramétricas de r para obtermos o ponto. Assim, temos A(3, -1, 2).
Ainda, precisamos do vetor  que tem origem no ponto P e final no ponto A.
.
Finalmente, para obtermos a distância entre P e r, vamos utilizar a fórmula
O primeiro passo é calcularmos o produto vetorial . Vamos utilizar o mesmo procedimento
visto na Aula 2.
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Agora que calculamos o produto vetorial, vamos calcular o respectivo módulo.
Precisamos ainda do módulo de .
Por último, vamos calcular a distância de P a r por meio da fórmula:
Portanto, a distância do ponto P à reta r corresponde a 2,97 metros.
Exemplo: sabendo que P(1, 0, 3) e r: (3t+1, 2t, 5t-2), encontre a distância entre o ponto P e a reta
r.
Resolução: para obtermos o vetor direto, a partir das equações paramétricas de r, precisamos dos
coeficientes de t. Como
r:(3t+1, 2t, 5t-2)
temos que .
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Vamos agora obter um ponto A pertencente à reta r para determinarmos o vetor . Sabemos que
r:(3t+1, 2t, 5t-2)
Fazendo t=0, temos:
A(3(0)+1, 2(0), 5(0)-2)
Logo:
A(1, 0, -2)
Já temos um ponto A que pertence à reta r. Assim, podemos obter o vetor , tal que:
Como P(1, 0, 3) e A(1, 0, -2), temos:
que resulta em:
Finalmente, podemos calcular a distância entre P e r:
Primeiro, vamos calcular o produto vetorial . Sabemos que
Precisamos agora calcular o módulo de . Basta calcularmos a raiz quadrada da soma dos
quadrados de cada componente do vetor :
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Como já temos o módulo de , precisamos agora do módulo de  que é dado por:
Como , temos:
Finalmente, a distância entre P e r é:
Quando temos a equação geral da reta r:ax+by+c=0 no R2 e as coordenadas do ponto P(x0, y0),
podemos calcular a distância entre P e r por meio da fórmula:
.
Uma aplicação pode ser vista no exemplo a seguir.
Exemplo: em um mapa, temos a reta r que indica a trajetória de um veículo e o ponto P
indicando a localização de um acampamento. Qual é a distância d entre o acampamento e a trajetória
do veículo? Considere r:y=x+1 e P(5, 2), em que as unidades estão em quilômetros.
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Resolução: como a equação da reta r está na forma reduzida y=x+1, o primeiro passoé
escrevermos a equação equivalente na forma geral, ou seja, na forma x-y+1=0. Assim, a=1, b=-1 e
c=1. Como as coordenadas do ponto P correspondem a (5, 2), temos x0=5 e y0=2. Precisamos
substituir esses termos na equação
,
o que resulta em
Observe na figura a seguir a distância correspondente a 2,83 km.
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Exemplo: determine a distância entre o ponto P(5, 7) e a reta r:2x-y+2=0.
Resolução: a imagem seguinte apresenta a reta r:y=2x+2 e o ponto P(5, 7).
Para calcularmos a distância entre a reta r:2x-y+2=0 e o ponto P(5, 7), vamos utilizar a fórmula
em que a=2, b=-1, c=2, x0=5 e y0=7. Logo,
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Portanto, a distância entre o ponto P e a reta r é igual a 2,24 u.c. (unidades de comprimento).
Também podemos utilizar uma fórmula bastante parecida com a que acabamos de ver, mas
agora para obtermos a distância entre um determinado ponto P(x0, y0, z0) e um plano
a:ax+by+cz+d=0. A fórmula é:
.
Veremos alguns exemplos para entendermos como é possível determinarmos a distância entre
ponto e plano.
Exemplo: encontre a distância entre o ponto D(4, 1, 6) e o plano a:2x+3y+z-2=0.
Resolução: podemos calcular a distância entre D e a utilizando a fórmula
em que x0, y0, z0 são as coordenadas de D e a, b, c e d são os coeficientes de a:2x+3y+z-2=0, ou
seja, x0=4, y0=1 e z0=6 e a=2, b=3, c=1 e d =-2.
que é a distância entre D e a.
