Aula-4

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Física Geral I
F -128
Aula 4
 Movimento em 
duas e três dimensões
20 semestre, 2010
Movimento em 2D e 3D
	Cinemática em 2D e 3D 
	Aceleração constante
	- aceleração da gravidade
	Movimento circular
	- movimento circular uniforme
	- movimento helicoidal
	Movimento relativo
Posição e deslocamento
 A trajetória é o lugar geométrico dos pontos do espaço ocupados pelo objeto (planeta, cometa, foguete, carro etc) que se movimenta. Qualquer ponto da trajetória pode ser descrito pelo vetor posição que denotamos por .
O deslocamento entre os pontos e é dado por:
Vetores dependentes do tempo
 Na natureza há inúmeros exemplos de grandezas vetoriais que variam no tempo. Estamos intressados na posição e deslocamento de um corpo em movimento bidimensional ou tridimensional, e na velocidade e aceleração deste corpo. 
 Note que não depende da origem. 
x
y
Posição e deslocamento
 O vetor posição em 2D fica definido em termos de suas coordenadas cartesianas por
 No caso espacial, 3D, temos
 Exemplo: um ponto na trajetória de um móvel é dado pelas equações (em unidades SI):
y(t) = -1,0t2+10,0t + 2,0
x(t) = 0,2t2+5,0t + 0,5 
em t = 3 s : x(3) =17 m e y(3) =23 m 
em t = 6 s : x(6) =38 m e y(6) =26 m
Daí:
Calcular
Velocidade
 Como no caso unidimensional, o vetor velocidade média é:
O vetor velocidade instantânea é:
 Em termos de componentes cartesianas:
ou:
(1)
Decorrências da definição (1):
a) 
é sempre tangente à trajetória;
 b) coincide com o módulo da velocidade escalar definida
anteriormente.
trajetória
x
y
Aceleração
 Novamente como no caso 1D, a aceleração média é:
Em termos de componentes cartesianas:
ou:
A aceleração instantânea é:
ou:
(2)
Decorrências da definição (2):
 a) a aceleração resulta de qualquer variação do vetor velocidade 
 (quer seja do módulo, da direção ou do sentido de );
 b) O vetor aceleração está sempre voltado para o “interior” da
trajetória. 
Velocidade e aceleração: componentes
 Voltando ao exemplo do móvel, as componentes do vetor 
velocidade são:
Em t =3 s:
 As componentes do vetor aceleração são:
Ângulo:
Módulo:
O problema inverso
Conhecida a aceleração
que, se integrada, nos fornece o deslocamento:
 Este processo deve ser efetuado para cada componente cartesiana do vetor considerado.
podemos integrá-la e obter a velocidade:
,
definido pelos vetores velocidade inicial e aceleraçao:
Aceleração constante
 Aceleração constante  teremos um movimento no plano
Movimento 2D
 Vamos escolher os eixos de tal forma que o movimento se 
dê no plano xy.
 Aceleração constante no plano xy: ax e ay ctes 
		 2 problemas 1D independentes
 Teremos um MRUA na direção x e outro na direção y.
*
Aceleração constante

componente y de
componente x de
componente x de
componente y de
Caso Particular: Aceleração da gravidade
componente x de
componente y de
componente x de
componente y de
Nesse caso ay = -g e ax=0. Na direção x, vx é constante!
Nota: e são as condições iniciais do movimento.
Em t = 0:
Aceleração da gravidade
 Se tomamos x0 = y0 = 0 (saindo da origem):
de x = v0xt temos: t = x/v0x
 Substituindo na equação para y
encontramos a equação da trajetória:
(Equação de uma parábola !)
Fotografia estroboscópica 
do movimento parabólico
 O movimento na direção y não depende da velocidade vx. Na figura ao lado, duas bolas são jogadas sob a ação da gravidade. A vermelha é solta (v0y=0) e a amarela tem velocidade inicial horizontal v0x.
Em cada instante elas têm a mesma altura!
As componentes da velocidade são:
vx = 10 m/s
vy = (-9,8 t)m/s
 b) ache os ângulos e de e 
 com a horizontal em t =1,0 s
Aceleração da gravidade
 Exemplo: Bola sai do penhasco com v = 10 m/s na horizontal. 
 a) descreva o movimento, ou seja, ache vx(t), vy(t), x(t) e y(t).
As componentes do vetor posição são:
x = 10 t m
y = (-4,9 t2) m
Movimento de um projétil
 Objeto lançado com velocidade , formando
um ângulo com a horizontal.
 Tempo para atingir altura 
máxima h (quando ):
Altura máxima h :
Note que o movimento é simétrico: o corpo leva um tempo th para subir e o mesmo tempo th para cair ao mesmo nível.
 Alcance: distância horizontal percorrida até o objeto voltar à altura inicial : R = x(2th )
Alcance
 Para um dado módulo da velocidade inicial, o alcance será máximo para
Então:
Exemplo
 Um canhão atira bolas com velocidade v0. O alcance máximo é Rmax= . Mostre que para atingir um alvo a uma distância D < Rmax
existem dois ângulos 0 possíveis. Use v0 = 100 m/s e D = 800 m.
 Usando os dados numéricos temos: Rmax = 1019 m, portanto:
Movimento circular uniforme
 Este movimento tem velocidade de módulo constante, porém sua direção muda continuamente.
Exemplos:
Movimento de satélites artificiais;
Pontos de um disco de vitrola;
Pontos de um disco rígido de computador;
Ponteiros de um relógio;
Nós, girando com o movimento da Terra.
*
 Para descrever o MCU usamos as coordenadas polares e 
O arco sobre a trajetória que subentende um ângulo é:
 A posição angular é uma função do tempo, . O arco descrito em dt é dado por . Então:
Movimento circular uniforme
 Definimos assim a velocidade angular :
Frequência e período:
Então:
Se
:
 
