AVALIACAO FINAL CALCULO NUMERICO

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AVALIAÇÃO FINAL 
 
Caro(a) acadêmico(a), antes de iniciar a prova leia as instruções a seguir. 
 
• A PROVA É INDIVIDUAL. Qualquer indício do contrário, os acadêmicos serão convocados pelo 
professor. 
• INÍCIO: 13:00h – TÉRMINO: 15:00h. 
• QUANTIDADE DE QUESTÕES: 5 (cinco). 
• É permitido o uso de calculadora e formulário (disponível no final da prova). 
• A resolução da sua prova deve ser feita em uma folha branca e CONSTAR SEU NOME EM TODAS 
AS FOLHAS DA PROVA. 
• NÃO ESQUEÇA DE COLOCAR O NÚMERO DA QUESTÃO CORRESPONDENTE À SUA 
RESOLUÇÃO. 
• Resolva a prova de forma legível e ao finalizar você deverá ENVIAR PREFERENCIALMENTE EM 
FORMATO .PDF pelo google Classroom na seção AVALIAÇÕES ONLINE. 
• TODAS AS QUESTÕES QUE ENVOLVEM CÁLCULOS E QUE JUSTIFICAM A SUA 
RESPOSTA DEVERÃO SER ANEXADOS À SUA AVALIAÇÃO. 
 
 
• A RESOLUÇÃO DA PROVA DEPENDE DO NÚMERO DE SUA MATRÍCULA NA 
UNIMONTES, PORTANTO CASO NÃO TENHA ESSE NÚMERO ME PROCURE. 
 
 
Boa prova! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Universidade Estadual de Montes Claros - UNIMONTES 
Curso: Engenharia Civil / 20 Período 
Disciplina: Cálculo Numérico 
Prof.: Warley Ferreira da Cunha 
Acadêmico(a):__________________________________________Data:13/12/2021 
 
QUESTÃO 1) (20 pontos) Considere o sistema de equações lineares, 𝐴𝑋 = 𝐵: 
 
[
 4 1 −1
−1 3 1
 2 2 5
] [
𝑥1
𝑥2
𝑥3
] = [
𝑏1
𝑏2
𝑏3
], 
sendo 𝐵 = [
𝑏1
𝑏2
𝑏3
] a matriz dada pelos três últimos números da sua matrícula na Unimontes. 
Por exemplo, se o número de sua matrícula é 100018701, a sua matriz 𝐵 é dada por 𝐵 = [
𝑏1
𝑏2
𝑏3
] = [
7
0
1
]. 
 
a) Verifique se o critério de Sassenfeld é satisfeito; 
b) Caso o critério de Sassenfeld seja satisfeito, use o método iterativo de Gauss-Seidel para resolver o sistema 
a partir de 𝑥𝑖
(0) =
𝑏𝑖
𝑎𝑖𝑖
 e iterando até que 
‖𝑋(𝑘+1)−𝑋(𝑘)‖
∞
‖𝑋(𝑘+1)‖
∞
< 10−2 . 
(OBS: caso faça até 4 iterações e o critério de parada não seja satisfeito, pare). 
 
QUESTÃO 2) (20 pontos) 
Utilize o método de Newton para determinar a solução 𝑥 com precisão de 𝜀 ≤ 10−2 para a função 𝑓 definida 
por 
𝑓(𝑥) = 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠(𝑥), 
sabendo que 𝑥 ∊ [0 ; 
𝜋
2
 ]. 
 
QUESTÃO 3) (20 pontos) Considere a função tabela 
 
𝑥𝑖 - 2 - 1 0 1 
𝑓(𝑥𝑖) 1 4 11 16 
 
 
a) Determine o polinômio de interpolação, na forma de Newton, sobre todos os pontos. 
b) Mediante o polinômio obtido no item a), determinar o valor interpolado em 𝑥 =
1
2
. 
 
QUESTÃO 4) (20 pontos) 
Determine o menor número de subintervalos, 𝑛, necessários para aproximar 
∫ 𝑥2𝑐𝑜𝑠(𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
0
 
com erro 𝜖 ≤ 10−5 usando a: 
 
a) regra do trapézio composta; 
b) 2ª regra de Simpson composta. 
 
