Física 3-250-252

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Capítulo 13248
São executadas as seguintes operações (nesta 
ordem):
1ª.) Mantendo-se y aberta, fecha-se x.
2ª.) Depois de ser atingido o equilíbrio eletrostá-
tico, abre-se x.
3ª.) Fecha-se y.
Calcule as cargas finais de A e B.
Logo:
σ
1
σ
2
 = 
Q1
4πR
1
2
Q2
4πR
2
2 
 ⇒ 
σ
1
σ
2
 = 
Q
1
 · R
2
2
Q
2
 · R
1
2
 2
Substituindo 1 em 2 , vem:
σ
1
σ
2
 = 
R
1
 · R
2
2
R
2
 · R
1
2
 ⇒ 
σ
1
σ
2
 = 
R2
R
1
 3
A equação 3 nos mostra que duas esferas con-
dutoras eletrizadas, em equilíbrio eletrostático e 
com o mesmo potencial, têm densidades de car-
gas inversamente proporcionais aos raios, donde 
concluímos que:
•	a de menor raio tem maior densidade;
•	a de maior raio tem menor densidade.
Isso, de certo modo, justifica a afirmação feita 
no item 7 deste capítulo: No caso de um condu-
tor não esférico, carregado e isolado, as cargas 
em excesso concentram-se mais nas regiões de 
menor raio de curvatura.
20. Considere duas esferas condutoras de raios R
1
 e R
2
 
e eletrizadas. Interligando-as por um fio condu-
tor ideal, elas entram em equilíbrio eletrostático. 
Sendo as respectivas densidades superficiais de 
cargas iguais a σ
1
 e σ
2
, determine a razão 
σ
1
σ
2
.
Resoluç‹o:
Seus potenciais são iguais, e as cargas elétricas 
são proporcionais aos respectivos raios, conforme 
se verifica nas equações abaixo:
V
1
 = V
2
 ⇒ K
0
Q1
R
1
 = K
0
Q2
R
2
 ⇒ 
Q1
Q
2
 = 
R1
R
2
 1
As densidades de cargas são:
σ
1
 = 
Q1
4πR
1
2
σ
2
 = 
Q2
4πR
2
2
21. Duas esferas condutoras A e B, de raios R
A
 e R
B
, 
eletrizadas com cargas Q
A
 e Q
B
, estão inicialmente 
isoladas e bem afastadas uma da outra. Ligando-
se as esferas por um fio condutor de capacidade 
desprezível, depois de algum tempo é atingido 
o equi líbrio eletrostático. Sendo V
E
 o potencial de 
equi líbrio. Demonstre que:
V
E
 = K 
Q
A
 + Q
B
R
A
 + R
B
, onde K é a constante que apa-
rece na Lei de Coulomb.
Exercícios de Reforço
Texto das questões 22 e 23:
Esferas condutoras eletrizadas e isoladas têm 
suas cargas elétricas uniformemente distribuídas 
pela superfície. Quando conectamos duas esferas 
eletrizadas por um fio condutor, as cargas elétri-
cas fluem de uma para a outra até se equilibra-
rem os potenciais elétricos. Temos duas esferas, A 
e B, isoladas uma da outra, que serão conectadas 
por um fio condutor. Inicialmente, temos:
22. Ao conectarmos o fio condutor, as cargas elétri-
cas distribuem-se proporcionalmente ao raio de 
cada esfera. Determine as cargas Q'
A
 e Q'
B
 respecti-
vamente, de A e B.
23. Após o equilíbrio eletrostático, determine o po ten- 
cial elétrico comum.
24. (UF-CE) Duas esferas condutoras de 
raio R
1
 e R
2
 estão separadas por uma 
distância muito maior que o raio 
de qualquer das duas esferas. As 
esferas estão conectadas por um fio 
condutor, como mostra a figura. Se 
as cargas das esferas em equilíbrio 
são, respectivamente, q
1
 e q
2
, deter-
mine a razão entre as cargas q
1
 e q
2
.
