Tarefa Complementar - Matrizes e Matriz Inversa

Prévia do material em texto

Tarefa Complementar – Matemática/ Frente 2 
Matrizes 
 
Prof. Rodolfo Pereira Borges 
 
 
Página 1 de 15 
 1. (Fgv 2016) Os marcos A, B, C e D de uma cidade estão 
conectados por pistas de rodagem, conforme mostra a malha viária 
indicada no diagrama da figura 1. A figura 2 indica uma matriz que 
representa as quantidades de caminhos possíveis de deslocamento 
entre os marcos (dois a dois). Considera-se um caminho entre dois 
marcos qualquer percurso que não viole o sentido da pista, que não 
passe novamente pelo marco de onde partiu e que termine quando 
se atinge o marco de destino final pela primeira vez. As flechas da 
figura 1 indicam o sentido das pistas de rodagem. 
 
 
 
Durante período de obras na malha viária descrita, a pista de 
rodagem entre os marcos A e D passou a ser de mão simples 
(sentido de A para D), e a pista do marco C para o marco D, 
ainda que tenha permanecido com mão simples, teve seu sentido 
invertido, passando a ser de D para C. Comparando os 16 
elementos da matriz da figura 2 com seus correspondentes na 
matriz da nova configuração de malha viária, a quantidade de 
elementos que mudarão de valor é igual a 
a) 5. 
b) 6. 
c) 7. 
d) 8. 
e) 9. 
 
 
2. (Udesc 2018) Analise as proposições abaixo. 
 
I.O produto de uma matriz linha por uma matriz linha é uma matriz 
linha. 
II. Uma matriz identidade elevada ao quadrado é uma matriz 
identidade. 
III. O produto de uma matriz por sua transposta é a matriz 
identidade. 
 
Assinale a alternativa correta. 
a) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras. 
b) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. 
c) Somente a afirmativa II é verdadeira. 
d) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras. 
e) Todas as afirmativas são verdadeiras. 
 
 
3. (Pucrs 2013) Num jogo, foram sorteados 6 números para 
compor uma matriz ijM (m ) de ordem 2 3. Após o sorteio, 
notou-se que esses números obedeceram à regra ijm 4i j.  
Assim, a matriz M é igual a _________. 
a) 
1 2 3
5 6 7
 
 
 
 
b) 
1 2 3
4 5 6
 
 
 
 
c) 
3 2 1
7 6 5
 
 
 
 
d) 
3 2
7 6
11 10
 
 
 
  
 
e) 
3 7
2 6
1 5
 
 
 
  
 
 
 
4. (Pucrs 2015) Dada a matriz 
1 1
A
1 1
 
  
 
 e a função f, definida 
no conjunto das matrizes 2 2 por 2f(X) X 2X,  então f(A) é 
a) 
1 1
1 1
  
   
 
b) 
0 0
0 0
 
 
 
 
c) 
1 1
1 1
 
 
 
 
d) 
2 2
2 2
 
 
 
 
e) 
3 3
3 3
 
 
 
 
 
 
5. (Mackenzie 2015) Se 
1 1 0
A 0 1 0 ,
0 0 1
 
   
  
 
1 0 0
B 0 1 0 ,
0 0 1
 
   
  
 
0 0 0
C 0 0 0
0 0 0
 
   
  
 e os inteiros x e y são tais que 
2A x A y B C,     então 
a) x 0 
b) x 1 
c) x 2  
d) x 1  
e) x 2 
 
6. (Fgv 2016) Dada a matriz 
3
B
4
 
   
 e sabendo que a matriz 
 
 
 
Página 2 de 15 
1 2 1A
5 3
    
 
 é a matriz inversa da matriz A, podemos concluir 
que a matriz X, que satisfaz a equação matricial AX B, tem 
como soma de seus elementos o número 
a) 14 
b) 13 
c) 15 
d) 12 
e) 16 
 
 
7. (Fgv 2013) Sabendo que a inversa de uma matriz A é 
1 3 1A ,
5 2
     
 e que a matriz X é solução da equação matricial 
X A B,  em que  B 8 3 , podemos afirmar que a soma dos 
elementos da matriz X é 
a) 7 
b) 8 
c) 9 
d) 10 
e) 11 
 
8. (Espcex (Aman) 2020) Duas cidades A e B têm suas áreas 
urbanas divididas em regiões Comercial, Residencial e Industrial. 
A tabela 1 fornece as áreas dessas regiões em hectares para as duas 
cidades. 
 
A tabela 2, por sua vez, fornece os valores anuais médios de 
arrecadação, em milhões de reais por hectare, referentes ao Imposto 
Predial e Territorial Urbano (IPTU), ao fornecimento de energia 
elétrica e ao fornecimento de água. 
 
Tabela 1 
 Área 
Comercial 
Área 
Residencial 
Distrito 
Industrial 
Cidade A 10 25 42 
Cidade B 8 12 18 
 
 
Tabela 2 
 Área 
Comercial 
Área 
Residencial 
Distrito 
Industrial 
IPTU 12 6 5 
Energia 
Elétrica 
25 12 60 
Água 15 10 50 
 
Considere as matrizes 1T e 2T , associadas respectivamente às 
tabelas 1 e 2. 
 
