MATEMÁTICA - REVISÃO DO ENSINO FUNDAMENTAL

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Matemática: Revisão do Ensino Fundamental
Aula 1
1.1 Conjuntos numéricosFerramenta externa
Conjuntos numéricos
Apresentação
Ao estudarmos conjuntos estamos considerando uma “coleção” de objetos, chamados de elementos, que estão reunidos por um motivo comum. Por exemplo, podemos reunir uma caneta, uma meia e uma bola que têm em comum a característica “cor azul”, mas também podemos formar um conjunto de vogais ou estabelecer conjuntos formados por números.Estes recebem o nome de conjuntos numéricos e alguns deles são muito utilizados na resolução de problemas, por isso recebem nomes especiais: naturais, inteiros, racionais, irracionais, reais e complexos.
Nesta Unidade de Aprendizagem, abordaremos a noção de conjuntos, a sua definição, as suas representações e as principais relações entre eles.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
· Definir o que é conjunto numérico em matemática.
· Listar os tipos de representação de conjuntos e os conjuntos numéricos.
· Relacionar os conjuntos de acordo com as suas propriedades.
Desafio
Vamos ao desafio!
Uma escola precisa renovar os livros de sua biblioteca e deseja aproveitar este momento para conhecer o perfil de seus alunos e, assim, estimular o hábito de leitura.
Para tanto, foi realizada uma pesquisa envolvendo 500 alunos da 4ª a 9ª séries. O objetivo principal era identificar o que os alunos estavam lendo. Os resultados da pesquisa foram:
. 80 alunos só locam na biblioteca os livros didáticos da série que cursam;
. 50 alunos leem somente revistas em quadrinhos;
. 110 alunos locam somente livros de ficção;
. 20 alunos locam somente livros de suspense;
. 50 alunos locam somente livros de romance;
. 190 alunos locam livros de ficção e livros de suspense.
Considerando o resultado dessa pesquisa, são feitas as seguintes afirmações:
I - A média de locação de livros não didáticos é de 2 por semestre.
II - A biblioteca dispõe de um acervo de 1000 livros, sendo 500 didáticos, 300 revistas em quadrinhos, 50 livros de suspense, 50 de ficção, 50 de drama e 50 de romance.
III - Sempre há fila de espera em alguns gêneros de livros não didáticos.
A partir de todos os resultados e afirmações apresentados com a pesquisa realizada entre os alunos, você deve identificar o perfil de leitura deles e, assim, propor que gênero(s) de livro a escola deve comprar para eliminar a fila de espera e possibilitar que os alunos leiam mais.
Escreva sua resposta no campo abaixo:
​A pesquisa realizada com 500 alunos identificou o seguinte perfil:
. Conjunto de alunos que não têm o hábito de leitura de livros não didáticos: 16%;
. Conjunto de alunos que só leem revistas em quadrinhos: 10%;
. Conjunto de alunos que leem livros não didáticos: 74%.
Dentro do conjunto de alunos que leem livros não didáticos, conclui-se que:
. Os livros do gênero ficção e suspense são os mais lidos;
. Não há procura por livros do gênero drama.
Portanto, recomenda-se que a biblioteca adquira mais livros dos gêneros ficção e suspense para atender à procura do conjunto de alunos que leem pelo menos um desses dois gêneros.
Infográfico
Abaixo temos o infográfico que contempla todos os conjuntos numéricos. Perceba que é um diagrama que facilita verificar qual conjunto está contido em outro, ou seja, mostra a relação de subconjunto entre eles. Além disso, mostra um rol com alguns exemplos de números pertencentes aos respectivos conjuntos, facilitando assim o entendimento dos conjuntos.
Conteúdo do Livro
Um conjunto pode ser entendido como qualquer coleção bem definida de objetos. Neste capítulo vamos estudar Conjuntos Numéricos, são conjuntos cujos elementos são números com determinada característica comum. O ramo da matemática que estuda estes conjuntos é denominado por Teoria dos Conjuntos.
Os conjuntos numéricos, evoluíram de acordo com as necessidades matemáticas, ou seja, iniciasse apenas com o Conjunto dos Números Naturais, depois houve-se a necessidade dos números negativos, então surgiu o Conjunto dos Inteiros. Logo em seguida foram necessários os números decimais, com isso, criaram o Conjunto dos Racionais, e assim por diante obtemos os Conjuntos Numéricos que estudaremos neste capítulo.
Acompanhe o capítulo Conjuntos numéricos do livro Fundamentos de Matemática. Esta obra foi escolhida como base teórica da nossa Unidade de Aprendizagem. Boa leitura.
Dica do Professor
Agora, vamos assistir um vídeo sobre os conjuntos numéricos e as relações que podem se estabelecer entre eles.
Neste vídeo veremos a relação de pertinência e inclusão existente conjunto e elemento, ou entre conjuntos, veremos também um breve resumo e alguns exercícios sobre aplicações das operações entre conjuntos. Vamos lá?
Exercícios
Respostas enviadas em: 22/04/2022 16:43
1. 
Dados os conjuntos
preencha as lacunas com ∈,∉,⊂,⊃ as respectivas preposições abaixo:
i. A __ B
ii. B __ A
iii. 36 __ A
iv. 6 __ B
v. -3 __ C
Resposta incorreta.
A. 
∈,∉,⊂,⊃,⊂
O conjunto A é o conjunto de todos os números pares de 2 até 68. O conjunto B e solução da equação do segundo grau, ou seja, as raízes 6 e 2, e por fim o conjunto C são os números -2, -1, 0, 1,2 3, 4, 5. Desta forma, a sequência correta será: A⊃B, B⊂A, 36∈A, 6∈B, -3∉C.
Ainda vale lembrar que os símbolos de ∈ ou ∉ são utilizados apenas entre elemento e conjunto. Já os símbolos de ⊂ ou ⊃ entre conjuntos ou subconjuntos.
Você acertou!
B. 
∈,⊂,⊃,∈,∉
O conjunto A é o conjunto de todos os números pares de 2 até 68. O conjunto B e solução da equação do segundo grau, ou seja, as raízes 6 e 2, e por fim o conjunto C são os números -2, -1, 0, 1,2 3, 4, 5. Desta forma, a sequência correta será: A⊃B, B⊂A, 36∈A, 6∈B, -3∉C.
Ainda vale lembrar que os símbolos de ∈ ou ∉ são utilizados apenas entre elemento e conjunto. Já os símbolos de ⊂ ou ⊃ entre conjuntos ou subconjuntos.
Resposta incorreta.
C. 
⊂,⊃,∈,∈,∉
O conjunto A é o conjunto de todos os números pares de 2 até 68. O conjunto B e solução da equação do segundo grau, ou seja, as raízes 6 e 2, e por fim o conjunto C são os números -2, -1, 0, 1,2 3, 4, 5. Desta forma, a sequência correta será: A⊃B, B⊂A, 36∈A, 6∈B, -3∉C.
Ainda vale lembrar que os símbolos de ∈ ou ∉ são utilizados apenas entre elemento e conjunto. Já os símbolos de ⊂ ou ⊃ entre conjuntos ou subconjuntos.
Resposta incorreta.
D. 
⊂,⊃,⊂,⊂,∉
O conjunto A é o conjunto de todos os números pares de 2 até 68. O conjunto B e solução da equação do segundo grau, ou seja, as raízes 6 e 2, e por fim o conjunto C são os números -2, -1, 0, 1,2 3, 4, 5. Desta forma, a sequência correta será: A⊃B, B⊂A, 36∈A, 6∈B, -3∉C.
Ainda vale lembrar que os símbolos de ∈ ou ∉ são utilizados apenas entre elemento e conjunto. Já os símbolos de ⊂ ou ⊃ entre conjuntos ou subconjuntos.
Resposta incorreta.
E. 
∈,∈,⊂,⊂,⊃
O conjunto A é o conjunto de todos os números pares de 2 até 68. O conjunto B e solução da equação do segundo grau, ou seja, as raízes 6 e 2, e por fim o conjunto C são os números -2, -1, 0, 1,2 3, 4, 5. Desta forma, a sequência correta será: A⊃B, B⊂A, 36∈A, 6∈B, -3∉C.
Ainda vale lembrar que os símbolos de ∈ ou ∉ são utilizados apenas entre elemento e conjunto. Já os símbolos de ⊂ ou ⊃ entre conjuntos ou subconjuntos.
Exercícios
Respostas enviadas em: 22/04/2022 16:43
2. 
Marque a opção que apresenta uma representação de conjunto correta:
Resposta incorreta.
A. 
A=[ 1,2,3] .
Conjuntos são representados por letras maiúsculas, e usamos letras minúsculas para denotar elementos de conjuntos entre par de chaves.
Resposta incorreta.
B. 
b=｛ A,B,C｝ .
Conjuntos são representados por letras maiúsculas, e usamos letras minúsculas para denotar elementos de conjuntos entre par de chaves.
Resposta incorreta.
C. 
B=x.y.z.
Conjuntos são representados por letras maiúsculas, e usamos letras minúsculas para denotar elementos de conjuntos entre par de chaves.
Você acertou!
D. 
T=｛ a,b,c,d｝ .
Conjuntos são representados por letras maiúsculas, e usamos letras minúsculas para denotar elementos de conjuntos entre par de chaves.
Resposta incorreta.
E. 
B:x,y,z.
Conjuntos são representados por letras maiúsculas, e usamos letras minúsculas para denotar elementos de conjuntos entre par de chaves.
3. 
Considere o conjunto A = ｛{ 1, 2, 3 ｝ , { 4, 5 } , { 6, 7, 8 }} . A opção correta que lista os elementos de A é:
Resposta incorreta.
A. 
A tem oito elementos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
A tem três elementos, os conjuntos ｛ 1, 2, 3｝ , { 4, 5} e { 6, 7, 8 }.
Resposta incorreta.
B. 
A tem três elementos, os conjuntos ｛ 1, 2, 3｝ , { 1, 2, 3, 4, 5} e { 6, 7, 8} .
A tem três elementos, os conjuntos ｛ 1, 2, 3｝ , { 4, 5} e { 6, 7, 8 }.
Resposta incorreta.
C. 
A tem dois elementos, os conjuntos ｛ 1, 2, 3｝ , { 4, 5, 6, 7, 8} .
A tem três elementos, os conjuntos ｛ 1, 2, 3｝ , { 4, 5} e { 6, 7, 8 }.
Você acertou!
D. 
A tem três elementos, os conjuntos ｛ 1, 2, 3｝ , { 4, 5} e { 6, 7, 8} .
A tem três elementos, os conjuntos ｛ 1, 2, 3｝ , { 4, 5} e { 6, 7, 8 }.
Resposta incorreta.
E. 
A tem oito elementos, os conjuntos ｛ 1｝ , { 2} , { 3} , { 4} , { 5} , { 6} , { 7} , { 8} .
A tem três elementos, os conjuntos ｛ 1, 2, 3｝ , { 4, 5} e { 6, 7, 8 }.
4. 
Em uma pesquisa com 120 pessoas, foi descoberto que: 20 leem Newsweek e Time; 45 leem Time; 25 leem Newsweek e Fortune; 42 leem Fortune, 15 leem Time e Fortune, 8 pessoas leem os 3 e 20 pessoas não leem nenhuma das três revistas. O número de pessoas que leem apenas uma revista é?
Resposta incorreta.
A. 
28.
Para resolver essa questão é necessário montar o diagrama de Venn com três círculos e com isso colocar os termos de dentro para fora fazendo as subtrações, ou seja, colocasse primeiro as pessoas que leem os 3, depois subtrais e coloca os valor das pessoas que leem 2 jornais e por fim subtrair e coloca o valor das que leem apenas 1, desta forma, as pessoas que leem apenas 1 deles são: 28+10+18 = 56 pessoas.
