MATEMÁTICA AVANÇADA A2

Prévia do material em texto

MATEMÁTICA AVANÇADA A2
· Pergunta 1
1 em 1 pontos
	
	
	
	O Teorema do valor extremo nos garante a existência de um valor extremo para a função quando esta estiver restringida a um intervalo de seu domínio. De acordo com este teorema, o valor extremo ocorrerá nas extremidades do intervalo ou no ponto crítico da função. Nós podemos utilizá-lo para solucionar a seguinte situação: Um senhor deseja cercar um galinheiro em forma retangular. Para isso, ele irá aproveitar um muro como um dos lados do galinheiro. Se o custo do material é de R$15,00 por metro, ache as dimensões do galinheiro, para que este tenha a maior área possível que possa ser cercada com   de material. Assinale a alternativa correta.
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 55m x 110m
	Resposta Correta:
	 55m x 110m
	Comentário da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. De acordo com as informações do problema, cada metro do material custa . Então, o custo total do material é . A área do galinheiro é dada por . Temos então um sistema de duas equações:
       (1)
                (2)
 
Isolando  na equação (1) e substituindo na equação (2) temos que  em que . Para encontrar a maior área, devemos ter , então, . Pelo Teorema do valor extremo, o valor máximo absoluto de  deve ocorrer em 0, 55 ou 110. Calculando temos ,  e , ou seja, o valor máximo da área ocorre quando  e .
	
	
	
· Pergunta 2
1 em 1 pontos
	
	
	
	Os pontos que anulam as derivadas primeiras e segundas possuem nomes específicos. Os pontos críticos são os pontos que anulam a derivada primeira da função. Estes são possíveis candidatos a máximo e mínimo local da função. Já os pontos de inflexão são aqueles que anulam a derivada segunda da função. Eles demarcam a mudança de concavidade no gráfico. Sejam os pontos   e   o extremo relativo e o ponto de inflexão de  , respectivamente. Se  , determine os valores reais de  ,  ,   e  . Assinale a alternativa correta.
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 a=2, b=-3, c=0, d=-3
	Resposta Correta:
	 a=2, b=-3, c=0, d=-3
	Comentário da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. Derivando  e pelas informações dadas, temos que  quando  e  quando . Para determinar os valores de  e  devemos resolver o seguinte sistema:
                (1)
         (2)
                                  (3)
                          (4)
Resolvendo o sistema, temos que . Portanto, a função dada é .
	
	
	
· Pergunta 3
1 em 1 pontos
	
	
	
	A regra de L’Hospital nos fornece um meio de calcular limites em formas indeterminadas. Geralmente, é aplicado em limites cuja função é um quociente, sendo sua aplicação simples, usando a derivada de funções, isto é, .
Devemos tomar o cuidado para não nos confundir no momento de aplicar a regra de L’Hospital, pois para aplicá-la devemos derivar o numerador e o denominador separadamente. Não usamos a regra do quociente de derivadas. Porém, se, ao aplicar a regra de L’Hospital, a indeterminação persistir, é possível aplicá-la novamente. Use a regra de L’Hospital para calcular o seguinte limite . Assinale a alternativa correta.
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 ∞
	Resposta Correta:
	 ∞
	Comentário da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. O limite dado é uma indeterminação da forma . Aplicando a regra de L’Hospital, vamos derivar o numerador e o denominador, assim, temos = . Novamente, temos uma indeterminação da forma . Aplicando novamente a regra de L’Hospital, concluímos que o limite dado é , pois = .
	
	
	
· Pergunta 4
1 em 1 pontos
	
	
	
	Muitas vezes, para determinar os valores de máximo e mínimo absoluto de uma função é normal restringirmos um intervalo do domínio desta para fazer a verificação. Ao tomar um intervalo, temos que os valores extremos irão satisfazer o Teorema de Fermat ou irão pertencer às extremidades do intervalo. Com relação aos extremos absolutos da função   no intervalo  , assinale a alternativa correta.
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 f(-1) é um valor de máximo absoluto
	Resposta Correta:
	 f(-1) é um valor de máximo absoluto
 é um valor de máximo absoluto
	Comentário da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. A função  é polinomial, logo, contínua no intervalo . Calculando a derivada de  temos que . Os pontos críticos de  satisfazem a condição , logo, se , então  e  Note que  não pertence ao intervalo . Então, este valor será descartado. Assim, temos que
Portanto, concluímos que  é o valor de mínimo absoluto e  é o valor de máximo absoluto.
	
	
	
· Pergunta 5
1 em 1 pontos
	
	
	
	O Teorema do valor extremo assegura a existência de valores máximo e mínimo absolutos de uma função contínua num intervalo:
Se a funçäo   for contínua no intervalo fechado  , entäo   terá um valor máximo absoluto e um valor mínimo absoluto em  .
 
