Lista 1_ Logaritmos

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LISTA 1 DE LOGARITMOS 
 
 
Prof. João Marcos 
 
1 
Lista 1 de logaritmos 
 
Nível 1 
 
01) Se log𝑎 5 = 3 e log2 𝑏 = 4, calcule log(𝑏−1) 3𝑎³. 
 
02) Calcule log2(2.4.6.8.10) − log2(2.3.4.5). 
 
03) Se 𝐴 = log𝑎𝑏 𝑎 + log𝑏𝑎 𝑏 e 𝐵 = log𝑚𝑛 𝑚𝑛𝑝 − log𝑚𝑛 𝑝, 
calcule log(𝐴+𝐵)(𝐴𝐵). 
 
04) Simplifique a expressão [log𝑏 𝑎
2 + (log𝑏² 𝑎). (log𝑏 𝑏
4)], 
dados 𝑎 > 0 e 𝑏 > 0. 
 
05) Se 𝑀 = 3log3 5 + 10log 2 − 49log7 2, calcule log
√3
3 𝑀. 
 
06) Calcule 
log3 5 . log5 7. log7 27
log 3 . log9 7 . log7 10
 
 
07) Determine log70 4 em função de m e n, definidos como 
log70 5 = 𝑚 e log70 7 = 𝑛. 
 
08) Determine o inverso multiplicativo de 3log5 2 − 2log5 3 +
log2√2 √2. 
 
09) Simplifique a expressão 
𝐸 = log3(5
log7 3
log5 7) 
 
10) Determine o valor de m de modo que 
log4 𝑚 + log8 𝑚 + log64 𝑚 = 3 
 
11) Dado o sistema 
{
log(𝑎𝑏) = 5
log (
𝑎
𝑏
) = 3
 
 
Calcule o valor de 9𝑎 + 103. 𝑏. 
 
12) Calcule o valor de a tal que 
ln(log2(𝑎 − 3)) = log3 1 
 
13) Determine o valor de k na equação 
125log5(𝑘+3) = 8 
 
14) Calcule o valor de n na equação 
log4(2 + log3(log2(2𝑛))) = 1 
 
15) Calcule o valor de (log 10! − log 9!)(log12 12! − log12 11!). 
 
16) Simplifique a expressão 
 
log 2 + log 3 + log 4 + ⋯ + log 10
log𝜋 2 + log𝜋 3 + log𝜋 4 + ⋯ + log𝜋 10
 
 
17) Considere as funções 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 4 e 𝑔(𝑥) = 1 + log1
2
𝑥 
em que o domínio de f é o conjunto dos números reais e o domínio 
de g é o conjunto dos números reais maiores do que 0. Seja 
ℎ(𝑥) = 3𝑓(𝑔(𝑥)) + 2𝑔(𝑓(𝑥)) em que 𝑥 > 0. Determine 
ℎ(2). 
 
Nível 2 
 
18) Calcule o valor da expressão 
1
1 + log3 20
+
2
2 + log2 15
+
1
1 + log5 12
 
 
19) Dados a e b inteiros positivos distintos entre si, calcule o valor de 
𝑎𝑛 − 𝑏𝑚 sabendo que 
log
(
𝑎
𝑏
)
(𝑎𝑏) =
𝑚 + 𝑛
𝑚 − 𝑛
 
 
20) Se log5 3 =
1
𝑛
, determine log45 243 em função de n. 
 
21) Se log5 6 = 2𝑚, log5 14 = 2𝑛 e log5 21 = 2𝑝, calcular 
log5 2 em função de m, n, p. 
 
22) Simplifique a expressão 
𝐸 = log3(36
log7 3
log6 49) 
 
23) Sabendo que log𝑚 𝑛 + log𝑛 𝑚 = 2, calcule o valor de 
 
ln (
𝑛
𝑚
) + (ln (
𝑚. 𝑒
𝑛
))² 
 
24) Calcule x+y, sabendo que são soluções do sistema 
 
{
7 log3 𝑥 + 7 log3 𝑦 = 0
log5 𝑥 − log5 𝑦 = 2
 
 
25) Determine o menor valor de x tal que 
log(𝑥log 𝑥) − log(100𝑥) = 0 
26) Se ln 𝑎 e ln 𝑏 são raízes da equação 2𝑥2 − 7𝑥 + 4 = 0, 
calcule o valor de 
ln (𝑎 + 𝑏)(ln 𝑒2 − ln 𝑎ln 𝑏) + ln(𝑎𝑏)² 
27) Determine o número de soluções da equação 
81log3 𝑥 − 4. 9log3 𝑥 + 3log2 7 = 7log2 3 + 4 
 
28) Se y é raiz da equação log2 𝑦 + log3 𝑦 = log 6, determine o 
valor de 𝑦log3 10. 
 
