Lista 1_ Paralelepípedo e Cubo

Prévia do material em texto

GEOM. ESPACIAL-1: PARALELEPÍPEDO E CUBO 
 
 
Prof. Marcão 
 
1 
01. (ITA) As dimensões de um paralelepípedo retângulo estão em 
progressão aritmética. Sabendo-se que a área total é s e a 
diagonal é d , então suas dimensões medem: 
 
B. ( ) 
2 2 2
2d s 2d s d s s 5s; d
3 6 3 2 4
    
   
 
 
 
C. ( ) 
2 2 2
2d s 2d s d s s 5s; d
3 6 3 2 4
    
   
 
 
 
D. ( ) 
2 2 2
2d s 2d s d s s 5s; d
3 6 3 2 4
    
   
 
 
 
E. ( ) 
2 2 2
2d s 2d s d s s 5s; d
3 6 3 2 4
    
   
 
 
 
02. (ITA) As dimensões de um paralelepípedo retângulo estão em 
progressão geométrica e sua soma vale s . Sabendo-se que 
seu volume é 3v e s 3v , então duas de suas dimensões são: 
 
A. ( ) 
2 2s v (s v) v
2
   
 
 
B. ( ) s v e s v  
 
C. ( ) 2 2v (s v) 4v   
 
D. ( ) 
2 2s v (s v) 4v
2
   
 
 
E. ( ) n.d.a 
 
03. (ITA 1996) As dimensões x,y,z de um paralelepípedo 
retângulo estão em progressão aritmética. Sabendo que a 
soma dessas medidas é igual a 33 cm e que a área total do 
paralelepípedo é igual a 2694cm , então o volume deste 
paralelepípedo, em 3cm , é igual: 
 
A. ( ) 1200 
B. ( ) 936 
C. ( ) 1155 
D. ( ) 728 
E. ( ) 834 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
04. (ITA 1976) Dado um paralelepípedo retângulo de volume V, 
cujas arestas estão em progressão geométrica de razão q , 
podemos garantir que sua área total é dada por: 
 
A. ( )  
2
3
22V q q 1
q
  
 
B. ( )  
2
3
2V q q 1
q
  
 
C. ( )  
2
3
2V q q 1
q 1
 

 
 
D. ( )  
2
3
V
q 1
q
 
 
E. ( ) n.d.a 
 
05. (ITA 1975) As dimensões de um paralelepípedo retângulo são 
proporcionais aos números 
2 3t t t
e e elog , log e log e a área total é de 
2792cm . Sabendo-se que a soma das dimensões vale 12 vezes 
a razão de proporcionalidade, quais são os valores destas 
dimensões? 
 
A. ( ) 6; 12 e 18 B. ( ) 5; 10 e 15 
C. ( ) 2; 3 e 4 D. ( ) 2; 4 e 8 
E. ( ) n.r.a 
 
06. (ITA 1987) Seja (P) um paralelepípedo retângulo de dimensões 
dadas por três números consecutivos. Se a área total de (P) é 
210m , então seu volume é: 
 
A. ( ) 33 m B. ( ) 35 m 
 
C. ( ) 37 m D. ( ) 32 m 
 
E. ( ) 32 3 m 
07. (IME 1999) Uma piscina de base retangular tem, em metros, as 
seguintes dimensões: base, 5 x 6 e altura, 3. Dois terços do 
volume da piscina são ocupados por água. Na superfície 
superior da água, forma-se uma pequena bolha de ar. A bolha 
de ar está eqüidistante das paredes de 5m de base. Em relação 
às paredes de 6m de base, sua posição é tal que a distância a 
uma das paredes é o dobro da distância à outra. 
 
Estabeleça um sistema de coordenadas retangulares que tenha 
como origem um dos cantos interiores da piscina e como um dos 
planos coordenados a parede de base de 6m mais próxima da 
bolha. Em relação a este sistema, determine as coordenadas 
retangulares do ponto onde se encontra a bolha de ar. 
 
 
 
 
 
 2 
08. (Unesp 2015) Um bloco maciço com a forma de 
paralelepípedo reto-retângulo tem dimensões 8 m, 12 m e 
10 m. Em duas de suas faces, indicadas por A e B na figura, 
foram marcados retângulos, de 2 m por 3 m, centralizados 
com as faces do bloco e com lados paralelos às arestas do 
bloco. Esses retângulos foram utilizados como referência para 
perfurar totalmente o bloco, desde as faces A e B até as 
respectivas faces opostas a elas no bloco. 
 
 
 
Calcule o volume e a área total do novo sólido, que resultou 
após a perfuração do bloco. 
 
