Ressonância do Elétron

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Relatório Científico da Disciplina
Física Experimental Avançada
Experimento de Ressonância do Elétron
Gabriel Edgard Vale, Marcelo F. T. L. I. de Sousa , Vitor de Paula
Universidade Federal de São João del-Rei, Departamento de Ciências Naturais, Campus
Dom Bosco, Praça Dom Helvécio, 74 – Fábricas, São João del-Rei – MG, CEP 36301-160
Relatório do experimento realizado no dia 10 de novembro de 2023
RESUMO: Nesta experiência, utilizamos diversos dispositivos para detectar o sinal de
ressonância eletrônica de spin. Empregamos um osciloscópio para capturar o sinal, uma fonte
de corrente contínua e alternada, e uma bobina de Helmholtz para produzir o campo
magnético. Com essa configuração, conseguimos gerar e detectar a ressonância eletrônica de
spin (RES). Em suma, para detectar essa ressonância, o circuito do equipamento reage de
modo a alterar sua impedância quando a condição de ressonância é atingida, resultando em
uma diminuição da tensão, o que permite identificar o "flip" do spin que é enviado ao
osciloscópio. Ao calcular os valores das correntes para as frequências aplicadas tanto à
amostra quanto à bobina que a envolve, podemos determinar experimentalmente o fator de
Landé (ou fator g) utilizando as relações descritas na parte teórica, o que constitui um dos
objetivos deste estudo. Além disso, por meio das relações mencionadas, também é viável
calcular o fator de largura média 𝛿B0, ocasionado pela absorção do campo alternado. Mesmo
com os erros considerados durante os cálculos, foi possível atingir os objetivos propostos de
maneira precisa, embasados na teoria.
1. Introdução
A ressonância do elétron é um fator fascinante que tem suas raízes na mecânica
quântica. Sua história remonta aos primeiros desenvolvimentos dessa teoria revolucionária no
início do século XX. Na década de 1920, físicos como Werner Heisenberg e Erwin
Schrödinger mergulharam na busca por uma descrição mais precisa e abrangente do
comportamento dos elétrons em átomos.
O princípio da ressonância do elétron começou a surgir quando os cientistas
perceberam que, em alguns casos, não puderam enxergar a uma partícula subatômica uma
única posição ou velocidade definida. Em vez disso, eles precisariam recorrer a uma
abordagem mais probabilística para entender o comportamento dos elétrons.
A teoria da mecânica quântica, desenvolvida nesse período, modificou o conceito de
funções de onda, que descrevia a probabilidade de encontrar um elétron em determinadas
regiões ao redor do núcleo atômico. A ressonância do elétron tornou-se evidente quando os
cientistas observaram que diferentes configurações de órbitas e estados energéticos eram
possíveis para um elétron, cada uma com uma probabilidade associada.
Ao longo das décadas seguintes, avanços experimentais e teóricos apoiaram o
aprimoramento de nossa compreensão da ressonância do elétron, fornecendo insights
essenciais para a física quântica e aplicações em diversos campos, como química, medicina e
tecnologia de materiais. O estudo da ressonância do elétron é uma jornada contínua,
revelando constantemente os segredos do mundo subatômico.
A Ressonância de Spin Eletrônico (RSE) ou Ressonância Paramagnética de Elétrons
(RPE) é uma área da espectroscopia, na faixa das micro-ondas, que examina a absorção de
radiação eletromagnética por substâncias contendo átomos ou moléculas com um elétron
solitário, na presença de campos magnéticos estáticos vindos de fora. Sob essas condições, o
momento angular total do giro eletrônico dos átomos ou moléculas é S > 0, e o material se
comporta como paramagnético. A absorção de energia do campo eletromagnético ocorre de
maneira ressonante, provocando transições entre os estados de Zeeman dos elétrons
solitários. O fenômeno da RPE não se manifesta em materiais nos quais todos os elétrons
estão em pares, devido ao Princípio de Exclusão de Pauli.