Você acertou!
B. 
56.
Para resolver essa questão é necessário montar o diagrama de Venn com três círculos e com isso colocar os termos de dentro para fora fazendo as subtrações, ou seja, colocasse primeiro as pessoas que leem os 3, depois subtrais e coloca os valor das pessoas que leem 2 jornais e por fim subtrair e coloca o valor das que leem apenas 1, desta forma, as pessoas que leem apenas 1 deles são: 28+10+18 = 56 pessoas.
Resposta incorreta.
C. 
18.
Para resolver essa questão é necessário montar o diagrama de Venn com três círculos e com isso colocar os termos de dentro para fora fazendo as subtrações, ou seja, colocasse primeiro as pessoas que leem os 3, depois subtrais e coloca os valor das pessoas que leem 2 jornais e por fim subtrair e coloca o valor das que leem apenas 1, desta forma, as pessoas que leem apenas 1 deles são: 28+10+18 = 56 pessoas.
Resposta incorreta.
D. 
10.
Para resolver essa questão é necessário montar o diagrama de Venn com três círculos e com isso colocar os termos de dentro para fora fazendo as subtrações, ou seja, colocasse primeiro as pessoas que leem os 3, depois subtrais e coloca os valor das pessoas que leem 2 jornais e por fim subtrair e coloca o valor das que leem apenas 1, desta forma, as pessoas que leem apenas 1 deles são: 28+10+18 = 56 pessoas.
Resposta incorreta.
E. 
20.
Para resolver essa questão é necessário montar o diagrama de Venn com três círculos e com isso colocar os termos de dentro para fora fazendo as subtrações, ou seja, colocasse primeiro as pessoas que leem os 3, depois subtrais e coloca os valor das pessoas que leem 2 jornais e por fim subtrair e coloca o valor das que leem apenas 1, desta forma, as pessoas que leem apenas 1 deles são: 28+10+18 = 56 pessoas.
5. 
Conhecendo os conjuntos A=｛x,y,z,w,t｝, B={w,o,u,t,x} e C={o,t,z}, o conjunto {y,z} é resultado de qual operação:
Resposta incorreta.
A. 
(A∪B)∩C
Para encontrar a solução deste exercício é necessário realizar cada uma das operações apresentadas, com isso, verificasse que a alternativa correta é (A∪C)-B, pois:
(A∪C)-B
｛x,y,z,w,t,o｝-{w,o,u,t,x}
{y,z}
Resposta incorreta.
B. 
C-(A∪B)
Para encontrar a solução deste exercício é necessário realizar cada uma das operações apresentadas, com isso, verificasse que a alternativa correta é (A∪C)-B, pois:
(A∪C)-B
｛x,y,z,w,t,o｝-{w,o,u,t,x}
{y,z}
Resposta incorreta.
C. 
(A∩B)∪C
Para encontrar a solução deste exercício é necessário realizar cada uma das operações apresentadas, com isso, verificasse que a alternativa correta é (A∪C)-B, pois:
(A∪C)-B
｛x,y,z,w,t,o｝-{w,o,u,t,x}
{y,z}
Resposta incorreta.
D. 
(B-C)∪A
Para encontrar a solução deste exercício é necessário realizar cada uma das operações apresentadas, com isso, verificasse que a alternativa correta é (A∪C)-B, pois:
(A∪C)-B
｛x,y,z,w,t,o｝-{w,o,u,t,x}
{y,z}
Você acertou!
E. 
(A∪C)-B
Para encontrar a solução deste exercício é necessário realizar cada uma das operações apresentadas, com isso, verificasse que a alternativa correta é (A∪C)-B, pois:
(A∪C)-B
｛x,y,z,w,t,o｝-{w,o,u,t,x}
{y,z}
Na prática
Muitas vezes associamos o estudo de conjuntos numéricos a problemas algébricos envolvendo a resolução de equações ou o domínio de funções. Mas essa ideia pode estar presente em problemas aplicados, auxiliando na interpretação de dados e na tomada de decisões. Veja no exemplo a seguir como reunir os clientes de um estabelecimento comercial em conjuntos. Ou seja, agrupá-los, observando as características em comum, pode facilitar a tomada de decisão do proprietário do estabelecimento.
1.2 Regra de Três: simples e compostaFerramenta externa
Regra de Três: simples e composta
Apresentação
Nesta Unidade de Aprendizagem, vamos definir as regras de três simples e composta, apresentando também exemplos e aplicações. 
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
· Explicar as regras de três simples e composta.
· Classificar em diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais duas grandezas envolvidas em um problema.
· Resolver problemas envolvendo regras de três simples e composta.
Desafio 
Um software desenvolvido para controlar a velocidade média dos carros em uma rodovia tem uma programação para fotografar carros que ultrapassem 120km/h. Um carro a uma velocidade média de 80km/h demorou 03 horas para percorrer um trecho entre pedágios. Outro carro demorou 01 hora e 30 minutos para percorrer o mesmo percurso. Qual é a velocidade média desse carro? Ele seria fotografado? 
Escreva sua resposta no campo abaixo: ​
1º carro: com velocidade de 80 km/h, em 3 horas, percorreu 240 km 2º carro: levou 1h30min (1,5h) para percorrer 240 km: V = S/t = 240/1,5 V = 160 km/h Logo, com a velocidade de 160 km/h, ele foi fotografado.
Infográfico
O Infográfico a seguir apresenta as diferenças entre a regra de três simples e a composta.​​​​​​​​​​​​​​
Conteúdo do Livro
Utiliza-se a regra de três para resolver problemas nos quais há uma grandeza que é direta ou inversamente proporcional a uma ou mais grandezas.
Leia o capítulo Regra de três: simples e composta, da obra Fundamentos de Matemática, e aprofunde seus conhecimentos sobre o assunto.
Boa leitura!
Dica do Professor
Esta videoaula trata da regra de três, por meio de exemplos práticos.
Exercícios
Respostas enviadas em: 23/04/2022 10:07
1. 
José está feliz porque recebeu um aumento em seu salário. A partir do próximo mês, receberá R$2.000,00. Antes, o valor que recebia era de R$1.600,00. Qual é o percentual de aumento no salário de José?
Resposta incorreta.
A. 
125%
O novo salário de José representa 125% sobre o valor antigo, mas o percentual de aumento é 125% - 100% = 25%.
Você acertou!
B. 
25%
Acompanhe a solução a seguir.
​​​​​​​
Resposta incorreta.
C. 
80%
O novo salário de José representa 125% sobre o valor antigo. Você inverteu a relação, isto é, considerou 1.600/2.000. E o percentual de aumento desejado é 125% - 100% = 25%.
Resposta incorreta.
D. 
20%
O novo salário de José representa 125% sobre o valor antigo. E o percentual de aumento desejado é 125% - 100% = 25%.
Resposta incorreta.
E. 
200%
O novo salário de José representa 125% sobre o valor antigo, e não o dobro. E o percentual de aumento desejado é125% - 100% = 25%.
2. 
Um sistema bancário analisa o grau de endividamento dos clientes para liberar empréstimos. O cliente não deve ter dívidas que superem 30% de sua renda mensal. Determinado cliente tem um financiamento de R$967,58, que representa 13,78% de sua renda mensal. Qual seria o valor máximo da parcela mensal de seu financiamento?
Resposta incorreta.
A. 
R$29.027,40
Este é o valor da multiplicação de R$967,58 por 30.
Resposta incorreta.
B. 
R$7.021,63
Este é o valor da renda mensal do cliente.
Você acertou!
C. 
R$2.106,49
Acompanhe a solução a seguir.
​​​​​​​
Resposta incorreta.
D. 
R$444,44
A regra de três é diretamente proporcional, e não inversamente proporcional.
Resposta incorreta.
E. 
R$1.935,16
Você apenas calculou o dobro do valor de R$967,58.
3. 
Considere que um cliente tem um financiamento de R$850,00, que representa 20% de sua renda mensal. Determine o valor da sua renda mensal.
Resposta incorreta.
A. 
R$85.000,00
Este é o valor da multiplicação de 850 por 100.
Resposta incorreta.
B. 
R$170,00
As grandezas são diretamente proporcionais.
Resposta incorreta.
C. 
R$425.000,00
Você multiplicou R$85.000,00 por 20, mas deveria ter feito a divisão.
Você acertou!
D. 
R$4.250,00
Acompanhe a solução a seguir.
​​​​​​​
Resposta incorreta.
E. 
R$3.400,00
Você apenas calculou R$850,00 multiplicado por 4, mas 20% é 1/5 de 100%.
4. 
Foi desenvolvido um software que controla o carregamento de grãos. Em 10 horas, o software controla o carregamento de 6.525m³. Em sete horas, qual será o carregamento?
Resposta incorreta.
A. 
45.675m³
Este é o valor da multiplicação de 7 por 6.525. Para encontrar a solução correta  ainda é necessário realizar a divisão por 10.
Você acertou!
B. 
4.567,50 m³
Acompanhe a solução a seguir.
​​​​​​​
Resposta incorreta.
C. 
9.321,43m³
As grandezas são diretamente proporcionais.
Resposta incorreta.
D. 
3.262,50m³
Você apenas dividiu o valor atual por 2.
Resposta incorreta.
E. 
65.250m³
As grandezas são diretamente proporcionais.
5. 
Uma fábrica de processadores possui 12 máquinas automatizadas que produzem aproximadamente 15.850 peças em 4 horas de trabalho. Quantas peças seriam produzidas por 18 máquinas em 6 horas?
Resposta incorreta.
A. 
1.711.800
Este é o valor da multiplicação de 15.850 por 18 e depois por 6.
Você acertou!
B. 
35.662,50
Acompanhe a solução a seguir.
Para determinar se as grandezas são direta ou inversamente proporcionais, devemos analisar as grandezas duas a duas, sempre em relação à grandeza que tem o dado faltante. Note que:
• Quantidade de máquinas e produção são grandezas diretamente proporcionais, pois o aumento do número de máquinas aumenta a produção para um mesmo período de trabalho.
• Quantidade de peças e tempo de trabalho são grandezas diretamente proporcionais, pois o aumento de horas de trabalho aumenta a produção de peças para uma mesma quantidade de máquinas.
Agora, aplicando o mesmo raciocínio da regra de três simples, montamos a proporção:
A produção de 18 máquinas em 6 horas será de 35.662,50 peças.
Resposta incorreta.
C. 
15.850
As grandezas são diretamente proporcionais. Segue a solução correta.
Agora, aplicando o mesmo raciocínio da regra de três simples, montamos a proporção:
​​​​​​​
A produção de 18 máquinas em 6 horas será de 35.662,50 peças.
Resposta incorreta.
D. 
7.044,40
Exemplo de regra de três composta. São três grandezas a serem trabalhadas. Segue a solução correta.
Agora, aplicando o mesmo raciocínio da regra de três simples, montamos a proporção:
​​​​​​​A produção de 18 máquinas em 6 horas será de 35.662,50 peças.
Resposta incorreta.
E. 
23.775
Exemplo de regra de três composta. São três grandezas a serem trabalhadas. Segue a solução correta.
Agora, aplicando o mesmo raciocínio da regra de três simples, montamos a proporção:
​​​​​​​A produção de 18 máquinas em 6 horas será de 35.662,50 peças.
Na prática
O sistema de cobrança de energia elétrica analisa, dentre outros fatores, a média mensal de quilowatts do consumidor para compor o valor final que será cobrado. Veja a seguir uma análise de determinada residência.