1 2
12 6 5
10 25 42
T T 25 12 60
8 12 18
15 10 50
 
           
 
 
Seja ija os elementos da matriz resultante do produto 
t
1 2T T . 
Nessas condições, a informação contida no termo de ordem 22a 
desse produto de matrizes é o valor total arrecadado com 
a) fornecimento de energia elétrica nas áreas residenciais. 
b) fornecimento da água da cidade A. 
c) fornecimento da água nas áreas residenciais. 
d) IPTU nos distritos industriais. 
e) fornecimento de energia elétrica na cidade B. 
 
9. (Ufms 2019) Uma indústria farmacêutica produz 3 tipos de 
suplementos alimentares: X, Y e Z. Os suplementos são 
compostos de Vitamina B, Vitamina D e Vitamina E em 
miligramas por cápsula, com concentrações diferentes. A matriz M 
representa a quantidade de vitaminas em miligrama por cápsula de 
cada suplemento; a matriz P, a produção diária de cápsulas dos 
suplementos: 
 
X Y Z
200 X 1 1 2 Vitamina B
P 500 Y M 3 3 1 Vitamina D
300 Z 4 5 6 Vitamina E
   
       
      
 
 
Qual matriz a seguir representa a quantidade, em gramas, de 
vitamina B, vitamina D e vitamina E utilizada na produção diária 
de cápsulas dos suplementos X, Y e Z pela indústria 
farmacêutica? 
a) 
1,3
2,4
5,1
 
 
 
  
 
b) 
16
45
27
 
 
 
  
 
c) 
29
32
27
 
 
 
  
 
d) 
13
24
51
 
 
 
  
 
e) 
2,9
3,2
2,7
 
 
 
  
 
 
10. (Famerp 2019) A matriz quadrada 
1 0
M
0 2
 
  
 
 representa 
uma mensagem codificada. A mensagem decodificada é a matriz 
quadrada 1
x y
M ,
z w
    
 
 tal que 1M é a inversa da matriz M 
Sendo assim, o valor de x y z w   é 
a) 1 
b) 0 
c) 1 
d) 
1
2
 
e) 
1
2
 
 
11. (Famema 2021) Dois jogadores, A e B, disputaram a final de 
um torneio de xadrez em dois jogos. Em cada partida, se ocorresse 
empate, cada jogador ganharia 1 ponto, caso contrário, o vencedor 
ganharia 2 pontos e o perdedor perderia 1 ponto. As matrizes que 
indicaram a pontuação obtida por cada jogador tinham, ambas, a 
seguinte estrutura: 
 
 
 
Página 3 de 15 
 
A B
A 0 1º jogo
B 2º jogo 0
 
 
 
 
 
No caso do jogador A, sua matriz de pontuação foi: 
 
A B
A 0 1
B 1 0
 
  
 
 
Se a matriz de pontuação do jogador B era igual a matriz resultante 
da multiplicação matricial 
0 1 x y
,
1 0 z w
   
      
 então x y z w   
é igual a 
a) 0. 
b) 2. 
c) 1. 
d) 3. 
e) –1. 
 
 
12. (Espcex (Aman) 2020) Duas cidades A e B têm suas áreas 
urbanas divididas em regiões Comercial, Residencial e Industrial. 
A tabela 1 fornece as áreas dessas regiões em hectares para as duas 
cidades. 
 
A tabela 2, por sua vez, fornece os valores anuais médios de 
arrecadação, em milhões de reais por hectare, referentes ao Imposto 
Predial e Territorial Urbano (IPTU), ao fornecimento de energia 
elétrica e ao fornecimento de água. 
 
Tabela 1 
 Área 
Comercial 
Área 
Residencial 
Distrito 
Industrial 
Cidade A 10 25 42 
Cidade B 8 12 18 
 
 
Tabela 2 
 Área 
Comercial 
Área 
Residencial 
Distrito 
Industrial 
IPTU 12 6 5 
Energia 
Elétrica 
25 12 60 
Água 15 10 50 
 
Considere as matrizes 1T e 2T , associadas respectivamente às 
tabelas 1 e 2. 
 
1 2
12 6 5
10 25 42
T T 25 12 60
8 12 18
15 10 50
 
           
 
 
Seja ija os elementos da matriz resultante do produto 
t
1 2T T . 
Nessas condições, a informação contida no termo de ordem 22a 
desse produto de matrizes é o valor total arrecadado com 
a) fornecimento de energia elétrica nas áreas residenciais. 
b) fornecimento daágua da cidade A. 
c) fornecimento da água nas áreas residenciais. 
d) IPTU nos distritos industriais. 
e) fornecimento de energia elétrica na cidade B. 
 
 
Aprofundando 
 
 
1. (Unicamp 2018) Sejam a e b números reais tais que a matriz 
1 2
A
0 1
 
  
 
 satisfaz a equação 2A aA bI,  em que I é a matriz 
identidade de ordem 2. Logo, o produto ab é igual a 
a) 2. 
b) 1. 
c) 1. 
d) 2. 
 
