500 problemas resolvidos de ita ime

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500 Problemas Resolvidos de Física
ITA e Olimpíadas
T. F. de Souza
16 de Fevereiro de 2022
2
Sumário
I Problemas 13
1 Introdução à Física 15
1.1 Algarismos Significativos, Desvios e Erros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2 Análise Dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 Sistema Internacional de Unidades, Grandezas Escalares e Vetoriais . . . . . . 18
1.4 Funções e Representação Gráfica de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 Cinemática 21
2.1 Equação Horária de um Movimento e Trajetória . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Estudo Gráfico do Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3 Movimento de Projéteis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4 Movimento Circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5 Cinemática Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3 Estática 31
3.1 Conceito de Força e Equilíbrio de uma Partícula . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2 Momento de uma Força e Equilíbrio de um Corpo Rígido . . . . . . . . . . . . 34
4 Dinâmica 39
4.1 Dinâmica do Movimento Retilíneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2 Dinâmica do Movimento Circular e Força Centrípeta . . . . . . . . . . . . . . 44
4.3 Referenciais Acelerados e Força Centrífuga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.4 Impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.5 Momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.6 Centro de Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.7 Trabalho, Energia, Forças Conservativas e Dissipativas . . . . . . . . . . . . . 54
5 Gravitação 63
5.1 Campo Gravitacional e Leis de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6 MHS 73
6.1 Movimentos Periódico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.2 Movimento Harmônico Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.3 Superposição de Mesma Direção e Direções Ortogonais . . . . . . . . . . . . . 85
3
4 SUMÁRIO
6.4 Pêndulo Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
7 Fluidomecânica 89
7.1 Princípios de Arquimedes e de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
7.2 Escoamento, Equações de Bernoulli e Torricelli . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
8 Termologia 99
8.1 Termometria, lei Zero da Termodinâmica, Dilatação de Sólidos e Líquidos . . . 99
8.2 Gases Ideais, 1º e 2º leis da Termodinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
8.3 Calorimetria e Propagação do Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
9 Ondulatória 109
9.1 Ondas Transversais e Longitudinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
9.2 Ondas Sonoras e Intensidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
9.3 Cordas Vibrantes, Tubos Sonoros e Efeito Doppler . . . . . . . . . . . . . . . 114
10 Óptica Geométrica 117
10.1 Propagação Retilínea da Luz, Leis da Reflexão e da Refração . . . . . . . . . . 117
10.2 Estudo de Espelhos, Lâminas e Prismas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
10.3 Dispersão da Luz, Lentes Delgadas e Sistemas Ópticos . . . . . . . . . . . . . 122
11 Ótica Física 125
11.1 Ondas Luminosas e Interferência (Experiência de Young) . . . . . . . . . . . . 125
11.2 Difração e Polarização da Luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
11.3 Modelos Ondulatório e Corpuscular da Luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
12 Eletrostática 133
12.1 Cargas Elétricas e Processos de Eletrização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
12.2 Lei de Coulomb, Campo Elétrico e Potencial Elétrico . . . . . . . . . . . . . . 134
12.3 Capacitores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
13 Eletrodinâmica 145
13.1 Condutores, Isolantes e Corrente Elétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
13.2 Resistência Elétrica, Lei de Ohm, Resistividade e Condutividade . . . . . . . . 147
13.3 Leis de Kirchhoff (Wheatstone), Geradores e Receptores . . . . . . . . . . . . 149
14 Magnetismo 153
14.1 Campo Magnético, Ímãs e Bobinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
14.2 Forças Magnéticas sobre Cargas e Interação entre Correntes . . . . . . . . . . 156
15 Indução Eletromagnética 161
15.1 Indução Eletromagnética e Lei de Faraday-Lenz . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
15.2 Auto-indução e Indutância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
15.3 Propagação e Interferência de Ondas Eletromagnéticas . . . . . . . . . . . . . 165
SUMÁRIO 5
16 Física Moderna 169
16.1 Efeito Fotoelétrico, Átomo de H e Princípio da Incerteza . . . . . . . . . . . . 169
16.2 Postulados de Einstein e Transformações de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . 174
16.3 Efeito Doppler, Momentum, Energia e Relação Massa-Energia . . . . . . . . . 181
II Gabarito 189
III Soluções 215
IV Apêndice I – Alguns Tópicos de Matemática 527
V Apêndice II – Física Moderna 539
VI Referências e Bibliografia 557
6 SUMÁRIO
Sobre o autor
Thiago Felício de Souza é um jovem físico, com bacharelado, mestrado e doutorado pela Univer-
sidade Federal do Ceará (UFC), que se dedica, na medida do possível, em ajudar os estudantes
pré-iteanos e olímpicos em seus estudos desde 2008. Fez virtualmente (via internet) projetos
preparatórios nesse segmento ITA-Olimpíadas. Atualmente, além de pesquisador, é um dos
membros da banca elaboradora de provas da Olimpíada Online de Física (OOF), que é um
evento anual latino-americano desenvolvido em 2013 pela Sociedade Peruana de Docentes de
Física Richard Feynman (SPDF). Foi professor de muitas escolas populares e famosas no Ceará,
desde o grau regular até o olímpico (OBF e seletivas para OIbF/IPhO). Para contato com o autor:
 +55 85 99715-5581 +55 85 99715-5584 Q felicio@fisica.ufc.br
7
8 SUMÁRIO
Prefácio
Houve uma época, onde conseguirmaterial de Física adequado para turmas ITA, IMEe olímpicas
de física era tarefa árdua. A duras penas, conseguia-se acesso ao clássico livro, PROBLEMAS
SELECIONADOS DE FÍSICA ELEMENTAR, do I. M. Saraeva.
Felizmente essa realidade mudou. A prova disso é o excelente livro que o leitor tem em
mãos, composto por uma série de problemas de física, com elevado grau de dificuldade e de
rara beleza estética. Destaca-se também a elegância das resoluções propostas pelo autor.
Portanto, estamos diante de uma obra que vemcontribuir para a formação sólida de estudantes
amantes das ciências exatas. Meu desejo é que façam bom uso dela, e cresçam no conhecimento
da física e da matemática.
Wellington Jesus
9
10 SUMÁRIO
Como usar esta obra
Caro leitor,
É com muito carinho e precisão que lanço este livro inédito, no Brasil, para dar suporte nos
estudos preparatórios para os vestibulares militares e Olimpíadas (inter)nacionais. Apesar do
títuto ser 500 Problemas Resolvidos de Física: ITA e Olimpíadas, é possível cobrir outros
segmentos, como o do IME, Escola Naval, AFA etc. Cada questão está resolvida, com única
ou mais possibilidades de solução, sob a preservação da qualidade na didática, exatidão e
simplicidade. Existem aquelas que requerem o domínio do Cálculo sem extrapolações e outras
que não exigem isso. Com isso, decidi construir apêndices com tabelas de fórmulas, identidades,
derivadas e integrais para a sua consulta. Finalmente, preciso lhe indicar este itinerário para o
uso eficaz do referido livro:
1º) Os problemas estão divididos em assuntos justamente para dar direcionamento nos es-
tudos localizados: Introdução à Física (25), Cinemática (31), Estática (23), Dinâmica
(77), Gravitação (28), MHS (43), Fluidomecânica (23), Termologia (27), Ondulatória
(21), Óptica Geométrica (22), Ótica Física (21), Eletrostática (32), Eletrodinâmica (20),
Magnetismo (22), Indução Eletromagnética (20) e Física Moderna (65).
2º) Não aconselho usar essa obra sem haver outros livros, especificamente, teóricos.Caso
contrário, torna-se incompleto o aprendizado. É natural que, ao fazer cada questão, o
estudante se sinta inclinado a buscar ajuda com o objetivo de neutralizar sua dúvida e
dificuldade. Essa maneira é a adotada aqui pois acredito muito nela no que diz respeito
à aprendizagem eficiente. Então, não fique desmotivado quando não conseguir resolver
uma questão. Busque como tratá-la, entendê-la etc. Esse é o caminho verdadeiro do
estudante porque o elo entre conhecimento dos fundamentos e prática é inquebrável.
3º) Sinceramente, quando pensei em escrever esta obra, foquei no público militar, mas vi que
o pessoal de Olimpíadas pode fazer uso dela sem preocupações.
4º) Indiquei materiais no final do livro. Peço que o leitor preste muita atenção na bibliografia
pois existem indicações confiáveis, que são contempladas pelas bancas.
Logo, desejo-lhe um bom aprendizado e sucesso, e que este trabalho contribua de alguma forma
em seus estudos!
T. F. de Souza
11
12 SUMÁRIO
Parte I
Problemas
13
Capítulo 1
Introdução à Física
1.1 Algarismos Significativos, Desvios e Erros
001 Uma quantidade física é dada por 𝑋 = 𝑀𝑎𝐿𝑏𝑇−𝑐. Se os erros percentuais de medida para
𝑀 , 𝐿 e 𝑇 são 𝛼, 𝛽 e 𝛾, respectivamente, então, obtenha o erro percentual para 𝑋 .
002 O lado de um cubo é medido por um paquímetro de Vernier (10 divisões de uma escala
de Vernier coincide com 9 divisões da escala principal, onde 1 divisão dessa escala é 1
mm). A escala principal lê 10 mm e a primeira divisão da escala de Vernier coincide com
a escala principal. A massa do cubo é 2, 736 g. Determine a densidade do cubo.
A 2, 00 g/cm3
B 2, 23 g/cm3
C 2, 66 g/cm3
D 4, 46 g/cm3
E 4, 00 g/cm3
003 Se 𝑋 = 𝑎 + 𝑏, determine o maior erro percentual na medida de 𝑋 .
1.2 Análise Dimensional
004 O comprimento de onda de Compton (𝜆c) para uma partícula livre relativística sem spin
com massa de repouso 𝑚0 é dado por 𝜆c = 𝑘ℏ𝑥𝑚
𝑦
0𝑐
𝑧, onde 𝑘 é um número real, muitas
vezes tomado como sendo unitário. Assinale a alternativa onde constam os valores para
𝑥, 𝑦 e 𝑧 que tornam 𝜆c dimensionalmente correto.
Dados: ℏ é a constante de Planck reduzida e 𝑐 é a velocidade da luz no vácuo
A 𝑥 = −1; 𝑦 = 1; 𝑧 = 1
B 𝑥 = 1; 𝑦 = −1; 𝑧 = 1
C 𝑥 = 1; 𝑦 = 1; 𝑧 = −1
D 𝑥 = 1; 𝑦 = −1; 𝑧 = −1
E 𝑥 = 1; 𝑦 = 1; 𝑧 = 1
005 A radiação de Cerenkov é um fenômeno eletromagnético relativístico não-quântico que
surge quando partículas dotadas de carga elétrica, num dado meio dielétrico, movem-se
15
16 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO À FÍSICA
com velocidades, cujas magnitudes superam a velocidade da luz no vácuo. Considerando
que tal meio tenha índice de refração 𝑛 > 1, o ângulo de emissão 𝜃c será tal que
cos 𝜃c =
1
𝑛𝛽
+ 𝑋
2𝑝𝑣g(𝜔)
(
1 − 1
𝑛2
)
,
onde ®𝑣 = ®𝛽𝑐 = ®𝑝/𝑚 é a velocidade do corpúsculo de massa 𝑚 naquele meio, 𝜔 é a
frequência do fóton, 𝑣g(𝜔) é a velocidade de grupo da luz e 𝑋 é uma grandeza desconhe-
cida. Descubra 𝑋 , se aquela expressão é fisicamente aceitável.
Dado: 𝑐 é a velocidade da luz no vácuo
A Posição
B Velocidade
C Massa
D Corrente elétrica
E Energia
006 Se
𝐸 =
𝑛∑︁
𝑗=1
𝑘 𝑗𝑣
𝑗
𝑗
𝑗!
é dimensionalmente correta, obtenha a equação dimensional de 𝑘9𝑘17/𝑘12, sabendo que
𝐸 , 𝑣 𝑗 ( 𝑗 = 1, 2, 3, ..., 𝑛) e 𝑗! = 𝑗 ( 𝑗 − 1) ( 𝑗 − 2) ... 3.2.1 são energia, velocidade e número,
respectivamente. As constantes 𝑘1, 𝑘2, ..., 𝑘𝑛 são físicas.
A 𝐿−12𝑀𝑇12 B 𝐿−6𝑀𝑇6 C 𝐿−10𝑀𝑇10 D 𝐿10𝑀𝑇−10 E 1
007 Qual a equação dimensional do potencial elétrico vetorial?
Dados: 𝐼, 𝑀 , 𝐿 e 𝑇 são corrente elétrica, massa, comprimento e tempo, respectivamente
A 𝑀𝐿𝑇𝐼
B 𝑀𝐿2𝑇 𝐼
C 𝑀𝐿𝑇−2𝐼−1
D 𝑀𝐿2𝑇−2𝐼−1
E 𝑀𝐿2𝑇−1𝐼−2
008 Um elétron de massa𝑚e move-se sob a ação de um campomagnético uniforme numa dada
região. A dinâmica quântica e relativística, de acordo com Dirac para essa partícula, nos
dá níveis discretos de energia 𝐸𝑛 = ±
√︁
(𝑚e𝑐2)2 + (𝑐ℏ𝑥)2 + 2𝑛ℏ𝑦𝑚e𝑐2, com 𝑛 = 0, 1, 2, ... .
Nesse espectro, todos os níveis 𝑛 ≠ 0 são degenerados por causa do spin do elétron.
Qual(is) unidade(s), no SI, de 𝑦/𝑥?
Dados: 𝑐 é a velocidade da luz no vácuo e ℏ é a constante de Planck reduzida
A m/s B N/m2 C J D Nm E m
009 Se
𝑚𝑣2 sen(𝜔𝑦 − 𝜙) = 𝜋
√
𝑥
𝑦2
é dimensionalmente correta, determine as dimensões de 𝑥 e 𝑦, sendo 𝑚 a massa, 𝑣 a
velocidade e 𝜔 a velocidade angular.
1.2. ANÁLISE DIMENSIONAL 17
010 A expressão de 𝐼 é dimensionalmente correta. Sendo 𝐼 o momento de inércia, 𝑚 a massa,
𝑅𝑛 e 𝑅𝑛−1 os raios, e 𝜃𝑛 e 𝜃𝑛−1 os ângulos, determine o valor de (𝑥 − 𝑝)𝑧−𝑦 se
𝐼 =
√︂
3
𝜋
𝑚
[
(𝑅𝑛 cos 𝜃𝑛)𝑥 − (𝑅𝑛−1 cos 𝜃𝑛−1)𝑦
(𝑅𝑛 sen 𝜃𝑛)𝑧 − (𝑅𝑛−1 sen 𝜃𝑛−1)𝑝
]
.
011 Se a velocidade da luz (𝑐), a constante gravitacional universal (𝐺) e a constante de Planck
(ℎ) são escolhidas como unidades fundamentais, a dimensão de massa será
A ℎ1/2𝑐1/2𝐺−1/2.
B ℎ−1𝑐−1𝐺.
C ℎ𝑐𝐺−1.
D ℎ𝑐𝐺.
E ℎ2𝑐2𝐺−2.
012 Se a velocidade (𝑉), aceleração (𝐴) e força (𝐹) são tomadas como quantidades fundamen-
tais, as dimensões do módulo de Young serão
A 𝐹𝐴2𝑉−4. B 𝐹𝐴2𝑉−5. C 𝐹𝐴2𝑉−3. D 𝐹𝐴2𝑉−2. E 𝐹𝐴𝑉 .
013 Um corpo esférico de massa 𝑚 e raio 𝑟 cai dentro de um meio de viscosidade 𝜂. O
intervalo de tempo para que a velocidade do objeto passe de zero para 0, 63 vezes a sua
velocidade terminal (𝑣) é chamado de constante de tempo (𝜏). As dimensões de 𝜏 serão
A
𝑚𝑟2
6𝜋𝜂
.
B
√︄
6𝜋𝑚𝑟𝜂
𝑔2
.
C
𝑚
6𝜋𝜂𝑟𝑣
.
D
𝑚
𝜂𝑟𝑣
.
E NDA.
014 A massa de um líquido fluindo por segundo por unidade de área de seção transversal de
um tubo é proporcional a (Δ𝑝)𝑥 e 𝑣𝑦, onde Δ𝑝 é a diferença de pressão e 𝑣 é a velocidade.
Então, a relação entre 𝑥 e 𝑦 é
A 𝑥 = 𝑦. B 𝑥 = −𝑦. C 𝑦2 = 𝑥. D 𝑦 = −𝑥2. E 𝑦 = 𝑥2.
015 Considere dois blocos cúbicos idênticos 𝐴 e 𝐵, que estão colados rigidamente entre si e
que 𝐵 é preso ao solo, também, de forma rígida. A massa de 𝐴 é 𝑚 e o seu lado, 𝑙. O
módulo de Young para 𝐵 tem um valor baixo e igual a 𝑌 , e 𝐴 é muito duro. Uma pequena
força ®𝐹 é aplicada perpendicularmente em uma das faces de 𝐴. Depois ela é retirada e 𝐴
começa a executar pequenas oscilações, cujo período será dado por
𝐵
𝐴
®𝐹
18 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO À FÍSICA
A 2𝜋
√︂
𝑙𝑌
𝑚
. B 2𝜋
√︂
𝑚𝑌
𝑙
. C 2𝜋
√︂
𝑚𝑙
𝑌
. D 2𝜋
√︂
𝑚
𝑙𝑌
. E 𝜋
√︂
𝑚𝑙
𝑌
.
1.3 Sistema Internacional de Unidades, Grandezas Escalares
e Vetoriais
016 A expansão do Universo obedece à lei de Hubble da seguinte forma: ®𝑣 = 𝐻0®𝑟 , sendo
®𝑟 e ®𝑣 a posição e a velocidade de uma galáxia com respeito à Terra. A constante de
proporcionalidade 𝐻0 é chamada de constante de Hubble. Para as galáxias, essa lei
continua sendo válida? Justifique.
017 Qual é o menor valor para o módulo da resultante entre os vetores ®𝐴 e ®𝐵, mostrados na
figura, sabendo que 𝐴 = 4 𝜇?
A 1 𝜇
B
√
3 𝜇
C
√
5 𝜇
D 2 𝜇
E 2
√
3 𝜇 ®𝐴
®𝐵
150◦
018 Em qual das alternativas representa o vetor resultante dos vetores na figura?
A ®𝐸 + ®𝐹
B 2 ®𝐺
C 2 ®𝐸
D 4 ®𝐸 + ®𝐹
E 2 ®𝐸 + 2 ®𝐺
®𝐷®𝐺
®𝐸
®𝐵
®𝐴
®𝐹
®𝐶
019 O gráfico mostra-nos três vetores coplanares, sendo a direção do vetor ®𝐶 definida por
45◦ < 𝜃 < 90◦ e 𝐴 = 𝐵 = 𝑎. Determine o valor máximo do módulo da resultante
horizontal desse sistema.
®𝐴
®𝐵
®𝐶
𝜃
A 𝑎 sen
(
𝜃
2
)
B 𝑎 cos
(
𝜃
2
) C 3𝑎 sen
(
𝜃
2
)
D 3𝑎 cos
(
𝜃
2
) E 𝑎 tg
(
𝜃
2
)
1.3. SISTEMA INTERNACIONALDEUNIDADES,GRANDEZASESCALARESEVETORIAIS19
020 Expresse o vetor ®𝑥 em função dos vetores ®𝐴 e ®𝐵 (𝑀𝑁𝑃𝑄 é um paralelogramo).
®𝐵
®𝐴
®𝑥
𝑀 𝑁
𝑃𝑄
A
®𝐴 − ®𝐵
6
B
®𝐴 + ®𝐵
6
C
®𝐴 − ®𝐵
3
D
®𝐴 + ®𝐵
3
E
®𝐴 − ®𝐵
4
021 Um ponto material ( ®𝐴) é atraído pelos vértices de um quadrado por forças que são
proporcionais às distâncias entre 𝐴 e os vértices. As constantes de proporcionalidade são
todas iguais a 𝛼 > 0. Sendo ®𝑟 a posição daquele ponto material com respeito ao centro
do quadrado, determine a força resultante sobre 𝐴.
®𝑟
𝐴
Agora,repita os cálculos para o caso geral onde temos um polígono regular de 𝑛 lados.
022 Dados os vetores ®𝐴, ®𝐵 e ®𝑋 , determine ®𝑋 em função de ®𝐴 e ®𝐵 (𝑀𝑁𝑃𝑄 é um retângulo).
O ponto 𝑋 está a um quarto da distância 𝑁𝑄 de 𝑄.
