OTIMIZAÇÃO DE ATIVOS FINANCEIROS

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Departamento de Engenharia Industrial 
OTIMIZAÇÃO DE ATIVOS FINANCEIROS 
 
 
Aluno: Bruno Souza Leão 
Orientador: Davi Valladão 
 
 
 
Introdução 
Harry Markowitz desenvolveu, em 1952, a Teoria do Portfólio que até hoje serve de 
base para os principais modelos de seleção de carteira. Atualmente, é prática do mercado 
relacionar os desvios do retorno com o risco, consequência do modelo de média e variância de 
Markowitz. Seu trabalho serviu como base para Willian Sharpe (1964) em conjunto com 
outros pesquisadores como John Lintner e Jack Treynor desenvolverem modelos de 
precificação de ativos, como o CAPM (Capital Asset Pricing Model). Na teoria clássica é 
possível observar que os retornos são variáveis aleatórias e destaca-se a utilização de dois 
critérios: a média e o desvio padrão. No entanto, há limitações práticas em utilizar a 
volatilidade para mensurar o risco. Por isso, na tentativa de se obter métodos mais sofisticados 
para avaliar o risco e otimizar carteiras houve o aparecimento de uma série de pesquisas e 
estudos que contribuíram para formar a Teoria Moderna do Portfólio. 
Dentre os problemas de se utilizar o desvio padrão como métrica de risco como na 
teoria clássica, estão: a variância não só não consegue medir riscos de cauda, os valores 
extremos como também não é uma medida de risco propriamente dito, trata-se de uma medida 
de desvio da média; assume-se, implicitamente, que a distribuição de probabilidade dos 
retornos é simétrica. Por conseguinte, foi desenvolvida a medida de risco de cauda chamada 
de V@R (value at risk), em que se conseguiu solucionar parte dos desafios anteriores, porém 
ainda se tratava de uma forma inadequada para riscos extremos de cauda e não apresentava 
diversificação. Assim, com novos estudos e pesquisas, constatou-se que a média da cauda se 
tornaria a medida mais eficiente, ficando conhecida como CV@R (conditional value-at-risk). 
A grande questão é que a média-variância tem solução analítica, enquanto um modelo 
baseado no CV@R deve ser resolvido numericamente, o que não se um torna problema 
devido à possibilidade de representá-lo por programação linear e resolvê-lo com pacotes 
comerciais disponíveis no mercado. 
Objetivos 
Estudar e implementar diferentes modelos de seleção de carteira. Desenvolver ensaios 
para descobrir novas evidências e fornecer uma visão diferenciada sobre questões específicas 
de alocação de ativos dentro do mercado financeiro brasileiro. 
 
Detalhamento do projeto 
 
Metodologia 
 Foi realizado um estudo com foco no desenvolvimento de técnicas de otimização sob 
incerteza (estocástica e robusta) para o processo de seleção de carteira de ativos financeiros. A 
seleção de carteira é o problema de alocação de capital em um número de ativos disponíveis 
com a finalidade de maximizar o retorno sobre o investimento, minimizando seu risco. O 
risco no modelo clássico de Harry Markowitz (1952) é mensurado apenas através de uma 
medida de dispersão dos retornos chamada de variância. Não obstante, na literatura atual, 
desenvolveram-se formas mais eficientes de se calcular esse risco como, por exemplo, as 
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medidas de risco de cauda (conditional value-at-risk) que se demonstram mais plausíveis e 
confiáveis. Partindo desse pressuposto, a pesquisa foi direcionada para a implementação de 
modelos já existentes com o intuito de aperfeiçoá-los e de gerar resultados superiores aos 
índices de referência na indústria de investimento no mercado brasileiro. 
 Um funcional ρ: 𝒳→ℝ é denominada medida de risco monetária se satisfaz as 
seguintes propriedades para todo 𝑋, 𝑌 ∈ 𝒳: 
Monotonicidade: 
Se 𝑋≥𝑌, então 𝜌(𝑋) ≤ 𝜌(𝑌) 
Invariância por translação: 
Se 𝑚 ∈ ℝ, então 𝜌(𝑋+𝑚) =𝜌(𝑋)− m. 
Normalização: 
 𝜌(0) = 0. 
Além disso, uma medida de risco 𝜌(. ) é coerente se, somente se possui as seguintes 
propriedades: 
Considerando duas loterias X e Y: 
Subaditividade: 
𝜌(𝑋 + 𝑌) ≤ 𝜌(𝑋) + 𝜌(𝑌) 
Homogeneidade positiva 
𝑆𝑒 𝛼 > 0, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝜌(𝛼𝑋) = 𝛼𝜌(𝑋) 
Com o objetivo de definir uma metodologia para a definição de uma medida de risco 
em uma carteira de investimentos, em 1980, o J. P Morgan desenvolveu o conceito do 𝑉𝑎𝑅 
(Value at Risk): 
V@Rα(X) = infz{z ∈ R| P(X + z < 0) ≤ 1-α}, 
ou V@Rα(X) = infz{z ∈ R| P(-X ≤ z) ≥ α} 
 
