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Apostila Formatec 9 Concursos Militares 
 
 
 
 
 
 
ESA-EsSA ESCOLA DE SARGENTOS DE ARMA 
 
MATEMATICA: FUNÇÕES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nome: 
Apostila baseada no Manual do Candidato 2015 
“Tudo o que um sonho precisa para ser realizado é alguém que 
acredite que ele possa ser realizado.” 
Roberto Shinyashiki 
1.0 Teoria dos conjuntos 
A Teoria dos conjuntos é a teoria matemática dedicada ao estudo 
da associação entre objetos com uma mesma propriedade, 
elaborada por volta do ano de 1872. Sua origem pode ser 
encontrada nos trabalhos do matemático russo Georg Cantor (1845-
1918), os quais buscavam a mais primitiva e sintética definição de 
conjunto. Tal teoria ficou conhecida também como "teoria ingênua" 
ou "teoria intuitiva" por causa da descoberta de várias antinomias 
(ou paradoxos) associados à ideia central da própria teoria. Tais 
antinomias levaram a uma axiomatização das teorias matemáticas 
futuras, influenciando de modo indelével as ciências da matemática 
e da lógica. Mais tarde, a teoria original receberia complementos e 
aperfeiçoamentos no início do século XX por outros matemáticos. 
O conhecimento prévio de tal teoria serve como base para o 
desenvolvimento de outros temas na matemática, como relações, 
funções, análise combinatória, probabilidade, etc. 
Como definição intuitiva de conjuntos, dadas por Cantor, surgiam 
em sua teoria exemplos como: 
1. um conjunto unitário possui um único elemento 
2. dois conjuntos são iguais se possuem exatamente os mesmos 
elementos 
3. conjunto vazio é o conjunto que não possui nenhum elemento 
4. Os conjuntos podem ser finitos ou infinitos. Um conjunto finito 
pode ser definido reunindo todos os seus elementos 
separados por vírgulas. Já um conjunto infinito pode ser 
definido por uma propriedade que deve ser satisfeita por todos 
os seus membros. 
A ideia de conjunto era um conceito primitivo e auto explicativo de 
acordo com a teoria; não necessitaria de definição. 
Esta forma de representar um conjunto, pela enumeração de seus 
elementos é denominada "forma de listagem". Poderia-se 
representar o mesmo conjunto por uma determinada propriedade de 
seus elementos, sendo x, por exemplo, um número qualquer do 
conjunto Z representado abaixo: 
Z = {1,3,5,7,9,11, ... } 
teríamos, concluindo: 
Z = { x | x é ímpar e positivo } = { 1,3,5, ... }. 
Merece destaque outras relações básicas, que independem de um 
cálculo matemático mais complexo, utilizando-se lógica básica e 
pura. São exemplos desta afirmação as relações a seguir: 
1 - Pertinência, que estabelece se um elemento pertence ou não 
pertence a um conjunto pré-estabelecido: 
- dado um número x, caso ele pertença ao conjunto, escrevemos x 
∈ A, ou "x" pertence ao conjunto A 
- caso "x" não pertença ao conjunto, registra-se x ∉ A 
- um conjunto sem elementos é um conjunto vazio, representado 
pela letra grega φ (phi) 
2 - Subconjunto: 
Caso todo o elemento do conjunto A pertença também ao conjunto 
B, sem que todos os elementos deste segundo grupo pertençam 
todos a B, diremos que "A é subconjunto de B": A ⊂ B 
3 - Conjuntos numéricos fundamentais: 
Trata-se de qualquer conjunto cujos elementos são números, entre 
eles, o conjunto de números naturais N = {0,1,2,3,4,5,6...}; o 
conjunto de números inteiros Z = {..., -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,... } (sendo 
que N ⊂ Z); conjunto de números racionais Q = { 2/3, -
3/7, 0,001, 0,75, 3, etc.) (sendo que N ⊂ Z ⊂ Q); conjunto de 
números irracionais, etc. 
4 - União 
http://www.infoescola.com/matematica/numeros-naturais/
http://www.infoescola.com/matematica/numeros-irracionais/
http://www.infoescola.com/matematica/numeros-irracionais/
Ocorre união quando o conjunto união contempla todos os 
elementos de dado conjunto A ou de dado conjunto B. 
Exemplo: {0,1,3} ∪ { 3,4,5 } = { 0,1,3,4,5} 
Assim, através de suas numerosas combinações, que fornecem 
poderosa ferramenta para a construção da matemática de base 
axiomática, apesar de seu conteúdo predominantemente dedutivo, 
logo surgiu o "Paradoxo de Russel", que é a contradição mais 
famosa da teoria dos conjuntos. 
2.0 Função 
A função é utilizada para estabelecer uma relação entre dois 
conjuntos distintos. 
Publicado por: Naysa Crystine Nogueira Oliveira em Matemática20 
comentários 
 
As formulações matemáticas que envolvem equações podem ser 
estruturadas por meio de funções 
A função determina uma relação entre os elementos de dois 
conjuntos. Podemos defini-la utilizando uma lei de formação, em 
que, para cada valor de x, temos um valor de f(x). Chamamos x de 
domínio e f(x) ou y de imagem da função. 
http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/
http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/
http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/funcao.htm#comentarios
A formalização matemática para a definição de função é dada 
por: Seja X um conjunto com elementos de x e Y um conjunto dos 
elementos de y, temos que: 
f: x → y 
 
Assim sendo, cada elemento do conjunto x é levado a um único 
elemento do conjunto y. Essa ocorrência é determinada por uma lei 
de formação. 
A partir dessa definição, é possível constatar que x é a variável 
independente e que y é a variável dependente. Isso porque, em 
toda função, para encontrar o valor de y, devemos ter inicialmente o 
valor de x. 
Tipos de funções 
As funções podem ser classificadas em três tipos, a saber: 
Função injetora ou injetiva 
Nessa função, cada elemento do domínio (x) associa-se a um único 
elemento da imagem f(x). Todavia, podem existir elementos do 
contradomínio que não são imagem. Quando isso acontece, 
dizemos que o contradomínio e imagem são diferentes. Veja um 
exemplo: 
Conjunto dos elementos do domínio da função: D(f) = {-1,5, +2, +8} 
Conjunto dos elementos da imagem da função: Im(f) = {A, C, D} 
Conjunto dos elementos do contradomínio da função: CD(f) = {A, B, 
C, D} 
 
Função Sobrejetora ou sobrejetiva 
Na função sobrejetiva, todos os elementos do domínio possue um 
elemento na imagem. Pode acontecer de dois elementos do 
domínio possuírem a mesma imagem. Nesse caso, imagem e 
contradomínio possuem a mesma quantidade de elementos. 
Conjunto dos elementos do domínio da função: D(f) = {-10, 2, 8, 25} 
Conjunto dos elementos da imagem da função: Im (f) = {A, B, C} 
Conjunto dos elementos do contradomínio da função: CD (f) = {A, B, 
C} 
 
Função bijetora ou bijetiva 
Essa função é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora, pois, cada 
elemento de x relaciona-se a um único elemento de f(x). Nessa 
função, não acontece de dois números distintos possuírem a 
mesma imagem, e o contradomínio e a imagem possuem a mesma 
quantidade de elementos. 
Conjunto dos elementos do domínio da função: D(f) = {-12, 0, 1, 5} 
Conjunto dos elementos da imagem da função: Im (f) = {A, B, C, D} 
Conjunto dos elementos do contradomínio da função: CD (f) = {A, B, 
C, D} 
 
As funções podem ser representadas graficamente. Para que isso 
seja feito, utilizamos duas coordenadas, que são x e y. O plano 
desenhado é bidimensional. A coordenada x é chamada de 
abscissa e a y, de ordenada. Juntas em funções, elas formam leis 
de formação. Veja a imagem do gráfico do eixo x e y: 
 
Do último ano do Fundamental e ao longo do Ensino Médio, 
geralmente estudamos doze funções, que são: 
1 – Função constante; 
2 – Função par; 
3 – Função ímpar; 
4 – Função afim ou polinomial do primeiro grau; 
5 – Função Linear; 
6 – Função crescente; 
7 – Função decrescente; 
8 – Função quadrática ou polinomial do segundo grau; 
9 – Função modular; 
10 – Função exponencial; 
11 – Função logarítmica; 
12 – Funções trigonométricas; 
13 – Função raiz. 
 Mostraremos agora o gráfico e a fórmula geral de cada uma 
das funções listadas acima: 
 
1 - Função constante 
Na função constante, todo valor do domínio (x) tem a mesma 
imagem (y). 
Fórmula geral da função constante: 
f(x) = c 
x = Domínio 
f(x)= Imagem 
c = constante, que pode ser qualquer número do conjunto dos reais. 
Exemplo de gráfico da função constante: f(x) = 2 
 
2 – Função Par 
A função par é simétrica em relação ao eixo vertical, ou seja, à 
ordenada y. Entenda simetria como sendo uma figura/gráfico que, 
ao dividi-la em partes iguais e sobrepô-las, as partes coincidem-se 
perfeitamente. 
http://www.brasilescola.com/matematica/numeros-reais.htm
http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-par-funcao-impar.htm
Fórmula geral da função par: 
f(x) = f(- x) 
x = domínio 
f(x) = imagem 
- x = simétrico do domínio 
Exemplo de gráfico da função par: f(x) = x
3
 
 
3 – Função ímpar 
A função ímpar é simétrica (figura/gráfico que, ao dividi-la em partes 
iguais e sobrepô-las, as partes coincidem-se perfeitamente) em 
relação ao eixo horizontal, ou seja, à abscissa x. 
Fórmula geral da função ímpar 
f(– x) = – f(x) 
– x = domínio 
f(– x) = imagem 
- f(x) = simétrico da imagem 
http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-par-funcao-impar.htm
Exemplo de gráfico da função ímpar: f(x) = 3x
 
4 – Função afim ou polinomial do primeiro grau 
Para saber se uma função é polinomial do primeiro grau, devemos 
observar o maior grau da variável x (termo desconhecido), que 
sempre deve ser igual a 1. Nessa função, o gráfico é uma reta. 
Além disso, ela possui: domínio x, imagem f(x) e coeficientes a e b. 
Fórmula geral da função afim ou polinomial do primeiro grau 
f(x) = ax + b 
x = domínio 
f(x) = imagem 
a = coeficiente 
b = coeficiente 
Exemplo de gráfico da função polinomial do primeiro grau: f(x) = 4x 
+ 1 
http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-de-primeiro-grau.htm
 
5 – Função Linear 
A função linear tem sua origem na função do primeiro grau (f(x) = ax 
+ b). Trata-se de um caso particular, pois b sempre será igual a 
zero. 
Fórmula geral da função linear 
f(x) = ax 
x = domínio 
f(x) = imagem 
a = coeficiente 
Exemplo de gráfico da função linear: f(x) = -x/3 
http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-linear.htm
 
6 – Função crescente 
A função polinomial do primeiro grau será crescente quando o 
coeficiente a for diferente de zero e maior que um (a > 1). 
Fórmula geral da função crescente 
f(x) = + ax + b 
x = domínio 
f(x) = imagem 
a = coeficiente sempre positivo 
b = coeficiente 
http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-crescente-funcao-decrescente.htm
Exemplo de gráfico da função crescente: f(x) = 5x
 
7 – Função decrescente 
Na função decrescente, o coeficiente a da função do primeiro grau 
(f(x) = ax + b) é sempre negativo. 
Fórmula geral da função decrescente 
f(x) = - ax + b 
x= domínio/ incógnita 
f(x) = imagem 
- a = coeficiente sempre negativo 
b = coeficiente 
Exemplo de gráfico da função decrescente: f(x) = - 5x 
 
8 – Função quadrática ou polinomial do segundo grau 
Identificamos que uma função é do segundo grau quando o maior 
expoente que acompanha a variável x (termo desconhecido) é 2. O 
gráfico da função polinomial do segundo grau sempre será uma 
parábola. A sua concavidade muda de acordo com o valor do 
coeficiente a. Sendo assim, se a é positivo, a concavidade é para 
cima e, se for negativo, é para baixo. 
Fórmula geral da função quadrática ou polinomial do segundo grau 
f(x) = ax
2
 + bx + c 
x = domínio 
f(x) = imagem 
a = coeficiente que determina a concavidade da parábola. 
b = coeficiente. 
c = coeficiente. 
Exemplo de gráfico da função polinomial do segundo grau: f(x) = 
x
2
 – 6x + 5 
 
9 – Função modular 
http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-segundo-grau.htm
http://www.brasilescola.com/matematica/concavidade-uma-parabola.htm
A função modular apresenta o módulo, que é considerado o valor 
absoluto de um número e é caracterizado por (| |). Como o módulo 
sempre é positivo, esse valor pode ser obtido tanto negativo quanto 
positivo. Exemplo: |x| = + x ou |x| = - x. 
Fórmula geral da função modular 
f(x) = x, se x≥ 0 
 
ou 
 
f(x) = – x, se x < 0 
x = domínio 
f(x) = imagem 
- x = simétrico do domínio 
Exemplo de gráfico da função modular: f(x) = 
 
10 – Função exponencial 
Uma função será considerada exponencial quando a variável x 
estiver no expoente em relação à base de um termo numérico ou 
algébrico. Caso esse termo seja maior que 1, o gráfico da função 
http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-modular.htm
http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-exponencial-1.htm
exponencial é crescente. Mas se o termo for um número entre 0 e 1, 
o gráfico da função exponencial é decrescente. 
Fórmula geral da função exponencial 
f(x) = a
x
 
a > 1 ou 0 < a < 1 
x = domínio 
f(x) = imagem 
a = Termo numérico ou algébrico 
Exemplo de gráfico da função exponencial crescente: f(x) = 
(2)
x, 
para a = 2 
 
Exemplo de gráfico da função exponencial decrescente: f(x) = 
(1/2)
x 
para a = ½ 
http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-exponencial-1.htm
 
11 - Função logarítmica 
Na função logarítmica, o domínio é o conjunto dos números reais 
maiores que zero e o contradomínio é o conjunto dos elementos 
dependentes da função, sendo todos números reais. 
Fórmula geral da função logarítmica 
f(x) = loga x 
a = base do logaritmo 
f(x) = Imagem/ logaritmando 
x = Domínio/ logaritmo 
Exemplo de gráfico da função logarítmica: f(x) = log10 (5x - 6) 
http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-logaritmica.htm
 
12 – Funções trigonométricas 
As funções trigonométricas são consideradas funções angulares e 
são utilizadas para o estudo dos triângulos e em fenômenos 
periódicos. Podem ser caracterizadas como razão de coordenadas 
dos pontos de um círculo unitário. As funções consideradas 
elementares são: 
- Seno: f(x) = sen x 
- Cosseno: f(x) = cos x 
- Tangente: f(x) = tg x 
Exemplo de gráfico da função trigonométrica seno: f(x) = sen (x + 2) 
http://www.brasilescola.com/matematica/funcoes-trigonometricas-1.htm
 
Exemplo de gráfico da função trigonométrica cosseno: f(x) = cos (x 
+ 2) 
 
Exemplo de gráfico da função tangente: f(x) = tg (x + 2) 
 
 
13 – Função raiz 
O que determina o domínio da função raiz é o termo n que faz parte 
do expoente. Se n for ímpar, o domínio (x) será o conjunto dos 
números reais; se n for par, o domínio (x) será somente os números 
reais positivos. Isso porque, quando o índice é par, o radicando 
(termo que fica dentro da raiz) não pode ser negativo. 
Fórmula geral da função raiz 
f(x) = x
 1/n
 
f(x) = Imagem 
x = domínio/ base 
1/n = expoente 
Exemplo de gráfico da função raiz: f(x) = (x)
1/2
 
 
 
 
FUNÇÃO CRESCENTE E FUNÇÃO DECRESCENTE 
As funções que são expressas pela lei de formação y = ax + b ou 
f(x) = ax + b, onde a e b pertencem ao conjunto dos números reais, 
com a ≠ 0, são consideradas funções do 1º grau. Esse tipo de 
função pode ser classificada de acordo com o valor do coeficiente a, 
se a > 0, a função é crescente, caso a < 0, a função se torna 
decrescente. 
 
Vamos analisar as seguintes funções f(x) = 3x e f(x) = –3x, com 
domínio no conjunto dos números reais, na medida em que os 
valores de x aumentam. 
Exemplo 1 
f(x) = 3x 
 
 
 
 
Note que à medida que os valores de x aumentam, os valores de y 
ou f(x) também aumentam, nesse caso dizemos que a função é 
crescente e a taxa de variação da função é igual a 3. 
Exemplo 2 
f(x) = –3x 
 
 
 
 
Nessa situação, à medida que os valores de x aumentam, os 
valores de y ou f(x) diminuem, então a função passa a ser 
decrescente e a taxa de variação tem valor igual a –3. 
 
Outro fato importante para designar uma função é o seu gráfico, 
note que quando a função é crescente o ângulo formado entre a 
reta da função e o eixo x (horizontal) é agudo (< 90º) e na função 
decrescente o ângulo formado é obtuso (> 90º). 
 
Então, a função é crescente no conjunto dos números reais (R), 
quando os valores de x1 e x2, sendo x1 < x2 resultar em f(x1) < 
f(x2). No caso da funçãodecrescente no conjunto dos reais, 
teremos x1 < x2 resultando em f(x1) > f(x2). 
Zero da função do 1º grau 
Para compreender o zero de uma função do 1º grau é necessário 
relembrar dois conceitos importantes: Função do 1º 
Grau e Equação do 1º Grau. 
Uma função do 1º grau pode ser escrita da seguinte maneira: 
 
Portanto, o zero de uma função do 1º grau é dado pela expressão: 
 
Logo, o zero da função é dado pelo valor de x que faz com que a 
função assuma o valor zero. Encontrar este valor de x é muito fácil, 
pois basta resolver a equação do 1º grau. 
 
Entretanto, devemos nos atentar para a representação geométrica 
do zero da função, para que possamos compreender como traçar o 
gráfico de forma correta. 
 
Veja os pontos marcados sobre o eixo x, note que esses pontos não 
possuem nenhum deslocamento vertical, ou seja, sua coordenada 
em relação ao eixo f(x) é nula, é zero. Portanto, quando se encontra 
http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/funcao-1-grau.htm
http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/funcao-1-grau.htm
http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/definicao-equacao-1-grau.htm
a raiz de uma função do 1º grau, ou o zero de uma função do 1º 
grau, determina-se em qual ponto a reta estará cortando o eixo x. 
Encontre o zero da seguinte função: f(x) = 2x-4. 
 
 
 
Note que o valor do coeficiente (a) é positivo, portanto esta é uma 
função crescente. Conhecendo o zero da função podemos esboçar 
o gráfico desta função. 
 
 
Funções, Inversa e Composta 
1 - FUNÇÃO INVERSA 
Dada uma função f : A B , se f é bijetora , então define-se a 
função inversa f 
-1
 como sendo a função de B em A , tal que f
 -1
 (y) = 
x . 
Veja a representação a seguir: 
 
É óbvio então que: 
a) para obter a função inversa , basta permutar as variáveis x e y . 
b) o domínio de f 
-1
 é igual ao conjunto imagem de f . 
c) o conjunto imagem de f
 -1
 é igual ao domínio de f . 
d) os gráficos de f e de f 
-1 
são curvas simétricas em relação à reta y 
= x ou seja , à bissetriz do primeiro quadrante . 
Exemplo: 
Determine a INVERSA da função definida por y = 2x + 3. 
Permutando as variáveis x e y, fica: x = 2y + 3 
Explicitando y em função de x, vem: 
2y = x - 3 y = (x - 3) / 2, que define a função inversa da função 
dada. 
O gráfico abaixo, representa uma função e a sua inversa. 
Observe que as curvas representativas de f e de f
-1
, são simétricas 
em relação à reta 
y = x, bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes. 
 
