FÍSICA ELETRICIDADE AULA 1

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FÍSICA – ELETRICIDADE 
AULA 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof.ª Fernanda Fonseca 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
Iniciaremos esta aula compreendendo como se desenvolveu o estudo da 
Eletricidade. Mesmo já sendo conhecidos desde a Antiguidade, antes do século 
XVII pouco se sabia sobre os fenômenos elétricos e suas causas até esse 
período. Esses fenômenos eram muito confundidos com os fenômenos 
magnéticos – conforme discutiremos mais adiante. 
Como já haviam registros sobre efeitos atrativos causados por âmbar e 
outros materiais, como o azeviche e o diamante, William Gilbert buscou 
compreender esses fenômenos de forma experimental, publicando seus 
resultados, em 1600, no livro intitulado De magnete. Nessa obra, Gilbert 
diferencia os fenômenos elétricos dos fenômenos magnéticos (Rocha, 2002). 
O objetivo desta aula é compreender as características, as causas e os 
efeitos dos fenômenos elétricos em partículas e corpos estáticos. Ainda, 
compreender as teorias e os modelos físicos relacionados ao estudo da 
eletricidade. Iniciaremos discutindo a composição da matéria e suas 
características elétricas, para então compreendermos as interações entre cargas 
elétricas e a influência no espaço ao seu redor (força elétrica e campo elétrico). 
TEMA 1 – CARGA ELÉTRICA 
Atualmente, adotamos um modelo atômico no qual o átomo possui um 
núcleo em torno do qual orbitam os elétrons. No entanto, as trajetórias dos 
elétrons não são determinadas, podendo ser descritas como regiões com maior 
probabilidade para que o elétron se encontre (Silva; Cunha, 2008). Essa região 
é denominada eletrosfera. 
 
 
3 
Figura 1 – Modelo Atômico atual 
 
Os elétrons que se movimentam na região da eletrosfera têm massa 
9,109⋅10-31 kg e carga elétrica –1,602⋅10-19 C. São partículas indivisíveis de carga 
elétrica negativa. A região do núcleo é composta por prótons e nêutrons. Essas 
partículas têm massa praticamente iguais – a massa do próton é 1,673⋅10-27 kg 
e a massa do nêutron é 1,675⋅10-27 kg. A carga elétrica do próton é +1,602⋅10-19 C, 
e o nêutron tem carga elétrica nula. 
Atualmente, sabemos que essas duas partículas do núcleo são 
compostas por combinações de dois tipos de quarks – quark up e quark down. 
As formas como três quarks se combinam diferenciam as duas partículas, como 
pode ser visto na figura 2. O módulo da carga do elétron e do próton é dada por 
e = 1,602⋅10-19 C, denominada carga elementar. 
Eletrosfera: região 
onde orbitam os 
elétrons 
Núcleo: região em 
que se localizam 
prótons e nêutrons 
 
 
 
4 
Figura 2 – Prótons e nêutrons 
 
Todo corpo neutro na natureza possui o mesmo número de prótons e 
elétrons na sua composição. Para que um corpo fique eletrizado, uma dessas 
partículas deverá estar em maior número. Ou seja, um corpo eletrizado 
positivamente tem prótons em excesso, e um corpo eletrizado negativamente 
tem elétrons em excesso. 
O módulo da quantidade de carga armazenada em um corpo é sempre 
um múltiplo da carga elementar, sendo dada pela equação 1 a seguir. 
|𝑞𝑞| = 𝑛𝑛 ∙ 𝑒𝑒 (1) 
Em que q é a quantidade de carga armazenada, n é o número de 
prótons/elétrons em excesso, e e é o valor da carga elementar. 
A carga de um corpo é medida em Coulomb, em homenagem a Charles 
Augustin de Coulomb, físico francês do século XVIII, que enunciou a lei que 
descreve a relação entre a força elétrica e a distância entre cargas elétricas 
estáticas. 
Um dos princípios que fundamenta a Eletrostática é o princípio da atração 
e repulsão: 
TEMA 2 – PROCESSOS DE ELETRIZAÇÃO 
Desde a Antiguidade, há registros de observação do comportamento 
atrativo do âmbar e da palha, após fricção do âmbar em pelos de animais. Esse 
acontecimento ocorre devido à eletrização do âmbar pelo atrito. Os gregos 
Corpos eletrizados com cargas elétricas com mesmo sinal se repelem, e 
corpos eletrizados com cargas elétricas com sinais diferentes se atraem. 
 
