RESOLUÇÃO - Lista 02 - Funções Trigonométricas

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RESOLUÇÃO – Lista 02 – Funções Trigonométricas 
 
 
Prof. Erickson 
1 
 
Resposta da questão 1: [B] 
Substituindo o cosseno por 1 e por -1, temos: 
𝑟𝑚á𝑥 =
5865
1 + 0,15. (−1)
= 6900 𝑒 𝑟𝑚í𝑛 =
5865
1 + 0,15. (1)
= 5100 
 
Somando, temos 6900 + 5100 = 12000 km 
 
 
Resposta da questão 2: [D] 
Substituindo o seno por 1 e por -1, temos: 
𝑄𝑚á𝑥 =
600
6 + 4 . (−1)
= 300 𝑒 𝑄𝑚í𝑛 =
600
6 + 4 . 1
= 60 
 
Portanto, o máximo e o mínimo de toneladas observados durante este 
estudo são, respectivamente, 300 e 60. 
 
 
Resposta da questão 3: [B] 
O seno de 30° é igual a 0,5. Logo: 
𝑙(𝑥) = 𝑘 ⋅ 𝑠𝑒𝑛( 𝑥) = 𝑘 ⋅ 𝑠𝑒𝑛( 30°) = 0,5 𝑘 
 
Logo, a intensidade luminosa se reduz a 50%. 
 
 
Resposta da questão 4: [A] 
Pelo formato do gráfico, é possível concluir que a função 𝑓 é do tipo 
𝑓(𝑡) = 𝑎 + 𝑏 𝑠𝑒𝑛( 𝑐𝑡). 
 
𝑉𝑚é𝑑𝑖𝑜 = 88 → 𝑎 = 88 
 𝑃 = 2𝜋 →
2𝜋
|𝑐|
= 2𝜋 → |𝑐| = 1 → 𝑐 = 1 (𝑝𝑒𝑙𝑎𝑠 𝑎𝑙𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠). 
𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒 = 80 → |𝑏| = 80 → 𝑏 = 80 (𝑝𝑒𝑙𝑎𝑠 𝑎𝑙𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠). 
 
Assim: 𝑓(𝑡) = 88 + 80 𝑠𝑒𝑛 𝑡. 
 
(Obs: no caso dos parâmetros “b” e “c”, se não houvesse alternativas para 
nos basearmos, seria necessário substituir valores de “t” na função para 
descobrir os valores de b e de c.) 
 
Resposta da questão 5: [B] 
Inicialmente, sabemos que devemos substituir o seno por 1 e por – 1. No 
entanto, como visto em aula, não necessariamente seno = 1 vai dar o 
máximo da função e seno = - 1 vai nos dar o mínimo da função. É possível 
que o valor máximo do seno gere o valor mínimo da função e que o seno 
mínimo gere o valor máximo da função. Assim, precisamos verificar em 
que horário se tem seno = 1. Para que o seno seja igual 1, é necessário 
que o ângulo seja 
π
2
 rad. Logo: 
 
π
12
(h − 12) =
π
2
→ ℎ = 18 
 
Portanto, o seno vale 1 quando h = 18. Nesse horário, no entanto, é ne-
cessário que a temperatura seja mínima, a fim de que a temperatura má-
xima ocorra pela manhã. 
Desse modo, nessa questão, seno = 1 deverá nos retornar o valor mínimo 
da função e, consequentemente, seno = -1 deverá nos retornar o valor 
máximo. Assim: 
 
{
𝐴 + 𝐵 . (−1) = 26
𝐴 + 𝐵 . (1) = 18
→ {
𝐴 − 𝐵 = 26
𝐴 + 𝐵 = 18
→ {
𝐴 = 22
𝐵 = −4
 
 
 