®𝐵
®𝐴
®𝑋 𝑋
𝑀 𝑄
𝑃𝑁
A ®𝑋 =
3
2
®𝐴 + 1
4
®𝐵
B ®𝑋 =
3
4
®𝐵 + 1
4
®𝐴
C ®𝑋 =
1
2
®𝐵 + 1
3
®𝐴
D ®𝑋 =
2
3
®𝐴 + 1
5
®𝐵
E ®𝑋 =
1
3
®𝐴 + 2
5
®𝐵
20 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO À FÍSICA
023 Prove que, todo triângulo inscrito numa circunferência é retângulo, sendo que um dos
seus lados é o diâmetro dela.
1.4 Funções e Representação Gráfica de Funções
024 A posição de um ponto material é dada por 𝑥(𝑡) = 𝐴 sen(𝐶𝑡) + 𝐵 cos(𝐶𝑡), onde 𝐴, 𝐵 e
𝐶 > 0 são constantes. Que tipo de movimento apresenta esse objeto?
025 Do problema 24, se for periódico, determine o período do movimento. Faça todos os
cálculos detalhados. A força restauradora desse objeto, que tem massa𝑚, é 𝐹 (𝑥) = −𝑛𝛼 𝑥
(cf. o problema 21). Determine o valor de 𝐶 em termos de 𝑚, 𝑛 e 𝛼.
Capítulo 2
Cinemática
2.1 Equação Horária de um Movimento e Trajetória
026 Três microfones, situados numa mesma reta, em 𝐴, 𝐵 e 𝐶, detectam nos instantes 𝑡𝐴, 𝑡𝐵 e
𝑡𝐶 (𝑡𝐴 > 𝑡𝐵 > 𝑡𝐶) o som de uma dada explosão em 𝑂, que pertence ao segmento 𝐴𝐶. Se
𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝐿, determine 𝐴𝑂. O instante de explosão não é o de início da cronometragem
do relógio.
𝐵𝐴 𝐶
𝑂
027 Uma das extremidades de uma haste delgada homogênea se movimenta sobre uma super-
fície horizontal, com velocidade 𝑣, para a direita, enquanto a outra é livre de contato com
qualquer superfície. Essa haste também toca uma superfície cilíndrica. Essas superfícies
são lisas. Mostre que quando o centro de gravidade entra em contato com aquela superfície
cilíndrica, as extremidades terão a mesma velocidade 𝑣, em módulo.
𝑣
028 Um avião supersônico voa horizontalmente. Dois microfones, que estão em repouso a
uma distância 𝑙 um do outro e encontram-se na mesma vertical, registram a chegada do
som num tempo 𝜏. A velocidade do som no ar é 𝑣s. Determine a velocidade do avião ao
sobrevoar os microfones.
029 Estudantes utilizam uma câmera de vídeo para realizar a captação de movimento de uma
esfera de alumínio lançada obliquamente em laboratório. A taxa de quadros por segundo
da câmera é assumida alta e constante. Analisando o movimento na trajetória através de
umvídeo gravado, os estudantes verificam que o deslocamento da esfera entre dois quadros
consecutivos no ponto de altura máxima é metade do deslocamento observado entre os
dois primeiros quadros capturados logo após o lançamento do projétil. Desconsiderando
quaisquer efeitos dissipativos, calcule o ângulo de inclinação de lançamento da esfera.
21
22 CAPÍTULO 2. CINEMÁTICA
A 15◦ B 30◦ C 45◦ D 60◦ E 75◦
030 Dois carros de largura 𝑙 percorrem uma avenida com a mesma velocidade 𝑣. A distância
que os separa é 𝑑. Um pedestre quer atravessar a avenida, cuja largura é 𝐿, em trajetória
reta, passando entre os dois carros. Determine a menor velocidade, em módulo, com que
ele pode realizar seu intento, sem ser atropelado, e o tempo que dura a travessia.
A
𝑙
√
𝑙2 + 𝑑2
𝑣;
𝐿
𝑣
(
𝑙
𝑑
+ 𝑑
𝑙
)
B
2𝑙
√
𝑙2 + 𝑑2
𝑣;
2𝐿
𝑣
(
𝑙
𝑑
+ 𝑑
𝑙
)
C
𝐿
√
𝐿2 + 𝑑2
𝑣;
𝐿
𝑣
(
𝐿
𝑑
+ 𝑑
𝐿
)
D
2𝐿
√
𝐿2 + 𝑑2
𝑣;
2𝐿
𝑣
(
𝐿
𝑑
+ 𝑑
𝐿
)
E
𝑙
√
𝑙2 + 𝐿2
𝑣;
𝑙
𝑣
(
𝑙
𝐿
+ 𝐿
𝑙
)
031 Dois móveis 𝐴 e 𝐵 partem simultaneamente do ponto 𝑃, e percorrem a semirreta 𝑃𝑥
com velocidades 𝑣𝐴 e 𝑣𝐵, ambas dirigidas no mesmo sentido, e a segunda maior que a
primeira. Um observador encontra-se em 𝑂, verticalmente, acima de 𝑃, à altura ℎ. Após
quanto tempo os raios visuais𝑂𝐴 e𝑂𝐵 formarão um ângulo máximo? Quanto mede esse
ângulo?
032 De um ponto 𝐴 dão-se dois tiros de canhão, com cargas de projeção diferentes. No
primeiro tiro, aponta-se o canhão para o ponto 𝐶 no alto de uma torre; atinge-se a base 𝐵
após um tempo 𝑡1. Dobra-se o ângulo de tiro, e atinge-se o ponto 𝐶, após um tempo 𝑡2.
Determine 𝐴𝐵.
Dado: a gravidade local é ®𝑔
033 Um automóvel afasta-se de uma extensa parede vertical a uma velocidade ®𝑣, segundo um
ângulo 𝛼. Quando o veículo está a uma distância 𝑙 dessa parede, o motorista buzina.
Determine a distância percorrida pelo carro até o instante em que o condutor escuta o seu
eco.
®𝑣
𝛼
𝑙
034 Um patinador percorre uma distância 𝐿 com velocidade constante e depois freia com
aceleração constante ®𝑎 até parar. Para qual velocidade, o tempo total de percurso será o
menor?
A 2
√
𝑎𝐿
2.1. EQUAÇÃO HORÁRIA DE UM MOVIMENTO E TRAJETÓRIA 23
B
√
2𝑎𝐿
C
√
𝑎𝐿
D
√︁
𝑎𝐿/2
E
√
3𝑎𝐿
035 Numa mesa de bilhar, com lados 𝑎 e 𝑏, é lançada uma bola desde o centro do lado 𝑏. Para
quais ângulos 𝜃, a bola voltará para o mesmo ponto de lançamento?
𝜃
𝑎
𝑏
036 Uma estrutura articulada consiste em duas ligações de comprimento 2𝑙. Uma das suas
extremidades está presa à parede e a outra se move, à distância 3𝑙 da parede, com
velocidade vertical constante 𝑣0. Encontre o módulo da aceleração do ponto de conexão
entre as barras (a) quando a barra mais próxima da parede tiver direção horizontal e (b)
quando o ponto de conexão tiver velocidade nula.
2𝑙
2𝑙
𝑣0
3𝑙
037 Um dos dois anéis com raio 𝑟 está em repouso e o outro se move à velocidade 𝑣 em direção
ao primeiro. Encontre como a velocidade do ponto superior de interseção depende da
distância entre os centros de dois anéis.
24 CAPÍTULO 2. CINEMÁTICA
𝑑
𝑟 𝑟
𝑣
038 Um cão está perseguindo uma raposa, que se move com velocidade constante ®𝑣1 ao longo
de uma linha reta. O módulo da velocidade do cão é constante e igual a 𝑣2, mas a direção
dessa velocidade é sempre direcionada para a raposa. A distância entre os animais era
𝑙 no momento em que seus vetores velocidades eram perpendiculares. Naquele instante,
qual era o módulo da aceleração do cachorro?
039 A extremidade de uma corda de massa insignificante foi presa num ponto da superfície
lateral de um cilindro, não muito afastado do solo. O cilindro está fixado numa super-
fície horizontal lisa, com seu eixo vertical. A corda foi enrolada 𝑘 vezes ao redor do
cilindro. Na extremidade livre da corda foi amarrado um bloco, que é dada a ele uma
velocidade horizontal 𝑣. Quanto tempo será gasto pelo bloquinho para desenrolar a corda
completamente?
𝑅
𝑣
2.2 Estudo Gráfico do Movimento
040 Um ponto material move-se ao longo de uma linha reta. Diga como serão os gráficos 𝑥(𝑡)
e 𝑣(𝑡) conhecendo-se 𝑣(𝑥) para as seguintes situações de diagrama: (a) um retângulo de
lados 2𝑥0 e 2𝑣0 (figura I) e (b) um círculo de raio 𝑥0 (ou 𝑣0) (figura II).
𝑥
𝑣
−𝑥0 𝑥0
𝑣0
−𝑣0
Fig. I
𝑥
𝑣
−𝑥0 𝑥0
𝑣0
−𝑣0
Fig. II
2.2. ESTUDO GRÁFICO DO MOVIMENTO 25
041 Umapartículamove-se em linha reta. O gráfico abaixomostra a dependência da velocidade
(𝑣) com a posição (𝑥). Qual o valor da aceleração para 𝑥 = 3 m, em m/s2? Encontre
também o valor da aceleração máxima entre 𝑥 = 0 e 𝑥 = 5 m, em m/s2.
𝑣 (m/s)
𝑥 (m)
1 2 3 4 50
1
2
3
4
A +2; +4
B +3; +5
C −2; −4
D −3; −5
E −1; −2, 5
042 Uma partícula se move ao longo do eixo dos 𝑥. O gráfico de sua aceleração em função do
tempo é mostrado na figura. Em 𝑡 = 0, a partícula se encontrava em repouso. Encontre a
velocidade média da partícula por um longo tempo. Suponha 𝜏 muito pequeno.
0 𝑡
𝑎
𝑎0
−𝑎0
𝜏 2𝜏 3𝜏 5𝜏
4𝜏
043 O gráfico a seguir mostra como muda a velocidade 𝑣 de um corpo com o tempo 𝑡. O
diagrama é circular. A velocidade máxima é 𝑣0, e o tempo de percurso é 𝑡0. Determine o
espaço percorrido pelo objeto nesse tempo.
26 CAPÍTULO 2. CINEMÁTICA
𝑡
𝑣
𝑣0
𝑡00
044 Um corpo movimenta-se durante um tempo 𝜏 com velocidade constante e igual a 𝑣0. De-
pois, sua velocidade cresce linearmente até 2𝜏, cujo valor nesse instante é 2𝑣0. Determine
a distância percorrida pelo móvel entre 𝑡 = 0 a 𝑡 > 𝜏.
A 𝑣0𝑡 +
𝑣0
2𝜏
(𝑡 − 𝜏)2
B 𝑣0𝑡 +
𝑣0
𝜏
(𝑡 − 𝜏)2
C 𝑣0𝑡 +
2𝑣0
𝜏
(𝑡 − 𝜏)2
D 𝑣0𝑡+
3𝑣0
𝜏
(𝑡 − 2𝜏)2
E 𝑣0𝑡 +
𝑣0
3𝜏
(𝑡 − 2𝜏)2
𝑣
𝑡
𝜏 2𝜏
𝑣0
2𝑣0
0
2.3 Movimento de Projéteis
045 Uma partícula é lançada de um dos vértices de um triângulo (𝐴), por um ângulo 𝜃 com
a horizontal e com velocidade ®𝑣0, tal que sua trajetória passe por 𝐵 e 𝐶. Os ângulos dos
vértices 𝐴 e 𝐶 são 𝛼 e 𝛽, respectivamente. Prove que tg 𝜃 = tg𝛼 + tg 𝛽.
𝐴
𝐵
𝐶
𝛼 𝛽
®𝑣0
𝜃
®𝑔
046 Qual deve ser a menor velocidade de lançamento de uma pedra para que ela atravesse o
telhado de uma casa, tocando as suas bordas?
Dado: a gravidade local é ®𝑔
2.4. MOVIMENTO CIRCULAR 27
A
√︁
𝑔(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)
B
√︁
𝑔(𝑎 − 𝑏 + 𝑐)
C
√︁
𝑔(𝑎 + 𝑏 − 𝑐)
D
√︄
𝑔
(
𝑎 + 𝑏
2
− 𝑐
)
E
√︄
𝑔
(
𝑎 + 3𝑏
2
− 𝑐
)
𝑎
𝑏
𝑐
®𝑔
047 Um pato voa sobre uma reta horizontal com velocidade constante ®𝑢. Um caçador lança
uma pedra com velocidade ®𝑣 em direção ao pato. Nesse momento, o vetor velocidade da
pedra aponta para o pato e faz um ângulo 𝛼 com o solo. Determine a altura de voo do
pato para que a pedra alcance-o.
Dado: a gravidade local é ®𝑔
ℎ ®𝑣
𝛼
𝑂
𝑃
®𝑔
®𝑢
048 Do orifício de uma mangueira, impedido por um dedo, jorram dois filetes d‘água, que
fazem com a horizontal, ângulos iguais a 𝛼 e 𝛽. A velocidade de saída de cada jato é a
mesma e igual a 𝑣, em módulo. Determine a distância 𝐿 do ponto de encontro dos feixes
ao solo.
Dado: a gravidade local é ®𝑔
A
𝑣2
𝑔(tg𝛼 + tg 𝛽)
B
2𝑣2
𝑔(tg𝛼 + tg 𝛽)
C
𝑣2
𝑔(cotg𝛼 + cotg 𝛽)
D
𝑣2
𝑔(cotg𝛼 + cotg 𝛽)
E
2𝑣2(tg𝛼 tg 𝛽 − 1)
𝑔(tg𝛼 + tg 𝛽)2
𝛽𝛼 𝐿
®𝑔
2.4 Movimento Circular
049 Um rolo de papel desenrola-se de maneira que a velocidade do cabo da cinta de papel é
constante e igual a ®𝑣. Em 𝑡 = 0, o raio do rolo era 𝑅. Qual será a velocidade angular do
rolo no instante posterior 𝑡? A espessura do papel é ℎ � 𝑅.
28 CAPÍTULO 2. CINEMÁTICA
®𝑣
050 Uma bobina rola num plano horizontal sem deslizamento por meio de um fio, que faz um
ângulo 𝛼 com a horizontal e é puxado com velocidade ®𝑣. Determine a velocidade do eixo
e a velocidade de rotação da bobina. Para quais valores de 𝛼 a bobina irá se mover para a
esquerda/direita? Considere o fio comprido tal que 𝛼 seja constante.
®𝑣
𝛼𝑟
𝑅
051 Uma bolinha é perfurada por uma argola de raio 𝑅. A partir de um ponto 𝑂 sobre ela
é articulada uma haste que deverá empurrar a bolinha com velocidade angular 𝜔 (em
relação a 𝑂). Determine a magnitude da aceleração desse corpo.
A 𝜔2𝑅
B 2𝜔2𝑅
C 3𝜔2𝑅
D 4𝜔2𝑅
E 5𝜔2𝑅
𝑂
𝑅
𝜔
052 Uma haste leve e articulada no solo gira com velocidade angular 𝜔 sem deslizar sobre
um cilindro, que também não escorrega sobre o solo. Determine a velocidade angular do
cilindro quando o ângulo da haste com o solo for 𝛼. Considere o solo como horizontal e
plano.
𝜔
𝛼
2.5 Cinemática Vetorial
053 Dois carros dirigem-se ao cruzamento de duas estradas retilíneas, que formam entre si um
ângulo 𝛼. As velocidades dos carros são constantes e cujos módulos relacionam-se como
2.5. CINEMÁTICA VETORIAL 29
𝑣1/𝑣2 = cos𝛼. Em 𝑡 = 0, as distâncias dos móveis ao ponto de encontro dos trechos são
𝑙1 e 𝑙2. A distância mínima entre os veículos será
A |𝑙1 − 2𝑙2 sen𝛼 |.
B |𝑙1 − 𝑙2 cos𝛼 |.
C |𝑙2 − 𝑙1 cos𝛼 |.
D |𝑙1 − 𝑙2 sen𝛼 |.
E |𝑙2 − 𝑙1 sen𝛼 |.
054 Um núcleo, que voa com velocidade ®𝑣, é dividido em dois fragmentos iguais. Determine
o maior ângulo entre a velocidade de um dos fragmentos e ®𝑣, se ao desintegrar o núcleo
em repouso, os fragmentos adquirem velocidades de mesmo módulo 𝑢 < 𝑣.
A arcsen
(𝑢
𝑣
)
B arccos
(𝑢
𝑣
)
C arctg
(𝑢
𝑣
)
D arcsen
(√
𝑢2 + 𝑣2
𝑣
)
E arccos
(√
𝑢2 + 𝑣2
𝑣
)
055 Um garotinho brinca com seu pião sobre uma mesa plana e horizontal, sem atrito algum.
Em dado momento, lança-se o brinquedo em direção à borda com velocidade ®𝑣0. A
altura e o raio do pião, suposto cônico, são iguais a ℎ e 𝑅, respectivamente. Determine
o menor valor dessa velocidade para que o pião caia sem tocar a mesa. Suponha que em
todo o movimento desse pião, o seu eixo esteja sempre perpendicular à mesa. Despreze
deslizamentos.
056 Uma bolinha é lançada horizontalmente com velocidade ®𝑣, afim de colocá-la dentro
da região delimitada por duas placas verticais, paralelas e rígidas, que se movem com
velocidade ®𝑢 (𝑢 < 𝑣). A distância entre elas é 𝐿 e a gravidade local é ®𝑔. Determine a
velocidade, em módulo, daquela partícula após a (𝑛 = 1, 2, 3, ...)-ésima colisão com a
placa dianteira.
Dado: a gravidade local é ®𝑔
𝐿
®𝑢
®𝑣
®𝑔
30 CAPÍTULO 2. CINEMÁTICA
Capítulo 3
Estática
3.1 Conceito de Força e Equilíbrio de uma Partícula
057 Dois cilindros idênticos estão suspensos por fios inextensíveis de mesmo comprimento.
Entre eles é colocado outro cilindro com as mesmas dimensões mas com o dobro da massa
dos outros. Se o ângulo entre os fios é 𝛼, e o atrito é desprezível, determine o ângulo 𝛽
para que o sistema esteja em equilíbrio.
Dado: a gravidade local é ®𝑔
𝛼
𝛽
®𝑔
058 Um poste cilíndrico é envolvido por um fio, cuja curva pode ser idealizada como sendo
um conjunto de 𝑛 espiras circulares (𝑛 voltas). Para que esse fio não deslize sobre esse
poste, é necessário, em uma das espiras, exercer uma força ®𝑓 , numa extremidade, e na
outra extremidade, uma força ®𝐹. Como será a magnitude de ®𝑓 numa 𝑛-ésima espira?
A 𝑓𝑛 = 𝑓 𝑛𝐹1−𝑛
B 𝑓𝑛 = 𝑓 𝑛+1𝐹−1
C 𝑓𝑛 = 𝑓 2𝑛+1( 𝑓 + 𝐹)−2𝑛
D 𝑓𝑛 = 𝑓 2𝑛+1( 𝑓 − 𝐹)−2𝑛
E 𝑓𝑛 = 𝐹
1−𝑛 ( 𝑓 + 𝐹)𝑛
059 Determinar a força que atua na barra 𝐴𝐶 em função da carga 𝑚 suportada pela treliça.
Todos os ângulos agudos internos são de 30◦ ou de 60◦.
Dado: a gravidade local é ®𝑔
31
32 CAPÍTULO 3. ESTÁTICA
𝑚
®𝑔
𝐴
𝐹
𝐵
𝐶
𝐸
𝐷
060 Na treliça abaixo, determine o módulo da força no ramo 𝐴𝐶, sabendo que em 𝐵, age uma
força vertical para baixo com módulo 𝐹.
𝐴 𝐶
𝐵
®𝐹
061 Uma bola de raio 𝑟 e massa 𝑚 é presa a uma esfera imóvel de raio 𝑅, por meio de um fio
leve de comprimento 𝑙, em 𝐶 (ponto mais elevado da esfera). Não existem outros pontos
de contato entre o fio e a esfera. Despreze o atrito. Determine a magnitude da tensão no
fio.