09. A diagonal de um paralelepípedo retângulo forma com as três 
arestas concorrentes num mesmo ponto ângulos α , β e γ . 
Prove que: 
 
a) 2 2 2cos cos cos 1α β γ   
b) 2 2 2sen sen sen 2α β γ   
 
10. (UNESP 1992) Uma caixa de água com a forma de um 
paralelepípedo reto de 1mx1m de base e 
3
m
2
 de altura, está 
sobre uma laje horizontal com água até a altura h . 
Suponhamos que a caixa fosse erguida lateralmente, apoiada 
sobre uma das arestas da base (que é mantida fixa), sem 
agitar a água. Assim sendo, a água começaria a transbordar 
exatamente quando o ângulo da base da caixa com a laje 
medisse 30°. Calcular a altura h . 
 
11. (FUVEST2002) Um bloco retangular (isto é, um paralelepípedo 
reto-retângulo) de base quadrada de lado 4 cm e altura 
20 3 cm , com 
2
3
de seu volume cheio de água, está inclinado 
sobre uma das arestas da base, formando um ângulo de 30° 
com o solo (ver seção lateral a seguir). Determine a altura h
do nível da água em relação ao solo. 
 
 
12. A base de um paralelepípedo oblíquo é um quadrado de lado a 
. Uma das arestas laterais é b e forma um ângulo de 60° com 
os lados adjacentes da base . Determine o volume do 
paralelepípedo 
 
13. (IME 2014) Seja ABCDA'B'C'D' um prisma reto de base 
retangular ABCD. Projeta-se o ponto médio M da maior aresta 
da base sobre a diagonal AC, obtendo-se o ponto P. Em 
seguida projeta-se o ponto P na face oposta, obtendo-se o 
ponto N. Sabe-se que 
2 2
NA NC k.  Determine o 
comprimento da menor aresta da base. 
 
14. A base de um prisma reto é um losango de perímetro 8√3 e 
com menor ângulo entre os lados igual a 300. Por um lado de 
uma base se traça um plano que forma 600 com o plano da 
base. Calcule a área da secção determinada. 
 
15. Em um prisma reto regular ABCD-EFGH, tomam-se os pontos 
M e N em 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ 𝑒 𝐷𝐻̅̅ ̅̅ tal que 
𝐵𝑀
3
=
𝐶𝐺
6
=
𝐴𝐵
4
 e a distancia 
entre as projeções ortogonais de 𝐴𝑀̅̅̅̅̅ e 𝑁𝐻̅̅̅̅̅ sobre a face 
EFGH é 32. Calcule a área da superfície lateral. 
 
16. Em um prisma reto 𝐴𝐵𝐶𝐷 − 𝐴,𝐵,𝐶 ,𝐷,, onde as bases são 
paralelogramos, 𝐶𝐶 , = 4√3 , 𝐶𝐷 = 4, 𝐵�̂�𝐷 = 60𝑜 e a 
medida do ângulo determinado por 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ e a base é 45𝑜. Calcule 
a área da superfície lateral do prisma. 
 
17. (FUVEST 2007) O cubo de vértices ABCDEFGH, indicado na 
figura, tem arestas de comprimento a. Sabendo-se que M é o 
ponto médio da aresta AE , estão a distancia do ponto M ao 
centro do quadrado ABCD é igual a 
 
A. ( ) 
a 3
5
 
 
B. ( ) 
a 3
3
 
 
C. ( ) 
a 3
2
 
 
D. ( ) a 3 
 
E. ( ) 2a 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3 
18. (FUVEST 2015) No cubo ABCDEFGH, representado na figura 
abaixo, cada aresta tem medida 1. Seja M um ponto na 
semirreta de origem A que passa por E. Denote por θ o 
ângulo BMH e por x a medida do segmento AM. 
 
 
 
a) Exprima cos θ em função de x. 
b) Para que valores de x o ângulo θ é obtuso? 
c) Mostre que, se x 4, então θ mede menos do que 45 . 
 
19. (ESC. NAVAL 2013) Qual é o menor ângulo formado por duas 
diagonais de um cubo de aresta L? 
A. ( ) 
1
arcsen
4
 B. ( ) 
1
arccos
4
 
C. ( ) 
1
arcsen
3
 D. ( ) 
1
arccos
3
 
E. ( ) 
1
arctg
4
 
 
20. (AFA 2008-modificada) No cubo da figura abaixo, considere 
P o ponto de encontro das diagonais da face ABCD e Q o 
ponto de encontro das diagonais da face EFGH e θ é a 
medida do ângulo ˆPEQ . 
 