2. Fundamentação Teórica
2.1 Interação dos momentos magnéticos elementares com campos magnéticos estáticos:
Efeito Zeeman
Para descrever a interação de um sistema de elétrons desemparelhados pertencentes a
diferentes átomos ou moléculas com um campo magnético estático externo , é necessário𝐻
0
considerar que cada elétron possui um momento magnético , que é diretamente proporcionalµ
ao orbital e ao ângulo de spin. momentos
(1)µ =−
µ
𝑏
ħ [𝐿 = 2𝑆]
onde é o magneton de Bohr e e são operadores de momento angular orbital e spin deµь 𝐿 𝑆
elétrons [1-4]. Considere a diferença no nível de energia eletrônica de cada átomo ou
molécula, devido apenas à interação de com um campo externo:µ
(2)𝐸
𝑧
 =− µ
0
• 𝐻
0
=− µ
𝐻
𝐻
0
 
Considerando que o campo externo não é o suficientemente intenso para quebrar o
acoplamento spin-órbita [1], os vetores , precessarão rapidamente ao redor da direção𝐿, 𝑆 𝑒 µ
definida pelo momento angular total . A componente de ao longo da direção de 𝐽 = 𝐿 + 𝑆 µ 𝐽
é:
(3)µ
𝑗
= µ µ •𝐽µ 𝐽 =−
µ
𝑏
ħ
(𝐿+2𝑆) . (𝐿+𝑆)
𝐽
Por sua vez, a projeção de na direção do campo magnético é obtida de:µ
(4)µ
𝐻
 = µ
𝐽
 
𝐽•𝐻
0
𝐽 𝐵
0
= µ
𝐽
𝐽
𝑧
𝐽
Combinando estas expressões é possível escrever para a energia magnética:
(5)𝐸𝑧 = 
µ
𝑏
𝐻
0
 
ħ
(3𝐽²+𝑆²−𝐿²)
2𝐽² 𝐽𝑧
Para uma dada configuração de números quânticos j, s e l, as grandezas J², S² e L² tomam
respectivamente os valores j(j+1)ħ², s(s+1)ħ² e l(l+1)ħ² e a energia Zeeman pode ser reescrita
da seguinte maneira:
(6)𝐸
𝑍
= µ
𝑏
𝐻
0
𝑔𝑚
𝐽
 
onde o fator g de Landé é definido como:
(7)𝑔 = 1 + 𝑗(𝑗+1)+𝑠(𝑠+1)−𝑙9𝑙+1)2𝑗(𝑗+1)
Para cada configuração dos números quânticos l, s e j, a divisão de Zeeman é diferente para
diferentes valores de μj devido à presença do fator Landé. Para um elétron no estado S, temos
l = 0 e j = s = 1/2, o que dá g = 2. A energia Zeeman é reescrita definindo a razão
magnetogírica do elétron γ = g /ħ comoµ𝑏
(8)𝐸
𝑍
= γ𝐻
0
ħ𝑚
𝐽
Portanto, os estados = 1/2 e = -1/2 estão associados a dois níveis de energia entre os𝑚
𝐽
𝑚
𝐽
quais a frequência de transição é . Para os tamanhos do campo normalmenteω
0
= γ𝐻
0
𝐻
0
produzidos em laboratórios (da ordem de alguns Tesla), acaba sendo da ordem𝑣
0
= ω
0
/2π
de GHz [3,4].