 
5 
chamavam âmbar de elektron, motivo pelo qual Gilbert denominou os eventos 
atrativos como o do âmbar de fenômenos elétricos (Rocha, 2002). 
No entanto, a eletrização não ocorre apenas com a fricção. Há três formas 
de eletrização de um corpo: por atrito, por contato e por indução. Para melhor 
compreender esses processos, devemos conhecer outro princípio que 
fundamenta a Eletrostática: o Princípio da Conservação das Cargas Elétricas, 
que enuncia que a soma algébrica das cargas elétricas em um sistema de corpos 
isolado, ou seja, sem influência externa, deve permanecer constante. Isso 
significa que, mesmo que um corpo transfira elétrons para outro corpo, a soma 
da carga elétrica total do sistema permanecerá sempre a mesma (Young; 
Freedman, 2015). 
2.1 Eletrização por atrito 
Ao atritarmos corpos de materiais diferentes, os corpos tendem a perder 
ou ganhar elétrons, dependendo da sua composição. As diferentes substâncias 
podem ser listadas em uma sequência de acordo com a tendência e o sinal da 
carga adquirida durante a fricção com as outras substâncias. Essa sequência é 
chamada de série triboelétrica. 
Nesse processo de eletrização, os dois corpos incialmente neutros (um 
bastão de vidro e um pedaço de lã, por exemplo) ficam eletrizados com cargas 
elétricas de mesmo módulo, mas de sinais opostos, uma vez que um deles 
perderá elétrons (no exemplo, o bastão de vidro perderá elétrons) e ficará 
positivamente eletrizado, enquanto o outro ganhará esses elétrons (no exemplo, 
o pedaço de lã ganhará o elétron) e ficará negativamente eletrizado. 
 
 
6 
Figura 3 – Eletrização por atrito 
 
Os materiais ainda podem ser classificados como condutores ou 
isolantes. Materiais condutores têm mais elétrons livres (elétrons fracamente 
ligados ao núcleo atômico e que podem ser removidos com uma força pequena), 
o que torna mais fácil a movimentação e, consequentemente, a distribuição das 
cargas pelo corpo – como os metais. Materiais isolantes (ou dielétricos) 
conservam as cargas em determinadas regiões (Ramalho Junior; Ferraro; 
Soares, 2009). 
2.2 Eletrização por contato 
Veja que, devido à repulsão entre as cargas elétricas, materiais 
condutores eletrizados têm suas cargas distribuídas em sua superfície externa. 
Ao colocarmos dois corpos condutores, um eletrizado negativamente (por 
exemplo) e outro neutro, em contato, os elétrons serão repelidos para o corpo 
neutro. Quando separados, o corpo antes neutro também ficará eletrizado 
negativamente. 
No caso de contato entre um corpo eletrizado positivamente e outro corpo 
neutro, o corpo eletrizado atrairá os elétrons do corpo neutro. Esse corpo, antes 
neutro, perderá elétrons e ficará eletrizado positivamente após os dois corpos 
serem separados (veja na Figura 4). 
 
 
7 
Figura 4 – Eletrização por contato 
 
Veja que, na eletrização por contato, os dois corpos sempre ficarão com 
cargas de mesmo sinal após a eletrização. 
A Terra é visto como um corpo neutro que pode ser um doador ou receptor 
de elétrons. Todo corpo eletrizado, ao ser ligado com a Terra, fica neutro. 
Corpos condutores idênticos tendem a dividir a carga total do sistema em 
contato igualmente entre os corpos. Por isso, após a eletrização, tendem a ficar 
com cargas elétricas iguais. 
2.3 Eletrização por indução 
No processo de eletrização por indução, não há contato entre o corpo 
eletrizado e o corpo a ser eletrizado, há apenas uma aproximação. A 
aproximação de um corpo eletrizado positivamente, por exemplo, polariza o 
corpo neutro devido à atração gerada sobre as cargas de sinal oposto. 
Ao conectarmos esse corpo polarizado com a Terra, ele receberá mais 
elétrons devido à atração do corpo eletrizado. Após a eletrização, o corpo antes 
neutro é desconectado da Terra, ficando eletrizado negativamente. O corpo 
ficará então com a carga de sinal oposto ao do corpo causador da eletrização 
(corpo eletrizado positivamente, no caso do exemplo). 
Em uma situação em que o corpo eletrizadoque induz a eletrização é 
negativo, os elétrons do corpo polarizado migrarão para a Terra, deixando o 
corpo eletrizado positivamente após o processo. 
 