Exercício resolvido: 
A função f: R R , definida por f(x) = x
2
 : 
https://www.algosobre.com.br/images/stories/matematica/funcoes_09.gif
https://www.algosobre.com.br/images/stories/matematica/funcoes_10.gif
a) é inversível e sua inversa é f 
-1
 (x) = x 
b) é inversível e sua inversa é f 
-1
(x) = - x 
c) não é inversível 
d) é injetora 
e) é bijetora 
SOLUÇÃO: 
Já sabemos que somente as funções bijetoras são inversíveis, ou 
seja, admitem função inversa. Ora, a função f(x) = x
2
, definida em R 
- conjunto dos números reais - não é injetora, pois elementos 
distintos possuem a mesma imagem. Por exemplo, 
f(3) = f(-3) = 9. Somente por este motivo, a função não é bijetora e, 
em consequência, não é inversível. 
Observe também que a função dada não é sobrejetora, pois o 
conjunto imagem da função f(x) = x
2
 é o conjunto R 
+ 
dos números 
reais não negativos, o qual não coincide com o contradomínio dado 
que é 
igual a R. A alternativa correta é a letra C. 
2 - FUNÇÃO COMPOSTA 
Chama-se função composta ( ou função de função ) à função obtida 
substituindo-se a variável independente x , por uma função. 
Simbologia : fog (x) = f(g(x)) ou gof (x) = g(f(x)) . 
Veja o esquema a seguir: 
 
Obs : atente para o fato de que fog gof , ou seja, a operação " 
composição de funções " não é comutativa . 
Exemplo: 
Dadas as funções f(x) = 2x + 3 e g(x) = 5x, pede-se determinar 
gof(x) e fog(x). 
https://www.algosobre.com.br/images/stories/matematica/funcoes_11.gif
Teremos: 
gof(x) = g[f(x)] = g(2x + 3) = 5(2x + 3) = 10x + 15 
fog(x) = f[g(x)] = f(5x) = 2(5x) + 3 = 10x + 3 
Observe que fog gof . 
Exercícios resolvidos: 
1 - Sendo f e g duas funções tais que: f(x) = ax + b e g(x) = cx + d . 
Podemos afirmar que a igualdade gof(x) = fog(x) ocorrerá se e 
somente se: 
a) b(1 - c) = d(1 - a) 
b) a(1 - b) = d(1 - c) 
c) ab = cd 
d) ad = bc 
e) a = bc 
SOLUÇÃO: 
Teremos: 
fog(x) = f[g(x)] = f(cx + d) = a(cx + d) + b fog(x) = acx + ad + b 
gof(x) = g[f(x)] = g(ax + b) = c(ax + b) + d gof(x) = cax + cb + d 
Como o problema exige que gof = fog, fica: 
acx + ad + b = cax + cb + d 
Simplificando, vem: 
ad + b = cb + d 
ad - d = cb - b d(a - 1) = b(c - 1), que é equivalente a d(a - 1) = b(c 
- 1), o que nos leva a concluir que a alternativa correta é a letra A. . 
2 - Sendo f e g duas funções tais que fog(x) = 2x + 1 e g(x) = 2 - x 
então f(x) é: 
a) 2 - 2x 
b) 3 - 3x 
c) 2x - 5 
*d) 5 - 2x 
e) uma função par. 
SOLUÇÃO: 
Sendo fog(x) = 2x + 1, temos: f[g(x)] = 2x + 1 
Substituindo g(x) pelo seu valor, fica: f(2 - x) = 2x + 1 
Fazendo uma mudança de variável, podemos escrever 2 - x = u, 
sendo u a nova variável. Portanto, x = 2 - u. 
Substituindo, fica: 
f(u) = 2(2 - u) + 1 f(u) = 5 - 2u 
Portanto, f(x) = 5 - 2x , o que nos leva à alternativa D. 
Agora resolva esta: 
Dadas as funções f(x) = 4x + 5 e g(x) = 2x - 5k, ocorrerá gof(x) = 
fog(x) se e somente se k for igual a: 
*a) -1/3 
b) 1/3 
c) 0 
d) 1 
e) -1 
3.0 Função Afim 
 
Uma função definida por f: R→R chama-se afim quando existem 
constantes a, b que pertencem ao conjunto dos reais tais que f(x)= 
ax + b para todo x ∈ R. A lei que define função afim é: 
 
O gráfico de uma função afim é uma reta não perpendicular ao eixo 
Ox. 
 
Domínio: D = R 
Imagem: Im = R 
São casos particulares de função afim as funções lineares e 
constante. 
Função linear 
Uma função definida por f: R→R chama-se linear quando existe 
uma constante a ∈ R tal que f(x) = ax para todo x ∈ R. A lei que 
define uma função linear é a seguinte: 
 
O gráfico da função linear é uma reta, não perpendicular ao eixo Ox 
e que cruza a origem do plano cartesiano. 
 
Domínio: D = R 
Imagem: Im = R 
Função constante 
Uma função definida por f: R→R chama-se constante quando existe 
uma constante b R tal que f(x) = b para todo x ∈ R. A lei que define 
uma função constante é: 
 
O gráfico de uma função constante, é uma reta paralela ou 
coincidente ao eixo Ox q que cruza o eixo Oy no ponto de ordenada 
b. 
 
 
Coeficientes numéricos 
Cada coeficiente numérico de uma função caracteriza um elemento 
do gráfico dessa função. 
• Coeficiente a: coeficiente angular de uma reta. A é igual 
à tangente do ângulo que a reta faz com o eixo x. 
 
Quando a > 0, a função é crescente. 
Quando a < 0, a função é decrescente. 
 
• Coeficiente b: é a ordenada do ponto em que o gráfico de f cruza o 
eixo das ordenadas, ou seja, b = f(0). 
http://www.infoescola.com/trigonometria/tangente/
 
 
Função Quadrática 
 Definição 
 Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, 
qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = 
ax
2
 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a 0. 
 Vejamos alguns exemplos de função quadráticas: 
1. f(x) = 3x
2
 - 4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1 
2. f(x) = x
2
 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1 
3. f(x) = 2x
2
 + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5 
4. f(x) = - x
2
 + 8x, onde a = -1, b = 8 e c = 0 
5. f(x) = -4x
2
, onde a = - 4, b = 0 e c = 0 
 
Gráfico 
 O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax
2
 + bx + c, 
com a 0, é uma curva chamadaparábola. 
Exemplo: 
 Vamos construir o gráfico da função y = x
2
 + x: 
 Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor 
correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim 
obtidos. 
x y 
-3 6 
-2 2 
-1 0 
 
0 0 
1 2 
2 6Observação: 
 Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax
2
 + bx + c, 
notaremos sempre que: 
se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima; 
se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo; 
 
Zero e Equação do 2º Grau 
 Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = 
ax
2
 + bx + c , a 0, os números reais x tais que f(x) = 0. 
 Então as raízes da função f(x) = ax
2
 + bx + c são as soluções da 
equação do 2º grau ax
2
 + bx + c = 0, as quais são dadas pela 
chamada fórmula de Bhaskara: 
 
 Temos: 
 
Observação 
 A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende 
do valor obtido para o radicando , chamado 
discriminante, a saber: 
quando é positivo, há duas raízes reais e distintas; 
quando é zero, há só uma raiz real (para ser mais preciso, há 
duas raízes iguais); 
quando é negativo, não há raiz real 
Coordenadas do vértice da parábola 
 Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e 
um ponto de mínimo V; quando a < 0, a parábola tem concavidade 
voltada para baixo e um ponto de máximo V. 
Em qualquer caso, as coordenadas de V são . Veja os 
gráficos: 
 
 
 
 O conjunto-imagem Im da função y = ax
2
 + bx + c, a 0, é o 
conjunto dos valores que y pode assumir. Há duas possibilidades: 
1ª - quando a > 0, 
 
a > 0 
 
 
2ª quando a < 0, 
 
a < 0 
 
Construção da Parábola 
 É possível construir o gráfico de uma função do 2º grau sem 
montar a tabela de pares (x, y), mas seguindo apenas o roteiro de 
observação seguinte: 
O valor do coeficiente a define a concavidade da parábola; 
Os zeros definem os pontos em que a parábola intercepta o eixo 
dos x; 
O vértice V indica o ponto de mínimo (se a > 0), ou 
máximo (se a< 0); 
A reta que passa por V e é paralela ao eixo dos y é o eixo de 
simetria da parábola; 
Para x = 0 , temos y = a · 0
2
 + b · 0 + c = c; então (0, c) é o ponto 
em que a parábola corta o eixo dos y. 
Sinal 
 Consideramos uma função quadrática y = f(x) = ax
2
 + bx + c e 
determinemos os valores de x para os quais y é negativo e os 
valores de x para os quais y é positivos. 
 Conforme o sinal do discriminante = b
2
 - 4ac, podemos ocorrer 
os seguintes casos: 
1º - > 0 
 Nesse caso a função quadrática admite dois zeros reais distintos 
(x1 x2). a parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos e o sinal 
da função é o indicado nos gráficos abaixo: 
 
quando a > 0 
y > 0 (x < x1 ou x > x2) 
y < 0 x1 < x < x2 
 
 
quando a < 0 
y > 0 x1 < x < x2 
y < 0 (x < x1 ou x > x2) 
 2º - = 0 
 
quando a > 0 
 
 
 
quando a < 0 
 
 3º - < 0 
 
quando a > 0 
 
 
quando a < 0 
 
 
4.0 Função Exponencial 
Uma função é uma maneira de associar a cada valor do argumento 
x um único valor da função f(x). 
Isto pode ser feito especificando através de uma fórmula 
um relacionamento gráfico entre diagramas representando os dois 
conjuntos, e/ou uma regra de associação, mesmo uma tabela de 
correspondência pode ser construída; entre conjuntos numéricos é 
comum representarmos funções por seus gráficos, cada par de 
elementos relacionados pela função determina um ponto nesta 
representação, a restrição de unicidade da imagem implica em um 
único ponto da função em cada linha de chamada do valor 
independente x. 
As funções exponenciais são aquelas que crescem ou decrescem 
muito rapidamente. Elas desempenham papéis fundamentais na 
Matemática e nas ciências envolvidas com ela, como: Física, 
Química, Engenharia, Astronomia, Economia, Biologia, Psicologia e 
outras. 
A função exponencial é a definida como sendo a inversa da função 
logarítmica natural, isto é: 
 
 
Podemos concluir, então, que a função exponencial é definida por: 
 
GRÁFICOS DA FUNÇÃO EXPONENCIAL 
 Função exponencial 
 0 < a < 1 
 Função exponencial 
 a > 1 
f: lR lR 
 x a
x
 
 
Domínio = lR 
Contradomínio = lR
+
 
f é injectiva 
f(x) > 0 , ⍱ x Є lR 
f é continua e diferenciável em lR 
A função é estritamente decrescente. 
limx→ -∞ a
x 
= + ∞ 
 f: lR lR 
 x a
x
 
 
Domínio = lR 
Contradomínio = lR
+
 
f é injectiva 
f(x) > 0 , ⍱ x Є lR 
f é continua e diferenciável em lR 
A função é estritamente crescente. 
limx→ +∞ a
x 
= + ∞ 
limx→ +∞ a
x
 = 0 
y = 0 é assimptota horizontal 
limx→ -∞ a
x
 = 0 
y = 0 é assimptota horizontal 
PROPRIEDADES DA FUNÇÃO EXPONENCIAL 
Se a, x e y são dois números reais quaisquer e k é um número 
racional, então: 
a
x
 a
y
= a
x + y
 
a
x
 / a
y
= a
x – y
 
(a
x
) 
y
= a
x.y
 
(a b)
x
 = a
x
 b
x
 
(a / b)
x
 = a
x
 / b
x
 
a
-x
 = 1 / a
x
 
Estas relações também são válidas para exponenciais de base e (e 
= número de Euller = 2,718…) 
y = e
x
 se, e somente se, x = ln(y) 
ln(e
x
) =x 
e
x+y
= e
x
.e
y
 
e
x-y
 = e
x
/e
y
 
e
x.k
 = (e
x
)
k
 
A CONSTANTE DE EULER 
Existe uma importantíssima constante matemática definida por 
e = exp(1) 
O número e é um número irracional e positivo e em função da 
definição da função exponencial, temos que: 
Ln(e) = 1 
Este número é denotado por e em homenagem ao matemático 
suíço Leonhard Euler (1707-1783), um dos primeiros a estudar as 
propriedades desse número. 
O valor deste número expresso com 40 dígitos decimais, é: 
e = 2,718281828459045235360287471352662497757 
Se x é um número real, a função exponencial exp(.) pode ser escrita 
como a potência de base e com expoente x, isto é: 
e
x
 = exp(x) 
CONCLUSÃO 
Podemos dizer que as funções são utilizadas no nosso dia a dia. 
Em cálculos rotineiros como em juros, produtividade de uma 
empresa… 
A função pode ser expressa graficamente, o que facilita a 
visualização do cálculo. 
 
 
EXERCÍCIOS 
(PUC-RJ 2012) 
A equação 2x2−14=11024 . A soma das duas soluções é 
a) – 5 
b) 0 
c) 2 
d) 14 
e) 1024 
Resposta: 
Letra B. 
Reduzindo à mesma base e igualando os expoentes, obtemos: 
2x2−14=11024 
2x2−14=2−10 
x2−14=−10 
x2−4=0 
x=±4√ 
x=±2 
 
Como a questão pede a soma, + 2 + (-2) = 0. 
 
(CFTMG 2013) O produto das raízes da equação 
exponencial 3∙9x−10∙3x+3=0 é igual a 
a) –2. 
b) –1. 
c) 0. 
d) 1. 
Resposta: 
Letra B. 
3∙(3x)2−10∙3x+3=0 
3x=10±86 
3x=3 ou 3x=3−1 
 
Logo, o produto das raízes será dado por 1 ∙ (-1) = -1. 
 
(UFSJ 2012) A interseção dos gráficos das 
funções h(x)=2x+1 e s(x)=2x+1 é o ponto que tem a soma de suas 
coordenadas igual a 
a) 2 e pertence à reta v = x + 2 
b) 1 e pertence à reta v = x + 1 
c) 2 e pertence à reta v = x - 2 
d) 1 e pertence à reta v = x - 1 
 
Resposta: 
Letra A. 
Igualando as funções, temos: 
2x+1=2x+1 
2x+1=2x∙2 
2x=1 
 
Então a soma de suas coordenadas é 2 e este ponto pertence à 
reta v = x + 2. 
Podemos novamente observar essa solução graficamente, veja: 
: 
 
5.0 FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
Toda função definida pela lei de formação f(x) = logax, com a ≠ 1 e a 
> 0 é denominada função logarítmica de base a. Nesse tipo de 
função o domínio é representado pelo conjunto dos números reais 
maiores que zero e o contradomínio, o conjunto dos reais. 
 
Exemplos de funções logarítmicas: 
 
f(x) = log2x 
f(x) = log3x 
f(x) = log1/2x 
f(x) = log10x 
f(x) = log1/3x 
f(x) = log4x 
f(x) = log2(x – 1) 
f(x) = log0,5x 
 
 
Determinando o domínio da função logarítmica 
 
Dada a função f(x) = log(x – 2) (4 – x), temos as seguintes restrições: 
 
1) 4 – x > 0 → – x > – 4 → x < 4 
2) x – 2 > 0 → x > 2 
3) x – 2 ≠ 1 → x ≠ 1+2 → x ≠ 3 
 
Realizando a intersecção das restrições 1, 2 e 3, temos o seguinte 
resultado: 2 < x < 3 e 3 < x < 4. 
 
Dessa forma, D = {x ? R / 2 < x < 3 e 3 < x < 4} 
 
 
Gráfico de uma função logarítmica 
 
Para a construção do gráfico da função logarítmica devemos estar 
atentos a duas situações: 
 
? a > 1 
 
? 0 < a < 1 
 
 
Para a > 1, temos ográfico da seguinte forma: 
Função crescente 
 
Para 0 < a < 1, temos o gráfico da seguinte forma: 
Função decrescente 
 
 
 
Características do gráfico da função logarítmica y = logax 
 
O gráfico está totalmente à direita do eixo y, pois ela é definida para 
x > 0. 
 
Intersecta o eixo das abscissas no ponto (1,0), então a raiz da 
função é x = 1. 
 
Note que y assume todos as soluções reais, por isso dizemos que a 
Im(imagem) = R. 
 
 
Através dos estudos das funções logarítmicas, chegamos à 
conclusão de que ela é uma função inversa da exponencial. 
Observe o gráfico comparativo a seguir: 
 
Podemos notar que (x,y) está no gráfico da função logarítmica se o 
seu inverso (y,x) está na função exponencial de mesma base. 
 
Inequação logarítmica 
O cálculo logarítmico surgiu no século XVII com a grande expansão 
do comércio, assim como da evolução científica. Durante os três 
primeiros séculos a partir dali, o cálculo logarítmico – e exponencial 
– tornou-se uma ferramenta de suporte par cálculos mais 
sofisticados. A ideia dos logarítmicos era tornar simples operações 
complexas de multiplicação e divisão. Muito da evolução da 
matemática e das ciências que dela dependem é atribuído 
aos logaritmos. 
Inequação logarítmica 
Uma desigualdade cuja incógnita aparece no logaritmando ou na 
base de ao menos um dos logaritmos é chamada de inequação 
logarítmica. Veja os exemplos: 
 
http://www.infoescola.com/matematica/logaritmo/
http://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2013/12/inequacao-logaritmicas.jpg
Resolução de inequações logarítmicas 
A resolução de uma inequação logarítmica depende de alguns 
fatores. Siga os passos seguintes: 
Condição de existência: antes de prosseguir com a resolução, 
procure a (s) condição (ões) de existência (s) dos logaritmos. 
Lembre-se de que em , a > 0 e a ≠ 1, N > 0. Essas são as 
condições de existência. 
Base: caso alguma base seja diferente, converta-a a mesma base e 
em seguida forme uma inequação com logaritmandos. 
Função crescente: se a > 1, mantem-se a direção do sinal inicial. 
Função decrescente: se 0 < a < 1, inverte a direção do sinal inicial. 
Solução final: a solução é dada pela interseção das condições de 
existência pelo resultado da inequação. 
Para praticar os passos anteriores, vamos resolver as inequações 
exemplificadas no início deste trabalho. 
 
Condição de existência: 
x – 1 > 0 → x > 1 (S1) 
 → como a > 1 mantem-se a direção inicial do 
sinal. 
x – 1 < 3 
x < 4 (S2) 
S = S1 ∩ S2 → a solução final é a interseção das soluções 1 e 2. 
S = {x ∈ R | 1 < x < 4} 
 
Condição de existência: 
2x + 1 > 0 → 2x > – 1 → x = (S1) 
Veja que no 2º membro da desigualdade não temos um logaritmo. 
Porém, podemos escrever o número 1 em forma de logaritmo, 
dessa forma igualando as bases: . A Base 3 foi escrita 
intencionalmente, para se igualar a base do logaritmo escrito no 1º 
membro. Reescrevendo a inequação: 
 → como a > 1 mantem-se a direção inicial do 
sinal. 
2x + 1 ≤ 3
1 
→ 2x ≤ 3 – 1 
2x ≤ 2 → x ≤ 1. 
S = S1 ∩ S2 → a solução final é a interseção das soluções 1 e 2. 
S = {x ∈ R | < x ≤ 1} 
 
Condição de existência: 
x + 1 > 0 → x > – 1 (S1) 
Da mesma forma que na inequação anterior, podemos escrever o – 
1 na forma de logaritmo. Mas antes perceba que (0,5) = . Desta 
forma, escreve-se –1 em forma de logaritmo na base 
: . Reescrevendo a inequação: 
 → como 0 < a < 1, inverte-se a direção inicial 
do sinal. 
 → x + 1 < 2 
x < 2 – 1 → x < 1 (S2) 
S = S1 ∩ S2 → a solução final é a interseção das soluções 1 e 2. 
S = {x ∈ R | – 1 < x < 1} 
 
Condições de existência: 
x – 7 > 0 → x > 7 (S1) 
3x + 1 > 0 → 3x > – 1 → x > (S2) 
 → como 0 < a <1 inverte-se a direção inicial 
do sinal. 
x – 7 < 3x + 1 → x – 3x < 1 + 7 
–2x < 8 → 2x > – 8 → x > – 4 (S3) 
S = S1 ∩ S2 ∩ S3 → a solução final é a interseção das soluções 
1, 2 e 3. 
S = {x ∈ R | x > 7} 
“Recomece sempre que precisar, pois a cada recomeço nascem 
novas esperanças de sucesso”. 
(Robison Sá) 
Referências bibliográficas: 
YOUSSEF, Antonio Nicolau (et al.). Matemática: ensino médio, 
volume único. – São Paulo: Scipione, 2005. 
IEZZI, Gelson (et al.). Matemática: ciência e aplicações, 1: ensino 
médio. – 6. ed. – São Paulo: Saraiva, 2010. 
 
6.0 Razões trigonométricas 
 
Catetos e Hipotenusa 
 Em um triângulo chamamos o lado oposto ao ângulo reto 
de hipotenusa e os lados adjacentes decatetos. 
 Observe a figura: 
 
Hipotenusa: 
Catetos: e 
 
Seno, Cosseno e Tangente 
 Considere um triângulo retângulo BAC: 
 
Hipotenusa: , m( ) = 
a. 
Catetos: , m( ) = 
b. 
 , m( ) = 
c. 
Ângulos: , e . 
 Tomando por base os elementos desse triângulo, podemos definir 
as seguintes razões trigonométricas: 
 Seno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto 
oposto a esse ângulo e a medida da hipotenusa. 
 
 Assim: 
 
 
 
 
 Cosseno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do 
cateto adjacente a esse ângulo e a medida da hipotenusa. 
 
 Assim: 
 
 
 
 
 
Tangente 
 Tangente de um ângulo agudo é a razão entre a medida do 
cateto oposto e a medida do cateto adjacente a esse ângulo. 
 
 Assim: 
 
 
 
 
 Exemplo: 
 
 
 
 Observações: 
 1. A tangente de um ângulo agudo pode ser definida como a 
razão entre seno deste ângulo e o seu cosseno. 
 Assim: 
 
 2. A tangente de um ângulo agudo é um número real positivo. 
 3. O seno e o cosseno de um ângulo agudo são sempre números 
reais positivos menores que 1, pois qualquer cateto é sempre 
menor que a hipotenusa. 
 
