QUESTIONÁRIO MATEMÁTICA AVANÇADA 1

Prévia do material em texto

· 
	· 
	
	
	A regra de L’Hospital nos fornece um meio de calcular limites em formas indeterminadas. Geralmente, é aplicado em limites cuja função é um quociente, sendo sua aplicação simples, usando a derivada de funções, isto é, .
Devemos tomar o cuidado para não nos confundir no momento de aplicar a regra de L’Hospital, pois para aplicá-la devemos derivar o numerador e o denominador separadamente. Não usamos a regra do quociente de derivadas. Porém, se, ao aplicar a regra de L’Hospital, a indeterminação persistir, é possível aplicá-la novamente. Use a regra de L’Hospital para calcular o seguinte limite . Assinale a alternativa correta.
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
	Resposta Correta:
	 
	Comentário da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. O limite dado é uma indeterminação da forma . Aplicando a regra de L’Hospital, vamos derivar o numerador e o denominador, assim, temos = . Novamente, temos uma indeterminação da forma . Aplicando novamente a regra de L’Hospital, concluímos que o limite dado é , pois = .
	
	
	
· Pergunta 2
1 em 1 pontos
	
	
	
	A função custo   é o custo da produção de   unidades de certo produto, e sua derivada é a função custo marginal . Já a função custo médio
é a razão da função custo com a quantidade de unidades produzidas, ou seja,  . Seja   a função custo de produção de uma certa mercadoria, determine a produção que minimizará o custo médio. Assinale a alternativa correta:
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
400 unidades
	Resposta Correta:
	 
400 unidades
	Comentário da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. Queremos minimizar a função custo médio, ou seja, . Derivando a função custo médio, temos que , seu ponto crítico é , pois . Para verificar se  é um valor mínimo, precisamos saber qual é o valor da derivada segunda neste ponto. Assim, temos que  e ,portanto,  é um valor de mínimo.
	
	
	
· Pergunta 3
1 em 1 pontos
	
	
	
	Dado um cilindro circular reto de raio  e altura , sua área de superfície total  é a soma da área da superfície lateral com a área da tampa e da base, ou seja, . Já o seu volume  é dado como o produto da área da base com a altura, isto é, . Considere uma lata fechada com a forma de um cilindro circular reto. Se o volume da lata é de , determine o valor da altura  e do raio  para que seja usado a menor quantidade de material em sua fabricação. Assinale a alternativa correta.
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
	Resposta Correta:
	 
	Comentário da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. Como o volume da lata é , para resolver o problema precisamos resolver o sistema:
                     (1)
                             (2)
Isolando a altura  na equação (2) e substituindo-a na equação (1), temos que , onde . Derivando  temos que , para  (note que  não existe em , mas este não é um número crítico, pois 0 não está no domínio de ).  Como , aplicando o teste da derivada segunda temos que:
Para ,  e , então  é um valor mínimo relativo.
Substituindo na equação (2), obtemos .
	
	
	
· Pergunta 4
1 em 1 pontos
	
	
	
	Para Stewart (2013, p. 250), os métodos utilizados por Pierre Fermat (1601-1665) “para encontrar as tangentes às curvas e os valores máximo e mínimo (antes da invenção de limites e derivadas) fazem dele um precursor de Newton na criação do cálculo diferencial.” Em sua homenagem, o seguinte teorema é conhecido como Teorema de Fermat .
Se   tiver um máximo ou mínimo local em   e se   existir, então  .
 
STEWART, James. Cálculo . v. 1. São Paulo: Cengage Learning, 2013.
 
Dada a função  , assinale a alternativa correta.
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
Quando  a função  possui um valor máximo local.
	Resposta Correta:
	 
Quando  a função  possui um valor máximo local.
	Comentário da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. Derivando a função  temos que . Aplicando o Teorema de Fermat temos que,
.
Calculando os valores funcionais de  e  temos:
Portanto, quando  a função  possui um máximo local e quando  a função  possui um valor mínimo local.
	
	
	
· Pergunta 5
1 em 1 pontos
	
	
	
	Muitas grandezas físicas são obtidas como a taxa de variação de outras. Por exemplo, a corrente elétrica pode ser entendida como a variação da carga elétrica no decorrer do tempo. Considere uma carga elétrica, em Coulombs, transmitida por meio de um circuito que varia de acordo com a função . Determine o valor do tempo , em segundos, para que a corrente  atinja um valor mínimo. Assinale a alternativa correta.
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
	Resposta Correta:
	 
	Comentário da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. A questão pede para minimizar a função . Vamos avaliar o sinal da derivada segunda de  em seu ponto crítico para verificar a existência de um valor de mínimo. Como  quando  e , segue que  e , implica em  ser um valor de mínimo relativo. Portanto, o tempo para que a corrente atinja um valor mínimo é .
	
