Avaliação Final (Discursiva) - CALCULO 3

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07/03/2024, 11:15 Avaliação Final (Discursiva) - Individual
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GABARITO | Avaliação Final (Discursiva) - Individual (Cod.:823827)
Peso da Avaliação 4,00
Prova 62389423
Qtd. de Questões 2
Nota 10,00
Pelo Teorema de Fubini podemos inverter a ordem de integração, dependendo do formato da região ou sólido de integração. No 
caso de integral dupla, chamamos de integrais do tipo 1 ou tipo 2. O importante é que a última integral tenha em seu domínio de 
integração apenas constantes, ou seja, seja feito num intervalo como as integrais simples.
Utilizando o Teorema de Fubini, calcule a área da região apresentada na figura a seguir. Justifique cada etapa da sua resolução.
Resposta esperada
Para calcular a área precisamos dividir em duas regiões, a que está acima do eixo x e a que está abaixo. Para definir os
limites de integração precisamos antes encontrar as retas que os definem.
Vamos determinar a reta que liga os pontos (-2, 3) e (2, 1), como:
 
a equação da reta é ou seja, 
A reta que liga os pontos (2, - 2) e (0, 0) é , y = - x pois 
 
Usando as integrais do tipo 1 temos que a área é
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Parabéns, acadêmico(a)! Sua resposta atingiu os objetivos da questão e você atingiu o esperado, demonstrando a
competência da análise e síntese do assunto abordado, apresentando excelentes argumentos próprios, com base nos materiais
disponibilizados. Confira no quadro "Resposta esperada" a sugestão de resposta para esta questão.
Em geral, as integrais de linhas não são tão simples de serem calculadas, pois dependem da curva que define a sua borda e essa 
curva pode não ser elementar.
Disserte sobre os três Teoremas estudados, suas principais características e um exemplo onde podem ser aplicados.
Resposta esperada
O Teorema de Green troca uma integral de linha por um integral dupla da diferença das derivadas parciais da função
vetorial dada sobre a região delimitada pela curva. Podemos utilizar o Teorema de Green para calcular o trabalho
realizado por um campo de forças em duas dimensões sobre uma partícula.
O Teorema de Stokes é uma generalização do Teorema de Green para três dimensões, ou seja, relaciona uma integral
de linha de um campo vetorial em três dimensões com a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial.
Uma aplicação é calcular o trabalho realizado por um campo de forças em três dimensões sobre uma partícula.
O Teorema de Gauss é o teorema mais diferente, já que ele estabelece uma relação entre uma integral tripla sobre um
sólido com uma integral de superfície em sua fronteira. A integral dupla do campo vetorial é utilizada para calcular o
fluxo de saída de um campo vetorial em três dimensões, assim podemos utilizar o Teorema de Gauss para calcular o
fluxo de saída.
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