As razões trigonométricas de 30º, 45º e 60º 
 Considere as figuras: 
 
 quadrado de lado l e diagonal 
Triângulo eqüilátero de 
lado I e altura 
 
Seno, cosseno e tangente de 30º 
 Aplicando as definições de seno, cosseno e tangente para os 
ângulos de 30º, temos: 
 
 
 
 Seno, cosseno e tangente de 45º 
 Aplicando as definições de seno, cosseno e tangente´para um 
ângulo de 45º, temos: 
 
 
 
Seno, cosseno e tangente de 60º 
 Aplicando as definições de seno, cosseno e tangente para um 
ângulo de 60º, temos: 
 
 
 
 Resumindo 
x sen x cos x tg x 
30º 
 
 
45º 
 
 
60º 
 
 
 
 
7.0 Análise Combinatória 
 
Introdução à Análise Combinatória 
Análise Combinatória é um conjunto de procedimentos que 
possibilita a construção de grupos diferentes formados por um 
número finito de elementos de um conjunto sob certas 
circunstâncias. 
Na maior parte das vezes, tomaremos conjuntos Z com m 
elementos e os grupos formados com elementos de Z terão p 
elementos, isto é, p será a taxa do agrupamento, com p<m. 
Arranjos, Permutações ou Combinações, são os três tipos principais 
de agrupamentos, sendo que eles podem ser simples, com 
repetição ou circulares. Apresentaremos alguns detalhes de tais 
agrupamentos. 
Observação: É comum encontrarmos na literatura termos como: 
arranjar, combinar ou permutar, mas todo o cuidado é pouco com 
os mesmos, que às vezes são utilizados em concursos em uma 
forma dúbia! 
 
 
Arranjos 
São agrupamentos formados com p elementos, (p<m) de forma que 
os p elementos sejam distintos entre sí pela ordem ou pela espécie. 
Os arranjos podem ser simples ou com repetição. 
Arranjo simples: Não ocorre a repetição de qualquer elemento em 
cada grupo de p elementos. 
Fórmula: As(m,p) = m!/(m-p)! 
Cálculo para o exemplo: As(4,2) = 4!/2!=24/2=12. 
Exemplo: Seja Z={A,B,C,D}, m=4 e p=2. Os arranjos simples 
desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 12 grupos que não podem 
ter a repetição de qualquer elemento mas que podem aparecer na 
ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto: 
As={AB,AC,AD,BA,BC,BD,CA,CB,CD,DA,DB,DC} 
Arranjo com repetição: Todos os elementos podem aparecer 
repetidos em cada grupo de p elementos. 
Fórmula: Ar(m,p) =m
p
. 
Cálculo para o exemplo: Ar(4,2) = 4
2
=16. 
Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. Os arranjos com repetição 
desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 16 grupos que onde 
aparecem elementos repetidos em cada grupo. Todos os 
agrupamentos estão no conjunto: 
Ar={AA,AB,AC,AD,BA,BB,BC,BD,CA,CB,CC,CD,DA,DB,DC,DD} 
Arranjo condicional: Todos os elementos aparecem em cada grupo 
de p elementos, mas existe uma condição que deve ser satisfeita 
acerca de alguns elementos. 
Fórmula: N=A(m1,p1).A(m-m1,p-p1) 
Cálculo para o exemplo: N=A(3,2).A(7-3,4-
2)=A(3,2).A(4,2)=6×12=72. 
Exemplo: Quantos arranjos com 4 elementos do conjunto 
{A,B,C,D,E,F,G}, começam com duas letras escolhidas no 
subconjunto {A,B,C}? 
Aqui temos um total de m=7 letras, a taxa é p=4, o subconjunto 
escolhido tem m1=3 elementos e a taxa que este subconjunto será 
formado é p1=2. Com as letras A,B e C, tomadas 2 a 2, temos 6 
grupos que estão no conjunto: 
PABC = {AB,BA,AC,CA,BC,CB} 
Com as letras D,E,F e G tomadas 2 a 2, temos 12 grupos que estão 
no conjunto: 
PDEFG = {DE,DF,DG,ED,EF,EG,FD,FE,FG,GD,GE,GF} 
Usando a regra do produto, teremos 72 possibilidades obtidas pela 
junção de um elemento do conjunto PABC com um elemento do 
conjunto PDEFG. Um típico arranjo para esta situação é CAFG. 
 
 
Permutações 
Quando formamos agrupamentos com m elementos, de forma que 
os m elementos sejam distintos entre sí pela ordem. As 
permutações podem ser simples, com repetição ou circulares. 
Permutação simples: São agrupamentos com todos os m elementos 
distintos. 
Fórmula: Ps(m) = m!. 
Cálculo para o exemplo: Ps(3) = 3!=6. 
Exemplo: Seja C={A,B,C} e m=3. As permutações simples desses 3 
elementos são 6 agrupamentos que não podem ter a repetição de 
qualquer elemento em cada grupo mas podem aparecer na ordem 
trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto: 
Ps={ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA} 
Permutação com repetição: Dentre os m elementos do conjunto 
C={x1,x2,x3,...,xn}, faremos a suposição que existem m1 iguais a x1, 
m2 iguais a x2, m3iguais a x3, ... , mn iguais a xn, de modo que 
m1+m2+m3+...+mn=m. 
Fórmula: Se m=m1+m2+m3+...+mn, então 
Pr(m)=C(m,m1).C(m-m1,m2).C(m-m1-m2,m3) ... C(mn,mn) 
Anagrama: Um anagrama é uma (outra) palavra construída com as 
mesmas letras da palavra original trocadas de posição. 
Cálculo para o exemplo: m1=4, m2=2, m3=1, m4=1 e m=6, logo: 
Pr(6)=C(6,4).C(6-4,2).C(6-4-1,1)=C(6,4).C(2,2).C(1,1)=15. 
Exemplo: Quantos anagramas podemos formar com as 6 letras da 
palavra ARARAT. A letra A ocorre 3 vezes, a letra R ocorre 2 vezes 
e a letra T ocorre 1 vez. As permutações com repetição desses 3 
elementos do conjunto C={A,R,T} em agrupamentos de 6 elementos 
são 15 grupos que contêm a repetição de todos os elementos de C 
aparecendo também na ordem trocada. Todos os agrupamentos 
estão no conjunto: 
Pr={AAARRT,AAATRR,AAARTR,AARRTA,AARTTA, 
AATRRA,AARRTA,ARAART,ARARAT,ARARTA, 
ARAATR,ARAART,ARAATR,ATAARA,ATARAR} 
Permutação circular: Situação que ocorre quando temos grupos 
com m elementos distintos formando uma circunferência de círculo. 
Fórmula: Pc(m)=(m-1)! 
Cálculo para o exemplo: P(4)=3!=6 
Exemplo: Seja um conjunto com 4 pessoas K={A,B,C,D}. De 
quantos modos distintos estas pessoas poderão sentar-se junto a 
uma mesa circular (pode ser retangular) para realizar o jantar sem 
que haja repetição das posições? 
Se considerássemos todas as permutações simples possíveis com 
estas 4 pessoas, teriamos 24 grupos, apresentados no conjunto: 
Pc={ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB,BACD,BADC, 
BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,CABD,CADB,CBAD,CBDA, 
CDAB,CDBA, DABC,DACB,DBAC,DBCA,DCAB,DCBA} 
Acontece que junto a uma mesa "circular" temos que: 
ABCD=BCDA=CDAB=DABC 
ABDC=BDCA=DCAB=CABD 
ACBD=CBDA=BDAC=DACB 
ACDB=CDBA=DBAC=BACD 
ADBC=DBCA=BCAD=CADB 
ADCB=DCBA=CBAD=BADC 
Existem somente 6 grupos distintos, dados por: 
Pc={ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB} 
 
 
Combinações 
Quando formamos agrupamentos com p elementos, (p<m) de forma 
que os p elementos sejam distintos entre sí apenas pela espécie. 
Combinação simples: Não ocorre a repetição de qualquer elemento 
em cada grupo de p elementos. 
Fórmula: C(m,p) = m!/[(m-p)! p!] 
Cálculo para o exemplo: C(4,2)=4!/[2!2!]=24/4=6 
Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. As combinações simples 
desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 6 grupos que não podem ter 
a repetição de qualquer elemento nem podem aparecer na ordem 
trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto: 
Cs={AB,AC,AD,BC,BD,CD} 
Combinação com repetição: Todos os elementos podem aparecer 
repetidos em cada grupo até p vezes. 
Fórmula: Cr(m,p)=C(m+p-1,p) 
Cálculo para o exemplo: Cr(4,2)=C(4+2-1,2)=C(5,2)=5!/[2!3!]=10 
Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. As combinações com 
repetição desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 10 grupos que 
têm todas as repetições possíveis de elementos em grupos de 2 
elementos não podendo aparecer o mesmo grupo com a ordem 
trocada. De um modo geral neste caso, todos os agrupamentos 
com 2 elementos formam um conjunto com 16 elementos: 
Cr={AA,AB,AC,AD,BA,BB,BC,BD,CA,CB,CC,CD,DA,DB,DC,DD} 
mas para obter as combinações com repetição, deveremos excluir 
deste conjunto os 6 grupos que já apareceram antes, pois AB=BA, 
AC=CA, AD=DA, BC=CB, BD=DB e CD=DC, assim as 
combinações com repetição dos elementos de C tomados 2 a 2, 
são: 
Cr={AA,AB,AC,AD,BB,BC,BD,CC,CD,DD} 
 
 
Regras gerais sobre a Análise Combinatória 
Problemas de Análise Combinatória normalmente são muito difíceis 
mas eles podem ser resolvidos através de duas regras básicas: a 
regra da soma e a regra do produto. 
Regra da soma: A regra da soma nos diz que se um elemento pode 
ser escolhido de m formas e um outro elemento pode ser escolhido 
de n formas, então a escolha de um ou outro elemento se realizará 
de m+n formas, desde que tais escolhas sejam independentes, isto 
é, nenhuma das escolhas de um elemento pode coincidir com uma 
escolha do outro. 
Regra do Produto: A regra do produto diz que se um elemento H 
pode ser escolhido de m formas diferentes e se depois de cada uma 
dessas escolhas, um outro elemento M pode ser escolhido de n 
formas diferentes, a escolha do par (H,M) nesta ordem poderá ser 
realizada de m.n formas. 
Exemplo: Consideremos duas retas paralelas ou concorrentes sem 
que os pontos sob análise estejam em ambas, sendo que a 
primeira r contem m pontos distintos marcados por r1, r2, r3, ..., rm e 
a segunda s contem n outros pontos distintos marcados por s1, s2, 
s3, ..., sn. De quantas maneiras podemos traçar segmentos de retas 
com uma extremidade numa reta e a outra extremidade na outra 
reta? 
 
É fácil ver isto ligando r1 a todos os pontos de s e assim teremos n 
segmentos, depois ligando r2 a todos os pontos de s e assim 
teremos n segmentos, e continuamos até o último ponto para obter 
também n segmentos. Como existem m pontos em r e n pontos em 
s, teremos m.n segmentos possíveis. 
 
 
Número de Arranjos simples 
Seja C um conjunto com m elementos. De quantas maneiras 
diferentes poderemos escolher p elementos (p<m) deste conjunto? 
Cada uma dessas escolhas será chamada um arranjo de m 
elementos tomados p a p. Construiremos uma sequência com os m 
elementos de C. 
c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm 
Cada vez que um elemento for retirado, indicaremos esta operação 
com a mudança da cor do elemento para a cor vermelha. 
Para escolher o primeiro elemento do conjunto C que possui m 
elementos, temos m possibilidades. Vamos supor que a escolha 
tenha caído sobre o m-ésimo elemento de C. 
c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm 
Para escolher o segundo elemento, devemos observar o que 
sobrou no conjunto e constatamos que agora existem apenas m-1 
elementos. Suponhamos que tenha sido retirado o último elemento 
dentre os que sobraram no conjunto C. O elemento retirado na 
segunda fase é o (m-1)-ésimo. 
c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm 
Após a segunda retirada, sobraram m-2 possibilidades para a 
próxima retirada. Do que sobrou, se retirarmoso terceiro elemento 
como sendo o de ordem (m-2), teremos algo que pode ser 
visualizado como: 
c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm 
Se continuarmos o processo de retirada, cada vez teremos 1 
elemento a menos do que na fase anterior. Para retirar o p-ésimo 
elemento, restarão m-p+1 possibilidades de escolha. 
Para saber o número total de arranjos possíveis de m elementos 
tomados p a p, basta multiplicar os números que aparecem na 
segunda coluna da tabela abaixo: 
Retirada Número de possibilidades 
1 m 
2 m-1 
3 m-2 
... ... 
p m-p+1 
No.de arranjos m(m-1)(m-2)...(m-p+1) 
Denotaremos o número de arranjos de m elementos tomados p a p, 
por A(m,p) e a expressão para seu cálculo será dada por: 
A(m,p) = m(m-1)(m-2)...(m-p+1) 
Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso alfabeto. Quais e 
quantas são as possibilidades de dispor estas 5 vogais em grupos 
de 2 elementos diferentes? O conjunto solução é: 
{AE,AI,AO,AU,EA,EI,EO,EU,IA,IE, 
IO,IU,OA,OE,OI,OU,UA,UE,UI,UO} 
A solução numérica é A(5,2)=5×4=20. 
Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso alfabeto. Quais e 
quantas são as possibilidades de dispor estas 5 vogais em grupos 
de 2 elementos (não necessariamente diferentes)? 
Sugestão: Construir uma reta com as 5 vogais e outra reta paralela 
à anterior com as 5 vogais, usar a regra do produto para concluir 
que há 5x5=25 possibilidades. 
O conjunto solução é: 
{AA,AE,AI,AO,AU,EA,EE,EI,EO,EU,IA,IE,II, 
IO,IU,OA,OE,OI,OO,OU,UA,UE,UI,UO,UU} 
Exemplo: Quantas placas de carros podem existir no atual sistema 
brasileiro de trânsito que permite 3 letras iniciais e 4 algarismos no 
final? 
XYZ-1234 
Sugestão: Considere que existem 26 letras em nosso alfabeto que 
podem ser dispostas 3 a 3 e 10 algarismos que podem ser 
dispostos 4 a 4 e em seguida utilize a regra do produto. 
 
 
Número de Permutações simples 
Este é um caso particular de arranjo em que p=m. Para obter o 
número de permutações com m elementos distintos de um conjunto 
C, basta escolher os m elementos em uma determinada ordem. A 
tabela de arranjos com todas as linhas até a ordem p=m, permitirá 
obter o número de permutações de m elementos: 
Retirada Número de possibilidades 
1 m 
2 m-1 
... ... 
p m-p+1 
... ... 
m-2 3 
m-1 2 
m 1 
No.de permutações m(m-1)(m-2)...(m-p+1)...4.3.2.1 
Denotaremos o número de permutações de m elementos, por P(m) 
e a expressão para seu cálculo será dada por: 
P(m) = m(m-1)(m-2) ... (m-p+1) ... 3 . 2 . 1 
Em função da forma como construímos o processo, podemos 
escrever: 
A(m,m) = P(m) 
Como o uso de permutações é muito intenso em Matemática e nas 
ciências em geral, costuma-se simplificar a permutação de m 
elementos e escrever simplesmente: 
P(m) = m! 
Este símbolo de exclamação posto junto ao número m é lido 
como: fatorial de m, onde m é um número natural. 
Embora zero não seja um número natural no sentido que tenha tido 
origem nas coisas da natureza, procura-se dar sentido para a 
definição de fatorial de m de uma forma mais ampla, incluindo m=0 
e para isto podemos escrever: 
0!=1 
Em contextos mais avançados, existe a função gama que 
generaliza o conceito de fatorial de um número real, excluindo os 
inteiros negativos e com estas informações pode-se demonstrar que 
0!=1. 
O fatorial de um número inteiro não negativo pode ser definido de 
uma forma recursiva através da função P=P(m) ou com o uso do 
sinal de exclamação: 
(m+1)! = (m+1).m!, 0! = 1 
Exemplo: De quantos modos podemos colocar juntos 3 livros A, B e 
C diferentes em uma estante? O número de arranjos é P(3)=6 e o 
conjunto solução é: 
P={ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA} 
Exemplo: Quantos anagramas são possíveis com as letras da 
palavra AMOR? O número de arranjos é P(4)=24 e o conjunto 
solução é: 
P={AMOR,AMRO,AROM,ARMO,AORM,AOMR,MARO,MAOR, 
MROA,MRAO,MORA,MOAR,OAMR,OARM,ORMA,ORAM, 
OMAR,OMRA,RAMO,RAOM,RMOA,RMAO,ROAM,ROMA} 
 
 
Número de Combinações simples 
Seja C um conjunto com m elementos distintos. No estudo de 
arranjos, já vimos antes que é possível escolher p elementos de A, 
mas quando realizamos tais escolhas pode acontecer que duas 
coleções com p elementos tenham os mesmos elementos em 
ordens trocadas. Uma situação típica é a escolha de um casal 
(H,M). Quando se fala casal, não tem importância a ordem da 
posição (H,M) ou (M,H), assim não há a necessidade de escolher 
duas vezes as mesmas pessoas para formar o referido casal. Para 
evitar a repetição de elementos em grupos com a mesma 
quantidade p de elementos, introduziremos o conceito de 
combinação. 
Diremos que uma coleção de p elementos de um conjunto C com m 
elementos é uma combinação de m elementos tomados p a p, se as 
coleções com p elementos não tem os mesmos elementos que já 
apareceram em outras coleções com o mesmo número p de 
elementos. 
Aqui temos outra situação particular de arranjo, mas não pode 
acontecer a repetição do mesmo grupo de elementos em uma 
ordem diferente. 
Isto significa que dentre todos os A(m,p) arranjos com p elementos, 
existem p! desses arranjos com os mesmos elementos, assim, 
para obter a combinação de m elementos tomados p a p, 
deveremos dividir o número A(m,p) por m! para obter apenas o 
número de arranjos que contem conjuntos distintos, ou seja: 
C(m,p) = A(m,p) / p! 
Como 
A(m,p) = m.(m-1).(m-2)...(m-p+1) 
então: 
C(m,p) = [ m.(m-1).(m-2). ... .(m-p+1)] / p! 
que pode ser reescrito 
C(m,p)=[m.(m-1).(m-2)...(m-p+1)]/[(1.2.3.4....(p-1)p] 
Multiplicando o numerador e o denominador desta fração por 
(m-p)(m-p-1)(m-p-2)...3.2.1 
que é o mesmo que multiplicar por (m-p)!, o numerador da fração 
ficará: 
m.(m-1).(m-2).....(m-p+1)(m-p)(m-p-1)...3.2.1 = m! 
e o denominador ficará: 
p! (m-p)! 
Assim, a expressão simplificada para a combinação de m 
elementos tomados p a p, será uma das seguintes: 
 
 
 
Número de arranjos com repetição 
Seja C um conjunto com m elementos distintos e considere p 
elementos escolhidos neste conjunto em uma ordem determinada. 
Cada uma de tais escolhas é denominada um arranjo com repetição 
de m elementos tomados p a p. Acontece que existem m 
possibilidades para a colocação de cada elemento, logo, o número 
total de arranjos com repetição de m elementos escolhidos p a p é 
dado por m
p
. Indicamos isto por: 
Arep(m,p) = m
p
 
 
 
 
 
 
Número de permutações com repetição 
Consideremos 3 bolas vermelhas, 2 bolas azuis e 5 bolas amarelas. 
Coloque estas bolas em uma ordem determinada. Iremos obter o 
número de permutações com repetição dessas bolas. Tomemos 10 
compartimentos numerados onde serão colocadas as bolas. 
Primeiro coloque as 3 bolas vermelhas em 3 compartimentos, o que 
dá C(10,3) possibilidades. Agora coloque as 2 bolas azuis nos 
compartimentos restantes para obter C(10-3,2) possibilidades e 
finalmente coloque as 5 bolas amarelas. As possibilidades são 
C(10-3-2,5). 
O número total de possibilidades pode ser calculado como: 
 
Tal metodologia pode ser generalizada. 
 
 
Número de combinações com repetição 
Considere m elementos distintos e ordenados. Escolha p elementos 
um após o outro e ordene estes elementos na mesma ordem que os 
elementos dados. O resultado é chamado uma combinação com 
repetição de m elementos tomados p a p. Denotamos o número 
destas combinações por Crep(m,p). Aqui a taxa p poderá ser maior 
do que o número m de elementos. 
Seja o conjunto A=(a,b,c,d,e) e p=6. As coleções (a,a,b,d,d,d), 
(b,b,b,c,d,e) e (c,c,c,c,c,c) são exemplos de combinações com 
repetição de 5 elementos escolhidos 6 a 6. 
Podemos representar tais combinações por meio de símbolos # e 
vazios Ø onde cada ponto # é repetido (e colocado junto) tantas 
vezes quantas vezes aparece uma escolha do mesmo tipo, 
enquanto o vazio Ø serve para separar os objetos em função das 
suas diferenças 
(a,a,b,d,d,d) equivale a ##Ø#ØØ###Ø 
(b,b,b,c,d,e) equivale a Ø###Ø#Ø#Ø# 
(c,c,c,c,c,c) equivale a ØØ######ØØ 
Cada símbolo possui 10 lugares com exatamente 6# e 4Ø. Para 
cada combinação existe uma correspondência biunívocacom um 
símbolo e reciprocamente. Podemos construir um símbolo pondo 
exatamente 6 pontos em 10 lugares. Após isto, os espaços vazios 
são prenchidos com barras. Isto pode ser feito de C(10,6) modos. 
Assim: 
Crep(5,6) = C(5+6-1,6) 
Generalizando isto, podemos mostrar que: 
Crep(m,p) = C(m+p-1,p) 
 
 
Propriedades das combinações 
O segundo número, indicado logo acima por p é conhecido como 
a taxa que define a quantidade de elementos de cada escolha. 
Taxas complementares 
C(m,p)=C(m,m-p) 
Exemplo: C(12,10) = C(12,2)=66. 
 