 
Resposta da questão 6: [A] 
Já que A e B são parâmetros positivos, podemos concluir que cosseno=1 
retornará o valor máximo e cosseno = - 1 retornará o valor mínimo. Assim: 
𝑃(𝑡) = 𝐴 + 𝐵 𝑐𝑜𝑠( 𝑘𝑡) 
{
𝐴 + 𝐵 ⋅ 1 = 120
𝐴 + 𝐵 ⋅ (−1) = 78
⇒ 𝐴 = 99 𝑒 𝐵 = 21 
 
Segundo o enunciado, 1 batimento cardíaco corresponde ao período da 
função (intervalo de tempo entre duas sucessivas pressões máximas). 
Logo: 
90 𝑏𝑎𝑡𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 − − − −60 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠 
1 𝑏𝑎𝑡𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 − − −− − 𝑥 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠 → 𝑥 =
6
9
𝑠 =
2
3
𝑠 
Logo, o período da função é 
2
3
: 
𝑃 =
2𝜋
|𝑘|
→
2
3
=
2𝜋
𝑘
→ 𝑘 = 3𝜋 
 
𝐴𝑠𝑠𝑖𝑚: 𝑃(𝑡) = 99 + 21 ⋅ 𝑐𝑜𝑠( 3𝜋𝑡) 
 
Resposta da questão 7: [B] 
Reescrevendo a equação da onda, temos 𝑦 = 𝑎 ⋅ 𝑠𝑒𝑛( 𝑏𝑥 + 𝑏𝑐). 
Logo, o período da onda é dado por 
2𝜋
𝑏
, dependendo, portanto, apenas do 
parâmetro 𝑏. 
 
Resposta da questão 8: [A] 
Pelo gráfico, percebe-se que seu período é 𝜋. Pela fórmula dada pelo 
enunciado: 𝑤 =
2𝜋
𝜋
⇒ 𝑤 = 2. 
Como o gráfico do seno foi apenas “esticado” e sua amplitude vale 4, po-
demos concluir que 𝐴 = 4. Portanto, a resposta é 𝑃(𝑡) = 4 𝑠𝑒𝑛( 2𝑡). 
 
Resposta da questão 9: [C] 
Note que a altura do retângulo coincide com a amplitude do gráfico e que 
a sua base é a distância entre o ponto D e o ponto C. Como, pela fórmula, 
a amplitude do gráfico é 2, temo que: 
Á𝑟𝑒𝑎 = 2. (
5𝜋
2
−
𝜋
2
) = 4𝜋 
 
Resposta da questão 10: [D] 
Observe que a “onda” se encaixa com o aspecto do gráfico da função 
seno e que a amplitude vale 2 e o período vale 𝜋. Logo: 
𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒 = 2 → 𝐵 = 2 
𝑃𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 = 𝜋 →
2𝜋
|𝐶|
= 𝜋 → |𝐶| = 2 → 𝐶 = 2 
𝑉𝑚é𝑑𝑖𝑜 = 0 → 𝐴 = 0 
 
Logo: 𝑓(𝑥) = 2 𝑠𝑒𝑛 2 𝑥. 
 
Resposta da questão 11: [B] 
Substituindo o seno por 1 e – 1, temos que: 
Máxima duração ⇒ 𝐿 = 12 + 2,8 ⋅ (+1) ⇒ 𝐿 = 14,8ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 
Mínima duração ⇒ 𝐿 = 12 + 2,8 ⋅ (−1) ⇒ 𝐿 = 9,2ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 
 
Resposta da questão 12: [C] 
Substituindo o seno por 1 e – 1, temos: 
𝑀 = 𝑓𝑚á𝑥 =
3
2+(−1)
= 3
𝑚 = 𝑓𝑚í𝑛 =
3
2+1
= 1
⟩ ⇒ 𝑀 ⋅ 𝑚 = 3 ⋅ 1 = 3 
 
 
 
 2 
Resposta da questão 13: [A] 
Substituindo o cosseno por 1 e – 1, temos: 
𝑓𝑚á𝑥 = 2 − (−1) = 3 𝑒 𝑓𝑚í𝑛 = 2 − (1) = 1 
 
Como 𝐼𝑚 = [𝑉𝑚í𝑛 , 𝑉𝑚á𝑥], temos que 1 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 3. 
 