29) Se a e b são soluções da equação log 𝑥 +
1
log 𝑥
= 3, calcule o 
valor de 
(
log 𝑎
𝑎
)(
log 𝑏
𝑏
) 
 
30) Se as raízes da equação 𝑥2 − 5𝑥 + 2 = 0 são a e b, calcule 
 
1
log(𝑎+1)(𝑎𝑏)
+
1
log(𝑏+1)(𝑎𝑏)
 
 
 
 2 
31) Se log(1 − 𝑠𝑒𝑛4𝑥 − 𝑐𝑜𝑠4𝑥) = 𝑎, calcule log |𝑠𝑒𝑛 (2𝑥)| em 
função de a. 
 
 
32) Determine o número de raízes da equação 
2x 9 2(x 3)2 log | x x 1| 0,   
 
 
33) Seja x > 0 tal que a sequência 𝑎1 = log2 𝑥 , 𝑎2 = log4(4𝑥), 
𝑎1 = log8(8𝑥) forme, nessa ordem, uma progressão aritmética. 
Então, calcule 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3. 
 
Nível 3 
 
34) Resolva a equação 
 
log2 𝑥
(log2 𝑎)²
−
2log𝑎 𝑥
log
(
1
𝑏
)
𝑎
= log( √𝑎)3 𝑥 . log𝑎 𝑥 
35) Resolva a equação 
log𝑥 2. log( 𝑥
16
)
2 = log
(
𝑥
64
)
2 
 
36) Resolva a equação 
log2(9
𝑥−1 + 7) = 2 + log2(3
𝑥−1 + 1) 
 
37) Resolva a equação 
log(3𝑥)(
3
𝑥
) + (log3 𝑥)
2 = 1 
38) Calcular a raiz real maior que 1 da equação abaixo: 
log(2𝑥)(
2
𝑥
) . (log2 𝑥)
2 + (log2 𝑥)
4 = 1 
 
39) Resolver a equação 
log(𝑎²√𝑥) 𝑎
log2𝑥 𝑎
+ (log(𝑎𝑥) 𝑎) (log(1
𝑎
)
(2𝑥)) = 0 
 
40) Resolver a equação 
 
log(√𝑥 + 1 + 1)
log( √𝑥 − 40
3
)
= 3 
41) Resolver a equação 
(0,4)𝑙𝑜𝑔
2𝑥+1 = (6,25)2−log 𝑥² 
 
42) Use as propriedades do logaritmo para simplificar a expressão 
 
2 3 7
1 1 1
S
2 log 2016 5 log 2016 10 log 2016
  
  
 
 
GABARITO 
 
Nível 1 
1) 1 
2) 5 
3) 0 
4) 4 log𝑏 𝑎 
5) 3 
6) 6 
7) 2-2m-2n 
8) 3 
9) 1 
10) m=8 
11) 105 
12) 5 
13) -1 
14) 𝑛 = 256 
15) 1 
16) log 𝜋 
17) 8 
 
Nível 2 
18) 1 
19) 0 
20) 
5
𝑛+2
 
21) m+n-p 
22) 4 
23) 1 
24) 5,2 
25) 0,1 
26) 7 
27) 1 
28) 2 
29) 0,001 
30) 3 
31) 
𝑎+log 2
2
 
32) 5 
33) 7,5 
 
Nível 3 
34) 1 ou √2𝑏²
3
 
35) 4 ou 8 
36) 1 ou 2 
37) {1; 3;
1
9
} 
38) {2} 
38) 𝑥 = 𝑎² 
40) 𝑥 =48 
41) {10; 105} 
42) 0,1