C1 Lista de Monitoria 4 - 2022_4

Prévia do material em texto

1. Calcule os seguintes limites.
a) lim
x→+∞
x5 + x4 + 1
2x5 + x+ 1
b) lim
x→−∞
(
5 +
1
x
+
3
x2
)
c) lim
x→+∞
2x+ 1
x+ 3
d) lim
x→−∞
x2 − 2x+ 3
3x2 + x+ 1
e) lim
x→+∞
x
x2 + 3x+ 1
f) lim
x→+∞
3
√
5 +
2
x
g) lim
x→+∞
√
x2 + 1
3x+ 2
h) lim
x→+∞
√
x+ 3
√
x
x2 + 3
i) lim
x→+∞
5x4 − 2x+ 1
4x4 + 3x+ 2
j) lim
x→−∞
2x3 + 1
x4 + 2x+ 3
k) lim
x→−∞
3
√
x
x2 + 3
2. Determine os seguintes limites:
a) lim
x→+∞
5x2 − 4x+ 3
3x+ 2
b) lim
x→+∞
√
x2 − 2x+ 2
c) lim
x→+∞
x2 − 4
x+ 1
d) lim
x→+∞
(
√
x2 + 3x+ 4− x)
e) lim
x→5+
6
x− 5
f) lim
x→1
2− x
(x− 1)2
g) lim
x→−2+
x− 1
x2(x+ 2)
h) lim
x→(−π/2)−
sec(x)
i) lim
x→5−
ex
(x− 5)3
j) lim
x→π−
cossec(x)
k) lim
x→5+
ln(x− 5)
3. Encontre os limites das funções abaixo:
a) lim
x→+∞
(
1 +
1
x
)2x
b) lim
x→−∞
(
1 +
3
x
)x
1
Universidade Federal do Pará
Cálculo I - 2022-4 
Prática de Exercícios 4 
Lista de Monitoria
Cálculo I - 2022-4 Atividade de Monitoria 3
c) lim
x→−∞
(
1 +
2
x
)3x
d) lim
x→−∞
(
1 +
3
x
)x
4
e) lim
x→−∞
(
1 +
a
x
)bx
f) lim
x→+∞
(
1− 1
x
)x
4. Calcule:
a) lim
x→+∞
(
x+ 1
x− 1
)x
b) lim
x→+∞
(
x+ 4
x− 3
)x
c) lim
x→+∞
(
x+ 2
x+ 1
)x
d) lim
x→+∞
(
x2 + 1
x2 − 3
)x2
5. Encontre os limites:
a) lim
x→0
sen(2x)
x
b) lim
x→0
sen(3x)
sen(5x)
c) lim
x→0
1− cos(x)
x2
d) lim
x→0
sen(3x)
2x
e) lim
x→0
sen(ax)
bx
f) lim
x→a
sen(x)− sen(a)
x− a
6. Use o Teorema do Confronto para estabelecer o limite indicado:
a) lim
x→0
f(x) para o qual 1− cos2(x) ≤ f(x) ≤ x2 para todo x ∈ (−π, π).
b) lim
t→2
g(t) para o qual 2t− 1 ≤ g(t) ≤ t2 − 2t+ 3 para todo t ̸= 2.
c) lim
x→0
h(x) para o qual |h(x)− 1| ≤ x2 para todo x ̸= 0.
d) lim
t→4
p(t) para o qual 4t− 9 ≤ p(t) ≤ t2 − 4t+ 7 para todo t ≥ 0.
7. Mostre que
a) lim
x→0
x2 sen
(
1
x
)
= 0
b) lim
t→0
sen
(
π
t
)√
t3 + t2 = 0
c) lim
w→0
w3 cos
(
2
w
)
= 0
8. Mostre que a equação dada possui uma solução no intervalo indicado:
2
Cálculo I - 2022-4 Atividade de Monitoria 3
a) 2x7 = 1− x para x ∈ (0, 1)
b)
x2 + 1
x+ 3
+
x4 + 1
x− 4
= 0 para x ∈ (−3, 4)
c) e−x = ln(x) para x ∈ (1, 2)
d)
sen(x)
x
=
1
2
para x ∈
(
π
2
, π
)
9. Um monte tibetano deixa o monastério às 7 horas da manhã e segue sua caminhada usual
para o topo da montanha, chegando lá às 7 horas da noite. Na manhã seguinte, ele parte
do topo às 7 horas da manhã, pega o mesmo caminho de volta, e chega ao monastério às 7
horas da noite. Demonstre que existe um ponto no caminho que o monge cruza exatamente
na mesma hora do dia em ambas as caminhadas. Assuma apenas que o movimento do monge
ocorre continuamente (por exemplo, ele não se teletransporta!).
10. Prove que, em algum momento da vida de um ser humano, o valor da sua altura, em
centímetros, é igual ao valor de sua idade, em dias.
11 (Teorema do Ponto Fixo). Prove que: para toda função contínua f : [0, 1] → [0, 1], existe
x∗ ∈ [0, 1] tal que f(x∗) = x∗. Interprete graficamente.
Os Problemas a seguir indicam consequências pouco intuitivas do Teorema do Valor Inter-
mediário, e devem ser encarados como desafios:
Problema. O seguinte problema foi proposto por H. Whitney. Suponhamos que um trem
trafegue da posição A para a posição B em linha reta numa ferrovia. O trem pode se deslocar
de qualquer modo, acelerando, reduzindo, parando ou andando de ré às vezes. Porém, a a
função s = f(t), que fornece a distância s do ponto A ao trem, em função do tempo t, é dada.
Sobre o piso de um vagão, há uma haste instalada de modo que ela possa se movimentar sem
atrito para frente ou para trás até tocar o chão (como na figura abaixo).
Suponhamos que: a haste se desloque apenas sob influência da gravidade e do movimento do
trem, e se ela de fato tocar o piso, ela permanecerá sobre o piso (não irá ricochetear). É possível
colocar a haste numa posição inicial, de modo que, se ela for liberada no instante em que o
trem partir, ela não caia no piso durante todo o trajeto de A até B? Assuma que o movimento
da haste depende continuamente de sua posição inicial.
Problema. Provar que: para quaisquer duas áreas do plano delimitadas por curvas fechadas
simples, existe uma reta que bissecta ambas.
3