Relatório 4

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Universidade Federal do ABC
Laboratório de Física 3 - A razão carga por massa do
elétron
Bruno Barbosa de Oliveira, Carlos Alberto da Silva Junior,
Luciano Gonsales Caetano, Rodrigo Moura Costa,
Wellington Diego de Ascenção
Santo André, 11 de Maio de 2018
Resumo
O experimento teve como objetivo determinar a razão carga/massa do elétron através da medida do
raio da trajetória circular de um feixe de elétrons produzido por um filamento aquecido e acelerado
por uma diferença de potencial entre um cátodo e um ânodo. A trajetória pôde ser visualizada
através da fluorescência resultante da colisão dos elétrons com átomos de hidrogênio. Os resultados
obtidos apresentaram uma discrepância significativa em relação aos da literatura.
1 Introdução
1.1 Motivação
O desenvolvimento da teoria eletromagnética por James Maxwell no século XIX, possibilitou a
explicação de diversos fenômenos físicos que intrigava os cientistas da sua época. Um dos diver-
sos campos de estudos abertos foi a análise das propriedades dinâmicas de uma carga elétrica em
movimento no vácuo [1]. Entre as principais contribuições neste contexto, temos a realizada pelo
físico inglês sir Joseph John Thomson (1856-1940), que através do seu trabalho conseguiu mostrar a
existência da primeira partícula subatômica: o elétron. Thomson realizou o experimento utilizando
raios catódicos e provou que esses raios estavam constituídos de uma partícula que é tanto a por-
tadora da eletricidade quanto a constituinte básica de todos os átomos. Devido a esta importante
contribuição ele ganhou o Prêmio Nobel de Física em 1906 [2]. A prova de Thomson veio através
da constância da razão carga massa (q/m) independentemente da substância que foi utilizada, ou
seja, esta partícula estaria presente em todas as substâncias [3]. O experimento idealizado por
Thomson consiste em um feixe de elétrons acelerados a partir da aplicação de um determinado
potencial, colimados em uma direção específica. Quando o feixe passa por uma região de campo
elétrico, ele sofre uma deflexão para cima. Após atravessar esta região, o feixe penetra uma região
que possui um campo magnético produzido por bobinas, e que possui direção perpendicular ao
vetor velocidade e ao campo elétrico. Essa configuração resulta em um desvio do elétron no sen-
tido oposto ao provocado pelo campo elétrico. Ajustando a intensidade dos dois campos, Thomson
pôde determinar a razão carga massa através das equações do electromagnetismo. A explicação
dada por Thomson na época foi de que o átomo seria uma massa de carga positiva com elétrons
imersos, no conhecido modelo do pudim de passas. Experimentos subsequentes mostraram que o
modelo sugerido por Thomson era incompatível com os novos dados experimentais obtidos e o seu
modelo foi descartado. Com o objetivo de verificar os resultados obtidos por Thomson, refare-
mos o experimento por ele realizado, com algumas adaptações de acordo com o kit experimental
fornecido.
1.2 Análise matemática do experimento
No experimento realizado, uma feixe de partículas carregadas é acelerado através de um potencial
e sofre uma deflexão devido a presença de um forte campo magnético gerado por um par de
1
bobinas de Helmholtz, de modo a formar uma trajetória circular, ou helicoidal, dentro de um
tubo de formato esférico. Desconsiderando a atuação da força gravitacional sobre as partículas
examinadas, sabemos que a única força que age em uma partícula do feixe é devido a presença do
campo magnético que pode ser descrita através da Equação 1:
Fm = q(v × B) (1)
Onde: é a força magnética, Fm, q é a carga do elétron, v é o vetor velocidade da partícula e B é
o vetor campo magnético sobre a mesma.
