Revisão - Fuvest e Segunda Fase

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Lista de Revisão – Fuvest e Segunda Fase 
Frente 2 
 
Prof. Rodolfo Pereira Borges 
1 
 
1. (Fuvest 2018) Dois atletas correm com velocidades constantes em 
uma pista retilínea, partindo simultaneamente de extremos opostos, 
A e B. Um dos corredores parte de A, chega a B e volta para A. 
O outro corredor parte de B, chega a A e volta para B. Os 
corredores cruzam-se duas vezes, a primeira vez a 800 metros de 
A e a segunda vez a 500 metros de B. O comprimento da pista, 
em metros, é 
a) 1.000. 
b) 1.300. 
c) 1.600. 
d) 1.900. 
e) 2.100. 
 
2. (Fuvest 2016) Em uma classe com 14 alunos, 8 são mulheres e 
6 são homens. A média das notas das mulheres no final do semestre 
ficou 1 ponto acima da média da classe. A soma das notas dos 
homens foi metade da soma das notas das mulheres. Então, a média 
das notas dos homens ficou mais próxima de 
a) 4,3 
b) 4,5 
c) 4,7 
d) 4,9 
e) 5,1 
 
3. (Fuvest 2016) Um veículo viaja entre dois povoados da Serra da 
Mantiqueira, percorrendo a primeira terça parte do trajeto à 
velocidade média de 60km h, a terça parte seguinte a 40km h 
e o restante do percurso a 20km h. O valor que melhor aproxima 
a velocidade média do veículo nessa viagem, em km h, é 
a) 32,5 
b) 35 
c) 37,5 
d) 40 
e) 42,5 
 
4. (Fuvest 2015) Dadas as sequências 2na n 4n 4,   
2
n
nb 2 , n n 1 nc a a  e 
n 1
n
n
b
d ,
b
 definidas para valores 
inteiros positivos de n, considere as seguintes afirmações: 
 
I. na é uma progressão geométrica; 
II. nb é uma progressão geométrica; 
III. nc é uma progressão aritmética; 
IV. nd é uma progressão geométrica. 
 
São verdadeiras apenas 
a) I, II e III. 
b) I, II e IV. 
c) I e III. 
d) II e IV. 
e) III e IV. 
 
5. (Fuvest 2015) No sistema linear 
ax y 1
y z 1 ,
x z m
 

 
  
 nas variáveis x, 
y e z, a e m são constantes reais. É correto afirmar: 
a) No caso em que a 1, o sistema tem solução se, e somente se, 
m 2. 
b) O sistema tem solução, quaisquer que sejam os valores de a e de 
m. 
c) No caso em que m 2, o sistema tem solução se, e somente se, 
a 1. 
d) O sistema só tem solução se a m 1.  
e) O sistema não tem solução, quaisquer que sejam os valores de a 
e de m. 
 
6. (Fuvest 2014) Um apostador ganhou um prêmio de 
R$ 1.000.000,00 na loteria e decidiu investir parte do valor em 
caderneta de poupança, que rende 6% ao ano, e o restante em um 
fundo de investimentos, que rende 7,5% ao ano. Apesar do 
rendimento mais baixo, a caderneta de poupança oferece algumas 
vantagens e ele precisa decidir como irá dividir o seu dinheiro entre 
as duas aplicações. Para garantir, após um ano, um rendimento total 
de pelo menos R$ 72.000,00, a parte da quantia a ser aplicada na 
poupança deve ser de, no máximo, 
a) R$ 200.000,00 
b) R$ 175.000,00 
c) R$ 150.000,00 
d) R$ 125.000,00 
e) R$ 100.000,00 
 
7. (Fuvest 2012) Considere a matriz 
a 2a 1
A
a 1 a 1
 
  
  
 em que 
a é um número real. Sabendo que A admite 
inversa 1A  cuja primeira coluna é 
2a 1
1
 
 
 
, a soma dos elementos 
da diagonal principal de 1A  é igual a 
a) 5 
b) 6 
c) 7 
d) 8 
e) 9 
 
8. (Unicamp 2018) Considere a sequência de números reais 
1 2 3 4 5(a , a , a , a , a ) tal que 1 2 3(a , a , a ) é uma progressão 
geométrica e 3 4 5(a , a , a ) é uma progressão aritmética, ambas com 
a mesma razão w. 
 
a) Determine a sequência no caso em que 3a 3 e w 2. 
b) Determine todas as sequências tais que 1a 1 e 5a 8. 
 
9. (Unicamp 2018) A tabela abaixo exibe o valor das mensalidades 
do Ensino Fundamental em três escolas particulares nos anos de 
2017 e 2018. 
 