 
8 
Figura 5 – Eletrização por indução 
 
2.4 Gerador Eletrostático de Van de Graaff 
O estudo dos processos de eletrização permite o acumulo de cargas no 
Gerador de Van de Graaff, que consiste em uma calota esférica metálica, 
sustentada por suportes isolantes, mas em contato com uma escova metálica 
que é atritada com uma correia de borracha, posicionada em uma de suas 
extremidades. Essa correia é, em sua outra extremidade, conectada a outra 
escova metálica, que faz ligação com a Terra, descarregando a correia. 
Um motor aciona a correia para que ocorra a fricção entre a borracha e 
as escovas, fazendo com que a carga elétrica seja armazenada na calota 
metálica. Esse tipo de gerador pode armazenar grandes quantidades de carga, 
sendo utilizados em aceleradores de partículas, por exemplo. 
 
 
9 
Figura 6 – Esquema do Gerador de Van de Graaff 
 
TEMA 3 – FORÇA ELÉTRICA 
Charles Augustin Coulomb, físico francês, foi um dos primeiros a buscar 
estudar quantitativamente a interação entre corpos eletrizados. Utilizando uma 
balança de torção, enunciou a Lei de Coulomb, na qual traça uma relação entre 
a força elétrica, a quantidade de carga elétrica de dois corpos puntiformes 
eletrizados estudados e a distância entre esses corpos. A equação 2 mostra essa 
relação em seu formato vetorial, em que q1 e q2 representam a quantidade de 
carga dos corpos eletrizados e r� é um vetor unitário que aponta da carga q1 para 
q2. 
�⃗�𝐹 =
1
4𝜋𝜋𝜖𝜖0
𝑞𝑞1𝑞𝑞2
𝑟𝑟²
�̂�𝑟 (2) 
Na equação 2, a constante ϵ0 representa a permissividade elétrica no 
vácuo, tendo valor de 8,854⋅10-12 C²/Nm². 
A Lei de Coulomb também pode ser representada em função de uma 
constante k0, que é dada pela equação 3. 
𝑘𝑘0 =
1
4𝜋𝜋𝜖𝜖0
= 8,988 ∙ 109𝑁𝑁𝑚𝑚2/𝐶𝐶2 (3) 
Em módulo, a Lei de Coulomb é dada pela equação 4. 
𝐹𝐹 = 𝑘𝑘0
|𝑞𝑞1||𝑞𝑞2|
𝑟𝑟²
=
1
4𝜋𝜋𝜖𝜖0
|𝑞𝑞1||𝑞𝑞2|
𝑟𝑟²
 (4) 
Vamos ver o uso da Lei de Coulomb no exemplo 1 a seguir. 
O atrito entre a correia de borracha e 
o rolete de PVC eletriza a correia 
positivamente. A calota esférica 
metálica também é eletrizada 
positivamente por meio da ligação 
com o rolete metálico em contato 
com a correia de borracha eletrizada. 
Calota esférica 
metálica 
Correia de borracha 
Cilindro metálico 
Cilindro de PVC 
 
 
10 
 
EXEMPLO 1: 
Ao posicionarmos dois elétrons, afastados um do outro a uma distância 
de 2,4⋅10-11 m, qual deverá ser a intensidade da força elétrica entre eles? 
Lembre-se de que a carga elétrica do elétron tem módulo igual a e. 
( )
1 2
0 2
0 2
19 19
9
11 2
7
q q
F k
r
e eF k
r
(1,60 10 C)(1,60 10 C)F 8,99 10 Nm² / C²
(2,4 10 m)
F 3,96 10 N
− −
−
−
=
⋅
=
⋅ ⋅
= ⋅
⋅
= ⋅
 
Veja que o módulo da força que atua sobre cada elétron devido à 
interação elétrica entre eles é de 3,96⋅10-7 N. Essa força atua sobre ambas as 
cargas, mas em sentidos opostos (lembre-se da Lei da Ação e Reação de 
Newton). Um elétron atua sobre o outro com uma ação, e o outro reage sobre o 
primeiro elétron atuando com uma força de mesmas intensidade e direção, mas 
com sentido oposto. 
3.1 Força elétrica de um sistema de cargas 
Em um sistema de cargas, cada carga exerce uma força elétrica sobre as 
outras cargas do sistema. 
Para determinarmos a força resultante sobre uma determinada carga do 
sistema, é necessário realizar a soma vetorial de todas as forças que atuam 
sobre ela, decorrentes da interação com as outras cargas (Equação 5). 
𝐹𝐹𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟�������⃗ = �𝐹𝐹𝚤𝚤��⃗
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1
 (5) 
Vamos analisar o exemplo 2. 
 
EXEMPLO 2: 
Observe o sistema de cargas, distribuídas no espaço conforme a Figura 
7. As cargas qA=+1 nC, qB=–2 nC e qC=+1 nC. Qual a força resultante que atua 
sobre a carga qC? 
 