Para distribuições contínuas: 
 
V@Rα(X)= −𝐹𝑥−1(1 − 𝛼) 
 
Intuitivamente, pode ser interpretado como o menor aporte z para que a probabilidade 
de prejuízo do projeto X mais o aporte z seja menor ou igual a 1 − 𝛼, onde 𝛼 ∈ (0, 1) é 
conhecido como nível de confiança. Os valores típicos para 𝛼 são 0.90, 0.95 e 0.99. Nas 
figuras abaixo, estão representados graficamente o V@R para um 𝛼 qualquer em uma função 
Fx(x) acumulada e para uma distribuição de probabilidade hipotética (contínua) com nível de 
confiança de 5% , simultaneamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1 
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É comum, porém, em casos práticos, que o fluxo financeiro associado a alguma opção 
de investimento seja discreto, isto é, existe um número discreto de estados da natureza ou 
realizações do fluxo financeiro. Como consequência, a Função Distribuição Acumulada é 
discreta e, portanto, certo cuidado deve ser tomado para calcularmos o Value-at-Risk nesta 
situação. É possível que, para determinados valores do (1 − 𝛼) , o 𝑉𝑎𝑅𝛼 gere confusão. Por 
isso, há um exemplo a seguir. 
Exemplo 1: Considere um investimento financeiro 𝑋 em que existe 80% de probabilidade de 
um ganho de 100 milR$, 10% de probabilidade de uma perda de 70 milR$ e 10% de 
probabilidade de perdas de 100 milR$. A árvore de decisão abaixo ilustra o contexto. 
 
 
 
 
 
 
 
A seguir, apresentaremos um procedimento para obter o Value-at-Risk associado a um fluxo 
financeiro discreto. Pela definição, basicamente, devemos “concentrar” os estados da natureza 
até obtermos um acúmulo de probabilidade estritamente maior que o Nível de Significância 
desejado. Assim, como exemplo, para (1 − 𝛼) = 15%, temos que: 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3 
Tabela 1 
Figura 2 
Figura 3 
 
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Por conseguinte, o 𝑉𝑎𝑅85%(𝑋) = −𝑋(𝜔2) = 70 milR$. Note que o acúmulo de probabilidade 
deve ser feito adicionando o estado que gera o menor próximo valor para o fluxo financeiro. 
Desta forma, se invertermos a ordenação fazendo 𝑋(𝜔1) = −70 milR$ e 𝑋(𝜔2) = 100 milR$, 
então, temos que a terceira linha da tabela acima terá o estado 𝜔1 e não 𝜔2 como apresentado. 
Novamente, vamos calcular o 𝑉𝑎𝑅80%. Temos, então, 
 
 
 
 
 
 
 
 
Analogamente, 𝑉𝑎𝑅80%(𝑋) = −𝑋(𝜔1) = −100 milR$. De maneira geral, a tabela abaixo faz 
uma relação entre o nível de significância (1 − 𝛼) e o 𝑉𝑎𝑅𝛼(𝑋). 
 
