08 09 - (Lista - Trigonometria IV)

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Prof. Hiroshi 
Matemática 
 
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Lista de Exercícios – Trigonometria IV 
 
 
1. Resolva a equação 𝑐𝑜𝑠³𝑥 – 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0, no intervalo 
𝟎 ≤ 𝐱 < 2𝛑, dê a soma de suas raízes. 
 
2. UFV-MG O número de soluções da equação 
𝑐𝑜𝑠²𝑥 – 𝑐𝑜𝑠𝑥 – 2 = 0, para 𝟎 ≤ 𝐱 < 2𝛑, é: 
 
a) 4 b) 2 c) 0 d) 1 e) 3 
 
3. Resolva a equação 4𝑠𝑒𝑛²𝑥 – 1 = 0, no intervalo 
𝟎 ≤ 𝐱 < 2𝛑, e dê a soma de suas raízes. 
 
4. Resolva, no intervalo 𝟎 ≤ 𝐱 < 2𝛑, a equação 
1 + 2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 – 4 𝑠𝑒𝑛²𝑥 – 8𝑠𝑒𝑛³𝑥 = 0 
 
5. FGV-SP Os valores de m que satisfazem 
simultaneamente as relações senx = 
√m+1
2
 e 𝑐𝑜𝑠x = 
m−1
2
 
são tais que seu produto vale: 
 
a) −3 b) −2 c) −1 d) 0 e) n.d.a. 
 
6. Uma empresa prevê que a quantidade demandada de 
um produto para os próximos 24 meses pode ser 
determinada por: Q(t) = 200 − 100. sen (
t.π
6
) , em que 𝑡 =
 1 representa o mês de janeiro, 𝑡 = 2 representa o mês 
de fevereiro e assim por diante e Q(t) é o número de 
unidades demandadas. Responda: 
 
a) Qual o período e o conjunto imagem dessa função? 
b) Para que valores de t a quantidade é máxima? 
c) Para que valores de t a quantidade é mínima? 
 
 
7. (FGV 2012) Em certa cidade litorânea, verificou-se 
que a altura da água do mar em certo ponto era dada por 
 f(x) = 4 + 3. cos (
π.x
6
), em que x representa o número de 
horas decorridas a partir de zero hora de determinado dia, 
e a altura f(x) é medida em metros. Em que instantes, 
entre 0 e 12 horas, a maré atingiu a altura de 2,5 m 
naquele dia? 
 
a) 5 e 9 horas. 
b) 7 e 12 horas. 
c) 4 e 8 horas. 
d) 3 e 7 horas. 
e) 6 e 10 horas. 
 
 
8. (Fuvest 2013) Sejam 𝜶 e 𝜷 números reais com −
π
2
<
α <
π
2
 e 0 < β < π. Sabendo que o sistema de equações é 
dado em notação matricial: 
 
[
3 6
6 8
] . [
𝑡𝑔 𝛼
𝑐𝑜𝑠 𝛽
] = [
0
−2√3
] 
 
for satisfeito, então 𝛼 + 𝛽 é igual a: 
 
a) −
𝜋
3
 b) −
𝜋
6
 c) 0 d) 
𝜋
6
 e) 
𝜋
3
 
 
9. (Uece 2017) A soma dos elementos do conjunto 
formado por todas as soluções, no intervalo [0; 2𝜋] da 
equação 𝑠𝑒𝑛4𝑥 − 3𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 1 = 0 é igual a 
 
a) 3𝜋 b) 4𝜋 c) 5𝜋 d) 6𝜋 
 
10. (Udesc 2018) A soma de todas as raízes reais da 
função 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑡𝑔2(𝑥) −
5
4𝑠𝑒𝑛2(𝑥)
+ 2, pertencentes 
ao intervalo [
𝜋
2
; 3𝜋] é igual a: 
 
a) 4𝜋 b) 
53𝜋
6
 c) 9𝜋 d) 
35𝜋
6
 e) 
73𝜋
6
 
 
11. (Unicamp 2018) Seja 𝑥 um número real tal que 
sen x cos x 0,2.+ = Logo, | sen x cos x |− é igual a 
 
a) 0,5 b) 0,8 c) 1,1 d) 1,4 
 
12. (Fuvest 2017) Uma quantidade fixa de um gás ideal 
é mantida a temperatura constante, e seu volume varia 
com o tempo de acordo com a seguinte fórmula: 
 
𝑉(𝑡) = log2(5 + 2𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑡)) , 0 ≤ 𝑡 ≤ 2, 
 
em que t é medido em horas e V(t) é medido em 𝑚3. A 
pressão máxima do gás no intervalo de tempo [0; 2] 
ocorre no instante 
 
a) 𝑡 = 0,4 b) 𝑡 = 0,5 c) 𝑡 = 1 d) 𝑡 = 1,5 e) 𝑡 = 2 
 
13. Quantas soluções a equação 𝑡𝑔4𝑥 − 4𝑡𝑔2𝑥 + 3 =
0 pertencem ao intervalo [0 ; 2]? 
 
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 
 
14. (IFCE 2016) Se 𝑠𝑒𝑛𝑥 =
1
3
 e 
𝜋
2
≤ 𝑥 ≤ 𝜋, então 
o valor de 
𝑠𝑒𝑐2𝑥−𝑡𝑔2𝑥
1−𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝑥
 é: 
 