 
11 
Figura 7 – Sistema de cargas do exemplo 2 
 
A força resultante sobre a carga qC será dada pela soma vetorial da força 
de repulsão causada pela carga qA e a força de atração causada pela carga qB. 
 
 
Para determinar essa força resultante, será necessário determinar os 
vetores que representam essas forças. 
( ) ( )( )
( )
B C 2
BC 0 BC2
BC
9 9
9
BC 22
6
BC
q q
F k r 6cm 6 10 m
r
2 10 C 1 10 C
F 8,99 10 N m² / C²
6 10 m
F 4,994 10 N
−
− −
−
−
= ⇐ = = ⋅
⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
⋅
= ⋅
 
No formato vetorial: 𝐹𝐹𝐵𝐵𝐵𝐵������⃗ = −(4,994 ∙ 10−6𝑁𝑁)𝚤𝚤̂. 
2 2 2
2
r ?
r 3 6
r 45 r 6,71cm
=
= +
= ⇒ =
 
 
 
12 
( ) ( )( )
( )
A C
AC 0 2
9 9
9
AC 22
6
AC
q q
F k
r
1 10 C 1 10 C
F 8,99 10 N m² / C²
6,71 10 m
F 1,998 10 N
− −
−
−
=
⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
⋅
= ⋅
 
Para encontrar as componentes do vetor 𝐹𝐹𝐴𝐴𝐵𝐵������⃗ , é necessário encontrar o 
seno e o cosseno do ângulo θ. 
3sen sen 0,447
6,71
6cos cos 0,894
6,71
θ = ⇒ θ =
θ = ⇒ θ =
 
 
( )( )
( )( )
ACx AC
6
ACx
6
ACx
ACy AC
6
ACy
6
ACy
F F cos
F 1,998 10 N 0,894
F 1,786 10 N
F F sen
F 1,998 10 N 0,447
F 0,893 10 N
−
−
−
−
= ⋅ θ
= ⋅
= ⋅
= ⋅ θ
= ⋅
= ⋅
 
O vetor 𝐹𝐹𝐴𝐴𝐵𝐵������⃗ = +1,786 ∙ 10−6î − 0,893 ∙ 10−6𝚥𝚥̂ (𝑁𝑁). 
O vetor resultante 𝐹𝐹𝑅𝑅����⃗ = 𝐹𝐹𝐵𝐵𝐵𝐵������⃗ + 𝐹𝐹𝐴𝐴𝐵𝐵������⃗ = [−(4,994 ∙ 10−6𝑁𝑁)𝚤𝚤̂] + [+1,786 ∙
10−6î − 0,893 ∙ 10−6𝚥𝚥̂ (𝑁𝑁)] 
𝐹𝐹𝑅𝑅����⃗ = −3,21 ∙ 10−6î − 0,89 ∙ 10−6𝚥𝚥̂ (𝑁𝑁) 
 
O módulo do vetor é dado por 
( ) ( )
2 2
R x y
2 26 6
R
6
R
F F F
F 3,21 10 N 0,89 10 N
F 3,33 10 N
− −
−
= +
= ⋅ + ⋅
= ⋅
 
TEMA 4 – CAMPO ELÉTRICO 
A interação elétrica entre duas cargas decorre da ação de um campo 
elétrico. O campo elétrico é uma região de influência de uma partícula eletrizada 
que transmite a ação elétrica (força) sobre qualquer outra carga inserida na 
região. 
 
 
13 
O campo elétrico é representado por linhas de força (ou linhas de campo), 
cuja proximidade uma das outras indica a intensidade do campo. Isto é, quanto 
mais próximas as linhas de campo, mais intenso é o campo elétrico local. Veja a 
Figura 8. 
Figura 8 – Distribuição vetorial de campo elétrico 
 
Fonte: PhET Interactive Simulations. 
O campo elétrico é uma grandeza vetorial. Em cada ponto do espaço, o 
campo é dado por um segmento de reta orientado, tangente à linha de campo 
no local (Figura 9). Essa grandeza informa a força elétrica sofrida por unidade 
(a) Distribuição de campo 
elétrico gerado por uma 
carga positiva. 
(b) Distribuição de campo 
elétrico gerado por uma 
carga negativa. 
 
(c) Distribuição de campo elétrico 
resultante de um dipolo elétrico. 
(d) Distribuição de campo elétrico resultante 
de um sistema de quatro cargas elétricas. 
 