Aula 2
2.1 Função do primeiro grauFerramenta externa
Função do primeiro grau
Apresentação
Situações aplicadas podem ser modeladas matematicamente a partir de funções. Por exemplo, o salário de um trabalhador pode ser uma função do número de horas trabalhadas, o valor pago pela energia elétrica é uma função do consumo, entre outras situações.
Na matemática, uma função de R em R é chamada função do primeiro grau se tiver a forma f(x)=ax+b, onde x é a variável independente, y=f(x) é a variável dependente e os coeficientes a e b são números reais.
Nesta Unidade de Aprendizagem, abordaremos as funções do primeiro grau por meio de sua definição, seus coeficientes e seu gráfico, mostrando como esse tipo de função pode aparecer em problemas aplicados.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
· Definir uma função do primeiro grau.
· Identificar os coeficientes angular e linear da função do primeiro grau.
· Desenhar o gráfico da função do primeiro grau.
Desafio
Hoje em dia, a preocupação com a saúde física é crescente já que a obesidade é um mal da sociedade moderna. Utilizando kcal (quilocaloria) como unidade de medida para a perda de energia após a prática de exercícios físicos, considere que a equação para encontrar o gasto por hora de energia (em kcal) para homens entre 18 e 25 anos é dada pela função h(p) = 4,5p, onde p indica o peso em kg e, para mulheres nessa mesma faixa de idade, pela função m(p) = 3,2p.
Imagine que você seja o personal trainner do casal Ricardo e Ana e, ao aplicar a equação para homens, calculou o gasto de energia do Ricardo após a prática de musculação, obtendo 573,75 kcal. Sabendo-se que Ricardo pesa 85 kg e Ana pesa 72 kg e que ambos têm idade entre 18 e 25 anos, encontre:
a. O tempo que Ricardo praticou musculação para perder 573,75 kcal;
b. O gasto por hora de energia (kcal) para Ana, com base na função conhecida;
c. Considerando que o casal praticou o mesmo tempo de musculação, calcule a perda total de energia em kcal de Ana.
Escreva sua resposta no campo abaixo:
​a. O tempo que Ricardo praticou musculação para perder 573,75 kcal será calculado por:
Se o gasto por hora de energia para homem é medido por h(p) = 4,5p e o peso (p) de Ricardo é 85 kg, logo:
h(85) = 4,5 . 85 = 382,50 kcal por hora.
Se Ricardo perdeu 573,75 kcal após a prática de musculação, então ele fez:
573,75 dividido por 382,50 kcal por hora = 1,5 h.
b. O gasto por hora de energia (kcal) para Ana que pesa 72 kg, com base na função conhecida, será dada por:
m(p) = 3,2p
m(72) = 3,2 . 72 = 230,40 kcal por hora.
c. Se Ana consegue perder 230,40 kcal por hora e ela praticou também 1,5 hora de musculação, então:
230,40 kcal/h x 1,5h = 345,60 kcal.
Infográfico
Funções podem ser representadas por meio de tabelas, gráficos ou algebricamente. Saber interpretar corretamente um gráfico pode auxiliar na resolução de problemas envolvendo funções. O Infográfico a seguir apresenta os gráficos de uma função do primeiro grau crescente e outra decrescente, destacando também os coeficientes linear e angular da função do primeiro grau.
Conteúdo do Livro
Acompanhe trechos extraídos do livro "Matemática Aplicada: Administração, Economia e Ciências Sociais e Biológicas", de Harshbarger e Reynolds. Esta obra foi escolhida como base teórica da nossa Unidade de Aprendizagem.
Atente-se ao seguinte trecho:
"(...) A coordenada x de tal ponto denomina-se zero da função. Desse modo, vemos que as interseções da função com o eixo x coincidem com os seus zeros". (p. 89)
Boa leitura.
Dica do Professor
A função do primeiro grau é um caso particular de função polinomial e pode ser expressa como y = ax + b, onde (a) é denominado de coeficiente angular e (b) é chamado de coeficiente linear da reta. Acompanhe, nesta Dica do Professor, a definição da função do primeiro grau, a descrição de seus coeficientes angular e linear, o cálculo de sua raiz ea sua representação gráfica.
Exercícios
Respostas enviadas em: 25/04/2022 21:20
1. 
Na função de primeiro grau há dois coeficientes: o linear, que representa a interseção da reta com o eixo y e o angular, que representa a inclinação da reta. Com base no exposto, determine os coeficientes angular e linear da reta representada pela função f(x) = 3x + 5.
Você acertou!
A. 
Coeficiente angular a = 3, coeficiente linear b = 5.
A função do primeiro grau tem como forma y = ax + b, sendo a o coeficiente angular; e b o coeficiente linear (quando x = 0).
Na função f(x) = 3x + 5, o coeficiente angular é a = 3 e o coeficiente linear b = 5.
Resposta incorreta.
B. 
Coeficiente angular a = -3, coeficiente linear b = 5.
A função do primeiro grau tem como forma y = ax + b, sendo a o coeficiente angular; e b o coeficiente linear (quando x = 0).
Na função f(x) = 3x + 5, o coeficiente angular é a = 3 e o coeficiente linear b = 5.
Resposta incorreta.
C. 
Coeficiente angular a = 5, coeficiente linear b = 3.
A função do primeiro grau tem como forma y = ax + b, sendo a o coeficiente angular; e b o coeficiente linear (quando x = 0).Na função f(x) = 3x + 5, o coeficiente angular é a = 3 e o coeficiente linear b = 5.
Resposta incorreta.
D. 
Coeficiente angular a = 3/5, coeficiente linear b = 5.
A função do primeiro grau tem como forma y = ax + b, sendo a o coeficiente angular; e b o coeficiente linear (quando x = 0).
Na função f(x) = 3x + 5, o coeficiente angular é a = 3 e o coeficiente linear b = 5.
Resposta incorreta.
E. 
Coeficiente angular a = -5/3, coeficiente linear b = 5.
A função do primeiro grau tem como forma y = ax + b, sendo a o coeficiente angular; e b o coeficiente linear (quando x = 0).
Na função f(x) = 3x + 5, o coeficiente angular é a = 3 e o coeficiente linear b = 5.
2. 
Sabemos da geometria euclidiana que dois pontos determinam uma única reta, de modo que, dados dois pontos, é possível determinar a equação da reta que passa por ambos. Assim, determine a função do primeiro grau cujo gráfico passa pelos pontos A(0; -1) e B(1; 2).
Resposta incorreta.
A. 
y = x + 1.
A função do primeiro grau tem como forma y = ax + b, sendo a o coeficiente angular; e b o coeficiente linear (quando x = 0).
Considerando o gráfico com os pontos A(0; -1) e B(1; 2), sabe-se que:
a. quando x = 0, então y = -1 (coeficiente linear b = -1);
b. quando x = 1, então y = 2. Se y = ax + b, então: 2 = a(1) - 1;
c. isolando a na equação: 2 = a(1) - 1, tem-se: a = 2 + 1 = 3;
d. a função esperada é y = 3x - 1.
Resposta incorreta.
B. 
y = x - 1.
A função do primeiro grau tem como forma y = ax + b, sendo a o coeficiente angular; e b o coeficiente linear (quando x = 0).
Considerando o gráfico com os pontos A(0; -1) e B(1; 2), sabe-se que:
a. quando x = 0, então y = -1 (coeficiente linear b = -1);
b. quando x = 1, então y = 2. Se y = ax + b, então: 2 = a(1) - 1;
c. isolando a na equação: 2 = a(1) - 1, tem-se: a = 2 + 1 = 3;
d. a função esperada é y = 3x - 1.
Resposta incorreta.
C. 
y = 3x + 2.
A função do primeiro grau tem como forma y = ax + b, sendo a o coeficiente angular; e b o coeficiente linear (quando x = 0).
Considerando o gráfico com os pontos A(0; -1) e B(1; 2), sabe-se que:
a. quando x = 0, então y = -1 (coeficiente linear b = -1);
b. quando x = 1, então y = 2. Se y = ax + b, então: 2 = a(1) - 1;
c. isolando a na equação: 2 = a(1) - 1, tem-se: a = 2 + 1 = 3;
d. a função esperada é y = 3x - 1.
Você acertou!
D. 
y = 3x - 1.
A função do primeiro grau tem como forma y = ax + b, sendo a o coeficiente angular; e b o coeficiente linear (quando x = 0).
Considerando o gráfico com os pontos A(0; -1) e B(1; 2), sabe-se que:
a. quando x = 0, então y = -1 (coeficiente linear b = -1);
b. quando x = 1, então y = 2. Se y = ax + b, então: 2 = a(1) - 1;
c. isolando a na equação: 2 = a(1) - 1, tem-se: a = 2 + 1 = 3;
d. a função esperada é y = 3x - 1.
Resposta incorreta.
E. 
y = 3x + 1.
A função do primeiro grau tem como forma y = ax + b, sendo a o coeficiente angular; e b o coeficiente linear (quando x = 0).
Considerando o gráfico com os pontos A(0; -1) e B(1; 2), sabe-se que:
a. quando x = 0, então y = -1 (coeficiente linear b = -1);
b. quando x = 1, então y = 2. Se y = ax + b, então: 2 = a(1) - 1;
c. isolando a na equação: 2 = a(1) - 1, tem-se: a = 2 + 1 = 3;
d. a função esperada é y = 3x - 1.
3. 
Sabemos que conhecidos os valores dos coeficientes a e b, é possível encontrar a expressão analítica que descreve a função do primeiro grau. Assim, a função da reta com coeficiente angular 1/2 e interseção com o eixo y igual a –3, é:
Resposta incorreta.
A. 
y = -3x + 1/2.
Substituindo m = 1/2 e b = –3 na função do primeiro grau,y = mx + b, obtém-se:
y = 1/2(x) + (–3) ou
y = 1/2(x) – 3.
Resposta incorreta.
B. 
y = -3x - 1/2.
Substituindo m = 1/2 e b = –3 na função do primeiro grau,y = mx + b, obtém-se:
y = 1/2(x) + (–3) ou
y = 1/2(x) – 3.
Você acertou!
C. 
y = 1/2(x) – 3.
Substituindo m = 1/2 e b = –3 na função do primeiro grau,y = mx + b, obtém-se:
y = 1/2(x) + (–3) ou
y = 1/2(x) – 3.
Resposta incorreta.
D. 
y = 1/2(x) + 3.
Substituindo m = 1/2 e b = –3 na função do primeiro grau,y = mx + b, obtém-se:
y = 1/2(x) + (–3) ou
y = 1/2(x) – 3.
Resposta incorreta.
E. 
y = 1/2(x).
Substituindo m = 1/2 e b = –3 na função do primeiro grau,y = mx + b, obtém-se:
y = 1/2(x) + (–3) ou
y = 1/2(x) – 3.
4. 
Ao trabalharmos com a função do primeiro grau é muito importante saber reconhecer os coeficientes linear e angular, a partir da análise de sua expressão analítica. Dessa forma, o coeficiente angular e a interseção com o eixo y da reta cuja equação é x + 2y = 8 são, respectivamente:
Resposta incorreta.
A. 
1/2 e 4.
Para colocar a equação na forma coeficiente angular-interseção com o eixo y, devemos isolar:
x + 2y = 8
2y = –x + 8 ou
y = − 1/2(x) + 4
Assim, o coeficiente angular é −1/2 e a interseção com o eixo y (quando x = 0) é 4.
Você acertou!
B. 
−1/2 e 4.
