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Modelagem de Sistemas 
Dinâmicos
Modelagem de sistemas 
fluídicos e térmicos
Prof. Giancarlo Michelino Gaeta Lopes
• Unidade de Ensino: 4
• Competência da Unidade: Compreender e aplicar outros tipos de sistemas, como 
o hidráulico, pneumático e térmico.
• Resumo: Modelagem com exemplos de aplicação de sistemas hidráulicos, 
pneumáticos e térmicos.
• Palavras-chave: sistema hidráulico; sistema pneumático; sistema térmico.
• Título da Teleaula: Modelagem de sistemas fluídicos 
e térmicos
• Teleaula nº: 4
Contextualização
• Além dos sistemas elétricos e mecânicos, há 
como obter um modelo para outros sistemas, 
utilizados em automação?
• Há alguma semelhança entre outros sistemas 
com os sistemas elétricos, ou seja, consigo 
modelar outro tipo de sistema como um 
circuito elétrico?
Modelagem 
matemática de 
sistemas 
hidráulicos
Lei da Conservação da massa
• Conhecida como Balanço de Massa ou Equação 
da Continuidade;
• A vazão volumétrica que entra em um sistema 
menos a vazão que sai é igual a variação do 
volume no tempo desse sistema.
� ������ − � ���� =
��
��
Sistema hidráulico
• Resistência hidráulica (R): Resiste ao fluxo de 
fluido e dissipa energia.
• Fluxo lamilar:
�� =
∆ℎ
�
=
ℎ� − ℎ�
�
• Fluxo turbulento:
�� =
2 � �
�
KLUEVER (2018)
• Capacitância hidráulica (C): Capacidade de 
armazenar energia em um sistema devido à 
pressão do fluido.
� =
��
�ℎ
�� = � � �ℎ
Sistema hidráulico com um tanque
• Obter a altura do nível em função da vazão de 
entrada:
• Utilizar e equação da 
continuidade:
��
��
= ���� − ����
KLUEVER (2018)
• Modelando:
�� = (���� − ����) � ��
� � �ℎ = (���� − ����) � ��
� � �ℎ = (���� −
ℎ
��
) � ��
� � �ℎ =
�� � ���� − ℎ
��
� ��
KLUEVER (2018)
• Modelando:
� � �ℎ =
�� � ���� − ℎ
��
� ��
� � �� �
�ℎ
�� 
= �� � ���� − ℎ
� � �� �
�ℎ
�� 
+ ℎ = �� � ����
• Usando a Laplace:
� � (� � �� � � + 1) = �� � ����
• Obtendo a FT = �(�) ����(�)�
��(�) =
�(�)
����(�)
=
��
� � �� � � + 1
Sistema hidráulico com dois tanques
• Obter a vazão de saída Q2 em 
função da vazão de entrada QENT:
KLUEVER (2018)
• Modelando:
ℎ� − ℎ� = �� � ��
��
�ℎ�
��
= � − ��
ℎ� = �� � ��
��
�ℎ�
��
= �� − ��
• Aplicando Laplace:
1 �� − �� = �� � ��
2 �� � �� � � = � − �� → �� =
� − ��
�� � �
3 �� = �� � ��
4 �� � �� � � = �� − ��
KLUEVER (2018)
• Substituindo 2 e 3 em 1:
1 
� − ��
�� � �
− �� � �� = �� � ��
4 �� � �� � � = �� − �� → �� = �� � �� � � + ��
• Substituindo 4 em 1:
� − (����� + ��)
���
− ���� = (����� + ��)��
KLUEVER (2018)
• Rearranjando:
� − ����� − �� − �������
���
= ������� + ����
� = ������� + �� + ������� + ������������ + �������
� = �� � (����� + 1 + ����� + ���������
� + �����)
��(�)
�(�)
=
1
���������
� + (���� + ���� + ����) � � + 1
KLUEVER (2018)
Sistema hidráulico – diagrama de blocos
• Diagrama de blocos do sistema de dois tanques;
TAVARES (2017)
Modelagem 
matemática de 
sistemas 
pneumáticos
Comportamento do sistema pneumático
• Os sistemas pneumáticos tem como fluido o ar.
• Utilizados na indústria pela força de trabalho.
• Resistência de sistema de pressão:
�� =
�∆�
��
• Capacitância de sistema de pressão:
� =
��
��
= � �
��
��
https://pxhere.com/pt/photo/1089325
Modelando um sistema de pressão
• Obter a pressão do tanque P pela pressão de entrada Pini:
����
KLUEVER (2018)
• A válvula é uma resistência de pressão e
o vaso rígido é a capacitância do sistema;
• A mudança de pressão no vaso multiplicada 
pela capacitância é igual o gás adicionado na 
câmara em um tempo dt:
� � ��� = � � ��
� =
��
��
 �� =
���� − ��
�
KLUEVER (2018)
• Modelando:
� �
���
�� 
=
���� − ��
��
�� � � �
���
�� 
+ �� = ����
�� � (���� + 1) = ����
��
����
=
1
���� + 1
KLUEVER (2018)
Sistemas pneumáticos utilizando software
• Resposta do sistema pneumático de 1ª ordem:
• Verificar a resposta para diversos valores de R e C 
usando um loop;
• Obter uma única figura com diversos gráficos.