 
2. (Fgv 2018) Seja ij 22A (a ) uma matriz tal que 
i
ij j
j , se i j
a .
( i) , se i j
  
 
 
 
A inversa da matriz A, denotada por 1A , é a matriz 
a) 
1
2
2
1
1
2
  
 
   
 
b) 
1
2
2
1
1
2
  
 
   
 
c) 
1 2
6 3
1 2
6 3
   
 
   
 
d) 
1 2
6 3
1 2
6 3
   
 
 
  
 
e) 
2 1
3 6
1 1
3 6
   
 
   
 
 
3. (Enem 2018) A Transferência Eletrônica Disponível (TED) é 
uma transação financeira de valores entre diferentes bancos. Um 
economista decide analisar os valores enviados por meio de TEDs 
entre cinco bancos (1, 2, 3, 4 e 5) durante um mês. Para isso, ele 
dispõe esses valores em uma matriz ijA [a ], em que 1 i 5  e 
1 j 5,  e o elemento ija corresponde ao total proveniente das 
operações feitas 
via TED, em milhão de real, transferidos do banco i para o banco 
j durante o mês. Observe que os elementos iia 0, uma vez que 
TED é uma transferência entre bancos distintos. Esta é a matriz 
obtida para essa análise: 
 
 
 
 
Página 4 de 15 
0 2 0 2 2
0 0 2 1 0
A 1 2 0 1 1
0 2 2 0 0
3 0 1 1 0
 
 
 
 
 
 
  
 
 
Com base nessas informações, o banco que transferiu a maior 
quantia via TED é o banco 
a) 1. 
b) 2. 
c) 3. 
d) 4. 
e) 5. 
 
4. (Fac. Albert Einstein - Medicin 2017) Uma matriz B possui i 
linhas e j colunas e seus elementos são obtidos a partir da 
expressão ijb i 2j.  Seja uma matriz ij 2 3A (a )  cujos 
elementos da primeira coluna são nulos e 2I a matriz identidade de 
ordem 2, tal que 2AB I . 
 
O valor numérico do maior elemento da matriz A é igual a 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
 
5. (Fgv 2017) Uma fábrica decide distribuir os excedentes de três 
produtos alimentícios A, B e C a dois países da América Central, 
1P e 2P . As quantidades, em toneladas, são descritas mediante a 
matriz Q : 
 
1
2
A B C
P200 100 150
Q
P100 150 200
  
 
   
 
 
Para o transporte aos países de destino, a fábrica recebeu 
orçamentos de duas empresas, em reais por toneladas, como indica 
a matriz P : 
 
500 300 1ª empresa
P
400 200 2ª empresa
 
   
 
 
a) Efetue o produto das duas matrizes, na ordem que for possível. 
Que elemento da matriz produto indica o custo de transportar o 
produto A, com a segunda empresa, aos dois países? 
b) Para transportar os três produtos aos dois países, qual empresa 
deveria ser escolhida, considerando que as duas apresentam 
exatamente as mesmas condições técnicas? Por quê? 
 
6. (Fac. Albert Einstein - Medicin 2017) Uma matriz quadrada de 
ordem n é chamada triangular superior se ija 0 para i j. Os 
elementos de uma matriz triangular superior T, de ordem 3, onde 
i j, são obtidos a partir da lei de formação 2ijt 2i j.  Sendo 
A [ 1 1 1]  uma matriz de ordem 1 3 e tA sua transposta, o 
produto tA T A  é a matriz 1 1 cujo único elemento vale 
a) 0. 
b) 4. 
c) 7. 
d) 28. 
 
7. (Fgv 2017) Uma matriz A de ordem 2 transmite uma palavra 
de 4 letras em que cada elemento da matriz representa uma letra 
do alfabeto. 
 
A fim de dificultar a leitura da palavra, por se tratar de informação 
secreta, a matriz A é multiplicada pela matriz 
3 1
B
5 2
 
   
 
obtendo-se a matriz codificada B A. 
 
Sabendo que a matriz B A é igual a 
10 27
,
21 39
 
  
 podemos 
afirmar que a soma dos elementos da matriz A é: 
a) 46 
b) 48 
c) 49 
d) 47 
e) 50 
 
 
 
8. (Unicamp 2017) Sendo a um número real, considere a matriz 
1 a
.
0 1
 
  
 Então, 2017A é igual a 
a) 
1 0
.
0 1
 
 
 
 
b) 
1 a
.
0 1
 
  
 
c) 
1 1
.
1 1
 
 
 
 
d) 
20171 a
.
0 1
 
   
 
 
9. (Udesc 2014) Se TA e 1A representam, respectivamente, a 
transposta e a inversa da matriz 
2 3
A ,
4 8
 
  
 
 então o determinante 
da matriz T 1B A 2A  é igual a: 
a) 
111
2

 
b) 
83
2

 
c) 166 
d) 
97
2
 
e) 62 
 
10. (Unesp 2014) Considere a equação matricial A + BX = X + 
2C, cuja incógnita é a matriz X e todas as matrizes são quadradas 
de ordem n. A condição necessária e suficiente para que esta 
equação tenha solução única é que: 
a) B I O,  onde I é a matriz identidade de ordem n e O é a 
matriz nula de ordem n. 
b) B seja invertível. 
c) B O, onde O é a matriz nula de ordem n. 
 
 
 
Página 5 de 15 
d) B I seja invertível, onde I é a matriz identidade de ordem n. 
e) A e C sejam invertíveis. 
 
