PRIMEIRA AVALIACAO CALCULO NUMERICO

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1ª AVALIAÇÃO 
 
Antes de iniciar a prova, leia as instruções a seguir. 
 
• A PROVA É INDIVIDUAL. Qualquer indício do contrário, os acadêmicos serão convocados pelo 
professor. 
 
• INÍCIO: 13:10h – TÉRMINO: 16:30h. 
 
• QUANTIDADE DE QUESTÕES: 5 (cinco). 
 
• É permitido o uso de calculadora e formulário (veja final da prova). 
 
• A resolução da sua prova deve ser feita em uma folha branca e constar no cabeçalho, seu NOME 
COMPLETO, CURSO E PERÍODO. Além disso, NÃO ESQUEÇA DE COLOCAR O 
NÚMERO DA QUESTÃO CORRESPONDENTE À SUA RESOLUÇÃO. 
 
• Resolva a prova de forma legível e ao finalizar você deverá ENVIAR PREFERENCIALMENTE 
EM FORMATO .PDF PELO GOOGLE CLASSROOM NA SEÇÃO AVALIAÇÃO. 
 
 
• TODAS AS QUESTÕES QUE ENVOLVEM CÁLCULOS E QUE JUSTIFICAM A SUA 
RESPOSTA DEVERÃO SER ANEXADOS À SUA AVALIAÇÃO. 
Boa prova! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Universidade Estadual de Montes Claros - UNIMONTES 
Curso: Engenharia Civil / 20 Período 
Disciplina: Cálculo Numérico 
Prof.: Warley Ferreira da Cunha 
Acadêmico(a):__________________________________________Data:13/04/2021 
 
QUESTÃO 1) (3, 0 pontos) Analise as seguintes afirmações sobre os métodos numéricos para resolução de 
sistemas de equações lineares. 
 
I) Entre os métodos numéricos para resolução de sistemas lineares 𝑛 × 𝑛, temos os métodos diretos e os 
iterativos. Métodos diretos são aqueles que, a menos de erros de arredondamento, fornecem a solução exata 
do sistema linear, caso ela exista, após um número finito de operações. Enquanto os métodos iterativos geram 
uma sequência de vetores {𝑋(𝑘)} a partir de uma aproximação inicial 𝑋(0) e, sob certas condições esta 
sequência converge para a solução �̅�, caso ela exista. 
 
II) No método de eliminação de Gauss os pivôs são tomados diferentes de zero para que sejam possíveis as 
eliminações. Caso ocorra algum pivô nulo, deve-se efetuar uma troca de linhas conveniente para escolher um 
novo pivô não nulo, a fim de que se possa prosseguir com as eliminações. Outra maneira de se evitar o pivô 
nulo é usar uma estratégia de pivoteamento. 
 
III) Considere a matriz 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)  𝑖, 𝑗 = 1,2, … , 𝑛. Se os menores principais de 𝐴, 𝑑𝑒𝑡(𝐴𝑖) ≠ 0, 𝑖 = 1,2, … , 𝑛, 
então A se decompõe, de maneira única, no produto de uma matriz triangular inferior 𝐿 = (𝑙𝑖𝑗) , 𝑖, 𝑗 =
1,2, … , 𝑛, com 𝑙𝑖𝑖 = 1,   1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 por uma matriz triangular superior 𝑈 = (𝑢𝑖𝑗),  𝑖, 𝑗 = 1,2, … , 𝑛. 
Além disso, 𝑑𝑒𝑡(𝐴) = (l11 × l22 × … × l𝑛𝑛) × (𝑢11 × 𝑢22 × … × 𝑢𝑛𝑛). 
 
IV) Se a matriz 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗), 𝑛 × 𝑛 do sistema linear 𝐴𝑋 = 𝐵 é simétrica e positiva definida, então 𝐴 pode ser 
decomposta unicamente no produto 𝐺𝐺𝑡, onde 𝐺 = (𝑔𝑖𝑗), 𝑛 × 𝑛 é matriz triangular inferior com elementos 
diagonais positivos. Além disso, 𝑑𝑒𝑡(𝐴) = (𝑔11 × 𝑔22 × … × 𝑔𝑛𝑛)
2 e o sistema BAX = pode ser escrito 
como 𝐺𝐺 𝑡𝑋 = 𝐵. Isto representa dois sistemas triangulares, 𝐺𝑌 = 𝐵 e 𝐺 𝑡𝑋 = 𝑌 os quais são mais facilmente 
resolvidos. 
 