 
 
 2 
ANO Escola A Escola B Escola C 
2017 R$ 1.000,00 R$ 1.200,00 R$ 1.500,00 
2018 R$ 1.150,00 R$ 1.320,00 R$ 1.680,00 
 
 
a) Determine qual escola teve o maior aumento percentual nas 
mensalidades de 2017 para 2018. 
b) Uma família tem três filhos matriculados na Escola B. Suponha 
que essa escola ofereça um desconto de 10% na mensalidade 
para o segundo filho e de 20% para o terceiro filho. Calcule o 
valor a ser gasto mensalmente com os três filhos em 2018. 
 
10. (Unicamp 2017) Sabendo que m é um número real, considere o 
sistema linear nas variáveis x, y e z : 
 
mx 2z 4,
x y z 3,
2x mz 4.
 

  
  
 
 
a) Seja A a matriz dos coeficientes desse sistema. Determine os 
valores de m para os quais a soma dos quadrados dos elementos 
da matriz A é igual à soma dos elementos da matriz 
2
A A A.  
b) Para m 2, encontre a solução do sistema linear para a qual o 
produto xyz é mínimo. 
 
11. (Unesp 2015) Para cada n natural, seja o número 
   n
n vezes n vezes
K 3 3 3 ... 3 2 2 2 ... 2 .          
Se n ,  para que valor se aproxima nK ? 
 
12. (Unicamp 2018) Sabendo que p e q são números reais, 
considere as matrizes 
 
1 0 1
A 1 2 p
1 p 1
 
 
  
 
 
 e 
p
B 0 .
q
 
 
  
 
 
 
 
a) Prove que para quaisquer p e q teremos TB AB 0. 
b) Determine os valores de p e q para os quais o sistema linear nas 
variáveis reais x, y e z, 
x
A y B,
z
 
 
 
 
 
 tem infinitas soluções. 
 
13. (Unesp 2018) Observe o infográfico, publicado recentemente em 
um jornal digital. 
 
 
 
a) Admitindo-se que o total de dinheiro apostado em determinado 
concurso da Mega-Sena tenha sido 15 milhões de reais, calcule 
quanto desse dinheiro, em reais, foi destinado ao esporte brasileiro 
(comitês olímpico e paraolímpico, juntos). 
b) Admita que o comprimento da barra do gráfico correspondente às 
“Despesas de custo” tenha 13,28 unidades de comprimento 
(13,28 u). Para que a proposta do infográfico esteja 
matematicamente correta, calcule a medida indicada no infográfico 
por x, em unidades u de comprimento. 
 
14. (Unicamp 2017) A figura abaixo exibe três círculos no plano, 
tangentes dois a dois, com centros em A, B e C e raios de 
comprimentos a, b e c, respectivamente. 
 
 
 
a) Determine os valores de a, b e c, sabendo que a distância entre 
A e B é de 5 cm, a distância entre A e C é de 6 cm e a 
distância entre B e C é de 9 cm. 
b) Para a 2 cm e b 3 cm, determine o valor de c b de 
modo que o triângulo de vértices em A, B e C seja retângulo. 
 
15. (Unicamp 2017) Sabendo que a e b são números reais, 
considere o polinômio cúbico 3 2p(x) x ax bx 1.    
 
a) Mostre que, se r é uma raiz de p(x), então 
1
r
 é uma raiz do 
polinômio 3 2q(x) x bx ax 1.    
 
 
 3 
b) Determine os valores de a e b para os quais a sequência 
(p( 1), p(0), p(1)) é uma progressão aritmética (PA), cuja razão 
é igual a p(2). 
 
 
 
Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: 
 [D] 
 
Sejam 1v e 2v , respectivamente, a velocidade do corredor que 
partiu de A e a velocidade do corredor que partiu de B. Logo, se 
é o comprimento da piscina, em metros, então 
1
2
v 800
.
v 800


 
 
Por outro lado, do segundo encontro, temos 
1
2
v 500
.
v 2 500



 
 
Em consequência, vem 
2
2
500 800
300 400000 1600 400000
2 500 800
1900 0
( 1900) 0
1900 m.

     
 
  
  
 
 
 
Resposta da questão 2: 
 [C] 
 
Sejam hS e mS , respectivamente, a soma das notas dos homens 
e a soma das notas das mulheres. Sabendo que m hS 2 S ,  
temos 
 
m h m h h
h
S S S S 3 S
1 1
8 14 4 14
S 28.
 