2.2 Paramagnetismo estático
Considerando N elétrons por unidade de volume do sistema, que não interagem entre
si, o número de elétrons inclui e populações em níveis de energia = ±1/2. Para uma𝑁+ 𝑁− 𝑚
𝐽
amostra em equilíbrio termodinâmico à temperatura T, a proporção da população é
(9)𝑁
−
𝑁+
= 𝑒
−ħω
0
𝑘𝑇
A quantidade observada nos experimentos RPE é a magnetização total obtida a partir da soma
dos vetores correspondentes a cada elétron desemparelhado dos íons ou moléculas:µ
𝑀 = 1𝑉
𝑖
∑ µ
𝑖
Em relação à temperatura ambiente, pode-se verificar em (9) que existe uma pequena
diferença entre as populações e . Portanto, a magnetização macroscópica por unidade𝑁+ 𝑁−
de volume na direção do campo é:𝐻
0
(10)𝑀
𝑍
= 1𝑉
𝑖
∑ µ
𝑍𝑖
= γħ2 [𝑁
− − 𝑁+]
Ao aplicar um campo eletromagnético oscilante na frequência , podem ser induzidasω
0
transições que alteram os valores de equilíbrio de e . De acordo com (10), este𝑁+ 𝑁−
processo pode ser detectado medindo a quantidade ou a variação da energia total do𝑀
𝑍
sistema .𝐸
𝑍
. (11)𝐸
𝑍
=− 𝑀
𝑍
𝐻
0
=− γħ2 𝐵0[𝑁
− − 𝑁+]
2.3 Equações de movimento para a magnetização: Equações de Bloch.
Informações sobre a evolução do vetor , na presença de campos magnéticos𝑀
estáticos e oscilantes, é importante para interpretar os resultados dos testes de EPR e,
finalmente, adquirir conhecimento sobre a física do material estudado. Um problema, para ser
exato consiste em obter os autoestados (bem como os termos de perturbação) do
Hamiltoniano de Zeeman para um sistema específico) e calcule o valor esperado de . No𝑀
entanto, existe uma descrição clássica simples que prevê com precisão o comportamento de
em muitas situações interessantes. É um sistema fenomenológico de equações proposto por𝑀
Felix Bloch em 19 6, logo após a descoberta do fenômeno da ressonância magnética[2,5].Três aspectos físicos são considerados para estabelecer estas equações:
(a) Em presença de um campo estático a magnetização experimenta um torque𝑀
perpendicular ao plano de , portanto:𝑀 𝑒 𝐻
(12)𝑑𝑀𝑑𝑡 = γ𝐻 × 𝑀
O movimento resultante é a precessão clássica de Larmor ao redor de com frequência𝐻
. É importante destacar que esta frequência coincide com o resultado quântico paraω
0
= γ𝐻
a frequência de transição entre os níveis Zeeman do sistema de elétrons.
(b) Em equilíbrio termodinâmico são estritamente paralelos, não existindo𝑀 𝑒 𝐻
0
 
componentes no plano perpendicular a campo . Portanto, partindo de um estado𝑀
𝑥
 𝑒 𝑀
𝑌
𝐻
0
inicial com o vetor não paralelo ao campo devem existir processos irreversíveis que levam𝑀
o sistema ao estado final . Esta evolução (ou relaxação) é proposta ser do tipo𝑀
𝑥
= 𝑀
𝑌
= 0
exponencial com constante caraterística :𝑇
2
(13)e(14)
𝑑𝑀
𝑋
𝑑𝑡 =−
1
𝑇
2
𝑀
𝑥
 
𝑑𝑀
𝑦
𝑑𝑡 =
1
𝑇
2
𝑀
𝑦
Esses processos não alteram o valor da energia de Zeeman do sistema de spin eletrônica
porque eles só mudam componentes perpendicular ao campo externo Portanto, é𝑀 𝑇
2
chamado de tempo de relaxação spin-spin e é característico a escala de tempo dos processos
internos de transferência de energia do sistema de spin.
(c) Finalmente, é proposto outro processo exponencial que em ausência de forças externas
leva à componente ao valor de equilíbrio termodinâmico previsto pela Lei de Curie:𝑀
𝑧
. Este processo está caracterizado por uma constante de tempo𝑀
0
= 𝑁γ2𝑆(𝑆 + 1)/3𝑘𝑇
exponencial chamada tempo de relaxação spin-rede:𝑇
1
(15)
𝑑𝑀
𝑧
𝑑𝑡 =
1
𝑇
1
(𝑀
0
− 𝑀
𝑧
)
Processos de relaxação spin-rede envolvem variação da energia total do sistema de
elétrons, uma vez que modificam o valor da projeção de em relação ao campo externo. A𝑀
transferência de energia é realizada para os graus de liberdade externos ao sistema de spins,
que são chamados genericamente de “rede”.
