Física 1-163-165

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CAPÍTULO
9Cinemática vetorial
Cinemática vetorial 161
1. Vetor deslocamento
2. Velocidade vetorial 
média
3. Velocidade vetorial 
instantânea
4. Aceleração vetorial 
média
5. Aceleração vetorial 
instantânea
1. Vetor deslocamento
Consideremos uma partícula mo-
vendo-se em uma trajetória qualquer. 
Na Cinemática escalar determinamos a 
posição da partícula pela sua abscissa 
s; na Cinemática vetorial determina-
mos a posição da partícula através de 
seu vetor posição p (fi g. 1). O vetor 
posição da partícula, em um instante 
t, é um vetor que tem origem em um 
ponto O (arbitrariamente escolhido) e 
extremidade no ponto onde se encon-
tra a partícula. 
Sejam s
1
 e s
2
 as abscissas da par-
tícula nos instantes t
1
 e t
2
, respectiva-
mente (com t
2
 > t
1
), e sejam p
1
 e p
2
 os 
vetores posição da partícula nos mes-
mos instantes. Na Cinemática escalar 
defi nimos a variação de abscissa Δs por 
Δs = s
2
 – s
1
. Na Cinemática vetorial de-
fi nimos o vetor deslocamento (d ) da 
partícula entre os instantes t
1
 e t
2
 por:
d = p
2
 – p
1
 
isto é, o vetor deslocamento é o vetor representado pelo segmento orientado cuja 
origem é a extremidade do vetor p
1
 e cuja extremidade é a extremidade do vetor p
2
 
(fi g. 2).
Observando a fi gura 2, percebemos que:
|Δs| ⩾ |d|
O caso |Δs| = |d| ocorre quando a trajetória é retilínea (fi g. 3) ou quando Δs = 0.
p
O
s
t
Figura 1.
d
Δs
p
1
p
2
O
s
1
t
1
t
2
s
2
Figura 2.
d
s
1
s
2
Δs
Figura 3. Quando a trajetória é retilínea, 
temos |Δs| = |d|.
IL
u
ST
R
A
ç
õ
eS
: 
ZA
PT
Capítulo 9162
2. Velocidade vetorial média
Na Cinemática escalar, definimos a velocidade escalar média v
m
 por:
v
m
 = 
Δs
Δt
Na Cinemática vetorial, definimos a velocidade vetorial média v
m
 por:
v
m
 = 
d
Δt
Como Δt > 0, o vetor v
m
 deve ter a mesma direção e o mesmo sentido de d (fig. 4), 
desde que d ≠ 0.
Vimos no item anterior que: |Δs| ⩾ |d|
Dividindo os dois membros por Δt, obtemos: 
|Δs|
Δt
 ⩾ 
|d|
Δt
 
ou:
|v
m
| ⩾ |v
m
|
isto é:
O módulo da velocidade escalar média é maior ou igual ao módulo da velocidade 
vetorial média, num mesmo intervalo de tempo.
v
m
d
Figura 4.
Exercícios de Aplicação
1. Uma partícula move-se sobre uma superfície 
plana horizontal. Ela parte de um ponto A, move- 
se 3,0 m para o norte, em trajetória retilínea, e, 
em seguida, move-se 4,0 m para o leste, também 
em trajetória retilínea, gastando 10 segundos 
nessa viagem. Calcule os módulos:
a) da distância percorrida; 
b) do vetor deslocamento; 
c) da velocidade escalar média;
d) da velocidade vetorial média.
Resolu•‹o:
a) A partícula sai do ponto A (veja a figura) 
e move-se 3,0 m para o norte, atingindo o 
ponto B. A seguir move-se 4,0 m para o leste, 
atingindo o ponto C.
B
A
C
4,0 m
3,0 m
v
m
d
 
LO
N
S
|Δs| = 3,0 + 4,0
|Δs| = 7,0 m
b) |d|2 = (3,0)2 + (4,0)2 = 25
|d| = 5,0 m
c) |v
m
| = 
|Δs|
Δt
 = 
7,0
10
|v
m
| = 0,70 m/s
d) |v
m
|
 = 
|d|
Δt = 
5,0
10
|v
m
| = 0,50 m/s
2. Uma partícula move-se em linha reta com veloci-
dade escalar constante e igual a 5,0 m/s. Para um 
intervalo de tempo Δt = 4,0 segundos, calcule os 
módulos:
Cinemática vetorial 163
a) da distância percorrida; 
b) do vetor deslocamento; 
c) da velocidade escalar média;
d) da velocidade vetorial média.
3. Uma partícula move-se com velocidade escalar 
constante sobre uma circunferência de raio 
R = 20 m, gastando 12 segundos para completar 
uma volta. Para um intervalo de tempo Δt = 2,0 s, 
calcule os módulos:
a) da distância percorrida; 
b) do vetor deslocamento; 
c) da velocidade escalar média;
d) da velocidade vetorial média.
Exercícios de Reforço
4. (UF-MA) Partindo de um ponto A (figura a 
seguir) um menino anda, passando pelos pontos 
B, C, D, B e E, onde para. 
C
20 m 20 m
40 m40 m
30 m
30 m
D
E
B
A
O caminho percorrido e o módulo do vetor deslo-
camento são, respectivamente, iguais a:
a) 150 m e 30 m d) 160 m e 30 m
b) 150 m e 20 m e) 180 m e 20 m
c) 160 m e 20 m
5. Uma partícula tem trajetória circular de raio 
R = 2,0 m. Num certo intervalo de tempo Δt, a 
partícula executa um quarto de volta. Para esse 
intervalo de tempo calcule o módulo do vetor 
deslocamento.
6. Uma partícula percorreu em dois segundos a tra-
jetória ABCD da figura a seguir. 
1 cm
C D
BA
1 cm
Para esse percurso calcule os módulos da:
a) velocidade escalar média;
b) velocidade vetorial média.
7. Uma pedra é lançada verticalmente para 
cima, a partir do solo, com velocidade ini-
cial 40 m/s, num local onde g = 10 m/s2. 
Calcule o módulo da velocidade vetorial média 
da pedra para o intervalo de tempo que vai do 
instante de lançamento até o instante em que a 
pedra volta ao solo.
3. Velocidade vetorial instantânea
Na Cinemática escalar definimos a velocidade escalar instantânea (v) por:
v = lim
Δt→0
 
Δs
Δt
Agora definiremos a velocidade vetorial instant‰nea (v) por:
v = lim
Δt→0
 
d
Δt
Assim, se quisermos calcular a velocidade vetorial instantânea de uma partícula 
quando esta passa por um ponto P, devemos tomar outro ponto Q da trajetória, de-
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