Resposta da questão 14:[B] 
Substituindo o seno por 1 e – 1, temos: 
{
𝑓𝑚á𝑥 = 3 + 5 = 8
𝑓𝑚í𝑛 = 3 − 5 = −2
 
𝑃𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 ⇒
2𝜋
𝑘
=
2𝜋
2
= 𝜋 
 
Resposta da questão 15: 
 Para 𝜃 = 0°, temos: 
𝑟𝑀(0°) =
555
10 − 2 × 𝑐𝑜𝑠 0 °
=
555
10 − 2
=
555
8
 
 
Para 𝜃 = 180°, temos: 
𝑟𝑀(180°) =
555
10 − 2 × 𝑐𝑜𝑠 1 80°
=
555
10 − (−2)
=
555
12
 
 
Logo, 𝐴𝐵 =
555
8
+
555
12
≃ 115,625 milhões de quilômetros. 
 
Resposta da questão 16: [D] 
Pelo gráfico, note que o valor médio da função é 3 e a amplitude do gráfico 
é 2. Logo, a = 3 e b = 2. Portanto, 𝑎 ⋅ 𝑏 = 6. 
 
Resposta da questão 17: [C] 
O período 𝑃 da função dada será dada por: 𝑃 =
2𝜋
|
2𝜋
5
|
= 5 
 
Resposta da questão 18: [E] 
Considerando 𝑎,  𝑏 e 𝑝 números positivos, da imagem fornecida, pode-
mos concluir que 
𝑉𝑚á𝑥 = 5 → 𝑎 + 𝑏 ⋅ 1 = 5 ⇒ 𝑎 + 𝑏 = 5 
𝑉𝑚í𝑛 = 1 → 𝑎 + 𝑏 ⋅ (−1) = 1 ⇒ 𝑎 − 𝑏 = 1 
 
Resolvendo o sistema, temos: 𝑎 = 3 e b = 2 
 
Lembrando que 𝑝 > 0, o período da função será dado por: 
2𝜋
𝑝
=
3
𝜋
 (𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝜋 = 3) 
3𝑝 = 18 
𝑝 = 6 
 
Logo, 𝑎 + 𝑏 + 𝑝 = 3 + 2 + 6 = 11. 
 
Resposta da questão 19: 
 𝑃 =
2𝜋
|𝑚|
=
2𝜋
2
3
= 3𝜋 
 
Resposta da questão 20: [B] 
Substituindo o cosseno por 1 e por -1, temos: 
𝑦𝑚á𝑥 = −4 + 2 . 1 = −2 𝑒 𝑦𝑚í𝑛 = −4 − 2 . (−1) = −6 
 
Com isso, a imagem é [−6, −2] e, assim, o resultado é igual a 
−2
−6
=
1
3
. 
 
Resposta da questão 21: [D] 
Substituindo o seno por 1 e por -1, temos: 
10
2−
𝑠𝑒𝑛𝑥
3
=
10
2−
1
3
=
10
5
3
= 6 𝑒 
10
2−
𝑠𝑒𝑛𝑥
3
=
10
2−
(−1)
3
=
10
7
3
=
30
7
 
 
 Logo, o maior valor é 6. 
 
Resposta da questão 22: Todas falsas. 
 
[I] Falsa. A função T é periódica de período 
2𝜋
|
𝜋
2
|
= 4. 
 
[II] Falsa. Substituindo o seno por 1 e por -1, obtemos 121 e 119. Logo, a 
temperatura 𝑇 varia no intervalo [119,  121]. 
 
[III] Falsa. O gráfico da função 𝑇 tem amplitude 
121−119
2
= 1. 
 