 
 
 
 
 
Seja (Ω,ℱ,ℙ) um espaço de probabilidade e 𝒳 o conjunto de opções de 
investimentos representados por Variáveis Aleatórias. Para qualquer 𝛼 ∈ (0, 1), 𝜌 = 𝑉𝑎𝑅𝛼 é 
uma Métrica de Risco. 
Prova: Para demonstrarmos esta proposição, vamos verificar se a definição de Value-atRisk 
satisfaz as condições de Medidas de Risco. 
1. Monotonicidade: Se 𝑋 ≤ 𝑌, então 𝜌(𝑋) ≥ 𝜌(𝑌). 
Note que se 𝑋 ≤ 𝑌 então 𝐹𝑋 ≥ 𝐹𝑌 
Consequentemente, para um Nível de Significância fixo (1 − 𝛼), 
𝑉𝑎𝑅𝛼(𝑋) ≥ 𝑉𝑎𝑅𝛼(𝑌). Assim, 𝜌(𝑋) ≥ 𝜌(𝑌). A figura a seguir ilustra este resultado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4 
Tabela 2 
Tabela 3 
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2.Invariância a Translação: Para 𝑚 ∈ ℝ, então 𝜌(𝑋 + 𝑚) = 𝜌(𝑋) − 𝑚. 
Pela definição, temos que 𝑉𝑎𝑅𝛼(𝑋) − 𝑉𝑎𝑅𝛼(𝑋 + 𝑚) = 𝑚. Portanto, 𝑉𝑎𝑅𝛼(𝑋 + 𝑚) = 
𝑉𝑎𝑅𝛼(𝑋) − 𝑚. A figura a seguir ilustra este resultado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Normalização: Para 𝟎 ∈ 𝒳, 𝜌(𝟎) = 0. 
Aplicando a definição, temos que : 
𝑉@𝑅𝛼(𝟎) = min{𝑧 ∈ ℝ | ℙ({𝜔∈ Ω | 𝟎(𝜔) + 𝑧 < 0}) ≤ 1 − 𝛼} 
= min{𝑧 ∈ ℝ | ℙ({𝜔 ∈ Ω | 0 + 𝑧 < 0}) ≤ 1 − 𝛼} 
= 0 
 
O V@R é uma medida de risco bastante difundida no mercado financeiro, não 
obstante é necessário ter atenção com as suas limitações: 
Para caudas largas, o V@R demonstra-se inadequado, ou seja, em resumo, o V@R quantifica 
o menor valor tal que a probabilidade de prejuízo seja inferior ao nível de significância, mas 
nada nos informa sobre o quão ruim é o investimento nos piores casos, como pode ser 
verificado na figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5 
Figura 6 
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Outro problema associado à métrica de Value-at-Risk é a possível violação de um dos 
conceitos básicos da análise de investimento, a diversificação. Em diversos casos, o Value-at-
Risk de uma carteira de ativos é superior à soma do Value-at-Risk dos ativos individuais, isto 
é, o risco da carteira é maior que o acúmulo do risco individual. Esta violação vai de encontro 
ao conhecido Efeito Portfólio largamente estudado na literatura. 
Exemplo 2: Suponha dois possíveis investimentos 𝑋1 e 𝑋2 tais que suas realizações sejam 
independentes. O fluxo financeiro destes investimentos é: 
 
 
 
 
 
 
 