 
14 
de carga para qualquer partícula eletrizada que possa ser posicionada no local 
(Equação 6). 
𝐸𝐸�⃗ =
�⃗�𝐹
𝑞𝑞0
 ⇒ 𝐸𝐸 =
𝐹𝐹
|𝑞𝑞0|
 (6) 
Em que q0 é a carga elétrica posicionada na região de campo E. O campo 
elétrico é medido em Newton por Coulomb (N/C), unidades de medida das 
grandezas que o definem na equação 6. 
Veja que, substituindo a Lei de Coulomb na equação 6, pode-se descrever 
o campo elétrico pela equação 7. 
𝐸𝐸�⃗ = 𝑘𝑘0
𝑄𝑄
𝑟𝑟²
�̂�𝑟 ⇒ 𝐸𝐸 = 𝑘𝑘0
|𝑄𝑄|
𝑟𝑟²
 (7) 
Em que Q é a carga elétrica que gera o campo na região, e r é a distância 
da carga até o local em que queremos determinar o campo elétrico E. 
Vamos compreender melhor essa grandeza com exemplos. 
 
EXEMPLO 3: 
Um próton encontra-se na origem de um sistema de coordenadas. Um 
ponto P está posicionado a uma distância de 5 cm do próton, como mostra a 
Figura 9. 
Figura 9 – Exemplo 3 
 
a) Qual o módulo do campo elétrico gerado pelo próton no ponto P? 
 
 
15 
( ) ( )
( )
19
PRÓTON
2
PRÓTON
0 2
19
9
22
7
q e 1,60 10 C
r 5cm 5 10 m
q
E k
r
1,60 10
E 8,99 10
5 10
E 5,75 10 N / C
−
−
−
−
−
= + = + ⋅
= = ⋅
=
⋅
= ⋅
⋅
= ⋅
 
 
b) Qual será o módulo da força elétrica sobre um elétron posicionado no localdo 
ponto P sob influência do campo elétrico do próton? 
( ) ( )
19
ELÉTRON
ELÉTRON
ELÉTRON
7 19
26
q e 1,60 10 C
FE F E q
q
F 5,75 10 1,60 10
F 9,2 10 N
−
− −
−
= − = − ⋅
= ⇔ = ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅
 
 
No exemplo 3, o elétron sofrerá uma força de atração com intensidade de 
9,2⋅10-26 N. No entanto, o vetor força elétrica que atua sobre o elétron (assim 
como o vetor campo elétrico no ponto P) ainda não é conhecido. Para isso, é 
necessário encontrar o valor de suas coordenadas. 
 
EXEMPLO 4: 
Determine o vetor força elétrica que atua sobre o elétron do Exemplo 3. 
 
Para determinar as coordenadas, vamos utilizar o processo de 
decomposição do vetor. Uma forma é pelas relações trigonométricas do triângulo 
formado pelo vetor e suas componentes (Figura 10). 
 
 
16 
Figura 10 – Exemplo 4 
 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
x
x
26
x
26
x
y
y
26
y
26
y
Fcos 30º F F cos 30º
F
F 9,2 10 N cos 30º
F 8,0 10 N
F
sen 30º F F sen 30º
F
F 9,2 10 N sen 30º
F 4,6 10 N
−
−
−
−
= ⇔ = ⋅
= ⋅ ⋅
= ⋅
= ⇔ = ⋅
= ⋅ ⋅
= ⋅
 
Como essas componentes são opostas ao sentido dos eixos, deverão ser 
indicadas com o sinal negativo no formato vetorial. 
�⃗�𝐹 = −𝐹𝐹𝑥𝑥�̂�𝚤 − 𝐹𝐹𝑦𝑦𝚥𝚥 ̂
�⃗�𝐹 = (−8,0 ∙ 10−26𝑁𝑁 𝚤𝚤̂ − 4,6 ∙ 10−26𝑁𝑁 𝚥𝚥̂) 
4.1 Campo elétrico de um sistema de cargas 
Em um sistema de cargas, o campo elétrico na região é influenciado por todas 
as cargas que nela se encontram e que geram seus respectivos campos. Por esse 
motivo, o campo elétrico resultante (ER) em determinado ponto do espaço é dado pela 
soma vetorial do campo elétrico criado por cada carga elétrica da região (Equação 8). 
𝐸𝐸𝑅𝑅����⃗ = �𝐸𝐸𝚤𝚤���⃗
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1
 (8) 
Vamos analisar a situação do exemplo 5. 
 