Dado: a gravidade local é ®𝑔
𝑅
𝐶
𝑟
®𝑔
A
𝑚𝑔(𝑙 + 𝑟)
𝑅
B
𝑚𝑔(𝑙 + 2𝑟)
𝑅
C
𝑚𝑔(𝑙 + 𝑟)
2𝑅
D
2𝑚𝑔(𝑙 + 2𝑟)
𝑅
E
𝑚𝑔
√︁
(𝑟 + 𝑅)2 − 𝑙2
𝑅
062 Uma conta 𝐶 é enfiada por um arame parabólico 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 (𝑎 < 0). Qual deve ser
o valor do coeficiente de atrito, entre a conta e o arame, para que a altura máxima ℎ de
equilíbrio da conta seja garantido?
3.1. CONCEITO DE FORÇA E EQUILÍBRIO DE UMA PARTÍCULA 33
A
√
𝑎ℎ + 𝑏2
B
√
2𝑎ℎ + 𝑏2
C
√
2𝑎ℎ − 𝑏2
D
√
4𝑎ℎ + 𝑏2
E
√
4𝑎ℎ − 𝑏2
𝑥
𝑦
𝑦(𝑥)
𝐶
0
063 Uma corda envolve um poste por um segmento de ângulo 𝜃 � 1. O coeficiente de atrito
entre a corda e o poste é 𝜇. Qual será o menor valor da força aplicada em uma de suas
extremidades para equilibrar a outra, que está submetida a uma força ®𝐹?
Dado: sen 𝜃 � tg 𝜃 � 𝜃, para 𝜃 � 1
𝜃
®𝐹®𝐹′
𝑂
A (1 − 𝜇𝜃)𝐹
B (1 + 𝜇𝜃)𝐹
C (1 + 𝜇𝜃)𝐹/2
D (1 + 2𝜇𝜃)𝐹
E (1 − 2𝜇𝜃)𝐹
064 A figura mostra um lustre preso por dois cabos. Cada cabo pode suportar no máximo uma
tensão de 14 N. Qual é o maior peso que o lustre pode ter para que o sistema fique em
equilíbrio estático?
Dados: cos 45◦ = 0, 71, cos 60◦ = 0, 50, sen 60◦ = 0, 87 e 𝑔 = 10 m/s2
60◦ 45◦
®𝑔
065 Prove que quando apenas três forças agem em um corpo em equilíbrio elas devem ser
coplanares e suas linhas de ação devem interceptar-se em um ponto ou no infinito.
066 Determinar o mínimo valor de ®𝐹 que mantém o sistema em equilíbrio, que é composto
por quatro fileiras de esferas idênticas de massa 𝑚 cada uma.
Dado: a gravidade local é ®𝑔
34 CAPÍTULO 3. ESTÁTICA
®𝐹
®𝑔
067 Um menino levanta uma pilha de vários livros idênticos pressionando com força com as
mãos. O coeficiente de atrito estático entre a mão e um livro é 0, 40, entre os livros é 0, 25
e a massa de um livro é 400 g. Agora o menino começa a diminuir a pressão aos poucos.Quando a componente horizontal da força aplicada pelo menino se torna 120 N, os livros
estão prestes a cair. Quantos livros há na pilha? Qual o módulo da força de atrito entre o
terceiro e o quarto livro?
Dado: 𝑔 = 10 m/s2 (gravidade local)
A 15 livros; 20 N
B 15 livros; 22 N
C 17 livros; 20 N
D 17 livros; 22 N
E 30 livros; 40 N
3.2 Momento de uma Força e Equilíbrio de um Corpo Rígido
068 Um sistema de varetas, unidas por articulações, suspende uma carga de massa 𝑚. Todas
as varetas são idênticas e são muito leves em confronto com a massa daquela carga. Qual
a tração na vareta horizontal de posição 𝑛?
Dado: a gravidade local é ®𝑔
𝑚
®𝑔 · · ·
(𝑛)(1)
A
𝑚𝑔
√
3
(2𝑛 − 1)
B
𝑚𝑔
√
3
(2𝑛)
C
𝑚𝑔
√
3
D
2𝑚𝑔
√
3
E
𝑚𝑔
√
3
(2𝑛 + 3)
069 Uma tira de papelão, que tem formato de um retângulo de lados 𝑥 e 3𝑥 (figura (a)), é
dobrada na forma de U e depois colocada sobre um plano inclinado rugoso, cujo ângulo
3.2. MOMENTO DE UMA FORÇA E EQUILÍBRIO DE UM CORPO RÍGIDO 35
de inclinação é 𝛼 (figura (b)). Quais valores de 𝛼, a tira tombará? Sobre o plano, ainda se
vê um U, sob vista superior. Duas das faces são paralelas ao plano desta página e a outra
está mais abaixo da armação.
Dado: a gravidade local é ®𝑔
𝑥
𝑥 𝑥 𝑥
Fig. (a)
𝛼
®𝑔
Fig. (b)
070 Dois pregos são cravados em uma parede vertical de modo que fiquem na mesma linha
vertical. Um pedaço de arame homogêneo de massa 𝑚 foi dobrado em um arco na forma
de um semicírculo e articuladamente preso em uma extremidade ao prego superior 𝐴.
Nesse caso, o arco repousava sobre o prego inferior 𝐵. Encontre a magnitude da força
com que a armação exerce sobre o prego superior, caso se saiba que na ausência do prego
inferior, na situação de equilíbrio, o diâmetro 𝐴𝐶 fazia um ângulo 𝛼 com a vertical. A
distância entre os pregos é igual ao raio do arco. Despreze os atritos.
Dado: a gravidade local é ®𝑔
𝐴
𝐵
𝐶
®𝑔
071 Nas extremidades de uma barra homogênea demassa𝑚, altura ℎ e comprimento 𝑙, existem
dois apoios pontuais. Determine a força, em módulo, necessária para puxá-la de forma
uniforme, a partir de uma altura ℎ/2. A direção dessa força é horizontal, e os coeficientes
de atrito entre os apoios e o solo são 𝜇1 e 𝜇2.
Dado: a gravidade local é ®𝑔
(1) (2)
®𝐹
ℎ
𝑙
36 CAPÍTULO 3. ESTÁTICA
072 Qual ângulo de inclinação com a horizontal deverá ter o plano para que a bola abandone o
buraco situado neste plano? A profundidade do buraco é duas vezes menor do que o raio
da esfera.
Dado: a gravidade local é ®𝑔
𝛼
®𝑔
073 Dentro de um pequeno buraco, coloca-se um palito-de-dente homogêneo e ele apresenta
três posições de equilíbrio. Prove que a posição horizontal de equilíbrio é instável, se
as outras posições de equilíbrio do palito são estáveis. Despreze qualquer atrito entre as
extremidades do palito e o buraco.
Dado: a gravidade local é ®𝑔
®𝑔
074 Um cubo de densidade uniforme e aresta 𝑎 é equilibrado sobre uma superfície cilíndrica
de raio 𝑟 comomostra a figura. Mostre que a condição para estabelecer o equilíbrio estável
do cubo, supondo que o atrito seja suficiente para evitar o deslizamento, é 𝑟 > 𝑎/2.
Dado: a gravidade local é ®𝑔
𝑟
𝑎
®𝑔
075 A figura mostra uma placa fina de peso 𝑃 e comprimento 𝑙 dobrada em ângulo reto e
disposta sobre uma esfera fixa de raio 𝑎. Determine o coeficiente de atrito mínimo entre
esses objetos para que a placa não escorregue.
Dado: a gravidade local é ®𝑔
3.2. MOMENTO DE UMA FORÇA E EQUILÍBRIO DE UM CORPO RÍGIDO 37
𝑎
𝑥
®𝑔
A
√︁
𝑙2𝑎2 + 𝑥2(2𝑎𝑙 − 𝑥2) − 𝑎𝑙
𝑥2
B
√︁
𝑙2𝑎2 + 𝑥2(2𝑎𝑙 − 𝑥2) + 𝑎𝑙
𝑥2
C
√︁
𝑙2𝑎2 + 𝑥2(𝑎𝑙 − 𝑥2) + 𝑎𝑙
𝑥2
D
√︁
𝑙2𝑎2 + 𝑥2(𝑎𝑙 − 𝑥2) + 2𝑎𝑙
𝑥2
E
√︁
𝑙2𝑎2 + 𝑥2(2𝑎𝑙 − 𝑥2) − 2𝑎𝑙
𝑥2
076 Usando um pedaço de arame uniforme e homogêneo, forma-se um quadrado de lado 𝑎.
Suspende-se o sistema a um prego como indicado na figura abaixo. O coeficiente de atrito
entre o prego e o arame é 𝜇. Acerta-se a posição do sistema, de modo que ele esteja
na iminência de escorregar. Determine a distância 𝑥 do prego ao vértice superior 𝐴 do
quadrado.
Dado: a gravidade local é ®𝑔
𝐴
𝑥®𝑔
077 Um corpo com cunhas colocadas em seus lados, está entre dois planos paralelos como
mostra a figura. Determine o ângulo limite do vértice de cada cunha, para que o corpo
somente se mova para a direita. Os coeficientes de atrito das cunhas com os planos e o
corpo são iguais a 𝜇1 e 𝜇2, respectivamente. Despreze a ação da gravidade.
38 CAPÍTULO 3. ESTÁTICA
𝛼
𝛼
(𝜇1)
(𝜇2)
078 Na figura aparece, esquematizado, um laminador. Calcular a espessura máxima 𝑏 que a
chapa a ser laminada pode ter, para entrar no laminador puxada apenas pelo atrito entre
ela e os rolos. O coeficiente de atrito é 𝜇.
𝑎
𝑑/2
𝑑/2
𝑏
079 A corda uniforme e homogênea, abaixo, está na iminência de deslizamento, cujo compri-
mento pendente é 𝑙. Se o coeficiente de atrito entre ela e a superfície é 𝜇, qual é o valor
de 𝑙?
Dado: a gravidade local é ®𝑔
A
2𝜇𝑅
1 + 𝜇2
(1 + 𝑒𝜇𝜋)
B
𝜇𝑅
1 + 𝜇2
(1 + 𝑒𝜇𝜋)
C
2𝜇𝑅√︁
1 + 𝜇2
(1 + 𝑒𝜇𝜋)
D
𝜇𝑅√︁
1 + 𝜇2
(1 + 𝑒𝜇𝜋)
E
𝑅
2𝜇
𝑙
𝑅
Capítulo 4
Dinâmica
4.1 Dinâmica do Movimento Retilíneo
080 Uma corrente flexível e homogênea de comprimento 𝑙 repousa sobre uma superfície
esférica de raio 𝑟 e lisa (figura I). A gravidade local é ®𝑔. Na configuração da figura II,
qual será o módulo da aceleração da corrente? A distância da extremidade superior da
corrente à vertical 𝑦 é 𝑥. Considere que 𝑙 � 𝑟. Se necessário, use cos𝛼 � 1 − 𝛼2/2 e
sen𝛼 � 𝛼, com 𝛼 � 1.
Dado: a gravidade local é ®𝑔
𝑦
𝑟
(𝑙)
®𝑔
Fig. I
𝑦
𝑟
®𝑔
𝑥
Fig. II
A
(
𝑙
2𝑟2
√
𝑟2 − 𝑥2 + 𝑥
𝑟
)
𝑔
B
(
𝑙
2𝑟2
√
𝑟2 − 𝑥2 − 𝑥
𝑟
)
𝑔
C
(
1
𝑟
√
𝑟2 − 𝑥2 + 𝑥
2𝑙
)
𝑔
D
(
1
𝑟
√
𝑟2 − 𝑥2 − 𝑥
2𝑙
)
𝑔
E
( 𝑥
2𝑙
)
𝑔
081 O sistema representado na figura está em repouso. O coeficiente de atrito entre a caixa
de massa igual a 1, 0 kg e o solo, supostamente, plano e horizontal, é 𝜇. Largando-se o
pêndulo de massa, também, igual a 1, 0 kg da posição horizontal, qual(is) será(ão) o(s)
valor(es) admissível(is) para 𝜇 que não deixa(m) a caixa deslizar?
Dado: a gravidade local é ®𝑔
39
40 CAPÍTULO 4. DINÂMICA
®𝑔
A 𝜇 = 0, 40
B 𝜇 < 0, 40
C 𝜇 > 0, 40
D 𝜇 < 0, 75
E 𝜇 > 0, 75
082 Um pêndulo é suspenso pelo teto de um vagão de trem. Quando esse vagão está em
repouso, o número de oscilações desse pêndulo, por segundo, é 𝑁0. Ao passar por uma
curva horizontal, de raio 𝑟, essa quantidade é dobrada. Desprezando todos os atritos, qual
foi a velocidade daquele vagão nessa curva?
Dado: A aceleração da gravidade local é 𝑔, em módulo
A
√︃
𝑟𝑔
√
7 B
√︃
𝑟𝑔
√
14 C
√︃
2𝑟𝑔
√
7 D
√︃
2𝑟𝑔
√
14 E
√︃
𝑟𝑔
√
15
083 Um ponto material encontra-se em 𝐴, situado acima de um plano inclinado e à distância
3, 5 m dele. Sabendo que a inclinação do plano é 60◦, pode-se determinar a trajetória
retilínea que o ponto material deve seguir para atingir o plano em tempo mínimo. Qual é
esse tempo?
Dado: a aceleração da gravidade local é 𝑔 = 10 m/s2
A
√︂
3
2
s B
√︂
2
5
s C
√︂
7
11
s D
√︂
14
15
s E
√︂
8
9
s
084 Considerando que 𝑚𝐴 = 𝑚𝐵 = 𝑚𝐶 = 𝑚, 𝜃 = 45◦ e todos os atritos sejam desprezíveis,
determine o módulo da aceleração do bloco 𝐴 em relação ao solo.
Dado: a gravidade local é ®𝑔
A
4𝑔
5
B
4𝑔
3
C
2𝑔
5
D
2𝑔
3
E
4𝑔
7
𝜃
𝐴
𝐵
𝐶
®𝑔
085 Dois prismas retos e idênticos, 𝐴 e 𝐵, apresentam a configuração da figura abaixo.
Desprezando todos os atritos, determine o módulo da aceleração de 𝐴 (0 < 𝛼 < 𝜋/4).
Dado: a gravidade local é ®𝑔
4.1. DINÂMICA DO MOVIMENTO RETILÍNEO 41
𝛼
𝛼
𝐵
𝐴
®𝑔
086 O sistema abaixo é empurrado por uma força ®𝐹, que tem direção horizontal. Apenas,
entre 𝐵 e 𝐶, existe atrito, cujo coeficiente é 𝜇. Qual é a condição para 𝐹 capaz de fazer 𝐵
não deslizar sobre 𝐶?
Dados: 𝑚𝐴 = 𝑚𝐶 = 𝑀; 𝑚𝐵 = 𝑚 e 𝑔 é a gravidade local
𝐵𝐴 𝐶®𝑔
A 𝐹 <
𝑀𝑔
𝜇
(
𝑀
𝑚
+ 1
)
B 𝐹 <
𝑀𝑔
𝜇(
𝑀
𝑚
+ 2
) C 𝐹 >
𝑀𝑔
𝜇
(
𝑀
𝑚
− 1
)
D 𝐹 >
𝑀𝑔
𝜇
(
𝑀
𝑚
− 1
) E 𝐹 >
𝑚𝑔
𝜇
( 𝑚
𝑀
+ 2
)
087 A corrente situa-se no plano vertical, sobre a superfície de um quadrante circular, presa
por uma corda, em 𝐴. Calcule a tração na corrente, em termos de 𝜃, imediatamente após
a corda ser cortada. Despreze o atrito e a corrente tem densidade linear constante 𝜆.
Dado: a gravidade local é ®𝑔
𝐴
𝑅
𝜃
®𝑔
088 Um estudante de Mecânica do ITA quer realizar a seguinte experiência: determinar o
movimento inicial de um disco homogêneo sobre uma superfície horizontal áspera não-
homogênea. Suponha que essa superfície seja dividida por duas regiões rugosas, cujos
42 CAPÍTULO 4. DINÂMICA
coeficientes de atrito são 𝜇1 e 𝜇2 (𝜇1 > 𝜇2). O disco é posto para girar. Depois, é colocado
sobre essa superfície, de tal forma, que seu centro esteja na interface. Nesse instante, qual
será o módulo da aceleração do seu centro?
Dado: a gravidade local é ®𝑔
089 De um ponto 𝑂, através de canais, situados num plano vertical, que formam diferentes
ângulos com a vertical, simultaneamente, começam a deslizar grãos de areia. O lugar
geométrico dos pontos, nos quais se encontram os grãos de areia, é uma circunferência
com centro que varia de posição com o tempo 𝑡. Se o coeficiente de atrito entre um grão
e o canal é 𝜇, o raio da circunferência no tempo 𝑡 é
Dado: a gravidade local é ®𝑔
A
1
4
𝑔𝑡2𝜇.
B 𝑔𝑡2𝜇2.
C
1
4
𝑔𝑡2
√︁
1 + 𝜇2.
D 𝑔𝑡2
√︁
1 + 𝜇2.
E
1
4
𝑔𝑡2(1 + 𝜇2).
090 Contas idênticas de massa 𝑚 estão atravessadas por um fio longo e horizontal. A distri-
buição das mesmas é uniforme, ou seja, a distância entre duas adjacentes delas é sempre
igual a 𝑑. Inicialmente, suponha que todas elas estejam em repouso.
𝑚 𝑚 𝑚 𝑚 𝑚 𝑚
𝑑®𝐹
Uma das contas (a mais à esquerda) é acelerada continuamente para a direita por meio
de uma força constante ®𝐹. Quais serão os módulos das velocidades da conta acelerada e
da frente da onda de choque, após um tempo grande, se as colisões são completamente
inelásticas e perfeitamente elásticas, respectivamente? Despreze todos os tipos de atritos.
4.1. DINÂMICA DO MOVIMENTO RETILÍNEO 43
A
√︂
𝐹𝑑
𝑚
;
√︂
𝐹𝑑
2𝑚
B
√︂
𝐹𝑑
2𝑚
;
√︂
𝐹𝑑
𝑚
C
√︂
𝐹𝑑
𝑚
;
√︂
2𝐹𝑑
𝑚
D
√︂
2𝐹𝑑
𝑚
;
√︂
𝐹𝑑
𝑚
E
√︂
𝐹𝑑
𝑚
;
√︂
3𝐹𝑑
𝑚
091 Acima de um plano horizontal, uma corda leve e flexível de comprimento 2𝑟 é presa a um
teto e a outra extremidade prende uma ponto material de massa 𝑚. A distância do teto ao
solo é 2𝑟. Qual será a maior magnitude da força ®𝐹 exercida sobre um cilindro de raio 𝑟
para que, após tocar a corda, o conjunto movimente-se lentamente?
Dado: a gravidade local é ®𝑔
2𝑟 ®𝐹
𝑟
®𝑔
092 Um pequeno disco desliza com velocidade ®𝑣0 sobre uma parte lisa de um rio congelado.
Em dado momento, entra numa região rugosa do mesmo rio, com atrito 𝜇(𝑥) = 𝜇0 + 𝑥/𝑥0
(𝜇0 e 𝑥0 > 0 são constantes), sendo 𝑥 a posição do disco com respeito à linha que separa
as duas partes lisa e áspera. Determine o tempo que esse disco levará para finalizar seu
percurso.
Dado: a gravidade local é ®𝑔
A
√︂
𝑥0
𝑔
[
𝜋
2
− arctg
(
𝜇0
√
𝑥0𝑔
𝑣0
)]
B
√︂
𝑥0
𝑔
[
𝜋
2
+ arctg
(
𝜇0
√
𝑥0𝑔
𝑣0
)]
C
√︂
𝑥0
𝑔
[
𝜋 − arctg
(
𝜇0
√
𝑥0𝑔
𝑣0
)]
D
√︂
𝑥0
𝑔
[
𝜋 + arctg
(
𝜇0
√
𝑥0𝑔
𝑣0
)]
E
√︂
𝑥0
𝑔
arctg
(
𝜇0
√
𝑥0𝑔
𝑣0
)
093 Determine o módulo da velocidade estacionária do movimento de descida de um bloco
após ser colocado sobre um plano inclinado oscilante, transversalmente à direção desse
movimento, com amplitude de velocidade 𝑢. O coeficiente de atrito entre o bloco e o
plano é 𝜇 > tg𝛼 (𝛼 a inclinação do plano com a horizontal).
Dado: a gravidade local é ®𝑔
®𝑢 −®𝑢
(Vista superior)
44 CAPÍTULO 4. DINÂMICA
094 Uma corda, que passa por uma roldana sem atrito, é puxada com velocidade 𝑣 >
√︁
𝐹/𝜆
contra um obstáculo, que por reação, exerce uma força de atrito constante, cujo módulo
é 𝐹, sobre ela. A densidade linear da corda é 𝜆. Determine a força, em módulo, atuante
sobre a roldana sabendo que os trechos da corda formam entre si um ângulo 𝛼.