a) −
1
2
 b) −1 c) 
1
2
 d) 1 e) 0 
 
15. (Ime 2016) Seja a equação 
𝑠𝑒𝑛(2𝑥)
𝑡𝑔𝑥
=
1
2
. As 
soluções dessa equação para 𝑥 ∈ [−
𝜋
2
; 𝜋] formam um 
polígono no círculo trigonométrico de área 
 
a) 
√3
2
 b) √3 c) 
5√3
8
 d) 
1
2
 e) 1 
 
 
16. (Epcar (Afa) 2019) Seja a equação 
trigonométrica 𝑡𝑔3𝑥 − 2𝑡𝑔2𝑥 − 𝑡𝑔𝑥 + 2 = 0, com 𝑥 ∈
([0,2𝜋[− {
𝜋
2
,
3𝜋
2
}). Sobre a quantidade de elementos 
distintos do conjunto solução dessa equação, é correto 
afirmar que são, exatamente, 
 
 
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a) três. b) quatro. c) cinco. d) seis. 
 
17. (Famerp 2018) Observe os gráficos das funções 
reais 𝑓 e 𝑔, definidas por 𝑓(𝑥) = 2𝑠𝑒𝑛𝑥 e 𝑔(𝑥) = 4𝑐𝑜𝑠𝑥. 
 
 
 
Considere 𝑃(xp, yp) um ponto comum aos gráficos das 
funções 𝑓 e 𝑔 tal que 𝑥𝑝, em radianos, é um ângulo do 
primeiro quadrante. Nessas condições, 𝑐osxp é igual a 
 
a) 
√3
4
 b) 
√2
3
 c) 
√6
4
 d) 
√5
5
 e) 
√5
4
 
 
18. (Mackenzie 2018) Se 𝑐𝑜𝑠𝑥 =
2
3
, 
3𝜋
2
≤ x ≤ 2𝜋, então 
o valor de 𝑡𝑔𝑥 é igual a 
 
a) −
√5
3
 b) −
√5
2
 c) 
√5
3
 d) 
√5
2
 e) 2√5 
 
19. A expressão 
senx
1+cosx
+
1+cosx
senx
, verificadas as condições 
de existência, é igual a: 
 
a) 
senx
2
 b) 
1
cosx
 c) 
2
senx
 d) –
senx
2
 e) 
2
cosx
 
 
20. (UFES) A soma das raízes da equação 
𝑡𝑔²𝑥 – 𝑡𝑔𝑥 = 0, 0 < 𝑥 < π , é: 
 
a) 0 b) 
5π
4
 c) 
π
4
 d) 
3π
4
 e) 2π 
 
21. Sendo0 < 𝑥 <
π
2
 , simplificando a expressão 
secx + senx 
cosecx + cosx 
, obtém-se: 
 
a) 𝑠𝑒𝑛𝑥 b) cos 𝑥 c) 𝑡𝑔𝑥 d) 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 e) 1 
 
22. (FATEC-SP) Sef(x) = 
1
2
. secx + √3. sec (
x
2
), então 
f (
π
3
)é igual a: 
 
a)
5√3
3
 
 
b) 
2√3
3
 
 
c) 
√3
3
 
 
d) 2 
 
e) 3 
 
 
23. (FATEC-SP) Se x é um número real tal que 
sen²x – 3senx = – 2, então x é igual a: 
 
a) 
π
2
+ hπ, h ∈ ℤ 
 
b) 
3π
2
+ hπ, h ∈ ℤ 
 
c) 
3π
2
+ h2π, h ∈ ℤ 
 
d) 
π
2
+ h2π, h ∈ ℤ 
 
e) 
π
4
+ hπ, h ∈ ℤ 
 
24. (UNIFEB-SP) A solução da equação: 
 2tg²x + secx + 1 = 0 é: 
 
a) 2kπ +
π
6
, k ∈ ℤ 
 
b) 2kπ +
π
3
, k ∈ ℤ 
 
c) 2kπ, k ∈ ℤ 
 
d) 2kπ + π, k ∈ ℤ 
 
e) n.d.a. 
 
25. (UFUbe-MG) O conjunto solução da equação: 
sen²x = cos²x é: 
 
a) {
(2k+1)π
4
, k ∈ ℤ} 
 
b){kπ +
π
4
, k ∈ ℤ} 
 
c){kπ −
π
4
, k ∈ ℤ} 
 
d) {
2kπ
4
, k ∈ ℤ} 
 
e) {
kπ
4
, k ∈ ℤ} 
 
 
Gabarito 
 
1. 𝟑𝝅 
2. d 
3. 𝟒𝝅 
4. S= {
𝛑
𝟔
,
𝟓𝛑
𝟔
,
𝟕𝛑
𝟔
,
𝟏𝟏𝛑
𝟔
} 
5. b 
6.a) 𝑷 = 𝟏𝟐 𝑰 = [𝟏𝟎𝟎, 𝟑𝟎𝟎] 
 b) 𝒕 = 𝟗 𝒐𝒖 𝒕 = 𝟐𝟏 
 c) 𝒕 = 𝟑 𝒐𝒖 𝒕 = 𝟏𝟓 
7. c 
8. b 
9. d 
10. b 
11. d 
 
12. d 
13. d 
14. a 
15. a 
16. d 
17. d 
18. b 
19. a 
20. c 
21. c 
22. e 
23. d 
24. d 
25. a