.
(v: velocidade tangencial) 
x
Movimento circular uniforme
No limite t 0:
(aceleração
 instantânea)
Aceleração média:
 
(Triângulos
Semelhantes)
Da figura:
Movimento circular uniforme
 Aqui também podemos usar um vetor unitário: (note que este vetor varia com o movimento)
A aceleração fica:
(a aceleração tem a direção do vetor posição e aponta para o centro da circunferência. Esta é a aceleração centrípeta).
Ou:
Exemplo
 Um pião roda uniformemente com frequência de 16 Hz. Qual é a aceleração centrípeta de um ponto na superfície do pião em r = 3 cm ?
A velocidade angular é:
Daí a aceleração fica:
Movimento helicoidal (opcional)
 É um movimento tridimensional que pode ser visto como a composição de um MCU no plano (x,y) com um movimento uniforme na direção z.
 O vetor posição de uma partícula com este movimento será:
E a aceleração será:
constantes. A velocidade será:
com
Movimento helicoidal (opcional)
No plano xy a partícula tem as coordenadas:
que caracterizam um MCU de período 
 Em um período T do movimento no plano xy , a partícula percorre uma distância h no eixo z:
(passo da hélice no 
movimento helicoidal)
e tem a velocidade:
e a aceleração:
Vetorialmente:
Movimento relativo
 Conhecido o movimento de uma partícula P em um dado sistema de coordenadas (referencial) B, que se move em relação a outro referencial A, como descrever o movimento da partícula neste outro referencial (A)?
Posição relativa:
A velocidade relativa é:
Problema:
P
que é função do tempo:
Movimento relativo
Aceleração relativa:
(a aceleração é a mesma quando medida 
em dois referenciais inerciais).
 
.
Em referenciais inerciais (os que se movem 
um em relação ao outro em translação
retilínea e uniforme):
Exemplo
 Um indivíduo deixa cair um objeto dentro de um elevador que sobe com velocidade constante de 0,5 m/s. Pede-se:
0,5 m/s
	A aceleração do objeto relativa ao elevador tão logo deixe a mão do indivíduo
	 A velocidade do objeto com relação ao solo após 0,1 s.
 