    
 
 
 
Portanto, segue que a resposta é h
S 28
4,7.
6 6
  
 
Resposta da questão 3: 
 [A] 
 
Seja 3S a distância total percorrida. Logo, tem-se que a velocidade 
média, V, no percurso total é dada por 
 
3S
V
S S S
60 40 20
3
2 3 6
120
360
11
32,7km h.

 

 


 
 
Resposta da questão 4: 
 [E] 
 
[I] Falsa. Tem-se que2n 1a (n 2) .   Logo, como a razão 
 
22
n 1
2
n
a (n 3) 1
1
a n 2(n 2)
      
  
 
 
não é constante, segue que na não é uma progressão geométrica. 
 
[II] Falsa. De fato, a razão 
 
2
2 2
2
(n 1)
n 2n 1 n 2n 1n 1
nn
b 2
2 2
b
2

       
 
não é constante. Daí, podemos concluir que nb não é uma 
progressão geométrica. 
 
[III] Verdadeira. A diferença entre quaisquer dois termos consecutivos 
da sequência nc é 
 
2 2
n 1 n
2 2
a a (n 1) 4(n 1) 4 (n 4n 4)
n 2n 1 4n 4 4 n 4n 4
2n 5.
         
        
 
 
 
Desse modo, nc é uma progressão aritmética de primeiro termo 
7 e razão igual a 2. 
 
[IV] Verdadeira. De (II), temos 2n 1nd 2 ,

 que é uma progressão 
geométrica de primeiro termo 8 e razão igual a 4. 
 
Resposta da questão 5: 
 [A] 
 
O determinante da matriz dos coeficientes é igual a 
 
a 1 0
0 1 1 a 1.
1 0 1

  
 
Logo, se a 1 o sistema possui solução única. Por outro lado, se 
a 1, devemos tomar a matriz ampliada do sistema para continuar 
a discussão. Com efeito, escalonando a matriz ampliada, vem 
 
 
 
 4 
3 1 3
2 2 3
1 1 0 1 1 1 0 1
0 1 1 1 0 1 1 1
1 0 1 m 0 1 1 m 1
L ' ( 1) L L
1 1 0 1
0 1 1 1 .
0 0 0 m 2
L '' ( 1) L ' L '
    
   
   
      
   
 
 
 
  
   
 
 
Portanto, o sistema possui solução única para a 1 e m ; 
possui infinitas soluções se a 1 e m 2; e não possui solução se 
a 1 e m 2. 
 
Resposta da questão 6: 
 [A] 
 
Seja x a parte do capital a ser investida na poupança. Logo, 
 
0,06 x (1000000 x) 0,075 72000 0,015 x 75000 72000
3000
x
0,015
x 200000,
         
 
 
 
 
ou seja, a parte do capital a ser aplicada na poupança deve ser de, 
no máximo, R$ 200.000,00. 
 
Resposta da questão 7: 
 [A] 
 
A.A-1 = I2 
 
a 2a 1 2a 1 x 1 0
a 1 a 1 1 y 0 1
a.(2a 1) (2a 1) 1
Temos o sistema 
(a 1).(2a 1) 1(a 1) 0
      
      
       
   

    
 
 
Resolvendo o sistema temos a = 2,
12 5 3 5
A e A
1 3 1 2
    
    
   
 
 
Portanto, a soma dos elementos da diagonal principal é 3 + 2 = 5. 
 
Resposta da questão 8: 
 a) Se 1 2 3(a , a , a ) é uma progressão geométrica, 3a 3 e 
w 2, então 
1 2 3 2
3 3 3 3
(a , a , a ) , , 3 , , 3 .
2 4 22
   
    
  
 
 
Ademais, se 3 4 5(a , a , a ) é uma progressão aritmética, então 
3 4 5(a , a , a ) (3, 3 2, 3 2 2) (3, 5, 7).     
 
Portanto, temos 
1 2 3 4 5
3 3
(a , a , a , a , a ) , , 3, 5, 7 .
4 2
 
  
 
 
 
b) Se 1a 1, então 
 2 2 21 2 3 4 5(a , a , a , a , a ) 1, w, w , w w, w 2w .   
 
Mas 5a 8 e, portanto, vem 
2 2
w 2w 8 (w 1) 9
w 1 3
w 4 ou w 2.
    
   
   
 
 
Em consequência, temos 
1 2 3 4 5(a , a , a , a , a ) (1, 4, 16, 12, 8)  
 
ou 
1 2 3 4 5(a , a , a , a , a ) (1, 2, 4, 6, 8). 
 