	
	
· Pergunta 6
1 em 1 pontos
	
	
	
	O Teorema do valor extremo nos garante a existência de um valor extremo para a função quando esta estiver restringida a um intervalo de seu domínio. De acordo com este teorema, o valor extremo ocorrerá nas extremidades do intervalo ou no ponto crítico da função. Nós podemos utilizá-lo para solucionar a seguinte situação: Um senhor deseja cercar um galinheiro em forma retangular. Para isso, ele irá aproveitar um muro como um dos lados do galinheiro. Se o custo do material é de   por metro, ache as dimensões do galinheiro, para que este tenha a maior área possível que possa ser cercada com   de material. Assinale a alternativa correta.
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
	Resposta Correta:
	 
	Comentário da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. De acordo com as informações do problema, cada metro do material custa . Então, o custo total do material é . A área do galinheiro é dada por . Temos então um sistema de duas equações:
       (1)
                (2)
 
Isolando  na equação (1) e substituindo na equação (2) temos que  em que . Para encontrar a maior área, devemos ter , então, . Pelo Teorema do valor extremo, o valor máximo absoluto de  deve ocorrer em 0, 55 ou 110. Calculando temos ,  e , ou seja, o valor máximo da área ocorre quando  e .
	
	
	
· Pergunta 7
1 em 1 pontos
	
	
	
	Se uma função   possuir um valor de máximo ou de mínimo local em um número  , então   é denominado número crítico de  . O número crítico (ou ponto crítico ) de uma função   é um número   no domínio da função tal que   ou   não existe. Baseado nessa informação, considere a função   e assinale a alternativa correta.
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
A função possui um ponto crítico.
	Resposta Correta:
	 
A função possui um ponto crítico.
	Comentário da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. Derivando a função temos que . Como  é uma função polinomial não há restrições para o valor de , então  implica , donde segue que apenas  satisfaz a condição . Portanto, a função possui apenas um ponto crítico.
	
	
	
· Pergunta 8
1 em 1 pontos
	
	
	
	Problemas que buscam determinar os valores extremos de uma função são conhecidos como problemas de otimização. Tais problemas buscam maximizar ou minimizar a função. Um exemplo de problema de otimização é o dado a seguir: Um agricultor deseja construir um reservatório cilíndrico, fechado em cima, com capacidade de . O preço da chapa de aço é de  o metro quadrado. Determine as dimensões do cilindro, raio  e altura  (ambas em metros), para que o custo seja mínimo. Assinale a alternativa correta.
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
 e 
	Resposta Correta:
	 
 e 
	Comentário da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. Como o volume do reservatório é , para resolver o problema precisamos resolver o sistema:
                     (1)
                        (2)
Isolando a altura  na equação (2) e substituindo-a na equação (1), temos que , onde . Derivando , temos que  para  (note que  não existeem , mas este não é um número crítico, pois 0 não está no domínio de ).  Como , aplicando o teste da derivada segunda temos que:
Para ,  e , então  é um valor mínimo relativo.
Substituindo  na equação (2), obtemos .
	
	
	
· Pergunta 9
1 em 1 pontos
	
	
	
	Os sinais das derivadas de primeira e segunda ordem de uma função nos fornecem informações sobre o comportamento desta e a identificação de valores de máximo e mínimo local. Aplicando estas informações à função  , assinale a alternativa correta.
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
A função  é decrescente no intervalo .
	Resposta Correta:
	 
A função  é decrescente no intervalo .
	Comentário da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. O sinal da primeira derivada nos fornece a informação se a função é crescente ou decrescente. Derivando  e determinando seus pontos críticos, temos que:  para  e . Assim,
- Se  e   então  e, portanto,  é decrescente no intervalo .
- Se  então  e, portanto,  é crescente no intervalo .
	
	
	
· Pergunta 10
1 em 1 pontos
	
	
	
	A derivada de uma função pode nos informar onde esta função é crescente ou decrescente. Seja   uma função, então   é crescente em um intervalo se   nele e   é decrescente em um intervalo se   nele. Considere a função  , assinale a alternativa correta em relação aos intervalos nos quais   é crescente ou decrescente.
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
 é crescente no intervalo .
	Resposta Correta:
	 
 é crescente no intervalo .
	Comentário da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. Primeiro precisamos determinar os números críticos de , pois estes irão dividir o domínio em intervalos. Nestes intervalos,  precisa ser sempre positiva ou sempre negativa. Então, derivando a função , temos que  Os pontos críticos de  são ,  e . Olhando para o intervalo , temos que  neste. Logo, a função  é crescente no intervalo .