 
Relação do triângulo de Pascal 
C(m,p)=C(m-1,p)+C(m-1,p-1) 
Exemplo: C(12,10)=C(11,10)+C(11,9)=605 
 
 
Número Binomial 
O número de combinações de m elementos tomados p a p, indicado 
antes por C(m,p) é chamado Coeficiente Binomial ou número 
binomial, denotado na literatura científica como: 
 
Exemplo: C(8,2)=28. 
Extensão: Existe uma importante extensão do conceito de número 
binomial ao conjunto dos números reais e podemos calcular o 
número binomial de qualquer número real r que seja diferente de 
um número inteiro negativo, tomado a uma taxa inteira p, somente 
que, neste caso, não podemos mais utilizar a notação de 
combinação C(m,p) pois esta somente tem sentido quando m e p 
são números inteiros não negativos. Como Pi=3,1415926535..., 
então: 
 
A função envolvida com este contexto é a função gama. Tais 
cálculos são úteis em Probabilidade e Estatística. 
 
 
Teorema Binomial 
Se m é um número natural, para simplificar um pouco as notações, 
escreveremos mp no lugar de C(m,p). Então: 
(a+b)
m
 = a
m
+m1a
m-1
b+m2a
m-2
b
2
+m3a
m-3
b
3
+...+mmb
m
 
Alguns casos particulares com m=2, 3, 4 e 5, são: 
(a+b)
2
 = a
2
 + 2ab + b
2
 
(a+b)
3
 = a
3
 + 3 a
2
b + 3 ab
2
 + b
3
 
(a+b)
4
 = a
4
 + 4 a
3
b + 6 a
2
b
2
 + 4 ab
3
 + b
4
 
(a+b)
5
 = a
5
 + 5 a
4
b + 10 a
3
b
2
 + 10 a
2
b
3
 + 5 ab
4
 + b
5
 
A demonstração segue pelo Princípio da Indução Matemática. 
Iremos considerar a Proposição P(m) de ordem m, dada por: 
P(m): (a+b)
m
=a
m
+m1a
m-1
b+m2a
m-2
b
2
+m3a
m-3
b
3
+...+mmb
m
 
P(1) é verdadeira pois (a+b)
1
 = a + b 
Vamos considerar verdadeira a proposição P(k), com k>1: 
P(k): (a+b)
k
=a
k
+k1a
k-1
b+k2a
k-2
b
2
+k3a
k-3
b
3
+...+kkb
k
 
para provar a propriedade P(k+1). 
Para que a proposição P(k+1) seja verdadeira, deveremos chegar à 
conclusão que: 
(a+b)
k+1
=a
k+1
+(k+1)1a
k
b+(k+1)2a
k-1
b
2
+...+(k+1)(k+1)b
k+1
 
(a+b)
k+1
= (a+b).(a+b)
k
 
= (a+b).[a
k
+k1a
k-1
b+k2a
k-2
b
2
+k3a
k-3
b
3
+...+kkb
k
] 
= 
a.[a
k
+k1a
k-1
b+k2a
k-2
 b
2
+k3a
k-3
b
3
+...+kkb
k
] 
+b.[a
k
+k1a
k-1
b+k2a
k-2
b
2
+k3a
k-3
b
3
+...+kk b
k
] 
= 
a
k+1
+k1a
k
b+k2a
k-1
b
2
+k3a
k-2
b
3
+...+kkab
k
 
+a
k
b+k1a
k-1
b
2
+k2a
k-2
 b
3
+k3a
k-3
b
4
+...+kkb
k+1
 
= 
a
k+1
+[k1+1]a
k
b+[k2+k1]a
k-1
b
2
+[k3+k2]a
k-2
b
3
 
+[k4+k3] a
k-3
b
4
+...+[kk-1+kk-2]a
2
b
k-1
+[kk+kk-1]ab
k
+kkb
k+1
 
= 
a
k+1
+[k1+k0] a
k
b+[k2+k1]a
k-1
b
2
+[k3+k2]a
k-2
b
3
 
+[k4+k3]a
k-3
b
4
+...+[kk-1+kk-2]a
2
b
k-1
+[kk+kk-1]ab
k
+kkb
k+1
 
Pelas propriedades das combinações, temos: 
k1+k0=C(k,1)+C(k,0)=C(k+1,1)=(k+1)1 
k2+k1=C(k,2)+C(k,1)=C(k+1,2)=(k+1)2 
k3+k2=C(k,3)+C(k,2)=C(k+1,3)=(k+1)3 
k4+k3=C(k,4)+C(k,3)=C(k+1,4)=(k+1)4 
... ... ... ... 
kk-1+kk-2=C(k,k-1)+C(k,k-2)=C(k+1,k-1)=(k+1)k-1 
kk+kk-1=C(k,k)+C(k,k-1)=C(k+1,k)=(k+1)k 
E assim podemos escrever: 
(a+b)
k+1
= 
a
k+1
+(k+1)1a
k
b + (k+1)2a
k-1
b
2
 + (k+1)3a
k-2
b
3
 
+(k+1)4a
k-3
b
4
 +...+ (k+1)k-1a
2
b
k-1
 + (k+1)kab
k
 + kkb
k+1
 
que é o resultado desejado. 
 
8.0 PROBABILIDADE 
 
 A história da teoria das probabilidades, teve início com os jogos 
de cartas, dados e de roleta. Esse é o motivo da grande existência 
de exemplos de jogos de azar no estudo da probabilidade. A teoria 
da probabilidade permite que se calcule a chance de ocorrência de 
um número em um experimento aleatório. 
 Experimento Aleatório 
 É aquele experimento que quando repetido em iguais condições, 
podem fornecer resultados diferentes, ou seja, são resultados 
explicados ao acaso. Quando se fala de tempo e possibilidades de 
ganho na loteria, a abordagem envolve cálculo de experimento 
aleatório. 
 Espaço Amostral 
 É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento 
aleatório. A letra que representa o espaço amostral, é S. 
 Exemplo: 
 Lançando uma moeda e um dado, simultaneamente, sendo S o 
espaço amostral, constituído pelos 12 elementos: 
 S = {K1, K2, K3, K4, K5, K6, R1, R2, R3, R4, R5, R6} 
1. Escreva explicitamente os seguintes eventos: A={caras e m 
número par aparece}, B={um número primo aparece}, 
C={coroas e um número ímpar aparecem}. 
2. Idem, o evento em que: 
a) A ou B ocorrem; 
b) B e C ocorrem; 
c) Somente B ocorre. 
3. Quais dos eventos A,B e C são mutuamente exclusivos 
 
Resolução: 
1. Para obter A, escolhemos os elementos de S constituídos de um K e um 
número par: A={K2, K4, K6}; 
Para obter B, escolhemos os pontos de S constituídos de números 
primos: B={K2,K3,K5,R2,R3,R5} 
Para obter C, escolhemos os pontos de S constituídos de um R e um 
número ímpar: C={R1,R3,R5}. 
2. (a) A ou B = AUB = {K2,K4,K6,K3,K5,R2,R3,R5} 
(b) B e C = B Ç C = {R3,R5} 
(c) Escolhemos os elementos de B que não estão em A ou C; 
B Ç Ac Ç Cc = {K3,K5,R2} 
3. A e C são mutuamente exclusivos, porque A Ç C = Æ 
 
Conceito de probabilidade 
Se em um fenômeno aleatório as possibilidades são igualmente 
prováveis, então a probabilidade de ocorrer um evento A é: 
 
Por, exemplo, no lançamento de um dado, um número par pode 
ocorrer de 3 maneiras diferentes dentre 6 igualmente prováveis, 
portanto, P = 3/6= 1/2 = 50% 
Dizemos que um espaço amostral S (finito) é equiprovável 
quando seus eventos elementares têm probabilidades iguais de 
ocorrência. 
Num espaço amostral equiprovável S (finito), a probabilidade de 
ocorrência de um evento A é sempre: 
 
Propriedades Importantes: 
1. Se A e A’ são eventos complementares, então: 
P( A ) + P( A' ) = 1 
2. A probabilidade de um evento é sempre um número 
entre Æ (probabilidade de evento impossível) e 1 (probabilidade 
do evento certo). 
 
 
Probabilidade Condicional 
 Antes da realização de um experimento, é necessário que já 
tenha alguma informação sobre o evento que se deseja 
observar. Nesse caso, o espaço amostral se modifica e o evento 
tem a sua probabilidade de ocorrência alterada. 
 Fórmula de Probabilidade Condicional 
 P(E1 e E2 e E3 e ...e En-1 e En) é igual a P(E1).P(E2/E1).P(E3/E1 e 
E2)...P(En/E1 e E2 e ...En-1). 
 Onde P(E2/E1) é a probabilidade de ocorrer E2, condicionada 
pelo fato de já ter ocorrido E1; 
P(E3/E1 e E2) é a probabilidade ocorrer E3, condicionada pelo fato 
de já terem ocorrido E1 e E2; 
P(Pn/E1 e E2 e ...En-1) é a probabilidade de ocorrer En, 
condicionada ao fato de já ter ocorrido E1 e E2...En-1. 
 
 Exemplo: 
 Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se 
ocorrer um sorteio de 2 bolas, uma de cada vez e sem reposição, 
qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda 
ser azul? 
 Resolução: 
 Seja o espaço amostral S=30 bolas, e considerarmos os 
seguintes eventos: 
 A: vermelha na primeira retirada e P(A) = 10/30 
 B: azul na segunda retirada e P(B) = 20/29 
 Assim: 
 P(A e B) = P(A).(B/A) = 10/30.20/29 = 20/87 
 
 Eventos independentes 
 Dizemos que E1 e E2 e ...En-1, En são eventos independentes 
quando a probabilidade de ocorrer um deles não depende do 
fato de os outros terem ou não terem ocorrido. 
 Fórmula da probabilidade dos eventos independentes: 
 P(E1 e E2 e E3 e ...e En-1 e En) = P(E1).P(E2).p(E3)...P(En) 
 
 Exemplo: 
Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se 
sortearmos 2 bolas, 1 de cada vez e repondo a sorteada na urna, 
qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a 
segunda ser azul? 
Resolução: 
Como os eventos são independentes,a probabilidade de sair 
vermelha na primeira retirada e azul na segunda retirada é igual 
ao produto das probabilidades de cada condição, ou seja, P(A e 
B) = P(A).P(B). Ora, a probabilidade de sair vermelha na primeira 
retirada é 10/30 e a de sair azul na segunda retirada 20/30. Daí, 
usando a regra do produto, temos: 10/30.20/30=2/9. 
Observe que na segunda retirada forma consideradas todas as 
bolas, pois houve reposição. Assim, P(B/A) =P(B), porque o fato 
de sair bola vermelha na primeira retirada não influenciou a 
segunda retirada, já que ela foi reposta na urna. 
 
Probabilidade de ocorrer a união de eventos 
Fórmula da probabilidade de ocorrer a união de eventos: 
P(E1 ou E2) = P(E1) + P(E2) - P(E1 e E2) 
De fato, se existirem elementos comuns a E1 e E2, estes eventos 
estarão computados no cálculo de P(E1) e P(E2). Para que sejam 
considerados uma vez só, subtraímos P(E1 e E2). 
Fórmula de probabilidade de ocorrer a união de eventos 
mutuamente exclusivos: 
P(E1 ou E2 ou E3 ou ... ou En) = P(E1) + P(E2) + ... + P(En) 
 
Exemplo: Se dois dados, azul e branco, forem lançados, qual a 
probabilidade de sair 5 no azul e 3 no branco? 
Considerando os eventos: 
A: Tirar 5 no dado azul e P(A) = 1/6 
B: Tirar 3 no dado branco e P(B) = 1/6 
Sendo S o espaço amostral de todos os possíveis resultados, 
temos: 
n(S) = 6.6 = 36 possibilidades. Daí, temos:P(A ou B) = 1/6 + 1/6 
– 1/36 = 11/36 
 
Exemplo: Se retirarmos aleatoriamente uma carta de baralho 
com 52 cartas, qual a probabilidade de ser um 8 ou um Rei? 
Sendo S o espaço amostral de todos os resultados possíveis, 
temos: n(S) = 52 cartas. Considere os eventos: 
A: sair 8 e P(A) = 4/52 
B: sair um rei e P(B) = 4/52 
Assim, P(A ou B) = 4/52 + 4/52 – 0 = 8/52 = 2/13. Note que P(A e 
B) = 0, pois uma carta não pode ser 8 e rei ao mesmo tempo. 
Quando isso ocorre dizemos que os eventos A e B são 
mutuamente exclusivos. 
 
9.0 NOÇÕES DE ESTATÍSTICA 
 
 População e amostra 
 Alimentos como carne, leite, queijo, iogurte e outros, podem 
receber o carimbo do SIF - Sistema de Inspeção Federal. Esse 
órgão tem a função de verificar se estes produtos estão adequados 
para o consumo humano. 
 Numa inspeção a um laticínio, por exemplo, não se verifica toda 
a produção. Os funcionários recolhem um número determinado de 
produtos, e esses são analisados. 
 Pela qualidade dos produtos analisados, estima-se a qualidade 
do restante da produção. 
 Nesse exemplo temos: 
 - população: produção total do laticínio. 
 - amostra: produtos recolhidos para análise. 
 
 Variável quantitativa 
 São aquelas que são numericamente mensuráveis, por exemplo, 
a idade, a altura, o peso. 
 
 Variável qualitativa 
 São aquelas que se baseiam em qualidades e não podem ser 
mensuradas numericamente, por exemplo, classe social, cor dos 
olhos, local de nascimento. 
 
 Frequência 
 A informação mais fundamental sobre uma variável qualitativa é 
a frequência com que as diversas classes ocorrem nas 
observações, que podem ser as frequências absolutas e relativas 
(isto é, a fração do total). 
Frequência absoluta 
 Frequência absoluta de um valor é o número de vezes em que 
uma determinada variável assume um valor. 
Frequência relativa 
 Frequência relativa é o quociente entre a frequência absoluta da 
variável e o número total de observações. 
Exemplo: 
 Álgebra: 10 : 38 = 0,263 x 100 = 26,3% 
 Aritmética: 1 : 38 = 0,026 x 100 = 2,6% 
 Funções: 2 : 38 = 0,052 x 100 = 5,2% 
 Geometria: 11 : 38 = 0,289 x 100 = 28,9% 
 Sem preferência: 14 : 38 = 0,368 x 100 = 36,84% 
(Observe que multiplicando por 100 os números decimais obtemos 
sua forma em porcentagem). 
Dados organizados na tabela à seguir: 
 
 
Valores médios 
 O valor médio é um dos índices estatísticos mais utilizados. 
http://1.bp.blogspot.com/-dsDYgJsaKd4/UACZIKj4t9I/AAAAAAAAA9Q/V0GE6ocTJ5o/s1600/variaveis.png
 Há três números considerados como valores médios que podem 
ser utilizados para analisar dados: 
 Média 
Exemplo: 
 Veja a tabela com as frequências, e respectivo porcentual, das 
notas dos alunos em uma prova em que a nota mínima era zero e a 
nota máxima era 5. 
 
Lembre-se que para calcularmos a frequência porcentual devemos 
dividir a frequência pelo seu total, para a tabela acima, temos: 3 : 45 
= 0,0666... X 100 = 6,666... 
Cálculo da média 
 
Observe que adicionamos todas as notas dos alunos e dividimos o 
resultado pelo número deles. 
 
 Mediana 
 A segunda medida importante é a mediana. Observe o exemplo: 
 Imagine todas as notas da prova colocadas em uma fila, 
começando pela menor e terminando pela maior. 
 Imagine agora dividirmos essa fila bem ao meio. A nota que 
estiver bem no meio dessa fila é a mediana: 
 ..., 1, 1, 1, 2, 2, 2,2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3,... 
 mediana 
 
 Moda 
 A moda é igual à nota de maior frequência dentre as que foram 
tiradas na prova. Então a moda é 2, porque foi a nota que o maior 
número de pessoas tirou. 
 
Como organizar os dados em tabelas 
http://2.bp.blogspot.com/-znYopzn6648/UA61N46BNmI/AAAAAAAAA-0/XpHlE4AMxtc/s1600/tab3.png
http://1.bp.blogspot.com/-uxY1zNmuJ1Q/UA64AJDD6XI/AAAAAAAAA_E/XqLLMY2YWYg/s1600/media.png
Após reunir uma série de informações (dados) sobre determinado 
assunto, o primeiro passo é organizar essas informações. 
Geralmente, utilizamos para isso tabelas de dados. 
Como organizar essas tabelas? Veja a situação: 
Num grupo de 40 pessoas, 16 preferem vôlei e 24 preferem futebol. 
Vamos construir uma tabela de dados quanto à preferência por 
esporte desse grupo. Para isso, seguimos o roteiro: 
 Damos um título à tabela que explique o tipo de informação 
que ela contém. Nesse caso poderia ser: Número de pessoas 
segundo a preferência esportiva. 
 Escrevemos em cada coluna o tipo de informação que ela 
contém. Veja: 
Número de pessoas segundo a preferência esportiva 
Esporte Frequência Porcentagem 
Vôlei Número de pessoas que prefere o 
esporte. 
Porcentagem do 
número de 
pessoas que 
escolheram cada 
esporte em relação 
ao número total de 
pessoas. 
Futebol Número de pessoas que prefere o 
esporte. 
Porcentagem do 
número de 
pessoas que 
escolheram cada 
esporte em relação 
ao número total de 
pessoas. 
 
Exemplo: 
Número de pessoas segundo a preferência esportiva 
Esporte Frequência Porcentagem 
Vôlei 16 40% 
Futebol 24 60% 
Total 40 100% 
 
Observações: 
Na construção de tabelas, a visualização é muito importante. 
Os dados devem ser espaçados de maneira conveniente, para 
que possam ser analisados mais facilmente. 
 
 
10.0 Sequência Numérica 
O diário do professor é composto pelos nomes de seus alunos. 
Esses nomes obedecem a uma ordem (são escritos em ordem 
alfabética), assim, essa lista de nomes (diário) é considerada uma 
sequência. 
Os dias do mês são dispostos no calendário obedecendo a certa 
ordem, que também é um tipo de sequência. 
 
Esses e vários outros exemplos de sequência estão presentes em 
nosso cotidiano. Observando-os, podemos definir sequência como: 
 
Sequência é todo conjunto ou grupo no qual os seus 
elementos estão escritos em uma determinada ordem. 
 
No estudo da matemática estudamos um tipo de sequência: a 
sequência numérica. Essa sequência que estudamos em 
matemática é composta por números que estão dispostos em uma 
determinada ordem preestabelecida. 
 
Ao representarmos uma sequência numérica, devemos colocar 
seus elementos entre parênteses. Veja alguns exemplos de 
sequências numéricas: 
 
• (2, 4, 6, 8, 10, 12, ... ) é uma sequência de números pares 
positivos. 
• (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11...) é uma sequência de números 
naturais. 
• (10, 20, 30, 40, 50...) é uma sequência de números múltiplos de 
10. 
• (10, 15, 20, 30) é uma sequência de números múltiplos de 5, 
maiores que cinco e menores que 35. 
 
Essas sequências são separadas em doistipos: 
• Sequência finita é uma sequência numérica na qual os elementos 
têm fim, como, por exemplo, a sequência dos números múltiplos de 
5 maiores que 5 e menores que 35. 
• Sequência infinita é uma sequência que não possui fim, ou seja, 
seus elementos seguem ao infinito, por exemplo: a sequência dos 
números naturais. 
 
Em uma sequência numérica qualquer, o primeiro termo é 
representado por a1, o segundo termo é a2, o terceiro a3 e assim por 
diante. Em uma sequência numérica desconhecida, o último 
elemento é representado por an. A letra n determina o número de 
elementos da sequência. 
 
(a1, a2, a3, a4, ... , an, ... ) sequência infinita. 
 
(a1, a2, a3, a4, ... , an) sequência finita. 
 