A 𝜆𝑣2 cos𝛼
B 𝜆𝑣2 sen𝛼
C 2(𝐹 − 𝜆𝑣2) cos(𝛼/2)
D 2(𝐹 + 𝜆𝑣2) cos(𝛼/2)
E 𝐹 tg𝛼
𝑣𝛼
4.2 Dinâmica do Movimento Circular e Força Centrípeta
095 Considere o pêndulo cônico da figura, onde𝑚 é a massa pendular e 𝑙 é o seu comprimento.
A velocidade da massa é𝜔. A outra extremidade do pêndulo é amarrada a uma plataforma
horizontal sem massa. Em dado instante, essa plataforma sobe com aceleração constante
𝑎. No instante da figura, a plataforma está a uma distância ℎ do plano Γ.
Dado: A gravidade local é ®𝑔
𝑚
𝑙
𝑎
ℎ
Γ
®𝑔
𝜔
Nesse instante, determine,
(a) a aceleração da massa pendular e
(b) a reação de Γ sobre a massa pendular.
096 Uma roda de raio 𝑅 pode girar livremente em torno do seu eixo. As correias de transmissão,
que se movem com velocidade de módulo constante 𝑣, tocam uma das suas superfícies
laterais a uma distância ℎ do eixo. Determine a velocidade angular estacionária da roda.
4.3. REFERENCIAIS ACELERADOS E FORÇA CENTRÍFUGA 45
𝑅
2ℎ
A
𝑣ℎ
𝑅2
B
2𝑣ℎ
𝑅2
C
𝑣ℎ
4𝑅2
D
2𝑣𝑅
ℎ2
E
𝑣ℎ
(ℎ + 𝑅)2
097 Um anel delgado de borracha com massa 𝑚 e raio 𝑅0 é colocado para girar, em torno do
seu eixo, até que sua velocidade angular atinja um valor igual a 𝜔. Determine o valor do
novo raio, nessa situação, sabendo que sua constante elástica é 𝑘.
098 Qual o valor do coeficiente de atrito da borracha com a superfície do cone, cujo ângulo de
abertura é 2𝛼, para que um motociclista mova-se por uma circunferência de raio 𝑅 com
velocidade angular 𝜔?
Dado: a gravidade local é ®𝑔
A
𝑔
2
+ 𝜔2𝑅 tg𝛼
𝜔2𝑅 − 𝑔 tg𝛼
B
𝑔 + 𝜔2𝑅 tg𝛼
𝑔 tg𝛼 − 𝜔2𝑅
C
2𝑔 + 𝜔2𝑅 tg𝛼
𝑔 tg𝛼 − 𝜔2𝑅
D
𝑔 + 𝜔2𝑅 tg𝛼
2𝜔2𝑅 − 𝑔 tg𝛼
E
𝑔 + 𝜔2𝑅 tg𝛼
𝜔2𝑅
2
− 𝑔 tg𝛼
2𝛼
𝑅
®𝑔
4.3 Referenciais Acelerados e Força Centrífuga
099 Um tubo de comprimento 𝑙 é colocado para girar, num plano horizontal, em torno de uma
de suas extremidades (𝑂), que é fixa, com velocidade angular constante 𝜔. No interior do
tubo, a uma distância 𝑥0 de 𝑂, existe uma partícula, em repouso. Quanto tempo é gasto
pela mesma para atingir a outra extremidade?
𝜔
𝑂
𝑥0
𝑙
100 Sobre um vagão, existe um contêiner de altura ℎ e comprimento 𝐿, que está sobre rodas
à esquerda e calços à direita. Quando o vagão é acelerado para a direita com aceleração
máxima 𝑎0, o contêiner deslocará para a esquerda. Qual deve ser o módulo mínimo da
aceleração de frenagem do vagão para que o contêiner comece a deslizar para a direita?
Despreze o atrito de rolamento.
Dado: a gravidade local é ®𝑔
46 CAPÍTULO 4. DINÂMICA
A
𝐿
3ℎ
𝑔
B
𝐿
2ℎ
𝑔
C
(
𝑎0𝐿
𝑔𝐿 − 2𝑎0ℎ
)
𝑔
D
(
𝑎0𝐿
𝑔𝐿 + 2𝑎0𝐻
)
𝑔
E
𝑎0
3
ℎ
𝐿
®𝑔
101 Um pedaço de arame é dobrado na forma de um arco de parábola, cuja equação é 𝑦 = 𝑘𝑥2
(𝑘 > 0) (o eixo-𝑦 é o eixo de simetria), e uma conta de massa 𝑚 é colocada nele, que
pode deslizar sem atrito algum. No repouso da armação metálica, a posição dessa conta é
a mais baixa possível. Colocando o sistema em movimento acelerado ao longo do eixo-𝑥
com aceleração ®𝑎, percebe-se que o pequeno objeto admite uma nova posição de equilíbrio
em relação ao arame. Determine a abscissa 𝑥0 dessa posição no referencial do arame.
Dado: a gravidade local é ®𝑔
A
𝑎
𝑔𝑘
B
𝑎
2𝑔𝑘 C
2𝑎
𝑔𝑘
D
𝑎
4𝑔𝑘
E
𝑎
4𝑔𝑘
102 Um balde d‘água gira em torno do seu eixo de simetria vertical com velocidade constante.
Prove que a superfície d‘água é umparabolóide circular para o referencial inercial terrestre.
103 Mostre que o ângulo entre uma linha de prumo e a direção do centro da Terra tem uma
boa aproximação dada por 𝜔2𝑅 sen 𝜙 cos 𝜙/(𝑔−𝜔2𝑅 cos2 𝜙), considerando a Terra como
uma esfera maciça, uniforme e homogênea de raio 𝑅, que gira em torno de um dos seus
diâmetros com velocidade angular 𝜔. A gravidade em sua superfície é 𝑔, e 𝜙 é a latitude
do fio. Qual o valor máximo desse ângulo?
104 Um piloto de corridatipo dragster dirige um carro com aceleração 𝑎 e velocidade instan-
tânea 𝑣. Os pneus de raio 𝑟 não estão derrapando. Determine qual ponto sobre o pneu
tem a maior aceleração em relação à pista. Qual é essa aceleração, em módulo?
105 Uma corrente homogênea e uniforme de massa 𝑚 envolve um cilindro de raio 𝑅. Despre-
zando quaisquer deslizes da corrente sobre o cilindro, determine o módulo da tração nela
quando esse cilindro é posto para girar em torno do seu eixo com velocidade angular 𝜔.
4.4 Impulso
106 Sobre um piso liso e horizontal, existe um disco 𝐴, unido a uma vareta fina 𝐶 por um fio
de comprimento 𝑙. Na posição inicial, o fio está tensionado. Ao lado contrário da vareta,
a uma distância 𝑙/2, é feito um buraco 𝐵. Mostre que o ângulo 𝛼, para que 𝐴 entre em 𝐵,
após ser lançado, seja igual a 30◦.
4.4. IMPULSO 47
𝐶𝑙𝐴
𝑙/2
𝐵
𝛼
107 Suponha que em algum ambiente a força de resistência ®𝐹r para o movimento corporal
depende da velocidade ®𝑣 como 𝐹r = 𝑘𝑣𝑛 (𝑘 > 0 e 𝑛 ∈ Z). Determine todos os valores
𝑛 que permitem ao corpo percorrer uma distância muito grande, depois de sofrer um
impulso inicial.
A 0 < 𝑛 < 1/2
B −1/2 < 𝑛 < 1/2
C 0 < 𝑛 ≤
√
2
D −
√
2 ≤ 𝑛 ≤
√
2
E 𝑛 ≥ 2
108 Um fluxo de partículas (𝜆) atinge perpendicularmente um obstáculo impenetrável e fixo
com velocidade ®𝑣0. A velocidade de reflexão é ®𝑣. A magnitude da força exercida pelo
anteparo sobre o feixe será
A 𝜆(𝑣20 − 𝑣
2).
B 𝜆(𝑣0 + 𝑣)2.
C
1
2
𝜆(𝑣0 + 𝑣)2.
D 𝜆𝑣0(𝑣0 + 𝑣).
E
1
2
𝜆𝑣0(𝑣0 + 𝑣).
109 Determine o ângulo de desvio da bola metálica de massa 𝑚 depois de ter colidido com um
obstáculo de massa 𝑀 . O sistema está sobre uma mesa plana e horizontal. O coeficiente
de restituição da colisão é 𝑒, e o coeficiente de atrito entre a bola e o obstáculo é 𝜇.
𝑀
𝑚
𝛼
𝛽
𝜇
A tg 𝛽 =
(
𝑀 + 𝑚
𝑒𝑀 − 𝑚
)
(tg𝛼 − 𝜇) − 𝜇
B tg 𝛽 =
(
𝑀 + 𝑚
𝑒𝑀 − 𝑚
)
(tg𝛼 + 𝜇) + 𝜇
C tg 𝛽 =
(
𝑀 + 𝑚
𝑒𝑀 + 𝑚
)
(tg𝛼 − 𝜇) − 𝜇
D tg 𝛽 =
(
𝑀 + 𝑚
𝑒𝑀 + 𝑚
)
(tg𝛼 + 𝜇) + 𝜇
E tg 𝛽 =
(
𝑀 + 𝑚
𝑒𝑀 − 𝑚
) (
tg𝛼 + 𝜇
2
)
+ 𝜇
48 CAPÍTULO 4. DINÂMICA
110 Bolinhas de borracha são abandonadas de uma altura ℎ acima de uma plataforma horizontal
que oscila verticalmente com frequência 𝑓 e amplitude 𝑥0 � ℎ. Determine a fração
dessas bolas que quicam logo acima do nível de abandono das mesmas. Considere todas
as colisões elásticas.
Dado: a gravidade local é ®𝑔
A
2𝑥0 𝑓√︁
2𝑔ℎ
B 1 − 2𝑥0 𝑓√︁
2𝑔ℎ
C 1 + 2𝑥0 𝑓√︁
2𝑔ℎ
D
1
2
− 2𝑥0 𝑓√︁
2𝑔ℎ
E
1
2
+ 2𝑥0 𝑓√︁
2𝑔ℎ
111 Uma corda com massa 𝑀 e comprimento 𝐿 é mantida na posição mostrada (vertical) com
uma de suas extremidades presa a um suporte. Suponha que apenas um comprimento
insignificante da corda fique pendurado abaixo do suporte. A corda é liberada em 𝑡 = 0.
Encontre o módulo da força que o suporte aplica na corda em 𝑡 > 0.
Dado: a gravidade local é ®𝑔
A 0, 25𝑀𝑔2𝑡2/𝐿
B 0, 40𝑀𝑔2𝑡2/𝐿
C 0, 50𝑀𝑔2𝑡2/𝐿
D 0, 75𝑀𝑔2𝑡2/𝐿
E 0, 5𝑀𝑔
𝑀, 𝐿
®𝑔
112 Em 𝑡 = 0, uma corrente homogênea e flexível (massa por unidade de comprimento 𝜆
e comprimento 𝐿) é abandonada verticalmente dentro de um elevador parado. Nesse
mesmo instante, a extremidade inferior da corrente está a uma distância 𝑥 � 𝐿 do chão
do elevador. Depois, o elevador sobe com aceleração constante, cujo módulo é 𝑎. Para
um instante 𝑡 > 0, obtenha a magnitude da força exercida pela corrente sobre o elevador,
durante a queda. A corrente somente interage com o chão do elevador.
Dado: a gravidade local é ®𝑔
113 Um bocal de área 𝑆 descarrega um jato de água (𝜌) com velocidade ®𝑣. O jato é defletido
por uma chapa curva que se move com velocidade constante ®𝑢 (𝑢 < 𝑣). A velocidade da
água ao longo da chapa tem intensidade constante. Determine a força ®𝐹 exercida pela
chapa sobre o jato. Mostre que para uma potência máxima 𝑢 = 𝑣/3.
𝛼
𝑣
𝑣𝑗
𝑖 𝑢
114 Uma veia líquida incide numa pá de turbina, conforme o esquema anexo. A veia tem
seção transversal 𝑆 e o líquido, densidade 𝜌. Em relação ao laboratório, a veia incidente
tem velocidade ®𝑣 e a pá de turbina recua com velocidade ®𝑢, ambas constantes. A potência
máxima da turbina será igual a
4.5. MOMENTUM 49
A
8
27
𝜌𝑆𝑣3.
B
8
9
𝜌𝑆𝑣3.
C
2
3
𝜌𝑆𝑣3.
D
4
9
𝜌𝑆𝑣3.
E
2
5
𝜌𝑆𝑣3. ®𝑣 ®𝑢
115 Um avião da FAB aterrisa sobre duas correntes pesadas e interparalelas de densidade 𝜆 e
comprimento 𝐿, que está sobre uma pista do Aeroporto de Guarulhos, em São Paulo. O
mesmo deverá ser engatado pelasmesmas com o objetivo de freá-lo com segurança. Sendo
𝑚 a massa da aeronave, qual será a aceleração do avião quando possui uma velocidade ®𝑣?
Nesse instante, a posição dos elos de engate, em relação à 𝑥 = 0, é 𝑥 > 0.
4.5 Momentum
116 A figura mostra 𝑛 esferas iguais, cada uma com massa 𝑚, suspensas em linha, por fios
iguais, quase se tocando uma na outra. Se a esfera 1 parte do repouso, na posição dada em
linha interrompida, e choca-se com a 2, com velocidade 𝑣1, obtenha uma expressão para
a velocidade 𝑣𝑛 da esfera de ordem 𝑛, imediatamente após ser atingida pela esfera 𝑛 − 1.
O coeficiente de restituição comum é 𝑒.
1 2 3 𝑛
𝑣1 𝑣𝑛
117 Duas pequenas bolas são enfiadas por uma haste horizontal e comum, sem massa e sem
atrito, que tem uma das extremidades fixa a uma parede vertical. A bola mais leve, com
massa 𝑚, encontra-se a uma grande distância 𝐷 dessa parede e é estacionária. A outra
bola, cuja massa é 𝑀 � 𝑚, aproxima-se de 𝑚. Todas as colisões são elásticas. Qual será
a menor distância alcançada por 𝑀 da mesma parede?
𝐷
𝑀 𝑚
A 𝐷
√︂
𝑚
𝑀
B 𝐷
√︂
𝑀
𝑚
C
𝐷
2
√︂
𝑀
𝑚
D
𝑀𝐷
2𝑚
E
𝑚𝐷
𝑀
50 CAPÍTULO 4. DINÂMICA
118 O volante de ummotor é um sólido de revolução homogêneo, de raio 𝑅 e massa𝑚. O eixo
é fixo em relação à Terra. O volante girante com frequência 𝑓 . Determinar a quantidade
de movimento ®𝑝 do volante.
119 Mediante campo magnético variável, uma barra de aço em alto vácuo é mantida flutuante
e posta em rotação rápida com velocidade 𝜔 em torno de uma mediatriz. A barra é
cilíndrica e homogênea, tem massa 𝑚 e comprimento 𝑙. Determinar as forças que tendem
a romper a barra em sua seção média.
A
1
2
𝑚𝜔2𝑙
B
1
4
𝑚𝜔2𝑙
C
1
8
𝑚𝜔2𝑙
D
2
3
𝑚𝜔2𝑙
E 𝑚𝜔2𝑙
120 Duas pequenas bolas de aço (esferas de rolamento) de massa 𝑚 estão ligadas por uma
haste fina, rígida, de massa muito menor que 𝑚. O sistema é abandonado na posição
vertical mostrada na figura, com a bola inferior em contato com uma superfície horizontal
de vidro ou de fórmica. A bola pode deslizar sobre essa superfície com atrito desprezível.
Qual o módulo da velocidade da bola inferior no instante genérico em que a haste faz o
ângulo 𝜃 < 𝜋/2 com a vertical?
Dado: a gravidade local é ®𝑔.
2𝑙
𝑚
𝑚
®𝑔
A
√︂
2𝑔𝑙 (1 − cos 𝜃) cos2 𝜃
1 + sen2 𝜃
B
√︂
𝑔𝑙 (1 − cos 𝜃) cos2 𝜃
1 + sen2 𝜃
C
√︂
2𝑔𝑙 (1 + cos 𝜃) cos2 𝜃
1 + sen2 𝜃
D
√︂
𝑔𝑙 (1 + cos 𝜃) cos2 𝜃
1 + sen2 𝜃
E
√︂
2𝑔𝑙 (1 − cos 𝜃)
1 − sen2 𝜃
121 Um cubo é arremessado de 𝐴 contra uma parede, com velocidade ®𝑣0, tal que, uma de suas
faces toque-a. Depois, retorna e passa por 𝐵, que está a uma distância 𝑦 de 𝐴. Essas
posições são equidistantes da parede, por 𝑥. Considere que o coeficiente de atrito entre o
cubo e a parede seja 𝜇 > 1 e a colisão é perfeitamente elástica. Então
4.5. MOMENTUM 51
𝑥
𝑦
𝐴
𝐵
®𝑣0
𝜃
A tg 𝜃 = mín
{
𝜇 + 𝑦
𝑥
,
𝑦
𝑥
}
.
B cos 𝜃 = máx
{
2𝜇 − 𝑥
𝑦
,
𝑥
𝑦
}
.
C cos 𝜃 = máx
{
2𝜇 + 𝑥
𝑦
,
𝑥
𝑦
}
.
D tg 𝜃 = mín
{
𝜇 + 𝑦
2𝑥
,
𝑦
𝑥
}
.
E tg 𝜃 = máx
{
𝜇 + 𝑦
2𝑥
,
𝑦
𝑥
}
.
122 Uma cunha suave de massa 𝑀 e inclinação 𝛼 repousa sobre uma superfície plana e lisa.
Acima dela existe uma partícula (𝑚) presa a um fio inextensível. Em dado instante, corta-
se esse e o ponto material atinge a cunha com velocidade ®𝑣0. O coeficiente de restituição
é 𝑒. Mostre que a velocidade da cunha após a 1ª colisão tem magnitude igual a
Dado: a gravidade local é ®𝑔
𝑢1 =
𝑚𝑣0(1 + 𝑒) cos𝛼sen𝛼
𝑀 + 𝑚 sen2𝛼
.
Após a 1ª colisão, a partícula volta a colidir com o plano inclinado. Disso, qual será a
distância percorrida por ela ao longo da superfície oblíqua (entre as 1ª e 2ª colisões)?
123 Um pequeno disco de massa 𝑀 é conectado com dois pequenos discos idênticos, cada
um de massa 𝑚, com a ajuda de dois fios inextensíveis cada um de comprimento 𝑙.
Inicialmente o sistema repousa sobre um piso horizontal liso com os discos em linha reta
e o fio reto. Agora, o disco do meio é projetado ao longo do chão com velocidade ®𝑢
perpendicular aos fios. Encontre a tensão nos fios quando os discos estiverem prestes a
colidir.
𝑚 𝑚𝑀
®𝑢
52 CAPÍTULO 4. DINÂMICA
A
2𝑀𝑢2
𝑙
B
𝑚𝑀
(𝑚 + 𝑀)
𝑢2
𝑙
C
2𝑚𝑢2
𝑙
D
𝑀𝑢2
𝑙
E
𝑀2𝑚
(2𝑚 + 𝑀)2
𝑢2
𝑙
124 Uma pequena bola é abandonada de uma altura ℎ acima de um plano inclinado, conforme
mostrado. Suponha que todas as colisões sejam elásticas. Encontre a proporção dos
alcances consecutivos ao longo da inclinação 𝐴1 : 𝐴2 : 𝐴3 : ....
Dado: a gravidade local é ®𝑔
𝛼
ℎ
𝐴1
®𝑔
4.6 Centro de Massa
125 Ao longo de uma reta são distribuídos, em intervalos iguais a 𝑑, pontos materiais de
massas 𝑚, 𝑚/2, 𝑚/4, 𝑚/8, ... . Determinar o centro de massa do sistema.
𝑚 𝑚/2 𝑚/4 · · ·
𝑑
A A posição do centro de massa coincide com a de 𝑚
B A posição do centro de massa coincide com a de 𝑚/2
C A posição do centro de massa coincide com a de 𝑚/4
D O centro de massa equidista de 𝑚/2 e 𝑚/4
E O centro de massa equidista de 𝑚 e 𝑚/2
126 Três livros idênticos, um deMatemática, um de Física e um de Química, estão empilhados
com um copo d‘água de 1/10 do peso de um livro posicionado como mostra a figura. Qual
o valor limite da razão 𝑏/𝑎 para que o conjunto fique em equilíbrio?