 
 
 
 
 
17 
EXEMPLO 5: 
A Figura 11 apresenta uma distribuição de cargas posicionadas em um 
sistema cartesiano. Cada uma dessas cargas cria um campo elétrico na região 
do ponto P. 
Figura 11 – Exemplo 5 
 
Qual será o vetor campo elétrico resultante no ponto P? E qual é o módulo 
desse campo? 
Vamos inicialmente determinar o vetor campo elétrico de cada uma das 
cargas. 
Para a carga q1: 
𝐸𝐸1����⃗ = 𝑘𝑘0
𝑞𝑞1
𝑟𝑟2
𝑟𝑟1� 
𝐸𝐸1����⃗ = (8,99 ∙ 109)
(1)
(2 ∙ 10−2)2
[î]
𝑁𝑁
𝐶𝐶
 
𝐸𝐸1����⃗ = +2,2475 ∙ 1013î 𝑁𝑁/𝐶𝐶 
Para a carga q2: 
𝐸𝐸2����⃗ = 𝑘𝑘0
𝑞𝑞2
𝑟𝑟2
𝑟𝑟2� 
𝐸𝐸2����⃗ = (8,99 ∙ 109)
(1)
�2√2 ∙ 10−2�
2 �
+2î + 2𝚥𝚥̂
2√2
�
𝑁𝑁
𝐶𝐶
 
𝐸𝐸2����⃗ = +0,7946 ∙ 1013î + 0,7946 ∙ 1013𝚥𝚥̂ (𝑁𝑁/𝐶𝐶) 
 
Para a carga q3: 
𝐸𝐸3����⃗ = 𝑘𝑘0
𝑞𝑞1
𝑟𝑟2
𝑟𝑟3� 
 
 
18 
𝐸𝐸3����⃗ = (8,99 ∙ 109)
(1)
(2 ∙ 10−2)2
[−𝚥𝚥̂]
𝑁𝑁
𝐶𝐶
 
𝐸𝐸3����⃗ = −2,2475 ∙ 1013𝚥𝚥̂ 𝑁𝑁/𝐶𝐶 
 
O campo elétrico resultante no ponto P é dado pela soma desses vetores. 
𝐸𝐸𝑅𝑅����⃗ = 𝐸𝐸1����⃗ + 𝐸𝐸2����⃗ + 𝐸𝐸3����⃗ 
𝐸𝐸𝑅𝑅����⃗ = [+2,2475 ∙ 1013î 𝑁𝑁/𝐶𝐶] + [+0,7946 ∙ 1013î + 0,7946 ∙ 1013𝚥𝚥̂ (𝑁𝑁/𝐶𝐶)] + [−2,2475 ∙ 1013𝚥𝚥̂ 𝑁𝑁/𝐶𝐶] 
𝐸𝐸𝑅𝑅����⃗ = +3,04 ∙ 1013î− 1,45 ∙ 1013𝚥𝚥̂ (𝑁𝑁/𝐶𝐶) 
 
O módulo do vetor campo elétrico é dado por: 
𝐸𝐸𝑅𝑅 = �(+3,04 ∙ 1013)2 + (−1,45 ∙ 1013)2 
𝐸𝐸𝑅𝑅 = 3,37 ∙ 1013𝑁𝑁/𝐶𝐶 
Veja que, nesse exemplo, determinamos as coordenadas dos vetores 
campo elétrico de cada carga de uma forma diferente do Exemplo 4. Utilizamos 
o vetor unitário r� para determinar as coordenadas dos vetores nesse caso. 
4.2 Campo elétrico de distribuições contínuas de cargas 
Corpos extensos que possuem uma distribuição contínua de carga 
elétrica também geram campos elétricos ao seu redor. Nesse tópico, veremos 
como podemos determinar o campo elétrico criado por alguns casos de corpos 
com distribuição contínua de carga. 
4.2.1 Arco carregado 
Vamos considerar um arco carregado com uma carga Q, uniformemente 
distribuída por todo o corpo (Figura 12). 
 
 
19 
Figura 12 – Arco carregado 
 
Para determinar o campo elétrico resultante no ponto P (no caso, a origem 
do sistema cartesiano de referência), devemos analisar o campo elétrico gerado 
por cada diferencial do comprimento do arco dL, que possui uma carga dq. 
Como as componentes Ey se anulam quando consideramos todas as 
partes dL que compõe o arco, o campo resultante no ponto P será igual a 
componente Ex. 
[ ]
[ ]
[ ]
0 x 02 2
x y 0 2
0
x 2
0
x 2
0
x 2
0
x
0
y
0
x
0
x
dq dqdE k dE k cos
R R
dqE dE k cos
R
kE cos dq dq dL
R
kE cos dL dL Rd
R
kE cos Rd
R
kE cos d
R
kE sen
R
kE sen (sen( ))
R
kE 2sen
R
α
−α
α
−α
= ⇒ = θ
= = θ
= θ ← = λ
= θλ ← = θ
λ
= θ θ
λ
= θ θ
λ
= θ
λ
= α − −α
λ
= α
∫ ∫
∫
∫
∫
∫
 