 
 
Analise as proposições seguintes : 
(01) 2θ é um ângulo maior que 90° 
(02) θ é um ângulo do intervalo  45 ;60  
(04) tg2 2tgθ θ  
(08) 
1
sen2 tg2
3
θ θ 
 
(16) 
3
cossec tg60
2
π
θ
 
   
 
 
 
O número que representa a soma das proposições 
verdadeiras é múltiplo de: 
 
A. ( ) 2 B. ( ) 3 
C. ( ) 5 D. ( ) 7 
 
21. (FUVEST 1998) No cubo de aresta 1, considere as arestas 
AC e BD e o ponto médio, M, de AC . 
a) Determine o cosseno do ângulo ˆBAD . 
b) Determine o cosseno do ângulo ˆBMD 
c) Qual dos ângulos, ˆBAD ou ˆBMD , é maior? Justifique. 
 
 
 
22. (ITA). A medida da superfície total de um cubo é 2726 cm . De 
quanto devemos aumentar sua diagonal para que seu volume 
aumente 31413 cm . 
 
A. ( ) 2 3 cm B. ( ) 3 3 cm 
C. ( ) 4 3 cm D. ( ) 5 3 cm 
E. ( ) 6 3 cm 
 
23. (ITA 1993) São dados dois cubos I e II de áreas totais 1 2S e S e de 
diagonais1 2d e d , respectivamente. Sabendo-se que 
2
1 2S S 54m  e que 2d 3m , então o valor da razão 
1
2
d
é
d
: 
 
A. ( ) 
3
2
 B. ( ) 
5
2
 
 
C. ( ) 2 D. ( ) 
7
3
 
 
E. ( ) 3 
 
 
24. (ITA1987) Suponha que (I) é um cubo, tal que a medida de sua 
diagonal é a cm e admita que (II) é um cubo, cujo volume é o 
triplo do volume de (I). Designando por x a medida da diagonal 
de (II), concluímos que: 
 
A. ( ) x a 2 cm 
B. ( )  x a 1 2 cm  
C. ( ) 3x a 3 cm 
D. ( ) x a 3 cm 
E. ( ) 3x 3a cm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4 
25. Seja a secção AMBN do cubo de aresta a, sendo M e N pontos 
médios das arestas, conforme figura abaixo. Determine a área 
da secção. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
26. (OBM2005) Os pontos L, M e N são pontos médios de arestas 
do cubo, como mostra a figura. Quanto mede o ângulo LMN? 
 
 
 
 
A. ( ) 90o B. ( ) 105o 
C. ( ) 120o D. ( ) 135o 
E. ( ) 150o 
 
27. (IME 1964) Um cubo, de área total igual a 224m , é cortado 
por um plano de modo a se obter uma secção hexagonal 
regular. Calcular o lado do quadrado inscrito no triângulo 
eqüilátero de perímetro igual ao do hexágono obtido. 
Considerar 2 1,41 3 1,73  
 
28. (ITA 2017) Considere o cubo ABCDEFGH de aresta 2 tal que: 
ABCD é o quadrado da base inferior; EFGH, o quadrado da base 
superior e AE, BF, CG e DH são as arestas verticais. Sejam L, M e 
N os pontos médios das arestas AB, CG e GH, respectivamente. 
Determine a área do triângulo LMN. 
 
29. Em um hexaedro regular 𝐴𝐵𝐶𝐷 − 𝐴,𝐵,𝐶 ,𝐷,, a medida de 
sua aresta é 4. Tomam-se os pontos médios M e N em 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ e 
𝐴𝑀̅̅̅̅̅ , respectivamente. Calcule DN. 
 
30. Em um hexaedro regular 𝐴𝐵𝐶𝐷 − 𝑃𝑄𝑅𝑆 , G é o baricentro 
da região triangular QCS e O o centro da face PQRS. Se a 
área da região triangular PGO é 3√2 , calcule a área da 
superfície desse hexaedro. 
 
31. Em um hexaedro regular 𝐴𝐵𝐶𝐷 − 𝐸𝐹𝐺𝐻, toma-se o ponto 
K em 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ tal que 𝐵𝐾 = 3𝐾𝐶 . Se N é o Incentro do triangulo 
ABC, calcule a medida do ângulo entre 𝐻𝐺 ⃡ e 𝐸𝑁 ⃡ . 
 
 
 
 
32. (IME 2005) Considere os pontos P e Q sobre faces adjacentes 
de um cubo. Uma formiga percorre, sobre a superfície do cubo, 
a menor distância entre P e Q, cruzando a aresta BC em M e a 
aresta CD em N, conforme ilustrado na figura abaixo. È dado 
que os pontos P, Q, M e N são coplanares. 
 
a) Demonstre que MN é perpendicular a AC . 
b) Calcule a área da seção do cubo determinada pelo plano que 
contém P, Q e M em função de BC = a e BM = b. 
 
B
P
C
QN
M
DA 
 
 
L 
M 
N 
A 
B 
M 
N