História da Matemática -parte IV

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História da Matemática – parte IV
Questão 1
Muito se tem discutido sobre as potencialidades pedagógicas da História no ensino de Matemática. Dentre as justificativas para o uso da história no ensino de Matemática, está o fato de ela suscitar oportunidades para a investigação. Considerando essa justificativa, um professor propôs uma atividade a partir da informação histórica de que o famoso matemático Pierre Fermat (1601-1665), que se interessava por números primos, percebeu algumas relações entre números primos impares e quadrados perfeitos. Para que os alunos também descobrissem essa relação, pediu que eles completassem a tabela a seguir, verificando quais números primos ímpares podem ser escritos como soma de dois quadrados perfeitos. Além disso, solicitou que observassem alguma propriedade comum a esses números.
	3
	5
	7
	9
	11
	13
	17
	23
	29
	
	1+4
	
	
	
	4+9
	1+16
	
	
	Não
	Sim
	Não
	Não
	Não
	Sim
	Sim
	
	
A partir da atividade de investigação proposta pelo professor, analise as afirmativas a seguir.
I.Todo número primo da forma 4n + 1 pode ser escrito como a soma de dois quadrados perfeitos.
II. Todo número primo da forma 4n + 3 pode ser escrito como a soma de dois quadrados perfeitos.
III. Todo número primo da forma 2n + 1 pode ser escrito como a soma de dois quadrados perfeitos.
Qual(is) afirmativa(s) poderia(m) perfeitamente ser verdadeira(s) com base na investigação proposta pelo professor?
Sua resposta
I, apenas.
Comentário
A proposição III é incorreta, pois números da forma 2n + 1 são impares e, de acordo com a tabela 3, 7, 9 e 11 não são escritos como quadrados perfeitos. Para afirmar que a proposição II está incorreta, pode-se pensar nos números 7, 11 e 23, que são da forma 4n + 3 e não podem ser escritos como soma de quadrados perfeitos. Para confirmar a proposição I, deve-se checar o 29, que é da forma 4n + 1, e pode ser escrito como 4 + 25. Além dele, os números 5, 13 e 17 respeitam a relação proposta.
Questão 2
Um terreno inclinado pode trazer muitas dificuldades não só para os aventureiros das caminhadas, mas também para a construção civil e para a agricultura. Um professor, em uma aula de revisão no Ensino Médio, informa a seus alunos que o percentual de inclinação de um terreno nada mais é do que a tangente do ângulo agudo oposto ao segmento que mede a altura do ponto mais alto. Ele diz como exemplo, que se tal ângulo tem tangente 0,25, o terreno tem 25% de inclinação. O professor faz isso imaginando que há entre os alunos aqueles que praticam ou se interessam pela prática da caminhada, desejam ser engenheiros ou gostariam de trabalhar na agricultura. É uma ótima forma de tentar incentivá-los a estudar trigonometria.
Imagine que um aventureiro, andando em linha reta, chegou ao topo de uma montanha de 1000 m de altura em relação ao ponto de partida e a inclinação do terreno é 50%. Esse esportista percorreu uma certa distância durante sua caminhada, mas o que se pergunta é quanto ele teria caminhado em linha reta se tivesse seguido seu caminho pelo nível do solo até o ponto central da base da montanha?
Sua resposta
2000 m.
Comentário
Tendo em mente que a inclinação do terreno é 50% e, portanto, a tangente do ângulo será 0,50, então a razão entre o cateto oposto que mede 1000 m e o cateto adjacente x, vale 0,5. Nesse caso o valor de x será 2000 m.
Questão 3
A história da matemática nos conta sobre a preocupação dos gregos com as grandezas incomensuráveis. Pitágoras, por exemplo, tinha dificuldade de entender como um quadrado de lado 1m tinha como diagonal um número que ele não podia representar apenas aproximar. Hoje, representamos esse número por, e a incomensurabilidade dessa medida está relacionada ao fato de ele ser um número irracional. Utilizar a história da matemática nessa situação pode ilustrar a existência desses números, para que outras discussões sobre eles possam ser propostas.