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Exemplo: em um ambiente computacional tridimensional, o ponto D de coordenadas (2, 1, 3) está
associado a uma luminária e o plano a de equação x+2y-z+1=0 representa um painel.
Qual é a distância, em metros, entre a luminária e o painel?
Resolução: sabemos que o plano a tem equação geral x+2y-z+1=0. Assim, a=1, b=2, c=-1 e d=1.
Sabemos também que o ponto D tem coordenadas (2, 1, 3). Logo, x0=2, y0=1 e z0=3. Vamos
substituir esses valores na fórmula
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A distância entre o painel e a luminária corresponde a 0,82 metros.
TEMA 2 – CÔNICAS
Diariamente nos deparamos com imagens como a circunferência ou elipses em logos, na
representação das rodas de um automóvel ou bicicleta etc. Também temos o gráfico de uma função
do segundo grau, a trajetória de um objeto lançado e muitas outras aplicações associadas a uma
parábola. Podemos também ter a vista lateral da base de uma mesa ou das torres de resfriamento de
uma usina associada a uma hipérbole. Todas essas figuras (circunferência, elipse, parábola e
hipérbole) são chamadas de cônicas, pois são obtidas a partir de cortes feitos em um cone. Na
imagem a seguir temos uma parábola, uma elipse e uma hipérbole, respectivamente.
Podemos obter também cônicas denominadas cônicas degeneradas que são retas ou pontos,
dependendo de como foi feito o corte. A seguir, temos uma reta, um ponto e duas retas concorrentes.
Estudaremos cada uma das cônicas nos próximos temas.
TEMA 3 – ELIPSE E CIRCUNFERÊNCIA
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Vamos estudar a elipse e a circunferência que é um caso particular da elipse. Além da
representação gráfica, uma circunferência tem seus pontos dados por uma equação baseada nas
coordenadas do centro da circunferência e no raio. Essa equação é chamada de equação reduzida e
corresponde a
Em que r é o raio da circunferência, C(x0, y0) é o centro e P(x, y) é um ponto qualquer da
circunferência.
Exemplo: qual é a equação reduzida de uma circunferência com centro em C(2, 2) e raio r=4?
Resolução: a equação reduzida de uma circunferência corresponde a
Como C(2, 2) e r=4, temos:
.
Para obtermos a equação reduzida, basta elevarmos r ao quadrado:
.
A partir da equação reduzida, podemos obter a equação geral da circunferência. Para isso,
precisamos calcular os produtos notáveis  e .
Exemplo: qual é a equação geral de uma circunferência com centro em C(3, -1) e raio r=6?
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Resolução:
Assim, a respectiva equação geral é .
As circunferências estão presentes em diversas situações e muitas vezes utilizamos algum
software para fazer a representação que queremos. Para isso, geralmente, selecionamos a
circunferência, clicamos um ponto da tela, arrastamos o mouse e obtemos o desenho. Mas para que a
construção da imagem seja possível, internamente o programa utiliza a equação da circunferência.
Exemplo: qual é a equação reduzida e qual é a equação geral da circunferência de centro no
ponto C(450, 300) e de raio r igual a 140?
Resolução: inicialmente, vamos escrever a equação reduzida.
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Para obtermos a equação geral, vamos utilizar o produto notável  nos
termos do primeiro membro da equação
.
Podemos também fazer o processo inverso, ou seja, a partir de uma equação dada saberemos
qual é a respectiva figura associada.
Exemplo: qual é a cônica cuja equação corresponde a x2+y2+2x+6y=8?
Resolução: sabemos que a equação da cônica é igual a
x2+y2+2x+6y=8
Precisamos agora descobrir qual é a sua forma para que, com isso, possamos determinar que
cônica é essa. Pensando em produtos notáveis, podemos agrupar os termos em x, ou seja, x2+2x, e
adicionar 1 e -1 a esses termos. Esse procedimento não altera a equação, mas permite que possamos
escrever x2+2x+1 como (x +1)2. Mas como é possível saber que nesse caso é preciso adicionar 1 e -1?
