História da Matemática parte II

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História da Matemática – parte II
Questão 1
Quando o denominador de uma fração é um número irracional, é comum racionalizarmos esse denominador. Para fazer isso, escolhemos um número para multiplicar tanto o numerador quanto o denominador da fração e realizamos tais multiplicações. Multiplicando o numerador e, também, o denominador garantimos que o resultado não se altera. É importante escolher um número que realmente torne o denominador racional. Para números da forma $a+\sqrt{b}$a+√b,o número escolhido tem que ser da forma $a-\sqrt{b}$a−√b.
Racionalizando o denominador de $\frac{1}{2+\sqrt{3}}$12+√3, obtemos:
Sua resposta
$2-\sqrt{3}$2−√3.
Comentário
Multiplicando o numerador e o denominador por $\frac{2-\sqrt{3}}{1}$2−√31, o resultado não se altera e obteremos $\frac{1}{2+\sqrt{3}}\cdot\frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{4-2\sqrt{3}+2\sqrt{3}-3}=\frac{2-\sqrt{3}}{1}=2-\sqrt{3}$12+√3·2−√32−√3=2−√34−2√3+2√3−3=2−√31=2−√3.
Questão 2
Da mesma forma que a Escola Pitagórica encontrou números não usuais em seus cálculos, chamados de irracionais, e passou a estudá-los com mais cuidado, muitos outros estudiosos se depararam com problemas que exigiam o cálculo daquilo que chamaram de “raízes estranhas”. Mais tarde, essas raízes ficaram conhecidas como números complexos. Definiu-se a unidade imaginária i, de modo que $i^2=-1$i2=−1,então, para calcularmos $\sqrt{-81}$√−81,basta escrevermos $\sqrt{-81}=\sqrt{81\cdot i^2}=9i$√−81=√81·i2=9i, o que, de certa forma, e resumidamente, resolve o problema.
Esse recurso seria necessário para calcularmos:
Sua resposta
$\sqrt{-9}$√−9.
Comentário
Como 5 e 81 são positivos, não precisamos da unidade imaginária. Não precisamos dela também para calcular$\sqrt[3]{-1}$3√−1 e $\sqrt[3]{-8}$3√−8,pois são raízes cúbicas, cujos resultados são –1 e –2. Para calcular $\sqrt{-9}$√−9,fazemos$\sqrt{-9}=\sqrt{9\cdot i^2}=9i$√−9=√9·i2=9i .
Questão 3
A obra Al-jabar Wa’l muqabalah, se destaca pela simplicidade dos problemas abordadas, tornando-se mais acessível, e pela maneira clara e direta como esses problemas são tratados. É uma característica que se observa na maioria dos textos árabes. Segundo Boyer (1996 – P.156) “ os árabes em geral gostavam de uma boa e clara apresentação indo da premissa à conclusão, e também da organização sistemática”.
A obra em questão ficou famosa por sistematizar:
Sua resposta
A álgebra.
Comentário
A própria palavra álgebra deriva do nome da obra em questão Al-jabar Wa’l muqabalah. Esse livro, produzido na “Casa da Sabedoria” é considerado a primeira tentativa de se sistematizar os processos algébricos.
Questão 4
São chamados de Conjuntos Numéricos os conjuntos dos números Naturais (N), Inteiros (Z), Racionais (Q), Irracionais ($\overline{Q}$Q), Reais (R) e Complexos (C). O conjunto dos números reais contém o resultado de quase todas as operações que realizamos com esses números. Uma das operações em que isso pode não ser possível é a radiciação. A raiz quadrada de um número, por exemplo, só será real se esse número for positivo ou zero. Se o número que se deseja extrair a raiz quadrada é negativo, dizemos que esse número é complexo, pois não existe um número real que, elevado ao quadrado, fornece um resultado negativo.
Os números a seguir são todos reais, exceto:
Sua resposta
$\sqrt{-9}$√−9.
Comentário
Como 5, 81 e 1 são positivos, não há problemas para se extrair a raiz quadrada, mesmo que o resultado não seja racional, como no caso do $\sqrt{5}$√5. O valor de $\sqrt[3]{-8}=-2$3√−8=−2, pois $\left(-2\right)^3=-8$(−2)3=−8, e –2 é um número real. Portanto, o único número não real é o $\sqrt{-9}$√−9.
Questão 5
Após introduzir brevemente o princípio posicional para construção do sistema de numeração, o livro Al-jabar Wa’l muqabalah propõe, em seis de seus capítulos, resoluções para equações quadráticas, isto é, equações do segundo grau. Inicialmente, são apresentadas equações como $x^2=5x$x2=5x,$\frac{x^2}{3}=4x$x23=4x e$5x^2=10x$5x2=10x, em que as soluções positivas x = 5, x = 12 e x = 2 eram dadas. As soluções nulas não eram apresentadas, pois não eram conhecidas.
Para resolvermos equações como $x^2-5x+6=0$x2−5x+6=0e $x^2-x-6=0$x2−x−6=0,podemos utilizar a fórmula de Bhaskara. A soma das soluções dessas equações será:
Sua resposta
6.
Comentário
Utilizando a fórmula de Bhaskara para resolver a equação $x^2-5x+6=0$x2−5x+6=0, temos$x=\frac{-\left(-5\right)\pm\sqrt{\left(-5\right)^2-4\cdot1\cdot6}}{2\cdot1}$x=−(−5)±√(−5)2−4·1·62·1, o que conduz a x = 3 ou x = 2. Utilizando a fórmula de Bhaskara para resolver a equação$x^2-x-6=0$x2−x−6=0, teremos$x=\frac{-\left(-1\right)\pm\sqrt{\left(-1\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-6\right)}}{2\cdot1}$x=−(−1)±√(−1)2−4·1·(−6)2·1, o que conduz a x=3 ou x=-2 . Portanto, a soma das soluções encontradas será 3 + 2 + 3 + (–2) = 6.