Matemática
Física
Química
4.6. CENTRO DE MASSA 53
127 Dentro de uma casca esférica suave de raio 𝑅, uma bola de mesma massa e raio 𝑅/4
é abandonada da posição indicada na figura. Calcule a distância percorrida pela casca
quando a bola atinge sua posição mais baixa em relação ao solo.
𝑅
𝑅/4
A
𝑅
2
B
𝑅
4 C
3𝑅
4
D
𝑅
8 E
3𝑅
8
128 O anel 𝐴 de massa 𝑚, na figura, pode deslizar-se ao longo de uma barra horizontal 𝑋𝑌 .
Por sua vez, está preso a um bloco 𝐵 de massa 𝑀 por meio de um fio indeformável e leve
de comprimento 𝐿. Esse bloco é abandonado do repouso, com o fio na direção horizontal.
Determine quanto 𝐴 se moverá quando 𝐵 passar pela sua posição mais baixa.
Dado: a gravidade local é ®𝑔
𝑋 𝑌
𝐴
𝐵
®𝑔
A
𝑚𝐿
𝑚 + 𝑀
B
𝑀𝐿
𝑚 + 𝑀
C
𝐿
2
D 𝐿
E 2𝐿
129 Uma pequena bola é lançada com velocidade ®𝑣0, por um ângulo 𝛼 com a horizontal,
contra uma parede móvel, que tem velocidade igual a ®𝑢. Após ambas se ricochetearem, a
bola volta ao local de lançamento. Se a colisão é elástica, quanto tempo ela gastará para
alcançar a parede? Despreze os atritos.
Dado: a gravidade local é ®𝑔
54 CAPÍTULO 4. DINÂMICA
®𝑣0
𝛼
®𝑢
®𝑔
A
𝑣0 sen𝛼(𝑣0 cos𝛼 + 2𝑢)
𝑔(𝑣0 cos𝛼 + 𝑢)
B
𝑣0 cos𝛼(𝑣0 sen𝛼 + 2𝑢)
𝑔(𝑣0 sen𝛼 + 𝑢)
C
𝑣0 tg𝛼(𝑣0 + 2𝑢)
𝑔(𝑣0 + 3𝑢)
D
𝑣0 cotg𝛼(𝑣0 + 2𝑢)
𝑔(𝑣0 + 3𝑢)
E
𝑣0 cos𝛼 + 2𝑢
𝑔
130 Uma lata de refrigerante é perfurada em cima e baixo para drenar o líquido, em seu interior,
que tem massa 𝑚0. A massa da lata é 𝑀 e o seu comprimento, 𝐿. Determine a massa
de refrigerante restante quando o centro de massa do sistema atinge a sua menor posição
com respeito à base da lata. Ainda, obtenha a altura do centro de massa nessa situação.
131 Na molécula de amônia (NH3), os três átomos de hidrogênio (H) formam um triângulo
equilátero, com o centro do triângulo a uma distância 𝑑 de cada átomo de hidrogênio. O
átomo de nitrogênio (N) está no vértice superior de uma pirâmide, com os três átomos de
hidrogênio formando a base. A razão entre as massas do nitrogênio e do hidrogênio é 𝑟,
e a distância nitrogênio-hidrogênio é 𝐿 > 𝑑. Determine as distâncias do centro de massa
aos átomos.
132 Um fio semi-infinito homogêneo e uniforme é dobrado para formar uma espiral circular
(composição de semicírculos) cujos raios são 𝑅, 𝑅/2, 𝑅/4, 𝑅/8, ... . Seja𝑂 a extremidade
finita e 𝐺 a posição do centro de massa do fio. Mostre que 𝑂𝐺 = 6𝑅/5.
4.7 Trabalho, Energia, Forças Conservativas e Dissipativas
133 Uma massa 𝑀 , unida ao extremo de uma corrente muito comprida que tem uma massa
𝑚 por unidade de comprimento, se atira verticalmente para cima com uma velocidade 𝑣0.
Mostre que a altura máxima, ℎ, alcançada por 𝑀 será dada por:
ℎ =
𝑀
𝑚
©­«
√︄
1 +
3𝑚𝑣20
2𝑀𝑔
− 1ª®¬ .
Prove ainda que a velocidade com que chega 𝑀 ao solo valerá 𝑣 =
√︁
2𝑔ℎ, onde 𝑔 é a
intensidade da gravidade local.
134 Um pequeno corpo está suspenso, por um fio, conforme é mostrado na figura. O compri-
mento do fio é 𝑙. Determine o menor valor da velocidade do corpo, 𝑣0, capaz de fazer
4.7. TRABALHO, ENERGIA, FORÇAS CONSERVATIVAS E DISSIPATIVAS 55
com que ele atinja o ponto 𝑃.
Dado: A aceleração da gravidade local é ®𝑔
A
√︂
𝑔𝑙
(
2 +
√
3
)
B
√︂
2𝑔𝑙
(
2 +
√
3
) C
√︂
2𝑔𝑙
(√
2 +
√
3
)
D
√︂
𝑔𝑙
(
1 +
√
3
)
E
√︃
𝑔𝑙
√
2
𝑃
𝑚
®𝑔
135 Um tubo cilíndrico de raio 𝑅 tem seu eixo paralelo a uma superfície horizontal. Considere
que esse esteja fixo à superfície. Uma partícula é abandonada de algum ponto 𝑃, dentro
do tubo. A aceleração da gravidade é ®𝑔. Depois de três colisões com a parede desse
tubo, ela retorna à 𝑃. Determine o tempo gasto pela partícula para retornar a esse ponto.
Suponha que todas as colisões, entre a partícula e a parede do tubo, são elásticas.
Dado: a gravidade local é ®𝑔
𝑅
®𝑔
A
√︄
2𝑅
√
10
3𝑔
B 4
√︄
2𝑅
√
10
3𝑔
C
√︄
4𝑅
√
10
5𝑔
D
√︄
2𝑅
√
10
5𝑔
E
√︄
𝑅
√
10
5𝑔
136 Uma mola ideal de constante elástica 𝑘 e comprimento natural 𝑙0 sustenta uma corrente
homogênea, uniforme e indeformável de massa 𝑚 e comprimento 𝑙, na direção vertical.
O sistema está em equilíbrio. Um dos elos, o mais fraco, rompe-se e um pedaço de
comprimento 𝑥 da corrente é destacado e cai. Seja 𝑃 o nó entre a mola e a corrente. Com
respeito ao deslocamento sofrido por 𝑃, após a queda do pedaço, assinale a alternativa
correta.
56 CAPÍTULO 4. DINÂMICA
Dado: a gravidade local é ®𝑔
A
𝑚𝑔
𝑘
(para cima)
B
2𝑚𝑔
𝑘
(para cima)
C
2𝑚𝑔𝑥
𝑘𝑙
(para cima)
D
𝑚𝑔𝑥
𝑘𝑙
(para cima)
E
𝑚𝑔𝑙0𝑥
𝑘𝑙2
(para baixo)
𝑃
®𝑔
137 Um fio inextensível e sem massa passa por duas polias ideais e suspende dois corpos de
mesma massa 𝑀 , conforme a figura. Essas massas estão em repouso e no mesmo nível de
altura. Um outro corpo de massa 𝑚 é solto de uma altura ℎ acima da parte horizontal do
fio, passando pela sua metade. Considerando 𝑚/𝑀 � ℎ/𝑙 � 1, determine a magnitude
máxima da velocidade das cargas sustentadas pelo fio após a colisão inelástica entre ele e
o corpo de massa 𝑚.
Dado: a gravidade local é ®𝑔
𝑀 𝑀
ℎ
𝑚
2𝑙
®𝑔
138 Um cabo flexível desliza no interior de uma tubulação vertical, fina e lisa. Os arcos 𝐴𝐵 e
𝐵𝐶 são circulares de mesmo raio. Em dado instante, a extremidade inferior do cabo está
em 𝐶 e a superior, em 𝐴. Determine o módulo da sua aceleração nesse instante.
Dado: a gravidade local é ®𝑔.
𝐴
𝐶
𝐵
A
𝑔
𝜋
B
2𝑔
𝜋
C
3𝑔
𝜋
D
4𝑔
𝜋
E
𝑔
2𝜋
139 Um carrinho rígido de rodas pontuais e idênticas, com comprimento 𝑙, move-se inicial-
mente sobre um solo horizontal com velocidade ®𝑣. Em dado momento, aproxima-se de
4.7. TRABALHO, ENERGIA, FORÇAS CONSERVATIVAS E DISSIPATIVAS 57
uma região inclinada (𝛼) e sobe sobre ela totalmente, sem que haja perda de contato dos
pneus com o solo (mesmo na entrada ao plano inclinado). Determine a velocidade, em
módulo, do carrinho imediatamente após ingressar por completo no aclive.
Dado: a gravidade local é ®𝑔
𝛼
®𝑣
®𝑔
𝑙
140 Um tubo cilíndrico de massa 𝑀 e de raio 𝑅 muito fino é colocado sobre uma superfície
plana e horizontal, sem rugosidades. O eixo é perpendicular ao solo. Duas esferas de
raios iguais a 𝑟 (𝑅/2 < 𝑟 < 𝑅) são colocadas dentro dele.Qual o valor mínimo de 𝑚/𝑀
para que o cilindro comece a perder contato com o plano.
A
𝑟
𝑅
B
2𝑟
𝑅
C
𝑅
𝑅 − 𝑟
D
𝑅
2(𝑅 − 𝑟)
E
𝑅
𝑅 + 𝑟
141 Uma prensa exerce pressão com uma força ®𝐹 sobre um cilindro de raio 𝑟 com rodas de
raio 𝑅 presas rigidamente a ele. O coeficiente de atrito entre o cilindro e a prensa, assim
como entre as rodas e o plano horizontal, é igual a 𝜇. Determine o menor trabalho que
deverá ser feito sobre o eixo do sistema para que esse seja deslocado para a direita numa
distância 𝑙 (menor que a distância até a extremidade da prensa).
®𝐹
𝑅
𝑟
A 𝜇𝐹𝑙
(
1 + 𝑟
𝑅
)
B 𝜇𝐹𝑙
(
1 + 2𝑟
𝑅
) C 𝜇𝐹𝑙
(
1 − 𝑟
𝑅
)
D 𝜇𝐹𝑙
(
1 − 2𝑟
𝑅
) E 𝜇𝐹𝑙
(
1 + 𝑟2
4𝑅2
)
58 CAPÍTULO 4. DINÂMICA
142 Dentro de um poço vazio de diâmetro 𝐷, encontra-se um objeto cilíndrico maciço de
altura 2𝑙 e diâmetro 𝑑, feito de um material de densidade 𝜌. Derrama-se água (𝜌0) dentro
desse poço até que atinja metade da altura do objeto. Quanto trabalho será necessário
para retirar o tal objeto da água?
Dado: a gravidade local é ®𝑔
143 Um foguete meteorológico de massa 𝑀 , lançado verticalmente mediante um propulsor
auxiliar de decolagem com velocidade ®𝑣, tem um motor capaz de desenvolver uma uma
força motriz ®𝐹 durante um tempo 𝜏. Qual deverá ser o instante conveniente que o foguete
alcance a altura máxima? Qual é essa altura? Amassa do foguete não muda, e a gravidade
local é ®𝑔.
144 Numa cavidade esférica de raio 𝑅 é colocado um haltere rígido composto por duas
massas idênticas 𝑚 em suas extremidades e uma haste leve de comprimento 𝑙, com massa
desprezível diante dos pontos materiais. Uma das massas está na posição mais baixa dessa
cavidade, que possui atrito muito pequeno. Em dado momento, inicia-se o movimento do
haltere. Calcule, depois de um longo tempo, a energia perdida durante esse movimento.
Dado: a gravidade local é ®𝑔
®𝑔
𝑅
145 Determine o trabalho efetuado pela força de atrito, por ciclo, sobre um trenó que executa um
trecho circular vertical com velocidade constante em módulo 𝑣, sabendo que o coeficiente
de atrito entre ele e o trecho é 𝜇.
A −1
2
𝑚𝑣2
B −𝑚𝑣2
C −2𝜋𝜇𝑚𝑣2
D −𝜋𝜇𝑚𝑣2
E −1
2
𝜋𝜇𝑚𝑣2
146 Um cilindro de paredes finas e raio 𝑅 é colocado para girar até atingir uma velocidade
angular𝜔, e depois, posto em contatomútuo comuma parede vertical e um solo horizontal,
ambos com coeficiente de atrito igual a 𝜇. Quantas voltas esse cilindro executará até parar?
Dado: a gravidade local é ®𝑔
4.7. TRABALHO, ENERGIA, FORÇAS CONSERVATIVAS E DISSIPATIVAS 59
𝑅
®𝑔
𝜇
𝜇
A
𝜔2𝑅(1 + 𝜇2)
4𝜋𝑔𝜇(1 + 𝜇)
B
𝜔2𝑅(1 + 𝜇2)
𝜋𝑔𝜇(1 + 𝜇)
C
𝜔2𝑅(1 + 2𝜇2)
4𝜋𝑔𝜇(1 + 𝜇)
D
𝜔2𝑅(1 + 2𝜇2)
𝜋𝑔𝜇(1 + 𝜇)
E
𝜔2𝑅(1 + 𝜇2)
𝜋𝑔𝜇(1 + 2𝜇)
147 Sobre duas rodas de massas desprezíveis de raios diferentes é colocada uma tábua pesada
que forma um ângulo 𝛼 com a horizontal. Determine a aceleração da tábua, em módulo.
Despreze quaisquer deslizamentos.
Dado: a gravidade local é ®𝑔
𝛼
®𝑔
148 Sobre um plano horizontal liso estão em repouso dois corpos idênticos, unidos por uma
mola ideal de constante elástica 𝑘 . A força horizontal ®𝐹 começa a atuar sobre o corpo
do lado direito. O movimento oscilatório que surge amortece gradualmente devido ao
atrito na mola, e depois de certo tempo os corpos começam a mover-se com aceleração
uniforme. Determine a quantidade de calor que é gerada nesse período.
Dado: a gravidade local é ®𝑔
𝑘 ®𝐹®𝑔
149 Num solo horizontal rugoso (𝜇) repousam duas barras de massas 𝑚 e 𝑀 , unidas por uma
mola relaxada. Qual deverá ser o menor módulo da força horizontal, aplicada no corpo
da esquerda (massa 𝑚), para que o da direita mova-se.
Dado: a gravidade local é ®𝑔
𝑘®𝐹®𝑔
𝜇
60 CAPÍTULO 4. DINÂMICA
A 𝜇𝑔
(
𝑀
2
+ 𝑚
)
B
1
2
𝜇𝑔(𝑀 + 𝑚)
C 𝜇𝑔
(𝑚
2
+ 𝑀
)
D 2𝜇𝑔
(𝑚
2
+ 𝑀
) E 𝜇𝑔
(
𝑚𝑀
𝑚 + 𝑀
)
150 Um anel de massa𝑚 desliza sobre uma barra vertical lisa. Amarrado a ele, por meio de um
fio leve, existe uma carga de massa 𝑀 . Esse fio passa por um prego. Na situação inicial,
o anel está na mesma altura do prego (a uma distância 𝑙 dele) e a carga, suspensa, ambos
em repouso. Em dado instante, o anel desce e atinge uma nova posição de equilíbrio
(instável). Quanto o anel desceu? Considere 𝑀 > 𝑚.
151 Duas pequenas bolas idênticas, 𝐴 e 𝐵, presas a um fio leve e inextensível de comprimento
𝑙 estão sobre uma mesa plana, lisa e horizontal. Uma delas (𝐵) sofre um impulso vertical,
que a faz adquirir uma velocidade ®𝑣0 para cima. A bola 𝐴 perderá contato quando o fio
estiver na vertical e a sua tensão tiver o maior módulo possível.
Dado: a gravidade local é ®𝑔
𝑙
®𝑣0
𝐴 𝐵
®𝑔
(a) Mostre que a trajetória seguida por 𝐵 é um arco de elipse de semieixos 𝑙/2 e 𝑙.
(b) Calcule o raio de curvatura dessa trajetória no seu ponto mais elevado.
(c) Determine todos os valores de 𝑣0 que permitem o fio ficar esticado sem haver perda de
contato da bola 𝐴 com a mesa.
152 Dois blocos idênticos de massa 𝑚 estão empilhados sobre uma superfície lisa, horizontal
e plana, sendo que o superior está acoplado a uma mola ideal horizontal leve de constante
elástica 𝑘 . O coeficiente de atrito entre eles é 𝜇. Um outro bloco maior de massa 𝑀
aproxima-se do conjunto com velocidade ®𝑣0. Qual condição deverá obedecer 𝑘 para que
não haja movimento relativo de um dos blocos menores em relação ao outro.
Dado: a gravidade local é ®𝑔
A
𝜇2𝑔2𝑚
𝑣20
(
2 + 4𝑚
𝑀
)
B
𝜇2𝑔2𝑚
𝑣20
(
2 + 𝑚
𝑀
)
C
𝜇2𝑔2𝑚
𝑣20
(
1 + 𝑚
𝑀
)
D
𝜇2𝑔2𝑚
𝑣20
(
1 + 2𝑚
𝑀
)
E
𝜇2𝑔2𝑚
𝑣20
(
1 + 3𝑚
𝑀
) 𝑚
𝑚 𝑀
®𝑣0 ®𝑔
4.7. TRABALHO, ENERGIA, FORÇAS CONSERVATIVAS E DISSIPATIVAS 61
153 A energia cinética 𝐸cin de uma partícula, que se move sobre um círculo de raio 𝑟 depende
do espaço percorrido 𝑠 como 𝐸cin = 𝛼𝑠2, onde 𝛼 é uma constante. Determine o módulo
da força resultante atuante nela.
A
2𝛼𝑠2
𝑟
B 2𝛼𝑠
√
𝑟2 + 𝑠2/𝑟
C 2𝛼𝑠
D 2𝛼
E 2𝛼/𝑠
154 Uma partícula de massa 𝑚 executa um movimento circular uniforme de raio 𝑟. Determine
a magnitude da velocidade da mesma quando a sua energia potencial (𝐸pot) é da forma
(a) 𝐸pot = 𝛼𝑟 ou
(b) 𝐸pot = 𝛽𝑟2, onde 𝛼, 𝛽 > 0 são constantes.
155 Três massas idênticas 𝑚 estão unidas por meio de molas ideais com a mesma constante
elástica 𝑘 . Em dado momento, comunica-se a cada uma delas a mesma velocidade 𝑣, em
linhas que passam pelo baricentro do triângulo (𝐺). Determine a distância percorrida por
cada massa antes de parar.
𝑣
𝑣𝑣
𝐺
156 Nas extremidades de uma mola ideal de constante elástica 𝑘 e comprimento 𝑙, ligam-se
duas esferas idênticas de massa 𝑚 cada uma. Tais corpos estão sob trilhos inclinados, sem
atrito, conforme mostra a figura. A distância entre as extremidades livres das barras é 𝑙0,
que é o comprimento relaxado da mola. Determine a velocidade da mola, no eixo-𝑥, logo
após os pontos materiais perderem contato com os trechos. Despreze a gravidade local, e
na situação inicial, a mola está na direção vertical e em repouso.
𝛼
𝛼
𝑙 𝑙0
0 𝑥
62 CAPÍTULO 4. DINÂMICA
Capítulo 5
Gravitação
5.1 Campo Gravitacional e Leis de Kepler
157 Um satélite que se move de Oeste (O) para Leste (L), em órbita equatorial, é observado
por uma estação de rastreamento localizada sobre o equador. A altitude do perigeu é ℎ
e a do apogeu é 𝐻 > ℎ. Sabendo que o perigeu situa-se diretamente acima da estação e
que o satélite passa nesse ponto com a velocidade ®𝑣, determine uma expressão para a taxa
angular Ω′ (relativa à Terra), na qual o prato da antena deva ser girado, quando o satélite
estiver diretamente acima. A velocidade angular da Terra é 𝜔 e a gravidade na superfície
terrestre é 𝑔.