Para colocar a equação na forma coeficiente angular-interseção com o eixo y, devemos isolar:
x + 2y = 8
2y = –x + 8 ou
y = − 1/2(x) + 4
Assim, o coeficiente angular é −1/2 e a interseção com o eixo y (quando x = 0) é 4.
Resposta incorreta.
C. 
−1/2 e -4.
Para colocar a equação na forma coeficiente angular-interseção com o eixo y, devemos isolar:
x + 2y = 8
2y = –x + 8 ou
y = − 1/2(x) + 4
Assim, o coeficiente angular é −1/2 e a interseção com o eixo y (quando x = 0) é 4.
Resposta incorreta.
D. 
4 e −1/2.
Para colocar a equação na forma coeficiente angular-interseção com o eixo y, devemos isolar:
x + 2y = 8
2y = –x + 8 ou
y = − 1/2(x) + 4
Assim, o coeficiente angular é −1/2 e a interseção com o eixo y (quando x = 0) é 4.
Resposta incorreta.
E. 
-4 e 1/2 .
Para colocar a equação na forma coeficiente angular-interseção com o eixo y, devemos isolar:
x + 2y = 8
2y = –x + 8 ou
y = − 1/2(x) + 4
Assim, o coeficiente angular é −1/2 e a interseção com o eixo y (quando x = 0) é 4.
5. 
Um edifício valendo R$ 360.000 é depreciado pelo seu proprietário. O valor y do edifício depois de x meses de uso é y = 360.000 – 1.500x. Quanto tempo (em meses) leva para que o edifício seja totalmente depreciado, ou seja, seu valor seja zero?
Resposta incorreta.
A. 
1500 meses.
Como a função que encontra o valor y do edifício depois de x meses de uso é y = 360.000 – 1.500x, e o valor desejado após a total depreciação do bem representa encontrar o valor de x que faz com que y seja igual a zero, assim:
se y = 0, logo
360.000 - 1500x = 0
-1500x = -360.000
x = -360.000/-1500
x = 240 meses (240; 0)
Resposta incorreta.
B. 
360.000 meses.
Como a função que encontra o valor y do edifício depois de x meses de uso é y = 360.000 – 1.500x, e o valor desejado após a total depreciação do bem representa encontrar o valor de x que faz com que y seja igual a zero, assim:
se y = 0, logo
360.000 - 1500x = 0
-1500x = -360.000
x = -360.000/-1500
x = 240 meses (240; 0)
Você acertou!
C. 
240 meses.
Como a função que encontra o valor y do edifício depois de x meses de uso é y = 360.000 – 1.500x,e o valor desejado após a total depreciação do bem representa encontrar o valor de x que faz com que y seja igual a zero, assim:
se y = 0, logo
360.000 - 1500x = 0
-1500x = -360.000
x = -360.000/-1500
x = 240 meses (240; 0)
Resposta incorreta.
D. 
0,004 meses.
Como a função que encontra o valor y do edifício depois de x meses de uso é y = 360.000 – 1.500x, e o valor desejado após a total depreciação do bem representa encontrar o valor de x que faz com que y seja igual a zero, assim:
se y = 0, logo
360.000 - 1500x = 0
-1500x = -360.000
x = -360.000/-1500
x = 240 meses (240; 0)
Resposta incorreta.
E. 
361.500 meses.
Como a função que encontra o valor y do edifício depois de x meses de uso é y = 360.000 – 1.500x, e o valor desejado após a total depreciação do bem representa encontrar o valor de x que faz com que y seja igual a zero, assim:
se y = 0, logo
360.000 - 1500x = 0
-1500x = -360.000
x = -360.000/-1500
x = 240 meses (240; 0)
Na prática
Alguns problemas aplicados podem ser modelados por meio de uma função do primeiro grau. Neste tipo de função y = ax + b, o coeficiente angular (a) indica a taxa de variação e o coeficiente linear (b) informa o valor de y quando x for igual a zero. A situação a seguir ilustra como a função do primeiro grau pode ser utilizada para interpretar um problema prático.
2.2 Função do segundo grauFerramenta externa
Função do segundo grau
Apresentação
As funções constituem uma ferramenta poderosa na resolução de problemas aplicados, pois muitas situações podem ser modeladas por meio delas, ou seja, conhecendo-se a expressão analítica de uma função, é possível prever resultados para a situação que está sendo estudada. A função do segundo grau, ou função quadrática, pode ser representada graficamente por meio de uma parábola e tem a forma f(x) = ax² + bx + c, onde o coeficiente a deve ser diferente de zero.
Nesta Unidade de Aprendizagem, vamos definir a função do segundo grau, encontrar o seu domínio, a sua imagem, as suas raízes (quando existirem no conjunto dos números reais), construir o seu gráfico e resolver os problemas aplicados.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
· Definir uma função do segundo grau.
· Resolver equações quadráticas pelo método de fatoração e pela fórmula quadrática.
· Desenhar o gráfico da função do segundo grau.
Desafio
Juca está organizando a tão sonhada viagem de fim de ano com toda a sua família. Ele pesquisou em várias agências de viagem que oferecem pacotes turísticos coletivos. Juca estima que serão 30 pessoas e, se todos forem, a agência "Viaje Mais" informou que cada cliente pagará R$ 3000,00 para aéreo e hotel all incluse ao destino desejado. Mas, o valor ofertado é especial por ser para 30 clientes. Caso haja desistência, cada pessoa que irá deve pagar mais R$ 100,00 por cada desistente do pacote de viagem.
Defina a fórmula que apresenta o valor total (R) que a agência Viaje Mais ganhará na venda do pacote turístico para Juca e sua família.
Escreva sua resposta no campo abaixo:
​Considerando a receita da agência Viaje Mais como R(x), e x a quantidade de pessoas da família de Juca que viajarão, tem-se que R(x) é a função de segundo grau:
R(x) = x(3000 + 100(30 - x))
R(x) = x(3000 + 3000 - 100x)
R(x) = x(6000 - 100x)
R(x) = 6000x - 100x²
Observação:
(30 - x) é a quantidade real de viajantes se houver desistentes, já que há pagamento extra caso as 30 pessoas da família de Juca não fechem o pacote.
Infográfico
Conheça, a partir de exemplos do nosso dia a dia, como encontramos a parábola da função do segundo grau e seu respectivo vértice, ou seja, a altura máxima ou mínima.​​​​​​​
Conteúdo do Livro
A função quadrática, ou a função de 2º grau, em uma variável, é uma função que pode ser escrita na forma geral f(x)=ax²+ bx + c, sendo que a precisa ser diferente de zero.
Esta função possui algumas especificidades que a caracterizam e facilitam a sua resolução e entendimento. É sobre isto que você vai estudar neste capítulo Função do Segundo Grau da obra Fundamentos da Matemática.
Boa leitura.​​​​​​​
Dica do Professor
O vídeo a seguir trata dos principais assuntos da unidade. Veja!
Exercícios
Respostas enviadas em: 26/04/2022 17:47
1. 
O método por fatoração para resolver uma equação quadrática baseia-se na propriedade do produto ________________. Consequentemente, a fim de resolvermos a equação quadrática por fatoração, um dos lados da equação deve ser igual a ________________. A opção que, respectivamente, preenche corretamente as lacunas acima é:
Resposta incorreta.
A. 
dois, zero.
A solução por fatoração baseia-se na propriedade de números reais a e b, ab = 0 se e somente se a = 0 ou b = 0 ou ambos.Consequentemente, para resolver por fatoração, devemos inicialmente escrever a equação com zero em um dos lados.
Você acertou!
B. 
zero, zero.
A solução por fatoração baseia-se na propriedade de números reais a e b, ab = 0 se e somente se a = 0 ou b = 0 ou ambos.Consequentemente, para resolver por fatoração, devemos inicialmente escrever a equação com zero em um dos lados.
Resposta incorreta.
C. 
par, par.
A solução por fatoração baseia-se na propriedade de números reais a e b, ab = 0 se e somente se a = 0 ou b = 0 ou ambos.Consequentemente, para resolver por fatoração, devemos inicialmente escrever a equação com zero em um dos lados.
Resposta incorreta.
D. 
ímpar, ímpar.
A solução por fatoração baseia-se na propriedade de números reais a e b, ab = 0 se e somente se a = 0 ou b = 0 ou ambos.Consequentemente, para resolver por fatoração, devemos inicialmente escrever a equação com zero em um dos lados.
Resposta incorreta.
E. 
par, ímpar.
A solução por fatoração baseia-se na propriedade de números reais a e b, ab = 0 se e somente se a = 0 ou b = 0 ou ambos.Consequentemente, para resolver por fatoração, devemos inicialmente escrever a equação com zero em um dos lados.
2. 
Resolva a seguinte equação por fatoração: x² – 19x = 20.
Resposta incorreta.
A. 
x = 1, x = 20.
Para fatorar a equação x² – 19x = 20, devemos igualá-la a zero. Logo: x² −19x −20 = 0
Fatoração: (x − 20)(x + 1) = 0
Igualando cada termo a zero:
a) x − 20 = 0 x = 20
b) x + 1 = 0 x = -1
Solução: x = -1 e x = 20
Resposta incorreta.
B. 
x = 1/2; x = -20.
Para fatorar a equação x² – 19x = 20, devemos igualá-la a zero. Logo: x² −19x −20 = 0
Fatoração: (x − 20)(x + 1) = 0
Igualando cada termo a zero:
a) x − 20 = 0 x = 20
b) x + 1 = 0 x = -1
Solução: x = -1 e x = 20
Você acertou!
C. 
x = -1; x = 20.
Para fatorar a equação x² – 19x = 20, devemos igualá-la a zero. Logo: x² −19x −20 = 0
Fatoração: (x − 20)(x + 1) = 0
Igualando cada termo a zero:
a) x − 20 = 0 x = 20
b) x + 1 = 0 x = -1
Solução: x = -1 e x = 20
Resposta incorreta.
D. 
x = -1/2; x = -20.
Para fatorar a equação x² – 19x = 20, devemos igualá-la a zero. Logo: x² −19x −20 = 0
Fatoração: (x − 20)(x + 1) = 0
Igualando cada termo a zero:
a) x − 20 = 0 x = 20
b) x + 1 = 0 x = -1
Solução: x = -1 e x = 20
Resposta incorreta.
E. 
x = 20.
Para fatorar a equação x² – 19x = 20, devemos igualá-la a zero. Logo: x² −19x −20 = 0
Fatoração: (x − 20)(x + 1) = 0
Igualando cada termo a zero:
a) x − 20 = 0 x = 20
b) x + 1 = 0 x = -1
Solução: x = -1 e x = 20
3. 
Encontre a função do segundo grau para que a soma entre dois números positivos seja 30 e o produto entre eles seja 230.
Você acertou!
A. 
x² – 30x + 230 = 0
Sejam x e y os números desejados, então:
1ª equação: x + y = 30
2ª equação: x . y = 230
Da primeira equação temos que y = 30 – x, que substituindo na segunda:
x(30 – x) = 230
30x – x² – 230 = 0
x² – 30x + 230 = 0
Resposta incorreta.
B. 
x² – 230x + 30 = 0
Sejam x e y os números desejados, então:
1ª equação: x + y = 30
2ª equação: x . y = 230
Da primeira equação temos que y = 30 – x, que substituindo na segunda:
x(30 – x) = 230
30x – x² – 230 = 0
x² – 30x + 230 = 0
Resposta incorreta.
C. 
x² – 30x = 0
Sejam x e y os números desejados, então:
1ª equação: x + y = 30
2ª equação: x . y = 230
Da primeira equaçãotemos que y = 30 – x, que substituindo na segunda:
x(30 – x) = 230
30x – x² – 230 = 0
x² – 30x + 230 = 0
Resposta incorreta.