A distribuição homogênea da 
carga permite que determinemos 
uma densidade linear de carga 
no arco, dada por λ. 
𝜆𝜆 =
𝑄𝑄
𝐿𝐿
 ⇒ 𝜆𝜆 =
𝑑𝑑𝑞𝑞
𝑑𝑑𝐿𝐿
 
 
 
20 
Ou seja, o campo elétrico gerado pelo arco carregado no ponto P é dado 
pela Equação 9. 
0
0
1E 2k sen E sen (9)
R 2 R
λ λ
= α⇒ = α
π∈
 
4.2.2 Anel carregado 
No caso de um anel carregado (de raio R) com carga Q distribuída de 
forma uniforme, vamos determinar o campo elétrico em um ponto P localizado 
no eixo que passa pelo centro do anel, como mostra a Figura 13. 
Figura 13 – Anel carregado 
 
Observe que podemos definir que a distância de cada pequeno diferencial de 
comprimento dL do anel encontra-se a uma distância r do ponto P. 
𝑟𝑟2 = 𝑅𝑅2 + 𝑥𝑥2
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 =
𝑥𝑥
𝑟𝑟
 
Como as componentes em z e y de cancelam, o campo resultante no 
ponto P equivale ao campo resultante no eixo x. 
 
 
21 
( )
( )
( )
( )
x 0 2
x 0 2
x 0 3
x 0 3
2 2 2
x x 0 3
2 2 2
x 0 3
2 2 2
x 0 3
2 2 2
dqdE k cos
r
dq xdE k
r r
xdE k dq
r
xdE k dq
R x
xE dE k dq
R x
xE k dq
R x
x QE k
R x
= θ
 =  
 
=
=
+
= =
+
=
+
⋅
=
+
∫ ∫
∫
 
Veja que o campo elétrico gerado por um anel carregado em um ponto P, 
localizado no eixo que atravessa o centro do anel, será dado pela Equação 10. 
𝐸𝐸 = 𝑘𝑘0
𝑥𝑥 ∙ 𝑄𝑄
�(𝑅𝑅2 + 𝑥𝑥²)3
 (10) 
 
4.2.3 Disco carregado e plano infinito carregado 
De forma semelhante às análises anteriores, podemos definir uma 
equação para determinarmos o campo elétrico em um ponto P sobre o eixo que 
atravessa o centro do disco (Figura 14). No caso do disco, a carga elétrica 
distribuída uniformemente na superfície pode ser relacionada à uma densidade 
de carga superficial σ. 
Ao analisarmos o campo gerado por um diferencial de área do disco dA, 
observamos que as componentes do campo elétrico no ponto P gerado por cada 
diferencial de área se anulam de forma que há apenas a resultante das 
componentes sobre o eixo x. 
 
 
22 
Figura 14 – Disco carregado 
 
Como o diferencial de área tem formato de anel, podemos integrar usando 
a fórmula do anel carregado. 
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
x 0 3
2 2 2
x 0 3
2 2 2
x 0 3
2 2 2
R
x x 0 3
2 2 20
R
x 0 1
2 2 2
0
x 0 1 1
2 2 2 22 2
x 0
xdE k dq dq dA
x a
xdE k dA dA 2 a da
x a
xdE k 2 a da
x a
aE dE 2 k x da
x a
1E 2 k x
x a
1 1E 2 k x
x R x 0
1E 2 k x
= ← = σ⋅
+
= σ⋅ ← = π ⋅
+
= σ⋅ π ⋅
+
= = π σ
+
 
 = π σ − +  
   
   = π σ − − −    + +     
= π σ −
∫ ∫
( )
( )
1
2 2 2
x 0 1
2 2 2
1
xx R
xE 2 k 1
x R
 
 + +  
 
 = π σ − +  
 
Podemos, então, definir que o módulo do campo elétrico em um ponto P 
localizado sobre o eixo x que passa pelo centro do disco carregado é dado pela 
Equação 11. 
 