N
O
L
𝑅
𝜔
ℎ
®𝑣
Ω′
A
√︄
2𝑔𝑅2(𝐻 + 𝑅)
ℎ2(ℎ + 𝑅) (ℎ + 𝐻 + 2𝑅)
−
(
1 + 𝑅
ℎ
)
𝜔
B
√︄
2𝑔𝑅2(𝐻 + 𝑅)
ℎ2(ℎ + 𝑅) (ℎ + 𝐻 + 2𝑅)
+
(
1 + 𝑅
ℎ
)
𝜔
C
√︄
2𝑔𝑅2(𝐻 + 𝑅)
(ℎ + 𝐻)2(ℎ + 𝑅) (ℎ + 𝐻 + 2𝑅)
− 𝑅
ℎ
𝜔
D
√︄
2𝑔𝑅2(𝐻 + 𝑅)
(ℎ + 𝐻)2(ℎ + 𝑅) (ℎ + 𝐻+ 2𝑅)
+ 𝑅
ℎ
𝜔
63
64 CAPÍTULO 5. GRAVITAÇÃO
E
√︄
2𝑔𝑅2(𝐻 + 𝑅)
𝐻2(ℎ + 𝑅) (ℎ + 𝐻 + 2𝑅)
158 No sistema mostrado, é sabido que o satélite 𝑃 orbita em torno do Sol (𝐹), numa trajetória
elíptica. Se o tempo para ir de 𝐷 até 𝐴 é cinco vezes maior que o tempo para ir de 𝐶 até
𝐷, qual a fração de área da região pintada com respeito à área da elipse?
𝐵
𝐸
𝐴𝐶
𝐹
𝑃
𝐷
A
5
24
B
5
6
C
1
6
D
2
5
E
27
91
159 A figura mostra a trajetória elíptica de um planeta (𝑃) movendo-se ao redor de uma estrela
de nêutrons (𝑁). O período de translação de 𝑃 em torno de 𝑁 é𝑇 . Ao chegar bem próximo
de 𝑁 , 𝑃 cessa seu movimento e começa a ser atraído por 𝑁 até colidi-la. Determine o
tempo gasto por 𝑃, no trecho 𝐴→ 𝑁 .
𝐴 𝐵
®𝑟
𝑁
𝑃
𝑎 𝑏
160 Um foguete de massa 𝑚 é lançado verticalmente atingindo uma altura máxima 𝐻 acima
do solo, começando a partir deste ponto uma queda vertical. O foguete cai livremente até
uma altura ℎ, ponto em que os motores são acionados produzindo uma força ®𝐹 contrária ao
movimento de queda. Despreze todas as forças de atrito, qualquer movimento horizontal
do foguete e perda de massa do que este possa ter. Expresse as respostas em função das
variáveis (𝐻, 𝐹, 𝑚) e se necessário, da aceleração da gravidade na superfície da Terra ®𝑔,
do raio da Terra 𝑅 e da constante gravitacional 𝐺.
(a) 𝐻 é pequeno o suficiente para que a força da gravidade seja constante durante o voo
do foguete. A que altura ℎ acima da superfície terrestre os foguetes devem ser acionados
5.1. CAMPO GRAVITACIONAL E LEIS DE KEPLER 65
para que este toque a superfície da Terra com velocidade zero?
(b) Para que valores de ℎ é impossível que o foguete pouse com velocidade zero nas
mesmas condições do item (a)?
(c) Se 𝐻 é grande o suficiente para que não seja mais possível desprezar a variação
da gravidade durante a queda, recalcule a nova altura ℎ (altura em que os motores são
acionados) para que o foguete pouse com velocidade zero.
161 Desde o infinito até a Terra, move-se um fluxo homogêneo de meteoritos, que contém
na unidade de volume, 𝑛 partículas. A massa de cada meteorito é 𝑚 e a velocidade do
meteorito no infinito é ®𝑣0. Determine a massa de meteoros que se precipita, na superfície
terrestre, após passar um tempo 𝑡. O raio da Terra é 𝑅 e a aceleração gravitacional, em
sua superfície, tem módulo 𝑔.
Terra𝑚
𝑚
𝑚
𝑣0
𝑣0
𝑣0
A
(
2𝑔𝑅 + 𝑣20
)
𝜋𝑅2𝑛𝑡𝑚
𝑣0
B
(
𝑔𝑅 + 2𝑣20
)
𝜋𝑅2𝑛𝑡𝑚
2𝑣0
C
2𝑔𝜋𝑅3𝑛𝑡𝑚
𝑣0
D
𝑔𝜋𝑅3𝑛𝑡𝑚
𝑣0
E
𝑔𝜋𝑅3𝑛𝑡𝑚
2𝑣0
162 Um planeta orbita, em torno do Sol, descrevendo uma trajetória elíptica (ver figura). Se
𝐸c representa a energia cinética do planeta, então
𝐴
𝐵
𝑟 2𝑟
1, 5𝑟
Sol
Planeta
66 CAPÍTULO 5. GRAVITAÇÃO
A
𝐸c,𝐴
𝐸c,𝐵
= 0, 49.
B
𝐸c,𝐴
𝐸c,𝐵
= 0, 09.
C
𝐸c,𝐴
𝐸c,𝐵
= 0, 36.
D
𝐸c,𝐴
𝐸c,𝐵
= 0, 25.
E
𝐸c,𝐴
𝐸c,𝐵
= 0, 16.
163 Considere umexperimentomental realizado no espaço livre. No experimento, umpequeno
cubo 𝐶 de massa 𝑚 é colocado no centro de um disco 𝐷 grande e altamente massivo e
uma bola 𝐵 de massa 𝑀 gira em uma trajetória circular de raio 𝑟 em torno do centro do
disco. O plano do círculo é perpendicular ao plano do disco como mostrado na figura.
A intensidade do campo gravitacional do disco próximo ao seu centro é 𝑔0. Qual deve
ser a condição do coeficiente de atrito entre o cubo e o disco para que o cubo permaneça
imóvel?
A 𝜇 ≥ 𝑔0𝑟
2√︃
𝑔20𝑟
4 + 𝐺2𝑀2
B 𝜇 ≥ 𝑔0𝑟
2√︃
𝑔20𝑟
4 − 𝐺2𝑀2
C 𝜇 ≥ 𝐺𝑀√︃
𝑔20𝑟
4 − 𝐺2𝑀2
D 𝜇 ≥ 𝐺𝑀√︃
𝑔20𝑟
4 + 𝐺2𝑀2
E 𝜇 ≥ 𝐺𝑀
𝑔0𝑟2
𝑟
𝐷
𝐵
𝐶
164 A distância entre duas estrelas é igual a 10𝑟. As massas das estrelas são iguais a 𝑀 e
16𝑀 e seus raios iguais a 𝑟 e 2𝑟, respectivamente. Um corpo de massa 𝑚 é atirado da
superfície da estrela maior em direção à estrela menor ao longo da reta que une os seus
centros. Calcule o módulo da velocidade mínima necessária que deve ser dada ao corpo
para que ele atinja a superfície da estrela menor.
Dado: use 𝐺 como sendo a constante gravitacional universal
165 Um planeta descreve uma órbita elíptica em torno do Sol (ocupando um dos focos dessa
órbita). A elipse tem semieixo maior 𝑎 e semieixo menor 𝑏. Determine o raio de curvatura
quando o planeta passa por um dos eixos menores.
A
𝑎2
𝑏
B
𝑎2
𝑏
+ 𝑏 C
𝑏2
𝑎
D
(𝑎 − 𝑏)2
𝑏
E
(𝑎 − 𝑏)2
𝑎
166 Qual a profundidade da cratera que devemos fazer num planeta de raio 𝑅 para que,
lançando um projétil do fundo dela com a velocidade de escape do planeta, sua altura
máxima alcançada seja igual a 3𝑅?
5.1. CAMPO GRAVITACIONAL E LEIS DE KEPLER 67
A
(
1 − 1
√
2
)
𝑅
B
(√
2 − 1
)
𝑅
C
(√
2 + 1
)
𝑅
D
(
1 −
√
3
2
)
𝑅
E
(
1 +
√
3
2
)
𝑅
167 Um pequeno satélite tem órbita circular em torno de um planeta pesado. Em dado ponto
de sua órbita, o mesmo sofre um forte impulso fazendo com que sua energia cinética
aumente por um fator 𝑘 < 2, sem alterar a sua direção de movimento. Determine a razão
entre as distâncias mínima e máxima do satélite ao planeta.
168 Um planeta plano, homogêneo e maciço de espessura ℎ e densidade 𝜌 possui um túnel
vertical de raio 𝑅, cujo eixo contém o segmento 𝑃𝑄. Uma partícula é abandonada do
ponto 𝑃. Se 𝐺 é a constante gravitacional universal, o tempo gasto por ela até chegar a
𝑄, valerá
ℎ
𝑃
𝑄
𝑚
𝑅
A
√︂
𝜋
4𝜌𝐺
. B
√︂
𝜋
2𝜌𝐺
. C
2ℎ
𝑅
√︂
𝜋
𝜌𝐺
. D
√︂
2ℎ𝜋
𝜌𝑅𝐺
. E
√︂
3ℎ𝜋
𝜌𝑅𝐺
.
169 Do infinito, uma massa 𝑚 aproxima-se de outra com velocidade ®𝑣0, também, com massa
𝑚, estacionária. A distância mínima de separação entre elas será igual a
Dado: a constante gravitacional universal é 𝐺
®𝑣0𝑚
𝑚
ℎ
68 CAPÍTULO 5. GRAVITAÇÃO
A
√︄
ℎ2 + 4𝑚
2𝐺2
𝑣40
+ 2𝑚𝐺
𝑣20
.
B
√︄
ℎ2 + 4𝑚
2𝐺2
𝑣40
− 2𝑚𝐺
𝑣20
.
C
√︄
ℎ2 + 𝑚
2𝐺2
𝑣40
+ 𝑚𝐺
𝑣20
.
D
√︄
ℎ2 + 4𝑚
2𝐺2
𝑣40
− 𝑚𝐺
𝑣20
.
E
√︄
ℎ2 + 𝑚
2𝐺2
16𝑣40
− 𝑚𝐺
𝑣20
.
170 Uma espaçonave parte da Terra, em seu equador, com velocidade ®𝑣0, perpendicular à linha
que contém os centros terrestre e solar, no mesmo sentido da rotação da Terra. Sabendo
que a velocidade necessária para vencer a atração gravitacional Sol + Terra é ®𝑣e, a trajetória
seguida pela espaçonave, segundo o referencial inercial 𝑂𝑥𝑦, é hiperbólica (focos no Sol
e em𝑂) e o ângulo entre ®𝑣e e o eixo dos 𝑥 é 𝜃e, determine a velocidade de rotação da Terra
quando 𝑣e = 𝑣0 e 𝜃e = 45◦.
Dado: o raio da Terra é 𝑅
𝑦
𝑂
𝑥
Terra Sol
A
(
4 + 3
√
3
) 𝑣0
𝑅
B
(
2 + 3
√
3
) 𝑣0
𝑅
C
(
4 +
√
3
) 𝑣0
𝑅
D
(
2 +
√
3
) 𝑣0
𝑅
E
√
2
𝑣0
𝑅
171 Um satélite com massa 𝑚 está orbitando a Terra (massa 𝑀 e raio 𝑅) em um caminho
circular com raio 𝑟. Em um dado momento (𝑡 = 0), devido à ação da atmosfera, começa
a perder energia a uma taxa constante 𝛼 < 0. A partir daí, ele atinge a superfície da Terra
em 𝑡 = 𝑡0 > 0. Nessas condições, determine 𝑟 em termos de 𝑡0,𝐺 (constante gravitacional
de Newton), 𝑚, 𝑀 e 𝑅.
A
(
𝐺𝑚𝑀
𝐺𝑚𝑀 − 2𝛼𝑅𝑡0
)
𝑅
B
(
𝐺𝑚𝑀
𝐺𝑚𝑀 + 2𝛼𝑅𝑡0
)
𝑅
C
(
𝐺𝑚𝑀
𝐺𝑚𝑀 − 𝛼𝑅𝑡0
)
𝑅
D
(
𝐺𝑚𝑀
𝐺𝑚𝑀 + 𝛼𝑅𝑡0
)
𝑅
E
(
𝐺𝑚𝑀
𝛼𝑅𝑡0
)
𝑅
172 Na figura, o objeto que vincula as partículas é uma vareta rígida. Qual é o valor de 𝛼, em
𝑚 = 𝛼𝑀 , quando a tensão na vareta é zero? Isso ocorre para 𝑥 = 3𝑙.
𝑀
𝑙
𝑚 𝑚
𝑥
5.1. CAMPO GRAVITACIONAL E LEIS DE KEPLER 69
173 Um satélite demassa𝑚 é lançado verticalmente para cima com velocidade ®𝑣0 da superfície
da Terra. Depois de ter atingido uma altura 𝑅, é ejetado dele um foguete de massa 𝑚/10,
e o satélite passa a orbitar a Terra sobre um círculo. Assinale a alternativa que consta a
energia cinética do foguete.
Dados: 𝑅 é o raio terrestre, 𝑀 é a massa terrestre e𝐺 é a constante universal gravitacional
A
3
8
𝑚
(
𝑣0 +
√︂
5𝐺𝑀
6𝑅
)2
B
1
20
𝑚
(
𝑣20 +
113𝐺𝑀
200𝑅
) C
1
20
𝑚
(
𝑣0 −
√︂
2𝐺𝑀
3𝑅
)2
D 5𝑚
(
𝑣20 −
119𝐺𝑀
200𝑅
)
E
2
3
𝑚𝑣20
174 Considere um planeta de massa 𝑚 orbitando o Sol de massa 𝑀 numa órbita elíptica com
excentricidade0 < 𝜖 < 1. O momento angular dele terá módulo constante e igual a 𝐿,
já que sua órbita não deve sair do plano num ciclo. Determine a energia mecânica desse
sistema em termos das grandezas consideradas e constante gravitacional universal 𝐺.
175 Considere uma nuvem gasosa esférica de densidade 𝜌(𝑟), no vácuo, onde 𝑟 é a distância
de um ponto qualquer dela ao seu centro 𝑂. Esse aglomerado é formado de partículas
idênticas de massa 𝑚, que se movem em órbitas circulares em torno de 𝑂 com energia
cinética 𝐸0. Qual a será a lei de 𝜌(𝑟)?
Dado: a constante gravitacional universal é 𝐺
A
𝐸0
2𝜋𝑟2𝑚𝐺
B
𝐸0
𝜋𝑟2𝑚𝐺
C
3𝐸0
2𝜋𝑟2𝑚𝐺
D
𝐸0
6𝜋𝑟2𝑚𝐺
E
𝐸0
2𝑟2𝑚𝐺
176 Uma partícula de massa 𝑚 é abandonada de uma altura ℎ (ℎ < 𝑅) imediatamente acima
de um túnel que passa pelo centro da Terra. Considerando a Terra como uma esfera
de constituição homogênea e desprezando os efeitos de rotação, determine o valor da
velocidade da partícula ao passar pelo centro da Terra em função de ℎ, 𝑔 e 𝑅 (𝑔 e 𝑅 são a
magnitude da gravidade na superfície terrestre e o raio terrestre, respectivamente).
177 Um foguete é lançado de um planeta e retorna ao mesmo planeta, de raio 𝑅, de tal forma
que o vetor velocidade no retorno é paralelo ao vetor velocidade no lançamento. A
separação angular no centro do planeta entre o ponto de lançamento e o de retorno é 𝜃.
Quanto tempo dura o voo do foguete, se o período de um satélite cuja órbita tangencia a
superfície da Terra é 𝑇0?
A
(
1
2
+ 1
𝜋
cos
𝜃
2
)
𝑇0
B
𝑇0
2
C
𝑇0
𝜋
cos
𝜃
2
D
(
1 + 1
𝜋
cos 𝜃
)
𝑇0
E
𝑇0
3
178 A velocidade mínima de projeção de um corpo para lançá-lo pro infinito desde a superfície
de um planeta é 1/
√
6 vezes a requerida para a superfície terrestre. O raio desse planeta
70 CAPÍTULO 5. GRAVITAÇÃO
é 1/36 vezes o da Terra. O planeta é envolvido por uma camada atmosférica composta
por um gás inerte e homogêneo, cujo coeficiente de Poisson é igual a 5/3. A espessura
dessa camada é ℎ que é muito pequena diante do raio do planeta. Determine a velocidade
do som na superfície do mesmo planeta. Dado: A gravidade na superfície terrestre tem
módulo uniforme 𝑔.
179 Um dos planetas da estrela chamada NOMAME tem a forma de um longo cilindro. O
planeta tem densidade média 𝜌, raio 𝑅 e período de rotação 𝑇 ao redor do eixo. Dado: a
constante gravitacional universal de Newton é 𝐺. Determine
𝑆
(a) a primeira velocidade cósmica de um satélite 𝑆 em torno deste planeta;
(b) a altitude de um satélite geoestacionário acima da superfície desse planeta.
180 Demonstre que a força de atração sobre uma partícula 𝐴, que se encontra dentro de uma
casca esférica homogênea feita de dado material, é igual a zero.
181 Do topo de uma torre, que está situada sobre a superfície de um planeta, são lançados dois
projéteis (𝐴 e 𝐵) com velocidades de módulos iguais a 𝑣, sendo que 𝐴 segue a direção
radial e 𝐵, a direção perpendicular ao raio daquele planeta. A trajetória seguida por 𝐵 é
elíptica. Qual desses terá maior alcance? Se 𝑎 e 𝑏 são os alcances máximos de 𝐴 e 𝐵
(com respeito ao centro do planeta), respectivamente, determine 𝑎/𝑏. O raio do planeta é
𝑅 e
√
𝑔𝑅 < 𝑣 <
√︁
2𝑔𝑅 (𝑔 é a magnitude da gravidade na superfície do planeta).
𝑣
(𝐴)
𝑣
(𝐵)
𝑅
182 Um satélite move-se numa trajetória circular de raio 𝑟, em torno da Terra, cujo período é
𝑇 . Se esse raio é lentamente incrementado por Δ𝑟 � 𝑟, a mudança no período será
A 1, 5𝑇
Δ𝑟
𝑟
.
B 𝑇
Δ𝑟
𝑟
.
C 2𝑇
Δ𝑟
𝑟
.
D 3𝑇
Δ𝑟
𝑟
.
E 0, 5𝑇
Δ𝑟
𝑟
.
5.1. CAMPO GRAVITACIONAL E LEIS DE KEPLER 71
183 Qual grandeza é responsável por permitir que as órbitas planetárias estejam num mesmo
plano?
A Velocidade
B Aceleração
C Momento linear
D Energia mecânica
E Momento angular
184 Um satélite terrestre de massa 𝑚 move-se numa órbita circular, cujo raio é o dobro do
raio da Terra. Determine o impulso transmitido, instantaneamente, ao satélite para que o
plano da sua órbita gire, num ângulo 𝛼, sem alterar o raio orbital. Suponha que o raio da
Terra seja 𝑅 e a gravidade em sua superfície como sendo 𝑔.
A 𝑚
√︁
2𝑔𝑅 tg
(𝛼
2
)
B 𝑚
√︁
2𝑔𝑅 cos
(𝛼
2
)
C 𝑚
√︁
2𝑔𝑅 sen
(𝛼
2
)
D 𝑚
√︁
2𝑔𝑅 cos(2𝛼)
E 𝑚
√︁
2𝑔𝑅 tg(2𝛼)
2𝑅
𝑇 𝛼
𝑚𝑆
Eixo
72 CAPÍTULO 5. GRAVITAÇÃO
Capítulo 6
MHS
6.1 Movimentos Periódico
185 De 𝐴, numa calha horizontal de raio 𝑟 e comprimento 𝐿, uma bolinha é lançada com
velocidade ®𝑣0, que forma um ângulo 𝛼 com a geratriz dela. Quantas vezes a bolinha
passará pelo segmento 𝐴𝐵 até chegar à 𝐵? Suponha que esse impulso não permita a
bolinha sair da calha.
Dado: aceleração da gravidade local é ®𝑔
𝐴 𝐵𝐿
®𝑣0 𝛼
®𝑔
186 Considere um quarto hermético de 𝑛 paredes verticais impenetráveis e idênticas, cujo
ângulo entre quaisquer duas delas é o mesmo. Um garoto lança uma bola bem elástica
contra uma parede, perpendicularmente. Despreze os atritos e a gravidade local. O ponto
de colisão com a parede é sempre seu centro geométrico. Para o período de movimento
dela, considere 𝑇4 e 𝑇3, que são para 𝑛 = 4 e 𝑛 = 3. Determine 𝑇4/𝑇3.
A
√
3
2
B
√
2
2
C
3
√
2
2
D
4
√
3
3
E
√
5
3
187 Uma partícula desliza, num movimento de vai-vém, entre dois planos inclinados sem
atrito. (a) Calcule o período do movimento sabendo-se que ℎ é a altura inicial. (b) O
movimento é oscilatório? É harmônico simples?