��
����
=
1
���� + 1
Situação-problema • Avaliar se o projeto de 
controle de vazão e de 
aquecimento de uma linha 
de produção de uma 
indústria de alimentos está 
funcionando devidamente;
OGATA (2010)
Resolvendo a situação problema
• Quanto maior o 
deslocamento da válvula, 
menor será o fluxo e 
maior a pressão que a 
válvula terá que suportar;
OGATA (2010)
• O deslocamento da válvula é inversamente 
proporcional ao fluxo na válvula:
� =
�����
�1
• A pressão na válvula é diretamente 
proporcional ao deslocamento da válvula:
� � �2 = �����ã�
• k1 e k2 são constantes da válvula de fábrica.
• Do modelo da 
válvula:
��
����
=
1
���� + 1
• Do modelo do tanque, temos a saída como 
fluxo.
�����
�1
= �
• A entrada da válvula :
�����ã� = � � �2
• Do modelo da 
válvula:
��
����
=
1
���� + 1
• Montando no software e ajustando o ganho Kp
para o melhor comportamento da válvula.
Autoria própria
• Aplicando Kp = 
k1 = k2 = 10, RL = 
RP = 1, CL = CP = 
2;
Modelagem 
matemática de 
sistemas térmicos
Sistemas térmicos
• Baseada na Lei da Conservação de Energia.
• A quantidade de energia é constante, 
havendo apenas transferência de calor.
� �
��
��
= � ���� − � ����
• Em que: � é a taxa de fluxo de calor, d� é a 
derivada da temperatura no tempo e � é a 
capacitância térmica.
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/com
mons/3/37/PT_calorimetria_equilibrio.png
Lei da conservação de energia
• Resistência térmica é a variação de temperatura 
pela variação na taxa de fluxo de calor:
�� =
∆�
�
• Capacitância térmica é a capacidade do corpo em
armazenar energia do calor devido à sua massa
� = ����� � ����� ��������
Sistemas térmicos de uma massa
• Considere um copo de café abaixo:
• Obtenha a temperatura T em função da 
temperatura ambiente Ta;
https://encrypted-
tbn0.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcTDhqHa6WH
78_TQvaaL2GC4tJ_rVCZpiNecf0hgySH26ADBfTXiAQ
KLUEVER (2018)
• Modelando:
� �
��
�� 
= ���� − ����
• Sabemos que (nesse caso):
�� =
� − ��
����
 � ���� = 0
� �
��
�� 
= −
� − ��
��
KLUEVER (2018)
• Rearranjando:
�� � � �
��
�� 
+ � = ��
�� � � � � � � + � =
� � (�� � � � � + 1) = ��
�� =
�
��
=
1
���� + 1
KLUEVER (2018)
Exemplo – Modelagem de 
sistema térmico
Considerações:
• O tanque é termicamente isolado;
• Não há armazenamento de calor no 
isolamento;
• O liquido no tanque está perfeitamente 
misturado  T uniforme e igual a Ts;
� �
��
��
= � ���� − � ����
TAVARES (2017)
• Obter a temperatura em função do fluxo de 
calor q de entrada:
� �
��
��
= ���� − ����
� �
���
��
= ���� −
�� − ��
��
�� � � �
���
��
+ �� = �� � ����
TAVARES (2017)
�� � �� � � � � + 1 = �� � ����
�� =
��
����
=
��
�� � � � � + 1
• Verificar resposta ao degrau no simulador; TAVARES (2017)
Exercícios –
Modelagem de 
sistemas
Situação problema 1
• Você foi contratado com a 
finalidade de revisar o projeto de 
um sistema de controle de vazão e 
de aquecimento;
• Qual é a vazão do fluido ao sair do 
silo? Qual é a equação que rege 
essa parte do sistema?
TAVARES (2017)
Resolvendo a situação problema
• Para obtermos a vazão do fluido e a equação que rege esse 
sistema, será necessário obtermos a função de transferência 
que descreve sua dinâmica  aplicar passos da modelagem;
1) Definição do problema  obtenção da função 
de transferência que relaciona o fluxo de 
entrada com o de saída.
2) Teoria e aplicação das leis fundamentais  lei de 
conservação da massa;
3) Simplificações e aproximações:
• O fluido é incompressível e tem massa específica 
constante.
• As resistências fluídicas são constantes
• As variações das grandezas do sistema são 
consideradas pequenas  sistema linear.
4) Equacionamento:
������ − ���� =
��
��
� � �ℎ = ������ − ���� � ��
Em que: �ℎ = �� � �����
TAVARES (2017)
• Substituindo e rearranjando:
� � �� � ����� = ������ − ����� ��
� � �� �
�����
��
+ ���� = ������
���� � � � �� � � + 1 = ������
����
������
=
1
�� � � � � + 1
TAVARES (2017)
Situação problema 2
• Se atentar ao sistema térmico do sistema.
• Qual é a temperatura de aquecimento 
dessa matéria-prima que escoa em regime 
permanente? O produto irá condensar?
TAVARES (2017)
Resolvendo a situação-problema 2
• A modelagem é a mesma que para um sistema 
térmico com aquecimento, porém deve se 
considerar que a temperatura de entrada pode 
variar devido ao controlador proporcional
• Obtendo a temperatura de saída em relação ao 
fluxo de calor de entrada:
��
����
=
1
�� � � � � + 1
TAVARES (2017)
• Obtida a função de transferência, realizar a 
simulação em diagrama de blocos para RT = CT = 
0,5;
��
����
=
1
�� � � � � + 1
=
1
0,25� + 1
Autoria própria
Dúvidas?
Recapitulando
• Sistemas hidráulico;
• Sistema Pneumático;
• Sistema Térmico.
• Simulação de sistemas integrados.

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