Obtendo o Value-at-Risk para um Nível de Significância (1 − 𝛼) = 50%, em ambas as 
opções de investimento, temos que 𝑉𝑎𝑅50%(𝑋1) = −1 e 𝑉𝑎𝑅50%(𝑋2) = −5. Supõe-se agora 
uma carteira 𝑋 com uma alocação igualitária. Assim, o fluxo financeiro da carteira pode ser 
escrito como: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, o 𝑉𝑎𝑅50%(𝑋) = −4. Assim, temos que 𝑉𝑎𝑅50%(𝑋) = 𝑉𝑎𝑅50%(𝑋1 + 𝑋2) = −4 > −1 
− 5 = 𝑉𝑎𝑅50%(𝑋2) + 𝑉𝑎𝑅50%(𝑋1) Assim, 𝑉𝑎𝑅50%(𝑋1 + 𝑋2) > 𝑉𝑎𝑅50%(𝑋2) 
+𝑉𝑎𝑅50%(𝑋1), implicando que o risco da carteira é maior que o risco individual dos 
investimentos. Assim, apesar de portfólios diversificados possuírem vantagens sob portfólios 
não diversificados, o correspondente Value-at-Risk não reflete esta vantagem, sendo, 
portanto, um ponto negativo desta métrica. 
Outro ponto negativo do Value-at-Risk é o fato de esta métrica ser muito sensível 
à escolha do nível de significância, especialmente quando estamos em um contexto discreto. 
Exemplo 3: Suponha um investimento 𝑋 com o seguinte fluxo financeiro: 
 
 
 
 
 
 
 
 
O Value-at-Risk a um Nível de Significância de 50% é −1. Contudo, para um nível de 
significância de 49.9%, o Value-at-Risk é 1. O fato de esta métrica ser descontínua com 
relação ao nível de significância implica que uma leve alteração neste nível pode resultar em 
uma significante alteração na quantificação de “risco” do investimento. 
 Uma crítica final feita à métrica Value-at-Risk está associada a sua formulação como um 
Equação 1 
Equação 2 
Equação 3 
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problema de otimização. A formulação de problemas de decisão baseados na minimização 
desta métrica (quanto menor o risco, melhor!) é realizada sob o contexto de programação 
matemática não linear e costumam ser bastante complexos. Consequentemente, não há 
registros na literatura de algoritmos eficientes para resolver estes problemas para um caso 
geral, sendo a formulação de boas metodologias de solução dependentes caso-a-caso. 
Como pode ser verificado, a métrica Value-at-Risk possui um conjunto de ineficiências que 
foi sendo melhorada pelas medidas coerentes de risco, cuja definição está descrita acima. 
Dentro desta classe destaca-se o Conditional Value-at-Risk (CV@R) que foi usado 
intensivamente no trabalho realizado e sua definição encontra-se a seguir. 
Seja (Ω,ℱ,ℙ) um espaço de probabilidades e 𝑋 ∈ 𝒳 uma variável aleatória que representa o 
fluxo financeiro de um investimento. A métrica Conditional Value-at-Risk é um funcional 
𝐶𝑉𝑎𝑅𝛼: 𝒳 → ℝ definido como: 
𝐶𝑉𝑎𝑅𝛼(𝑋) = −(𝑧 −
𝔼[(z−X)+]
1−𝛼
), 
onde (𝑥)+ = max{𝑥, 0}, 𝑧 = −𝑉𝑎𝑅𝛼(𝑋) e 𝛼 ∈ (0, 1), assim como definido para o Value-at-
Risk. 
Para o caso de distribuições contínuas, o Conditional Value-at-Risk pode ser definido 
como: 
 𝐶𝑉𝑎𝑅 (𝑋) = = −𝔼[𝑋 | 𝑋 ≤ −𝑉𝑎𝑅𝛼(𝑋)], 
ou seja, o Conditional Value-at-Risk representa o Valor Esperado dos fluxos que são 
inferiores ao –Va𝑅𝛼, isto é, inferiores ao quantil de (1-α)%. Na figura abaixo, há a 
representação da relação entre o Value-at-Risk e o Conditional Value-at-Risk para uma 
distribuição de probabilidade (contínua) hipotética e um Nível de Confiança (1-α)=5%. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 4: Utilizando o mesmo exemplo dado para o cálculo do VaR pode-se extrair o 
CVaR conforme será demonstrado abaixo. 
Novamente analisa-se um investimento financeiro 𝑋 tal que existe 80% de probabilidade de 
um ganho de 100 milR$, 10% de probabilidade de uma perda de 70 milR$ e 10% de 
probabilidade de perdas de 100 milR$ cuja árvore de decisão está representada a seguir. 
 