 
Resposta da questão 23: [E] 
Substituindo o seno por 1 e por – 1, temos: 
A função seno varia de +1 (máximo) a −1 (mínimo), logo os valores má-
ximos e mínimos de 𝐴(𝑡) serão: 
𝐴𝑚á𝑥 = 12,6 + 4  ⋅ 1 = 16,6 𝑚 
𝐴𝑚í𝑛 = 12,6 + 4  ⋅ (−1) = 8,6 𝑚 
 
O tempo gasto para uma volta completa corresponde ao intervalo de 
tempo para um ciclo completo de máximo e mínimo do gráfico, ou seja, 
ao período da função. Logo: 
𝑃 =
2𝜋
|𝐶|
=
2𝜋
|
𝜋
18
|
=
2𝜋
𝜋
18
= 2𝜋 .
18
𝜋
= 36 𝑠 
 
 
Resposta da questão 24: [A] 
O número de quartos ocupados em junho é dado por: 
𝑄(6) = 150 + 30𝑐𝑜𝑠 (
𝜋
6
⋅ 6) = 150 + 30𝑐𝑜𝑠(𝜋) 
𝑄(6) = 150 + 30 ⋅ (−1) = 120 
 
O número de quartos ocupados em março é dado por: 
𝑄(3) = 150 + 30𝑐𝑜𝑠 (
𝜋
6
⋅ 3) = 𝑄(3) = 150 + 30𝑐𝑜𝑠 (
𝜋
2
) 
𝑄(3) = 150 + 30 ⋅ 0 = 𝑄(3) = 150 
 
A variação porcentual é a comparação entre a variação e o valor inicial. 
Como a variação foi de 120 – 150 = - 30 e o valor inicial é 150, temos: 
 
100% − − −−150 
𝑥 − − − −− − − 30 → 𝑥 = −20% 
 
 
Resposta da questão 25: [A] 
O valor médio da função é 2, logo a = 2. Por outro lado, (0, −1) é um 
ponto do gráfico da função, então: −1 = 2 + 𝑏 𝑐𝑜𝑠 0 ⇔ 𝑏 = −3. 
Logo, 5𝑎 + 2𝑏 = 5 ⋅ 2 + 2 ⋅ (−3) = 4. 
 
 
Resposta da questão 26: [D] 
Nessa função, o ponto me mínimo ocorre quando seno = -1, ou seja, para 
x = 270°. Logo: 270° =
3𝜋
2
 𝑟𝑎𝑑 ⇒ (
3𝜋
2
,  0) 
 
 
Resposta da questão 27: [B] 
Se a posição é considerada na vertical, então está projetada sobre“y” tal 
qual a imagem da função f. Logo, o diâmetro da circunferência vai corres-
ponder à imagem do gráfico, à distância entre o ponto máximo e o ponto 
mínimo do gráfico. Assim, substituindo o seno por 1 e por – 1, percebe-se 
que os valores máximo e mínimo são 120 e 80. 
 Logo, o diâmetro da circunferência é dado por 𝑑 = 120 − 80 = 40. 
 
 
 
 
 
 3 
Resposta da questão 28: [E] 
Do gráfico, sabemos que o valor médio do gráfico é 1 e que a amplitude 
vale 2. Logo 𝑎 = 2 e 𝑏 = 1. 
Portanto, segue que 𝑎 + 𝑏 = 3 e 𝑏 − 𝑎 = −1. 
 
 
Resposta da questão 29: 
a) Calculando: 
𝑀 = 0,67 ⋅ 𝑙𝑜𝑔(𝐸) − 3,25 = 2,11 ⇒ 0,67 ⋅ 𝑙𝑜𝑔(𝐸) = 5,36 ⇒
𝑙𝑜𝑔(𝐸) = 8 ⇒ 𝐸 = 108𝑗𝑜𝑢𝑙𝑒𝑠 
 
b) Calculando: 
Domínio ⇒ 𝐷 = {ℝ} 
𝐼𝑚𝑎𝑔𝑒𝑚 ⇒ 𝐼𝑚 = [4,8] 
𝑃𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 ⇒ 𝑇 = 11 − 1 = 10 
𝐷𝑜 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜 ⇒
{
 