A resposta é bem simples: basta considerarmos o coeficiente de x e dividirmos esse coeficiente por 2
e, em seguida, elevarmos o resultado ao quadrado: 2/2=1 e 12=1. Agrupamos também os termos em
y y2+6y e acrescentamos 9 e -9 a esses termos. A escolha desses números é feita da mesma maneira
que explicamos anteriormente. Nesse caso, dividimos o coeficiente de y por 2 e elevamos o resultado
ao quadrado: 6/2=3 e 32=9. Assim, podemos escrever y2+6y+9 como sendo (y +3)2.
x2+2x+1-1+ y2+6y+9-9=8
Substituindo, então, x2+2x+1 por (x +1)2 e y2+6y+9 por (y +3)2, temos:
(x +1)2-1+ (y +3)2-9=8
 (x +1)2+ (y +3)2-10=8
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 (x +1)2+ (y +3)2=8+10
(x +1)2+ (y +3)2=18
Como a equação obtida possui o formato , trata-se de uma
circunferência de raio , pois r2=18 e centro em (-1, -3).
            No caso de uma elipse, a equação canônica corresponde a
em que a é o semieixo horizontal, b é o semieixo vertical e x0 e y0 são as coordenadas do centro
da elipse.
Uma elipse tem uma característica importante. A distância de F1 a P somada com a distância de
F2 a P é sempre constante. Os pontos F1 e F2 são os focos da elipse. Temos ainda que essa soma é
igual a 2a:
.
Graficamente, os elementos da elipse são:
Exemplo: a figura seguinte apresenta uma elipse com centro na origem, semieixo vertical igual a
3 e semieixo horizontal igual a 4.
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Com base nessas informações, determine a equação canônica da elipse.
Resolução: a equação canônica da elipse é:
Substituindo x0 por 0, y0 por 0, a por 4 e b por 3, temos:
que é a equação canônica da elipse dada.
Exemplo: determine qual é a cônica de equação 25x2+9y2+100x+18y-116=0.
Resolução: para sabermos qual é a cônica cuja equação é
25x2+9y2+100x+18y-116=0
precisamos encontrar a sua forma padrão. Inicialmente, vamos agrupar os termos em x e os
termos em y:
25x2+100x+9y2+18y-116=0.
Podemos, agora, em relação aos termos em x, colocar 25 em evidência. Em relação aos termos
em y, podemos colocar 9 em evidência:
25(x2+4x)+9(y2+2y)-116=0.
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Vamos agora acrescentar 4 e -4 ao termo x2+4x e vamos também acrescentar 1 e -1 ao termo
y2+2y. Relembrando, para sabermos que é preciso acrescentar 4 e -4, bastadividirmos o coeficiente
de x por 2 e elevarmos o resultado ao quadrado. Para obtermos 1 e -1, dividimos o coeficiente de y
por 2 e elevamos o resultado ao quadrado.
25(x2+4x+4-4)+9(y2+2y+1-1)-116=0
Assim, podemos utilizar os produtos notáveis para simplificarmos esses termos. A seguir, iremos
colocar parênteses nos termos a serem simplificados para que possamos visualizar melhor.
25((x2+4x+4)-4)+9((y2+2y+1)-1)-116=0.
Podemos escrever x2+4x+4 como (x+2)2 e y2+2y+1 como (y+1)2
25((x+2)2-4)+9((y+1)2-1)-116=0.
Multiplicando 25 por (x+2)2 e por -4 e multiplicando 9 por (y+1)2 e por -1, temos:
25(x+2)2-100+9(y+1)2-9-116=0
25(x+2)2+9(y+1)2-225=0
25(x+2)2+9(y+1)2=225
Vamos dividir a equação por 225 para termos 1 no segundo membro
Podemos escrever 9 como sendo 32 e 25 como sendo 52
Como a equação está na forma
,
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temos uma elipse de centro em (-2, -1) e cujos semieixos medem 3 (horizontal) e 5 (vertical).