QUESTÃO 5) (20 pontos) 
Considere as margens de um rio e tome como referência de medida uma linha reta a uma das margens desse 
rio. Foram medidas distâncias, em metros, entre esta linha reta e as duas margens, de 10m em 10m, a partir do 
ponto tomado como origem. Tais dados foram registrados na tabela a seguir. 
 
x 0 10 20 30 40 
y (M1) 50.8 86.2 136 72.8 51 
y (M2) 113.6 144.5 185 171.2 95.3 
 
Determine o valor aproximado da área do rio no intervalo [0 , 40], usando seus conhecimentos de cálculo 
numérico. Justifique a regra de integração utilizada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
__________________FORMULÁRIO: 
 
Método iterativo de Gauss-Seidel 
𝑥𝑖
(𝑘+1) =
𝑏𝑖 − ∑ 𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗
(𝑘+1) − ∑ 𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗
(𝑘)𝑛
𝑗=𝑖+1
𝑖−1
𝑗=1
𝑎𝑖𝑖
, 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 
 
Critério de Sassenfeld: 
 
𝛽𝑖 = ∑|ℎ𝑖𝑗|𝛽𝑗 +
𝑖−1
𝑗=1
∑ |ℎ𝑖𝑗|
𝑛
𝑗=𝑖+1
 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 
 
𝛽 = 𝑚á𝑥
1≤𝑖≤𝑛
𝛽𝑖 < 1 ⇒ sequência x
(𝑘)converge para a solução �̅� 
 
 
Critério de parada: 
‖𝑋(𝐾+1)−𝑋𝐾‖
∞
‖𝑋(𝐾+1)‖
∞
≤ 𝜀 
 
 
 
Fórmula Newton: 𝑥𝑘+1 = 𝑥𝑘 −
𝑓 (𝑥𝑘)
𝑓′ (𝑥𝑘)
 
 
Critério de parada: |𝑥(𝐾+1) − 𝑥𝐾| ≤ 𝜀 
 
 
Fórmula Interpolatória de Newton: 
 
𝑃𝑛(𝑥) = 𝑓[𝑥0] + (𝑥 − 𝑥0)𝑓[𝑥0, 𝑥1] + (𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1)𝑓[𝑥0, 𝑥1, 𝑥2] + ⋯
+ (𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1) … (𝑥 − 𝑥𝑛−1)𝑓[𝑥0, 𝑥1, … , 𝑥𝑛] 
onde os coeficientes 𝑓[𝑥0, … , 𝑥𝑘] ,  𝑘 = 0,1, … , 𝑛 são diferenças divididas de ordem 𝑘 entre os pontos 
(𝑥𝑗 , 𝑓(𝑥𝑗)) , 𝑗 = 0,1, … , 𝑘. 
 
 
Regra do Trapézio: 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑥𝑛
𝑥0
≅
ℎ
2
[𝑓(𝑥0) + 2𝑓(𝑥1) + 2𝑓(𝑥2) + ⋯ + 2𝑓(𝑥𝑛−1) + 𝑓(𝑥𝑛)], sendo 
ℎ =
𝑥𝑛−𝑥0
𝑛
; 𝑛 = número de subintervalos 
|𝐸| ≤
ℎ
2
12
(𝑥𝑛 − 𝑥0) máx {|𝑓
(2)(𝑥)| ; 𝑥0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑥𝑛} 
 
 
 
3
1 de Simpson ( 1ª Regra): 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑥𝑛
𝑥0
≅
ℎ
3
[𝑓(𝑥0) + 4𝑓(𝑥1) + 2𝑓(𝑥2) + ⋯ + 2𝑓(𝑥𝑛−2) + 4𝑓(𝑥𝑛−1) + 𝑓(𝑥𝑛)], sendo 
ℎ =
𝑥𝑛−𝑥0
𝑛
; 𝑛 = múltiplo de 2. 
|𝐸| ≤
ℎ
4
180
(𝑥𝑛 − 𝑥0) máx {|𝑓
(4)(𝑥)| ; 𝑥0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑥𝑛}. 
 
 
8
3 de Simpson ( 2ª Regra): 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑥𝑛
𝑥0
≅
3ℎ
8
[𝑓(𝑥0) + 3𝑓(𝑥1) + 3𝑓(𝑥2) + 2𝑓(𝑥3) + 3𝑓(𝑥4) + 3𝑓(𝑥5) + 2𝑓(𝑥6) + ⋯ + 3𝑓(𝑥𝑛−2)
+ 3𝑓(𝑥𝑛−1) + 𝑓(𝑥𝑛)], 
 sendo ℎ =
𝑥𝑛−𝑥0
𝑛
; 𝑛 = múltiplo de 3. 
|𝐸| ≤
ℎ
4
80
(𝑥𝑛 − 𝑥0)máx {|𝑓
(4)(𝑥)| ; 𝑥0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑥𝑛}.