C2 Lista Semanal 6 - 2022_4 (Com Gabarito)

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CÁLCULO II
2022 - 2º Semestre
Lista de Exercícios 6
Questão 1. Mostre que o gráfico da curva de equação paramétrica x = t/2, y = 8t2
faz parte de uma curva de nível da função f = f(x, y) dada por:
f(x, y) =
x2y
16x4 + y2
.
Solução: Calculamos f(x(t), y(t)) como
f(x(t), y(t)) =
(t/2)28t2
16(t/2)4 + (8t2)2
=
2t4
t4 + 64t4
=
2
65
.
Concluímos assim que para todo t ∈ R/{0} temos f(x(t), y(t)) = 2/65, de onde
concluímos que o gráfico de f está contido em uma curva de nível de f .
Questão 2. Determine o domínio da função f = f(x, y) dada por f(x, y) =
√
tg(y)
e− ex
.
Faça um esboço no plano do domínio de f .
Solução: Temos as restrições e− ex ̸= 0 ⇒ x ̸= 1. Analisamos agora o comporta-
mento de f(x, y) para y ∈ [0, π]:
tg(y) ≥ 0 e e− ex > 0
ou
tg(y) ≤ 0 e e− ex < 0
⇒

(0 ≤ y < π/2) e x < 1
ou
(π/2 < y ≤ π) e x > 1
Esse comportamento para o intervalo [0, π] se repete para todo y ∈ R, basta decompor
a reta R em intervalos da forma
R = · · · [−π, 0] ∪ [0, π] ∪ [π, 2π] ∪ · · ·
e para cada um desses intervalos temos o mesmo padrão no plano. A Figura 1 apresenta
um esboço do domínio dessa função.
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Universidade Federal do Pará
Cálculo II Lista de Exercícios 6
Figure 1: Esboço do domínio da função da Questão 2
Questão 3. Faça um mapa de contorno para a função
f(x, y) =
y
x2 + y2
,
e use o mapa de contorno para traçar um esboço do gráfico da função.
Solução: Reescrevemos a equação f(x, y) = k como
f(x, y) = k ⇒ y
x2 + y2
= k ⇒ kx2 + ky2 − y = 0.
Se k = 0, então y = 0 de modo que a curva de nível para k = 0 se reduz a reta y = 0.
Mas se k ̸= 0, então podemos escrever
x2 + y2 − 1
k
y = 0 ⇒ x2 + y2 − 2. 1
2k
y +
(
1
2k
)2
=
(
1
2k
)2
⇒ x2 +
(
y − 1
2k
)2
=
∣∣∣∣ 12k
∣∣∣∣2 ,
que descreve para cada k ̸= 0 uma circunferência de centro (0, 1/2k) e de raio |1/(2k)|.
A Figura 2 apresenta um mapa de contorno para a função f(x, y).
Figure 2: Mapa de contorno da função f(x, y)
Já o esboço do gráfico da função é descrito na Figura 3.
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Cálculo II Lista de Exercícios 6
Figure 3: Esboço do gráfico da função f(x, y)
Questão 4. Calcula as derivadas parciais de primeira ordem, e as derivadas parciais
de segunda ordem das funções a seguir:
a) f(x, y) =
x2 − y
xy
b) f(x, y) = exy − x3y
Solução: a) Temos as primeiras derivadas
∂f
∂x
=
2x2y − (x2 − y)y
x2y2
∂f
∂y
=
(−1)xy − (x2 − y)x
x2y2
∂f
∂x
=
x2y + y2
x2y2
=
1
y
+
1
x2
∂f
∂y
= − x
3
x2y2
= − x
y2
.
Já as segundas derivadas são dadas por:
∂2f
∂x2
= − 2
x3
∂2f
∂y2
=
2x
y3
∂2f
∂x∂y
= − 1
y2
=
∂2f
∂y∂x
b) Temos as primeiras derivadas
∂f
∂x
= yexy − 3x2y ∂f
∂y
= xexy − x3
Já as segundas derivadas são dadas por:
∂2f
∂x2
= y2exy − 6xy
∂2f
∂y2
= x2exy
∂2f
∂x∂y
= exy + xyexy − 3x2 = ∂
2f
∂y∂x
Questão 5. Considere a função f(x, y) = arctg(xy). Se x = et e y = cos(t), calcule
a derivada de f em relação a t.
Solução: Temos
df
dt
=
∂f
∂x
dx
dt
+
∂f
∂y
dy
dt
df
dt
= y(t)
1
1 + (xy)2
et + x(t)
1
1 + (xy)2
(− sen(t)) = e
t(cos(t)− sen(t))
1 + (et cos(t))2
.
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