11 04 (Lista - Geometria Espacial - ENEM)

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Prof. Anderson Weber 
Matemática 
 
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Lista de Exercícios – Geometria Espacial [Posição e Métrica] 
 
1. Uma empresa precisa comprar uma tampa para o seu 
reservatório, que tem a forma de um tronco de cone 
circular reto, conforme mostrado na figura. Considere que 
a base do reservatório tenha raio r = 2√3 𝑚 e que sua 
lateral faça um ângulo de 600 com o solo. Se a altura do 
reservatório é 12m, a tampa a ser comprada deverá cobrir 
uma área de 
 
 
a) 12𝜋 m² b) 108𝜋 m² c) (12 + 12√3)
2
𝜋 m² 
d) 300𝜋 m² e) (24 + 2√3)
2
𝜋 m² 
 
2. Um chefe de cozinha utiliza um instrumento cilíndrico 
afiado para retirar parte do miolo de uma laranja. Em 
seguida, ele fatia toda a laranja em secções 
perpendiculares ao corte feito pelo cilindro. Considere que 
o raio do cilindro e da laranja sejam iguais a 1 cm e a 3 
cm, respectivamente. A área da maior fatia possível é: 
 
a) duas vezes a área da secção transversal do cilindro. 
b) três vezes a área da secção transversal do cilindro. 
c) quatro vezes a área da secção transversal do cilindro. 
d) seis vezes a área da secção transversal do cilindro. 
e) oito vezes a área da secção transversal do cilindro. 
 
3.Para confeccionar, em madeira, um cesto de lixo que 
comporá o ambiente decorativo de uma sala de aula, um 
marceneiro utilizará, para as faces laterais, retângulos e 
trapézios isósceles e, para o fundo, um quadrilátero, com 
os lados de mesma medida e ângulos retos. Qual das 
figuras representa o formato de um cesto que possui as 
características estabelecidas? 
 
a) 
 
d) 
 
b) 
 
e) 
 
c) 
 
 
 
4. Uma lagartixa está no interior de um quarto e começa 
a se deslocar. Esse quarto, apresentando o formato de 
um paralelepípedo retangular, é representado pela figura 
abaixo. 
 
 
 
A lagartixa parte do ponto 𝑩 e vai até o ponto 𝑨. A seguir, 
de 𝑨 ela se desloca, pela parede, até o ponto 𝑴, que é o 
ponto médio do segmento 𝑬𝑭̅̅ ̅̅ . Finalmente, pelo teto, ela 
vai do ponto 𝑴 até o ponto 𝑯. Considere que todos esses 
deslocamentos foram feitos pelo caminho de menor 
distância entre os respectivos pontos envolvidos. 
 
A projeção ortogonal desses deslocamentos no plano que 
contém o chão do quarto é dado por 
 
a) 
 
d) 
 
b) 
 
e) 
 
c) 
 
 
 
 
5. Maria quer inovar em sua loja de embalagens e decidiu 
vender caixas com diferentes formatos. Nas imagens 
apresentadas estão as planificações dessas caixas. 
 
 
Quais serão os sólidos geométricos que Maria obterá a 
partir dessas planificações? 
 
a) Cilindro, prisma de base pentagonal e pirâmide. 
b) Cone, prisma de base pentagonal e pirâmide. 
c) Cone, tronco de pirâmide e pirâmide. 
d) Cilindro, tronco de pirâmide e prisma. 
e) Cilindro, prisma e tronco de cone. 
 
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6. Para decorar um cilindro circular reto será usada uma 
faixa retangular de papel transparente, na qual está 
desenhada em negrito uma diagonal que forma 30° com 
a borda inferior. O raio da base do cilindro mede 6/𝜋 cm, 
e ao enrolar a faixa obtém-se uma linha em formato de 
hélice, como na figura. O valor da medida da altura do 
cilindro, em cm, é 
 
a) 36√3 b) 24√3 c) 4√3 
d) 36 e) 72 
 
7. Viveiros de lagostas são construídos, por cooperativas 
locais de pescadores, em formato de prismas reto - 
retangulares, fixados ao solo e com telas flexíveis de 
mesma altura, capazes de suportar a corrosão marinha. 
Para cada viveiro a ser construído, a cooperativa utiliza 
integralmente 100 metros lineares dessa tela, que é 
usada apenas nas laterais. 
 