Considerando todos estes processos atuando simultaneamente as equações de Bloch
resultam:
𝑑𝑀
𝑋
𝑑𝑡 = γ[𝐻 × 𝑀] 𝑋 −
1
𝑇
2
𝑀
𝑥
 
𝑑𝑀
𝑦
𝑑𝑡 = γ[𝐻 × 𝑀] 𝑦 −
1
𝑇
2
𝑀
𝑦
 
(16)
𝑑𝑀
𝑧
𝑑𝑡 = γ[𝐻 × 𝑀] 𝑧 −
1
𝑇
1
(𝑀
0
− 𝑀
𝑧
) 
2.4 Solução das equações de Bloch em presença de um campo magnético oscilante:
susceptibilidade magnética
Para observar o fenômeno RPE é necessário excitar o sistema eletrônico com um um
campo magnético oscilante com frequência ω próxima à ressonância com a finalidade deω
0
induzir transições entre os níveis Zeeman. A absorção de energia do campo da amostra é
com máxima precisão no modo ressonante. A maneira mais fácil de produzir um campo
magnético oscilante é colocando a amostra dentro de um solenóide excitado harmonicamente.
O campo no interior do solenóide varia periodicamente com o tempo com direção ao longo
do eixo da bobina , suposto perpendicular ao campo magnético estático𝐻
1
= 𝐻
1
(𝑡) 𝑥
. Depois de aplicado o campo é atingido um estado estacionário no qual a𝐻
0
= 𝐻
0
(𝑡) 𝑧 𝐻
1
energia do sistema é constante e portanto .Colocando nas equações de Bloch o
𝑑𝑀
𝑧
𝑑𝑡 = 0
campo total e introduzindo a condição é possível resolver o sistema e𝐻 = 𝐻
0
+ 𝐻
1
𝑑𝑀
𝑧
𝑑𝑡 = 0
obter uma relação entre as componentes transversais . Analisando o resultado é𝑀
𝑥
, 𝑀
𝑦
 𝑒 𝐻
1
possível também identificar a susceptibilidade magnética do sistema de spins em função da
frequência. Esta grandeza física é a mais conveniente para caracterizar o fenômeno da RPE
do ponto de vista experimental do que as próprias componentes de . Representando o𝑀
campo magnético variável e as componentes da magnetização em forma complexa, é definida
a susceptibilidade complexa como:χ = χ' − 𝑖χ''
(17)𝑀
𝑥
𝐶 = χ𝐻
1
𝑒𝑥𝑝(𝑖 ω𝑡)
onde A susceptibilidade caracteriza a resposta do sistema (a grandeza ) à𝑀
𝑥
= 𝑅𝑒{𝑀
𝑥
𝐶}. 𝑀
𝑥
excitação aplicada (o campo ), em função da frequência da excitação. Resolvendo as𝐻
1
equações de Bloch é obtido
(18)𝑀
𝑥
=
𝑥
0
ω
0
𝑇
2
2 
𝑇
2
(ω−ω
0
) 2𝐻
1
𝑐𝑜𝑠(ω𝑡)+2𝐻
1
𝑠𝑖𝑛(ω𝑡)
1+𝑇
2
2(ω−ω
0
)²+γ²𝐻
1
2𝑇
1
𝑇
2
com as componentes de susceptibilidade dadas por:
χ' =
𝑥
0
ω
0
𝑇
2
2 
𝑇
2
(ω−ω
0
)
1+𝑇
2
2(ω−ω
0
)²+γ²𝐻
1
2𝑇
1
𝑇
2
(19)χ'' =
𝑥
0
ω
0
𝑇
2
2 
1
1+𝑇
2
2(ω−ω
0
)²+γ²𝐻
1
2𝑇
1
𝑇
2
2.5 Absorção ressonante: espectro de RPE
A susceptibilidade permite calcular a energia absorvida do campo pelo sistema. Em
nosso caso, considerando a média sobre um período de oscilação de , a potência absorvida𝐻
1
é:
(20)𝑃 = ω2π 
0
2π
∫ 𝑅𝑒{ 𝑑𝐸𝑑𝑡
|| ||}𝑑𝑡 = ωχ''𝐻1
2 
Em função de e possui um máximo em e uma largura total a médiaω χ'' ω = ω
0
altura . Portanto o parâmetro determina que a largura espectral da ressonância é finita2/𝑇
2
𝑇
2
e, portanto, a absorção de energia acontece para frequências da excitação levemente
diferentes de . Ainda, pode ser considerada como função de para uma frequência deω