D. 
x² + 230 = 0
Sejam x e y os números desejados, então:
1ª equação: x + y = 30
2ª equação: x . y = 230
Da primeira equação temos que y = 30 – x, que substituindo na segunda:
x(30 – x) = 230
30x – x² – 230 = 0
x² – 30x + 230 = 0
Resposta incorreta.
E. 
x² – 3x + 30 = 0
Sejam x e y os números desejados, então:
1ª equação: x + y = 30
2ª equação: x . y = 230
Da primeira equação temos que y = 30 – x, que substituindo na segunda:
x(30 – x) = 230
30x – x² – 230 = 0
x² – 30x + 230 = 0
4. 
Considere a função f do segundo grau, em que f (0) = 5, f (1) = 3 e f (−1) = 1. A lei de formação dessa função pode ser escrita conforme:
Resposta incorreta.
A. 
f(x)= −x² + x + 5
a. Tome f (x) = a x² + b x + c, com a ≠ 0.
f (0) = 5 ⇒ a (0)² + b (0) + c = 5 ⇒ c = 5
f (1) = 3 ⇒ a (1)² + b (1) + c = 3 ⇒ a + b = −2 (i)
f (−1) = 1 ⇒ a (−1)² + b (−1) + c = 1 ⇒ a − b = −4 (ii)
b. Resolvendo o sistema formado por (i) e (ii):
(i) a + b = −2
(ii) a − b = −4
(i) + (ii) 2a = −6 ⇒ a = −3 ⇒ b = 1
c. A lei de formação da função será f(x)= −3x² + x + 5
Resposta incorreta.
B. 
f(x)= 5x² + x + 3
a. Tome f (x) = a x² + b x + c, com a ≠ 0.
f (0) = 5 ⇒ a (0)² + b (0) + c = 5 ⇒ c = 5
f (1) = 3 ⇒ a (1)² + b (1) + c = 3 ⇒ a + b = −2 (i)
f (−1) = 1 ⇒ a (−1)² + b (−1) + c = 1 ⇒ a − b = −4 (ii)
b. Resolvendo o sistema formado por (i) e (ii):
(i) a + b = −2
(ii) a − b = −4
(i) + (ii) 2a = −6 ⇒ a = −3 ⇒ b = 1
c. A lei de formação da função será f(x)= −3x² + x + 5
Resposta incorreta.
C. 
f(x)= −5x² + x + 3
a. Tome f (x) = a x² + b x + c, com a ≠ 0.
f (0) = 5 ⇒ a (0)² + b (0) + c = 5 ⇒ c = 5
f (1) = 3 ⇒ a (1)² + b (1) + c = 3 ⇒ a + b = −2 (i)
f (−1) = 1 ⇒ a (−1)² + b (−1) + c = 1 ⇒ a − b = −4 (ii)
b. Resolvendo o sistema formado por (i) e (ii):
(i) a + b = −2
(ii) a − b = −4
(i) + (ii) 2a = −6 ⇒ a = −3 ⇒ b = 1
c. A lei de formação da função será f(x)= −3x² + x + 5
Você acertou!
D. 
f(x)= −3x² + x + 5
a. Tome f (x) = a x² + b x + c, com a ≠ 0.
f (0) = 5 ⇒ a (0)² + b (0) + c = 5 ⇒ c = 5
f (1) = 3 ⇒ a (1)² + b (1) + c = 3 ⇒ a + b = −2 (i)
f (−1) = 1 ⇒ a (−1)² + b (−1) + c = 1 ⇒ a − b = −4 (ii)
b. Resolvendo o sistema formado por (i) e (ii):
(i) a + b = −2
(ii) a − b = −4
(i) + (ii) 2a = −6 ⇒ a = −3 ⇒ b = 1
c. A lei de formação da função será f(x)= −3x² + x + 5
Resposta incorreta.
E. 
f(x)= 3x² + x + 5
a. Tome f (x) = a x² + b x + c, com a ≠ 0.
f (0) = 5 ⇒ a (0)² + b (0) + c = 5 ⇒ c = 5
f (1) = 3 ⇒ a (1)² + b (1) + c = 3 ⇒ a + b = −2 (i)
f (−1) = 1 ⇒ a (−1)² + b (−1) + c = 1 ⇒ a − b = −4 (ii)
b. Resolvendo o sistema formado por (i) e (ii):
(i) a + b = −2
(ii) a − b = −4
(i) + (ii) 2a = −6 ⇒ a = −3 ⇒ b = 1
c. A lei de formação da função será f(x)= −3x² + x + 5
5. 
Considere uma sala de tamanho retangular cuja área é 12. 800 cm². Sabendo-se que a largura é o dobro da altura do local, encontre as dimensões da sala.
Resposta incorreta.
A. 
Largura: 30 cm/ Altura: 30 cm.
Se x é a altura da sala, tem-se que 2x será a sua largura. A área do retângulo é calculada multiplicando-se a medida da sua largura, pela medida da sua altura, assim: x . 2x = 12.800
Que pode ser expressa como: 2x² - 12.800 = 0 x² = 6400 As raízes reais encontradas são -80 e 80, no entanto como uma sala não pode ter dimensões negativas, devemos desconsiderar a raiz -80.
​​​​​​​Como 2x representa a largura da tela, temos então que ela será de 2 . 80 = 160
Resposta incorreta.
B. 
Largura: 40 cm/ Altura: 80 cm.
Se x é a altura da sala, tem-se que 2x será a sua largura. A área do retângulo é calculada multiplicando-se a medida da sua largura, pela medida da sua altura, assim: x . 2x = 12.800
Que pode ser expressa como: 2x² - 12.800 = 0 x² = 6400 As raízes reais encontradas são -80 e 80, no entanto como uma sala não pode ter dimensões negativas, devemos desconsiderar a raiz -80.
​​​​​​​Como 2x representa a largura da tela, temos então que ela será de 2 . 80 = 160
Resposta incorreta.
C. 
Largura: 80 cm/ Altura: 40 cm.
Se x é a altura da sala, tem-se que 2x será a sua largura. A área do retângulo é calculada multiplicando-se a medida da sua largura, pela medida da sua altura, assim: x . 2x = 12.800
Que pode ser expressa como: 2x² - 12.800 = 0 x² = 6400 As raízes reais encontradas são -80 e 80, no entanto como uma sala não pode ter dimensões negativas, devemos desconsiderar a raiz -80.
​​​​​​​Como 2x representa a largura da tela, temos então que ela será de 2 . 80 = 160
Resposta incorreta.
D. 
Largura: 80 cm/ Altura: 160 cm.
Se x é a altura da sala, tem-se que 2x será a sua largura. A área do retângulo é calculada multiplicando-se a medida da sua largura, pela medida da sua altura, assim: x . 2x = 12.800
Que pode ser expressa como: 2x² - 12.800 = 0 x² = 6400 As raízes reais encontradas são -80 e 80, no entanto como uma sala não pode ter dimensões negativas, devemos desconsiderar a raiz -80.
​​​​​​​Como 2x representa a largura da tela, temos então que ela será de 2 . 80 = 160
Você acertou!
E. 
Largura: 160 cm/ Altura: 80 cm.
Se x é a altura da sala, tem-se que 2x será a sua largura. A área do retângulo é calculada multiplicando-se a medida da sua largura, pela medida da sua altura, assim: x . 2x = 12.800
Que pode ser expressa como: 2x² - 12.800 = 0 x² = 6400 As raízes reais encontradas são -80 e 80, no entanto como uma sala não pode ter dimensões negativas, devemos desconsiderar a raiz -80.
​​​​​​​Como 2x representa a largura da tela, temos então que ela será de 2 . 80 = 160
Aula 3
3.1 Equação do primeiro grauFerramenta externa
Equação do primeiro grau
Apresentação
Nesta Unidade de Aprendizagem, abordaremos equação do primeiro grau, por meio de sua definição, seus termos e exemplos.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
· Definir uma equação do primeiro grau.
· Identificar os termos da equação do primeiro grau.
· Resolver problemas envolvendo equações do primeiro grau.
Considerando como x o valor da prestação do apartamento, tem-se que:
530 + (530 + 150) + x = 2.800
x + 1.210 = 2.800
x = 2.800 - 1.210
x = 1.590
Joana deve R$1.590 da prestação do apartamento.
Infográfico
O infográfico a seguir reforça a definição e termos da equação do primeiro grau.
Conteúdo do Livro
Para aprofundar os seus conhecimentos sobre o assunto desta unidade, leia o capítulo Equação do primeiro grau do livro Fundamentos de Matemática.
Boa leitura.
Dica do Professor
Assista ao vídeo a seguir sobre equação do primeiro grau, com exemplos práticos.
Exercícios
Respostas enviadas em: 26/04/2022 20:03
1. 
Carlos está fazendo a compra de material escolar para seu filho e comprou 03 cadernos e 05 livros. Ele pagou pela compra o valor total de R$380,00. Sabendo que cada caderno custa R$25,00, qual o valor de cada livro?
Resposta incorreta.
A. 
R$305,00
Este é o valor total pago pelos 05 livros. Deseja-se o valor pago por cada livro.
Você acertou!
B. 
R$61,00
03 cadernos + 05 livros = R$380,00
Se cada caderno custa R$25,00, logo o valor de cada livro (x) será encontrado pela equação do primeiro grau:
3.25 + 5x = 380
75 + 5x = 380
5x = 380 - 75
5x = 305
x = 61
Logo, cada livro custa R$61,00.
Resposta incorreta.
C. 
R$75,00
Este é o valor total pago pelos cadernos. Deseja-se o valor pago por cada livro.
Resposta incorreta.
D. 
R$76,00
Você apenas dividiu o valor total pago pela quantidade de 05 livros, mas este total inclui também o pagamento dos cadernos.
Resposta incorreta.
E. 
R$91,00
Você realizou a soma, e não a subtração, ao transferir o valor de 75 para depois do sinal de igualdade.
2. 
Paulo juntou o valor de que precisa para pagar a conta mensal da padaria. O saldo devedor é R$89,00, e ele separou 5 notas de R$10,00, 7 de R$5,00 e ainda necessita de notas de R$2,00 para completar o pagamento. Determine quantas notas de R$2,00 Paulo precisará para saldar o valor a pagar.
Você acertou!
A. 
2
5.10 + 7.5 + 2x = 89
50 + 35 + 2x = 89
85 + 2x = 89
2x = 89 - 85
2x = 4
x = 4/2
x = 2
Logo, Paulo precisará de 2 notas de R$2,00para completar o valor de R$89,00.
Resposta incorreta.
B. 
4
Este é o valor de 2x. Você precisa dividi-lo por 2.
Resposta incorreta.
C. 
8
Você precisa dividir 4 por 2, e não multiplicá-los quando isolar o x.
Resposta incorreta.
D. 
37
Você realizou erroneamente a subtração dos valores totais das notas de R$10 e R$5.
Resposta incorreta.
E. 
87
Você realizou a soma, e não a subtração, ao transferir o valor de 85 para após o sinal de igualdade.
3. 
Se somarmos as idades de Antônio e de seu filho Mário, teremos 84 anos. Sabendo-se que a idade do pai é o dobro da idade do filho, qual é a idade de cada um?
Resposta incorreta.
A. 
Mário e Antônio têm 42 anos.