 
 
 
 
 
11. (Fuvest 2013) Sejam α e β números reais com 
2 2π α π   e 0 .β π  Se o sistema de equações, dado em 
notação matricial, 
 
03 6 tg
,
6 8 cos 2 3
α
β
    
           
 
 
for satisfeito, então α β é igual a 
a) 
3
π
 
b) 
6
π
 
c) 0 
d) 
6
π
 
e) 
3
π
 
 
12. (Udesc 2012) Considere as matrizes 
x
y
9 a 0
A ,
4 16 1
 
  
  
 
x
2y 1 1
3 b 1
B
1 4 2 
 
  
  
 e 
2y 1
27 13 6
C .
b 2 10 c
 
  
  
 A soma 
dos quadrados das constantes x, y, a, b e c que satisfazem a equação 
matricial A 6B C  é: 
a) 26 
b) 4 
c) 41 
d) 34 
e) 16 
 
13. (Fuvest 2012) Considere a matriz 
a 2a 1
A
a 1 a 1
 
    
 em que 
a é um número real. Sabendo que A admite 
inversa 1A  cuja primeira coluna é 
2a 1
1
 
  
, a soma dos elementos 
da diagonal principal de 1A  é igual a 
a) 5 
b) 6 
c) 7 
d) 8 
e) 9 
 
14. (Uel 2011) Uma indústria utiliza borracha, couro e tecido para 
fazer três modelos de sapatos. A matriz Q fornece a quantidade de 
cada componente na fabricação dos modelos de sapatos, enquanto a 
matriz C fornece o custo unitário, em reais, destes componentes. 
 
 
 
A matriz V que fornece o custo final, em reais, dos três modelos de 
sapatos é dada por: 
a) 
110
V 120
80
 
   
 
 
 
b) 
90
V 100
60
 
   
 
 
 
c) 
80
V 110
80
 
   
 
 
 
d) 
120
V 110
100
 
   
 
 
 
e) 
100
V 110
80
 
   
 
 
 
 
15. (Fgv 2010) Uma fábrica decide distribuir os excedentes de três 
produtos alimentícios A, B e C a dois países da América Central, 
1P e 2P . As quantidades, em toneladas, são descritas mediante a 
matriz Q : 
 
 
 
Para o transporte aos países de destino, a fábrica recebeu 
orçamentos de duas empresas, em reais por tonelada, como indica a 
matriz P : 
 
500 300 1º empresa
P
400 200 2º empresa
 
   
 
 
a) Efetue o produto das duas matrizes, na ordem que for possível. 
Que representa o elemento 13a da matriz produto? 
b) Que elemento da matriz produto indica o custo de transportar o 
produto A, com a segunda empresa, aos dois países? 
c) Para transportar os três produtos aos dois países, qual empresa 
deveria ser escolhida, considerando que as duas apresentam 
exatamente as mesmas condições técnicas? Por quê? 
 
 
 
Página 6 de 15 
 
16. (Fgv 2009) Sendo 
1 1
A
0 1
 
  
 
 e 
170
B ,
10
 
  
 
 a matriz 
x
X
y
 
  
 
 na equação 16A X B  será: 
a) 
5
5
 
 
 
 
b) 
0
10
 
 
 
 
c) 
10
5
 
 
 
 
d) 
10
10
 
 
 
 
e) 
5
10
 
 
 
 
 
17. (Ueg 2019) A matriz triangular de ordem 3, na qual ija 0 
para i j e ija 4i 5j 2  para i j é representada pela matriz 
a) 
1 4 9
0 0 5
0 0 1
  
  
  
 
b) 
1 4 9
0 1 5
0 0 0
  
  
 
 
 
c) 
3 8 13
0 4 9
0 0 5
 
 
 
 
 
 
d) 
3 0 0
8 4 0
13 9 5
 
 
 
 
 
 
e) 
1 0 0
4 0 0
9 5 1
 
  
    
 
 
18. (Efomm 2017) Determine uma matriz invertível P que 
satisfaça a equação 1
5 0
P A ,
0 2
      
 sendo 
1 2
A .
3 3
 
  
 
 
a) 
5 10
3 9P
2 2
3 9
 
 
  
   
 
b) 
2 10
P
6 15
 
   
 
c) 
2 101
P
3 310
 
   
 
d) 
2 2
9 3P
10 5
9 3
   
  
   
 
e) 
1
1
5P
3 3
5 2
 
 
  
   
 
 
 
 
 
 
19. ( epcar (Cpcar) 2020) Um jogo consiste na disputa de dois 
adversários que, em um tabuleiro quadrado, dividido em 16 outros 
quadrados menores e congruentes, conforme figura abaixo, devem 
conseguir alinhar VERTICALMENTE, HORIZONTALMENTE ou 
em DIAGONAL, quatro algarismos iguais. 
 
 
 
Cada jogador, após escolher o algarismo com o qual irá preencher 
os quadrados menores, escreve um número por vez, em qualquer 
quadrado menor do tabuleiro, e passa a vez para o adversário. 
Vence o primeiro que alinhar os quatro algarismos iguais. 
No quadrado abaixo, estão registradas, numa partida desse jogo, as 
jogadas de Lucas, que escolheu o algarismo 5, e as jogadas de 
Mateus, que escolheu o algarismo 7. 
 
 
 
Analise cada proposição abaixo quanto a ser (V) Verdadeira ou (F) 
Falsa. 
 
( ) Se o próximo jogador for Lucas, ele não terá chance de 
ganhar o jogo, nessa jogada. 
( ) Se o próximo jogador for Mateus, então, para garantir a 
vitória nessa jogada, ele poderá escrever o algarismo 7 em 
duas posições. 
( ) Se Mateus for o próximo a jogar e NÃO escrever o algarismo 
7 em um quadrado que dê a vitória a ele, então, Lucas 
poderá ganhar a partida na jogada seguinte à de Mateus. 
 