Resposta da questão 9: 
 a) Desde que os aumentos percentuais foram 
1150 1000
100% 15%,
1000

  
1320 1200
100% 10%
1200

  
 
e 
1680 1500
100% 12%,
1500

  
 
podemos concluir que a Escola A teve o maior aumento. 
 
b) O resultado é dado por 
1320 1320 0,9 1320 0,8 R$ 3.564,00.     
 
Resposta da questão 10: 
 a) Se 
m 0 2
A 1 1 1 ,
2 0 m
 
 
  
 
 
 então 
2
2
2
m 4 0 4m
A m 1 1 m 1
4m 0 m 4
 
 
   
 
 
 
e, portanto, 
 
2 2
2m 8 3 2m 8 2m 2 8m 1 10m 0
m 0.
         
 
 
 
b) Para m 2, temos: 
x y z 3 y 1
x z 2 z 2 x
     
 
    
 
 
Logo, tomando x k, com k , vem S {(k, 1, 2 k)}.   
O produto xyz k ( 1) (2 k) k (k 2)        é mínimo quando 
0 2
k 1.
2

  
Por conseguinte, a resposta é (1, 1,1). 
 
Resposta da questão 11: 
 Tem-se que 
 
 
 
 5 
n n
n n
n n
1 11 1 1 1
2 4 2 2 4 2
n
1 1
1 1
1 12 2
1 12 2
1 1
2 2
1 1
1 1
2 2
K 3 3 3 2 2 2
3 2
3 2 .
   
    
   
 
 
   
    
   
       
 
 
 
 
Se n ,  então 
n
1
0
2
 
 
 
 e, portanto, segue que 
nK 3 2 1.   
 
Resposta da questão 12: 
 a) Sendo  tB p 0 q , temos 
 
 
 
 
t
2 2
2
1 0 1 p
B AB p 0 q 1 2 p 0
1 p 1 q
p
p q pq p q 0
q
p pq pq q
(p q) .
   
   
    
   
   
 
 
    
 
 
   
 
 
 
Portanto, como 2(p q) 0  para quaisquer p, q , segue o 
resultado. 
 
b) Tem-se que 
x 1 0 1 x p
A y B 1 2 p y 0
z 1 p 1 z q
x z p
x 2y pz 0 .
x py z q
       
       
         
       
       
   
   
      
       
 
 
Logo, tomando a matriz ampliada do sistema e escalonando, vem 
 
2 2
1 0 1 p 1 0 1 p
1 2 p 0 0 2 p 1 p
1 p 1 q 0 p 0 p q
1 0 1 p
p 1 p
0 1
2 2
0 p 0 p q
1 0 1 p
p 1 p
0 1 .
2 2
p p p
0 0 p q
2 2
   
   
    
       
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
    
 
 
 
Portanto, se p 0 e q 0 ou se p 1 e 
1
q ,
2
 o sistema será 
possível e indeterminado. 
 
Resposta da questão 13: 
 a) O resultado é dado por 
15000000 0,027 R$ 405.000,00.  
 
b) É fácil ver que as barras têm o mesmo comprimento. Logo, 
sabendo que 20% corresponde a 13,28 unidades de 
comprimento, então cada barra deverá medir 
100%
13,28 66,4 u.
20%
  
 
Portanto, para que a proposta do infográfico esteja 
matematicamente correta, deve-se ter 
7,76% 3,14%
x 66,4 43,6 u.
7,76% 3,14% 3% 1,7% 1%

  
   
 
 
Resposta da questão 14: 
 a) Tem-se que 
a b 5 a b 5
a c 6 a b 3
b c 9 c 9 b
a 1cm
b 4cm .
c 5cm
    
 
     
     



 
 
 
b) Se c b, então a hipotenusa do triângulo ABC é BC. Portanto, 
pelo Teorema de Pitágoras, vem 
2 2 2
(c 3) (c 2) 5 (c 3 c 2)(c 3 c 2) 25
2c 5 25
c 10cm.
           
  
 
 
 
Resposta da questão 15: 
 a) Se r é uma raiz de p(x), então 3 2r ar br 1 0.    Daí, 
temos 
3 2
3 2
3
1 1 1 1
p b a 1
r r r r
1
(r ar br 1)
r
0.
     
        
     
   

 
 
Portanto, segue o resultado. 
 
b) Sendo p( 1) a b,   p(0) 1, p(1) a b 2   e 
p(2) 4a 2b 9,   temos 
a b 4a 2b 9 1 5a b 8
1 4a 2b 9 a b 2 3a b 8
a 0
.
b 8
        
 
         


 
 
 
 
 
 
 6 
 
 
 
 7