Um professor de matemática pede para que seus alunos deem exemplos de outras grandezas que se comportam como a diagonal do quadrado obtida a partir da medida, racional, de seu lado. Os exemplos dados estão nas alternativas a seguir. Assinale a alternativa que o professor teve de mostrar como um contra exemplo para dizer que o aluno não tinha feito uma opção correta.
Sua resposta
A diagonal de um retângulo cujos lados medem 3 e 4 centímetros.
Comentário
A diagonal de um retângulo cujos lados medem 3 e 4 centímetros é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos medem 3 e 4. Utilizando o teorema de Pitágoras obtemos 5 centímetros com valor para essa diagonal. Como 5 não é irracional a medida dessa diagonal não seria uma grandeza incomensurável.
Questão 4
Numa aula de matemática o professor apresentava para os alunos calendários de vários povos para que os alunos pudessem estabelecer a diferença com aquele que utilizamos. Durante essa apresentação, o professor mostrou uma curiosidade. Como o nosso ano tem 365 dias, temos exatamente 52 semanas e 1 dia no ano, pois, com isso, se uma data cai numa segunda-feira, por exemplo, no ano seguinte, se não for bissexto, essa mesma data será uma terça-feira.
Suponha que uma das tribos apresentadas seguia um calendário de 360 dias divididos em semanas de 7 dias, com os dias da semana nomeados por Primo, Segundo, Terço, Quarto, Quinto, Sexto, Sétimo, nessa ordem. Se uma data, nesse calendário, caiu no dia Segundo, no ano seguinte cairá no dia:
Sua resposta
Quinto.
Comentário
Um ano com 360 dias terá 51 semanas e 3 três dias. Cada ano começa, portanto, três dias adiantado em relação ao que começou o ano anterior. Se um ano começa no Primo, por exemplo, o outro começará no Quarto, ou seja, três dias após. Como a data fornecida é um Segundo, no ano seguinte será um Quinto.
Questão 5
 (Enade-2011-Matematica-Adaptado)O fazer docente pressupõe a realização de um conjunto de operações didáticas coordenadas entre si. São o planejamento, a direção do ensino e da aprendizagem e a avaliação, cada uma delas desdobradas em tarefas ou funções didáticas, mas que convergem para a realização do ensino propriamente dito. LIBÂNEO, J. C. Didática. São Paulo: Cortez, 2004, p. 72.
Pensando no que afirma a frase anterior e o que estudamos sobre tendências em educação matemática, foram elaboradas as frases a seguir:
I. Conhecimento dos conteúdos da disciplina que leciona, bem como capacidade de abordá-los de modo contextualizado.
II. Domínio das técnicas de elaboração de provas objetivas, por se configurarem instrumentos quantitativos precisos e fidedignos.
III. Domínio de diferentes métodos e procedimentos de ensino e capacidade de escolhê-los conforme a natureza dos temas a serem tratados e as características dos estudantes.
IV. Domínio do conteúdo do livro didático adotado, que deve conter todos os conteúdos a serem trabalhados durante o ano letivo.
Considerando que, para desenvolver cada operação didática inerente ao ato de planejar, executar e avaliar, o professor precisa dominar certos conhecimentos didáticos, avalie quais das afirmações se referem a conhecimentos e domínios esperados do professor. Em seguida, assinale a alternativa que contém aquelas que são necessariamente corretas.
Sua resposta
I e III.
Comentário
A proposição II fala sobre avaliação, tema que gera muita polêmica entre os educadores e algumas tendências esbarram justamente nesse quesito. Nesse caso qualquer afirmação nesse campo deve ser cuidadosa. É muito difícil afirmar, por exemplo, que uma avaliação objetiva, é precisa e fidedigna. Sobre a proposição IV, em nenhum momento falamos sobre os livros didáticos. Os livros devem ser apenas norteadores da metodologia em sala de aula. Nenhum livro terá todo o conteúdo, mas os conteúdos presentes neles devem ser trabalhados com outros elementos trazidos pelo professor.