Sobre as proposições, tem-se que 
a) apenas uma é falsa. 
b) todas são verdadeiras. 
c) apenas duas são falsas. 
d) todas são falsas. 
 
 
20. (Enem 2019) Um professor aplica, durante os cinco dias úteis 
de uma semana, testes com quatro questões de múltipla escolha a 
cinco alunos. Os resultados foram representados na matriz. 
 
 
 
 
Página 7 de 15 
3 2 0 1 2
3 2 4 1 2
2 2 2 3 2
3 2 4 1 0
0 2 0 4 4
 
 
 
 
 
 
  
 
 
Nessa matriz os elementos das linhas de 1 a 5 representam as 
quantidades de questões acertadas pelos alunos Ana, Bruno, Carlos, 
Denis e Érica, respectivamente, enquanto que as colunas de 1 a 5 
indicam os dias da semana, de segunda-feira a sexta-feira, 
respectivamente, em que os testes foram aplicados. 
 
O teste que apresentou maior quantidade de acertos foi o aplicado 
na 
a) segunda-feira. 
b) terça-feira. 
c) quarta-feira. 
d) quinta-feira. 
e) sexta-feira. 
 
21. ( ifce 2019) Considere as matrizes 
1 1 2
M 2 0 3
2 1 1
 
   
  
 e 
0 2 3
N 1 1 1 .
0 1 2
 
   
  
 A matriz M N tem em sua segunda coluna 
elementos cujo produto vale 
a) 56. 
b) 28. 
c) 0. 
d) 48. 
e) 8. 
 
 
22. (Unicamp 2019) Sabendo que a e b são números reais, 
considere a matriz quadrada de ordem 2, 
 
1 1
A .
a b
 
  
 
 
 
a) Determine todos os valores de a e b para os quais 
T TA A AA , em que TA é a transposta da matriz A. 
b) Para a b 2,  sejam k e θ números reais tais que 
 
cos cos
A k .
sen sen
θ θ
θ θ
   
   
   
 
 
Determine os possíveis valores de tan .θ 
 
 
 
23. (Ufpr 2020) Sendo x, y e z números reais, considere as 
matrizes 
 
1 1 2 1
1 0 1 1
A
x 2 0 0
y z 0 0
 
 
 
 
 
 
 e 
0 0 3 2
0 0 2 1
B
1 1 2 1
1 2 5 3
 
 
 
 
 
   
 
 
a) Supondo que x 1, y 1  e z 2,  calcule o produto de 
matrizes A B. 
b) Para quais valores de x, y e z a matriz B é a inversa da matriz 
A? 
 
 
 
 
 
GABARITO: 
 
 
Resposta da questão 1: 
 [B] 
 
Pelas informações do enunciado, tem-se: 
 
 
 
Assim, após as mudanças nas vias a nova matriz será: 
 
 
 
Portanto, 6 elementos da matriz terão seus valores alterados. 
 
 
Resposta da questão 2: 
 [C] 
 
[I] Falsa. Sejam A [1 1]  e B [1 0 1] duas matrizes linha. 
Como as ordens de A e de B são, respectivamente, iguais a 
1 2 e 1 3, podemos concluir que a matriz produto A B não 
existe, uma vez que o número de colunas da matriz A é 
diferente do número de linhas da matriz B. 
 
 
 
 
Página 8 de 15 
[II] Verdadeira. Sabendo que nI é matriz identidade de ordem n, e 
sendo A uma matriz quadrada de ordem n, temos 
n nA I I A A.    Portanto, se nA I , então 
2
n n n nI I I I .   
 
[III] Falsa. Considere a matriz 
1 0
A
0 0
 
  
 
 e a sua transposta 
t 1 0A .
0 0
 
  
 
 Desse modo, temos 
t 1 0 1 0 1 0A A .
0 0 0 0 0 0
     
        
     
 
 
Mas t 2A A I .  
 
Resposta da questão 3: 
 [C] 
 
Temos 
 
11 12 13
21 22 23
m m m
M
m m m
4 1 1 4 1 2 4 1 3
4 2 1 4 2 2 4 2 3
3 2 1
.
7 6 5
 
  
 
      
        
 
  
 
 
 
Resposta da questão 4: 
 [B] 
 
Tem-se que 
 
2f(A) A 2A
1 1 1 1 1 1
2
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2
2 2 2 2
0 0
.
0 0
 
     
      
     
   
    
   
 
  
 
 
 
Resposta da questão 5: 
 [C] 
 
Tem-se que 
 
2
1 2 0 x x 0 y 0 0 0 0 0
A x A y B C 0 1 0 0 x 0 0 y 0 0 0 0 .
0 0 1 0 0 x 0 0 y 0 0 0
       
                      
              
 
 
Portanto, só pode ser x 2.  
 
 
 
Resposta da questão 6: 
 [B] 
 
De AX B, 
   
 
   
 
1 1
1 1
1
1
A AX A B
A A X A B
I X A B
X A B
2 1 3
X
5 3 4
2 3 1 4
X
5 3 3 4
10
X
3
 
 


  
  
  
 
   
       
     
      
 
  
 
 
 
Assim, a soma dos elementos da matriz X é: 
10 3 13  
 
Resposta da questão 7: 
 [A] 
 
Sabendo que 1A A I,  com I sendo a matriz identidade de 
ordem 2, temos 
 
 
 
 
1 1
1
X A B X A A B A
X I B A
3 1
X 8 3
5 2
X 24 15 8 6
X 9 2 .
 