 
Figura 7 
Figura 8 
Departamento de Engenharia Industrial 
 
 
 
Já chegou-se a conclusão de que para 𝛼 = 85%, o 𝑉𝑎𝑅85%(𝑋) = 70 milR$. A partir deste 
valor e da primeira definição dada de CVaR, é possível calcular o CVaR85%(𝑋) e encontrar a 
seguinte tabela: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A partir desta tabela, podemos calcular o Conditional Value-at-Risk a um Nível de 
Significância de (1 − 𝛼) = 15%. 
 
CVaR85%(X) = − (−VaR85%(X) − 
𝔼[(−VaR85% − X)+]
 1 − α
) 
 
= −(−70 −
∑ (−70 – X(ω))+ ℙ({ω})w ∈{ω1,ω2,ω3 }
0.15
) 
 
= − (−70 − 
(30 ⋅ 0.1 + 0 ⋅ 0.1 + 0 ⋅ 0.8)
0.15
) 
 
= 90 
 
Para um nível de significância de (1-α)= 20%, recalcula-se: 
𝑉𝑎𝑅80%(𝑋) = −100milR$ (resultado obtido através do exemplo 1) 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, 
CVaR80%(X) = −(−VaR80%(X) − 
𝔼[(−VaR80%(X) − X)
+]
1 − α
 ) 
 
= −(100 −
 ∑ (100 − X(ω) )+ ℙ({ω}) ω ∈{ω1,ω2,ω3 } 
0.2
 
 
= −(−100 −
(200 ⋅ 0.1 + 170 ⋅ 0.1 + 0 ⋅ 0.8)
0.2
) 
 
= 85 
 
 
Tabela 4 
Tabela 5 
Departamento de Engenharia Industrial 
Uma das propriedades que o Conditional Value-at-Risk possui é o fato de não ser 
descontínuo com relação a pequenas variações do nível de significância (1 − 𝛼), ao contrário 
do Value-at-Risk. Na figura a seguir, foi plotado a curva do 𝐶𝑉𝑎𝑅𝛼(𝑋) e o 𝑉𝑎𝑅𝛼(𝑋) em 
função de 𝛼. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que, de fato, o 𝐶𝑉𝑎𝑅𝛼(𝑋) não possui saltos como verificou-se no 𝑉𝑎𝑅𝛼(𝑋). 
Esta propriedade é bastante interessante para mesurar “risco”, uma vez que uma leve alteração 
no nível de significância (1 − 𝛼) não gera uma significante alteração na métrica de risco como 
acontecia com o 𝑉𝑎𝑅𝛼 . Além disso, o 𝐶𝑉𝑎𝑅𝛼(𝑋) está sempre “por cima” do 𝑉𝑎𝑅𝛼(𝑋). 
Tomando como base tal medida de risco e a premissa de que a distribuição de 
probabilidade dos retornos futuros é estimada de forma não paramétrica, em que cada dia do 
histórico utilizado representa um cenário possível de retorno futuro, foi possível desenvolver 
um modelo para otimizar a alocação de ações de empresas brasileiras no mercado financeiro 
brasileiro. 
Foram utilizadas ferramentas computacionais para se coletar dados de empresas 
listadas em bolsa nacional a fim de, a partir de uma análise de seus retornos mensais passados, 
realizar, dentro de um retorno requerido e de um risco máximo suportado, a alocação ótima 
dos ativos. Para isso, foi necessário implementar um modelo de programação estocástica de 
dois estágios e utilizar o CV@R como métrica de risco. 
Portanto, o modelo necessita apenas da entrada dos retornos passados de empresas, do 
retorno que se espera obter e do risco máximo admitido. Posteriormente, como saída é 
determinado o percentual de cada ação que maximiza o retorno levando em consideração o 
risco tolerado. 
 Uma das grandes vantagens do CV@R em relação ao V@R é a possibilidade de 
escrevê-lo em forma de problema de programação linear estocástica, conforme está 
explicitado abaixo: 
 
 
Figura 9 
Departamento de EngenhariaIndustrial 
max
𝑧,{𝑦𝑠},{𝑥𝑖}
{𝑧 − ∑ 𝑝𝑠
𝑦𝑠
1 − 𝛼
𝑠
} 
 