O aparato experimental utilizado nos permite rotacionar o tubo de forma que o vetor velocidade,
v, seja perpendicular ao vetor campo magnético B, fazendo com que a trajetória seja circular
e também nos permite facilmente determinar a magnitude da força atuante na partícula, como
mostra a Equação 2:
||Fm|| = qvB sin 90◦ = qvB (2)
Como a partícula descreve uma trajetória circular, e a força magnética é a única atuando sobre
a partícula, podemos relacionar a Equação 2 com a equação que descreve a magnitude de uma
força centrípeta (F = mv2/r [4]) e desta forma encontrar uma relação que descreve a razão carga
por massa de uma partícula carregada em termos da velocidade, do campo magnético e do raio da
trajetória:
Fm = qvB =
mv2
r
⇒ q
m
=
v
Br
(3)
Onde: m é a massa da partícula, e r a magnitide do raio da trajetória.
Assim, para determinarmos o valor da razão carga massa basta determinarmos a magnitude do
campo magnético, B, e a magnitude da velocidade, v. No Apêndice, secção 4, é possível verificar
a dedução da expressão da magnitude do campo, vista na Equação 4 a seguir:
B =
Nµ0I
(5/4)3/2a
(4)
Onde: N é o número de voltas da bobina, µ0 a permeabilidade magnética do vácuo, I a corrente
elétrica passando por cada fio interno da bobina e a o caio característico da bobina de Helmholtz
utilizada.
Sabemos que quando uma partícula carregada passa por um campo elétrico, entre duas placas com
uma diferença de potência, V , a mesma é acelerada o que significa que a partícula passa a possuir
energia cinética, Ecin = (1/2)mv2, que, pelo princípio da conservação de energia, deve ser igual
a energia potencial, Epot = qV . Podemos utilizar essa relação para determinar a velocidade da
partícula, como mostra a Equação 5:
qV =
mv2
2
⇒ v =
√
2eV
m
(5)
Sendo e a carga elétrica.
Então, finalmente, obtemos a Equação 6: uma expressão que relaciona a razão carga por massa de
uma partícula carregada em termos do potencial aplicado, do raio da circunferência do movimento
descrito pela partícula e das características do campo magnético gerado por um par de bobinas de
Helmholtz.
q
m
=
2V (5/4)3a2
(Nµ0Ir)2
(6)
2
2 Descrição Experimental
2.1 Introdução ao kit experimental
O experimento consistiu no uso do equipamento da Pasco, modelo SE-9638 [5]. Este equipamento
constitui-se basicamente de um tubo selado, onde se é formado os feixes de partículas, um par de
bobinas de Helmholtz, utilizadas para controlar o campo magnético, uma caixa de controle e uma
régua espelhada, localizada atrás do tubo, utilizada para obter o raio do percurso dos elétrons.
Uma representação gráfica simplificada do kit pode ser visualizada na Figura 1.
Figura 1: Representação gráfica simplificada do kit experimental da Pasco, modelo SE-9638. Ob-
tida de [5]
O campo magnético que é formado pela bobina é dado pela corrente elétrica que é percorrida
em seu interior, sendo necessário um gerador de corrente contínua, e um multimetro montado
em série ao sistema afim de de aferir com devida precisão o valor da corrente interna sobre as
bobinas. Para se acelerar os elétrons também se fez necessário um gerador de potencial elétrico,
e para maior precisão, um multimetro também foi ligado sobre o sistema em paralelo ao mesmo,
obtendo-se valores mais precisos que os disponíveis do visor do gerador. Esse esquema pode ser
visto na Figura 2.
