Lista-de-exercicios-polinomios

Prévia do material em texto

MATEMÁTICA PAULISTAS 
POLINÔMIOS E EQUAÇÕES POLINOMIAIS 
PROFESSORA: ARACÉLI 
 
 
 
01. (UNESP) Dividindo o polinômio 
4 2x 3x 5x )( 23 −++=xP pelo polinômio D(x), 
obtém-se o quociente 18 5x )( +=xQ e o resto 
22 51x )( −=xR . O valor de D (2) é: 
a) –11. 
b) –3. 
c) –1. 
d) 3. 
e) 11. 
 
02. (UNIFESP) Se 
21232 −
+
−
=
+− x
b
x
a
xx
x
 é 
verdadeira para todo x real, 2 x,1x ≠≠ então o valor de 
a . b é 
a) – 4 
b) – 3 
c) – 2 
d) 2 
e) 6 
 
03. (FUVEST/2014) 
O resto da divisão do polinômio 
x4 – 3x3 + 7x2 – x + 4 por x2 – 2x + 1 é igual a 
a) 4x2 
b) 4x 
c) 8x 
d) 8x + 1 
e) 8x – 1 
 
 
04. (UFSCar) 
Considere os polinômios 
p(x) = x4 – 13x3 + 30x2 + 4x – 40 e q(x) = x2 – 9x – 10. 
 
a) Calcule s(x) = p(x)/q(x). 
 
b) Resolva a inequação p(x) < 0. 
 
 
05. (VUNESP) 
O polinômio baxx ++3 tem coeficientes a e b reais e é 
divisível por 1+x e por 2+x . Assim, é correto afirmar 
que: 
a) 6b e 7 =−=a 
b) 6 b e 7 −=−=a 
c) 6 b e 7 −==a 
d) 6b e 7 ==a 
e) 7b e 6 ==a 
 
06. (FUVEST) 
O polinômio p(x) = (m – 1)x3 + (k2 – 3k + 2)x2 + 5x – 2, 
apresenta grau 2, se e somente se: 
a) m = 1 ; k ≠ 1 e k ≠ 2 
b) m = − 1 ; k ≠ − 1 e k ≠ − 2 
c) m = 1 ; k = 1 e k = 2 
d) m = − 1 ; k ≠ 1 e k ≠ 2 
e) m = −1 ; k ≠ 1 e k ≠ − 2 
 
Equação polinomial ou algébrica é toda equação da 
forma P(x) = 0, em que p(x) é um polinômio: 
P(x) = 𝒂𝒂𝒏𝒏𝒙𝒙𝒏𝒏 + 𝒂𝒂𝒏𝒏−𝟏𝟏𝒙𝒙𝒏𝒏−𝟏𝟏 + … + 𝒂𝒂𝟐𝟐𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒂𝒂𝟏𝟏𝒙𝒙 + 𝒂𝒂𝟎𝟎 
de grau n, com n ≥ 1. 
 
FATORAÇÃO E MULTIPLICAÇÃO DE RAÍZES 
Se x1, x2, x3, ..., xn são raízes da equação 
𝒂𝒂𝒏𝒏𝒙𝒙𝒏𝒏 + 𝒂𝒂𝒏𝒏−𝟏𝟏𝒙𝒙𝒏𝒏−𝟏𝟏 + … + 𝒂𝒂𝟐𝟐𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒂𝒂𝟏𝟏𝒙𝒙 + 𝒂𝒂𝟎𝟎 = 0 , 
então ela pode ser escrita na forma fatorada: 
an .(x − x1).(x − x2). ··· .(x − xn) = 0. 
 
TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA 
Toda equação polinomial, de grau n, com n ≥ 1 possui n 
raízes (das quais, pode haver raízes complexas aos 
pares). 
 
RELAÇÕES DE GIRARD 
São as relações existentes entre os coeficientes e as 
raízes de uma equação algébrica. Para uma equação do 
2º grau, da forma ax2 + bx + c = 0, já conhecemos as 
seguintes relações entre os coeficientes e as raízes x1 e 
x2: 
 
x1 + x2 = − b/a 
x1 · x2 = c/a 
 
Para uma equação do 3º grau , da forma 
ax3 + bx2 + cx + d = 0, sendo x1, x2 e x3 as raízes, temos 
as seguintes relações de Girard: 
 