 
 
Quais devem ser os valores de 𝑋 e de 𝑌, em metro, para 
que a área da base do viveiro seja máxima? 
 
a) 1 e 49 b) 1 e 99 c) 10 e 10 
d) 25 e 25 e) 50 e 50 
 
8. Um arquiteto está fazendo um projeto de iluminação de 
ambiente e necessita saber a altura que deverá instalar a 
luminária ilustrada na figura: 
 
 
 
Sabendo-se que a luminária deverá iluminar uma área 
circular de 28,26m2, considerando 𝜋 ≅ 3,14, altura ℎ será 
igual a 
 
a) 3 m b) 4 m c) 5 m d) 9 m e) 16 m 
 
9. Na reforma e estilização de um instrumento de 
percussão, em formato cilíndrico (bumbo), será colada 
uma faixa decorativa retangular, como a indicada na 
Figura 1, suficiente para cobrir integralmente, e sem 
sobra, toda a superfície lateral do instrumento. 
 
 
 
Como ficará o instrumento após a colagem? 
 
a) 
 
d) 
 
b) 
 
e) 
 
c) 
 
 
 
 
10. Para fazer um pião, brinquedo muito apreciado pelas 
crianças, um artesão utilizará o torno mecânico para 
trabalhar num pedaço de madeira em formato de cilindro 
reto, cujas medidas do diâmetro e da altura estão 
ilustradas na Figura 1. A parte de cima desse pião será 
uma semiesfera, e a parte de baixo, um cone com 
altura 4 cm, conforme Figura 2. O vértice do cone deverá 
coincidir com o centro da base do cilindro. 
 
 
 
O artesão deseja fazer um pião com a maior altura que 
esse pedaço de madeira possa proporcionar e de modo a 
minimizar a quantidade de madeira a ser descartada. 
 
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Dados: 
• O volume de uma esfera de raio 𝑟 é 4/3 ⋅ 𝜋 ⋅ 𝑟3; 
• O volume do cilindro de altura ℎ e área da base 𝑆 é 
𝑆 ⋅ ℎ; 
• O volume do cone de altura ℎ e área da base 𝑆 é 
1
3
∙
𝑆 ∙ ℎ; 
• Por simplicidade, aproxime 𝜋 para 3. 
 
A quantidade de madeira descartada, em centímetros 
cúbicos, é: 
 
a) 45 b) 48 c) 72 d) 90 e) 99 
 
 
GEOMETRIA PLANA 
 
1.Na figura abaixo, a região sombreada, refere-se a 
polígono convexo, que tem lados iguais e ângulos iguais, 
e que foi parcialmente coberto com uma folha de papel 
em branco. Se 𝑥 + 𝑦 = 80, quantos lados tem o 
polígono? 
 
a) 10 b) 9 c) 8 d) 7 e) 6 
 
 
2. O proprietário de um parque aquático deseja construir 
uma piscina em suas dependências. A figura representa 
a vista superior dessa piscina, que é formada por três 
setores circulares idênticos, com ângulo central igual a 
60°. O raio 𝑅 deve ser um número natural. 
 
 
O parque aquático já conta com uma piscina em formato 
retangular com dimensões 50 𝑚 𝑥 24 𝑚. O proprietário 
quer que a área ocupada pela nova piscina seja menor 
que a ocupada pela piscina já existente. O maior valor 
possível para R, em metros, deverá ser 
Considere 3,0 como aproximação para 𝜋. 
 
a) 16 b) 28 c) 29 d) 31 e) 49 
 
3. Uma fábrica de tubos acondiciona tubos cilíndricos 
menores dentro de outros tubos cilíndricos. A figura 
mostra uma situação em que quatro tubos cilíndricos 
estão acondicionados perfeitamente em um tubo com raio 
maior. 
 