Podemos aplicar este teorema à seguinte situação: Um fabricante de caixas de papelão deseja fazer caixas abertas a partir de pedaços de papelão com  , cortando quadrados iguais dos quatro cantos e dobrando os lados para cima. O maior volume possível é obtido cortando um quadrado de lado:
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 3cm
	Resposta Correta:
	 3cm
	Comentário da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. Cortando um quadrado de lado  em cada canto temos que a base da caixa será um quadrado de lado  e a altura da caixa será . Assim, o volume da caixa será  sendo que . O maior volume está nos extremos ou nos pontos críticos da função . Os pontos críticos de  são tais que , isto é,  e  (ambos os valores pertencem ao intervalo). Calculando o valor funcional dos pontos críticos e dos extremos, temos
Portanto, o valor máximo absoluto de  é  e ocorre em .
	
	
	
· Pergunta 6
1 em 1 pontos
	
	
	
	O Teorema do valor médio nos diz que: dada uma função   contínua no intervalo fechado   e derivável no intervalo aberto  , então, existe um número   tal que  . Podemos notar que o teorema garante a existência de um número com certa propriedade, mas não nos diz como encontrá-lo. Porém, ele pode ser usado para resolver o seguinte problema: suponha que   e   para todos os valores de  . Qual é o maior valor que   pode assumir?
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
10
	Resposta Correta:
	 
10
	Comentário da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. Foi dado que a função  é derivável em toda a parte. Podemos, então, aplicar o Teorema do valor médio no intervalo . Assim, existe um número  tal que . Como  para todo , segue que . Logo, . Portanto, o maior valor possível para  é .
	
	
	
· Pergunta 7
1 em 1 pontos
	
	
	
	Para Stewart (2013, p. 250), os métodos utilizados por Pierre Fermat (1601-1665) “para encontrar as tangentes às curvas e os valores máximo e mínimo (antes da invenção de limites e derivadas) fazem dele um precursor de Newton na criação do cálculo diferencial.” Em sua homenagem, o seguinte teorema é conhecido como Teorema de Fermat .
Se   tiver um máximo ou mínimo local em   e se   existir, então  .
 
STEWART, James. Cálculo . v. 1. São Paulo: Cengage Learning, 2013.
 
Dada a função  , assinale a alternativa correta.
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
Quando x=-3 a função f possui um valor máximo local.
	Resposta Correta:
	 
Quando x=-3 a função f possui um valor máximo local.
	Comentário da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. Derivando a função  temos que . Aplicando o Teorema de Fermat temos que,
.
Calculando os valores funcionais de  e  temos:
Portanto, quando  a função  possui um máximo local e quando  a função  possui um valor mínimo local.
	
	
	
· Pergunta 8
1 em 1 pontos
	
	
	
	Os métodos para encontrar valores extremos tem aplicações práticas em muitas situações, como por exemplo, minimizar custos, minimizar tempo, maximizar transportes, entre outras. Considere a seguinte situação: um fazendeiro deseja cercar um campo retangular com  de cerca à margem de um rio. Ele não precisa cercar ao longo do rio. Qual é a maior área possível deste campo? Assinale a alternativa correta.
	
	
	
	
		RespostaSelecionada:
	 31250m²
	Resposta Correta:
	 31250m²
	Comentário da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. O perímetro do campo a ser cercado é dado por , onde  é a largura e  é o comprimento, cujo um dos lados é a margem do rio. A área do campo retangular é . Assim, dadas as equações
   (1)
             (2)
precisamos maximizar a área. Isolando  na equação (1) e substituindo na equação (2), temos que , em que . O ponto crítico de  é . Assim, temos ,  e . Portanto, o valor máximo da área é .
	
	
	
· Pergunta 9
1 em 1 pontos
	
	
	
	Problemas que buscam determinar os valores extremos de uma função são conhecidos como problemas de otimização. Tais problemas buscam maximizar ou minimizar a função. Um exemplo de problema de otimização é o dado a seguir: Um agricultor deseja construir um reservatório cilíndrico, fechado em cima, com capacidade de . O preço da chapa de aço é de  o metro quadrado. Determine as dimensões do cilindro, raio  e altura  (ambas em metros), para que o custo seja mínimo. Assinale a alternativa correta.
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 r=15m e h=30m
 e 
	Resposta Correta:
	 r=15m e h=30m
 e 
	Comentário da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. Como o volume do reservatório é , para resolver o problema precisamos resolver o sistema:
                     (1)
                        (2)
Isolando a altura  na equação (2) e substituindo-a na equação (1), temos que , onde . Derivando , temos que  para  (note que  não existe em , mas este não é um número crítico, pois 0 não está no domínio de ).  Como , aplicando o teste da derivada segunda temos que:
Para ,  e , então  é um valor mínimo relativo.
Substituindo  na equação (2), obtemos .
	
	
	
· Pergunta 10
1 em 1 pontos
	
	
	
	A função custo   é o custo da produção de   unidades de certo produto, e sua derivada é a função custo marginal . Já a função custo médio
é a razão da função custo com a quantidade de unidades produzidas, ou seja,  . Seja   a função custo de produção de uma certa mercadoria, determine a produção que minimizará o custo médio. Assinale a alternativa correta:
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
400 unidades
	Resposta Correta:
	 
400 unidades
	Comentário da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. Queremos minimizar a função custo médio, ou seja, . Derivando a função custo médio, temos que , seu ponto crítico é , pois . Para verificar se  é um valor mínimo, precisamos saber qual é o valor da derivada segunda neste ponto. Assim, temos que  e ,portanto,  é um valor de mínimo.