Antônio tem o dobro da idade do filho. A solução correta é:
Considerando como x a idade do filho Mário, tem-se que:
x + 2x = 84
3x = 84
x = 84/3
x = 28
Logo, Mário tem 28 anos, e Antônio, como tem o dobro da idade do filho, tem 2 vezes 28, totalizando 56 anos.
Resposta incorreta.
B. 
Mário tem 56 anos, e Antônio tem 28 anos.
Antônio, o pai, que tem o dobro da idade do filho. A solução correta é:
Considerando como x a idade do filho Mário, tem-se que:
x + 2x = 84 3x = 84
x = 84/3
x = 28
Logo, Mário tem 28 anos, e Antônio, como tem o dobro da idade do filho, tem 2 vezes 28, totalizando 56 anos.
Você acertou!
C. 
Mário tem 28 anos, e Antônio tem 56 anos.
Considerando como x a idade do filho Mário, tem-se que:
x + 2x = 84
3x = 84
x = 84/3
x = 28
Logo, Mário tem 28 anos, e Antônio, como tem o dobro da idade do filho, tem 2 vezes 28, totalizando 56 anos.
Resposta incorreta.
D. 
Mário tem 21 anos e Antônio tem 63 anos.
Antônio tem o dobro da idade do filho, e não o triplo. A solução correta é:
Considerando como x a idade do filho Mário, tem-se que:
x + 2x = 84
3x = 84 x = 84/3
x = 28
Logo, Mário tem 28 anos, e Antônio, como tem o dobro da idade do filho, tem 2 vezes 28, totalizando 56 anos.
Resposta incorreta.
E. 
Mário tem 14 anos, e Antônio tem 28 anos.
O valor de x já é a idade de Mário. A solução correta é:
Considerando como x a idade do filho Mário, tem-se que:
x + 2x = 84
3x = 84 x = 84/3
x = 28
Logo, Mário tem 28 anos, e Antônio, como tem o dobro da idade do filho, tem 2 vezes 28, totalizando 56 anos.
4. 
Marta e Ana ganharam de seus pais o valor de R$302,00. No entanto, Marta ficou com o triplo da importância que Ana ganhou. Determine quanto recebeu cada uma.
Resposta incorreta.
A. 
Ana ganhou R$100,67 e Marta ganhou R$201,33.
Você não considerou o valor de Ana e apenas dividiu o valor total por três. A solução correta é:
Considerando como x o valor que Ana ganhou, tem-se que:
x + 3x = 302
4x = 302
x = 302/4
x = 75,50
Logo, Ana ganhou R$75,50, e Marta, como recebeu o triplo de Ana, recebeu 3 vezes 75,50, totalizando R$226,50.
Resposta incorreta.
B. 
Ana ganhou R$151,00 e Marta ganhou R$151,00.
Ana e Marta não ganharam o mesmo valor. A solução correta é: Considerando como x o valor que Ana ganhou, tem-se que:
x + 3x = 302
4x = 302
x = 302/4
x = 75,50
Logo, Ana ganhou R$75,50, e Marta, como recebeu o triplo de Ana, recebeu 3 vezes 75,50, totalizando R$226,50.
Resposta incorreta.
C. 
Ana ganhou R$201,33, e Marta ganhou R$100,67.
Você não considerou o valor de Ana e apenas dividiu o valor total por três, e Marta ganhou o triplo do valor de Ana. A solução correta é: Considerando como x o valor que Ana ganhou, tem-se que:
x + 3x = 302
4x = 302
x = 302/4
x = 75,50
Logo, Ana ganhou R$75,50, e Marta, como recebeu o triplo de Ana, recebeu 3 vezes 75,50, totalizando R$226,50.
Você acertou!
D. 
Ana ganhou R$75,50, e Marta ganhou R$226,50.
Considerando como x o valor que Ana ganhou, tem-se que:
x + 3x = 302
4x = 302 x = 302/4
x = 75,50
Logo, Ana ganhou R$75,50, e Marta, como recebeu o triplo de Ana, recebeu 3 vezes 75,50, totalizando R$226,50.
Resposta incorreta.
E. 
Ana ganhou R$226,50, e Marta ganhou R$75,50.
Marta ganhou o triplo de Ana, e não o contrário. A solução correta é: Considerando como x o valor que Ana ganhou, tem-se que:
x + 3x = 302
4x = 302
x = 302/4
x = 75,50
Logo, Ana ganhou R$75,50, e Marta, como recebeu o triplo de Ana, recebeu 3 vezes 75,50, totalizando R$226,50.
5. 
José comprou um carro novo, mas como não dispunha do valor total à vista, ele negociou o pagamento do valor total de R$23.500,00 em uma entrada de R$5.500,00 e o restante em 48 parcelas mensais iguais sem juros. Determine o valor de cada uma das prestações mensais que José terá que pagar.
Você acertou!
A. 
R$375,00
Considerando como x o valor das prestações, tem-se que:
5.500 + 48x = 23.500
48x = 23.500 - 5.500
48x = 18.000
x = 18.000/48
x = 375
José terá que pagar 48 prestações mensais de R$375,00.
Resposta incorreta.
B. 
R$489,58
Você não descontou o valor da entrada.
Resposta incorreta.
C. 
R$114,58
Você dividiu o valor da entrada por 48.
Resposta incorreta.
D. 
R$604,17
Você somou o valor da entrada ao valor total em vez de subtrair.
Resposta incorreta.
E. 
R$18.000,00
Este é o valor a pagar a prazo. Deseja-se o valor de cada prestação.
Na prática
Veja a seguir um exemplo de aplicação das equações de primeiro grau.
3.2 PorcentagemFerramenta externa
Porcentagem
Apresentação
O conceito de porcentagem está presente tanto em situações simples do cotidiano, como no cálculo de impostos, no aumento ou desconto no preço de um produto ou na previsão do tempo, quanto em problemas e pesquisas aplicadas às mais variadas ciências.
Em matemática, a notaçãor% (r por cento) é utilizada para representar a fração  (fração centesimal), ou seja, 20% é a representação da fração  ou 0,20 em representação decimal. Assim desejarmos saber quanto representa 20% de R$ 1.200,00, basta multiplicar esse valor por 0,20, obtendo R$ R$ 240,00.
Nesta Unidade de Aprendizagem, vamos definir a porcentagem, reconhecer as diferentes possibilidades de representação de uma fração centesimal, além de conhecer exemplos e aplicações desse conceito tão relevante para as mais diversas áreas.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
· Explicar a porcentagem.
· Transformar razões em taxas percentuais.
· Utilizar a porcentagem em situações-problemas.
Desafio
Conhecer porcentagem e saber realizar cálculos envolvendo esse conceito pode auxiliar na resolução de situações aplicadas. Imagine que você é um vendedor e está atendendo o Adriano, um cliente que deseja comprar de um carro novo. Ele definiu três modelos que lhe interessavam e você lhe passou as seguintes propostas:
Adriano achou complicado ter que decidir a compra apenas olhando esse quadro. Ajude Adriano a calcular o valor a ser pago, em cada modelo de carro, para pagamento à vista. E no caso do pagamento a prazo, calcule o valor da entrada e o valor das prestações para cada modelo.
Escreva sua resposta no campo abaixo:
Carro A - A vista: R$29.580,00 | A prazo: entrada de R$8.500,00 e 50 prestações de R$1.020,00
Carro B - A vista: R$28.000,00 | A prazo: entrada de R$9.600,00 e 52 prestações de R$1.326,67
Carro C - A vista: R$30.960,00 | A prazo: entrada de R$12.600,00 e 50 prestações de R$1.170,00
Infográfico
A ideia de porcentagem surge em diversas situações aplicadas e está associada ao estudo de fração. Podemos afirmar que a porcentagem é uma fração centesimal, que pode ser representada como razão centesimal, taxa unitária ou taxa percentual.
O infográfico a seguir destaca esses três tipos de representações e exemplifica cada um deles, para que ao resolver problemas, você possa decidir qual é a representação mais adequada a cada tipo de situação.
Conteúdo do Livro
A razão cujo denominador é 100 recebe o nome de razão centesimal, podendo ser expressa em taxas percentuais. Leia a seguir o capítulo Porcentagem do livro Fundamentos de Matemática e aprofunde seus conhecimentos sobre o assunto.
Boa leitura!
Dica do Professor
A ideia de porcentagem está presente em várias situações que envolvem acréscimos ou reduções, seja na compra de mercadorias ou no pagamento de tributos.
Essa dica do professor exemplifica o uso da porcentagem em situações aplicadas e destaca os três tipos derepresentação para esse conceito: razão centesimal, taxa unitária e taxa percentual, apresentando um exemplo para cada uma dessas representações.
Exercícios
Respostas enviadas em: 27/04/2022 19:52
1. 
Carla gastou R$15,00 para preparar um arranjo de flores e o vendeu com o lucro de R$6,00. Determine a porcentagem do lucro de Carla.
Resposta incorreta.
A. 
250%.
A razão é o lucro sobre o custo, e não o contrário. A solução correta é: 6/15 = 0,40 x 100 = 40%. Logo, Carla teve um lucro de 40% sobre o custo de R$15,00 na venda do arranjo de flores.
Resposta incorreta.
B. 
2,50%.
A razão é o lucro sobre o custo, e não o contrário. A solução correta é: 6/15 = 0,40 x 100 = 40%. Logo, Carla teve um lucro de 40% sobre o custo de R$15,00 na venda do arranjo de flores.
Você acertou!
C. 
40%
6/15 = 0,40 x 100 = 40%. Assim, Carla teve um lucro de 40% sobre o custo de R$15,00 na venda do arranjo de flores.
Resposta incorreta.
D. 
0,40%.
O resultado da razão deve ser multiplicado por 100% para encontrar a porcentagem. A solução correta é: 6/15 = 0,40 x 100 = 40%
Assim, Carla teve um lucro de 40% sobre o custo de R$15,00 na venda do arranjo de flores.
Resposta incorreta.
E. 
90%.
Não é correto multiplicar o lucro pelo custo, e sim dividi-lo.
2. 
Paulo é um revendedor de bolos e compra, cada um, por R$12,00. Ele deseja lucrar 30% na venda. Qual será o lucro unitário, em reais, de Paulo?
Resposta incorreta.
A. 
R$15,60.
Este é o valor de venda com um lucro de 30% sobre o custo.
Você acertou!
B. 
R$3,60
30% x 12 = 30/100 x 12 = R$3,60
Sendo assim, Paulo terá um lucro de R$3,60 na venda de cada bolo.
Resposta incorreta.
C. 
R$0,025.
Você deve multiplicar 30% por 12, e não realizar a divisão.
Resposta incorreta.
D. 
R$40,00.
Não é para dividir o custo por 30%. Deseja-se saber o lucro sobre o custo.
Resposta incorreta.
E. 
R$0,40.
Não é para dividir o custo pelo lucro. A solução correta é: 30% x 12 = 30/100 x 12 = R$3,60.
Sendo assim, Paulo terá um lucro de R$3,60 na venda de cada bolo.
3. 
A gasolina vendida no Brasil é uma mistura de álcool e gasolina. Considerando que, em um dado galão há 240 litros de gasolina e 60 litros de álcool, calcule a porcentagem de álcool contida na mistura.
Resposta incorreta.
A. 
25%
Você não considerou o volume total de litros de líquido (300 litros). A solução correta é:
Cada galão tem 240 litros de gasolina mais 60 litros de álcool, logo há 300 litros de líquido. Como dos 300 litros, 60 litros são de álcool, temos que: 60/300 = 0,20 x 100 = 20%. Esta é a porcentagem de álcool contida na mistura.
Resposta incorreta.
B. 
5%.