      
   
 
     
    
  
 
 
Por conseguinte, a soma pedida é igual a 9 ( 2) 7.   
 
Resposta da questão 8: 
 [E] 
 
Tem-se que 
t
1 2
12 25 15
10 25 42
T T 6 12 10 .
8 12 18
5 60 50
 
            
 
 
Portanto, sendo 22a 8 25 12 12 18 60,      podemos concluir 
que tal elemento representa o total arrecadado com fornecimento de 
energia elétrica na cidade B. 
 
Resposta da questão 9: 
 [A] 
 
O resultado é dado por 
1 1 2 0,2 0,2 0,5 0,6
3 3 1 0,5 0,6 1,5 0,3
4 5 6 0,3 0,8 2,5 1,8
1,3
2,4 .
5,1
      
             
           
 
   
  
 
 
 
 
 
Página 9 de 15 
Resposta da questão 10: 
 [E] 
 
Calculando: 
x 1 x 1
y 0 y 01 0 x y 1 0 x y 1 0
2z 0 z 00 2 z w 0 1 2z 2w 0 1
12w 1 w 2
1 1
x y z w 1 0 0
2 2
    
                                          
   
         
 
 
Resposta da questão 11: 
 [E] 
 
Se a matriz de pontuação do jogador A foi 
0 1
,
1 0
 
  
 então houve 
empate no 1º jogo e B venceu o 2º jogo. Daí, segue que a matriz de 
pontuação do jogador B foi 
0 1
.
2 0
 
 
 
 
Portanto, temos 
0 1 x y 0 1 z w 0 1
1 0 z w 2 0 x y 2 0
x 2
y 0
.
z 0
w 1
         
                       
 
   
 
 
 
A resposta é x y z w 1.     
 
Resposta da questão 12: 
 [E] 
 
Tem-se que 
t
1 2
12 25 15
10 25 42
T T 6 12 10 .
8 12 18
5 60 50
 
            
 
 
Portanto, sendo 22a 8 25 12 12 18 60,      podemos concluir 
que tal elemento representa o total arrecadado com fornecimentode 
energia elétrica na cidade B. 
 
 
 
 
Página 10 de 15 
 
 
 
 
Aprofundando 
 
Resposta da questão 1: 
 [A] 
 
Tem-se que 
2 1 2 1 2 1 2 1 0A aA bI a b
0 1 0 1 0 1 0 1
1 4 a b 2a
0 1 0 a b
a b 1
2a 4
a 2
b 1
       
            
       
   
       
 
 


 
 
 
 
Por conseguinte, vem a b 2 ( 1) 2.      
 
Resposta da questão 2: 
 [E] 
 
Calculando: 
 
 
 
21
1 2
t
1
1 1 1 1
A det A 6
2 42 2
4 2
A '
1 1
4 1
A A '
2 1
2 1
4 11 3 6A
2 1 1 16
3 6

               
 
    
  
    
     
           
 
 
 
Resposta da questão 3: 
 [A] 
 
Tem-se que os totais transferidos, em milhões, por cada um dos 
bancos foram 
5
1j
j 1
5
2j
j 1
5
3 j
j 1
5
4j
j 1
a 0 2 0 2 2 6,
a 0 0 2 1 0 3,
a 1 2 0 1 1 5,
a 0 2 2 0 0 4




     
     
     
     




 
e 
5
5j
j 1
a 3 0 1 1 0 5.

      
 
Portanto, é fácil ver que a resposta é o banco 1. 
 
Resposta da questão 4: 
 [B] 
 
Se ij 2 3A (a )  e 2AB I , então ij 3 2B (b ) . Ademais, sendo 
ijb i 2j,  vem 
1 3
B 0 2 .
1 1
  
   
  
 Em consequência, temos 
2
1 3
0 a b 1 0
A B I 0 2
0 c d 0 1
1 1
b 2a b 1 0
d 2c d 0 1
a 1
b 1
.1
c
2
d 0
  
                  
    
        
 
  
 


 
 
Portanto, como b 1 é o maior elemento da matriz A, segue o 
resultado. 
 
Resposta da questão 5: 
 a) Calculando: 
1 221 P P
500 300 200 100 150
PQ
400 200 100 150 200
100000 30000 50000 45000 75000 60000 130000 950
80000 20000 40000 30000 60000 40000 100000 7000
PQ C C 80000 20000 100000
   
     
   
     
         
    
 
b) A empresa 2. Calculando: 
2 1E E
Empresa 1 130000 95000 135000 360000
C C
Empresa 2 100000 70000 100000 270000
   
 
   
 
 
Resposta da questão 6: 
 [D] 
 
Tem-se que 
1 0 1
T 0 6 5 .
0 0 15
 
   
  
 
 
Logo, vem 
 
 
 
Página 11 de 15 
 
 
t
1 0 1 1
A T A [ 1 1 1] 0 6 5 1
0 0 15 1
1
1 6 21 1
1
28 .
    
