Tópicos de Física 1 - Parte 1-157-159

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155TÓPICO 4 | VETORES E CINEMÁTICA VETORIAL
A direção da aceleração tangencial é sempre a mesma da tangente à trajetória no 
ponto considerado, e seu sentido depende de o movimento ser acelerado ou retardado.
Nos movimentos acelerados, a &t tem o mesmo sentido da velocidade vetorial; 
no entanto, nos movimentos retardados, a &t tem sentido oposto ao da velocidade 
vetorial, conforme representam as figuras abaixo.
Aplicando o Teorema de Pitágoras e considerando a o módulo de a &, at o mó-
dulo de a &t e acp o módulo de a &cp, podemos escrever que:
a2 5 a2t 1 a
2
cp
Por ter a direção do raio de curvatura da trajetória em cada ponto, a aceleração 
centrípeta também é denominada aceleração radial.
Componente tangencial ou aceleração tangencial (at)
A aceleração tangencial está relacionada com as variações de intensidade 
da velocidade vetorial.
• Nos movimentos variados, isto é, naqueles em que a intensidade da velo-
cidade vetorial é variável (movimentos acelerados ou retardados), a acele-
ração tangencial é não nula.
• Nos movimentos uniformes, isto é, naqueles em que a intensidade da ve-
locidade vetorial é constante, a aceleração tangencial é nula.
Pode-se verificar que o módulo da aceleração tangencial é igual ao módulo da 
aceleração escalar.
|a &t| 5 |a|
mo
vim
ent
o
v
Representação esquemática de movimento
acelerado.
at
• Nos movimentos curvilíneos, isto é, naqueles em que a direção da veloci-
dade vetorial é variável, a aceleração centrípeta é não nula.
• Nos movimentos retilíneos, isto é, naqueles em que a direção da velocida-
de vetorial é constante, a aceleração centrípeta é nula.
Pode-se demonstrar (veja boxe na página 156) que o módulo da aceleração 
centrípeta é calculado por:
mo
vim
ent
o
v
Representação esquemática de movimento
retardado.
at
Componente centrípeta ou aceleração centrípeta (acp) 
A aceleração centrípeta está relacionada com as variações de direção da 
velocidade vetorial.
|a &cp| 
v
R
2
5
em que v é a velocidade escalar instantânea e R é o raio de curvatura da trajetória.
B
a
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156 UNIDADE 1 | CINEMÁTICA
t
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o
vi
m
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to
a
cp
v
n
C
A direção da aceleração centrípeta (a &cp) é 
sempre normal à trajetória e o sentido é sempre 
para o centro de curvatura.
Note que a aceleração centrípeta (a &cp) e a ve-
locidade vetorial (v &) são perpendiculares entre si. 
Isso se justifica pois, enquanto a &cp é normal à 
trajetória, v & é tangencial.
Demonstrações de a
cp
 5 v
R
2
Tratamento vetorial
Na figura 1, uma partícula realiza movimento circular e uniforme ao lon-
go de uma circunferência de raio R. Sua velocidade vetorial tem intensidade 
v, sendo representada pelo vetor v &A no ponto A e pelo vetor v &B no ponto B.
Sendo Dt o intervalo de tempo gasto no percurso de A até B, o módulo 
da aceleração vetorial média da partícula fica determinado por:
|a&m| 
| v|
t
(I)&
| v &| v5
| vD| v| v &| vD &
D
A variação de velocidade vetorial Dv& 5 v&B 2 v&A está representada na figura 2.
Observando-se na figura 2 que o ângulo formado entre v &A e v &B é igual ao 
ângulo formado entre os raios da circunferência nos pontos A e B da figura 
1 (ângulos de lados perpendiculares têm medidas iguais), pode-se concluir 
que os triângulos destacados nas duas figuras são semelhantes; logo:
t u
& &5
| v &| vD| v &D| v| vD |
AB
|v &|v |
R
A
Admitindo-se Dt muito pequeno, a medida do segmento tABu fica pratica-
mente igual à do arco AB. Observando-se que tABu > AB 5 v Dt e que |v&A| 5 v, tem-se:
| v|
v t
v
R
| v|
t
v
R
(II)
2
& &| v & &| v|& &| v& &| v
⇒
| vD| v| v & &| vD & &
Dv tDv t
5
| vD| v| v& &| vD| vD& &
D
5
Comparando as equações (I) e (II), vem:
|a&m| 
v
R
2
5
Para intervalos de tempo tendentes a zero, no entanto, a aceleração vetorial média assume caráter 
instantâneo, com direção radial e orientação para o centro da trajetória da mesma forma que Dv &, o que 
justifica a denominação aceleração centrípeta (acp). Finalmente:
a
v
Rcp
2
5
Tratamento escalar
Na figura 3, uma partícula percorre uma circunferência de raio R com velocidade escalar constante 
igual a v (movimento circular e uniforme).