A razão é a quantidade de litros de álcool sobre o volume total de litros dos dois líquidos. A solução correta é:
Cada galão tem 240 litros de gasolina mais 60 litros de álcool, logo há 300 litros de líquido. Como dos 300 litros, 60 litros são de álcool, assim: 60/300 = 0,20 x 100 = 20%. Esta é a porcentagem de álcool contida na mistura.
Resposta incorreta.
C. 
0,20%.
Você deve multiplicar o resultado da razão por 100% para encontrar a porcentagem. A solução correta é:
Cada galão tem 240 litros de gasolina mais 60 litros de álcool, logo há 300 litros de líquido. Como dos 300 litros, 60 litros são de álcool, assim: 60/300 = 0,20 x 100 = 20%. Esta é a porcentagem de álcool contida na mistura.
Resposta incorreta.
D. 
0,25%.
Você não considerou o volume total de litros de líquido (300 litros). A solução correta é:
Cada galão tem 240 litros de gasolina mais 60 litros de álcool, logo há 300 litros de líquido. Como dos 300 litros, 60 litros são de álcool, assim: 60/300 = 0,20 x 100 = 20%. Esta é a porcentagem de álcool contida na mistura.
Você acertou!
E. 
20%
Cada galão tem 240 litros de gasolina mais 60 litros de álcool, logo há 300 litros de líquido. Como dos 300 litros, 60 litros são de álcool, assim: 60/300 = 0,20 x 100 = 20%. Esta é a porcentagem de álcool contida na mistura.
4. 
Ana é vendedora de roupas e ganha, como remuneração variável, uma comissão de 5% sobre os lucros nas vendas realizadas. Se no mês passado as vendas foram de R$60.000,00, com um lucro de 30%, então a comissão de Ana será:
Você acertou!
A. 
R$900,00.
Lucro: 30% x 60.000 = 0,30 x 60.000 = 18.000
Comissão: 5% x 18.000 = 0,05 x 18.000 = R$900,00
Resposta incorreta.
B. 
R$3.000,00.
A comissão é calculada sobre o lucro nas vendas. A solução correta é: Lucro: 30% x 60.000 = 0,30 x 60.000 = 18.000
Comissão: 5% x 18.000 = 0,05 x 18.000 = R$900,00
Resposta incorreta.
C. 
R$18.000,00.
Este é o valor do lucro nas vendas. A solução correta é:
Lucro: 30% x 60.000 = 0,30 x 60.000 = 18.000
Comissão: 5% x 18.000 = 0,05 x 18.000 = R$900,00
Resposta incorreta.
D. 
R$10.000,00.
Você deve multiplicar o lucro pelas vendas, e não dividir este por aquele. A solução correta é:
Lucro: 30% x 60.000 = 0,30 x 60.000 = 18.000
Comissão: 5% x 18.000 = 0,05 x 18.000 = R$900,00
Resposta incorreta.
E. 
R$9.000,00.
A comissão de 5% representa 0,05, e não 0,50. A solução correta é: Lucro: 30% x 60.000 = 0,30 x 60.000 = 18.000
Comissão: 5% x 18.000 = 0,05 x 18.000 = R$900,00
5. 
O casal Lúcia e Antônio recebe de salário, por mês, R$21.500,00. Sabendo que o homem recebe 15% mais que sua esposa, calcule os salários de cada um.
Resposta incorreta.
A. 
Lúcia ganha R$2.804,35, e Antônio ganha R$18.695,65 por mês.
Você errou ao somar as incógnitas e a relação não está correta. A solução correta é:
Considerando x como o salário da esposa, então Antônio, que recebe 15% mais que ela, ganhará 1,15x:
x + 1,15x = 21.500
2,15x = 21.500
x = 21.500/2,15
x = 10.000
Logo, Lúcia recebe mensalmente R$10.000,00 e Antônio recebe R$11.500 (15% a mais = 1,15 x 10.000).
Resposta incorreta.
B. 
Lúcia ganha R$9.878,38 e Antônio ganha R$11.621,62 por mês.
Você considerou redução de 15% no salário de Antônio. A solução correta é:
Considerando x como o salário da esposa, então Antônio, que recebe 15% mais que ela, ganhará 1,15x:
x + 1,15x = 21.500
2,15x = 21.500
x = 21.500/2,15
x = 10.000
Logo, Lúcia recebe mensalmente R$10.000,00, e Antônio recebe R$11.500 (15% a mais = 1,15 x 10.000).
Resposta incorreta.
C. 
Lúcia ganha R$10.750,00 e Antônio ganha R$10.750,00 por mês.
O casal não ganha o mesmo salário, como foi dito no enunciado.
Resposta incorreta.
D. 
Lúcia ganha R$3.225,00, e Antônio ganha R$18.215,00 por mês.
Lúcia não ganha 15% da renda mensal do casal. A solução correta é:
Considerando x como o salário da esposa, então Antônio, que recebe 15% mais que ela, ganhará 1,15x:
x + 1,15x = 21.500
2,15x = 21.500
x = 21.500/2,15
x = 10.000.
Logo, Lúcia recebe mensalmente R$10.000,00, e Antônio recebe R$11.500 (15% a mais = 1,15 x 10.000)
Você acertou!
E. 
Lúcia ganha R$10.000,00, e Antônio ganha R$11.500,00 por mês.
Considerando x como o salário da esposa, então Antônio, que recebe 15% mais que ela, ganhará 1,15x:
x + 1,15x = 21.500
2,15x = 21.500
x = 21.500/2,15
x = 10.000.
Logo, Lúcia recebe mensalmente R$10.000,00, e Antônio recebe R$11.500 (15% a mais = 1,15 x 10.000)
Na prática
João realiza investimentos em imóveis. Ele compra apartamentos e casas, reforma-os e depois os vende com um lucro de 20%. Veja a seguir qual foi o último imóvel adquirido por João, com seu valor de compra e venda.
Aula 4
4.1 Introdução à Geometria Euclidiana PlanaFerramenta externa
Introdução à Geometria Euclidiana Plana
Apresentação
A geometria é uma seção da matemática que trata das medidas da terra, mensurando o espaço a nossa volta; medindo distâncias, perímetros, áreas e volumes. O objeto de estudo da geometria euclidiana são as estruturas do plano, fundamentados em postulados, como o ponto e a reta. Como exemplos de objetos de estudo desta subseção da matemática, estão: o conceito e a construção das figuras planas, triângulos, quadriláteros, polígonos, círculos, além da análise de suas propriedades.
Nesta Unidade de Aprendizagem, você conhecerá as origens da geometria, estudando quais os povos que iniciaram os estudos na área. Além disso, verá a importância das demonstrações dos teoremas geométricos.
Bons estudos.
Ao final desta Unidadede Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
· Descrever as origens da geometria.
· Definir raciocínio dedutivo e métodos de demonstração.
· Reconhecer a geometria formalizada.
Desafio
A matemática está fundamentada na lógica e nas demonstrações, e a geometria é um excelente campo para introdução às técnicas de comprovação de um teorema.
No estudo da matemática, assim como no estudo da geometria, as demonstrações são fundamentais. Trabalhe como um geômetra para ser admitido na Academia de Platão e desenvolva a prova solicitada.
Conhecendo:
- o teorema de Pitágoras, o qual afirma que o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.
- a fórmula da área dos triângulos, que é:
, na qual b é a base do triângulo e h sua altura.
Prove que a altura do triângulo equilátero é igual a​​​​​​​​​:​
​​​​​​​​​​​​​​Escreva sua resposta no campo abaixo:
O triângulo equilátero pode ser representado pela figura:
Desenvolvendo a expressão:
Isolando h2:
É possível ver que a metade do lado (l/2) é um cateto, a altura (h) é outro cateto e o lado (l) é a hipotenusa.
De Pitágoras, tem-se que o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos, substituindo, tem-se que:
Infográfico
O espaço e as medidas das distâncias são elementos inerentes à percepção humana, ligados à própria sobrevivência da espécie, e a humanidade soube lidar com eles para perpetuar em ambientes hostis. O desenvolvimento da economia e das relações comerciais trouxe a necessidade de medições cada vez mais precisas, impulsionando o estudo da geometria, o qual culminou com o surgimento de várias escolas gregas que investigaram o assunto.
Neste Infográfico, você vai ver o histórico do uso do espaço e das medidas das distâncias para a sobrevivência humana.
Conteúdo do Livro
Euclides se baseou em um conjunto de postulados ou axiomas, que são premissas matemáticas aceitas sem comprovação, para fazer uma explicitação extremamente abrangente do estudo do espaço. 
As ligações da geometria com o cotidiano são inúmeras, pois o dia a dia está repleto de figuras geométricas, as quais fazem parte da paisagem modelada pela humanidade, nos prédios, nos traçados das ruas, no design dos veículos, etc.
No capítulo Introdução à geometria euclidiana plana, da obra Fundamentos de geometria, base teórica desta Unidade de Aprendizagem, você vai conhecer os fundamentos da geometria euclidiana plana, a qual tem esse nome por ter seus principais argumentos descritos na obra Os elementos, de Euclides.
Boa leitura.
Dica do Professor
Os silogismos são estruturas constituídas de uma argumentação formada por três premissas.
Nesta Dica do Professor, você vai ver alguns exemplos de silogismos, os quais são considerados fundamentais para o pensamento matemático. 
Exercícios
Respostas enviadas em: 28/04/2022 23:14
1. 
Baseado nos textos que você leu sobre lógica, resolva o seguinte problema:
Se você dormir demais, você se atrasa.
​​​​​​​Você não está atrasado.
Logo:
Resposta incorreta.
A. 
Você dormiu demais.
Observe que:
​​​​​​​
Dormir demais → A
Atrasar → B
A → B
Você NÃO está atrasado → não A
Se não A, logo, não B.
nA → nB
Você não está atrasado.
Você acertou!
B. 
Você não dormiu demais.
Observe que:
​​​​​​​
Dormir demais → A
Atrasar → B
A → B
Você NÃO está atrasado → não A
Se não A, logo, não B.
nA → nB
Você não está atrasado.
Resposta incorreta.
C. 
Você está atrasado.
Observe que:
​​​​​​​
Dormir demais → A
Atrasar → B
A → B
Você NÃO está atrasado → não A
Se não A, logo, não B.
nA → nB
Você não está atrasado.
Resposta incorreta.
D. 
Você ainda está dormindo.
Observe que:
​​​​​​​
Dormir demais → A
Atrasar → B
A → B
Você NÃO está atrasado → não A
Se não A, logo, não B.
nA → nB
Você não está atrasado.
Resposta incorreta.
E. 
Você já chegou.
Observe que:
​​​​​​​
Dormir demais → A
Atrasar → B
A → B
Você NÃO está atrasado → não A
Se não A, logo, não B.
nA → nB
Você não está atrasado.
2. 
Algumas definições descritas na obra de Euclides referem-se ao número de dimensões dos conceitos primitivos.
Qual desses elementos foi definido por Euclides como tendo duas dimensões?
Resposta incorreta.
A. 
Ponto.
O elemento que tem duas dimensões é o plano: largura e comprimento. Trata-se, matematicamente, de um ente primitivo geométrico infinito a duas dimensões. 
Resposta incorreta.
B. 
Reta.
O elemento que tem duas dimensões é o plano: largura e comprimento. Trata-se, matematicamente, de um ente primitivo geométrico infinito a duas dimensões. 
Resposta incorreta.
C. 
Semirreta.
O elemento que tem duas dimensões é o plano: largura e comprimento. Trata-se, matematicamente, de um ente primitivo geométrico infinito a duas dimensões. 
Você acertou!
D. 
Plano.