Q
A
 = +8,0 pC
R
A
 = 2,0 cm
Q
B
 = –3,0 pC
R
B
 = 3,0 cm
Il
u
St
r
A
ç
õ
ES
: 
ZA
Pt
A
+
+
++
+ +
+ +
B
isolantes
x
y
A
B
R 1
R 2
Condutores em equilíbrio eletrostático 249
Exercícios de Aprofundamento
25. (UPE-PE) Na figura a seguir, dois condutores 
esféricos, A e B, carregados, cujos raios são res-
pectivamente R
A
 = 6 cm e R
B
 = 2 cm estão sepa-
rados por uma distância muito maior que 6 cm 
e conectados por um longo fio condutor fino. 
Uma carga total Q = 8,0 · 10–8 C é colocada em 
uma das esferas.
30. Uma esfera oca (A), de 
raio externo R = 20 cm, 
estava eletrizada com 
uma carga elétrica posi-
tiva Q = +15 μC. No seu 
interior foi introduzida 
uma segunda esfera (B) 
de raio r = 1,0 cm, ele-
trizada com carga elétrica 
negativa – 5,0 μC. As esfe-
ras ficaram concêntricas. 
Determine:
a) a carga elétrica na superfície interna da esfera A;
b) a carga elétrica total na superfície externa da 
esfera A;
c) a intensidade da força elétrica resultante na 
esfera B;
d) o potencial elétrico resultante num ponto 
P situado na superfície da esfera B. Adote 
K
0
 = 9,0 · 109 · 
N · m2
C2
.
Il
u
St
r
A
ç
õ
ES
: 
ZA
Pt
R
A
R
B
A
B
Considerando a constante eletrostática no vácuo, 
pode-se afirmar que, após o equilíbrio eletros-
tático:
a) o potencial elétrico na superfície do condutor 
A é menor do que o potencial elétrico na 
superfície do condutor B.
b) o potencial elétrico no interior do condutor A 
é maior do que o potencial elétrico no inte-
rior do condutor B.
c) a carga elétrica do condutor A é o triplo da 
carga elétrica no condutor B.
d) o campo elétrico é o mesmo na superfície dos 
dois condutores.
e) o potencial elétrico na superfície dos condu-
tores A e B é o mesmo e vale 9 · 102 V.
26. (Unicamp-SP) Duas esferas condutoras A e B 
distantes possuem o mesmo raio R e estão car-
regadas com cargas Q
A
 = – q e Q
B
 = +2q, res-
pectivamente. Uma terceira esfera condutora C, 
de mesmo raio R, porém descarregada, é trazida 
desde longe e é levada a tocar primeiramente a 
esfera A, depois a esfera B e em seguida é levada 
novamente para longe.
a) Qual é a diferença de potencial entre as esfe-
ras A e B antes de a esfera C tocá-las?
b) Qual é a carga final da esfera C?
27. O quociente entre a carga elétrica de um condu-
tor eletricamente isolado e seu potencial elétrico 
Q
V
 é constante e denomina-se capacitância do 
condutor. No SI essa grandeza tem por unidade 
o farad (F ), uma homenagem a Michael Faraday. 
Determine a capacitância dos seguintes conduto-
res em equilíbrio eletrostático:
a) um corpo alongado carregado com carga elétri-
ca de 4,0 pC, cujo potencial elétrico é 2,0 μC;
b) uma esfera condutora de raio R, eletrizada, 
num meio de permitividade absoluta ε
0
.
28. Usando o conceito de capacitância do exercício 
anterior, determine a carga elétrica adquirida por 
uma esfera de capacitância 3,0 nF ao ser interli-
gada com um gerador Van de Graaff que atingiu 
o potencial de 2,0 MV.
29. (ITA-SP) Uma esfera condutora de raio 0,500 cm 
é elevada a um potencial de 10,0 V. Uma segunda 
esfera, bem afastada da primeira, tem raio 1,00 cm 
e está ao potencial 15,0 V. Elas são ligadas por 
um fio de capacitância desprezível. Sabendo 
que o meio no qual a experiência é realizada é 
homogêneo e isotrópico, podemos afirmar que os 
potenciais finais das esferas serão:
a) 12,5 V e 12,5 V.
b) 8,33 V para a primeira e 16,7 V para a segunda.
c) 16,7 V para a primeira e 8,33 V para a segunda.
d) 13,3 V e 13,3 V.
e) zero para a primeira e 25,0 V para a segunda.
