Prove que: para toda função contínua f : [0, 1] → [0, 1], existe x∗ ∈ [0, 1] tal que f(x∗) = x∗. Interprete graficamente.

Para provar que existe \( x^* \in [0, 1] \) tal que \( f(x^*) = x^* \) para toda função contínua \( f: [0, 1] \to [0, 1] \), podemos usar o Teorema do Ponto Fixo de Brouwer. 1. Definição da função: Considere a função \( g(x) = f(x) - x \). Essa função é contínua em \( [0, 1] \) porque \( f \) é contínua e \( x \) é uma função contínua. 2. Valores em extremos: Avaliamos \( g(0) \) e \( g(1) \): - \( g(0) = f(0) - 0 = f(0) \geq 0 \) (já que \( f(0) \in [0, 1] \)) - \( g(1) = f(1) - 1 \leq 0 \) (já que \( f(1) \in [0, 1] \)) 3. Aplicação do Teorema do Valor Intermediário: Como \( g(0) \geq 0 \) e \( g(1) \leq 0 \), pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um ponto \( c \in [0, 1] \) tal que \( g(c) = 0 \). Isso implica que \( f(c) - c = 0 \), ou seja, \( f(c) = c \). 4. Conclusão: Portanto, existe \( x^* = c \in [0, 1] \) tal que \( f(x^*) = x^* \). Interpretação Gráfica: Graficamente, você pode imaginar o gráfico da função \( f(x) \) e a linha \( y = x \). O ponto \( x^* \) é onde o gráfico de \( f(x) \) cruza a linha \( y = x \). Esse ponto representa o valor em que a saída da função é igual à entrada, ou seja, o ponto fixo. Se precisar de mais alguma coisa, é só avisar!