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Movimento harmônico simples 383
Leitura
O pêndulo de Foucault
No estudo da Gravitação (volume 1), tivemos oportunidade de comentar 
a luta de Galileu na defesa do sistema de Copérnico, contra o sistema de 
Ptolomeu. O fato é que, além de o sistema de Copérnico ser tão complicado 
quanto o de Ptolomeu, não havia provas do movimento da Terra. A primeira 
prova de que a Terra tem movimento de rotação só aconteceu em 1851, ano 
em que o físico francês Jean-Bernard Léon Foucault (1819-1868) efetuou um 
experimento para evidenciar isso. No teto do Panthéon de Paris (construção 
destinada originalmente a ser a Igreja de Santa Genoveva), ele prendeu um 
pêndulo formado por uma bola de ferro de 28 kg e um fio de aço de 67 m. 
Em seguida, colocou o fio a oscilar. A fixação do pêndulo no teto foi feita 
de tal modo que aquele poderia oscilar com facilidade em qualquer plano.
O experimento mostrou que o plano de oscilação girava. Na realidade, 
em relação a um referencial inercial, esse plano não muda. O que acontece 
é que, pelo fato de a Terra girar, a posição do plano de oscilação, em relação 
à Terra, é que vai mudando.
Se o experimento for feito no polo norte (ou no polo sul), um observador 
nesse ponto perceberá o plano de oscilação do pêndulo efetuar uma rotação 
completa num intervalo de tempo Δt igual a 1 dia:
Δt = 24 h
Mas se o experimento for feito num ponto da Terra de latitude θ (fig. 24), 
o valor de Δt será maior que 24 horas. Pode-se demonstrar que:
Δt = 
24 horas
sen θ
para θ ≠ 0. Se o experimento for feito no equador (θ = 0), o plano de 
oscilação do pêndulo não muda.
O experimento de Foucault foi feito em Paris. Consultando um mapa, podemos verificar que a latitude de 
Paris é, aproximadamente, 49°. Consultando uma tabela ou usando uma calculadora, obtemos sen 49° ≅ 0,755. 
Substituindo na fórmula acima, concluímos que no experimento de Foucault o plano de oscilação do pêndulo 
executava uma revolução completa, num intervalo de tempo Δt dado por:
Δt = 
24
sen 49°
 ≅ 
24 h
0,755
 ≅ 31,79 h = 31 h + (0,79)(60 min) ≅ 31h47min
k
PA
/u
N
IT
e
D
 A
r
C
H
IV
e
S
/W
H
A
/N
e
W
S
C
O
M
/G
lO
W
 I
M
A
G
e
S
Figura 23. O experimento de Foucault 
no Panthéon de Paris.
N
equador
S
θ
Figura 24.
6. ressonância 
Apresentamos aqui alguns exemplos de sistemas que oscilam com frequências de-
terminadas. Tomemos, por exemplo, o caso de um pêndulo simples. Obviamente, se 
o pegássemos com a mão, poderíamos fazê-lo oscilar com uma frequência qualquer. 
Mas se o deixarmos livre, ele oscilará com uma frequência determinada, dada por 
f = 1
2π
 g
l
 (o inverso do período), e que chamamos de frequência própria do pêndulo.
Há sistemas mais complexos que têm mais de uma frequência própria (daremos 
alguns exemplos no capítulo 16). Quando um sistema recebe a ação de uma força que 
é periódica e que tem frequência igual a uma das frequências próprias, a tendência é 
que o sistema oscile com amplitude cada vez maior. esse efeito chama-se ressonância, 
Z
A
P
T
Capítulo 15384
e um exemplo familiar é o apresentado na figura 25, em que temos um pêndulo sobre 
o qual uma pessoa exerce uma força periódica, aumentando a amplitude de oscilação 
daquele. Outro exemplo está ilustrado na figura 26, em que uma taça de cristal quebra- 
se ao ser atingida por uma onda sonora. Como veremos no próximo capítulo, o som 
que ouvimos é causado pelas oscilações das moléculas do ar que atingem nossa orelha. 
Se a frequência de vibração do som for igual a uma das frequências próprias da taça, 
haverá ressonância entre esta e a onda sonora, aumentando a amplitude de oscilação 
das moléculas que constituem a taça. Se o som for bastante intenso, quebrará a taça. 
Foi exatamente isso o que aconteceu, em 7 de novembro de 1940, com uma ponte 
situada sobre o estreito de Tacoma, nos Estados Unidos. Um vento forte oscilou com 
uma das frequências próprias da ponte e, vagarosamente, a amplitude de oscilação da 
ponte foi aumentando (fig. 27) até ela se quebrar.
W
ES
TE
n
d
6
1
/G
r
U
pO
 K
Ey
ST
O
n
E
Sp
L/
La
Ti
n
ST
O
C
K
H
U
LT
O
n
 a
r
C
H
iv
E/
G
ET
Ty
 im
a
G
ES
Figura 25. Empurrando um 
balaço, aumentamos sua 
amplitude.
Figura 26. Exemplo de ressonância. A 
vibração do ar pode quebrar um copo.
Figura 27. A ponte de Tacoma oscilando.
Exercícios de Aplicação
30. Um pêndulo simples, de comprimento L = 3,6 m, 
oscila num local em que g = 10 m/s². Para o 
movimento desse pêndulo, calcule:
a) o período; b) a frequência.