Condutores em equilíbrio eletrostático 249
Capítulo 13250
31. Na figura temos um campo elétrico uniforme, de 
intensidade constante E = 6,0 N/C. Um prisma 
metálico é imerso na região de tal maneira que 
as linhas de força sejam perpendiculares às suas 
faces a e b. 
33. Na figura temos três esferas de diâmetros diferen-
tes e igualmente eletrizadas com a mesma carga 
elétrica Q. Temos também uma quarta esferinha 
(raio desprezível), também eletrizada com carga 
elétrica Q, a qual gera no ponto 4 um campo elé-
trico de intensidade E = 4k N/C. Todos os quatro 
pontos estão à mesma distância d do centro de 
suas respectivas esferas. Considere que o ponto 2 
esteja infinitamente próximo da esfera 2.
Analise as afirmativas seguintes:
I. Ocorrerá indução eletrostática e eletrizará as 
faces a e b do prisma.
II. Haverá formação de um campo elétrico no 
interior do prisma, no mesmo sentido do 
campo externo.
III. Haverá formação de um campo interno ao 
prisma, de intensidade 6,0 N/C.
IV. Haverá formação de um campo interno no 
prisma, de sentido contrário ao campo exter-
no, mas o prisma ficará em equilíbrio eletros-
tático.
32. Sabemos que se uma esferinha de raio R, neutra, 
tocar externamente uma outra esfera eletrizada 
de raio 9R, ela vai retirar 10% de sua carga elé-
trica. Usando-se entãouma esfera oca metálica 
de raio 9R, neutra, e uma esferinha condutora de 
raio R presa na ponta de um bastão, foi feita a 
seguinte operação:
I. Eletrizou-se a esferinha com uma carga elétri-
ca q, positiva.
II. Introduziu-se cuidadosamente, através de um 
orifício existente na esfera maior, o bastão, 
até que sua esferinha tocasse a superfície 
interna da esfera oca (fig. 1).
III. O bastão é retirado e encostado na superfície 
externa da esfera oca (fig. 2).
IV. O bastão é novamente carregado com a mesma 
carga anterior, e o ciclo é repetido n vezes.
Determine a carga elétrica residual na esfera oca:
a) ao final do quarto ciclo;
b) ao final do enésimo ciclo.
Figura 1. Figura 2. 
a) Determine a intensidade do campo elétrico 
em cada um dos outros três pontos.
b) Ordene, por ordem decrescente, as densidades 
superficiais de carga das três primeiras esferas.
c) Ordene, por ordem decrescente, o potencial 
elétrico nos pontos 1, 2 e 3.
34. (UnB-DF) Duas esferas metálicas A e B, de raios 
2R e R, respectivamente, são eletrizadas com 
cargas Q
A
 e Q
B
. Uma vez interligadas por um fio 
metálico, não se observa passagem de corrente. 
Podemos então afirmar que a razão 
Q
A
Q
B
 é igual a:
a) 
1
2
 d) 4
b) 1 e) 
1
4
c) 2
35. (UF-CE) Uma esfera de 20 mm de raio é carrega-
da eletricamente até um potencial de 4 V. Uma 
segunda esfera, de raio não conhecido, é também 
carregada até um potencial de 2 V. As esferas, 
que estão no vácuo e separadas por uma dis-
tância razoavelmente grande, são então ligadas 
por um fio condutor de capacidade desprezível. 
Sabendo que o potencial de equilíbrio após a 
ligação é de 2,5 V, determine, em mm, o raio da 
segunda esfera.
36. (Fuvest-SP) Dois condutores esféricos A e B, de 
raios respectivos R e 2R, estão isolados e muito 
distantes um do outro. As cargas das duas esferas 
são de mesmo sinal e a densidade superficial de 
carga da primeira é igual ao dobro da densidade 
de carga da segunda. Interligam-se as duas esfe-
ras por um fio condutor. Diga se uma corrente 
elétrica se estabelece no fio e, em caso afirma-
tivo, qual o sentido da corrente. Justifique sua 
resposta.
Il
u
St
r
A
ç
õ
ES
: 
ZA
Pt
ba
E
1
O
432
(Q)
OO
(Q)(Q)
(Q)
d
Capítulo 13250