           
      
 
     
  

 
 
Resposta da questão 7: 
 [D] 
 
Calculando: 
10 27 3 1 a b 10 27
B A
21 39 5 2 c d 21 39
3a c 3b d 10 27
5a 2c 5b 2d 21 39
3a c a 1
5a 2c c 13
3b d b 15
5b 2d d 18
a b c d 1 13 15 18 47
         
                    
     
          
 
  
 
  
       
 
 
Resposta da questão 8: 
 [B] 
 
Calculando: 
2
2
4 2 2
6 4 2
2016 2014 2
2017 2016 2017
1 a 1 a 1 0
A
0 1 0 1 0 1
A I
A A A I I I
A A A I I I
A A A I I I
1 a
A A A I A A A
0 1
     
             

    
    
    
 
         

 
 
Resposta da questão 9: 
 [B] 
 
O determinante de A é igual a 
2 3
2 8 4 3 4.
4 8
     Logo, 
1
8 3 3
2
4 4 4A .
4 2 1
1
4 4 2

       
    
          
 Daí, 1
3
4
2A 2
2 1

  
 
  
 e, 
portanto, 
 
3 11
2 4 4 2
B .2 2
3 8
2 1 5 7
                        
 
 
O resultado pedido é 
 
11
2 11 83
2 7 5 .2
2 2
5 7

       
 
Resposta da questão 10: 
 [D] 
 
A + BX = X + 2C, 
 
BX = X + 2C – A 
 
BX – X = 2C – A 
 
X(B – I) = 2C – A (I é a matriz identidade de ordem n) 
 
X = (2C – A).(B – I)-1 
 
Portanto, será necessário que B I seja invertível, onde I é a matriz 
identidade de ordem n. 
 
 
Resposta da questão 11: 
 [B] 
 
Efetuando o produto matricial, vem 
 
0 3 tg 6cos 03 6 tg
6 8 cos 2 3 6 tg 8cos 2 3
3tg 6cos 0
3 tg 4cos 3
2cos 3
3
cos
2
rad.
6
                           
    
    
  
  

  
 
 
Desse modo, 
 
3 tg 6cos 0 tg 3
6
rad
3

      

   
 
 
e, portanto, 
 
rad.
3 6 6
  
        
 
 
Resposta da questão 12: 
 [A] 
 
Como 
x
2y 1
6 3 6b 6
6B ,
6 6 4 3
 
  
  
 vem 
 
 
 
 
Página 12 de 15 
x x
2y 1y 2y 1
x x
2y 1y 2y 1
27 13 69 a 0 6 3 6b 6
b 2 10 c4 16 1 6 6 4 3
27 13 69 6 3 a 6b 6
.
b 2 10 c2 16 6 4 4


     
       
         
      
   
       
 
 
Igualando os termos correspondentes, segue que 
 
b 2,  c 4  e a 6b 13 a 1.    
 
Além disso, 
 
x x x 2 x
x 2
x
9 6 3 27 (3 ) 2 3 3 27
(3 3) 36
3 6 3
x 2
       
  
   
 
 
e 
y 2y 1 2y 1 2y 2 2y
2
2y
2y
16 6 4 2 10 (2 ) 2 20
1 81
2
2 4
9 1
2
2 2
y 1.
       
    
 
   
 
 
 
Portanto, a soma pedida é 
 
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2x y a b c 2 1 1 ( 2) ( 4) 26.            
 
Resposta da questão 13: 
 [A] 
 
A.A-1 = I2 
 
a 2a 1 2a 1 x 1 0
a 1 a 1 1 y 0 1
a.(2a 1) (2a 1) 1
Temos o sistema 
(a 1).(2a 1) 1(a 1) 0
      
             
   
     
 
 
Resolvendo o sistema temos a = 2, 1
2 5 3 5
A e A
1 3 1 2
           
 
 
Portanto, a soma dos elementos da diagonal principal é 3 + 2 = 5. 
 
Resposta da questão 14: 
 [E] 
 
Multiplicando as matrizes, temos: 
2 1 1 10 2.10 1.50 1.30 100
1 2 0 . 50 1.10 2.50 0.30 110
2 0 2 30 2.10 0.50 2.30 80
        
                 
               
 
 
Resposta da questão 15: 
 a) 
500 300 200 100 150 130000 95000 135000
P Q
400 200 100 150 200 100000 70000 100000
     
        
     
 
 
o elemento 13a representa o preço, em reais, que a empresa 1 
cobra para transportar o produto C aos dois países. 
 
b) O elemento que representa o custo para transportar o produto A, 
pela segunda empresa, é o 21a . 
 
c) Pela empresa 1, 
130.000 95.000 135.000 360.000.   
 
Pela empresa 2, 
100.000 70.000 100.000 270.000.   
 
Portanto, a empresa 2 seria a mais vantajosa. 
 
Resposta da questão 16: 
 [D] 
 
Resposta da questão 17: 
 [A] 
 
Tem-se que 
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a 4 1 5 1 2 4 1 5 2 2 4 1 5 3 2
a a a 0 4 2 5 2 2 4 2 5 3 2
a a a 0 0 4 3 5 3 2
1 4 9
0 0 5 .
0 0 1
              
              
        
  
   
  
 
Resposta da questão 18: 
 [E] 
 
Admitindo que a matriz P seja dada por 
x y
P
z w
 
  
 
 e que: 
 
1 5 0 5 0 x y 5 0 1 2P A P A
0 2 0 2 z w 0 2 3 3
                                     
 
 
Temos então a equação matricial. 
5x 2y 1 2 1 3 3
x , y 1, z e w
5z 2w 3 3 5 5 2
    
            
 
 
Portanto a matriz P será dada por: 
 
1
1
5P
3 3
5 2
 
 
  
   
 
 
Resposta da questão 19: 
 [A] 
 
Seja ija o algarismo que será escrito na linha i e coluna j. 
Se o próximo jogador for Lucas, ele não terá chance de ganhar o 
jogo, nessa jogada, uma vez que não existem, com exceção da 
primeira coluna, três algarismos 5 em nenhuma linha, coluna ou 
diagonal. 
Se o próximo jogador for Mateus, então, para garantir a vitória 
nessa jogada, ele poderá escrever 42a 7 ou 14a 7. 
 