Para obtermos os elementos de uma sequência é preciso ter uma 
lei de formação da sequência. Por exemplo: 
 
Determine os cinco primeiros elementos de uma sequência tal que 
an = 10
n
 + 1, n N* 
 
a1 = 10
1
 + 1 = 10 + 1 = 11 
a2 = 10
2
 + 1 = 100 + 1 = 101 
a3 = 10
3
 + 1 = 1000 + 1 = 1001 
a4 = 10
4
 + 1 = 10000 + 1 = 10001 
a5 = 10
5
 + 1 = 100000 + 1 = 100001 
 
Portanto, a sequência será (11, 101, 1001, 10001, 100001). 
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA 
Dizemos que uma sequência numérica constitui uma progressão 
geométrica quando, a partir do 2º termo, o quociente entre um 
elemento e seu antecessor for sempre igual. Observe a sequência: 
 
(2, 4, 8, 16, 32, 64,...), dizemos que ela é uma progressão 
geométrica, pois se encaixa na definição dada. 
 
4 : 2 = 2 
8 : 4 = 2 
16 : 8 = 2 
32 : 16 = 2 
64 : 32 = 2 
 
O termo constante da progressão geométrica é denominado razão. 
 
Muitas situações envolvendo sequências são consideradas PG, 
dessa forma, foi elaborada uma expressão capaz de determinar 
qualquer elemento de uma progressão geométrica. Veja: 
An = A1 * q
n-1
 
Com base nessa expressão, temos que: 
 
a2 = a1 * q 
a3 = a1 * q
2 
 
a5 = a1 * q
4
 
a10 = a1 * q
9
 
a50 = a1 * q
49
 
a100 = a1 * q
99
 
 
Exemplo 1 
 
Em uma progressão geométrica, temos que o 1º termo equivale a 4 
e a razão igual a 3. Determine o 8º termo dessa PG. 
 
a8 = 4 * 3
7
 
a8 = 4 * 2187 
a8 = 8748 
 
O 8º termo da PG descrita é o número 8748. 
 
Exemplo 2 
 
Dada a PG (3, 9, 27, 81, ...), determine o 20º termo. 
 
a20 = 3 * 3
19
 
a20 = 3 * 1.162.261.467 
a20 = 3.486.784.401 
 
Soma dos termos de uma PG 
 
A soma dos termos de uma PG é calculada através da seguinte 
expressão matemática: 
Sn = A1 * (q
n
 - 1) 
 q - 1 
 
Exemplo 3 
 
Considerando os dados do exemplo 2, determine a soma dos 20 
primeiros elementos dessa PG. 
Sn = A1 * (q
n
 - 1) 
 q - 1 
Sn = 3 * (3
20
 - 1) 
 3 - 1 
Sn = 3 * (3.486.784.401 - 1) 
 2 
Sn = 10.460.353.200 
 2 
Sn = 5.230.176.600 
Exemplo 4 
 
Uma dona de casa registrou os gastos mensais com supermercado 
durante todo o ano. Os valores foram os seguintes: 
 
Janeiro: 98,00 
Fevereiro: 99,96 
Março: 101,96 
Abril: 104,00 
Maio: 106,08 
 
Calcule o gasto anual dessa dona de casa, considerando que em 
todos os meses o índice inflacionário foi constante. 
 
Os termos estão em progressão geométrica, observe: 
 
106,08 : 104 = 1,02 
104 : 101,96 = 1,02 
101,96 : 99,96 = 1,02 
99,96 : 98,00 = 1,02 
 
A razão dessa progressão geométrica é dada por 1,02, isto indica 
que a inflação entre os meses é de 2%. Vamos determinar a soma 
dos gastos dessa dona de casa, observe: 
Sn = 98 * (1,02
12
 - 1) 
 1,02 - 1 
Sn = 98 * (1,26824179 - 1) 
 0,02 
Sn = 98 * 0,26824179 
 0,02 
Sn = 1.314,39 
 
Os gastos da dona de casa com compras de supermercado, foram 
equivalentes a R$ 1.314,39. 
 
11.0 MATRIZES, DETERMINANTES E 
SISTEMAS LINEARES 
Matrizes e Determinantes I 
Matriz de ordem m x n : Para os nossos propósitos, podemos considerar uma 
matriz como sendo uma tabela retangular de números reais (ou complexos) 
dispostos em m linhas e ncolunas. Diz-se então que a matriz tem ordem m x n 
(lê-se: ordem m por n) 
Exemplos: 
A = ( 1 0 2 -4 5) ® Uma linha e cinco colunas ( matriz de ordem 1 por 5 ou 1 x 
5) 
 
B é uma matriz de quatro linhas e uma coluna, portanto de ordem 4 x 1. 
Notas: 
1) se m = n , então dizemos que a matriz é quadrada de ordem n. 
Exemplo: 
 
A matriz X é uma matriz quadrada de ordem 3×3 , dita simplesmente de ordem 3 . 
2) Uma matriz A de ordem m x n , pode ser indicada como A = (aij )mxn , onde 
aij é um elemento da linha i e coluna j da matriz. 
Assim , por exemplo , na matriz X do exemplo anterior , temos a23 = 2 , a31 = 4 , 
a33 = 3 , a3,2 = 5 , etc. 
3) Matriz Identidade de ordem n : In = ( aij )n x n onde aij = 1 se i = j e aij = 0 se i ¹ j 
. 
Assim a matriz identidade de 2ª ordem ou seja de ordem 2×2 ou simplesmente 
de ordem 2 é: 
 
A matriz identidade de 3ª ordem ou seja de ordem 3×3 ou simplesmente de 
ordem 3 é: 
 
4) Transposta de um matriz A : é a matriz At obtida de A permutando-se as 
linhas pelas colunas e vice-versa. 
Exemplo: 
 
A matriz At é a matriz transposta da matriz A . 
Notas: 
4.1) se A = At , então dizemos que a matriz A é simétrica. 
4.2) Se A = – At , dizemos que a matriz A é anti-simétrica. 
É óbvio que as matrizes simétricas e anti-simétricas são quadradas . 
4.3) sendo A uma matriz anti-simétrica , temos que A + At = 0 (matriz nula) . 
Produto de matrizes 
Para que exista o produto de duas matrizes A e B , o número de colunas de A , 
tem de ser igual ao número de linhas de B. 
Amxn x Bnxq = Cmxq 
Observe que se a matriz A tem ordem m x n e a matriz B tem ordem n x q , a 
matriz produto C tem ordem m x q . 
Vamos mostrar o produto de matrizes com um exemplo: 
 
Onde L1C1 é o produto escalar dos elementos da linha 1 da 1ª matriz pelos 
elementos da coluna1 da segunda matriz, obtido da seguinte forma: 
L1C1 = 3.2 + 1.7 = 13. Analogamente, teríamos para os outros elementos: 
L1C2 = 3.0 + 1.5 = 5 
L1C3 = 3.3 + 1.8 = 17 
L2C1 = 2.2 + 0.7 = 4 
L2C2 = 2.0 + 0.5 = 0 
L2C3 = 2.3 + 0.8 = 6 
L3C1 = 4.2 + 6.7 = 50 
L3C2 = 4.0 + 6.5 = 30 
L3C3 = 4.3 + 6.8 = 60, e, portanto, a matriz produto será igual a: 
 
Observe que o produto de uma matriz de ordem 3×2 por outra 2×3, resultou na 
matriz produto P 
de ordem 3×3. 
Nota: O produto de matrizes é uma operação não comutativa, ou seja: A x B ¹ B 
x A 
DETERMINANTES 
Entenderemos por determinante , como sendo um número ou uma função, 
associado a uma matriz quadrada , calculado de acordo com regras específicas 
. 
É importante observar , que só as matrizes quadradas possuem 
determinante . 
Regra para o cálculo de um determinante de 2ª ordem 
Dada a matriz quadrada de ordem 2 a seguir: 
 
O determinante de A será indicado por det(A) e calculado da seguinte forma : 
det (A) = ½ A½ = ad – bc 
Exemplo: 
 
Ora, senx.senx + cosx.cosx = sen2x + cos2x = 1 ( Relação Fundamental 
da Trigonometria ) . Portanto, o determinante da matriz dada é igual à 
unidade. 
Regra para o cálculo de um determinante de 3ª ordem ( Regra de SARRUS). 
SARRUS (pronuncia-se Sarrí), cujo nome completo é Pierre 
Frederic SARRUS (1798 – 1861), foi professor na universidade francesa de 
Strasbourg. A regra de SARRUS, foi provavelmente escrita no ano de 1833. 
Nota: São escassas, e eu diria, inexistentes, as informações sobre o Prof. 
SARRUS nos livros de Matemática do segundo grau, que apresentam (ou mais 
simplesmente apenas citam) o nome do professor, na forma REGRA DE 
SARRUS, para o cálculo dos determinantes de terceira ordem. Graças ao Prof. 
José Porto da Silveira – da Universidade Federal do Rio Grande do Sul, 
pudemos disponibilizar a valiosa informação acima! O Prof. SARRUS, foi 
premiado pela Academia Francesa de Ciências, pela autoria de um trabalho 
que versava sobre as integrais múltiplas, assunto que vocês estudarão na 
disciplina Cálculo III, quando chegarem à Universidade. 
Para o cálculo de um determinantede 3ª ordem pela Regra de Sarrus, proceda 
da seguinte maneira: 
1 – Reescreva abaixo da 3ª linha do determinante, a 1ª e 2ª linhas do 
determinante. 
2 – Efetue os produtos em “diagonal” , atribuindo sinais negativos para os 
resultados à esquerda e sinal positivo para os resultados à direita. 
3 – Efetue a soma algébrica. O resultado encontrado será o determinante 
associado à matriz dada. 
Exemplo: 
 
http://www.paulomarques.com.br/arq4-2.htm
.2 
 
3 
 
5 
.1 
 
7 
 
4 
Portanto, o determinante procurado é o número real negativo .– 77. 
Principais propriedades dos determinantes 
P1) somente as matrizes quadradas possuem determinantes. 
P2) o determinante de uma matriz e de sua transposta são iguais: det(A) = det( 
At ). 
P3) o determinante que tem todos os elementos de uma fila iguais a zero , é 
nulo. 
Obs: Chama-se FILA de um determinante, qualquer LINHA ou COLUNA. 
P4) se trocarmos de posição duas filas paralelas de um determinante, ele muda 
de sinal. 
P5) o determinante que tem duas filas paralelas iguais ou proporcionais, é nulo. 
P6) multiplicando-se (ou dividindo-se) os elementos de uma fila por um 
número, o determinante fica multiplicado (ou dividido) por esse número. 
P7) um determinante não se altera quando se substitui uma fila pela soma 
desta com uma fila paralela, multiplicada por um número real qualquer. 
P8) determinante da matriz inversa : det( A-1) = 1/det(A) . 
Se A-1 é a matriz inversa de A , então A . A-1 = A-1 . A = In , onde In é a matriz 
identidade de ordem n . Nestas condições , podemos afirmar que det(A.A-1) = 
det(In) e portanto igual a 1. 
Logo , podemos também escrever det(A) . det(A-1) = 1 ; 
logo , concluímos que: det(A-1) = 1 / det(A). 
Notas: 
1) se det(A) = 0 , não existe a matriz inversa A-1. Dizemos então que a matriz A 
é SINGULAR ou NÃO INVERSÍVEL . 
2) se det A ¹ 0 , então a matriz inversa A-1 existe e é única . Dizemos então que 
a matriz A é INVERSÍVEL . 
P9) Se todos os elementos situados de um mesmo lado da diagonal principal 
de uma matriz quadrada de ordem n , forem nulos (matriz triangular), o 
determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. 
P10) Se A é matriz quadrada de ordem n e k Î R então det(k.A) = kn . det A 
Exemplos: 
1) Qual o determinante associado à matriz? 
 
Observe que a 4ª linha da matriz é proporcional à 1ª linha (cada elemento da 4ª 
linha é obtido multiplicando os elementos da 1ª linha por 3). Portanto, pela 
propriedade P5 , o determinante da matriz dada é NULO. 
2) Calcule o determinante: 
 
Observe que a 2ª coluna é composta por zeros; FILA 
NULA Þ DETERMINANTE NULO , conforme propriedade P3 acima. Logo, D = 
0. 
3) Calcule o determinante: 
 
Ora, pela propriedade P9 acima, temos: D = 2.5.9 = 90 
Exercícios propostos: 
1) As matrizes A e B , quadradas de ordem 3, são tais que B = 2.At , onde At é 
a matriz transposta de A. Se o determinante de B é igual a 40 , então o 
determinante da matriz inversa de A é igual a: 
*a) 1/5 
b) 5 
c) 1/40 
d) 1/20 
e) 20 
2) Seja a matriz A de ordem n onde aij = 2 para i = j e aij = 0 para i ¹ j . 
Se det (3A) = 1296 , então n é igual a: 
Resposta: n = 4 
3) Determine a soma dos elementos da diagonal principal da matriz A = ( aij )3 X 
3 , onde aij = i + j se i ³ j ou aij = i – j se i < j. 
Qual o determinante de A? 
Resposta: soma dos elementos da diagonal principal = 12 e determinante = 82 
4) Se A = ( aij ) é matriz quadrada de ordem 3 tal que aij = i – j então podemos 
afirmar que o determinante da matriz 5 A é igual a: 
Resposta: zero 
Matrizes e Determinantes II 
1 – Definições: 
1.1 – Chama-se Menor Complementar ( D ij ) de um elemento aij de uma matriz 
quadrada A, ao determinante que se obtém eliminando-se a linha i e a coluna j 
da matriz. 
Assim, dada a matriz quadrada de terceira ordem (3×3) A a seguir : 
 
Podemos escrever: 
D23 = menor complementar do elemento a23 = 9 da matriz A . Pela definição, 
D23 será igual ao determinante que se obtém de A, eliminando-se a linha 2 e a 
coluna 3, ou seja: 
 
Da mesma forma determinaríamos D11, D12, D13, D21, D22, D31, D32 e D33. Faça 
os cálculos como exercício! 
1.2 – Cofator de um elemento aij de uma matriz : cof ( aij ) = (-1 ) 
i+j . Dij . 
Assim por exemplo, o cofator do elemento a23 = 9 da matriz do exemplo 
anterior, seria igual a: 
cof(a23) = (-1)
2+3 . D23 = (-1)
5 . 10 = – 10. 
2 – Teorema de Laplace 
O determinante de uma matriz quadrada é igual à soma dos produtos dos 
elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos respectivos cofatores. 
Este teorema permite o cálculo do determinante de uma matriz de qualquer 
ordem. Como já conhecemos as regras práticas para o cálculo dos 
determinantes de ordem 2 e de ordem 3, só recorremos à este teorema para o 
cálculo de determinantes de 4ª ordem em diante. O uso desse teorema, 
possibilita abaixar a ordem do determinante. Assim, para o cálculo de um 
determinante de 4ª ordem, a sua aplicação resultará no cálculo de quatro 
determinantes de 3ª ordem. O cálculo de determinantes de 5ª ordem, já justifica 
o uso de planilhas eletrônicas, a exemplo do Excel for Windows, Lótus 1-2-3, 
entre outros. 
Para expandir um determinante pelo teorema de Laplace, é mais prático 
escolher a fila (linha ou coluna) que contenha mais zeros, pois isto vai facilitar e 
reduzir o número de cálculos necessários. 
Pierre Simon Laplace – (1749-1827) – Matemático e astrônomo francês. 
3 – Cálculo da inversa de uma matriz. 
a) A matriz inversa de uma matriz X , é a matriz X-1 , tal que X . X-1 = X-1 . X = 
In , onde In é a matriz identidade de ordem n. 
b) Matriz dos cofatores da matriz A: é a matriz obtida substituindo-se cada 
elemento pelo seu respectivo cofator. 
Símbolo: cof A . 
c) Fórmula para o cálculo da inversa de uma matriz: 
 
Onde: A-1 = matriz inversa de A; 
det A = determinante da matriz A; 
(cof A)T = matriz transposta da matriz dos cofatores de A . 
Exercícios propostos 
1 – Se A = ( aij ) é matriz quadrada de ordem 3 tal que aij = i – j então podemos 
afirmar que o seu determinante é igual a: 
*a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) -4 
2 – UFBA-90 – Calcule o determinante da matriz: 
 
Resposta: 15 
3 – Considere a matriz A = (aij)4×4 definida por aij = 1 se i ³ j e aij = i + j se i < j. 
Pede-se calcular a soma dos elementos da diagonal secundária. 
Resposta: 12 
4 – As matrizes A e B , quadradas de ordem 3, são tais que B = 2.At , onde At 
é a matriz transposta de A. 
Se o determinante de B é igual a 40 , então o determinante da matriz inversa 
de A é igual a: 
*a) 1/5 
b) 5 
c) 1/40 
d) 1/20 
e) 20 
5 – Dadas as matrizes A = (aij)3×4 e B = (bij)4×1 tais que aij = 2i + 3j e bij = 3i + 
2j, o elemento c12 da matriz C = A.B é: 
a)12 
b) 11 
c) 10 
d) 9 
*e) inexistente 
 
Uma matriz inversível 
FUVEST – 1999 – 1ª fase – Se A é uma matriz 2×2 inversível que satisfaz 2A = 
A2, então o determinante de A será: 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
SOLUÇÃO: 
Diz-se que uma matriz é inversível, quando o seu determinante é um número 
diferente de zero. 
Se 2 A = A2, então os seus determinantes são iguais, ou seja: det(2 A) = 
det(A2) 
Sabemos que sendo det(A) o determinante de uma matriz de ordem n, 
podemos dizer que det(k.A) onde k é um número inteiro positivo, será igual a 
kn . det(A). Para revisar, clique AQUI. 
Portanto, como n = 2 (ordem da matriz), vem: 
det(2 A) = 22.det(A) 
Sabemos também que o determinante do produto de duas matrizes é igual ao 
produto das matrizes, ou seja: 
det(A.B) = det(A).det(B). 
Então, det(A2) = det(A . A) = det(A).det(A) 
Substituindo na igualdade det(2 A) = det(A2), as expressões obtidas 
anteriormente, vem: 
22.det(A) = det(A).det(A) 
4.det(A) – [det(A)]2 = 0 
Colocando det(A) em evidencia, fica: 
det(A).[4 – det(A)] = 0 
Daí, conclui-se que det(A) = 0 OU det(A) = 4. Como é dito que a matriz A é 
inversível, o seu determinante é não nulo e, portanto,a solução det(A) = 0 não 
serve. Portanto, det(A) = 4, e a alternativa correta é a de letra E. 
 
