Física 1-091-093

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Movimento uniformemente variado (MUV) 89
Para fazer uma conversão entre duas unidades, devemos inicialmente obter uma 
relação entre elas, antes de elevar o tempo ao quadrado. Como exemplo, vamos con-
verter km/h2 em m/s2:
•	 1 km = 103 m
•	 1 h = 3 600 s = 3,6 · 103 s
•	 1 
km
h2
 = 
103 m
(3,6)2 · (103)2 s2
 = 
1
3,62 · 103
 
m
s2
um segundo modo é o do cancelamento em cascata, em que multiplicamos sequen-
cialmente os fatores, cancelando as unidades a serem substituídas:
•	 1 
km
h2
 = 
1 km
1 h2
 
103 m
1 km
 
1 h2
(3,6 · 103)2 s2
 = 
103 m
(3,6)2 · (103)2 s2
 = 
1
3,62 · 103
 
m
s2
3. aceleração escalar instantânea
A acelera•‹o escalar instant‰nea é a aceleração do móvel num dado instante. No 
entanto, para a sua defi nição rigorosa, precisamos novamente recorrer ao cálculo de 
Newton, usando o limite.
seja T um dado instante para o qual se deseja calcular a aceleração escalar instantâ-
nea. Como sabemos calcular apenas a aceleração escalar num dado intervalo de tempo, 
façamos o seguinte:
•	 [t
1
; t
2
] será um intervalo de tempo tal que t
1
 ⩽ t ⩽ t
2
, ou seja, o instante T está 
contido no intervalo de tempo. seja também Δt = t
2
 – t
1
.
•	 v
1
 e v
2
 são as respectivas velocidades escalares nos instantes considerados. A 
variação de velocidade escalar é: Δv = v
2
 – v
1
.
Defi nimos aceleração escalar instantânea como o limite a que tende o valor do quo-
ciente Δv
Δt
 quando diminuímos sucessivas vezes o intervalo de tempo Δt, fazendo-o 
tender a zero. Escreve-se:
α = 
Δt→0
lim α
m
 ⇔ α = 
Δt→0
lim 
v
2
 – v
1
t
2
 – t
1
o conceito aqui empregado no uso do limite é bastante análogo àquele que usamos 
no capítulo 4, quando defi nimos a velocidade escalar instantânea. Apenas vamos acres-
centar que a aceleração escalar instantânea também poderá ser obtida com a derivada 
da função v = f(t), como veremos no texto O c‡lculo diferencial e integral (capítulo 5 
do CD).
Exercícios de aplicação
1. Um ponto material possui um movimento variado 
e a sua velocidade escalar foi medida em alguns 
instantes, como nos mostra a tabela. 
t (s) v (m/s)
1,0 2,2
2,0 3,0
4,0 8,5
5,0 4,5
7,0 5,5
Determine a aceleração escalar média nos inter-
valos de tempo:
a) entre 1,0 s e 2,0 s; 
b) entre 2,0 s e 5,0 s; 
c) entre 4,0 s e 7,0 s.
Resolu•‹o:
A aceleração escalar média deve ser entendida 
apenas como a razão entre a variação da veloci-
dade escalar (Δv) e o intervalo de tempo (Δt).
PRoCuRE no Cd
Veja, no capítulo 
5 do CD, o texto O 
cálculo diferencial 
e integral.
Capítulo 590
a) Para o intervalo de tempo [1,0 s; 2,0 s]
α
m
 = 
Δv
Δt
 ⇒ α
m
 = 
3,0 – 2,2
2,0 – 1,0
 = 
0,8
1,0
 ⇒
⇒ α
m
 = 0,8 m/s2
b) Para o intervalo de tempo [2,0 s; 5,0 s]
α
m
 = 
Δv
Δt
 ⇒ α
m
 = 
4,5 – 3,0
5,0 – 2,0
 = 
1,5
3,0
 ⇒
⇒ α
m
 = 0,5 m/s2
c) Para o intervalo de tempo [4,0 s; 7,0 s]
α
m
 = 
Δv
Δt
 ⇒ α
m
 = 
5,5 – 8,5
7,0 – 4,0
 = 
–3,0
3,0
 ⇒
⇒ α
m
 = –1,0 m/s2
Cuidado!
Resista à tentação de dividir o valor da 
velocidade instantânea pelo tempo. Isso não 
pode ser feito. Use sempre uma variação de 
velocidade (Δv) e divida-a pelo respectivo 
intervalo de tempo (Δt).
Observamos pelos cálculos que a aceleração 
escalar média pode ser positiva ou negativa. 
Nos casos em que a velocidade escalar aumentou 
(Δv > 0), ela resultou positiva e, nos casos em 
que a velocidade escalar diminuiu (Δv < 0), ela 
resultou negativa.
2. Um carro numa estrada estava com uma velocida-
de escalar de 72 km/h e necessitava ultrapassar 
um caminhão. Pisando no acelerador, o motorista 
alcançou, num intervalo de tempo de 2,5 s, a 
velocidade escalar de 90 km/h. Podemos afirmar 
que a aceleração escalar média nesse intervalo de 
tempo foi de:
a) 0,5 m/s2 d) 7,2 m/s2
b) 1,5 m/s2 e) 7,2 km/h2
c) 2,0 m/s2