𝑦𝑠 ≥ 𝑧 − ∑ 𝑅𝑖(𝑠)𝑥𝑖
𝑖
, ∀𝑠 
𝑦𝑠 ≥ 0, ∀𝑠 
 
∑ 𝑥𝑖
𝑖
= 1 
 
∑ ∑ 𝑝𝑠𝑅𝑖(𝑠)
𝑠
𝑥𝑖
𝑖
≥ 𝛾 
Equação 4 
 
Em que Z corresponde ao Value-at-Risk (V@R) no ótimo, ys= variável auxiliar para 
cada cenário que no ótimo é igual a (𝑧 − ∑ 𝑅𝑖(𝑠)𝑥𝑖)
+
𝑖 , xi= percentual ótimo alocado em cada 
empresa, Ri= retorno em cada cenário, ps= probabilidade de cada cenário e γ= retorno 
requerido. 
Resultados numéricos 
 Foram coletados dados de 11 empresas listadas em bolsa de valores brasileira: Vale 
(‘VALE5.SA’), AmBev (‘ABEV3.SA’), Petrobrás (‘PETR4.SA’), Eletrobrás (‘ELET3.SA’), 
Banco Bradesco (‘BBDC3.SA’), Souza Cruz (‘CRUZ3.SA’), Companhia Siderúrgica 
Nacional (‘CSNA3.SA’), Lojas Americanas (‘LAME4.SA’), Embraer (‘EMBR3.SA’), 
Gerdau (‘GOAU4.SA’), Banco do Brasil (‘BBAS3.SA’). Para efeito comparativo de 
mudanças devido a problemas macroeconômicos, dividiu-se a coleta de dados mensal em três 
períodos: 
1) 1º de janeiro de 2003 até 31 de maio de 2011, em que se observa tanto a grande 
recessão de 2008, quanto os problemas econômicos brasileiros resultantes da entrada 
de Lula no poder cujo partido tinha um viés de esquerda que era bastante temido pelo 
mercado em 2003 
 
 
 
 10,000.00
 20,000.00
 30,000.00
 40,000.00
 50,000.00
 60,000.00
 70,000.00
 80,000.00
Variação Ibovespa 
Figura 10 
Departamento de Engenharia Industrial 
 
2)1º de janeiro de 2005 até 31 de maio de 2011, contendo apenas a grande crise global de 
2008 
 
 
 
 
 
 
3)1º de junho de 2009 até 31 de maio de 2011, cujo resultado demonstra-se mais positivo 
obviamente já que abrange uma janela sem crises. 
 
 
 
 
 
 
 -
 10,000.00
 20,000.00
 30,000.00
 40,000.00
 50,000.00
 60,000.00
 70,000.00
 80,000.00
3-jan-05 3-jan-06 3-jan-07 3-jan-08 3-jan-09 3-jan-10 3-jan-11
Variação do Ibovespa
-10.00%
0.00%
10.00%
20.00%
30.00%
40.00%
50.00%
60.00%
70.00%
2
-j
an
-0
9
2
-m
ar
-0
9
2
-m
ai
-0
9
2
-j
u
l-
0
9
2
-s
e
t-
0
9
2
-n
o
v-
0
9
2
-j
an
-1
0
2
-m
ar
-1
0
2
-m
ai
-1
0
2
-j
u
l-
1
0
2
-s
e
t-
1
0
2
-n
o
v-
1
0
2
-j
an
-1
1
2
-m
ar
-1
1
2
-m
ai
-1
1
2
-j
u
l-
1
1
2
-s
e
t-
1
1
2
-n
o
v-
1
1
Variação do Ibovespa
Figura 11 
Figura 12 
Departamento de Engenharia Industrial 
Para a obtenção dos dados do Yahoo Finanças foi utilizado a ferramenta financeira do 
programa Matlab. Assim, com o objetivo de analisar as informações obtidas, ou seja, os 
retornos de cada ativo mensal nos três períodos destacados, foi desenvolvido um modelo de 
otimização baseado no 𝐶𝑉𝑎𝑅, cuja fórmula se encontra na equação 4. Por conseguinte, foi 
possível colocar como input retornos de um determinado ativo, o retorno requerido e o risco 
máximo suportado e gerar como output a carteira ótima que maximiza os ganhos. Vale 
destacar que o modelo foi resolvido através dos pacotes comerciais para problemas lineares: 
Mosek e Yalmip. 
 Nota-se, portanto, que ao exigir como retorno um intervalo de -0.01 até 0.01, variando 
de 0.001 em 0.001, com um intervalo de confiança de 95% e com as empresas cujos tickers 
são: 'PETR4' 'VALE' 'ABEV' 'BBD' 'BBAS' 'ELET' 'GOAU' 'LAME' 'EMBR' 'CRUZ' 
'CSNA', obtém-se a seguinte fronteira ótima a seguir, em que o a linha em verde corresponde 
ao 3º intervalo, vermelha ao 2º e azul ao terceiro. 
 