0
ω
0
excitação fixa ω. Assim, variando lentamente a intensidade do campo estático existiráχ'' 𝐻
0
um máximo de absorção para .ω
0
= ω
2.6Medida do espectro de RPE
Consideremos a bobina de indutância onde é inserida a amostra paramagnética.𝐿
0
Devido à susceptibilidade do material, o valor da indutância muda para
(21)𝐿 = 𝐿
0
[1 + 4πχ(ω, ω
0
)]
Portanto, pelo fato de ser diferente de zero aparece uma contribuição adicional naχ''
componente resistiva da impedância do circuito [2,5]. Este aumento na dissipação no circuito
está vinculado à absorção de energia pelo sistema de elétrons não emparelhados existentes na
amostra. Excitando o circuito na frequência ω fixa, e variando lentamente é possívelω
0
detectar a ressonância através da medida da potência dissipada no circuito.
3. Objetivo
O objetivo deste experimento consistiu em detectar o sinal de RES do DFPH,
determinar a relação entre e a frequência de ressonância, determinar o fator do elétron𝐵
0
𝑔
não emparelhado da molécula de DFPH, estimar a largura de linha do sinal de RPE do DFPH
e bem como o tempo de relaxação spin-rede.
4. Procedimento Experimental
Inicialmente, colocamos a amostra centralizada dentro da bobina porta-amostra, e em
seguida, montamos o experimento seguindo a imagem do roteiro:
Figura 1 - Esquema do sistema Leybold para detecção do sinal de RES. Par de bobinas de
Helmholtz para gerar o campo , bobina solenoide para gerar o campo de rádio frequência𝐵
0
(r.f.) B(t), para induzir transições entre os estados Zeeman. Gerador de r.f. e medidor de
potência dissipada. Fonte de tensão para as bobinas de Helmholtz, com controle do nível de
DC e amplitude AC de modulação, para obter a varredura em .𝐵
0
Ajustamos em seguida o canal II para a operação no osciloscópio da seguinte forma:
Dual - on/Time base - /Amplitude I e II - AC. Depois, variamos a tensão e o2 𝑚𝑠𝑐𝑚 0, 5 
𝑉
𝑐𝑚 𝑈0
campo da bobina de Helmholtz até o sinal de ressonância estar simétrico.
Com isso, medimos a corrente 2 - através das bobinas de Helmholtz juntamente𝐼
0
com a frequência de ressonância. Aumentamos então gradativamente a frequência de
ressonância em 5MHz e medimos as correntes 2 - a cada valor de frequência.𝐼
0
Após 4 medidas da bobina grande, trocamos pela mediana, realizamos mais 10
medidas e, por fim, trocando pela pequena, realizamos mais 12 medidas de corrente 2 - e𝐼
0
frequência de ressonância.
5. Resultados e Discussão
Por meio do experimento, realizamos medidas da corrente em função da frequência
aplicada, variando também o tamanho da bobina entre a small (pequena), a medium
(mediana) e a big (grande):
Tabela 1: Corrente em função da frequência da bobina grande.
I(A) v(MHz)
0.131 15.3
0.171 20
0.211 25
0.260 30
Tabela 2: Corrente em função da frequência da bobina mediana.