3
Figura 2: Esquema do aparato experimental completo
2.2 Procedimento Experimental
Após realizada a configuração para inicialização do equipamento experimental, explicada na secção
2.1, tem-se inicio o procedimento experimental: usa-se as fontes para aplicar a tensão e a corrente
desejada, no tubo e nas bobinas de Helmholtz, fazendo com que surja um feixe luminoso visível
dentro do tubo. O aparato utilizado possuía um ajuste de foco que permite espalhar ou colimar os
feixes visualizados, o qual deve ser usado para otimizar a visibilidade. Um detalhe muito importante
é certificar-se que o tubo está alinhado perpendicularmente às bobinas de Helmholtz, pois isso é
o que torna a aproximação usada na Equação 2 válida. Para alinhar o tubo na posição correta,
basta rotaciona-lo, enquanto o equipamento estiver ligado, de forma a fazer com que o feixe forme
um caminho visivelmente circular (caso o tubo não esteja alinhado perpendicularmente será visível
um feixe helicoidal).
Com o tubo alinhado,o que resta é regular o potencial e a tensão para os quais pretende-se coletar
o raio do feixe, que é adquirido utilizando a régua espelhada que fica localizada atrás do tubo: o
valor do raio é o valor correspondente na régua onde ambos a imagem e o reflexo do feixe coincidem.
Por ser visível que a régua não está devidamente alinhada com o centro da circunferência, todos
os valores adquiridos para o raio da circunferência do feixe são, na verdade, a média dos valores
de "raio"obtido para cada um dos dois lados possíveis, esquerdo e direito, da régua.
Apesar do máximo cuidado ao adquirir os valores do raio, é previsível grande discrepância entre os
valores calculados para a razão carga por massa e o valor teórico, principalmente pela dificuldade
em coletar a medida do raio da circunferência do feixe, tanto pela metodologia utilizada quanto por
outros fatores experimentais, tais como luz de fundo no ambiente onde era realizado o experimento
(o feixe de partículas emite uma luz extremamente fraca, facilmente ofuscável por qualquer outra
fonte de luz externa, e mesmo utilizando um manto para cobrir o aparato experimental e impedir
a interferência de luz externa, ainda era difícil visualizar o feixe).
3 Resultados de medições, cálculos e análise de dados
3.1 Resultados de medições
Foram obtidas, ao todo, 17 medições experimentais, separadas por dois grupos. O primeiro grupo
constitui-se de valores de raios obtidos para uma tensão fixa e uma corrente variando. Estes valores
estão disponíveis na Tabela 1 juntamente com suas respectivas incertezas. O segundo grupo de
valores constitui-se de raios obtidos para uma corrente fixa e uma tensão variando. Estes valores
estão disponíveis na Tabela 2 juntamente com suas respectivas incertezas.
Para a incerteza dos valores obtidos de aparelhos de medição eletrônicos, foi tomada a incerteza
nominal padrão onde o módulo da incerteza o é menor valor mensurável, da grandeza em questão,
na configuração utilizada durante a medição, pelo equipamento: |σV | = 0.1 [V], para os valores de
4
tensão; e, |σI | = 0.001 [A], para os valores de corrente. Já para os valores de raio, foi tomado como
incerteza a espessura do feixe obtida experimentalmente, |σr| = 0.8 [cm].
