08 09 - Relação Fundamental - Hexa tarde e noite

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Prof. Johnny 
Matemática 
 
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Lista de Exercícios 
 
1. (Espcex (Aman) 2019) O número de raízes reais 
da equação 2  𝑐𝑜𝑠2   𝑥 + 3  𝑐𝑜𝑠   𝑥 + 1 = 0 no 
intervalo ]0,  2𝜋[é 
a) 0. 
b) 1. 
c) 2. 
d) 3. 
e) 4. 
 
2. Determine o conjunto solução para a 
equação 6 𝑠𝑒𝑛2 (𝑥) − 9 𝑠𝑒𝑛 (𝑥) + 3 = 0. 
a){𝑥 ∈ ℝ;  𝑥 =
𝜋
2
+ 2𝑘𝜋 𝑜𝑢 𝑥 =
𝜋
6
+
2𝑘𝜋 𝑜𝑢 𝑥 =
5𝜋
6
+ 2𝑘𝜋,  𝑘 ∈ ℤ} 
b){𝑥 ∈ ℝ;  𝑥 =
𝜋
4
+ 2𝑘𝜋 𝑜𝑢 𝑥 =
𝜋
3
+
2𝑘𝜋 𝑜𝑢 𝑥 =
5𝜋
6
+ 2𝑘𝜋,  𝑘 ∈ ℤ} 
c) {𝑥 ∈ ℝ;  𝑥 = 2𝑘𝜋 𝑜𝑢 𝑥 =
𝜋
4
+ 2𝑘𝜋,  𝑘 ∈ ℤ} 
d) {𝑥 ∈ ℝ;  𝑥 =
𝜋
4
 𝑜𝑢 𝑥 =
𝜋
3
} 
e) {𝑥 ∈ ℝ;  𝑥 =
𝜋
6
 𝑜𝑢 𝑥 =
𝜋
2
 𝑜𝑢 𝑥 =
𝜋
4
} 
 
3. Faça o que se pede. 
 
a) Seja 𝛼 ∈ [0, 
𝜋
2
]. Sabendo que 𝑠𝑒𝑛𝛼 = 0,6, 
calcule 𝑐𝑜𝑠 𝛼 e o determinante da matriz 
𝐴 = (
𝑐𝑜𝑠 𝛼 4
1 3
). 
b) Encontre todos os valores de 𝜃 ∈ ℝ para 
os quais a matriz 
𝐵 = (
𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑠 𝑒𝑛𝜃 0
1 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑠 𝑒𝑛𝜃
1 √2 1
) 
tem determinante 𝑑𝑒𝑡( 𝐵) = 1. 
 
4. A soma dos elementos do conjunto formado 
por todas as soluções, no intervalo [0,  2𝜋], 
da equação 2 𝑠𝑒𝑛4( 𝑥) − 3 𝑠𝑒𝑛2( 𝑥) + 1 = 0 é 
igual a 
a) 3𝜋. 
b) 4𝜋. 
c) 5𝜋. 
d) 6𝜋. 
 
5. Se 𝑥 ∈ ℝ, então a equação 𝑐𝑜𝑠( 𝑥) = 𝑐𝑜𝑠( −
𝑥) apresenta o conjunto solução 
a) ℝ 
b) [−1;  1] 
c) [0; +∞) 
d) (−∞;  0] 
e) {−1,  0,  1} 
 
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: 
Leia o texto abaixo para responder à(s) 
questão(ões) a seguir. 
 
Ao longo de um ano, a taxa de câmbio de uma 
moeda 𝑋 em relação a uma moeda 𝑌 foi dada 
pela seguinte função: 
 
𝑓(𝑡) = 1,625 + 1,25 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 (𝜋 ⋅
(𝑡 − 3)
12
) 
 
sendo 𝑡 o tempo, dado em meses desde o 
início do ano. Assim, 𝑡 = 9 indica a taxa no 
início de outubro, que era de 1,625 unidades 
da moeda 𝑋 para uma unidade da moeda 𝑌 
(note que esse valor da taxa indica que no 
instante considerado a moeda 𝑋 era “menos 
valiosa” que a moeda 𝑌). 
 
 
6. (Insper) Ao longo do ano analisado, a maior 
taxa de câmbio da moeda 𝑋 em relação à 
moeda 𝑌 atingida e o instante em que isso 
ocorreu foram, respectivamente, 
a) 2,625 e início de janeiro. 
b) 2,625 e início de março. 
c) 2,875 e início de janeiro. 
d) 2,875 e início de abril. 
e) 2,875 e início de junho. 
 
 
 
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7. (Uerj) Considere a função real 𝑓, de variável 
real 𝑥, definida pelo seguinte determinante: 
 
𝑓(𝑥) = |
2 𝑐𝑜𝑠( 𝑥) 2
1 2 𝑐𝑜𝑠( 𝑥)
|  𝑝𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋 
 
Observe o gráfico da função 𝑓. 
 
 
 
Determine os valores de 𝑥 para os quais 
𝑓(𝑥) = 1. 
 
 
8. No processo de calcular o ângulo 𝑥 formado 
entre duas avenidas transversais, um 
engenheiro obteve a seguinte equação 
𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛3𝑥. Sabendo que 𝑥 não excede 
180°, é CORRETO afirmar que: 
a) 𝑥 = −1 
b) 𝑥 = 0 
c) 𝑥 = 1 
d) 𝑥 =
𝜋
2
 
e) 𝑥 =
3𝜋
2
 
 
 
9. (Upf) A quantidade de soluções que a 
equação trigonométrica 𝑠𝑒𝑛4𝑥 − 𝑐𝑜𝑠4 𝑥 =
1
2
 
admite no intervalo [0,  3𝜋] é: 
a) 0 
b) 2 
c) 4 
d) 6 
e) 8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gabarito: 
 
1: [D] 
2: [A] 
3: a) 𝑑𝑒𝑡( 𝐴) = −1,6 
 b) {
𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0 ⇒ 𝜃 = 𝑘𝜋 (𝑘 ∈ ℤ)
𝑜𝑢
𝑐𝑜𝑠 𝜃 = −
√2
2
⇒ 𝜃 = 𝑘2𝜋 ±
3𝜋
4
  (𝑘 ∈ ℤ)
 
 
4: [D] 
5: [A] 
6: [D] 
7:𝑥 =
𝜋
6
  ou  𝑥 =
5𝜋
6
 
8: [D] 
9: [D]