Dado: a gravidade local é ®𝑔
𝛼𝛼
ℎ®𝑔
73
74 CAPÍTULO 6. MHS
188 Contra um lago é atirada uma pedra com velocidade ®𝑣0, cujo ângulo com a sua superfície
é 𝛼. A densidade da água é 3𝜌 e a da pedra, 𝜌. Determine o período do movimento.
Dado: a gravidade local é ®𝑔
®𝑣0
𝛼
®𝑔
A
𝑣0 sen𝛼
𝑔
B
2𝑣0 sen𝛼
𝑔
C
𝑣0 cos𝛼
𝑔
D
2𝑣0 cos𝛼
𝑔
E
3𝑣0 cos𝛼
𝑔
189 Em relação ao problema 187, se os planos formarem ângulos 𝛼 e 𝛽 com a horizontal, qual
será o período de movimento?
A
√︂
2ℎ
𝑔
(
1
sen𝛼
+ 1
sen 𝛽
)
B 2
√︂
2ℎ
𝑔
(
1
sen𝛼
+ 1
sen 𝛽
)
C 4
√︂
2ℎ
𝑔
(
1
sen𝛼
+ 1
sen 𝛽
)
D
√︂
ℎ
𝑔
(
1
sen𝛼
+ 1
sen 𝛽
)
E 2
√︂
ℎ
𝑔
(
1
sen𝛼
+ 1
sen 𝛽
)
190 Dentro de um cilindro de raio 𝑅, lança-se uma partícula com velocidade ®𝑣0, que faz um
ângulo 𝛼 com a direção radial. Determine o período do movimento, se as colisões entre
a partículas e a parede do cilindro forem todas elásticas. É possível determinar o menor
valor desse período? Se sim, qual o valor?
Dado: a gravidade local é ®𝑔
®𝑣0 𝛼
𝑅
𝑑
191 Na Mecânica Quântica, uma partícula de massa 𝑚 dentro de um poço quadrado infinito,
com largura 𝑙, num estado 𝑛 = 1, 2, 3, ..., terá energia mecânica total dada por:
𝐸𝑛 =
ℎ2𝑛2
8𝑚𝑙2
,
6.2. MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES 75
onde ℎ é a constante de Planck. Para facilitar, considere o esboço da figura, onde 𝑦0 é
a altura máxima atingida pela partícula, tal que, 𝑉 (𝑦0) = 𝐸𝑛. Se, dentro desse poço, a
partícula tem um movimento periódico, então, o seu período valerá
𝑥
𝑉
0 𝑙
𝑉 (𝑦0)
A
4𝑚𝑙2
𝑛ℎ
. B
𝑚𝑙2
𝑛ℎ
. C
𝑚𝑙2
2𝑛ℎ
. D
4𝑚𝑙2
3𝑛ℎ
. E
𝑚𝑦20
𝑛ℎ
.
6.2 Movimento Harmônico Simples
192 Considere um anel de massa 𝑚 enfiado num arame, em forma de parábola. O movimento
do anel está livre de atritos. A equação da parábola segundo o sistema de coordenadas
𝑂𝑥𝑦 é 𝑦 = 𝑘𝑥2 (𝑘 > 0). O arame começa a girar com velocidade Ω, em torno do eixo-𝑦.
Determine a pulsação para pequenas oscilações do anel.
Dado: a gravidade local é ®𝑔
𝑥
𝑦
𝑂
𝑚
®𝑔
193 Considere o sistema acoplado da figura abaixo. Mostre que frequência angular das
pequenas oscilações da massa 𝑚 é dada por:
𝜔𝑚 =
√︄
𝑀𝑔
𝜇𝑙
,
onde 𝜇 é a massa reduzida do sistema.
Dado: a gravidade local é ®𝑔
76 CAPÍTULO 6. MHS
𝑀
𝑙
𝑚
®𝑔
194 Uma mola uniforme de constante 𝑘 e massa 𝑚 é pendurada na vertical a partir de uma
de suas extremidades, sendo que na outra, um bloco de massa 𝑀 é preso. A mola tem
um comprimento livre 𝑙, medido quando ela se encontra na horizontal e não-tensionada.
Determine o período de oscilação deste sistema.
195 Considereuma massa 𝑚 presa a quatro molas de Hooke idênticas. Cada mola tem uma
rigidez 𝑘 e um comprimento natural 𝑙0. Quando essa massa encontra-se em equilíbrio,
na origem 𝑂, cada mola terá um comprimento 𝑎 diferente de 𝑙0. A massa é perturbada
até uma posição (𝑥, 𝑦). (a) Nessa posição, mostre que a energia potencial do sistema será
dada por
𝐸pot =
(
2𝑎 − 𝑙0
𝑎
)
𝑘
(
𝑥2 + 𝑦2
)
.
𝑦
𝑂 𝑥
(b) Mostre ainda que a frequência angular das pequenas oscilações isotrópicas dessa
partícula será dada por
𝜔 =
√︄
2𝑘
𝑚
(
2𝑎 − 𝑙0
𝑎
)
.
196 Dentro de uma esfera oca e isolante de raio, 𝑅, existem dois corpúsculos eletrizados com
cargas elétricas 𝑞 e 𝑄. O sistema está imerso num campo de gravidade uniforme, cujo
módulo é 𝑔. Esse meio tem constante eletrostática de Coulomb, 𝑘 . Assinale a alternativa
que apresenta a condição necessária para o corpúsculo superior oscilar, em movimento
harmônico simples.
6.2. MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES 77
𝑄
𝑅®𝑔
A 𝑘𝑞𝑄 = 𝑚𝑔𝑅2
B 𝑘𝑞𝑄 ≤ 𝑚𝑔𝑅2
C 𝑘𝑞𝑄 > 8𝑚𝑔𝑅2
D 𝑘𝑞𝑄 > 2𝑚𝑔𝑅2
E 𝑘𝑞𝑄 < 2𝑚𝑔𝑅2
197 Nos pontos 𝐴 e 𝐵, que se encontram separados por uma distância 𝑑 e estão a mesma altura
ℎ, fixam-se os extremos de uma corda de massa desprezível. A corda é inextensível e
tem comprimento 𝑙. Uma conta 𝐶 pode se mover pela corda, sem está sujeita ao efeito de
qualquer atrito. A gravidade local mede 𝑔. Determine o período de pequenas oscilações
de 𝐶 no plano desta página.
𝐴
𝑙/2 𝑙/2
𝐵
𝐶
ℎ
𝑑
®𝑔
A 𝜋
√︄
𝑙2
𝑔ℎ
B 2𝜋
√︄
𝑙2
𝑔ℎ
C 2𝜋
√︄
𝑙2ℎ
2𝑔𝑑2
D 2𝜋
√︄
2𝑙2
𝑔𝑑
E 𝜋
√︄
𝑙2
2𝑔𝑑
198 Uma bola esférica de raio 𝑟 flutua num líquido com metade do seu volume imerso. Essa
bola é deslocada verticalmente por uma pequena distância dentro do líquido. Obtenha a
pulsação das oscilações da bola. A aceleração da gravidade local é ®𝑔.
A
√︂
𝑔
𝑟
B
√︂
2𝑔
𝑟
C
√︂
𝑔
2𝑟 D
√︂
2𝑔
3𝑟
E
√︂
3𝑔
2𝑟
199 Duas bolas lisas de massas iguais a𝑚 são unidas por meio de uma mola de rigidez 𝑘 e sem
deformação. O conjunto move-se até uma parede vertical. Depois do choque elástico,
determine o período das vibrações que o sistema adquire e quantas vezes ocorrerão
impactos com a parede.
78 CAPÍTULO 6. MHS
𝑘
𝑚 𝑚
A 𝜋
√︂
2𝑚
𝑘
; 1
B 2𝜋
√︂
2𝑚
3𝑘
; 1
C 2𝜋
√︂
𝑚
2𝑘
; 1
D 𝜋
√︂
2𝑚
𝑘
; 2
E 𝜋
√︂
𝑚
2𝑘
; 2
200 Uma caixa triangular, de lados iguais e massa igual a 5 kg, se encontra sobre uma
superfície horizontal. Um bloco de 1 kg está suspenso, como mostra a figura. A partir de
que amplitude das oscilações do bloco a caixa saltará do solo?
Dados: 𝑘 = 10 N/m e 𝑔 = 10 m/s2
®𝑔
A 2 cm B 3 cm C 4 cm D 5 cm E 6 cm
201 Uma caixa 𝐶 repousa sobre uma plataforma que oscila com amplitude 𝐴 e frequência
angular 𝜔. Se a linha tracejada indica a posição de repouso do sistema, a altura máxima
alcançada pela caixa, após abandonar a plataforma, desde essa linha, será
Dado: Suponha que 𝐴𝜔2 > 𝑔, onde 𝑔 é o módulo da gravidade local
𝐶 ®𝑔
A 𝐴 + 𝑔
2𝜔2
+ 𝐴2𝜔2
2𝑔
.
B 𝐴 − 𝑔
2𝜔2
+ 𝐴2𝜔2
2𝑔
.
C 𝐴 − 𝑔
2𝜔2
− 𝐴2𝜔2
2𝑔
.
D 𝐴 − 𝑔
𝜔2
+ 𝐴2𝜔2
𝑔
.
E 𝐴 + 2𝑔
𝜔2
+ 𝐴2𝜔2
𝑔
.
202 Considere um oscilador harmônico de massa 𝑚, constante elástica 𝑘 e comprimento
natural (comprimento sem deformação) 𝑙0, que está oscilando em presença do campo
6.2. MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES 79
gravitacional produzido pela esfera fixa de massa 𝑀 . A elongação da mola, em qualquer
instante, é 𝑥(𝑡). A distância entre as massas 𝑚 e 𝑀 , quando a mola não está deformada, é
𝑙. Considerando um regime de baixíssimas oscilações, é sempre satisfeito que 𝑙 � |𝑥(𝑡) |.
A frequência angular associada será dada por
Dado: a constante gravitacional universal é 𝐺
𝑚
𝑀
𝑥
A
√︂
𝑘
𝑚
− 𝐺𝑀
𝑙3
.
B
√︂
𝑘
𝑚
− 2𝐺𝑀
𝑙3
.
C
√︂
𝑘
𝑚
− 𝐺𝑀𝑙0
𝑙4
.
D
√︂
𝑘
𝑚
− 2𝐺𝑀𝑙0
𝑙4
.
E
√︂
𝑘
𝑚
+ 𝐺𝑀
𝑙3
.
203 Considere um condutor esférico ideal aterrado (𝑉Terra = 0), cujo raio é 𝑅. Um corpúsculo
eletrizado com carga elétrica 𝑞 e commassa𝑚 é solto de uma altura ℎ (𝐴), imediatamente,
acima do polo norte (𝐵) do condutor. Despreze a gravidade local e a reta-𝑦 é vertical e
passa pelo centro do condutor. Quando 𝑅 � ℎ, quanto tempo o corpúsculo levará para
atingir 𝐵?
Dado: a constante de Coulomb no vácuo é igual a 𝑘0
𝑦
𝐵
𝐴
𝑚, 𝑞
𝑅
ℎ
204 Dois discos estão ligados por uma mola de constante elástica 𝑘 . Cada disco tem massa 𝑚
e a gravidade local vale 𝑔. Eles estão sobre o chão, conforme o desenho a seguir. Quando
o sistema está em equilíbrio (em repouso) sob a ação do peso, a distância entre os discos
é 𝑙.
®𝑔 𝑙
80 CAPÍTULO 6. MHS
(a) Calcule o comprimento 𝑙0 relaxado desta mola, isto é, quando a mola não está nem
distendida nem comprimida. Dê o resultado em termos dos parâmetros básicos deste
problema, que são 𝑚, 𝑙, 𝑘 e 𝑔. Pressiona-se o disco superior par baixo, deslocando-o de
uma quantidade 𝑥, e o mantém assim em repouso. Solta-se então o sistema. (b) Supondo
que o disco inferior não perca contato com o solo, mostre que o disco superior realizará um
movimento harmônico simples e calcule seu período, em termos dos parâmetros básicos
do problema. (c) Há um valor máximo de 𝑥 para o qual a suposição do item anterior seja
válida, isto é, que o disco inferior não perca o contato com o solo. Chame este 𝑥 limite de
𝑥0 e calcule-o em termos dos parâmetros básicos. (d) Pressionando-se o disco superior
de um 𝑥 > 𝑥0, o disco inferior será levantado da mesa. Calcule a altura máxima atingida
pelo centro de massa do sistema, em termos de 𝑥 e dos parâmetros básicos. (e) Enquanto
o sistema estiver todo no ar, os discos vão oscilar em relação ao centro de massa. Calcule
o período dessas oscilações em função dos parâmetros básicos.
205 Uma mesa, com sua superfície a uma altura ℎ do chão, tem um orifício em seu centro.
Uma partícula de massa 𝑚 é presa a um corpo suspenso de massa 𝑀 por uma corda de
comprimento 𝑙 > ℎ que passa pelo orifício. A partícula pode se mover sem atrito pela
superfície da mesa (e também não há atritos entre a corda e o orifício). É dada à partícula
uma velocidade angular 𝜔 em torno do orifício (sem nenhuma componente radial de
velocidade).
Dado: (1 + 𝑥)𝑛 � 1 + 𝑛𝑥, se 𝑥 � 1
𝑀
𝑟 𝑚
®𝑔
ℎ
(a) Sendo 𝑟 a distância da partícula até o orifício, calcule o raio de equilíbrio 𝑟 = 𝑟0 para o
qual o corpo de massa 𝑀 fica parado. Expresse o 𝑟0 em termos 𝑀 , 𝑚, 𝜔 e 𝑔, a gravidade
local, emmódulo. (b) Calcule a frequência de pequenas oscilações radiais da partícula em
torno de 𝑟0. Imagine que inicialmente a partícula se encontrava em movimento circular
em 𝑟0 e com velocidade angular 𝜔0 quando uma pequena perturbação radial fez com que
ela começasse a oscilar. (c) Considere que a partícula esteja inicialmente a uma distância
𝑟 do orifício, com uma velocidade angular 𝜔. O sistema é então solto de modo que o
corpo 𝑀 desça naturalmente até o chão, isto é, suponha que 𝑙 − ℎ > 𝑟0. Qual será a nova
velocidade angular 𝜔′ da partícula nessa nova situação? Expresse o resultado em função
dos parâmetros básicos do problema.
6.2. MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES 81
206 Um disco metálico muito fino de raio 𝑟 e espessura 𝑑 é suspenso por uma mola ideal
de constante elástica 𝑘 , que está presa ao teto. A massa do disco é 𝑚. O disco é
colocado dentro de um ambiente onde há um campo magnético uniforme, de módulo 𝐵,
perpendicular ao seu plano. Qual será o período de pequenas oscilações do disco?
Dado: a gravidade local é ®𝑔
𝑚
®𝑔 ⊗ ®𝐵
207 Num cilindro horizontal imóvel e fechado, em ambos os lados, encontra-se um pistão de
massa 𝑀 , que pode se movimentar, sem atrito. Quando o pistão está no meio do cilindro,
a sua posição é de equilíbrio. Nos lados direito e esquerdo do pistão, dentro do cilindro,
existem duas esferas pequenas idênticas de massa 𝑚 � 𝑀 em movimento horizontal. Na
situação de equilíbrio do pistão, a frequência de colisão com as paredes do pistão pelas
esferas é 𝑓 . Se o pistão sofre uma leve perturbação, determineo período de suas pequenas
oscilações.
A
𝜋
𝑓
√︂
𝑀
2𝑚
B
𝜋
𝑓
√︂
𝑀
6𝑚
C
𝜋
𝑓
√︂
𝑚
2𝑀
D
𝜋
𝑓
√︂
𝑚
6𝑀
E
𝜋
2 𝑓
√︂
𝑚
𝑀
208 Uma partícula pode se mover em um tubo circular liso de raio 𝑟 que gira em torno de um
eixo vertical (𝑧) com velocidade constante 𝜔. A posição dessa partícula é identificada por
𝜃.
Dado: ®𝑔 é a gravidade local.
(a) Obtenha a relação de equilíbrio sendo 𝜃 = 𝜃0 a posição dessa partícula nessa situação.
(b) O que acontecerá com essa partícula quando 𝜃 > 𝜃0 ou 𝜃 < 𝜃0? Se ocorrer equilíbrio
estável, obtenha o período de pequenas oscilações dela em torno de 𝜃 = 𝜃0.
82 CAPÍTULO 6. MHS
®𝑔
𝑧
𝜃
𝑟
𝜔
209 O sistema representado na figura, composto por dois blocos de mesma massa e ligados
por uma mola cujo diâmetro é de mesma ordem que o comprimento, cai de uma altura
ℎ sobre uma mesa horizontal. Durante a queda, a mola está relaxada, e a colisão entre o
bloco inferior com o solo é inelástica.
Dado: a gravidade local é ®𝑔
ℎ
𝑚
𝑚
𝑘
®𝑔
(a) Que valor máximo deve ter ℎ para que, no decorrer do movimento subsequente do
conjunto, o bloco inferior não decole da mesa?
(b) Quanto tempo depois do choque surgirá a situação crítica (perigo de decolagem)?
210 As forças que atuam sobre as partículas estão dirigidas ao eixo 𝑂𝑂′ e são proporcionais à
distâncias até ele: 𝐹 = −𝑘𝑟. As velocidades ®𝑣0 das partículas de massa 𝑚, nesse feixe e
pertencentes à linha vertical tracejada que passa por 𝑂, são paralelas ao eixo. Prove que
as partículas convergirão em 𝑂′.
𝑂 𝑂′
𝑟
®𝑣0
𝑚
6.2. MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES 83
211 Uma bola de massa 𝑚 gira com velocidade angular Ω em torno de um eixo, com a qual
se une a uma mola ideal de constante elástica 𝑘 . Determine a frequência das pequenas
oscilações da bola ao longo da mola se Ω2 < 𝑘/𝑚.
𝑂
Ω
𝑘
A
√︂
𝑘
𝑚
−Ω2
B
√︂
2𝑘
𝑚
−Ω2
C
√︂
2𝑘
𝑚
+Ω2
D
√︂
𝑘
𝑚
E
√︂
2𝑘
𝑚
212 Umglobo inflado de ar de raio 𝑅 ao chocar-se comumaparede, de forma lenta, é deformado
por uma profundidade ℎ � 𝑅 como mostra a figura. A diferença de pressão 𝛿𝑝 entre as
regiões interna (ar) e externa do globo praticamente é imutável durante o choque. Sendo
a massa do globo como sendo 𝑚 e desprezando a sua elasticidade, determine o tempo de
deformação.
𝑥
𝑅
A 𝜋
√︂
𝑚
2𝜋𝑅𝛿𝑝
B 𝜋
√︂
𝑚
𝜋𝑅𝛿𝑝
C 𝜋
√︂
2𝑚
𝜋𝑅𝛿𝑝
D 𝜋
√︂
𝑚
𝑅𝛿𝑝
E 𝜋
√︂
𝑚
2𝑅𝛿𝑝
213 Em um buraco esférico de raio 𝑅 encontram-se duas massas pontuais, unidas por uma
haste leve de comprimento 2𝑙. Determine a frequência das oscilações pequenas do sistema
quando o movimento está no plano dessa página e no plano perpendicular a essa página.
Dado: a gravidade local é ®𝑔
2𝑙®𝑔
214 Em um plano inclinado, que forma um ângulo 𝛼 com a horizontal, coloca-se um cubo de
massa 𝑀 . Entre o fundo e o teto do cubo, com o apoio de molas, se coloca um corpo de
massa 𝑚. O coeficiente de atrito entre o cubo e o plano inclinado é 𝜇 = tg𝛼.
Dado: a gravidade local é ®𝑔
84 CAPÍTULO 6. MHS
𝛼
𝑚
®𝑔
(a) Determine a condição necessária para que esse cubo não tombe. A amplitude e a
pulsação do movimento do corpo, com relação à caixa, são 𝑥0 e 𝜔.
(b) Determine a velocidade escalar média de descida do cubo em um tempo muito maior
que𝑇 , supondo que o cubo, em qualquer instante, se mova de forma contínua, sem tombar.