 
 
 𝑇 =
2𝜋
𝑚
= 10 ⇒ 𝑚 =
𝜋
5
𝑉𝑚é𝑑𝑖𝑜 = 𝐴 = 6
𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒 = 𝐵 = 2
 
 
Logo, a função é do tipo: 𝑦 = 6 + 2 ⋅ 𝑐𝑜𝑠   (
𝜋
5
𝑥 + 𝑛). 
Substituindo o ponto (1,8) na função: 
: 8 = 6 + 2 ⋅ 𝑐𝑜𝑠   (
𝜋
5
 . 1 + 𝑛) 
𝑐𝑜𝑠   (
𝜋
5
 . 1 + 𝑛) = 1 →
𝜋
5
 . 1 + 𝑛 = 0 → 𝑛 = −
𝜋
5
 
 
 
Resposta da questão 30: [A] 
Substituindo o cosseno por 1 e por – 1, temos: 
𝑃𝑚í𝑛 = 100 + 20 . (−1) = 80 
𝑃𝑚á𝑥 = 100 + 20 . (1) = 120 
 
Ademais, o período 𝑝 =
2𝜋
6
=
𝜋
3
 𝑠 . O período corresponde ao intervalo 
de tempo para uma oscilação completa. Logo: 
𝜋
3
 𝑠𝑒𝑔 − − − −1𝑏𝑎𝑡𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 
60 𝑠𝑒𝑔 − − − 𝑥 
𝑥 =
180
𝜋
≅
180
60
19
= 57. 
 
Resposta da questão 31: [A] 
Substituindo o seno por 1 e por -1, temos: 
𝐴𝑚á𝑥 = 1,8 + 1,2 . 1 = 3,0 𝑚. 
𝐴𝑚í𝑛 = 1,8 − 1,2 = 0,6 𝑚. 
 
 
Resposta da questão 32: 
Pelo gráfico, nota-se que o período de f vale 𝜋 e que a amplitude do grá-
fico mede 5. Logo: 
𝐴 = 5 𝑒 𝑝 =
2𝜋
|𝐶|
→ 𝜋 =
2𝜋
|𝜔|
⇔ |𝜔|  = 2. 
Finalmente, como 𝑓 (−
𝜋
6
) = 0, temos: 
0 = 5 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 [2 ⋅ (−
𝜋
6
) + 𝑏] ⇔ 𝑠𝑒𝑛 (−
𝜋
3
+ 𝑏) = 𝑠𝑒𝑛 0, 
 
donde concluímos que o menor valor positivo de 𝑏 que satisfaz a igual-
dade é 𝑏 =
𝜋
3
. 
 
Portanto, 𝑎2 +𝜔2 +
3𝑏
𝜋
= 52 + 22 +
3
𝜋
⋅
𝜋
3
= 30. 
 
 
 
 
Resposta da questão 33: [D] 
O período da função é 
|2𝜋|
5
=
2𝜋
5
. 
Como as taxas de inalação e exalação são 0,6, temos a função: 
𝑦 = 0,6 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 (
2𝜋
5
. 𝑥). 
A função não poderia ser 𝑦 = 0,6 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 (
2𝜋
5
. 𝑥), pois, se x for zero, o y 
deveria ser 0,6. 
 