Tabela 1: Valores obtidos variando a corrente
Raio [cm] Voltagem [V] Corrente [A] Razão e/m ×10−11 [C kg−1] Erro relativo
4,5 ± 0,8 140,2 ± 0,1 0,893 ± 0,001 3 ± 1 66,2 %
4,5 ± 0,8 140,1 ± 0,1 0,905 ± 0,001 3 ± 1 58,2 %
4,4 ± 0,8 140,1 ± 0,1 0,913 ± 0,001 3 ± 1 62,6 %
4,0 ± 0,8 140,3 ± 0,1 0,994 ± 0,001 3 ± 1 70,4 %
3,3 ± 0,8 140,3 ± 0,1 1,240 ± 0,001 3 ± 1 61,8 %
3,6 ± 0,8 140,1 ± 0,1 1,277 ± 0,001 2 ± 1 24,1 %
3,4 ± 0,8 140,2 ± 0,1 1,282 ± 0,001 3 ± 1 42,3 %
3,5 ± 0,8 140,2 ± 0,1 1,295 ± 0,001 2 ± 1 31,5 %
3,3 ± 0,8 140,3 ± 0,1 1,518 ± 0,001 1,8 ± 0,9 4,7 %
Tabela 2: Valores obtidos variando a tensão
Raio [cm] Voltagem [V] Corrente [A] Razão e/m ×10−11 [C kg−1] Erro relativo
5,5 ± 0,8 501,1 ± 0,1 1,701 ± 0,001 1,9 ± 0,6 9,2 %
4,8 ± 0,8 448,9 ± 0,1 1,720 ± 0,001 2,2 ± 0,7 25,9 %
4,9 ± 0,8 400,0 ± 0,1 1,707 ± 0,001 1,9 ± 0,6 7,1 %
4,4 ± 0,8 351,1 ± 0,1 1,695 ± 0,001 2,1 ± 0,8 19,6 %
3,7 ± 0,8 303,3 ± 0,1 1,693 ± 0,001 3 ± 1 46,7 %
3,6 ± 0,8 252,2 ± 0,1 1,693 ± 0,001 2 ± 1 30,7 %
3,0 ± 0,8 202,8 ± 0,1 1,692 ± 0,001 3 ± 1 52,4 %
2,5 ± 0,8 151,8 ± 0,1 1,692 ± 0,001 3 ± 2 62,1 %
3.2 Análise
Utilizando os valores de raio, r, corrente, I, e tensão, V , obtidos experimentalmente, foi calculado
o valor da razão carga por massa, utilizando a Equação 6, para cada uma das triplas das tabelas:
Tabela 1; e, Tabela 2. Os resultados obtidos também estão disponíveis nas mesmas tabelas citadas,
juntamente com suas respectivas incertezas calculadas através da propagação de incertezas, com o
procedimento disponível no Apêndice, na Secção Propagação de incertezas. Juntamente com estes
valores, está disponível o erro relativo dos valores obtidos, comparados ao valor teórico da razão
carga por massa do elétron, e/mteo = 1.758× 10−11 [6].
4 Discussão final e conclusões
Durante o experimento foi enfrentado grande dificuldades para a captação dos valores do raio da
trajetória do elétron, o que resultou em desvios muito grandes nos valores obtidos experimental-
mente. Tanto esses valores entre si, quanto sobre o valor teórico presente na literatura. Não foi
possível se fazer a verificação do valor teórico da razão do valor da carga e massa do elétron.
5
Referências
[1] R.A MARTINS. A dinâmica relativística antes de einstein. http://www.scielo.br/pdf/%0D/
rbef/v27n1/a03v27n1.pdf.
[2] W.M.S.; DIAS P.M.C SILVA, L.C.M.; SANTOS. A carga específica do elétron. um enfoque his-
tórico e experimental. http://www2.unifap.br/rsmatos/files/2013/10/carga_esp_eletr.
pdf.
[3] M.C.M MARTINS. Uma perspectiva histórica da física nuclear. http://dfis.uefs.br/
caderno/vol1n2/MCMMartins.pdf.
[4] Jearl Walker Robert Resnick, David Halliday. Fundamentos de Física 1. LTC, 5 edition, 2004.
[5] PASCO. e/m apparatus. https://www.pasco.com/file_downloads/Downloads_Manuals/
e-m-Tube-Manual-SE-9646.pdf.
[6] CODATA. Electron charge to mass quotient. https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/
Value?esme.
[7] J. H. VUOLO. Fundamentos da teoria dos erros. Blucher, 2◦ edition, 1996.