 
 
Suponha que você seja o operador da máquina que 
produzirá os tubos maiores em que serão colocados, sem 
ajustes ou folgas, quatro tubos cilíndricos internos. Se o 
raio da base de cada um dos cilindros menores for igual a 
6 cm, a máquina por você operada deverá ser ajustada 
para produzir tubos maiores, com raio da base igual a: 
 
a) 12 𝑐𝑚 b) 12√2 𝑐𝑚 c) 24√2 𝑐𝑚 
d) 6(1 + √2)𝑐𝑚 e) 12(1 + √2)𝑐𝑚 
 
4. Pretende-se construir um mosaico com o formato de 
um triângulo retângulo, dispondo-se de três peças, sendo 
duas delas triângulos retângulos congruentes e a terceira 
um triângulo isóscele. A figura apresenta cinco mosaicos 
formados por três peças. 
 
 
 
Na figura, o mosaico que tem as características daquele 
que se pretende construir é o: 
 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 
 
5. O padrão internacional ISO 216 define os tamanhos de 
papel utilizados em quase todos os países. O formato 
base é uma folha retangular de papel chamada de A0, 
cujas dimensões estão na razão 1: √2. A partir de então, 
dobra-se a folha ao meio, sempre no lado maior, definindo 
os demais formatos, conforme o número da dobradura. 
 
 
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Por exemplo, 
 
A1 é a folha A0 dobrada ao meio uma vez, 
A2 é a folha A0 dobrada ao meio duas vezes, 
 
e assim sucessivamente, conforme figura. 
 
 
 
Um tamanho de papel bastante comum em escritóriosbrasileiros é o A4, cujas dimensões são 21,0 cm por 29,7 
cm. Quais são as dimensões, em centímetros, da folha 
A0? 
 
a) 21,0 x 118,8 b) 84,0 x 29,7 c) 84,0 x 118,8 
d) 168,0 x 237,6 e) 336,0 x 475,2 
 
6. No centro de uma praça será construída uma estátua 
que ocupará um terreno quadrado com área de 9 metros 
quadrados. O executor da obra percebeu que a escala do 
desenho na planta baixa do projeto é de 1 : 25. Na planta 
baixa, a área da figura que representa esse terreno, em 
centímetro quadrado, é 
 
a) 144 b) 225 c) 3600 
d) 7500 e) 32400 
 
7. Sobre um sistema cartesiano considera-se uma malha 
formada por circunferências de raios com medidas 
dadas por números naturais e por 12 semirretas com 
extremidades na origem, separadas por ângulos de 𝜋/6 
 𝑟𝑎𝑑, conforme a figura. 
 
 
Suponha que os objetos se desloquem apenas pelas 
semirretas e pelas circunferências dessa malha, não 
podendo passar pela origem (0 ; 0). 
Considere o valor de 𝜋 com aproximação de, pelo menos, 
uma casa decimal. 
Para realizar o percurso mais curto possível ao longo da 
malha, do ponto B até o ponto A, um objeto deve percorrer 
uma distância igual a 
 
a) 
2∙𝜋∙1
3
+ 8 d) 
2∙𝜋∙4
3
+ 2 
b) 
2∙𝜋∙2
3
+ 6 e) 
2∙𝜋∙5
3
+ 2 
c) 
2∙𝜋∙3
3
+ 4 
 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
1. Na figura, encontra-se representados em um sistema 
de coordenadas cartesianas ortogonais, 𝑥𝑂𝑦, uma 
circunferência de centro 𝑂 e raio 1 e uma 
semicircunferência de raio 1/2. Após uma rotação de 
1800, no sentido da flecha, em torno de O, o ponto A, que 
está sobre a semicircunferência, é transformado em um 
ponto de coordenadas 
 
 
 
a) (1/2 ; 1/2) b) (1/2 ; 0) c) (−1/2 ; −1/2) 
d) (0 ; 1/2) e) (−1/2 ; 1/2) 
 
2. Em um mês, uma loja de eletrônicos começa a obter 
lucro já na primeira semana. O gráfico representa o lucro 
(L) dessa loja desde o início do mês até o dia 20. Mas 
esse comportamento se estende até o último dia, o dia 30. 
A representação algébrica do lucro (L) em função do 
tempo (t) é: 
 
