Apostila Regimento de Escoamento dos Fluidos 16

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A▪segunda▪integração▪leva▪à▪solução▪geral:
Para▪encontrarmos▪a▪solução▪específica,▪devemos▪determinar▪o▪valor▪
de▪ cada▪ constante▪ (c1▪e▪ c2).▪ Para▪ isso,▪ precisamos▪ analisar▪ o▪ fenômeno▪ de▪
escoamento▪nessa▪geometria▪e▪determinarmos▪as▪condições▪de▪contorno▪por▪
meio▪dessa▪análise.▪Analisando▪o▪escoamento▪percebemos,▪a▪princípio,▪que▪
possuímos▪apenas▪uma▪condição▪de▪contorno,▪ou▪seja,▪para▪r▪=▪R▪(raio▪do▪
tubo)▪o▪valor▪de▪u▪=▪0▪(a▪velocidade▪é▪nula▪na▪parede▪do▪tubo▪por▪causa▪da▪
condição▪de▪não▪deslizamento).▪Entretanto,▪não▪conhecemos▪o▪valor▪de▪u▪em▪
r▪=▪0,▪mas▪sabemos▪que▪u▪tem▪um▪valor▪máximo▪no▪centro▪do▪tubo.▪Se▪essa▪
velocidade▪ deve▪ ser▪ máxima,▪ então,▪ concluímos▪ que▪ essa▪ velocidade▪ u▪ no▪
centro▪do▪ tubo▪ (r▪ =▪ 0)▪ deve▪ ser▪ finita.▪Continuando▪ a▪ análise,▪ se▪ ln(r)▪no▪
segundo▪termo▪do▪lado▪direito▪é▪igual▪a▪infinito▪(∞)▪quando▪r▪=▪0,▪então,▪c1▪
deve▪ser▪obrigatoriamente▪zero▪para▪que▪u▪seja▪finito▪nessa▪região▪(máxima▪no▪
centro▪do▪tubo).▪Portanto,▪já▪temos▪o▪valor▪de▪c1,▪ou▪seja,▪c1▪=▪0.
Observe novamente que, neste caso, a forma da equação de Navier-Stokes adaptada a este 
problema depende das direções em que ocorre variação de pressão (p) e velocidade (u). 
Graças à posição da tubulação (deitada), a pressão varia na direção 
x e o perfil de velocidades varia na direção radial (r), desde o centro 
do tubo (r = 0) até as paredes do tubo (r = R). Saiba mais sobre a 
equação de Navier-Stokes em coordenadas cilíndricas no capítulo 5 do 
livro texto desta unidade (FOX; PRITCHARD; MCDONALD, 2018). Para 
acessar este material, é necessário estar logado na Minha Biblioteca. 
Sendo▪assim,▪a▪solução▪geral▪reduz-se▪a:
Substituindo▪a▪primeira▪e▪conhecida▪condição▪de▪contorno▪(r = R,▪u = 
0)▪e▪rearranjando▪essa▪equação,▪obtemos▪a▪solução▪específica:
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