6
http://www.scielo.br/pdf/%0D/rbef/v27n1/a03v27n1.pdf
http://www.scielo.br/pdf/%0D/rbef/v27n1/a03v27n1.pdf
http://www2.unifap.br/rsmatos/files/2013/10/carga_esp_eletr.pdf
http://www2.unifap.br/rsmatos/files/2013/10/carga_esp_eletr.pdf
http://dfis.uefs.br/caderno/vol1n2/MCMMartins.pdf
http://dfis.uefs.br/caderno/vol1n2/MCMMartins.pdf
https://www.pasco.com/file_downloads/Downloads_Manuals/e-m-Tube-Manual-SE-9646.pdf
https://www.pasco.com/file_downloads/Downloads_Manuals/e-m-Tube-Manual-SE-9646.pdf
https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?esme
https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?esme
Apêndice
Determinando o campo das bobinas de Helmholtz
Primeiro tomando o campo magnético ~B em um ponto no seu eixo de simetria, utilizando-se da
lei de Biot e Savart.
d ~B(~r) =
µ0
4π
id~l × (~r − ~r′)
|~r − ~r′|3
Figura 3: Geometria dos vetores posição da espira
Sendo:
~r : O vetor posição do ponto onde é calculado o campo magnético.
~r′ : O vetor posição no ponto que tem corrente elétrica.
d~l : O diferencial de comprimento do fio.
i : A corrente elétrica no fio.
Centralizando o centro de coordenadas no eixo de simetria da espira temos que.
~r = kk̂
~r′ = r cos θî+ r sin θĵ
d~l = (−r sin θî+ r cos θĵ)dθ
O produto vetorial presente na equação do termo diferencial do campo magnético é dado por;
id~l × (~r − ~r′) = (−rk cos θî+ rk sin θĵ − r2k̂)idθ
Dessa maneira, o campo magnético no centro da espira a uma altura k do eixo de simetria torna-se.
~B =
∫ 2π
0
µ0i
4π
(−rk cos θî+ rk sin θĵ − r2k̂)
(r2 +K2)
3
2
dθ =
µ0ir
2
2(r2 + k2)
3
2
k̂
Se a distância k tomada do eixo de simetria for de mesmo valor que o raio da espira, o valor do
campo magnético torna-se
~B =
µ0ir
2
2(r2 + k2)
3
2
k̂
7
Agora podemos tomas as condições reais da bobina de Helmholtz e descobrirmos a expressão geral
para o campo magnético em seu interior. Na bobina de Helmholtz a temos um número N de voltas
em cada uma das duas bobinas, que aumenta em N vezes pra cada uma delas o valor do campo
magnético em cada ponto. Outro ponto também importante é que a distância entre as bobinas é
de k = r2 . Dessa maneira, pra cada bobina.
~B =
µ0Nir
2
2(r2 + ( r2 )
2)
3
2
k̂ =
4µ0Ni
5
√
5r
k̂
E como é válido o princípio da superposição, a contribuição da outra bobina é de mesmo valor, de
forma que podemos concluir que o valor do campo magnético para a bobina de Helmholtz.
~B =
8µ0Ni
5
√
5r
k̂
Propagação de incertezas
Para uma função de forma f = f(x, y, z, ...), com variáveis independentes, a propagação de incer-
tezas é dada pela seguinte expressão geral [7]
σ =
√(
∂f
∂x
)2
σ2x +
(
∂f
∂y
)2
σ2y +
(
∂f
∂z
)2
σ2z + ... (7)
Incerteza da razão carga por massa
σq/m =
√(
∂(q/m)
∂V
)2
σ2V +
(
∂(q/m)
∂I
)2
σ2I +
(
∂(q/m)
∂r
)2
σ2r =
=
2(5/4)3a2
(Nµ0Ir)2
√
σ2V + 4V2
[(σI
I
)2
+
(σr
r
)2]
=
(q/m)
V
√
σ2V + 4V
2
[(σI
I
)2
+
(σr
r
)2]
8
	Introdução
	Motivação
	Análise matemática do experimento
	Descrição Experimental
	Introdução ao kit experimental
	Procedimento Experimental
	Resultados de medições, cálculos e análise de dados
	Resultados de medições
	Análise
	Discussão final e conclusões