 
 
a) L(t) = 20t + 3000 
b) L(t) = 20t + 4000 
c) L(t) = 200t 
d) L(t) = 200t – 1000 
e) L(t) = 200t + 3000 
 
 
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3. Um jogo pedagógico utiliza-se de uma interface 
algébrico-geométrica do seguinte modo: os alunos devem 
eliminar os pontos do plano cartesiano dando “tiros”, 
seguindo trajetórias que devem passar pelos pontos 
escolhidos. Para dar os tiros, o aluno deve escrever em 
uma janela do programa a equação cartesiana de uma 
reta ou de uma circunferência que passa pelos pontos e 
pela origem do sistema de coordenadas. Se o tiro for dado 
por meio da equação da circunferência, cada ponto 
diferente da origem que for atingido vale 2 pontos. Se o 
tiro for dado por meio da equação de uma reta, cada ponto 
diferente da origem que for atingido vale 1 ponto. Em uma 
situação de jogo, ainda restam os seguintes pontos para 
serem eliminados: 
 
 𝐴(0 ; 4), 𝐵(4 ; 4), 𝐶(4 ; 0), 𝐷(2 ; 2) 𝑒 𝐸(0; 2). 
 
Passando pelo ponto 𝐴, qual equação forneceria a maior 
pontuação? 
 
 
 
a) 𝑥 = 0 
b) 𝑦 = 0 
c) 𝑥2 + 𝑦2 = 16 
d) 𝑥2 + (𝑦 – 2)2 = 4 
e) (𝑥 – 2 )2 + (𝑦 – 2)2 = 8 
 
4. Para criar um logotipo, um profissional da área de 
design gráfico deseja construí-lo utilizando o conjunto de 
pontos do plano na forma de um triângulo, exatamente 
como mostra a imagem. 
 
 
 
Para construir tal imagem utilizando uma ferramenta 
gráfica, será necessário escrever algebricamente o 
conjunto que representa os pontos desse gráfico. Esse 
conjunto é dado pelos pares ordenados (𝑥 ; 𝑦) ∈ 𝐼𝑁 𝑥 𝐼𝑁, 
tais que: 
 
a) 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑦 ≤ 10 
b) 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑥 ≤ 10 
c) 0 ≤ 𝑥 ≤ 10, 0 ≤ 𝑦 ≤ 10 
d) 0 ≤ 𝑥 + 𝑦 ≤ 10 
e) 0 ≤ 𝑥 + 𝑦 ≤ 20 
 
5. Em uma cidade será construída uma galeria 
subterrânea que receberá uma rede de canos para o 
transporte de água de uma fonte (F) até o reservatório de 
um novo bairro (B). Após avaliações, foram apresentados 
dois projetos para o trajeto de construção da galeria: um 
segmento de reta que atravessaria outros bairros ou uma 
semicircunferência que contornaria esses bairros, 
conforme ilustrado no sistema de coordenadas 𝑥𝑂𝑦 da 
figura, em que a unidade de medida nos eixos é o 
quilômetro. 
 
 
 
Estudos de viabilidade técnica mostraram que, pelas 
características do solo, a construção de 1 𝑚 de galeria via 
segmento de reta demora 1,0 ℎ, enquanto que 1 𝑚 de 
construção de galeria via semicircunferência demora 
0,6 ℎ. Há urgência em disponibilizar água para esse 
bairro. O menor tempo possível, em hora, para conclusão 
da construção da galeria, para atender às necessidades 
de água do bairro, é de 
Use 3 como aproximação para 𝜋 e 1,4 como aproximação 
para √2. 
 
a) 1260 b) 2520 c) 2800 
d) 3600 e) 4000 
 
 
GABARITO 
 
GEOMETRIA ESPACIAL 
1.b 2.e 3.c 4.b 5.a 
6.b 7.d 8.b 9.a 10.e 
 
GEOMETRIA PLANA 
1.b 2.b 3.d 4.b 5.c 
6.a 7.a 
 
GEOMETRIA ANALITICA 
1.c 2.d 3.e 4.b 5.b 
 
 
 
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PROBLEMAS SUPLEMENTARES 
 
1. Um garçom precisa escolher uma bandeja de base 
retangular para servir quatro taças de espumante que 
precisam ser dispostas em uma única fileira, paralela ao 
lado maior da bandeja, e com suas bases totalmente 
apoiadas na bandeja. A base e a borda superior das taças 
são círculos de raio 4 cm e 5 cm, respectivamente. 
 