 
Resposta da questão 34: 
 O período da função é dado por 𝑃 =
2𝜋
8𝜋
3
= 3
4
 seg. 
Logo: 
 
 1 𝑜𝑠𝑐𝑖𝑙𝑎çã𝑜 − − −−
3
4
 
𝑥 𝑜𝑠𝑐𝑖𝑙𝑎çõ𝑒𝑠 − − − −6𝑠𝑒𝑔 → 𝑥 = 8 
 
 
Resposta da questão 35: 
a) ℎ(0) = 11,5 + 10𝑠𝑒𝑛 (
𝜋
12
(0 − 26)) = 11,5 + 10𝑠𝑒𝑛 (
−13𝜋
6
) 
ℎ(0) = 11,5 + 10𝑠𝑒𝑛 (−
𝜋
6
) = 11,5 + 10 . (−
1
2
) = 6,5. 
 
b) Substituindo o seno por 1 e por -1, temos: 
ℎ𝑚á𝑥 = 11,5 + 10 . (1) = 21,5𝑚 
ℎ𝑚í𝑛 = 11,5 + 10 . (−1) = 1,5𝑚 
 
Além disso, o período da função é dado por: 
𝑃 =
2𝜋
𝜋
12
= 24 𝑠𝑒𝑔 
 
 
Resposta da questão 36: 
 a) Para 𝑡 = 0 𝑠, temos: 
 𝑃 = 100 + 20 ⋅ 𝑠𝑒𝑛( 2𝜋 ⋅ 0) = 100𝑚𝑚 de Hg. 
 
Para 𝑡 = 0,75 s, vem: 
 𝑃 = 100 + 20 ⋅ 𝑠𝑒𝑛( 2𝜋 ⋅ 0,75) = 100 − 20 = 80𝑚𝑚 de Hg. 
 
b) A pressão sanguínea atingiu seu mínimo quando 
𝑠𝑒𝑛( 2𝜋𝑡) = −1 ⇒ 𝑠𝑒𝑛( 2𝜋𝑡) = 𝑠𝑒𝑛
3𝜋
2
⇒ 2𝜋𝑡 =
3𝜋
2
 
 ⇒ 𝑡 =
3
4
= 0,75 𝑠. 
 
 
Resposta da questão 37: 
 a) Se a chapa possui área igual 8,132 𝑚2, então o comprimento da 
senoide será: Á𝑟𝑒𝑎 = 4𝑥 → 8,132 = 4𝑥 ⇒ 𝑥 = 2,033𝑚 
 
b) Seja 𝑓(𝑥) = 𝐴 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 (𝑘𝑥). Note que, de A até B, há seis “ondas” 
consecutivas. Como a distância entre A e B é de 195, então, o compri-
mento/período de uma única “onda” é dado por: 
𝑃 =
195
6
→ 
2𝜋
|𝑘|
=
195
6
⇒ 𝑘 =
4𝜋
65
 
 
Além disso, como, pelo desenho, a distância de um ponto mínimo a um 
ponto máximo é de 4 cm, temos que A = 2. Assim: 
𝑓(𝑥) = 2 ⋅ 𝑠𝑒𝑛  (
4𝜋𝑥
65
) 
𝐷(𝑓) = {𝑥 ∈ ℝ|0 ≤ 𝑥 ≤ 195} 
𝐼𝑚( 𝑓) = [−2,2] = {𝑦 ∈ ℝ| − 2 ≤ 𝑦 ≤ 2} 
 
 
 4 
Resposta da questão 38: [A] 
 
[1] Verdadeira. Tem-se que 𝑛(𝑡) = 3 𝑠𝑒𝑛 (
𝑡𝜋
6
−
5𝜋
6
) + 4. 
 
Podemos concluir que o período de 𝑛 é 
2𝜋
|
𝜋
6
|
= 12 ℎ. 
 
Portanto, como em 24 horas temos dois períodos completos, segue que 
o nível mais alto é atingido duas vezes durante o dia. 
 
[2] Falsa. O nível mais alto ocorre quando 𝑠𝑒𝑛 (
𝑡𝜋
6
−
5𝜋
6
) = 1, resul-
tando em 3 + 4 = 7 𝑚. Por outro lado, temos 
(11 5)
n(11) 3sen 4
6
3sen( ) 4
4 m.
π
π
− 
= + 
 
= +
=
 
 
[3] Falsa. O nível mais baixo ocorre quando 𝑠𝑒𝑛 (
𝑡𝜋
6
−
5𝜋
6
) = −1, cor-
respondendo a −3 + 4 = 1 𝑚. Porém, segue que 
(5 5)
n(11) 3sen 4
6
3sen(0) 4
4 m.
π− 
= + 
 
= +
=
 
 
[4] Falsa. Na verdade, essa diferença corresponde a 7 − 1 = 6 𝑚, 
conforme [2] e [3]. 
 