x1 + x2 + x3 = − b/a 
x1 · x2 + x1 · x3 + x2 · x3 = c/a 
x1 · x2 · x3 = − d/a 
 
PESQUISA DE RAÍZES RACIONAIS 
Se um número racional p/q , com p e q primos entre si, é 
raiz de uma equação polinomial de coeficientes 
inteiros do tipo P(x) = 𝒂𝒂𝒏𝒏𝒙𝒙𝒏𝒏 + 𝒂𝒂𝒏𝒏−𝟏𝟏𝒙𝒙𝒏𝒏−𝟏𝟏 + … +
 𝒂𝒂𝟐𝟐𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒂𝒂𝟏𝟏𝒙𝒙 + 𝒂𝒂𝟎𝟎 então p é divisor de a0 e q é divisor 
de an. 
* Se o número complexo a + bi, com b ≠ 0, for raiz de 
P(x) = 0 , então o conjugado a – bi, com b ≠ 0, também 
será raiz. (Coeficientes reais) 
 
* Se a soma dos coeficientes de uma equação algébrica 
P(x) = 0 for nula, então 1 é raiz da equação. 
 
Exemplo: 1 é raiz de 6x3 − 10x2 + 10x − 6 = 0, pois a soma 
dos coeficientes é igual a zero. 
 
* Toda equação de termo independente nulo admite um 
número de raízes nulas igual ao menor expoente da 
variável. 
 
Exemplo: a equação 2x3 + 3x2 = 0 possui duas raízes 
nulas. 
 
07 - (FGV/2014) O número 1 é raiz de multiplicidade 2 da 
equação polinomial 𝑥𝑥4 − 2𝑥𝑥3 − 3𝑥𝑥2 + 𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏 = 0. 
O produto a.b é igual a 
A) – 8 
B) – 4 
C) – 32 
D) – 16 
E) – 64 
 
08 - (PUCCampinas) 
Sabe-se que a equação 2x3 + x2 – 6x – 3 = 0 admite uma 
única raiz racional e não inteira. As demais raízes dessa 
equação: 
a) inteiras e positivas 
b) inteiras e de sinais contrários 
c) não reais 
d) irracionais e positivas 
e) irracionais e de sinais contrários 
 
09 - (UNESP) 
Sabendo-se que 1 + 𝑖𝑖 é raiz do polinômio 
2 4x x 3x 3x x )( 2345 +−++−=xP , pode-se afirmar 
que 
a) 1 é raiz de multiplicidade 1 de P(x). 
b) 1 é raiz de multiplicidade 2 de P(x). 
c) –1 é raiz de multiplicidade 2 de P(x). 
d) (1 + i) é raiz de multiplicidade 2 de P(x). 
e) (1 + i) é raiz de multiplicidade 3 de P(x). 
 
10 - (FGV) 
Sendo p e q as raízes irracionais da equação 
046632 234 =+−−+ xxxx , p.q é igual a 
a) 
2
2
− 
b) 3− 
c) −2 
d) 6− 
e) 
2
5
− . 
 
11 - A soma das raízes complexas não reais da equação 
05444 234 =−++− xxxx é: 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
 
 
12 – (UNIFESP) 
Sejam p, q, r as raízes distintas da equação 
x3 –2x2 + x – 2 = 0. A soma dos quadrados dessas raízes é 
igual a 
a) 1. 
b) 2. 
c) 4. 
d) 8. 
e) 9. 
 
 
13 - Se a, b e c são as raízes da equação 
x3 − 2x2 + 3x − 4 = 0, então 
cba
111
++ vale 
a) 2/3 
b) 4/3 
c) 7/3 
d) 3/4 
e) 1/4 
 
 
14 - O comprimento, a largura e a altura de um 
paralelepípedo retângulo são, respectivamente, as 
raízes da equação 0303110 23 =−+− xxx . Calcule o 
volume e a área total desse paralelepípedo. 
 
 
 
15 - Se a, b, e c são raízes reais do polinômio 
p(x) = 20x3 + 20x2 + 9x + 1, então log(a2 + b2 + c2), onde 
log denota logaritmo decimal, é: 
a) −2 
b) 1 
c) 2 
d) 0 
e) −1 
 
 
 
16 - Sabendo-se que os números reais não nulos, a e –a, 
são soluções da equação 0123 23 =++− pxxx , 
então, pode-se afirmar que: 
a) 1 p ≥ 
b) 1 p 0 <≤ 
c) 0 p 1 <≤− 
d) 1- p < 
 
17 - Determine a função polinomial, de coeficiente 
dominante 3, cujo gráfico está ilustrado abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
1. C 
2. C 
3. C 
4. ? 
5. B 
6. A 
7. C 
8. E 
9. B 
10. C 
11. E 
12. B 
13. D 
14. A = 62 e V = 60 
15. E 
16. D 
17. 3.x2.(x – 1)