TEMA 4 – HIPÉRBOLE
Uma hipérbole tem equação canônica
quando possui ramos à esquerda e à direita.
Para ramos acima e abaixo, a equação canônica é dada por
.
Os termos F1 e F2 são os focos da hipérbole. A distância de F1 a P somada menos a distância de
F2 a P é igual a 2a:
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.
Exemplo: determine a equação reduzida da hipérbole apresentada na figura a seguir.
Resolução: a forma da equação canônica da hipérbole com ramos à esquerda e à direita é:
Nesse caso, x0=0, y0=0, a=3 e b=1
Subtraindo os termos entre parênteses e elevando os denominadores ao quadrado, temos
que corresponde a
a equação canônica da hipérbole em questão.
Exemplo: escreva a equação geral da hipérbole apresentada a seguir.
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Resolução: inicialmente vamos considerar a equação canônica da hipérbole com ramos à
esquerda e à direita:
em que x0=0, y0=0, a=3 e b=1. Substituindo esses termos, temos
Para obtermos a equação geral, precisamos multiplicar toda a equação por 9:
que é a respectiva equação geral da hipérbole.
Exemplo: obtenha a equação reduzida da hipérbole apresentada a seguir.
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Resolução: como temos uma hipérbole com ramos acima e abaixo, vamos utilizar a fórmula
.
Note que x0=0, y0=0, a=2 e b=4. Logo,
que é a equação procurada.
TEMA 5 – PARÁBOLA
A parábola já é conhecida na Matemática elementar, pois corresponde ao gráfico de uma função
do segundo grau. Na Física, a parábola está associada ao movimento parabólico, ou seja, ao
movimento gerado a partir do lançamento de um objeto. Podemos ter parábolas na construção de
estruturas de pontes, em fachadas de igrejas, na variação do lucro em função do preço de uma certa
mercadoria e em muitas outras situações.
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Uma parábola consiste em um conjunto formado por todos os pontos pertencentes a um plano
que possui a mesma distância de um ponto fixo F chamado de foco e de uma reta r, chamada de
diretriz, pertencente ao plano.
O ponto V é o vértice da parábola. Assim como ocorre com os demais pontos da parábola, a
distância de V ao ponto F é igual à distância de V à reta r.
Quando a parábola é vertical, sua equação geral é dada por .
As intersecções com o eixo x são obtidas por meio da fórmula quadrática
.
A intersecção com o eixo y corresponde ao ponto (0, c) e o vértice da parábola é dado por
.
Graficamente, temos:
No caso da parábola horizontal, a equação geral corresponde a
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.
As intersecções com o eixo x são dadas pela respectiva equação quadrática
.
A intersecção com o eixo y corresponde ao ponto (0, c). Ainda, o vértice da parábola é
.
A partir de 3 pontos não alinhados, podemos obter a equação da parábola que contém esses
pontos. A explicação de como proceder está no exemplo a seguir.
Exemplo: a imagem a seguir está associada a uma parte da fachada de uma igreja. Para que a
construção dessa parte possa ser feita com precisão, precisamos da equação da parábola.
A partir das medidas informadas, obtenha a respectiva equação reduzida.
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Resolução: observando o gráfico, a parábola passa pelos pontos (0, 0), (5, 12) e (10, 0). Para que
possamos encontrar a equação dessa parábola, vamos substituir cada um desses pontos na equação
y=ax2+bx+c.
Para o ponto (0, 0), temos:
y=ax2+bx+c
0=a(0)2+b(0)+c
0=0+0+c
0=c
c=0
Para o ponto (5, 12), temos:
y=ax2+bx+c
12=a(5)2+b(5)+0
12=a(25)+b(5)+0
12=25a+5b
25a+5b=12
Note que obtivemos uma equação linear com duas incógnitas. Como há uma infinidade de
soluções para essa equação, no momento não é possível encontrar os valores de a e de b, mas iremos
utilizá-la depois.