 
A respeito dessas afirmações é correto o que se afirma em 
A) I e II, apenas. 
B) I, III e IV, apenas. 
C) II, III e IV, apenas. 
D) I, II e III, apenas. 
E) I, II, III e IV. 
 
 
 
 
QUESTÃO 2) (5 pontos) 
Uma empresa que presta serviços de engenharia civil tem três tipos de contentores I, II e III, que carregam 
cargas, em três tipos de recipientes A, B e C. O número de recipientes por contentor é dado a seguir: 
 
 Tipo de recipiente 
Tipo de contentores 
A B C 
I 4 3 4 
II 4 2 3 
III 2 2 2 
 
Quantos contentores 1 2 3, e x x x de cada tipo I, II e III, respectivamente, são necessários se a empresa necessita 
transportar 38 recipientes do tipo A, 24 do tipo B e 32 do tipo C? Utilize o método que julgar mais conveniente 
para obter a sua resposta. 
 
 
 
QUESTÃO 3) (5 pontos) 
Considere 𝐴𝑋 = 𝐵 o sistema de equações lineares, sendo 𝐴 = (
2 −1 0
3 −2 0
0 5 5
) e 𝐵 = (
−3
−5
 6
). 
 
a) Escreva a igualdade 𝐿𝑈 = 𝑃𝐴, determinando a matriz 𝐿, 𝑈 e a matriz de permutação 𝑃; 
b) Resolva-o pelo método de decomposição 𝐿𝑈 usando a pivotação parcial; 
c) Calcular o determinante da matriz 𝐴. 
 
 
QUESTÃO 4) (5 pontos) Aplicando-se o processo de Cholesky à matriz 𝐴, obteve-se: 
 
𝐴 = [
⋯ 2 ⋯ ⋯
⋯ 8 10 − 8
3 10  14 − 5
⋯ − 8   ⋯   29
] = 𝐺𝐺𝑡 
 
onde 
𝐺 = [
1 
2 ⋯ 𝑂
⋯ 2  1 
0 − 4   ⋯   2
]. 
Preencha os espaços pontilhados com valores adequados. 
 
 
 
QUESTÃO 5) (5 pontos) Use a técnica iterativa de Gauss-Seidel para encontrar soluções aproximadas de 
 
{
10𝑥1  − 𝑥2    + 2𝑥3   =  6
−𝑥1 +  11𝑥2  −  𝑥3   + 3𝑥4 = 25
2𝑥1   −  𝑥2    + 10𝑥3 − 𝑥4 = −11
   3𝑥2    − 𝑥3 + 8𝑥4 = 15
 
 
começando com 𝑋(0) = [ 0 0 0 0 ]𝑡 e iterando até que 
‖𝑋(𝑘+1)−𝑋(𝑘)‖
∞
‖𝑋(𝑘+1)‖
∞
< 10−2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
_______________________FORMULÁRIO: 
 
Decomposição de Cholesky: 
 
𝑔𝑗𝑗 = (𝑎𝑗𝑗 − ∑ 𝑔𝑗𝑘
2𝑗−1
𝑘=1 )
1
2⁄
, 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 e 
 
 𝑔𝑖𝑗 =
𝑎𝑖𝑗−∑ 𝑔𝑖𝑘 𝑔𝑗𝑘
𝑗−1
𝑘=1
𝑔𝑗𝑗
 , 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 − 1 ; 𝑖 = 𝑗 + 1 ,  𝑗 + 2 , … , 𝑛. 
 
Método iterativo de Gauss-Seidel 
 
𝑥𝑖
(𝑘+1) =
𝑏𝑖 − ∑ 𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗
(𝑘+1) − ∑ 𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗
(𝑘)𝑛
𝑗=𝑖+1
𝑖−1
𝑗=1
𝑎𝑖𝑖
, 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 
 
 
Critério de parada: 
‖𝑋(𝐾+1)−𝑋𝐾‖
∞
‖𝑋(𝐾+1)‖
∞
≤ 𝜀