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LISTA 1 DE LOGARITMOS Prof. João Marcos 1 Lista 1 de logaritmos Nível 1 01) Se log𝑎 5 = 3 e log2 𝑏 = 4, calcule log(𝑏−1) 3𝑎³. 02) Calcule log2(2.4.6.8.10) − log2(2.3.4.5). 03) Se 𝐴 = log𝑎𝑏 𝑎 + log𝑏𝑎 𝑏 e 𝐵 = log𝑚𝑛 𝑚𝑛𝑝 − log𝑚𝑛 𝑝, calcule log(𝐴+𝐵)(𝐴𝐵). 04) Simplifique a expressão [log𝑏 𝑎 2 + (log𝑏² 𝑎). (log𝑏 𝑏 4)], dados 𝑎 > 0 e 𝑏 > 0. 05) Se 𝑀 = 3log3 5 + 10log 2 − 49log7 2, calcule log √3 3 𝑀. 06) Calcule log3 5 . log5 7. log7 27 log 3 . log9 7 . log7 10 07) Determine log70 4 em função de m e n, definidos como log70 5 = 𝑚 e log70 7 = 𝑛. 08) Determine o inverso multiplicativo de 3log5 2 − 2log5 3 + log2√2 √2. 09) Simplifique a expressão 𝐸 = log3(5 log7 3 log5 7) 10) Determine o valor de m de modo que log4 𝑚 + log8 𝑚 + log64 𝑚 = 3 11) Dado o sistema { log(𝑎𝑏) = 5 log ( 𝑎 𝑏 ) = 3 Calcule o valor de 9𝑎 + 103. 𝑏. 12) Calcule o valor de a tal que ln(log2(𝑎 − 3)) = log3 1 13) Determine o valor de k na equação 125log5(𝑘+3) = 8 14) Calcule o valor de n na equação log4(2 + log3(log2(2𝑛))) = 1 15) Calcule o valor de (log 10! − log 9!)(log12 12! − log12 11!). 16) Simplifique a expressão log 2 + log 3 + log 4 + ⋯ + log 10 log𝜋 2 + log𝜋 3 + log𝜋 4 + ⋯ + log𝜋 10 17) Considere as funções 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 4 e 𝑔(𝑥) = 1 + log1 2 𝑥 em que o domínio de f é o conjunto dos números reais e o domínio de g é o conjunto dos números reais maiores do que 0. Seja ℎ(𝑥) = 3𝑓(𝑔(𝑥)) + 2𝑔(𝑓(𝑥)) em que 𝑥 > 0. Determine ℎ(2). Nível 2 18) Calcule o valor da expressão 1 1 + log3 20 + 2 2 + log2 15 + 1 1 + log5 12 19) Dados a e b inteiros positivos distintos entre si, calcule o valor de 𝑎𝑛 − 𝑏𝑚 sabendo que log ( 𝑎 𝑏 ) (𝑎𝑏) = 𝑚 + 𝑛 𝑚 − 𝑛 20) Se log5 3 = 1 𝑛 , determine log45 243 em função de n. 21) Se log5 6 = 2𝑚, log5 14 = 2𝑛 e log5 21 = 2𝑝, calcular log5 2 em função de m, n, p. 22) Simplifique a expressão 𝐸 = log3(36 log7 3 log6 49) 23) Sabendo que log𝑚 𝑛 + log𝑛 𝑚 = 2, calcule o valor de ln ( 𝑛 𝑚 ) + (ln ( 𝑚. 𝑒 𝑛 ))² 24) Calcule x+y, sabendo que são soluções do sistema { 7 log3 𝑥 + 7 log3 𝑦 = 0 log5 𝑥 − log5 𝑦 = 2 25) Determine o menor valor de x tal que log(𝑥log 𝑥) − log(100𝑥) = 0 26) Se ln 𝑎 e ln 𝑏 são raízes da equação 2𝑥2 − 7𝑥 + 4 = 0, calcule o valor de ln (𝑎 + 𝑏)(ln 𝑒2 − ln 𝑎ln 𝑏) + ln(𝑎𝑏)² 27) Determine o número de soluções da equação 81log3 𝑥 − 4. 9log3 𝑥 + 3log2 7 = 7log2 3 + 4 28) Se y é raiz da equação log2 𝑦 + log3 𝑦 = log 6, determine o valor de 𝑦log3 10. 29) Se a e b são soluções da equação log 𝑥 + 1 log 𝑥 = 3, calcule o valor de ( log 𝑎 𝑎 )( log 𝑏 𝑏 ) 30) Se as raízes da equação 𝑥2 − 5𝑥 + 2 = 0 são a e b, calcule 1 log(𝑎+1)(𝑎𝑏) + 1 log(𝑏+1)(𝑎𝑏) 2 31) Se log(1 − 𝑠𝑒𝑛4𝑥 − 𝑐𝑜𝑠4𝑥) = 𝑎, calcule log |𝑠𝑒𝑛 (2𝑥)| em função de a. 32) Determine o número de raízes da equação 2x 9 2(x 3)2 log | x x 1| 0, 33) Seja x > 0 tal que a sequência 𝑎1 = log2 𝑥 , 𝑎2 = log4(4𝑥), 𝑎1 = log8(8𝑥) forme, nessa ordem, uma progressão aritmética. Então, calcule 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3. Nível 3 34) Resolva a equação log2 𝑥 (log2 𝑎)² − 2log𝑎 𝑥 log ( 1 𝑏 ) 𝑎 = log( √𝑎)3 𝑥 . log𝑎 𝑥 35) Resolva a equação log𝑥 2. log( 𝑥 16 ) 2 = log ( 𝑥 64 ) 2 36) Resolva a equação log2(9 𝑥−1 + 7) = 2 + log2(3 𝑥−1 + 1) 37) Resolva a equação log(3𝑥)( 3 𝑥 ) + (log3 𝑥) 2 = 1 38) Calcular a raiz real maior que 1 da equação abaixo: log(2𝑥)( 2 𝑥 ) . (log2 𝑥) 2 + (log2 𝑥) 4 = 1 39) Resolver a equação log(𝑎²√𝑥) 𝑎 log2𝑥 𝑎 + (log(𝑎𝑥) 𝑎) (log(1 𝑎 ) (2𝑥)) = 0 40) Resolver a equação log(√𝑥 + 1 + 1) log( √𝑥 − 40 3 ) = 3 41) Resolver a equação (0,4)𝑙𝑜𝑔 2𝑥+1 = (6,25)2−log 𝑥² 42) Use as propriedades do logaritmo para simplificar a expressão 2 3 7 1 1 1 S 2 log 2016 5 log 2016 10 log 2016 GABARITO Nível 1 1) 1 2) 5 3) 0 4) 4 log𝑏 𝑎 5) 3 6) 6 7) 2-2m-2n 8) 3 9) 1 10) m=8 11) 105 12) 5 13) -1 14) 𝑛 = 256 15) 1 16) log 𝜋 17) 8 Nível 2 18) 1 19) 0 20) 5 𝑛+2 21) m+n-p 22) 4 23) 1 24) 5,2 25) 0,1 26) 7 27) 1 28) 2 29) 0,001 30) 3 31) 𝑎+log 2 2 32) 5 33) 7,5 Nível 3 34) 1 ou √2𝑏² 3 35) 4 ou 8 36) 1 ou 2 37) {1; 3; 1 9 } 38) {2} 38) 𝑥 = 𝑎² 40) 𝑥 =48 41) {10; 105} 42) 0,1