Sistemas Lineares I 
1 – Equação linear 
Entenderemos por equação linear nas variáveis (incógnitas) x1, x2, x3, … , xn , 
como sendo a equação da forma 
a1.x1 + a2.x2 + a3.x3 + … + an.xn = b onde a1, a2, a3, … an e b são números reais 
ou complexos. 
a1, a2, a3, … an são denominados coeficientes e b, termo independente. 
Nota: se o valor de b for nulo, diz-se que temos uma equação linear 
homogênea. 
Exemplos de equações lineares: 
2x1+3x2 =7(variáveis ou incógnitas x1 e x2,coeficientes 2 e 3,e termo 
independente7) 
http://www.paulomarques.com.br/arq12-1.htm
http://www.paulomarques.com.br/arq12-1.htm
3x + 5y = 5 (variáveis ou incógnitas x e y, coeficientes 3 e 5, e termo 
independente 5) 
2x + 5y + z = 17 (variáveis ou incógnitas x, y e z, coeficientes 2,5 e 1 e termo 
independente 17) 
-x1 + 3x2 -7x3 + x4 = 1 (variáveis x1, x2 , x3 e x4, coeficientes -1, 3, -7, e 1 e 
termo independente 1) 
2x + 3y + z – 5t = 0 (variáveis ou incógnitas x, y, z e t, e termo independente 
nulo). 
Logo, este é um exemplo de equação linear homogênea. 
2 – A solução de uma equação linear 
Já estamos acostumados a resolver equações lineares de uma incógnita 
(variável), que são as equações de primeiro grau. Por exemplo: 2x + 8 = 36, 
nos leva à solução única x = 14. Já, se tivermos uma equação com duas 
incógnitas (variáveis), por exemplo x + y = 10, a solução não é única, já que 
poderemos ter um número infinito de pares ordenados que satisfazem à 
equação, ou seja: x=1 e y=9 [par ordenado (1,9)], x =4 e y =6 [par ordenado 
(4,6)], x = 3/2 e y 17/2 [par ordenado (3/2,17/2)], … , etc. 
Consideremos agora, uma equação com 3 incógnitas. 
Seja por exemplo: x + y + z = 5 
As soluções, serão x=1, y=4 e z=0, uma vez que 1+4+0 =5; x=3, y=7 e z=-
5, uma vez que 
3+7- 5=5; x=10, y=-9 e y=4 (uma vez que 10-9+4=5); … , que são compostas 
por 3 elementos, o que nos leva a afirmar que as soluções são osternos 
ordenados (1,4,0), (3,7,-5) , (10, -9, 4), … , ou seja, existem infinitas 
soluções (um número infinito de ternos ordenados) que satisfazem à equação 
dada. 
De uma forma geral, as soluções de uma equação linear de duas variáveis, 
são pares ordenados; de três variáveis, são ternos ordenados; 
de quatrovariáveis, são quadrasordenadas; … . 
Se a equação linear possuir n variáveis, dizemos que as soluções são n – 
uplas (lê-se ênuplas) ordenadas. 
Assim, se a ênupla ordenada (r1, r2, r3 , … , rn) é solução da equação linear 
a1.x1 + a2.x2 + a3.x3 + … + an.xn = b, isto significa que a igualdade é satisfeita 
para 
x1 = r1, x2 = r2 , x3 = r3 , … , xn = rn e poderemos escrever: 
a1.r1 + a2.r2 + a3.r3 + … + an.rn = b. 
3 – Exercícios resolvidos: 
1 – Se o terno ordenado (2, 5, p) é solução da equação linear 6x – 7y + 2z = 5, 
qual o valor de p? 
Solução: Teremos por simples substituição, observando que x = 2, y = 5 e z = 
p, 
6.2 -7.5 + 2.p = 5. Logo, 12 – 35 + 2p = 5. Daí vem imediatamente que 2p = 28 
e portanto, p = 14. 
2 – Escreva a solução genérica para a equação linear 5x – 2y + z = 14, 
sabendo que o terno ordenado 
(a , b , g ) é solução. 
Solução: Podemos escrever: 5a – 2b + g = 14. Daí, tiramos: g = 14 – 5a + 2b . 
Portanto, a solução genérica será o terno ordenado (a , b , 14 – 5a+ 2b ). 
Observe que arbitrando-se os valores para a e b , a terceira variável ficará 
determinada em função desses valores. Por exemplo, fazendo-se a = 1, b= 3, 
teremos 
g = 14 – 5a + 2b = 14 – 5.1 + 2.3 = 15, ou seja, o terno (1, 3, 15) é solução, e 
assim, sucessivamente. Verificamos pois que existem infinitas soluções para a 
equação linear dada, sendo o terno ordenado 
(a , b , 14 – 5a + 2b ) a solução genérica. 
Agora resolva estes: 
1 – Qual o conjunto solução da equação linear 0x + 0y + 0z = 1? 
Resposta : S = f 
2 – Determine o valor de 6p, sabendo-se que a quadra ordenada (2, p, -3, p+3) 
é solução da equação 
3x + 4y – 5z + 2t = 10. 
Resposta : -17 
Sistemas Lineares II 
1 – Sistema linear 
É um conjunto de m equações lineares de n incógnitas (x1, x2, x3, … , xn) do 
tipo: 
a11x1 + a12x2 + a13x3 + … + a1nxn = b1 
a21x1 + a22x2 + a23x3 + … + a2nxn = b2 
a31x1 + a32x2 + a33x3 + … + a3nxn = b3 
……………………………………………………….. 
……………………………………………………….. 
am1x1 + am2x2 + am3x3 + … + amnxn = bn 
Exemplo: 
3x + 2y – 5z = -8 
http://www.paulomarques.com.br/arq12-3.htm
4x – 3y + 2z = 4 
7x + 2y – 3z = 2 
0x + 0y + z = 3 
Temos acima um sistema de 4 equações e 3 incógnitas (ou variáveis). 
Os termos a11, a12, … , a1n, … , am1, am2, …, amn são 
denominados coeficientes e b1, b2, … , bn são os termos independentes. 
A ênupla (a 1, a 2 , a 3 , … , a n) será solução do sistema linear se e somente se 
satisfizer simultaneamente a todas as m equações. 
Exemplo: O terno ordenado (2, 3, 1) é solução do sistema: 
x + y + 2z = 7 
3x + 2y – z = 11 
x + 2z = 4 
3x – y – z = 2 
pois todas as equações são satisfeitas para x=2, y=3 e z=1. 
Notas: 
1 – Dois sistemas lineares são EQUIVALENTES quando possuem as mesmas 
soluções. 
Exemplo: Os sistemas lineares 
S1: 
2x + 3y = 12 
3x – 2y = 5 
S2: 
5x – 2y = 11 
6x + y = 20 
são equivalentes, pois ambos admitem o par ordenado (3, 2) como solução. 
Verifique! 
2 – Se um sistema de equações possuir pelo menos uma solução, dizemos que 
ele é POSSÍVEL ou COMPATÍVEL. 
3 – Se um sistema de equações não possuir solução, dizemos que ele é 
IMPOSSÍVEL ou INCOMPATÍVEL. 
4 – Se o sistema de equações é COMPATÍVEL e possui apenas uma solução, 
dizemos que ele é DETERMINADO. 
5 – Se o sistema de equações é COMPATÍVEL e possui mais de uma solução, 
dizemos que ele é INDETERMINADO. 
6 – Se os termos independentes de todas as equações de um sistema linear 
forem todos nulos, ou seja 
b1 = b2 = b3 = … = bn = 0, dizemos que temos um sistema linear 
HOMOGÊNEO. 
Exemplo: 
x + y + 2z = 0 
2x – 3y + 5z = 0 
5x – 2y + z = 0 
2 – Exercícios Resolvidos 
2.1 – UEL – 84 (Universidade Estadual de Londrina) 
Se os sistemas 
S1: 
x + y = 1 
x – 2y = -5 
S2: 
ax – by = 5 
ay – bx = -1 
são equivalentes, então o valor de a2 + b2 é igual a: 
a) 1 
b) 4 
c) 5 
d) 9 
e) 10 
Solução: 
 
Como os sistemas são equivalentes, eles possuem a mesma solução. Vamos 
resolver o sistema S1: 
x + y = 1 
x – 2y = -5 
Subtraindo membro a membro, vem: x – x + y – (-2y) = 1 – (-5). Logo, 3y = 6 \ y 
= 2. 
Portanto, como x+y = 1, vem, substituindo: x + 2 = 1 \ x = -1. 
O conjunto solução é portanto S = {(-1, 2)}. 
Como os sistemas são equivalentes, a solução acima é também solução do 
sistema S2. Logo, substituindo em S2 os valores de x e y encontrados para o 
sistema S1, vem: 
a(-1) – b(2) = 5 Þ – a – 2b = 5 
a(2) – b (-1) = -1 Þ 2 a + b = -1 
Multiplicando ambos os membros da primeira equação (em azul) por 2, fica: 
-2 a – 4b = 10 
Somando membro a membro esta equação obtida com a segunda equação 
(em vermelho), 
fica: -3b = 9 \ b = – 3 
Substituindo o valor encontrado para b na equação em vermelho acima 
(poderia ser também na outra equação em azul), teremos: 
2 a + (-3) = -1 \ a = 1. 
Portanto, a2 + b2 = 12 + (-3)2 = 1 + 9 = 10. 
Portanto a alternativa correta é a letra E. 
2.2 – Determine o valor de m de modo que o sistema de equações abaixo, 
2x – my = 10 
3x + 5y = 8, seja impossível. 
Solução: 
Teremos, expressando x em função de m, na primeira equação: 
x = (10 + my) / 2 
Substituindo o valor de x na segunda equação, vem: 
3[(10+my) / 2] + 5y = 8 
Multiplicando ambos os membros por 2, desenvolvendo e simplificando, vem: 
3(10+my) + 10y = 16 
30 + 3my + 10y = 16 
(3m + 10)y = -14 
y = -14 / (3m + 10) 
Ora, para que não exista o valor de y e, em conseqüência não exista o valor de 
x, deveremos ter o denominador igual a zero, já que , como sabemos,NÃO 
EXISTE DIVISÃO POR ZERO. 
Portanto, 3m + 10 = 0 , de onde conclui-se m = -10/3, para que o sistema seja 
impossível, ou seja,não possua solução. 
Agora, resolva e classifique os seguintes sistemas: 
a) 2x + 5y .- ..z = 10 
………….3y + 2z = ..9 
…………………3z = 15 
b) 3x – 4y = 13 
…..6x – 8y = 26 
c) 2x + 5y = 6 
….8x + 20y = 18 
Resposta: 
a) sistema possível e determinado. S = {(25/3, -1/3, 5)} 
b) sistema possível e indeterminado. Possui um número infinito de soluções. 
c) sistema impossível. Não admite soluções. 
Sistemas Lineares III 
Método de eliminação de Gauss ou método do escalonamento 
Karl Friedrich Gauss – astrônomo, matemático e físico alemão – 1777/1855. 
O método de eliminação de Gauss para solução de sistemas de equações 
lineares, também conhecido como escalonamento, baseia-se em três 
transformações elementares, a saber: 
T1 – um sistema de equações não se altera, quando permutamos as posições 
de duas equações quaisquer do sistema. 
Exemplo: os sistemas de equações lineares 
2x + 3y = 10 
5x – 2y = 6 
5x – 2y = 6 
2x + 3y = 10 
são obviamente equivalentes, ou seja, possuem o mesmo conjunto solução. 
Observe que apenas mudamos a ordem de apresentação das equações. 
T2 – um sistema de equações não se altera, quando multiplicamos ambos os 
membros de qualquer uma das equações do sistema, por um número real não 
nulo. 
Exemplo: os sistemas de equações lineares 
3x + 2y – z = 5 
2x + y + z = 7 
x – 2y + 3z = 1 
3x + 2y – z = 5 
2x + y + z = 7 
3x – 6y + 9z = 3 
são obviamente equivalentes, pois a terceira equação foi multiplicada membro 
a membro por 3. 
T3: um sistema de equações lineares não se altera, quando substituímos uma 
equação qualquer por outra obtida a partir da adição membro a membro desta 
equação, com outra na qual foi aplicada a transformação T2. 
Exemplo: os sistemas 
15x – 3y = 22 
5x + 2y = 32 
15x – 3y = 22 
…… – 9y = – 74 
são obviamente equivalentes (ou seja, possuem o mesmo conjunto 
solução), pois a segunda equação foi substituída pela adição da primeira 
equação, com a segunda multiplicada por ( -3 ). 
Vamos resolver, a título de exemplo, um sistema de equações lineares, pelo 
método de Gauss ou escalonamento. 
Seja o sistema de equações lineares: 
. x + 3y – 2z = 3 .Equação 1 
2x . – .y + z = 12 Equação 2 
4x + 3y – 5z = 6 .Equação 3 
SOLUÇÃO: 
1 – Aplicando a transformação T1, permutando as posições das equações 1 e 
2, vem: 
2x .-…y + z = 12 
x ..+ 3y – 2z = 3 
4x + 3y – 5z = 6 
2 – Multiplicando ambos os membros da equação 2, por (- 2) – uso da 
transformação T2 – somando o resultado obtido com a equação 1 e 
substituindo a equação 2 pelo resultado obtido – uso da transformação T3 – 
vem: 
2x – ..y + z = 12 
…..- 7y + 5z = 6 
4x + 3y – 5z = 6 
3 – Multiplicando ambos os membros da equação 1 por (-2), somando o 
resultado obtido com a equação 3 e substituindo a equação 3 pela nova 
equação obtida, vem: 
2x – ..y + ..z = …12 
…..- 7y + 5z = ….6 
……..5y – 7z = – 18 
4 – Multiplicando a segunda equação acima por 5 e a terceira por 7, vem: 
2x -…..y + ….z =….12 
…..- 35y +25z =… 30 
…….35y – 49z = -126 
5 – Somando a segunda equação acima com a terceira, e substituindo a 
terceira pelo resultado obtido, vem: 
2x – …..y + ….z = ..12 
…..- 35y + 25z = ..30 
……………- 24z = – 96 
6 – Do sistema acima, tiramos imediatamente que: z = (-96) / (-24) = 4, ou seja, 
z = 4. 
Como conhecemos agora o valor de z, fica fácil achar os valores das outras 
incógnitas: 
Teremos: – 35y + 25(4) = 30 \ y = 2. 
Analogamente, substituindo os valores conhecidos de y e z na primeira 
equação acima, fica: 
2x – 2 + 4 = 12 \ x = 5. 
Portanto, x = 5, y = 2 e z = 4, constitui a solução do sistema dado. Podemos 
então escrever que o conjunto solução S do sistema dado, é o conjunto unitário 
formado por um terno ordenado (5,2,4) : 
S = { (5, 2, 4) } 
Verificação: 
Substituindo os valores de x, y e z no sistema original, teremos: 
5 + 3(2) – 2(4) = 3 
2(5) – (2) + (4) = 12 
4(5) + 3(2) – 5(4) = 6 
o que comprova que o terno ordenado (5,4,3) é solução do sistema dado. 
Sobre a técnica de escalonamento utilizada para resolver o sistema dado, 
podemos observar que o nosso objetivo era escrever o sistema na forma 
ax + by + cz = k1 
dy + ez = k2 
fz = k3 
de modo a possibilitar achar o valor de z facilmente ( z = k3 / f ) e daí, por 
substituição, determinar y e x. Este é o caminho comum para qualquer sistema. 
É importante ressaltar que se em z = k3 / f , tivermos: 
a) f ¹ 0 , o sistema é possível e determinado. 
b) f = 0 e k3 ¹ 0 , o sistema é impossível, ou seja, não possui solução, ou 
podemos 
c) dizer também que o conjunto solução é vazio, ou seja: S = f . 
d) f = 0 e k3 = 0 , o sistema é possível e indeterminado, isto é, possui um 
número infinito de soluções. 
Não podemos escrever uma regra geral para o escalonamento de um sistema 
de equações lineares, a não ser recomendar a correta e oportunaaplicação 
das transformações T1, T2 e T3 mostradas anteriormente. 
Podemos entretanto observar que o método de escalonamento consiste 
basicamente em eliminar a primeira incógnita a partir da segunda equação, 
eliminar a segunda incógnita em todas as equações a partir da terceira e assim 
sucessivamente, utilizando-se das transformações T1, T2 e T3 vistas acima. 
A prática, entretanto, será o fator determinante para a obtenção dos bons e 
esperados resultados. 
Agora, resolva os seguintes sistemas lineares, usando a técnica de 
escalonamento: 
Sistema I : Resposta: S = { (3, 5) } 
4x – 2y = 2 
2x + 3y = 21 
Sistema II : Resposta: S = { (-1, 2, 4) } 
2 a + 5b + .3c = …20 
5 a + 3b – 10c = – 39 
…a + ..b + ….c = …..5 
Sistema III : Resposta: S = { (2, 3, 5) } 
..x + .y .- ..z = …0 
..x – 2y + 5z = 21 
4x + .y + 4z = 31 
Sistemas Lineares IV 
Regra de Cramer para a solução de um sistema de equações lineares com n 
equações e n incógnitas. 
Gabriel Cramer – matemático suíço – 1704/1752. 
Consideremos um sistema de equações lineares com n equações 
e n incógnitas, na sua forma genérica: 
a11x1 + a12x2 + a13x3 + … + a1nxn = b1 
a21x1 + a22x2 + a23x3 + … + a2nxn = b2 
a31x1 + a32x2 + a33x3 + … + a3nxn = b3 
…………………………………………….= … 
…………………………………………….= … 
an1x1 + an2x2 + an3x3 + … + annxn = bn 
onde os coeficientes a11, a12, …, ann são números reais ou complexos, os 
termos independentes 
b1, b2, … , bn , são números reais ou complexos e x1, x2, … , xn são as 
incógnitas do sistema nxn. 
Seja D o determinante da matriz formada pelos coeficientes das incógnitas. 
 
Seja D xi o determinante da matriz que se obtém do sistema dado, substituindo 
a coluna dos coeficientes da incógnita 
xi ( i = 1, 2, 3, … , n), pelos termos independentes b1, b2, … , bn. 
 
A regra de Cramer diz que: 
Os valores das incógnitas de um sistema linear de n equações e n incógnitas 
são dados por frações cujo denominador é o determinante D dos coeficientes 
das incógnitas e o numerador é o determinante D xi, ou seja: 
xi = D xi / D 
Exemplo: Resolva o seguinte sistema usando a regra de Cramer: 
x + 3y – 2z = 3 
2x – y + z = 12 
4x + 3y – 5z = 6 
Teremos: 
 
 
 
 
Portanto, pela regra de Cramer, teremos: 
x1 = D x1 / D = 120 / 24 = 5 
x2 = D x2 / D = 48 / 24 = 2 
x3 = D x3 / D = 96 / 24 = 4 
Logo, o conjunto solução do sistema dado é S = { (5, 2, 4) }. 
gora, resolva este: 
2 x + 5y + 3z = 20 
5 x + 3y – 10z = – 39 
x + y + z = 5 
Resposta: S = { (-1, 2, 4) } 
12.0 Congruência e Semelhança de Triângulos – Revisão de 
Matemática Enem. 
 
De acordo com a imagem acima, podemos afirmar 
que polígonos são figuras fechadas, formadas por segmentos de 
reta. Essa figura geométrica se caracteriza pelos seguintes 
elementos: ângulos, vértices, diagonais e lados. Assim, 
o triângulo é um polígono de três lados, ou, trilátero. Observe: 
 
Logo, podemos identificar os seguintes elementos: A, B, C são os 
vértices dos triângulos. Os lados dos triângulos são simbolizados 
pelos vértices, que nada mais são do que o ponto de encontro (AB, 
BC,AC) dos segmentos de retas. Cada ladodo triângulo representa um ângulo, logo, tendo três lados, possui 
três ângulos. 
Confira os Tipos de triângulo 
Um triângulo é classificado de acordo com a medida de cada um 
dos seus lados, ou seja, de cada um dos seus ângulos. Vejamos: 
 
Triângulo Escaleno: todos os lados são diferentes. 
 
Triângulo isósceles: dois lados iguais e os ângulos opostos a 
esses lados iguais. 
 
Triângulo equilátero: todos os lados e ângulos são iguais. 
Concluímos que seus ângulos serão de 60°. 
Obs.: os triângulos também podem ser classificados quanto ao 
ângulo. Triângulo retângulo: tem um ângulo que mede 
90º. Obtusângulo: tem um ângulo maior que 90°. Acutângulo: Todos 
os ângulos são menores de noventa graus. 
Triângulos Congruentes 
Antes de falar sobre os critérios de congruência de um triângulo, 
vou pedir pra você assistir à videoaula do professor Nerckie. O 
vídeo tem 15min e está disponível no canal aberto do Youtube, dá 
uma olhada: 
Dois triângulos são denominados congruentes quando possuem a 
mesma medida nos três lados e nos três ângulos. Exemplo: Os 
triângulos ABC e A’B’C’ são congruentes: 
 
Em dois triângulos congruentes, são congruentes entre si: 
a) os lados opostos a ângulos congruentes; 
b) os ângulos opostos a lados congruentes; 
Existem cinco critérios de congruência entre triângulos. Esse 
assunto é mais aprofundado no ensino superior, mas ainda assim é 
cobrado na prova de Matemática do Enem. Mas o foco do seu 
estudo deve estar na semelhança entre os triângulos. 
Semelhança entre triângulos 
Para descobrir se dois triângulos são semelhantes, você precisa 
entender o conceito de congruência. Dois triângulos são 
semelhantes quando seus ângulos são respectivamente 
congruentes ou os lados correspondentes são proporcionais. Obs.: 
Trata-se de conceito de proporcionalidade – Razão e Proporção. 
Razão de semelhança – A razão de semelhança de dois triângulos 
é uma medida de proporcionalidade entre eles e é dada por uma 
constante : D/A = E/B = F/C = k. 
 
Para entender todos esses conceitos, nada melhor do que praticar 
não é mesmo? Acompanhe a resolução do exercício a seguir. 
1) Considerando os triângulos MNP e PQR da figura abaixo, 
podemos afirmar que ∆MNP ~ ∆PQR. Como você justifica essa 
afirmação? 
 
2) Considerando a figura na qual C≈ F e B≈E, determine as 
medidas x e y nela indicadas. 
 
