Avaliação Final (Discursiva) - Cálculo Diferencial e Integral III

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27/04/2023, 21:26 Avaliação Final (Discursiva) - Individual
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Prova Impressa
GABARITO | Avaliação Final (Discursiva) - Individual
(Cod.:766995)
Peso da Avaliação 4,00
Prova 53882009
Qtd. de Questões 2
Nota 10,00
Sabemos que para calcular o volume de sólidos regulares existem fórmulas padrões, e cada uma 
dessas fórmulas pode ser deduzida utilizando integrais triplas.
Com relação a isso, deduza a fórmula de uma esfera utilizando integrais triplas. Justifique cada etapa 
da sua dedução, principalmente a definição dos limites de integração.
Resposta esperada
Sabemos que o volume de um sólido é dado pela integral tripla da função f(x, y, z) = 1,
precisamos agora determinar os limites de integração.
Como estamos falando de uma esfera vamos utilizar coordenadas esféricas e, portanto, os limites
de integração são:
assim o volume é:
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Minha resposta
(Como não tem símbolos matemáticos no teclado do meu celular, vou usar a letra S como
símbolo em lugar do símbolo integral e entre parênteses os valores extremos da integral) Usando
integrais triplas, demonstramos que o cume de uma esfera de raio R é 4/3 p R^3 simplificamos
por utilizar coordenadas esféricas para descrever a integral tripla associada ao volume. V= SSS
E^dxdydz = S(0 a 2p) S(0 a p) S(0 a R) p^2 Sen° d°d0 O ângulo p pertence ao intervalo 0=p=p
para que cada ponto seja coberto uma única vez pelos dois parâmetros. para resolver essa
integral tripla, podemos escrever: V= S(0a 2p) S(0 a p) R^3/3 S(0 a 2p) 2 d0 = 4/3 p R^3
Retorno da correção
Parabéns, acadêmico, sua resposta atingiu os objetivos da questão e você contemplou o esperado,
demonstrando a competência da análise e síntese do assunto abordado, apresentando excelentes
argumentos próprios, com base nos materiais disponibilizados. Observe que a resposta
formulada por você contempla integralmente o esperado.
Em geral, as integrais de linhas não são tão simples de serem calculadas, pois dependem da 
curva que define a sua borda e essa curva pode não ser elementar. Disserte sobre os três Teoremas 
estudados, suas principais características e um exemplo onde podem ser aplicados.
Resposta esperada
O Teorema de Green troca uma integral de linha por um integral dupla da diferença das
derivadas parciais da função vetorial dada sobre a região delimitada pela curva. Podemos
utilizar o Teorema de Green para calcular o trabalho realizado por um campo de forças em
duas dimensões sobre uma partícula.
O Teorema de Stokes é uma generalização do Teorema de Green para três dimensões, ou
seja, relaciona uma integral de linha de um campo vetorial em três dimensões com a
integral de superfície do rotacional de um campo vetorial. Uma aplicação é calcular o
trabalho realizado por um campo de forças em três dimensões sobre uma partícula.
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O Teorema de Gauss é o teorema mais diferente, já que ele estabelece uma relação entre
uma integral tripla sobre um sólido com uma integral de superfície em sua fronteira. A
integral dupla do campo vetorial é utilizada para calcular o fluxo de saída de um campo
vetorial em três dimensões, assim podemos utilizar o Teorema de Gauss para calcular o
fluxo de saída.
Minha resposta
Teorema de Green - estabelece uma relação entre uma integral de linha sobre uma curva fechada
simples C e uma integral dupla na região D delimitada por C. Ele troca uma integral de linha por
uma integral dupla da diferença das derivadas parciais da função vetorial dada sobre a região
delimitada pela curva. Pode ser usado para calcular o trabalho realizado por um campo de forças
em duas dimensões sobre uma partícula. Teorema de Stokes - estabelece uma relação entre uma
integral de superfície com uma integral em torno da curva dada pela fronteira da superfície de
integração. É usada para calcular o trabalho realizado por um campo de forças em três dimensões
sobre uma partícula. Teorema de Gauss - também chamado de teorema do divergente. Estabelece
uma relação entre uma integral tripla sobre um sólido com uma integral de superfície em sua
fronteira. A integral dupla do campo vetorial é usada para calcular o fluxo de saída de um campo
vetorial em três dimensões.
Retorno da correção
Parabéns, acadêmico, sua resposta atingiu os objetivos da questão e você contemplou o esperado,
demonstrando a competência da análise e síntese do assunto abordado, apresentando excelentes
argumentos próprios, com base nos materiais disponibilizados. Observe que a resposta
formulada por você contempla integralmente o esperado.
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