O elemento que tem duas dimensões é o plano: largura e comprimento. Trata-se, matematicamente, de um ente primitivo geométrico infinito a duas dimensões. 
Resposta incorreta.
E. 
Hiperespaço.
O elemento que tem duas dimensões é o plano: largura e comprimento. Trata-se, matematicamente, de um ente primitivo geométrico infinito a duas dimensões. 
3. 
A crise dos incomensuráveis abalou a estrutura da matemática, causando um atraso considerável no estudo da matéria.
Que grupo numérico foi responsável por essa crise?
Resposta incorreta.
A. 
Naturais.
O grupo numérico responsável pela crise dos incomensuráveis foi o dos números irracionais. Até então, os pitagóricos acreditavam que o conjunto dos números era somente o dos naturais, contendo apenas expressões exatas.
Resposta incorreta.
B. 
Inteiros.
O grupo numérico responsável pela crise dos incomensuráveis foi o dos números irracionais. Até então, os pitagóricos acreditavam que o conjunto dos números era somente o dos naturais, contendo apenas expressões exatas.
Você acertou!
C. 
Irracionais.
O grupo numérico responsável pela crise dos incomensuráveis foi o dos números irracionais. Até então, os pitagóricos acreditavam que o conjunto dos números era somente o dos naturais, contendo apenas expressões exatas.
Resposta incorreta.
D. 
Imaginários.
O grupo numérico responsável pela crise dos incomensuráveis foi o dos números irracionais. Até então, os pitagóricos acreditavam que o conjunto dos números era somente o dos naturais, contendo apenas expressões exatas.
Resposta incorreta.
E. 
Complexos.
O grupo numérico responsável pela crise dos incomensuráveis foi o dos números irracionais. Até então, os pitagóricos acreditavam que o conjunto dos números era somente o dos naturais, contendo apenas expressões exatas.
4. 
As descobertas matemáticas foram fruto do trabalho de indivíduos, geralmente trabalhando em grupos.
Qual escola grega deduziu a lei que determina a diagonal do quadrado?
Resposta incorreta.
A. 
Aristotélica.
A escola grega que deduziu a lei a qual determina a diagonal do quadrado foi a pitagórica. O valor da diagonal do quadrado é lado vezes a raiz de dois, que é um número irracional. Essa descoberta levou à crise dos incomensuráveis.
Resposta incorreta.
B. 
Platônica.
A escola grega que deduziu a lei a qual determina a diagonal do quadrado foi a pitagórica. O valor da diagonal do quadrado é lado vezes a raiz de dois, que é um número irracional. Essa descoberta levou à crise dos incomensuráveis.
Resposta incorreta.
C. 
Jônica​​​​​​​.
A escola grega que deduziu a lei a qual determina a diagonal do quadrado foi a pitagórica. O valor da diagonal do quadrado é lado vezes a raiz de dois, que é um número irracional. Essa descoberta levou à crise dos incomensuráveis.
Você acertou!
D. 
Pitagórica.
A escola grega que deduziu a lei a qual determina a diagonal do quadrado foi a pitagórica. O valor da diagonal do quadrado é lado vezes a raiz de dois, que é um número irracional. Essa descoberta levou à crise dos incomensuráveis.
Resposta incorreta.
E. 
Telúrica.
A escola grega que deduziu a lei a qual determina a diagonal do quadrado foi a pitagórica. O valor da diagonal do quadrado é lado vezes a raiz de dois, que é um número irracional. Essa descoberta levou à crise dos incomensuráveis.
5. 
Euclides trabalhou muito para organizare escrever o pensamento matemático de sua época.
Qual conjunto de livros que ele escreveu e foi a base da geometria ocidental?
Resposta incorreta.
A. 
Os miseráveis.
O conjunto de livros que Euclides escreveu e foi a base da geometria ocidental foram os volumes de Os elementos, o qual é um longo tratado matemático e geométrico, que fez uma compilação do saber da área até essa época; são treze livros escritos pelo matemático grego Euclides, que os desenvolveu na cidade de Alexandria por volta de 300 a.C. Ele traz uma coleção de definições, postulados, proposições e demonstrações matemáticas, as quais foram a base do saber na área durante muitos séculos.
Os livros e seus temas:
Livro I: definições matemáticas enunciando axiomas e postulados.
Livros II a IV: tratam da geometria plana elementar.
Livro V: teoria das proporções.
Livro VI: dedicado à semelhança.
Livros VII a IX: teoria dos números.
Livro X: classificação dos irracionais quadráticos.
Livros XI a XIII: tem como tema a geometria plana espacial.
Resposta incorreta.
B. 
Os vedas.
O conjunto de livros que Euclides escreveu e foi a base da geometria ocidental foram os volumes de Os elementos, o qual é um longo tratado matemático e geométrico, que fez uma compilação do saber da área até essa época; são treze livros escritos pelo matemático grego Euclides, que os desenvolveu na cidade de Alexandria por volta de 300 a.C. Ele traz uma coleção de definições, postulados, proposições e demonstrações matemáticas, as quais foram a base do saber na área durante muitos séculos.
Os livros e seus temas:
Livro I: definições matemáticas enunciando axiomas e postulados.
Livros II a IV: tratam da geometria plana elementar.
Livro V: teoria das proporções.
Livro VI: dedicado à semelhança.
Livros VII a IX: teoria dos números.
Livro X: classificação dos irracionais quadráticos.
Livros XI a XIII: tem como tema a geometria plana espacial.
Resposta incorreta.
C. 
O tempo e o vento​​​​​​​.
O conjunto de livros que Euclides escreveu e foi a base da geometria ocidental foram os volumes de Os elementos, o qual é um longo tratado matemático e geométrico, que fez uma compilação do saber da área até essa época; são treze livros escritos pelo matemático grego Euclides, que os desenvolveu na cidade de Alexandria por volta de 300 a.C. Ele traz uma coleção de definições, postulados, proposições e demonstrações matemáticas, as quais foram a base do saber na área durante muitos séculos.
Os livros e seus temas:
Livro I: definições matemáticas enunciando axiomas e postulados.
Livros II a IV: tratam da geometria plana elementar.
Livro V: teoria das proporções.
Livro VI: dedicado à semelhança.
Livros VII a IX: teoria dos números.
Livro X: classificação dos irracionais quadráticos.
Livros XI a XIII: tem como tema a geometria plana espacial.
Resposta incorreta.
D. 
As vinhas da ira.
O conjunto de livros que Euclides escreveu e foi a base da geometria ocidental foram os volumes de Os elementos, o qual é um longo tratado matemático e geométrico, que fez uma compilação do saber da área até essa época; são treze livros escritos pelo matemático grego Euclides, que os desenvolveu na cidade de Alexandria por volta de 300 a.C. Ele traz uma coleção de definições, postulados, proposições e demonstrações matemáticas, as quais foram a base do saber na área durante muitos séculos.
Os livros e seus temas:
Livro I: definições matemáticas enunciando axiomas e postulados.
Livros II a IV: tratam da geometria plana elementar.
Livro V: teoria das proporções.
Livro VI: dedicado à semelhança.
Livros VII a IX: teoria dos números.
Livro X: classificação dos irracionais quadráticos.
Livros XI a XIII: tem como tema a geometria plana espacial.
Você acertou!
E. 
Os elementos.
O conjunto de livros que Euclides escreveu e foi a base da geometria ocidental foram os volumes de Os elementos, o qual é um longo tratado matemático e geométrico, que fez uma compilação do saber da área até essa época; são treze livros escritos pelo matemático grego Euclides, que os desenvolveu na cidade de Alexandria por volta de 300 a.C. Ele traz uma coleção de definições, postulados, proposições e demonstrações matemáticas, as quais foram a base do saber na área durante muitos séculos.
Os livros e seus temas:
Livro I: definições matemáticas enunciando axiomas e postulados.
Livros II a IV: tratam da geometria plana elementar.
Livro V: teoria das proporções.
Livro VI: dedicado à semelhança.
Livros VII a IX: teoria dos números.
Livro X: classificação dos irracionais quadráticos.
Livros XI a XIII: tem como tema a geometria plana espacial.
Na prática
O estudo da geometria permitiu, ao longo dos séculos, precisão nas medidas dos terrenos, servindo de base para que a construção de habitações comportasse uma população que cresceu vertiginosamente, assim como os espaços industriais, comerciais e de serviço, para atender às necessidades profissionais da humanidade. 
Neste Na Prática, você vai ver a importância histórica do estabelecimento da geometria euclidiana.
4.2 PolígonosFerramenta externa
Polígonos
Apresentação
A geometria é uma disciplina da matemática com muitas aplicações em diferentes áreas, como física, engenharia, arquitetura, entre outras. Os polígonos são objetos geométricos planos, formados por segmentos de retas, como um triângulo ou um quadrado. Muitos objetos mais complexos podem ser representados por polígonos, como as paredes de sua casa, ou uma construção representada em uma planta. Assim, estudar polígonos e suas propriedades pode ser útil para muitos campos, além de ajudá-lo a resolver questões cotidianas.
Nesta Unidade de Aprendizagem, você entenderá o que são os polígonos e como eles podem ser classificados em relação à quantidade de lados. 
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
· Diferenciar polígonos côncavos e convexos.
· Demostrar teoremas que envolvam polígonos.
· Resolver problemas envolvendo cálculos ou demonstrações.
Desafio
Todos os prédios inclinam dentro de um certo intervalo seguro. As fontes de inclinação podem ser diversas, como, por exemplo, danos na estrutura e ação de ventos. Segundo normas brasileiras específicas (ABNT NBR 6118/2014), existe uma angulação do desaprumo máxima esperada para edificações com N pilares. Acima desse valor, a edificação já estaria fora das normas, e os seus moradores em risco de segurança.
Suponha que você seja um engenheiro e precisa determinar o desaprumo de uma edificação, para ver se ela está dentro dos limites dados pelas normas brasileiras, assim como relatar todas as informações necessárias para o seu supervisor. Caso a angulação não esteja dentro dos limites, deve-se dar andamento na evacuação, de modo a garantir a segurança dos moradores. A figura a seguir representa os dados que você têm da edificação.
Sendo assim, responda:
a) Qual é o ângulo αde inclinação do prédio?
b) Qual é o ângulo de desaprumo θa?
c) Sabendo que a edificação tem 12 andares e que, em média, cada andar tem 3 metros, qual é a diferença entre a altura he o prédio com 0° de desaprumo e a alturalcom θade desaprumo?
d) A angulação de desaprumo encontrada é maior ou menor que a angulação máxima? Suponha que a edificação tenha 3 pilares de sustentação.
e) Nesse caso, você iniciaria ações de segurança para os moradores junto ao seu supervisor?
Escreva sua resposta no campo abaixo:
a) ​Para encontrar o ângulo de inclinação, você pode utilizar a soma de ângulos externos. Assim: = ( + 2) ∙ 180 = 6 ∙ 180 = 1080. Por outro lado, tem-se que: = 272 + 268 + 272 + . Igualando as duas equações, fica-se com: = 272 + 268 + 272 + = 1080. Assim: = 1080 − 812 = 268. Agora, tem-se que: = 180 + . Ou seja: = − 180 = 268 − 180 = 88. Portanto, o ângulo de inclinação é = 88o. b) Você pode encontrar subtraindo o ângulo externo de 360°, assim: = 360 − 272 = 88. Por simetria, vê-se que ele é igual ao ângulo de inclinação encontrado anteriormente. Agora, para encontrar : = 90 − = 2. Assim, o ângulo de desaprumo é 2°. c) A altura ℎ do prédio sem desaprumo