Resolução: 
∆ DFE ≈ ∆ ACB 
AB = AC = CB → 14 = 10 → 70 = 10x → x =7 
DE DF FE x 5 
x=7, logo, y = 14-x, logo: 
y = 14 – x 
y = 7 
2 
Então x=7 e y = 3,5 
Questão do ENEM 2009 
(Enem/2009) A rampa de um hospital tem na sua parte mais 
elevada uma altura de 2,2 metros. Um paciente ao caminhar sobre 
a rampa percebe que se deslocou 3,2 metros e alcançou uma altura 
de 0,8 metro. 
A distância, em metros, que o paciente ainda deve caminhar para 
atingir o ponto mais alto da rampa é 
A) 1,16 metros 
B) 3,0 metros 
C) 5,4 metros 
D) 5,6 metros 
E) 7,04 metros 
 
Resolução: Resposta D 
12.1 Relações Métricas no Triângulo Retângulo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13.0 Geometria Espacial 
 
A Geometria Espacial corresponde a área da matemática que se 
encarrega de estudar as figuras no espaço, ou seja, aquelas que 
possuem mais de duas dimensões. 
De modo geral, a Geometria Espacial pode ser definida como o 
estudo da geometria no espaço. Assim, tal qual a Geometria 
Plana, ela está pautada nos conceitos basilares e intuitivos que 
chamamos “conceitos primitivos” os quais possuem origem na 
Grécia Antiga e na Mesopotâmia (cerca de 1000 anos a.C.). 
Não obstante, Pitágoras e Platão associavam o estudo da 
Geometria Espacial ao estudo da Metafísica e da religião; contudo, 
foi Euclides a se consagrar com sua obra “Elementos”, onde 
sintetizou os conhecimentos acerca do tema até os seus dias. 
Entretanto, os estudos de Geometria Espacial permaneceram 
estanques até o fim da Idade Média, quando Leonardo Fibonacci 
(1170-1240) escreve a “PracticaGeometriae” e, séculos depois, 
Joannes Kepler (1571-1630) rotula o “Steometria” (stereo: 
volume/metria: medida) o cálculo de volume, em 1615. 
Para saber mais sobre a geometria, leia: Geometria Plana. 
Características da Geometria Espacial 
http://www.todamateria.com.br/geometria-plana/
A Geometria Espacial estuda os objetos que possuem mais de uma 
dimensão e ocupam lugar no espaço. Por sua vez, esses objetos 
são conhecidos como "sólidos geométricos" ou "figuras 
geométricas espaciais". Conheça melhor alguns deles: 
 prisma 
 cubo 
 paralelepípedo 
 pirâmide 
 cone 
 cilindro 
 esfera 
Dessa forma, a geometria espacial é capaz de determinar, por meio 
de cálculos matemáticos, o volume destes mesmos objetos, ou 
seja, o espaço ocupado por eles. 
Contudo, o estudo das estruturas das figuras espaciais e suas inter-
relações é determinado por alguns conceitos básicos, a saber: 
 Ponto: conceito fundamental a todos os subsequentes, uma 
vez que todos sejam, em última análise, formados por 
inúmeros pontos. Por sua vez, os pontos são infinitos e não 
possuem dimensão mensurável (adimensional). Portanto, sua 
única propriedade garantida é sua localização. 
 Reta: composta por pontos, é infinita nos dois lados e 
determina a distância mais curta entre dois pontos 
determinados. 
 Linha: possui algumas semelhanças com a reta, pois é 
igualmente infinita para cada lado, contudo, têm a propriedade 
de formar curvas e nós sobre si mesma. 
 Plano: é outra estrutura infinita que se estende em todas as 
direções. 
Figuras Geométricas Espaciais 
Segue abaixo algumas das figuras geométricas espaciais mais 
conhecidas: 
Cubo 
 
http://www.todamateria.com.br/prisma/
http://www.todamateria.com.br/cubo/
http://www.todamateria.com.br/paralelepipedo/?preview
http://www.todamateria.com.br/piramide/
http://www.todamateria.com.br/cone/
http://www.todamateria.com.br/cilindro/
http://www.todamateria.com.br/esfera/
O cubo é um hexaedro regular composto de 6 faces 
quadrangulares, 12 arestas e 8 vértices sendo: 
Área lateral: 4a
2
 
Área total: 6a
2
 
Volume: a.a.a = a
3
 
Dodecaedro 
 
O Dodecaedro é um poliedro regular composto de 12 faces 
pentagonais, 30 arestas e 20 vértices sendo: 
Área Total: 3√25+10√5a
2
 
Volume: 1/4 (15+7√5) a
3
 
Tetraedro 
 
O Tetraedro é um poliedro regular composto de 4 faces 
triangulares, 6 arestas e 4 vértices sendo: 
Área total: 4a
2
√3/4 
Volume: 1/3 Ab.h 
Octaedro 
 
O Octaedro é um poliedro regular de 8 faces formada por triângulos 
equiláteros, 12 arestas e 6 vértices sendo: 
Área total: 2a
2
√3 
Volume: 1/3 a
3
√2 
Icosaedro 
 
O Icosaedro é um poliedro convexo composto de 20 faces 
triangulares, 30 arestas e 12 vértices sendo: 
Área total: 5√3a
2
 
Volume: 5/12 (3+√5) a
3
 
Prisma 
 
O Prisma é um poliedro composto de duas faces paralelas que 
formam a base, que por sua vez, podem ser triangular, 
quadrangular, pentagonal, hexagonal. Além das faces o prima é 
composto de altura, lados, vértices e arestas unidos por 
paralelogramos. De acordo com sua inclinação, os prismas podem 
ser retos, aqueles em que a aresta e a base fazem um ângulo de 
90º ou os oblíquos compostos de ângulos diferentes de 90º. 
Área da Face: a.h 
Área Lateral: 6.a.h 
Área da base: 3.a
3
√3/2 
Volume: Ab.h 
Onde: 
Ab: Área da base 
h: altura 
Pirâmide 
 
A pirâmide é um poliedro composto por uma base (triangular, 
pentagonal, quadrada, retangular, paralelogramo), um vértice 
(vértice da pirâmide) que une todas as faces laterais triangulares. 
Sua altura corresponde a distância entre o vértice e sua base. 
Quanto à sua inclinação podem ser classificadas em retas (ângulo 
de 90º) ou oblíquas (ângulos diferentes de 90º). 
Área total: Al + Ab 
Volume: 1/3 Ab.h 
Onde: 
Al: Área lateral 
Ab: Área da base 
h: altura 
Curiosidades 
 A palavra "geometria" vem do grego e corresponde a união 
dos termos "geo" de terra e "metria" de medida, que significa 
"medir terra." 
 Os cálculos mais comuns em Geometria espacialsão para 
determinar o comprimentos de curvas, áreas de superfícies e 
volumes de regiões sólidas. 
 Outras figuras geométricas espaciais: cilindro, cone, esfera. 
 Os "Sólidos Platônicos" são poliedros convexos conhecidos 
desde a antiguidade clássica. Os cinco "sólidos platônicos" 
são: tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro, icosaedro. 
 
 
 
 
 
 
 
Fórmulas de Geometria Espacial 
Prismas 
 
A A h
A A h
A A h
A A A V A h
B L
B L
B L
T L B B
Q Q
H H
 
 

  


 


2
2
2
3
4
3
4
6
3
4
6
2
 
 =
= =
 
.
.
. .
. .
 
 
 
Paralelepípedo Cubo 
 
A a b A
A ab bc ac A
V a b c A
D a b c V
d D
B F
T L
T
face cubo
 
   
 
   
 
.
. .
 
 
 
 
 




 
2
2
2
2 2 2 3
2 2 2 4
6
2 3
 
 
 
 
 
 Pirâmides 
A p ap ap h K
A A A a ap
V
A h
a h R
L
T L B
B
  
   
F
HG
I
KJ
  
.
.
 
 
 
2 2 2
2 2
2
2 2 2
2
3

 
Tetraedro 
A
a
V
a
A a A
a
h
a
Obs K h do
triângulo equilátero
F
T L
 
 

2 3
2
2
3
4
2
12
3 3
3
4
6
3
 
 
 : = 
 
.
 
 
Cilindro 
V A h r h A r
A rh
A r rh
A rh
Equilátero h r
B B
L
T
S
  

 

 
.  

 
2 2
2
2
2 2
2
2
 
 
 
Cone 
V
A h r h
A r
A rg A rh
A r rg g r h
Equilátero g r
B
B
L S
T
  
 
   
 
.
3 3
2
2
2
2 2 2 2



 
 
 
 
 
14.0 Retas 
Geometria analítica: retas 
 Entre os pontos de uma reta e os números reais existe uma 
correspondência biunívoca, isto é, a cada ponto de reta 
corresponde um único número real e vice-versa. 
 Considerando uma reta horizontal x, orientada da esquerda para 
direita (eixo), e determinando um pontoO dessa reta ( origem) e um 
segmento u, unitário e não-nulo, temos que dois números inteiros e 
consecutivos determinam sempre nesse eixo um segmento de reta 
de comprimento u: 
 
 
Medida algébrica de um segmento 
 Fazendo corresponder a dois pontos, A e B, do eixo x os números 
reais xA e xB , temos: 
 
 
 A medida algébrica de um segmento orientado é o número real 
que corresponde à diferença entre as abscissas da extremidade e 
da origem desse segmento. 
 
Plano cartesiano 
 A geometria analítica teve como principal idealizador o filósofo 
francês René Descartes ( 1596-1650). Com o auxílio de um sistema 
de eixos associados a um plano, ele faz corresponder a cada ponto 
do plano um par ordenado e vice-versa. 
 Quando os eixos desse sistemas são perpendiculares na origem, 
essa correspondência determina um sistema cartesiano ortogonal ( 
ou plano cartesiano). Assim, há uma reciprocidade entre o estudo 
da geometria ( ponto, reta, circunferência) e da Álgebra ( relações, 
equações etc.), podendo-se representar graficamente relações 
algébricas e expressar algebricamente representações gráficas. 
 Observe o plano cartesiano nos quadros quadrantes: 
 
 
 Exemplos: 
 A(2, 4) pertence ao 1º quadrante (xA > 0 e yA > 0) 
 B(-3, -5) pertence ao 3º quadrante ( xB < 0 e yB < 0) 
Observação: Por convenção, os pontos localizados sobre os eixos 
não estão em nenhum quadrante. 
 
Distância entre dois pontos 
 Dados os pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) e sendo dAB a distância 
entre eles, temos: 
 
 
 Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo ABC, 
vem: 
 
Como exemplo, vamos determinar a distância entre os pontos A(1, -
1) e B(4, -5): 
 
 
 
Razão de secção 
 Dados os pontos A(xA, yA), B(xB, yB), C(xC, yC) de uma mesma 
reta , o ponto C divide numa determinada razão, 
denominada razão de secção e indicada por: 
 
em que , pois se , então A = B. 
 Observe a representação a seguir: 
 
 Como o , podemos escrever: 
 
 Vejamos alguns exemplos: 
 Considerando os pontos A(2, 3), B(5, 6) e P(3, 4), a razão em 
que o ponto P divide é: 
 
 
 Se calculássemos rp usando as ordenadas dos pontos, 
obteríamos o mesmo resultado: 
 
 Para os pontos A(2, 3), B(5, 6) e P(1, 2), temos: 
 
 
 Assim, para um ponto P qualquer em relação a um segmento 
orientado contido em um eixo, temos: 
 se P é interior a , então rp > 0 
 se P é exterior a , então rp < 0 
 se P = A, então rp =0 
 se P = B, então não existe rp (PB = 0) 
 se P é o ponto médio de , então rp =1 
 
Ponto médio 
 Dados os pontos A(xA, yA), B(xB, yB) e P, que divide ao 
meio, temos: 
 
 
 Assim: 
 
 
 Logo, as coordenadas do ponto médio são dadas por: 
 
 Baricentro de um triângulo 
 Observe o triângulo da figura a seguir, em que M, N e P são 
os pontos médios dos lados , respectivamente. 
Portanto, são as medianas desse triângulo: 
 
 Chamamos de baricentro (G) o ponto de intersecção das 
medianas de um triângulo. 
 Esse ponto divide a mediana relativa a um lado em duas 
partes: a que vai do vértice até o baricentro tem o dobro da 
mediana da que vai do baricentro até o ponto médio do lado. 
 Veja: 
 
 
 
Cálculo das coordenadas do baricentro 
 Sendo A(XA, YA), B(XB, YB) e C(XC, YC) vértices de um triângulo, 
se N é ponto médio de , temos: 
 
 
Mas: 
Analogamente, determinamos . Assim: 
 
 
Condições de alinhamento de três pontos 
 Se três pontos, A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC), estão alinhados, 
então: 
 
 Para demonstrar esse teorema podemos considerar três casos: 
a) três pontos alinhados horizontalmente 
 
 Neste caso, as ordenadas são iguais: 
 yA = yB = yC 
e o determinante é nulo, pois a 2ª e a 3ª coluna são proporcionais. 
b) três pontos alinhados verticalmente 
 
Neste caso, as abscissas são iguais: 
xA = xB = xC 
 e o determinante é nulo, pois a 1ª e a 3ª coluna são proporcionais. 
c) três pontos numa reta não-paralela aos eixos 
 
Pela figura, verificamos que os triângulos ABD e BCE são 
semelhantes. Então: 
 
Desenvolvendo, vem: 
 
Como: 
 
então . 
Observação: A recíproca da afirmação demonstrada é válida, ou 
seja, se , então os pontos A(xA,yA), B(xB,yB) e C(xC, 
yC) estão alinhados. 
Equações de uma reta 
Equação geral 
 Podemos estabelecer a equação geral de uma reta a partir da 
condição de alinhamento de três pontos. 
 Dada uma reta r, sendo A(xA, yA) e B(xB, yB) pontos conhecidos e 
distintos de r e P(x,y) um ponto genérico, também de r, 
estando A, B e P alinhados, podemos escrever: 
 
 Fazendo yA - yB = a, xB - xA = b e xAyB - xByA=c, como a e b não 
são simultaneamente nulos , temos: 
ax + by + c 
= 0 
(equação geral da reta r) 
 Essa equação relaciona x e y para qualquer ponto P genérico da 
reta. Assim, dado o ponto P(m, n): 
 se am + bn + c = 0, P é o ponto da reta; 
 se am + bn + c 0, P não é ponto da reta. 
 Acompanhe os exemplos: 
 Vamos considerar a equação geral da reta r que passa 
por A(1, 3) e B(2, 4). 
 Considerando um ponto P(x, y) da reta, temos: 
 
 Vamos verificar se os pontos P(-3, -1) e Q(1, 2) pertencem à 
reta r do exemplo anterior. Substituindo as coordenadas 
de P em x - y + 2 = 0, temos: 
-3 - (-1) + 2 = 0 -3 + 1 + 2 = 0 
 Como a igualdade é verdadeira, então P r. 
 Substituindo as coordenadas de Q em x - y + 2 = 0, obtemos: 
1 - 2 + 2 0 
 Como a igualdade não é verdadeira, então Q r. 
 
Equação segmentária 
 Considere a reta r não paralela a nenhum dos eixos e que 
intercepta os eixos nos pontos P(p, 0)e Q(0, q), com : 
 
 A equação geral de r é dada por: 
 
 Dividindo essa equação por pq , temos: 
 
 Como exemplo, vamos determinar a equação segmentária da 
reta que passa por P(3, 0) e Q(0, 2), conforme o gráfico: 
 
 
 Equações paramétricas 
 São equações equivalentes à equação geral da reta, da forma x= 
f(t) e y= g(t), que relacionam as coordenadas x e y dos pontos da 
reta com um parâmetro t. 
 Assim, por exemplo, , são equações paramétricas 
de uma reta r. 
 Para obter a equação geral dessa reta a partir das paramétricas, 
basta eliminar o parâmetro t das duas equações: 
 x = t + 2 t = x -2 
 Substituindo esse valor em y = - t + 1, temos: 
y = -(x - 2) + 1 = -x + 3 x + y - 3 = 0 ( equação geral de r) 
 
Equação Reduzida 
 Considere uma reta r não-paralela ao eixo Oy: 
 
 Isolando y na equação geral ax + by + c = 0, temos: 
 
 Fazendo , vem: 
 y = mx 
+ q 
 Chamada equação reduzida da reta, em que fornece a 
inclinação da reta em relação ao eixoOx. 
 Quando a reta for paralela ao eixo Oy, não existe a equação na 
forma reduzida. 
 
 
Coeficiente angular 
 Chamamos de coeficiente angular da reta r o número real m tal 
que: 
 
 O ângulo é orientado no sentido anti-horário e obtido a partir do 
semi-eixo positivo Ox até a reta r. Desse modo, temos 
sempre . 
 Assim: 
 para ( a tangente é positiva no 1º quadrante) 
 para ( a tangente é negativa no 2º quadrante) 
 Exemplos: 
 
 
 
 
 
Determinação do coeficiente angular 
 Vamos considerar três casos: 
a) o ângulo é conhecido 
 
 
 
b) as coordenadas de dois pontos distintos da reta são 
conhecidas: A(xA, yA) e B(xB, yB) 
 
 
Como ( ângulos correspondentes) temos que . 
Mas, m = tg Então: 
 
Assim, o coeficiente angular da reta que passa, por exemplo, 
por A(2, -3) e B(-2, 5) é: 
 
c) a equação geral da reta é conhecida 
Se uma reta passa por dois pontos distintos A(XA, YA) e B(XB, YB), 
temos: 
 
Aplicando o Teorema de Laplace na 1ª linha, vem: 
(YA - YB)x + (XB - XA)y + XAYA - XBYB = 0 
Da equação geral da reta, temos: 
 
Substituindo esses valores em , temos: 
 
 
 
Equação de uma reta r, conhecidos o coeficiente angular e um 
ponto de r 
 Seja r uma reta de coeficiente angular m. Sendo P(X0, Y0), P r, 
e Q(x,y) um ponto qualquer de r(Q P), podemos escrever: 
 
Como exemplo, vamos determinar a equação geral da reta r que 
passa por P(1, 2), sendo m=3. Assim, temos X0=1 e Y0=2. Logo: 
y-y0=m(x-x0)=y-2 = 3(x - 1) = y-2 = 3x - 3 = 3x - y - 1 = 0 
que é a equação geral de r. 
 
Representação gráfica de retas 
 Para representar graficamente as retas de equação ax + by + c = 
0 ( b 0), isolamos a variável y e atribuímos valores a x, obtendo 
pares ordenados que são pontos da reta. 
 Assim, é mais conveniente usar a equação na forma reduzida, já 
que ela apresenta o y isolado. 
 
Coordenadas do ponto de intersecção de retas 
 A intersecção das retas r e s, quando existir, é o ponto P(x, y), 
comum a elas, que é a solução do sistema formado pelas equações 
das duas retas. 
 Vamos determinar o ponto de intersecção, por exemplo, das 
retas r: 2x +y - 4 =0 e s: x -y +1=0. Montando o sistema e 
resolvendo-o, temos: 
 
 Substituindo esse valor em x -y = -1, temos: 
1 - y = -1 
y = 2 
 Logo, P(1, 2) é o ponto de intersecção das retas r e s. 
Graficamente, temos: 
 
Posições relativas entre retas 
Paralelismo 
 Duas retas, r e s, distintas e não-verticais, são paralelas se, e 
somente se, tiverem coeficientes angulares iguais. 
 
 
Concorrência 
 Dadas as retas r: a1x +b1y + c1 = 0 e s: a2x + b2y + c2 = 0, elas 
serão concorrentes se tiverem coeficientes angulares diferentes: 
 
 Como exemplo, vamos ver se as retas r: 3x - 2y + 1 = 0 e s: 
6x + 4y + 3 = 0 são concorrentes: 
 
Perpendicularismo 
 Se r e s são duas retas não-verticais, então r é perpendicular 
a s se, e somente se, o produto de seus coeficientes angulares for 
igual a -1. Lê-se . Acompanhe o desenho: 
 
Ângulo entre duas retas 
 Sendo r e s duas retas não-verticais e não-perpendiculares entre 
si, pelo teorema do ângulo externo , temos: 
 
 
 
 
 Dependendo da posição das duas retas no plano, o 
ângulo pode ser agudo ou obtuso. Logo: 
 
 Essa relação nos fornece o ângulo agudo entre r e s, 
pois . O ângulo obtuso será o suplemento de . 
 
Distância entre ponto e reta 
 Dados um ponto P(x1, y1) e uma reta r:ax + by + c = 0, a distância 
entre eles (dpr)é dada por: 
 
 
Vamos calcular a distância, por exemplo, do ponto P(-1,2) à reta r: x 
- 2y + 1 = 0. 
Temos P(-1, 2) = P(x1, y1), a = 1, b= - 2 e c=1. Assim: 
 
Bissetrizes 
 Dadas as retas concorrentes r: a1x + b1y + c1 = 0 e s: a2x + b2y + 
c2 = 0, o que se interceptam em um ponto Q, se P(x, y) é um ponto 
qualquer de uma das bissetrizes, P Q, então P equidista de r e s: 
 
 
 
 Considerando o sinal positivo, obtemos uma bissetriz; 
considerando o sinal negativo, obtemos a outra. 
 Vejamos um exemplo: 
 Se r: 3x + 2y - 7 = 0 e s: 2x - 3y + 1 = 0, então suas 
bissetrizes são: 
 
 
15.0 Introdução aos números complexos 
Na resolução de uma equação algébrica, um fator fundamental é o 
conjunto universo que representa o contexto onde poderemos 
encontrar as soluções. Por exemplo, se estivermos trabalhando no 
conjunto dos números racionais, a equação 2x+7=0, terá uma única 
solução dada por x=-7/2. assim, o conjunto solução será: 
S = { 7/2 } 
mas, se estivermos procurando por um número inteiro como 
resposta, o conjunto solução será o conjunto vazio, isto é: 
S = Ø = { } 
De forma análoga, ao tentar obter o conjunto solução para a 
equação x
2
+1=0 sobre o conjunto dos números reais, obteremos 
como resposta o conjunto vazio, isto é: 
S = Ø = { } 
o que significa que não existe um número real que elevado ao 
quadrado seja igual a -1, mas se seguirmos o desenvolvimento da 
equação pelos métodos comuns, obteremos: 
x = R[-1] = 
onde R[-1] é a raiz quadrada do número real -1. Isto parece não ter 
significado prático e foi por esta razão que este número foi chamado 
imaginário, mas o simples fato de substituir R[-1] pela letra i 
(unidade imaginária) e realizar operações como se estes números 
fossem polinômios, faz com que uma série de situações tanto na 
Matemática como na vida, tenham sentido prático de grande 
utilidade e isto nos leva à teoria dos números complexos. 
 