I(A) v(MHz)
0.260 30.0
0.301 35.0
0.339 40.0
0.380 45.0
0.430 50.0
0.471 55.0
0.510 60.0
0.550 65.0
0.600 70.0
0.640 74.3
Tabela3: Corrente em função da frequência da bobina pequena.
I(A) v(MHz)
0.649 75.0
0.680 80.0
0.720 85.0
0.770 90.0
0.810 95.0
0.850 100.0
0.891 105.0
0.940 110.0
0.980 115.0
1.019 120.0
1.059 125.0
1.109 129.6
A medida aferida pode ter sofrido leves erros referentes a sensibilidade do aparelho ,
já que qualquer toque mesmo que leve variava a configuração do mesmo o que gera uma
imprecisão no valor desejado. E o osciloscópio possui ruído em sua imagem para as bobinas
o que dificultou consideravelmente para obter a simetria nas curvas geradas.
Utilizando a equação (22), calculamos o campo magnético para cada valor de𝐵 =
8µ
0
𝑁𝑖
53𝑅
frequência:
Tabela 04: Campo magnético em função da frequência.
B0(mT) v(MHz)
0.556 15.3
0.74 20
0.93 25
1.08 30
1.27 35
1.46 40
1.63 45
1.82 50
1.99 55
2.12 60
2.33 65
2.54 70
2.72 74.3
2.86 80
3.07 85
3.28 90
3.38 95
3.6 100
3.81 105
4.02 110
4.12 115
4.23 120
4.44 125
4.62 129.6
Multiplicando os valores da frequência pela constante de Planck, obtivemos a
variação da energia entre spins, por meio da equação , dessa forma, sendoℎν = 𝑔
𝑠
𝑢
𝐵
𝐵
0
possível realizar a linearização dos dados e podendo construir o gráfico da variação da
energia em função do campo magnético:
Figura 02: gráfico da variação da energia em função do campo magnético.
Através da linearização foi obtido um valor de e um coeficiente(5 ± 3) × 10−28𝐸
angular de , o que é esperado dentro da teoria.(2. 000 ± 0. 009) × 10−23 𝐽𝑇
O coeficiente angular é o magneton de Bohr pelo fator g e seu valor é de
,assim encontramos o valor do fator g de 2,15 +/- 0,01 , o que é muito9. 274 × 10−24 𝐽𝑇
próximo do valor da literatura que é de 2,0023 do nosso equipamento, sendo viável inferir
que o modelo usado funciona.
Com o valor do fator Landé encontrado poderia ser calculado o valor da meia largura,
de toda maneira não foi determinado o valor da meia vida do composto tanto quanto, um
método para medi-la. Sendo assim, a meia largura poderia ser calculada colocando o T em
evidência,como a seguir: .𝛿𝐵
0
= 1, 18 × 10−11 𝑇
.
6. Conclusão
No experimento foi medido o valor do fator de Landé através da linearização da
variação da energia em função do campo magnético, sendo plotado e linearizado o gráfico da
figura 02, com o objetivo de encontrar os coeficientes, e portanto, encontrando o fator de
Landé para encontrar a meia largura.
Encontrando o fator g do experimento de (2,15) e comparando ao valor teórico
(2,0023) gerando um erro de 3,13% o que levando em consideração as condições do
experimento é um dentro do esperado.
Logo pôde-se concluir que o modelo teórico vale ao modelo experimental chegando a
um fator g muito próximo ao real, de toda maneira a segunda parte do experimento não pôde
ser realizada.
7. Referências
[1] Física Quântica: Átomos, Moléculas, Sólidos, Núcleos e Partículas, R. Eisberg & R.
Resnick, Editora Campus, 1979
[2] Paramagnetic Resonance: An Introductory Monography, G. E. Pake, W. Benjamin Inc,
1962
[3] An Introduction to Electron Paramagnetic Resonance, M. Bersohn & J. Baird, W.
Benjamin Inc, 1966
[4] Experiments in Modern Physics, Adrian Melissinos, Academic Press, 1966.
[5] Principles of Nuclear Magnetic Resonance, C. P. Slichter, Springer Verlag, 1993