 
23 
( )
0 1
2 2 2
xE 2 k 1 (11)
x R
 
 = π σ − +  
 
Um plano infinito pode ser entendido como um disco carregado de raio 
infinito, o que torna o termo que contém R muito pequeno (desprezível). Nesse 
caso, podemos determinar o campo elétrico em qualquer ponto, 
independentemente do valor de da distância x do ponto (Equação 12). 
( )
0 1R 0 2 2 2
0
xE lim 2 k 1
x R
E 2 k (12)
→
 
 = π σ − +  
= π σ
 
TEMA 5 – FLUXO ELÉTRICO E A LEI DE GAUSS 
Carl Friedrich Gauss foi um grande matemático alemão do séculoXIX, 
sendo responsável por grandes contribuições às áreas da matemática e das 
ciências. No estudo do Eletromagnetismo, Gauss contribuiu com um teorema no 
qual relaciona o campo elétrico em uma superfície fechada com a carga elétrica 
líquida confinada em seu interior. Essa superfície fechada denominamos 
superfície gaussiana, sobre a qual enuncia na Lei de Gauss que “o número 
líquido de linhas do campo que saem da superfície é proporcional à carga elétrica 
líquida no interior da superfície” (Tipler, 2000, p. 36). 
Para compreendermos melhor essa relação, vamos entender o que é 
fluxo elétrico. 
5.1 Fluxo elétrico 
O fluxo elétrico (φ) é uma grandeza que associa a quantidade de linhas 
de campo elétrico que atravessa uma superfície com a área dessa superfície. O 
fluxo é medido (no Sistema Internacional de Unidades) em N⋅m²/C, e é dado pelo 
produto escalar entre o vetor campo elétrico e um vetor área (Equação 13). O 
vetor área A��⃗ é um vetor perpendicular à superfície (ou ao diferencial da 
superfície), com sentido sempre para fora dela, e de módulo igual a área da 
superfície. 
𝜙𝜙 = 𝐸𝐸�⃗ ∙ 𝐴𝐴 = 𝐸𝐸 ∙ 𝐴𝐴 ∙ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 (13) 
 
 
24 
Em que θ é o ângulo entre o vetor campo elétrico e, o vetor, área da 
superfície. 
Figura 15 – Superfície gaussiana 
 
Em uma superfície fechada, ao integrarmos o fluxo por meio de cada 
diferencial de área dA, podemos determinar o fluxo líquido na superfície 
(Equação 14). 
𝜙𝜙𝑙𝑙𝑖𝑖𝑙𝑙 = � 𝐸𝐸�⃗ ∙ 𝑑𝑑𝐴𝐴�����⃗
𝑆𝑆
=
𝑄𝑄𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖
𝜖𝜖0
 (14) 
FINALIZANDO 
Nesta aula, compreendemos que corpos carregados eletricamente têm 
elétrons ou prótons em excesso, e por esse motivo, sempre têm uma carga 
elétrica dada por um múltiplo da carga elementar. 
Estudamos também como esses corpos eletrizados interagem um com os 
outros, sofrendo repulsão quando têm sinais iguais, e sofrendo atração quando 
têm sinais opostos. Essa força elétrica pode ser determinada pela Lei de 
Coulomb, e é transmitida por meio do campo elétrico criado pelos corpos 
eletrizados no espaço entorno deles. 
O campo elétrico pode ser determinado pela Lei de Gauss, considerando 
o fluxo elétrico que atravessa uma superfície gaussiana em função da carga 
confinada em seu interior. Ao analisarmos esse fluxo, definimos o campo elétrico 
em toda região da área da superfície. 
 
 
 
25 
REFERÊNCIAS 
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física: 
eletromagnetismo. Tradução: SOTERO, D. H. S.; COSTAMILAN, G. B. 4. ed. Rio 
de Janeiro: LTC, 1996. v. 3. 
RAMALHO JUNIOR, F.; FERRARO, N. G.; SOARES, P. A. T. Os fundamentos 
da física: eletricidade. Introdução à física moderna e análise dimensional. 10 ed. 
São Paulo: Moderna, 2009. v. 3. 
ROCHA, J. F. M. (Org.). Origens e evolução das ideias da física. Salvador: 
EDUFBA, 2002. 
SILVA, J. L. P. B.; CUNHA, M. B. M. Para compreender o modelo atômico 
quântico. In: ENCONTRO NACIONAL DE ENSINO DE QUÍMICA, 14., Curitiba. 
Anais... Curitiba, 2008. 
TIPLER, P. A. Física para cientistas e engenheiros: eletricidade, magnetismo e 
ótica. Tradução: MACEDO, H.; BIASI, R. 4. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2000. 
UNIVERSITY OF COLORADO BOULDER. PhET Interactive Simulations. 
Disponível em: <https://phet.colorado.edu>. Acesso em: 25/02/2019. 
YOUNG, H. D.; FREEDMAN, R. A. Física III, Sears e Zemansky: 
eletromagnetismo. 14. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2015.