03 08 - (Lista - Conjuntos Numéricos e Conjuntos) - Resolução

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Prof. Johnny 
Matemática 
 
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Resolução – Conjuntos Numéricos 
 
1: [A] 
Sabendo que 𝑚 < 𝑛 < 0, temos 𝑚 − 𝑛 < 0. Logo, sendo 
1 < 𝑝 < 2, vem 
𝑚−𝑛
𝑝
< 0. Em consequência, o número 
√
𝑚−𝑛
𝑝
 não é real. 
Supondo 𝑝 = 1,3 e 𝑚 = −1,3, encontramos 𝑝 + 𝑚 = 0, 
que é um número inteiro. De um modo geral, se 𝑚 = −1 −
𝑟 e 𝑝 = 1 + 𝑟, com 0 < 𝑟 < 1, temos 𝑝 + 𝑚 = 0. 
Sejam 𝑝 = √2 e 𝑛 = −
1
4
. É imediato que 
𝑝
𝑛
= −4√2 não é 
racional. 
 
 
2: Fazendo um diagrama de Venn: 
 
 
Assim: 
60 + 50 + 55 + 15 + 15 + 105 + 165 + 85 = 550 
 
 
3: [D] 
Sabendo que a soma de dois números inteiros é ímpar se 
suas paridades são distintas, a soma de três números 
inteiros será um número ímpar apenas se tivermos dois 
pares e um ímpar ou três ímpares. 
 
 
4: [A] 
[I] Verdadeira. 𝑎 < 𝑏 (⋅ (−1)) ⇒ −𝑎 > −𝑏 
[II] Falsa. 3 > −2 ⇒
1
3
>
1
−2
 
[III] Falsa. −5 < 2 ⇒ (−5)2 > 22 
 
5: [B] 
O resultado pedido é 240 ⋅ 3 + 180 ⋅ 2 = R$ 1.080,00. 
 
6: 04 + 08 + 16 = 28. 
[01] FALSO. Calculando (√2)
2
= 2. 
[02] FALSO. Calculando −√2 + √2 = 0. 
[04] VERDADEIRO. O produto de um número irracional 
por um número racional não nulo é sempre um número 
irracional. 
[08] VERDADEIRO. A soma de um número irracional com 
um número racional é sempre um número irracional. 
[16] VERDADEIRO. O conjunto dos números reais é a 
união do conjunto dos números racionais com o conjunto 
dos números irracionais. 
 
 
7: [C] 
Analisando as alternativas, percebe-se que a única 
incorreta é a alternativa [C], pois: 
𝑎 =
√(−1)2 ⋅ 0,1222 …
(1,2)−1
=
√1 ⋅
11
90
10
12
→ 𝑎 =
11
75
 
𝑏 = 2𝜋 
𝑐 = √12 ⋅ √90 ⋅ √160 ⋅ √147 = 2√3 ⋅ 3√10 ⋅ 4√10 ⋅ 7√3
→ 𝑐 = 5040 
(ℝ − ℚ) ⊃ {2𝜋,  5040} 
 
 
8: [C] 
Sendo 𝑚𝑚𝑐( 7,  6,  9,  5) = 630, temos 
3
7
=
270
630
, 
5
6
=
525
630
, 
4
9
=
280
630
 e 
3
5
=
378
630
. Portanto, segue que a resposta é igual a 
3
7
5
6
=
18
35
. 
 
 
9: [C] 
Tem-se que a sequência é 
(11, 
5
6
, −
1
11
,  −
6
5
,  11, 
5
6
, −
1
11
, −
6
5
, … , 𝑎2014, 𝑎2015). 
Donde é fácil ver que, se 𝑎𝑛 é o termo geral da sequência, 
com 𝑛 inteiro positivo e menor do que ou igual a 2015, 
então 
 
n
11, se n 4k 1
5
, se n 4k 2
6
a ,1
, se n 4k 3
11
6
, se n 4k 4
5
= +

 = +


= 
− = +


− = + 
 
sendo 𝑘 um número natural. 
 
Portanto, como 2014 = 4 ⋅ 503 + 2 e 2015 = 4 ⋅ 503 + 3, 
segue que 
 
𝑎2014 + 𝑎2015 =
5
6
+ (−
1
11
) =
49
66
. 
 