 
Figura 13 
 
 
 
Percebe-se um evidente melhor resultado na linha verde cuja janela é de 2009 para 2011, em 
que não houve grandes problemas econômicos. Observa-se uma linha verde melhor que a 
vermelha cujo intervalo engloba a crise de 2008 e melhor que a azul, claramente a pior cuja 
janela possui além da crise de 2008, os problemas econômicos de 2003. 
Além disso, a seguir está expresso as carteiras ótimas para cada intervalo simultaneamente. 
 
 
 
 
Departamento de Engenharia Industrial 
 
 
 
Intervalo de 2003 até 2011 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Intervalo de 2005 até 2011 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 14 
Figura 15 
Departamento de Engenharia Industrial 
 
Intervalo de 2009 até 2011 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nota-se que devido ‘as incertezas por um partido de esquerda assumir o governo, no primeiro 
intervalo de tempo, as carteiras ótimas possuem um número maior de empresas que não são 
estatais. Conforme há a mudança nos intervalos, fica claro um maior esforço do governo para 
melhorar as estatais e, por conseguinte, apresentam melhores resultados, aumentando o 
número de empresas estatais nas carteiras ótimas com maior retorno. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 16 
Departamento de Engenharia Industrial 
 
Conclusão 
O estudo teórico permitiu uma maior compreensão da evolução dos modelos de 
otimização e das finanças. Pode-se notar que a aplicação de medidas de risco mais modernas 
como o CV@R se mostra um caminho deveras consistente para se obter resultados mais 
verossímeis e eficientes. 
A utilização do modelo proposto é bastante simples, sendo necessário apenas ter o 
conjunto de retornos passados das empresas para realizar a alocação ótima dos ativos de uma 
carteira, ou seja, maximizar o retorno e minimizar o risco. 
 O procedimento descrito pode ser implementado não só para o caso de empresas 
brasileiras como também para mercados internacionais. Assim, torna-se evidente, portanto, 
que o continuo desenvolvimento dessas técnicas de otimização e de mensuração do risco será 
essencial para se conseguir melhorias significativas no processo de seleção de carteira. 
 
 
 
 
Referências 
1 - JORION, Philippe Value at risk, Irwin Chicago, 1997. 
2- ROCKAFELLAR, R. Tyrrel, Coherent Aproaches of risk in optimization under 
uncertainty, Tutorials in Operations Research, informs, 38-61, 2007 
3- ROCKAFELLAR, R. Tyrrel e S. Uryasev, Conditional-value-at-risk for General Loss 
Distributions, 2008 
4 – ARTZNER, Ph., F. Delbaen, J. M. Eber, e D. Heath, Coherent Measures of Risk, 
Mathematical Finance, 9, 203-229, 1999 
5-Pflug, G., Some results on Value-at-risk and Conditional-Value-at-Riks in S. Uryasev 
Ed., Probabilistic Constrained Optimization: Methodology and Applications, Kluwer 
Academic, Norwell, MA, 2000 
 
 
 
∎ 
Departamento de Engenharia Industrial