 
Definição de número complexo 
Número complexo é todo número que pode ser escrito na forma 
z = a + b i 
onde a e b são números reais e i é a unidade imaginária. O número 
real a é a parte real do número complexo z e o número real b é a 
parte imaginária do número complexo z, denotadas por: 
a = Re(z) e b = Im(z) 
Exemplos de tais números são apresentados na tabela. 
Número complexo Parte real Parte imaginária 
2 + 3 i 2 3 
2 - 3 i 2 -3 
2 2 0 
3 i 0 3 
-3 i 0 -3 
0 0 0 
Observação: O conjunto de todos os números complexos é 
denotado pela letra C e o conjunto dos números reais pela letra R. 
Como todo número real x pode ser escrito como um número 
complexo da forma z=x+yi, onde y=0 então assumiremos que o 
conjunto dos números reais está contido no conjunto dos números 
complexos. 
 
 
Elementos complexos especiais 
1. Igualdade de números complexos: Dados os números 
complexos z=a+bi e w=c+di, definimos a igualdade entre z e 
w, escrevendo 
z = w se, e somente se, a = c e b = d 
Para que os números complexos z=2+yi e w=c+3i sejam 
iguais, deveremos ter que c=2 e y=3. 
2. Oposto de um número complexo: O oposto do número 
complexo z=a+bi é o número complexo denotado por -z=-
(a+bi), isto é: 
-z = Oposto(a+bi) = (-a) + (-b)i 
O oposto de z=-2+3i é o número complexo -z=2-3i. 
3. Conjugado de um número complexo: O número complexo 
conjugado de z=a+bi é o número complexo denotado por 
z*=a-bi, isto é: 
z* = conjugado(a+bi) = a + (-b)i 
O conjugado de z=2-3i é o número complexoz*=2+3i. 
 
 
Operações básicas com números complexos 
Dados os números complexos z=a+bi e w=c+di, podemos definir 
duas operações fundamentais, adição e produto, agindo sobre eles 
da seguinte forma: 
z+w = (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i 
z.w = (a+bi).(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i 
Observação: Tais operações lembram as operações com 
expressões polinomiais, pois a adição é realizada de uma forma 
semelhante, isto é: (a+bx)+(c+dx)=(a+c)+(b+d)x e a multiplicação 
(a+bx).(c+dx), é realizada através de um algoritmo que aparece na 
forma: 
a + b x 
c + d x X 
_________________ 
ac + bcx 
 adx + bdx² 
______________________ 
ac + (bc+ad)x + bdx² 
de forma que devemos substituir x
2
 por -1. 
Exemplos: 
1. Se z=2+3i e w=4-6i, então z+w=(2+3i)+(4-6i)=6-3i. 
2. Se z=2+3i e w=4-6i, então z.w=(2+3i).(4-6i)=-4+0i. 
 
 
Potências e curiosidade sobre a unidade imaginária 
Potências de i: Ao tomar i=R[-1], temos uma sequência de valores 
muito simples para as potências de i: 
Potência i
2
 i
3
 i
4
 i
5
 i
6
 i
7
 i
8
 i
9
 
Valor -1 -i 1 i -1 -i 1 i 
Pela tabela acima podemos observar que as potência de i cujos 
expoentes são múltiplos de 4, fornecem o resultado 1, logo toda 
potência de i pode ter o expoente decomposto em um múltiplo de 4 
mais um resto que poderá ser 0, 1, 2 ou 3. Dessa forma podemos 
calcular rapidamente qualquer potência de i, apenas conhecendo o 
resto da divisão do expoente por 4. 
Exercício: Calcular os valores dos números complexos: i
402
, i
4033
 e 
i
1998
. Como exemplo: i
402
=i
400
.i
2
 = 1.(-1) = -1 
Curiosidade geométrica sobre i: Ao pensar um número complexo 
z=a+bi como um vetor z=(a,b) no plano cartesiano, a multiplicação 
de um número complexo z=a+bi pela unidade imaginária i, resulta 
em um outro número complexo w=-b+ai, que forma um ângulo reto 
(90 graus) com o número complexo z=a+bi dado. 
 
Exercício: Tomar um número complexo z, multiplicar por i para obter 
z1=i.z, depois multiplicar o resultado z1 por i para obter z2=i.z1. 
Continue multiplicando os resultados obtidos por i até ficar cansado 
ou então use a inteligência para descobrir algum fato geométrico 
significativo neste contexto. Após constatar que você é inteligente, 
faça um desenho no plano cartesiano contendo os resultados das 
multiplicações. 
 
 
O inverso de um número complexo 
Dado o número complexo z=a+bi, não nulo (a ou b deve ser 
diferente de zero) definimos o inverso de z como o número z
-1
=u+iv, 
tal que 
z . z
-1
 = 1 
O produto de z pelo seu inverso z
-1
 deve ser igual a 1, isto é: 
(a+bi).(u+iv) = (au-bv)+(av+bu)i = 1 = 1+0.i 
o que nos leva a um sistema com duas equações e duas incógnitas: 
a u - b v = 1 
b u + a v = 0 
Este sistema pode ser resolvido pela regra de Cramér e possui uma 
única solução (pois a ou b são diferentes de zero), fornecendo: 
u = a/(a
2
+b
2
) 
v = -b/(a
2
+b
2
) 
assim, o inverso do número complexo z=a+bi é: 
 
Obtenção do inverso de um número complexo: Para obter o inverso 
de um número complexo, por exemplo, o inverso de z=5+12i, deve-
se: 
1. Escrever o inverso desejado na forma de uma fração 
 
2. Multiplicar o numerador e o denominador da fração pelo 
conjugado de z 
 
3. Lembrar que i
2
 = -1, simplificar os números complexos pela 
redução dos termos semelhantes, para obter 
 
 
 
Diferença e divisão de números complexos 
Diferença de números complexos: A diferença entre os números 
complexos z=a+bi e w=c+di é o número complexo obtido pela soma 
entre z e -w, isto é: z-w=z+(-w). 
Exemplo: A diferença entre os complexos z=2+3i e w=5+12i é z-
w=(2+3i)+(-5-12i)=(2-5)+(3-12)i=-3-9i. 
Divisão de números complexos: A divisão entre os números 
complexos z=a+bi e w=c+di (w não nulo) é definida como o número 
complexo obtido pelo produto entre z e w
-1
, isto é: z/w=z.w
-1
. 
Exemplo: Para dividir o número complexo z=2+3i por w=5+12i, 
basta multiplicar o numerador e o denominador da fração z/w pelo 
conjugado de w: 
 
 
 
Representação geométrica de um número complexo 
Um número complexo da forma z=a+bi, pode ser representado do 
ponto de vista geométrico no plano cartesiano, como um ponto (par 
ordenado) tomando-se a abscissa deste ponto como a parte real do 
número complexo a no eixo OX e a ordenada como a parte 
imaginária do número complexo z no eixo OY, sendo que o número 
complexo 0=0+0i é representado pela própria origem (0,0) do 
sistema. 
 
 
 
Módulo e argumento de um número complexo 
Módulo de um número complexo: No gráfico anterior observamos 
que existe um triângulo retângulo cuja medida da hipotenusa é a 
distância da origem 0 ao número complexo z, normalmente 
denotada pela letra grega ro nos livros, mas aqui denotada por r, o 
cateto horizontal tem comprimento igual à parte real a do número 
complexo e o cateto vertical corresponde à parte imaginária b do 
número complexo z. 
Desse modo, se z=a+bi é um número complexo, então r
2
=a
2
+b
2
 e a 
medida da hipotenusa será por definição, o módulo do número 
complexo z, denotado por |z|, isto é: 
 
Argumento de um número complexo: O ângulo ø formado entre o 
segmento OZ e o eixo OX, é denominado o argumento do número 
complexo z. Pelas definições da trigonometria circular temos as três 
relações: 
cos(ø)=a/r, sen(ø)/r, tan(ø)=b/a 
Por experiência, observamos que é melhor usar o cosseno ou o 
seno do ângulo para definir bem o argumento, uma vez que a 
tangente apresenta alguns problemas. 
 
 
Forma polar e sua multiplicação 
Forma polar de um número complexo: Das duas primeiras relações 
trigonométricas apresentadas anteriormente, podemos escrever: 
z = a+bi = r cos(ø) + r i sen(ø) = r (cos ø + i sen ø) 
e esta última é a forma polar do número complexo z. 
Multiplicação de complexos na forma polar: Consideremos os 
números complexos: 
z = r (cos m + i sen m) 
w = s (cos n + i sen n) 
onde, respectivamente, r e s são os módulos e m e n são os 
argumentos destes números complexos z e w. 
Realizamos o produto entre estes números da forma usual e 
reescrevemos o produto na forma: 
z . w = r s [cos (m+n) + i sen (m+n)] 
Este fato é garantido pelas relações: 
cos(m+n) = cos(m) cos(n) - sen(m) sen(n) 
sen(m+n) = sen(m) cos(n) + sen(n) cos(m) 
 
 
Potência de um número complexo na forma polar 
Seguindo o produto acima, poderemos obter a potência de ordem k 
de um número complexo. Como 
z = r [cos(m) + i sen(m)] 
então 
z
k
 = r
k
 [cos(km) + i sen(km)] 
Exemplo: Consideremos o número complexo z=1+i, cujo módulo é a 
raiz quadrada de 2 e o argumento é /4 (45 graus). Para elevar 
este número à potência 16, basta escrever: 
z
16
 = 2
8
[cos(720
o
)+isen(720
o
)]=256 
 
 
Raiz quarta de um número complexo 
Um ponto fundamental que valoriza a existência dos números 
complexos é a possibilidade de extrair a raiz de ordem 4 de um 
número complexo, mesmo que ele seja um número real negativo, o 
que significa, resolver uma equação algébrica do 4o. grau. Por 
exemplo, para extrair a raiz quarta do número -16, devemos obter 
as quatro raízes da equação algébrica x
4
+16=0. 
Antes de apresentar o nosso processo para a obtenção da raiz 
quarta de um número complexo w, necessitamos saber o seu 
módulo r e o seu argumento t, o que significa poder escrever o 
número complexo na forma polar: 
w = r (cos t + i sen t) 
O primeiro passo é realizar um desenho mostrando este número 
complexo w em um círculo de raio r e observar o argumento t, dado 
pelo angulo entre o eixo OX e o número complexo w. 
 
O passo seguinte é obter um outro número complexo z(1) cujo 
módulo seja a raiz quarta de r e cujo argumento seja t/4. Este 
número complexo é a primeira das quatro raizes complexas 
procuradas. 
z(1) = r
1/4
 [cos(t/4)+isen(t/4)] 
As outras raízes serão: 
z(2) = i z(1) 
z(3) = i z(2) 
z(4) = i z(3) 
Todas aparecem no gráfico, mas observamos que este processo 
para obter as quatro raízes do número complexo w ficou mais fácil 
pois temos a propriedade geométrica que o número complexo i 
multiplicado poroutro número complexo, roda este último de 90 
graus e outro fato interessante é que todas as quatro raízes de w 
estão localizadas sobre a mesma circunferência e os ângulos 
formados entre duas raízes consecutivas é de 90 graus. 
 
Se os quatro números complexos forem ligados, aparecerá um 
quadrado rodado de t/4 radianos em relação ao eixo OX. 
 
 
Raiz n-ésima de um número complexo 
Existe uma importantíssima relação atribuída a Euler: 
e
i.t
 = cos(t) + i sen(t) 
que é verdadeira para todo argumento real e a constante e tem o 
valor aproximado 2,71828... Para facilitar a escrita usamos 
frequentemente: 
exp(i t) = cos(t) + i sen(t) 
Observação: A partir da relação de Euler, é possível construir uma 
relação notável envolvendo os mais importantes sinais e constantes 
da Matemática: 
 
Voltemos agora à exp(it). Se multiplicarmos o número e
it
 por um 
número complexo z, o resultado será um outro número complexo 
rodado de t radianos em relação ao número complexo z. 
Por exemplo, se multiplicarmos o número complexo z por exp(i
/8)=cos( /8)+i sen( /8), obteremos um número complexo z(1) que 
forma com z um ângulo /8=22,5graus, no sentido anti-horário. 
 
Iremos agora resolver a equação x
n
=w, onde n é um número natural 
e w é um número complexo dado. Da mesma forma que antes, 
podemos escrever o número complexo w=r(cos t + i sen t) e usar a 
relação de Euler, para obter: 
w = r e
it
 
Para extrair a raiz n-ésima, deve-se construir a primeira raiz que é 
dada pelo número complexo 
z(1) = r
1/n
 e
it/n
 
Todas as outras n-1 raízes serão obtidas pela multiplicação 
recursiva dada por: 
z(k) = z(k-1) e
2i /n
 
onde k varia de 2 até n. 
Exemplo: Para obter a primeira raiz da equação x
8
=-64, 
observamos a posição do número complexo w=-64+0i, constatando 
que o seu módulo é igual a 64 e o argumento é igual a radianos 
(=180 graus). 
 
Aqui, a raiz oitava de 64 é igual a 2 e o argumento da primeira raiz 
é /8, então z(1) pode ser escrita na forma polar: 
z(1) = 2 e
i /8
 = 2(cos 22,5
o
+i sen 22,5
o
) = R[2](1+i) 
onde R[2] é a raiz quadrada de 2. Obtemos as outras raízes pela 
multiplicação do número complexo abaixo, através de qualquer uma 
das formas: 
e
2i /8
 = 2(cos 45
o
 + i sen 45
o
) = R[2](1+i)/2=0,707(1+i) 
Assim: 
z(2) = z(1) R[2](1+i)/2 
z(3) = z(2) R[2](1+i)/2 
z(4) = z(3) R[2](1+i)/2 
z(5) = z(4) R[2](1+i)/2 
z(6) = z(5) R[2](1+i)/2 
z(7) = z(6) R[2](1+i)/2 
z(8) = z(7) R[2](1+i)/2 
Exercício: Construa no sistema cartesiano os 8 números complexos 
e ligue todas as raízes consecutivas para obter um octógono regular 
rodado de 22,5 graus em relação ao eixo OX. Tente comparar este 
método com outros que você conhece e realize exercícios para 
observar como aconteceu o aprendizado. 
 
 
 
 
 
 
Número complexo como matriz 
Existe um estudo sobre números complexos, no qual um número 
complexo z=a+bi pode ser tratado como uma matriz quadrada 2x2 
da forma: 
 
e todas as propriedades dos números complexos, podem ser 
obtidas através de matrizes, resultando em processos que 
transformam as características geométricas dos números 
complexos em algo simples. 
 
15.1 Exercícios Resolvidos: 
1) Sendo z = (m
2
 - 5m + 6) + (m
2
 - 1) i , determine m de modo que z 
seja um imaginário puro. 
Solução: Para que o complexo z seja um imaginário puro, sua 
parte real deve ser nula ou seja, devemos ter 
m
2
 - 5m + 6 = 0, que resolvida encontramos m=2 ou m=3. 
2) Determine a parte real do número complexo z = (1 + i)
12
 . 
Solução: Observe que (1 + i)
12
 = [(1 + i)
2
]
6
 . Nestas condições, 
vamos desenvolver o produto notável 
(1 + i)
2
 = 1
2
 + 2.i + i
2
 = 1 + 2i -1 = 2i (1 + i)
2
 = 2i (isto é uma 
propriedade importante, que vale a pena ser memorizada). 
Substituindo na expressão dada, vem: 
(1 + i)
12
 = [(1 + i)
2
]
6
 = (2i)
6
 = 2
6
.i
6
 = 64.(i
2
)
3
 = 64.(-1)
3
 = - 64. 
Portanto, o número complexo dado fica z = - 64 = - 64 + 0i e 
portanto sua parte real é igual a -64. 
3) Determine a parte imaginária do número complexo z = (1 - i)
200
 . 
Solução: Podemos escrever o complexo z como: z = [(1 - i)
2
]
100
 . 
Desenvolvendo o produto notável 
(1 - i)
2
 = 1
2
 - 2.i + i
2
 = 1 - 2i -1 = - 2i (1 - i)
2
 = - 2i (isto é uma 
propriedade importante, que merece ser memorizada). 
Substituindo na expressão dada, vem: 
z = (- 2i)
100
 = (- 2)
100
. i
100
 = 2
100
 . i
100
 = 2
100
 . ( i
2 
)
50
 = 2
100
. (- 1)
50
 = 
2
100
 . 1 = 2
100
. 
Logo, o número complexo z é igual a 2
100
 e portanto um número 
real. Daí concluímos que a sua parte imaginária é zero. 
CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO 
Dado um número complexo z = a + bi , chama-se conjugado de z e 
representa-se por , a um outro número complexo que possui a 
mesma parte real de z e a parte imaginária o simétrico aditivo da 
parte imaginária de z . 
z = a + bi = a - bi 
Ex: z = 3 + 5i ; = 3 - 5i 
Obs : Sabemos que os números complexos podem também ser 
representados na forma de pares ordenados . Assim é que z = a + 
bi = (a,b). 
Portanto , por analogia com o sistema de coordenadas cartesianas , 
pode-se representar graficamente qualquer número complexo z 
num sistema de coordenadas cartesianas , bastando marcar a parte 
real a no eixo horizontal e a parte imaginária b no eixo vertical . 
Neste caso , o eixo horizontal é chamado eixo real e o eixo vertical 
é chamado eixo imaginário. O plano cartesiano, neste caso , 
denomina-se plano de Argand-Gauss. 
O ponto que representa o número complexo z , denomina-se afixo 
de z. 
DIVISÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS NA FORMA BINÔMIA 
Regra : Para dividir um número complexo z por outro w 0 , basta 
multiplicar numerador e denominador pelo complexo conjugado do 
denominador . 
Ex: = = = 0,8 + 0,1 i 
Agora que você estudou a teoria, tente resolver os seguintes 
exercícios: 
1 - Calcule o número complexo i
126
 + i
-126
 + i
31
 - i
180
 
2 - Sendo z = 5i + 3i
2
 - 2i
3
 + 4i
27
 e w = 2i
12
 - 3i
15
 , 
calcule Im(z).w + Im(w).z . 
3 - UCMG - O número complexo 2z, tal que 5z + = 12 + 6i é: 
4 - UCSal - Para que o produto (a+i). (3-2i) seja real, a deve ser: 
5 - UFBA - Sendo a = -4 + 3i , b = 5 - 6i e c = 4 - 3i , o valor de ac+b 
é: 
6 - Mackenzie-SP - O valor da expressão y = i + i
2
 + i
3
 + ... + i
1001 
é: 
7) Determine o número natural n tal que (2i)
n
 + (1 + i)
2n
 + 16i = 0. 
Resp: 3 
Clique aqui para ver a solução. 
8) Calcule [(1+i)
80
 + (1+i)
82
] : i
96
.2
40 
Resp: 1+2i 
9) Se os números complexos z e w são tais que z = 2-5i e w = a+bi , 
sabendo-se que z+w é um número real e z.w .é um imaginário puro 
, pede-se calcular o valor de b
2
 - 2a. 
Resp: 50 
10) Se o número complexo z = 1-i é uma das raízes da equação 
x
10
 + a = 0 , então calcule o valor de a. 
Resp: 32i 
11) Determine o número complexo z tal que iz + 2 . + 1 - i = 0. 
12 - UEFS-92.1 - O valor da expressão E = x
-1
 + x
2
, para x = 1 - i , é: 
a)-3i 
b)1-i 
c) 5/2 + (5/2)i 
d) 5/2 - (3/2)i 
e) ½ - (3/2)i 
13 -UEFS-93.2 - Simplificando-se a expressão E = i
7
 + i
5
 + ( i
3
 + 
2i
4
 )
2
 , obtêm-se: 
a) -1+2i 
b) 1+2i 
c) 1 - 2i 
d) 3 - 4i 
e) 3 + 4i 
14 - UEFS-93.2 - Se m - 1 + ni = (3+i).(1 + 3i), então m e n são 
respectivamente: 
a) 1 e 10 
b) 5 e 10 
c) 7 e 9 
d) 5 e 9 
e) 0 e -9 
15 - UEFS-94.1 - A soma de um numero complexo z com o triplo do 
seu conjugado é igual a -8 - 6i. O módulo de z é: 
a) 13 
b) 7 
c) 13 
http://www.paulomarques.com.br/arq5-6.htm
d) 7 
e) 5 
16 - FESP/UPE - Seja z = 1+i , onde i é a unidade imaginária. 
Podemos afirmar que z
8
é igual a: 
a) 16 
b) 161 
c) 32 
d) 32i 
e) 32+16i 
17 - UCSal - Sabendo que (1+i)
22
 = 2i, então o valor da expressão 
y = (1+i)
48
 - (1+i)
49
 é: 
a) 1 + i 
b) -1 + i 
c) 2
24 
. i 
d) 2
48
 . i 
e) -2
24
 . i 
GABARITO: 
 
1) -3 - i 
2) -3 + 18i 
3) 4 + 3i 
4) 3/2 
5) -2 + 18i 
6) i 
7) 3 
8) 1 + 2i 
9) 50 
10) 32i 
11) -1 - i 
12)B 
13) D 
14) A 
15) A 
16) A 
17) E