Para intervalos de tempo tendentes a zero, o movimento descrito pela partícula pode ser assimilado 
a uma sucessão de pares de movimentos elementares: um uniforme na direção tangencial e outro uni-
Ampliando o olhar
v
B
v
A
m
o
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m
en
to
C
R
R
A
B
u
figura 1
u
v
B
v
A
Dv
figura 2
B
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157TÓPICO 4 | VETORES E CINEMÁTICA VETORIAL
formemente acelerado na direção radial. Em cada movimento tangencial, a 
partícula percorre uma distância Ds1 5 vt, e em cada movimento radial ela 
percorre, a partir do repouso, uma distância s
t
22
2
D 5sD 52D 5
a
 , em que a traduz a 
aceleração escalar nessa direção.
Aplicando-se o Teorema de Pitágoras ao triângulo ABC destacado na 
figura, em que aparecem as distâncias Ds1 e Ds2 com dimensões exageradas 
para melhor visualização, vem:
(R 1 Ds2)
2 5 (Ds1)
2 1 R2 ⇒ R2 1 2RDs2 1 (Ds2)
2 5 (Ds1)
2 1 R2 ⇒ 2 R Ds2 1 (Ds2)
2 5 (Ds1)
2
Para pequenos intervalos de tempo:
Ds2 ,, R ⇒ (Ds2)
2 ,, R Ds2
Logo, na soma 2RDs2 1 (Ds2)
2, pode-se desprezar a parcela (Ds2)
2, já que seu valor é muito menor que 
o da parcela 2RDs2. Assim:
D D
a
⇒2 R s (D Ds (D DD D>D Ds (> s ) 2 R
2
t (5t (v t)2 1D D2 1s (2 1s (D Ds (D D2 1D D2 1s (D D>D Ds (>2 1>D Ds (s (> s )2 1s )
2 2a2 2
⇒
2 22 R2 2t (2 2t ( 2
a 5 5⇒R t v t a
v
R
2 2 2
2
Como a aceleração calculada ocorre na direção radial e no sentido do 
centro da trajetória, trata-se de uma aceleração centrípeta (acp). Finalmente:
a
v
Rcp
2
5
 Christian Huygens (1629-1695), físico e astrônomo holandês (aqui em gravura de Gerard 
Edelinck baseada em pintura de Caspar Netscher, 1655; Bibliothèque Nationale, Paris), 
elucidou alguns fenômenos luminosos, atribuindo à luz caráter ondulatório. Isso 
conflitou com as teorias de Newton, que tratavam a luz como um conjunto de partículas. 
Huygens, ao construir telescópios sofisticados para a sua época, descobriu a lua Titã de 
Saturno e explicou a natureza dos anéis que circundam esse planeta. A Huygens 
credita-se a importante equação da aceleração centrípeta: a v
Rcp
2
5 .
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C
R
R
A B
figura 3
Ds
1
Ds
2
Nível 1Exercícios
 55. Se a aceleração vetorial de uma partícula é cons-
tantemente nula, suas componentes tangencial 
e centrípeta também o são. A respeito de um pos-
sível movimento executado por essa partícula, 
podemos afirmar que ele pode ser:
a) acelerado ou retardado, em trajetória retilínea.
b) uniforme, em trajetória qualquer.
c) apenas acelerado, em trajetória curva.
d) apenas uniforme, em trajetória retilínea.
e) acelerado, retardado ou uniforme, em trajetó-
ria curva.
 56. Uma partícula movimenta-se ao longo de uma 
trajetória circular com velocidade escalar cons-
tante. A figura a seguir representa a partícula no 
instante em que passa pelo ponto P:
C
5
6
1
2
P
3
4
sentido do
movimento
As setas que representam a velocidade vetorial e 
a aceleração vetorial da partícula em P são, res-
pectivamente:
a) 1 e 2.
b) 3 e 5.
c) 1 e 4.
d) 3 e 6.
e) 1 e 5.
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