 
 
 A bandeja a ser escolhida deverá ter uma área mínima, 
em centímetro quadrado, igual a 
 
a) 192 b) 300 c) 304 d) 320 e) 400 
 
2. As Artes Marciais Mistas, tradução do inglês: MMA – 
mixed martial arts, são realizadas num octógono regular. 
De acordo com a figura, em certo momento os dois 
lutadores estão respectivamente nas posições 𝐺 e 𝐹, e o 
juiz está na posição 𝐼. 
 
 
 
O triângulo 𝐼𝐺𝐻 é equilátero e 𝐺Î𝐹 é o ângulo formado 
pelas semirretas com origem na posição do juiz, 
respectivamente passando pelas posições de cada um 
dos lutadores. A medida do ângulo 𝐺Î𝐹 é 
 
a) 120° b) 75° c) 67,5° d) 60° e) 52,5° 
 
3. Uma fábrica comercializa chocolates em uma caixa de 
madeira, como na figura. A caixa de madeira tem a forma 
de um paralelepípedo reto-retângulo cujas dimensões 
externas, em centímetros, estão indicadas na figura. 
Sabe-se também que a espessura da madeira, em todas 
as suas faces, é de 0,5 𝑐𝑚. 
Qual é o volume de madeira utilizado, em centímetro 
cúbico, na construção de uma caixa de madeira como a 
descrita para embalar os chocolates? 
 
 
 
a) 654 b) 666 c) 673 d) 681 e) 693 
 
4. Considere a representação abaixo, de metade da órbita 
do planeta Mercúrio em torno do Sol. 
 
A distância 𝑟𝑀, entre o Sol e Mercúrio varia em função do 
ângulo 𝜃, sendo 0º ≤ 𝜃 ≤ 180º. Para o cálculo 
aproximado de 𝑟𝑀, em milhões de quilômetros, emprega-
se a seguinte fórmula: 
 
𝑟𝑀 =
555
10 − 2 × cos 𝜃
 
 
O comprimento, em milhões de quilômetros, do segmento 
𝐴𝑃̅̅ ̅̅ é igual 
 
a) 110 b) 115 c) 115,625 d) 120 e) 125,625 
 
 
5. Na figura estão representadas, em um plano 
cartesiano, duas circunferências: 𝐶1 (de raio 3 e centro 
𝑂1) e 𝐶2 (de raio 1 e centro 𝑂2), tangentes entre si, e uma 
reta t tangente às duas circunferências nos pontos P e Q. 
 
 
 
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Nessas condições, a equação da reta t é 
 
a) 𝑦 =– √3𝑥 + 3√3 
b) 𝑦 =– 
√3
3
𝑥 + 3√3 
c) 𝑦 =– 𝑥 + 4 
d) 𝑦 =– 
2
3
 𝑥 + 4 
e) 𝑦 = – 
4
5
 𝑥 + 4 
 
6. As faces do poliedro representado na figura ao lado são 
triângulos ou quadrados. Cada quadrado é rodeado por 4 
triângulos e cada triângulo é rodeado por 3 quadrados. Se 
houver 6 quadrados, quantos triângulos existem? 
 
 
 
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 
 
7. [CANGURU] Na figura está representada uma mesa de 
bilhar retangular cujos lados medem 3 𝑚 e 2 𝑚. Em certa 
jogada, uma bola sai do ponto 𝑀, num dos lados maiores 
da mesa. A bola é então refletida uma vez em cada um 
dos restantes lados da mesa e regressaao lado inicial (ver 
figura). 
 
A que distância do ponto 𝐴 irá a bola bater, se 𝐵𝑀 =
 1,2 𝑚 e 𝐵𝑁 = 0, 8 𝑚? 
 
a) 1,2𝑚 b) 1,5𝑚 c) 2𝑚 d) 2,8𝑚 e) 1,8𝑚 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
1.c 2.e 3.c 4.c 5.b 
6.d 7.e