 
 
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10: [B] 
Vamos, inicialmente, considerar os seguintes conjuntos: 
𝐴: conjunto dos números primos maiores que 3. 
𝐵: Conjunto dos números pares maiores que 3. 
𝐶: Conjunto dos múltiplos de 3 maiores que 3. 
𝐷 = 𝐵 ∩ 𝐶: conjunto dos múltiplos de 6 maiores que 3. 
Organizando as informações do problema através de 
diagramas: 
 
Temos então a seguinte equação: 
𝑥 + 12 + 24 + 6 + 8 = 64 ⇒ 𝑥 = 14 
Considerando que todo número primo maior que 3 é 
ímpar, O número de pessoas que escolheu um número 
ímpar, não múltiplo de 3, foi igual a: 
𝑥 + 12 = 14 + 12 = 26 
 
 
11: [D] 
Seja o diagrama de Venn com todas as pessoas e as 
línguas que falam: 
 
 
 
Para obter a probabilidade de quem fala espanhol ou 
francês deve-se obter a probabilidade de quem fala 
espanhol mais a probabilidade de quem fala francês 
menos a probabilidade de quem fala espanhol e francês, 
ou seja: 
 
Sabendo que o total de pessoas é 80, temos a seguinte 
probabilidade: 
𝑃 = 𝑃(𝑒𝑠𝑝𝑎𝑛ℎ𝑜𝑙) + 𝑃(𝑓𝑟𝑎𝑛𝑐ê𝑠) − 𝑃(𝑒𝑠𝑝𝑎𝑛ℎ𝑜𝑙∧𝑓𝑟𝑎𝑛𝑐ê𝑠) 
𝑃 =
32
80
+
20
80
−
6
80
 
𝑃 = 0,4 + 0,25 − 0,075 
𝑃 = 0,575 
𝑃 = 57,5% 
 
 
12: [B] 
Utilizando o diagrama de Venn temos: 
 
 
 
 
 
Logo, somando todos os valores e subtraindo 500 temos: 
500 − 428 = 72 
 
 
13: [D] 
Do enunciado, temos: 
𝐴 = {0,  1,  2,  3,  . . . ,  249} 
𝐵 = {0,  4,  8,  12,  16, . . . } 
𝐶 = {0,  2,  4,  6,  8, . . . } 
𝐴𝐶 = {250,  251,  252,  253, . . . } 
𝐵𝐶 = {𝑥: 𝑥 ∈ ℕ e x não é múltiplo de 4} 
𝐶𝐶 = {1,  3,  5,  7,  9, . . . } 
Note que: 
𝐴𝐶 ∩ 𝐵𝐶 = {𝑥: 𝑥 ∈ ℕ,  x não é múltiplo de 4 e 𝑥 ≥ 250} 
𝐵𝐶 ∩ 𝐶𝐶 = {𝑥: 𝑥 ∈ ℕ,  𝑥 não é múltiplo de 4 e x é ímpar} 
Então, 33 ∈ (𝐵𝐶 ∩ 𝐶𝐶). 
Como 33 ∈ (𝐵𝐶 ∩ 𝐶𝐶),  33 ∈ (𝐴𝐶 ∩ 𝐵𝐶) ∪ (𝐵𝐶 ∩ 𝐶𝐶). 
 
14: [A] 
Representamos os conjuntos 𝐴,  𝐵 e 𝐶 na reta numérica. 
 
 
Análise das alternativas: 
[A] Verdadeira: (𝐴 − 𝐵) ∪ 𝐶 = ∅ ∪ 𝐶 = 𝐶 
[B] Falsa: (𝐴 − 𝐶) ∩ 𝐵 = 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐴 
[C] Falsa: (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ 𝐴 = ℝ ∩ 𝐴 = 𝐴 
[D] Falsa: (𝐵∩ 𝐶) ∩ 𝐴 = [−5,0] ∩ 𝐴 = ∅ 
 
 
15: [A] 
Como {1,  6} não está contido em 𝑋 e está contido em 𝑋 ∪
𝑌 = {1,  2,  3,  4,  5,  6}, concluímos que {1,  6} ⊂ 𝑌.