Para o ponto (10, 0), temos:
y=ax2+bx+c
0=a(10)2+b(10)+0
0=a(100)+b(10)+0
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0=100a+10b
100a+10b=0
Para encontrarmos os valores de a e b, vamos resolver o sistema de equações
Há várias possibilidades de resolução desse sistema. Vamos utilizar o método da adição. Observe
que 100/25=4. Logo, se multiplicarmos a primeira equação por -4 será possível zerarmos o coeficiente
de a ao somarmos as duas equações.
Multiplicando cada termo da primeira equação por -4 temos:
Vamos agora somar as duas equações:
Como
podemos multiplicar a equação por -1, o que resulta em
Dividindo os dois membros por 10, temos:
Logo,
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Vamos agora calcular o valor de a. O procedimento é bem simples. Basta substituirmos b por 4,8
em uma das duas equações. Independente da escolha, o resultado obtido é o mesmo. Substituindo b
por 4,8 na equação 25a+5b=12 temos:
25a+5(4,8)=12.
Vamos multiplicar 5 por 4,8
25a+24=12.
Subtraindo 24 dos dois membros temos:
25a=12-24
que é igual a
25a=-12.
Agora basta dividir os dois membros por 25
Logo,
a = -0,48.
Como a=-0,48, b=4,8 e c=0, a equação procurada é:
y= -0,48x2+ 4,8x
que corresponde à parábola da parte que compõe a fachada da igreja.
Vimos como podemos obter a equação de uma parábola a partir de três pontos dados. Também
é possível saber qual é a cônica a partir da equação dada.
Exemplo: qual é a cônica cuja equação corresponde a x2+y-10=0?
Resolução: vamos isolar a variável y.
x2+y-10=0
03/03/2024, 11:48 UNINTER
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x2+y=0+10
x2+y=10
y=-x2+10
Note que a equação obtida está na forma y=ax2+bx+c que é uma parábola vertical com
concavidade voltada para baixo.
            Exemplo: determine qual é a cônica de equação igual a y2+2x+3y+5=0.
Resolução:
Parábola horizontal com concavidade voltada para a esquerda.
Exemplo: represente graficamente a parábola dada por x2-6x-y+5=0.
Resolução: vamos escrever essa equação sob a forma y=ax2+bx+c. Sendo assim, temos:
y=x2-6x+5.
Uma forma de representarmos graficamente uma parábola é encontrarmos as coordenadas do
vértice e, caso existam, as raízes dessa equação. Depois, basta representarmos a parábola que passa
pelos pontos encontrados.
Inicialmente, calculando as raízes, temos:
Como a=1, b=-6 e c=5, temos:
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Para resolvermos esse problema, precisamos calcular, separadamente,  e . Logo,
e
Portanto, as raízes são 1 e 5.
Vamos agora calcular as coordenadas do vértice utilizando a fórmula
Vamos substituir a por 1, b por -6 e c por 5
Logo, o vértice está localizado no ponto (3, -4).
Sendo assim, a representação gráfica da parábola é a seguinte:
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Estamos chegando ao final da quinta aula. Na próxima, veremos que as cônicas geram figurastridimensionais chamadas de quádricas.
FINALIZANDO
Nesta aula estudamos a distância entre pontos, entre ponto e reta e entre ponto e plano. Vimos
algumas das muitas aplicações relacionadas às distâncias. Em seguida, aprendemos que as
circunferências, elipses, parábolas e hipérboles são conhecidas como cônicas, pois são geradas a
partir de cortes feitos em um cone. Estudamos as principais características de cada uma delas.
REFERÊNCIAS
BORIN JUNIOR, A. M. S. (Org). Geometria analítica. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2014.
FERNANDES, L. F. D. Geometria Analítica. Curitiba: Intersaberes, 2016.
SANTOS, F. J. dos.; FERREIRA, S. F. Geometria analítica. Porto Alegre: Artmed, 2009.
THOMAS, G. B.; HASS, J.; WEIR, M. D. Cálculo. v. 2. 12. ed. São Paulo: Pearson, 2008.
WINTERLE, P. Vetores e Geometria Analítica. 2. ed. São Paulo: Pearson, 2014.
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