MATERIAL DE APOIO - Matemática - André Arruda Pedro Evaristo Daniel Colares-569-570

Prévia do material em texto

alfaconcursos.com.br 
 
MUDE SUA VIDA! 
1 
 
SUMÁRIO 
EQUAÇÕES POLINOMIAIS .................................................................................................................................. 2 
RAÍZES IMAGINÁRIAS ................................................................................................................................. 2 
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO ....................................................................................................................... 2 
RAÍZES RACIONAIS ..................................................................................................................................... 3 
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO ....................................................................................................................... 3 
 
 
https://www.alfaconcursos.com.br/
alfaconcursos.com.br 
 
MUDE SUA VIDA! 
2 
 
EQUAÇÕES POLINOMIAIS 
RAÍZES IMAGINÁRIAS 
Temos algumas propriedades que relacionam entre si as raízes complexas e não reais de 
uma equação polinomial de coeficientes reais e auxiliam a determinar as raízes da equação. 
 Raízes Conjugadas 
Teorema: Se uma equação polinomial de coeficientes reais admite como raiz o número 
complexo z = a + bi (b≠0), então essa equação também admite como raiz o número 𝑧̅ = a – bi, 
conjugado de z. 
 Multiplicidade da raiz conjugada 
Teorema: Se uma equação polinomial de coeficientes reais admite a raiz z = a + bi (b≠0) 
com multiplicidade p, então essa equação admite como raiz 𝑧̅ = a – bi com multiplicidade p. 
 OBSERVAÇÕES: 
1ª) Os dois teoremas anteriores só se aplicam a equações polinomiais de coeficientes 
reais. Por exemplo, a equação x2 – ix = 0 tem como raízes 0 e i, entretanto não admite 
a raiz –i, conjugada de i. 
2ª) Como toda raiz complexa z = a + bi (b≠0) de uma equação com coeficientes reais 
P(x) = 0 corresponde uma outra raiz 𝑧̅ = a – bi, com multiplicidade, decorre que o 
número de raízes complexas não reais de P(x) = 0 é necessariamente par. 
3ª) Se uma equação polinomial de coeficientes reais tem grau ímpar, então ela admite 
um número ímpar de raízes reais. Assim, por exemplo, toda equação ax3 + bx2 + cx + 
d = 0 (com a, b, c, d reais) tem uma ou três raízes reais, pois o número de raízes 
complexas e não reais é par. 
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 
1. Determinar o menor grau que pode ter uma equação polinomial de coeficientes reais 
para admitir 1, i e 1 + i como raízes. 
Resolução: 
Tal equação terá no mínimo 5 raízes: 1, i, -i, 1+i e 1 – i e, portanto, terá no 
mínimo grau 5. 
2. Resolver a equação x4 + x3 + 2x2 + 3x – 3 = 0, sabendo que uma das raízes é i√3. 
Resolução: 
Temos, então, que -i√3 também é raiz; portanto, o 1º membro é divisível por 
(x - i√3).(x + i√3) = x2 + 3. Dividindo, recaímos em (x2 + 3).(x2 + x – 1) = 0 e 
obtemos as duas raízes restantes: 
x2 + x – 1 = 0 ⇒ x = 
−1 ± √1+4
2
 = 
−1 ± √5
2
 
 
https://www.alfaconcursos.com.br/