Resolução:
a) T = 2π 
L
g
 = 2π 
3,6 m
10 m/s2
 = 2π 0,36 s2 = 
 = 2π(0,6 s) = 1,2 πs ≅ (1,2)(3,14) s ⇒ T ≅ 3,8 s
b) f = 
1
T
 ≅ 
1
3,8 s
 ⇒ f ≅ 0,26 Hz
31. Um pêndulo simples, de comprimento L = 4,9 m, 
oscila com amplitude angular α, como ilustra a 
figura, num local onde g = 10 m/s². 
FD
E
L
g
α α
Determine:
a) o período do movimento;
b) a frequência do movimento;
c) o menor intervalo de tempo para que o pên-
dulo vá da posição D à posição F;
d) o menor intervalo de tempo para que o pên-
dulo vá da posição F à posição E.
32. Calcule o comprimento de um pêndulo simples que 
bate o segundo, num local onde g = 9,81 m/s².
33. Um pêndulo simples, de comprimento 144 cm, 
é colocado a oscilar da maneira ilustrada na 
figura. Na posição A há um pino horizon-
tal, que faz que o 
corpo, na extremi-
dade do fio, des-
creva a trajetória 
indicada, oscilan-
do entre as posi-
ções B e C. Sendo 
g = 10 m/s2, 
determine o perío-
do do movimento 
desse sistema.
C
A
B
108 cm
144 cm
g
iL
U
ST
r
a
ç
õ
ES
: 
Za
pT
Movimento harmônico simples 385
34. Uma bolinha está inicialmente em repouso no 
fundo de uma taça que tem a forma de metade 
de uma casca esférica de diâmetro d.
d
g
Se a bolinha for levemente afastada da posição 
de equilíbrio e depois abandonada, efetuará um 
movimento oscilatório. Supondo que não haja 
atrito, calcule o período desse movimento em 
função de d e da aceleração da gravidade g.
35. Uma barra homogênea, de 
comprimento L, oscila como 
um pêndulo, com uma de 
suas extremidades presa a 
um pino P que permite que a 
barra oscile sem atrito.
É possível demonstrar que, para esse pêndulo, o 
período é dado por: T = 2π 2L
3g
, quando a barra 
executa oscilações de pequena amplitude. Se essa 
barra for levada para a Lua, onde a aceleração 
da gravidade é 1
6
 da aceleração da gravidade na 
superfície da Terra, o seu período ficará:
a) dividido por 2. 
b) multiplicado por 3
2
. 
c) multiplicado por 6 .
d) dividido por 3
2
.
e) multiplicado por 2
3
.
36. Um pêndulo simples, de comprimento L1, tem 
período T1. Um outro pêndulo simples, de compri-
mento L2, tal que L1 = 9L2, tem período T2. Qual 
a relação entre T1 e T2?
P
L g
Exercícios de reforço
37. (UF-RS) Um pêndulo simples, de comprimento L, 
tem um período de oscilação T, num determina-
do local. Para que o período de oscilação passe 
a valer 2T, no mesmo local, o comprimento do 
pêndulo deve ser aumentado em:
a) 1L c) 3L e) 7L
b) 2L d) 5L
38. (UE-PA) Suponha que medíssemos o período 
de um pêndulo metálico para calcular o valor 
da aceleração da gravidade em Belém do Pará e 
depois o período do mesmo pêndulo fosse medi-
do, na superfície de Marte, em um local onde 
a temperatura seja de –50 °C e a aceleração da 
gravidade seja metade do valor de g em Belém. 
Podemos afirmar que:
a) como o comprimento do pêndulo e a acele-
ração da gravidade diminuem, o período de 
oscilação medido em Marte seria mais curto.
b) o período medido em Marte seria o mesmo 
que na Terra, pois a variação no comprimento 
do pêndulo é compensada pela diminuição da 
aceleração da gravidade.
c) em Marte o comprimento do pêndulo dimi-
nui, mas o período medido é mais longo, em 
consequência da diminuição da aceleração da 
gravidade.
d) o período do pêndulo diminui, pois seu com-
primento aumentará ligeiramente.
e) o período do pêndulo aumenta para o dobro 
do valor que tem na Terra.
39. (Unicamp-SP) Um pêndulo simples,de comprimen-
to 0,40 m, oscila num local em que g = 10 m/s², 
dentro de um quarto escuro, sendo iluminado por 
uma lâmpada estroboscópica. Determine:
a) a frequência do movimento do pêndulo;
b) a frequência máxima do estroboscópio, de 
modo que o pêndulo pareça estar parado na 
posição vertical.
40. (Fund. Carlos Chagas-SP) O fato de o período de 
um pêndulo não depender do peso suspenso está 
mais aproximadamente relacionado com:
a) a constante de gravitação universal depender 
das massas que se atraem.
b) a conservação da energia cinética.
c) o fato de as massas inercial e gravitacional 
serem diretamente proporcionais.
d) a conservação da quantidade de movimento.
e) o princípio da inércia.
41. (U. E. Londrina-PR) Há algum tempo um repór-
ter de televisão noticiou uma marcha em algum 
lugar do Brasil. Em dado momento, citou que 
os seus integrantes pararam de marchar quando 
estavam passando sobre uma ponte, com medo 
de que pudesse cair. Na ocasião, o repórter 
Il
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