3. O manual de um carro afirma que o veículo pode 
ser acelerado de zero a 129,6 km/h em apenas 
3,6 s. Determine a aceleração escalar média do 
veículo:
a) em m/s2 
b) em km/s2 
c) em km/h2
4. A velocidade escalar de uma partícula era de 12 m/s 
e ela foi acelerada durante um intervalo de 
tempo de 4,0 s, tendo obtido uma aceleração 
escalar média de 1,5 m/s2. Sua velocidade escalar 
final foi de:
a) 6,0 m/s d) 22 m/s
b) 18 m/s e) 24 m/s
c) 20 m/s
Exercícios de Reforço
5. (PUC-RJ) Um objeto em movimento uniforme 
variado tem sua velocidade inicial v
0
 = 0,0 m/s 
e sua velocidade final v
f
 = 2,0 m/s, em um 
intervalo de tempo igual a 4,0 s. A aceleração do 
objeto, em m/s2, é:
a) 
1
4
 d) 2
b) 
1
2
 e) 4
c) 1 
6. (U. E. Londrina-PR) A velocidade escalar de um 
carro está representada em função do tempo na 
figura. 
v (m/s)
30,0
20,0
10,0
0 10,0 t (s)
Podemos concluir que a aceleração escalar média 
entre t
1
 = 0 e t
2
 = 10,0 s é:
a) nula d) 2,0 m/s2
b) 1,0 m/s2 e) 3,0 m/s2
c) 1,5 m/s2
Movimento uniformemente variado (MUV) 91
4. Movimento acelerado e movimento retardado
Ao dirigirmos um carro, o velocímetro indica o módulo da velocida-
de. Em nosso cotidiano, isso é muito prático; não interessa o sinal da 
velocidade escalar.
Para aumentar a velocidade de um carro, basta pisar no acelerador. 
Dizemos que o estamos acelerando. Para diminuir a velocidade, basta 
pisar no freio. Dizemos que o estamos freando.
Quando o carro está acelerando, seu movimento é chamado acele-
rado e, quando está freando, seu movimento é chamado retardado.
Essa variação de velocidade é sempre causada por uma força que 
atua no carro. No movimento acelerado, a força atua no mesmo sen-
tido do movimento (fig. 2), ao passo que no retardado ela atua em 
sentido oposto ao do movimento (fig. 3).
Na Dinâmica vamos aprender que a força que atua num corpo 
causa uma aceleração na sua direção e sentido. Na Cinemática, não 
trabalhamos com força, mas apenas com aceleração. Então, vamos 
repetir as figuras 2 e 3 trocando força por aceleração.
Podemos, portanto, concluir que:
•	 no movimento acelerado, a aceleração tem o mesmo sen-
tido da velocidade e o módulo desta aumenta com o tempo 
(fig. 4);
•	 no movimento retardado, a aceleração tem o sentido opos-
to ao da velocidade e o módulo desta diminui com o tempo 
(fig. 5).
5. os sinais algébricos da aceleração escalar e 
da velocidade escalar
Na Cinemática escalar não se trabalha com vetores, mas apenas com os sinais das 
grandezas: da velocidade escalar e da aceleração escalar.
Assim, quando se diz que a aceleração atua no mesmo sentido da velocidade, sig-
nifica que ambas têm o mesmo sinal. Quando se diz que a aceleração atua em sentido 
oposto ao da velocidade, significa que elas têm sinais contrários.
Notemos que o sinal algébrico da aceleração escalar não é suficiente para dizer se o 
movimento é acelerado ou retardado. Precisamos comparar o sinal da velocidade com 
o da aceleração.
Podemos, portanto, concluir que:
No movimento acelerado, a velocidade e a aceleração escalar 
atuam no mesmo sentido e, portanto, têm o mesmo sinal.
(v > 0) e (α > 0) ou, então, (v < 0) e (α < 0)
No movimento retardado, a velocidade e a aceleração escalar 
atuam em sentidos opostos e, portanto, têm sinais contrários.
(v > 0) e (α < 0) ou, então, (v < 0) e (α > 0)
Lu
iz
 A
u
g
u
s
t
o
 R
ib
E
iR
o
movimento
F
v
Figura 2. Carro em movimento acelerado.
movimento
F
v
Figura 3. Carro em movimento retardado.
α
movimento
v
Figura 4. Carro em movimento acelerado.
movimento
α
v
Figura 5. Carro em movimento retardado.
O conceito de movimento acelerado e de 
movimento retardado não requer uma 
orientação da trajetória, pois trabalhamos 
apenas com o módulo da velocidade. 
Portanto, ele não depende do sentido em 
que ela estiver orientada.