 b) 
a)
P
r
r
P
Q
r
r
r
r
r
r
-
=
D
Q
r
r
r
r
D
P
r
r
Q
r
r
r
r
D
Q
P
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(
t
r
r
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j
t
y
i
t
x
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ˆ
)
(
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(
+
=r
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k
t
z
j
t
y
i
t
x
t
r
ˆ
)
(
ˆ
ˆ
)
(
)
(
+
+
=
r
)
3
(
)
6
(
r
r
r
r
r
r
-
=
D
m
)
ˆ
3
ˆ
21
(
)
3
(
)
6
(
j
i
r
r
r
+
@
-
=
D
r
r
r
j
i
r
r
r
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ˆ
ˆ
)
(
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(
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y
t
x
t
t
t
t
t
m
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D
D
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D
-
D
+
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r
r
r
r
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t
t
t
t
r
r
r
v
r
r
r
r
=
D
-
D
+
=
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D
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(
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(
lim
0
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i
r
v
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ˆ
)
(
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dy
dt
dx
dt
t
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+
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r
r
j
v
i
v
v
y
x
ˆ
ˆ
+
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v
v
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t
r
D
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r
j
i
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v
v
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)
(
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(
t
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t
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t
t
t
t
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y
x
m
D
D
+
D
D
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D
D
=
D
-
D
+
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r
r
r
r
dt
d
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t
t
t
t
v
v
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a
r
r
r
r
=
D
-
D
+
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®
D
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(
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(
lim
0
j
i
v
a
ˆ
ˆ
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(
dt
dv
dt
dv
dt
t
d
y
x
+
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r
r
2
2
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(
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t
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dt
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v
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r
r
r
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j
a
i
a
a
y
x
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ˆ
+
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r
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2
2
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0
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2
10
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,
2
/
4
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0
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5
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0
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s
m
t
dt
d
dt
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a
s
m
t
dt
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dt
dv
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y
y
x
x
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s
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j
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2
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r
s
m
dt
dy
s
m
dt
dx
/
0
,
4
/
2
,
6
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2
2
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0
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2
2
,
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s
m
a
a
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y
x
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r
0
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5
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,
0
0
,
2
-
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-
=
=
x
y
a
a
tg
q
o
79
-
@
q
10
0
,
2
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0
,
2
10
0
,
1
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0
,
5
4
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0
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5
,
0
0
,
5
2
,
0
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2
2
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+
-
=
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+
+
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t
t
t
dt
d
dt
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t
t
t
dt
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dt
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v
y
x
2
/
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ˆ
0
,
2
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4
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0
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s
m
j
i
a
-
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r
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(
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r
t
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a
v
t
v
t
t
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¢
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ò
0
)
(
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(
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r
r
r
t
d
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v
r
t
r
t
t
¢
¢
=
-
ò
0
)
(
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0
r
r
r
t
a
v
v
t
a
t
v
y
y
t
a
v
v
t
a
t
v
x
x
y
y
y
y
y
x
x
x
x
x
+
=
+
+
=
+
=
+
+
=
0
2
0
0
0
2
0
0
2
1
2
1
r
r
v
r
0
r
r
0
v
r
gt
v
v
gt
t
v
y
y
v
v
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v
x
x
y
y
y
x
x
x
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-
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0
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0
0
0
2
1
constante
j
y
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r
ˆ
ˆ
0
0
0
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=
r
j
v
i
v
v
y
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0
0
0
+
=
r
r
2
2
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0
0
2
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v
y
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x
y
-
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r
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j
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r
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y
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49
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-
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s
m
j
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/
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ˆ
8
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9
ˆ
10
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t
v
v
tg
x
y
98
,
0
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=
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¢
q
r
r
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0
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0
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0
0
0
¹
¹
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x
v
v
v
r
0
q
constante
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0
0
0
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q
v
v
v
x
x
gt
sen
v
gt
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v
y
y
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=
0
0
0
q
g
v
g
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t
y
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0
0
0
sin
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0
=
y
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(
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h
h
h
2
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2
1
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2
0
0
2
0
0
q
q
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(
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0
2
0
0
0
0
0
2
sin
sin
2
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2
0
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q
q
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g
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ö
ç
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2
2
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g
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2
0
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o
45
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g
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R
2
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0
=
max
2
0
0
2
sin
R
R
v
gR
=
=
q
0
800
sin20,785
1019
q
==
00
0102
00
0102
252,2128
26,64
qq
qq
==
==
g
v
2
0
q
R
s
=
)
(
t
q
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2
=
T
w
f
p
w
2
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w
t
w
q
q
+
=
0
q
q
R
q
s
q
d
R
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v
r
r
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D
t
r
r
v
t
v
a
t
t
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D
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D
D
=
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D
®
D
0
0
lim
lim
2
2
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r
r
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t
v
D
D
=
D
D
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r
r
r
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r
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ˆ
2
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r
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r
r
2
w
-
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f
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2
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2rad(16)101rad/s
Hz
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==
22
306
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w
==
,
ˆ
ˆ
)
(
sin
ˆ
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(
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(
k
t
v
j
t
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i
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+
=
w
w
r
k
v
j
t
R
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t
R
t
v
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ˆ
ˆ
)
(
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ˆ
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(
sin
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(
+
+
-
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w
w
w
w
r
j
t
R
i
t
R
t
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ˆ
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(
sin
ˆ
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(
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(
2
2
w
w
w
w
-
-
=
r
z
v
e
R
w
,
)
(
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(
2
t
r
t
a
xy
xy
r
r
w
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cos
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t
R
t
x
w
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,
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(
sin
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w
p
2
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T
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R
t
v
xy
=
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(
R
r
v
t
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xy
xy
2
2
)
(
w
=
=
w
p
z
z
v
T
v
h
2
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=
,
BA
PB
PA
r
r
r
r
r
r
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PA
BA
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PA
v
v
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r
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r
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r
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A
v
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r
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BA
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BA
PB
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PB
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a
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v
d
dt
v
d
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PB
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r
PA
a
r
BA
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r
z
g
ˆ
-
A
B
z
ˆ
x
ˆ
2
/
ˆ
10
0
;
s
m
z
g
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a
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PA
PB
BA
BA
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PA
-
@
=
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+
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r
r
r
r
r
r
r
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m
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k
v
v
t
a
v
v
v
v
v
PA
PA
BA
PB
PB
PA
BA
PB
PA
/
ˆ
5
,
0
ˆ
/
5
,
0
)
1
,
0
(
/
ˆ
0
,
10
)
(
2
0
-
@
+
-
@
+
+
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+
=
r
r
r
r
r
r
r
r
r