 
Resposta da questão 39: [A] 
Vamos supor que 𝛼 e 𝛽 sejam reais positivos. 
Sendo a linha pontilhada a função seno, podemos concluir que o gráfico 
contínuo possui, aproximadamente, amplitude = 0,5 e período = 4𝜋. 
Logo: 
Amplitude = 0,5→ 0 < 𝛼 < 1 
𝑃𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 = 4𝜋 →
2𝜋
𝛽
= 4𝜋 → 𝛽 = 0,5 → 0 < 𝛽 =
1
2
< 1. 
 
 
Resposta da questão 40: [D] 
Pela equação de Clapeyron (da Química) 𝑃𝑉 = 𝑛𝑅𝑇, sendo: 
𝑃 = 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 
𝑉 = 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 
𝑛 = 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑡é𝑟𝑖𝑎 (𝑛º 𝑚𝑜𝑙𝑠) 
𝑅 = 𝑐𝑜𝑛𝑠 𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝑒 𝑢𝑛𝑖𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙 𝑑𝑜𝑠 𝑔𝑎𝑠𝑒𝑠 
𝑇 = 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 
 
Assim, percebe-se que pressão e volume são inversamente proporcio-
nais: a pressão do gás é máxima quando o volume é mínimo. 
Como a função logarítmica dada é sempre crescente, o volume será mí-
nimo quando o logaritmando for mínimo. Ou seja: 
𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑟𝑖𝑡𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 → (5 + 2 𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑡)) 
𝑓𝑚í𝑛(𝑡) = 5 + 2 𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑡) → 𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑡) 𝑑𝑒𝑣𝑒 𝑠𝑒𝑟 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 
𝜋𝑡 =
3𝜋
2
→ 𝑡 =
3
2
= 1,5 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta da questão 41: [E] 
Substituindo a função seno por 1 e por −1, percebe-se que a população 
de coelhos poderá oscilar entre 750 e 1250 indivíduos. 
 
 
Resposta da questão 42: [B] 
[I] Verdadeira. O período é dado por: 
𝑃 =
2𝜋
8𝜋
3
=
3
4
 𝑠𝑒𝑔 
Logo: 
1 𝑜𝑠𝑐𝑖𝑙𝑎çã𝑜 − − −
3
4
 𝑠𝑒𝑔 
𝑥 𝑜𝑠𝑐𝑖𝑙𝑎çõ𝑒𝑠 − − − −60 𝑠𝑒𝑔 → 𝑥 = 80 
[II] Verdadeira. Pois 
𝑃(2) = 100 − 20 ⋅ (𝑐𝑜𝑠
8𝜋
3
⋅ 2) = 
 = 100 − 20 ⋅ (𝑐𝑜𝑠
16𝜋
3
) = 
 = 100 − 20 ⋅ (𝑐𝑜𝑠 (2 ⋅ 2𝜋 +
4𝜋
3
)) = 
 = 100 − 20 ⋅ (−
1
2
) = 110𝑚𝑚𝐻𝑔. 
 
[III] Falsa. A amplitude da função é de 20mmHg (coeficiente “B” ) 
 
 
Resposta da questão 43: 
 O período da função dada é: 
 𝑃 =
2𝜋
|
𝜋
2
|
= 4 → 𝐿(12) = 𝐿(8) = 𝐿(4) = 50.000 
 
RO lucro da empresa em dezembro de 2017 será 𝑅$ 50.000,00. 
 
 
Resposta da questão 44: [C] 
O período da função é dado por: 
𝑃 =
2𝜋
𝜋
6
= 12 h. 
 