 
 
Página 13 de 15 
Se Mateus não ganhar na sua vez, como dissemos anteriormente, 
Lucas não poderá ganhar a partida na jogada seguinte. 
 
 
Resposta da questão 20: 
 [A] 
 
Seja ija cada elemento da matriz dada, em que i e j denotam, 
respectivamente, a linha e a coluna em que ija se encontra. 
 
Logo, vem 
5
i1
i 1
5
i2
i 1
5
i3
i 1
5
i4
i 1
a 3 3 2 3 0 11,
a 2 2 2 2 2 10,
a 0 4 2 4 0 10,
a 1 1 3 1 4 10




     
     
     
     




 
e 
5
i5
i 1
a 2 2 2 0 4 10.

      
 
Portanto, o teste que apresentoumaior quantidade de acertos foi o 
aplicado na segunda-feira. 
 
Resposta da questão 21: 
 [B] 
 
Considerando que A M N  e que cada elemento de A seja da 
forma ija , podemos escrever que os elementos da segunda coluna 
são: 
 
 
 
 
12
22
32
2
a 1 1 2 1 2 1 2 1
1
2
a 2 0 3 1 4 0 3 7
1
2
a 2 1 1 1 4 1 1 4
1
 
         
  
 
          
  
 
       
  
 
 
Portanto, o produto pedido será: 
 12 22 32a a a 1 7 4 28        
 
 
Resposta da questão 22: 
 a) Do enunciado, temos: 
 
 
2
2 22
2
1 a 1 1 1 1 1 a
1 b a b a b 1 b
2 a b1 a 1 ab
a b a b1 ab 1 b
a 1 2 i
1 ab a b ii
       
         
       
    
    
        
  

  
 
 
Da equação (i), 
2a 1 
a 1 ou a 1  
 
Substituindo a 1 na equação (ii), 
1 b 1 b   
 
Logo, b é um número real qualquer. 
Substituindo a 1  na equação (ii), 
1 b 1 b
2b 2
b 1
   


 
 
Assim, temos: 
a 1 e b é um número real qualquer ou a 1  e b 1. 
 
b) Do enunciado, temos: 
 
 
1 1 cos cos
k
2 2 sen sen
1 k cos sen 0 icos sen k cos
2 cos 2 sen k sen 2 cos 2 k sen 0 ii
θ θ
θ θ
θ θθ θ θ
θ θ θ θ θ
     
       
     
        
          
 
Note que o sistema linear nas variáveis sen θ e cos θ é um 
sistema linear homogêneo com infinitas soluções, pois se tivesse 
somente a solução trivial, teríamos sen 0θ  e cos 0,θ  ou 
seja, tan θ não estaria definida. 
Portanto, 
   
 
2
2
1 k 1
0
2 2 k
1 k 2 k 2 0
2 k 2k k 2 0
k 3k 0
k k 3 0



    
    
 
  
 
k 0 ou k 3 
 
Substituindo k 0 na equação (i), 
 cos 1 0 sen 0
sen cos
sen
1
cos
tan 1
θ θ
θ θ
θ
θ
θ
   
 
 
 
 
 
Substituindo k 3 na equação (i), 
 
 
 
Página 14 de 15 
 cos 1 3 sen 0
2cos sen 0
sen 2 cos
sen
2
cos
tan 2
θ θ
θ θ
θ θ
θ
θ
θ
   
  
 


 
 
Portanto, os possíveis valores de tan θ são: 
tan 1θ   e tan 2θ  
 
Resposta: 
a) a 1 e b é um número real qualquer ou a 1  e b 1; 
b) tan 1θ   e tan 2.θ  
 
Resposta da questão 23: 
 a) Tem-se que A B é igual a 
1 1 2 1 0 0 3 2 2 1 2 2 3 2 4 5 2 1 2 3
1 0 1 1 0 0 2 1 1 1 1 2 3 2 5 2 1 3
x 2 0 0 1 1 2 1 0 0 3x 4 2x 2
y z 0 0 1 2 5 3 0 0 3y 2z 2y z
1 0 0 0
0 1 0 0
.
0 0 3x 4 2x 2
0 0 3y 2z 2y z
              
                        
     
         
 
 
 
  
 
  
 
 
Logo, se x 1, y 1  e z 2,  então 
 
 
b) Se B é a inversa de A, então 4A B B A I .    Logo, vem 
1 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0
.
0 0 3x 4 2x 2 0 0 1 0
0 0 3y 2z 2y z 0 0 0 1
   
   
   
    
   
    
 
 
Portanto, devemos ter 
3x 4 1
x 1
3y 2z 0
y 2
2x 2 0
z 3
2y z 1
 
             
 
 
Em consequência, como para tais valores de x, y e z a condição 
4B A I  também é cumprida (verifique!), segue o resultado. 
 
 
 
1 0 0 0
0 1 0 0
A B .
0 0 7 4
0 0 1 0
 
 
  
 
 
 
 
 
 
Página 15 de 15