A temperatura máxima ocorre quando 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜 = 1. Logo, tem-se que 
o resultado é 𝑇máx = 24 + 3 ⋅ 1 = 27 °𝐶. 
 
Queremos calcular o menor valor positivo de 𝑡 para o qual se tem 
𝑐𝑜𝑠 (
𝜋𝑡
6
+
𝜋
3
) = 1. Assim: 
 
𝑐𝑜𝑠 (
𝜋𝑡
6
+
𝜋
3
) = 1 ⇒
𝜋𝑡
6
+
𝜋
3
= 0 + 2𝑘𝜋 ⇒ 𝑡 = 12𝑘 − 2,  𝑘 ∈ ℤ. 
 
Tomando 𝑘 = 1, segue-se que 𝑡 = 10 ℎ e, portanto, o horário em que 
ocorreu essa temperatura máxima foi às 5 + 10 = 15 h. 
 
Resposta da questão 45: 
 a) O valor mínimo da função ocorre 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜 = −1. Portanto: 
𝑉𝑚í𝑛 = 4 ⋅ (−1) − 3 = −7. 
 
b) 𝑓(𝑥) = −1? 
4 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 (
𝜋 ⋅ 𝑥
4
) − 3 = −1 ⇒ 𝑐𝑜𝑠 (
𝜋 ⋅ 𝑥
4
) =
1
2
⇒ 
𝜋 ⋅ 𝑥
4
=
𝜋
3
+ 𝑘 ⋅ 2 ⋅ 𝜋   𝑜𝑢   
𝜋 ⋅ 𝑥
4
=
5 ⋅ 𝜋
3
+ 𝑘 ⋅ 2 ⋅ 𝜋 ⇒ 
𝑥 =
4
3
+ 8𝑘   𝑜𝑢   𝑥 =
20
3
+ 8𝑘,    𝑐𝑜𝑚 𝑘 ∈ ℤ 
𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 =
4
3
+ 8𝑘  𝑜𝑢  𝑥 =
20
3
+ 8𝑘,  𝑘 ∈ ℤ} 
 
 
 5 
Resposta da questão 46: 
 a) 
ℎ𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 = 4 ⋅ 1 + 4 = 8𝑐𝑚. 
ℎmínima = 4 ⋅ (−1) + 4 = 0𝑐𝑚 
 
b) Determinando o período 𝑃 da função, temos: 
𝑃 =
2𝜋
2𝜋
0,05
= 0,05𝑠. 
1 ciclo se realiza em 0,05; em 60𝑠 teremos 
60
0,05
= 1200 ciclos com-
pletos. 
 
 
Resposta da questão 47: 
 a) 
𝐹(𝑡) = 21 − 4 𝑐𝑜𝑠 (
𝜋
12
𝑡) ⇒ {
𝐹(𝑚á𝑥) = 21 −4(−1) = 25°
𝐹(𝑚á𝑥) = 21 − 4(+1) = 17° 
 
Portanto, a temperatura varia de 17°C a 25°C na superfície do lago. 
 
b) Para 𝑡 =? temos 𝐹(𝑡) = 23°. Logo: 
𝐹(𝑡) = 21 − 4 𝑐𝑜𝑠 (
𝜋
12
𝑡) ⇒ 𝑐𝑜𝑠 (
𝜋
12
𝑡) = −
1
2
 
𝐿𝑜𝑔𝑜: 
𝜋
12
𝑡 =
2𝜋
3
𝑜𝑢
𝜋
12
𝑡 =
4𝜋
3
→ 𝑡 = 8ℎ 𝑜𝑢 𝑡 = 16ℎ 
 
Porém, o tempo em horas foi medido a partir das 06h da manhã, o que 
nos permite afirmar que a temperatura de 23°C foi atingida às: 
 𝑡1 = 6ℎ + 8ℎ = 14ℎ 𝑒 𝑡2 = 6ℎ + 16ℎ = 22ℎ