215 Duas partículas de mesma massa 𝑚 e cargas +𝑞 e −𝑞 podem deslizar livremente (sem
atrito) por trilhos paralelos separados por uma distância 𝑑, conforme ilustrado na figura
abaixo. No instante 𝑡 = 0, as partículas são afastadas até uma distância de separação
ao longo da direção dos trilhos de 𝐿 e então são abandonadas do repouso. Considere
ainda que uma carga elétrica qualquer𝑄 com aceleração 𝑎, e movimento sub-relativístico,
irradia energia a uma taxa 𝑃L dada de acordo com a fórmula de Larmor
𝑃L =
2𝑘0𝑄2𝑎2
3𝑐3
,
onde 𝑘0 é a constante de Coulomb do vácuo; 𝑐 é a velocidade da luz no vácuo; 𝑄 é o
valor da carga e 𝑎 é a aceleração da carga. Obtenha a frequência angular, 𝜔, das pequenas
oscilações e a perda relativa de energia por irradiação desse sistema, Δ𝐸/𝐸 . Considere
𝐿 � 𝑑.
A 𝜔 =
√︂
𝑘0𝑞
2
𝑚𝑑3
;
Δ𝐸
𝐸
=
4𝜋𝑘0𝑞2𝜔
𝑚𝑐3
B 𝜔 =
√︂
𝑘0𝑞
2
𝑚𝑑3
;
Δ𝐸
𝐸
=
4𝜋𝑘0𝑞2𝜔
3𝑚𝑐3
C 𝜔 =
√︂
𝑘0𝑞
2
2𝑚𝑑3
;
Δ𝐸
𝐸
=
4𝜋𝑘0𝑞2𝜔
3𝑚𝑐3
D 𝜔 =
√︂
2𝑘0𝑞2
𝑚𝑑3
;
Δ𝐸
𝐸
=
4𝜋𝑘0𝑞2𝜔
𝑚𝑐3
E 𝜔 =
√︂
2𝑘0𝑞2
𝑚𝑑3
;
Δ𝐸
𝐸
=
4𝜋𝑘0𝑞2𝜔
3𝑚𝑐3
+𝑞
−𝑞
𝑑
𝐿
6.3. SUPERPOSIÇÃO DE MESMA DIREÇÃO E DIREÇÕES ORTOGONAIS 85
6.3 Superposição de Mesma Direção e Direções Ortogonais
216 As figuras abaixo representam as trajetórias obtidas mediante composição de dois mo-
vimentos harmônicos simples de frequências 𝑓𝑥 e 𝑓𝑦 e que se efetuam segundo os eixos
ortogonais 𝑂𝑥 e 𝑂𝑦, respectivamente. Se a frequência do movimento segundo 𝑂𝑥 é
𝑓𝑥 = 300 Hz para todas as figuras, qual é a frequência segundo 𝑂𝑦 em cada caso?
𝑥
𝑦
(a)
𝑥
𝑦
(b)
𝑥
𝑦
(c)
𝑥
𝑦
(d)
𝑥
𝑦
(e)
𝑥
𝑦
(f)
I. 600 Hz.
II. 450 Hz.
III. 300 Hz.
IV. 150 Hz.
V. 400 Hz.
VI. 200 Hz.
VII. 250 Hz.
A aIII, bII, cI, dIV, eVI e fIII
B aIII, bII, cI, dIV, eVII e fIII
C aVII, bIII, cII, dIV, eV e fIII
D aVII, bIII, cII, dIV, eVI e fIII
E aIII, bIII, cII, dIV, eV e fVII
217 Um ponto que oscila harmonicamente por 𝑥 e 𝑦 (eixos cartesianos) descreve linhas de
Lissajous. Prove que se as frequências estão relacionados por números inteiros, essas
curvas são fechadas. Como serão essas figuras casos as frequências sejam iguais?
218 Demonstre que se as amplitudes das oscilações em 𝑥 e 𝑦 são 𝐴 e 𝐵, respectivamente, a
curva de Lissajous é inscrita num retângulo com lados 2𝐴 e 2𝐵 naquelas direções. Tal
figura tangencia os lados horizontais desse retângulo nos pontos 𝑝 e os verticais, nos 𝑞.
Qual será a relação entre as frequências?
219 As extremidades de uma mola de constante elástica 𝑘 deslocam-se na direção longitudinal
dela tais que 𝑥1 = 𝐴1 cos(𝜔𝑡 + 𝜙1) e 𝑥2 = 𝐴2 cos(𝜔𝑡 + 𝜙2) (𝜔 > 0, 𝜙1 e 𝜙2 são constantes).
A tensão média da mola é nula. Como varia a tensão nela com o tempo? Determine a
energia média da mola.
220 Do problema 219, as frequências são diferentes, 𝐴1 = 𝐴2 = 𝐴 e 𝜙1 = 𝜙2 = 0, ou seja,
𝑥1 = 𝐴 cos(𝜔1𝑡) e 𝑥2 = 𝐴 cos(𝜔2𝑡). Nesse caso, como varia agora a tensão na mola com
o tempo?
221 As pequenas oscilações de dois pêndulos idênticos de massa 𝑚, unidos por meio de uma
mola, são
𝑥1 = 𝑏 cos(𝜔0𝑡 + 𝜙) + 𝑎 cos(𝜔𝑡) e 𝑥2 = 𝑏 cos(𝜔0𝑡 + 𝜙) − 𝑎 cos(𝜔𝑡),
86 CAPÍTULO 6. MHS
onde 𝑎, 𝑏, 𝜙, 𝜔0 e 𝜔 são constantes conhecidas. Determine a constante elástica da mola.
O equilíbrio do sistema ocorre quando os pêndulos têm direção vertical e a mola não está
deformada.
Dado: a gravidade local é ®𝑔
1 2
®𝑔
A
1
2
𝑚(𝜔0 + 𝜔)2
B
1
2
𝑚(𝜔 − 𝜔0)2
C
1
3
𝑚(𝜔2 − 𝜔20)
D
1
3
𝑚(𝜔2 + 𝜔20)
E
1
2
𝑚(𝜔2 − 𝜔20)
6.4 Pêndulo Simples
222 Dois pêndulos demesmo comprimento 𝑙 sãomontados de acordo com o diagrama a seguir.
Num instante 𝑡 = 0, o pêndulo de massa 𝑀 é posicionado a uma altura ℎ com relação à
horizontal e o pêndulo de massa 𝑚 permanece em repouso na vertical. Ao ser liberada a
massa 𝑀 inicia o movimento colidindo com a massa 𝑚 (𝑀 > 𝑚). Desconsidere todos os
efeitos devido a quais- quer tipos de atrito neste sistema. Qual será o tempo necessário,
após a primeira colisão entre as massas, para que as massas voltem a colidir novamente?
Dado: a gravidade local é ®𝑔.
𝑙
𝑙
ℎ
®𝑔
A 2𝜋
√︂
𝑙
𝑔
B
√︂
2𝑙
𝑔
C
√︂
ℎ
2𝑔
D 𝜋
√︂
𝑙
𝑔
E 𝜋
√︂
ℎ
2𝑔
223 Umpêndulo de comprimento 𝑙 está suspenso por uma parede inclinada. Esse é desviado da
direção vertical por um pequeno ângulo, que é duas vezesmaior que o ângulo de inclinação
da parede com respeito à direção vertical, e depois, liberado. Determine o período das
oscilações pendulares sabendo que as colisões com a parede são perfeitamente elásticas.
Dado: a gravidade local é ®𝑔
6.4. PÊNDULO SIMPLES 87
A 2𝜋
√︂
𝑙
𝑔
B 𝜋
√︂
𝑙
𝑔C
4𝜋
3
√︂
𝑙
𝑔
D
𝜋
4
√︂
𝑙
𝑔
E
𝜋
2
√︂
𝑙
𝑔
𝑂 ®𝑔
224 Considere um pêndulo duplo (𝐴𝐵 e 𝐵𝐶), em que a parte 𝐴𝐵 sempre fica na direção
vertical enquanto 𝐴 oscila horizontalmente com período 𝑇 . Se em 𝐶, a massa for 𝑀 e em
𝐵, 𝑚, determine 𝐵𝐶 para que isso seja possível.
Dado: a gravidade local é ®𝑔.
A
𝑔𝑇2
4𝜋2
(
1 + 2𝑀
𝑚
)
B
𝑔𝑇2
4𝜋2
(
1 + 𝑀
𝑚
) C
𝑔𝑇2
4𝜋2
(
1 + 2𝑚
𝑀
)2
D
𝑔𝑇2
4𝜋2
(
1 + 𝑚
𝑀
)2
E
𝑔𝑇2
4𝜋2
𝐴
𝐵
𝐶
225 Um pêndulo duplo (por fios) é suspenso por 𝐴 e 𝐵, que são os topos de paredes verticais,
tal que, todo o sistema pendular esteja contido nesta página. Os fios têm comprimentos 𝑙1
e 𝑙2. Determine o período desse pêndulo. Considere que 𝑙21 + 𝑙
2
2 = 𝑎
2 + 𝑏2.
Dado: a gravidade local é ®𝑔
A 𝜋
√︂
𝑙1𝑙2
𝑎𝑔
B 𝜋
√︂
𝑙1𝑙2
𝑏𝑔
C 2𝜋
√︂
𝑙1𝑙2
𝑎𝑔
D 2𝜋
√︂
𝑙1𝑙2
𝑏𝑔
E 2𝜋
√︂
𝑙1 + 𝑙2
𝑔
𝑙1
𝑙2
𝑎
𝑏
®𝑔
𝐴
𝐵
226 Dois pêndulos simples e idênticos estão suspensos por ummesmo ponto do teto. Em dado
instante, são deslocados simetricamente em relação à direção vertical por uma distância
muito menor que o comprimento dos fios. Disso, são soltos ao mesmo tempo. A primeira
colisão ocorre após um tempo 𝛿𝑡0 depois do abandono delas. Todos os choques têm o
mesmo coeficiente de restituição 𝑒 (1 − 𝑒 � 1). Determine a frequência das oscilações
num instante 𝑡 > 0, sendo 𝑡 = 0 o momento de abandono daquelas massas.
88 CAPÍTULO 6. MHS
227 Dois pontos materiais idênticos e de mesma massa 𝑚 são suspensos de um teto horizontal
usando dois fios inextensíveis sem peso de comprimentos 𝑙1 e 𝑙2, respectivamente. Os
pesos são conectados por uma haste rígida leve. Na posição de equilíbrio, os fios são
verticais. Determine o período de pequenas oscilações do sistema no plano desta página.
Dado: a gravidade local é ®𝑔
𝑙1
𝑚
𝑙2
𝑚
®𝑔
Capítulo 7
Fluidomecânica
7.1 Princípios de Arquimedes e de Pascal
228 Um cone homogêneo e uniforme tem densidade 𝜌, altura ℎ e raio da base 𝑟 . Esse flutua
num líquido de densidade 𝜌0, cujo eixo é sempre vertical e seu vértice não está imerso.
Para ter equilíbrio estável dele,
ℎ
𝑟 𝑟
A
𝜌
𝜌0
<
7ℎ6 + 𝑟6 + 6ℎ2𝑟2(𝑟2 + 2ℎ2)
8ℎ6 + 𝑟6 + 6ℎ2𝑟2(𝑟2 + 2ℎ2)
.
B
𝜌
𝜌0
>
7ℎ6 + 𝑟6 + 6ℎ2𝑟2(𝑟2 + 2ℎ2)
8ℎ6 + 𝑟6 + 6ℎ2𝑟2(𝑟2 + 2ℎ2)
.
C
𝜌
𝜌0
<
2ℎ6 + 𝑟6 + 3ℎ2𝑟2(𝑟2 + ℎ2)
ℎ6 + 𝑟6 + 3ℎ2𝑟2(𝑟2 + ℎ2)
.
D
𝜌
𝜌0
>
2ℎ6 + 𝑟6 + 3ℎ2𝑟2(𝑟2 + ℎ2)
ℎ6 + 𝑟6 + 3ℎ2𝑟2(𝑟2 + ℎ2)
.
E
𝜌
𝜌0
>
3
√︂
ℎ
𝑟
.
229 Duas bolinhas 𝐴 (madeira) e 𝐵 (metal) estão conectadas por fios ideais e inextensíveis,
no interior de um recipiente cheio d’água. No regime, em que o recipiente gira com
velocidade angular constante, em torno do eixo-𝑧, a configuração do sistema das bolinhas
+ fios está esquematizada, na figura, abaixo. Se 𝑟𝐵 = 3𝑟𝐴, determine a razão entre os
módulos das trações, 𝑇𝐴𝐵/𝑇𝐵𝐶 , nos fios 𝐴𝐵 e 𝐵𝐶, respectivamente.
Dados: sen𝛼 = 0, 8 e a gravidade local é ®𝑔
89
90 CAPÍTULO 7. FLUIDOMECÂNICA
𝑧
𝐶
𝐵
𝑟𝐵
𝑟𝐴
𝐴
𝛼
®𝑔
230 Um recipiente possui um furo circular de raio 𝑟 no seu fundo. Uma tampa cilíndrica de
massa 𝑚, raio 𝑅 e espessura 𝑥 é colocada sobre o mesmo, tal que, seja coaxial com o
buraco. Um certo líquido de densidade 𝜌 é despejado dentro do recipiente até uma altura
ℎ, medida desde a tampa. Quais serão os valores de ℎ para que a tampa não saia do buraco,
evitando o vazamento?
Dados: a pressão atmosférica é 𝑝atm e a gravidade local é ®𝑔
®𝑔
A ℎ ≥
(
𝑅2
𝑟2
− 1
)
𝑥 − 𝑚
𝜌𝜋𝑟2
− 𝑝atm
𝜌𝑔
B ℎ ≤
(
𝑅2
𝑟2
− 1
)
𝑥 − 𝑚
𝜌𝜋𝑟2
− 𝑝atm
𝜌𝑔
C ℎ ≥
(
𝑅2
𝑟2
− 1
)
𝑥 − 𝑚
𝜌𝜋𝑟2
D ℎ ≤
(
𝑅2
𝑟2
− 1
)
𝑥 − 𝑚
𝜌𝜋𝑟2
E ℎ <
𝑚𝑔 + 𝑝atm𝜋𝑟2
𝜌𝑔𝜋𝑅2
231 Um cilindro homogêneo e sólido de raio 𝑟 e comprimento 𝑙 encontra-se no fundo de um
navio, cujo formato é um paralelepípedo reto com dimensões ligeiramente maiores do que
as do cilindro. Em certo instante, é despejado um líquido até que atinja uma altura 2𝑟.
As densidades do líquido e do cilindro são, respectivamente, iguais a 𝜌1 e 𝜌2. Quanto
trabalho será necessário para que um agente externo retire o cilindro, completamente, do
7.1. PRINCÍPIOS DE ARQUIMEDES E DE PASCAL 91
líquido? A gravidade local é ®𝑔. O navio está sempre na direção horizontal, e considere
que 𝜋 � 3.
A (𝜌1 + 𝜌2) 𝑔𝑙𝑟3
B 3, 5 (0, 5𝜌1 + 3𝜌2) 𝑔𝑙𝑟3
C 0, 5 (3, 5𝜌1 + 3𝜌2) 𝑔𝑙𝑟3
D 3, 5 (−0, 5𝜌1 + 3𝜌2) 𝑔𝑙𝑟3
E 1, 5 (−0, 5𝜌1 + 𝜌2) 𝑔𝑙𝑟3
232 Um tubo triangular contém três tipos de líquidos imiscíveis 𝜌1, 𝜌2 e 𝜌3. Os comprimentos
das colunas deles valem 𝑙. O triângulo 𝐴𝐵𝐶 é equilátero, cujo lado comum mede 𝑙. Qual
deverá ser o valor de 𝑥 para que o sistema, após ser posto num plano vertical, fique em
equilíbrio?
Dado: a gravidade local é ®𝑔
𝐴
𝐶
𝐵
𝑥
𝜌1
𝜌3
𝜌2
®𝑔
A 𝑥 = 𝑙
(
𝜌2 − 𝜌1
2𝜌2 − 𝜌1 − 𝜌3
)
B 𝑥 = 𝑙
(
𝜌2 − 𝜌1
2𝜌3 − 𝜌1 − 𝜌2
) C 𝑥 = 𝑙
(
𝜌3 − 𝜌2
2𝜌1 − 𝜌2 − 𝜌3
)
D 𝑥 = 2𝑙
(
𝜌3 − 𝜌1
𝜌1 + 𝜌2 − 𝜌3
) E 𝑥 = 𝑙
(
𝜌2 + 𝜌1
2𝜌3 − 𝜌1 + 𝜌2
)
233 Uma casca hemisférica de espessura desprezível, de massa 𝑚 e de raio 𝑅 é pressionada
contra uma parede vertical suave. Na parte superior da casca, existe um buraco, onde um
líquido de densidade 𝜌 deverá ser despejado até preenchê-lo completamente. Determine
a magnitude mínima da força externa sobre a casca capaz de impedir o vazamento do
líquido.
Dado: a gravidade local é ®𝑔
92 CAPÍTULO 7. FLUIDOMECÂNICA
A
(
2𝑚2 + 7
9
𝜋2𝑅6𝜌2 + 4
3
𝜋𝑅3𝑚𝜌
)1/2
𝑔
B
(
2𝑚2 + 5
9
𝜋2𝑅6𝜌2 + 4
3
𝜋𝑅3𝑚𝜌
)1/2
𝑔
C
(
𝑚2 + 13
9
𝜋2𝑅6𝜌2 + 4
3
𝜋𝑅3𝑚𝜌
)1/2
𝑔
D
(
𝑚2 + 4
9
𝜋2𝑅6𝜌2 + 4
3
𝜋𝑅3𝑚𝜌
)1/2
𝑔
E
(
3𝑚2 + 𝜋2𝑅6𝜌2 + 4
3
𝜋𝑅3𝑚𝜌
)1/2
𝑔
𝑅
®𝑔
𝑚
𝜌
234 Um recipiente sem base e de paredes cilíndricas, cujo peso é ®𝑃, encontra-se sobre uma
mesa. As bordas estão bem ajustadas à mesa. Despeja-se líquido até que alcance uma
altura ℎ dentro dele, na iminência de perder contato com o solo. Qual será a densidade
desse líquido?
Dado: a gravidade local é ®𝑔
2𝑟
2𝑅
ℎ®𝑔
A
𝑃
2𝑔ℎ𝜋(𝑅2 − 𝑟2)
B
2𝑃
𝑔ℎ𝜋(𝑅2 − 𝑟2)
C
𝑃
𝑔ℎ𝜋𝑅2
D
𝑃
𝑔ℎ𝜋𝑟2
E
𝑃
𝑔ℎ𝜋(𝑅2 − 𝑟2)
235 Um tubo de 1 m de comprimento com a extremidade inferior fechada é invertido e depois
inserido verticalmente e lentamente dentro de um líquido, em 20 cm. Nota-se que o
líquido admitirá uma coluna de 10 cm dentro desse tubo. Determine, aproximadamente,
a densidade do líquido.
Dado: a gravidade local tem módulo 𝑔 = 10 m/s2
A 8 g/cm3 B 9 g/cm3 C 10 g/cm3 D 11 g/cm3 E 13 g/cm3
236 Um cilindro de raio 𝑅 e altura 𝑙 tampa um buraco 𝐴𝐵, impedindo que haja vazamento
d’água. A densidade d’água é 𝜌. Determine o módulo da força resultante (empuxo) sobre
esse objeto.
Dados: 𝜋 = 3 e a gravidade local é ®𝑔
7.1. PRINCÍPIOS DE ARQUIMEDES E DE PASCAL 93
𝐶
𝐵
𝐴
𝐷
𝑂
®𝑔
A
√︂
5
2
𝜌𝑔𝑅2𝑙
B
√︂
15
2
𝜌𝑔𝑅2𝑙
C
√︂
13
2
𝜌𝑔𝑅2𝑙
D
√
13
4
𝜌𝑔𝑅2𝑙
E
√
3
2
𝜌𝑔𝑅2𝑙
237 A seção transversal de uma parede de um dique é um arco de círculo de raio 𝑅 subtendido
por um ângulo central 𝛼 < 𝜋/2. O centro 𝑂 do círculo está sobre a superfície da água,
que tem densidade 𝜌. A largura da barragem é 𝑙. Desprezando a pressão atmosférica,
calcule a magnitude da força resultante feita pela água sobre o dique.
Dado: a gravidade local é ®𝑔
𝛼
𝑂 𝑅
𝑅®𝑔
238 Qual é o ângulo feito pela superfície livre de um líquido, contido num recipiente em
descida sobre um plano de inclinação 𝛼, com a direção horizontal?
𝛼
A 𝛼 B 2𝛼 C 0, 5𝛼 D 1, 5𝛼 E 0, 75𝛼
239 A densidade 𝜌 = 𝜌(ℎ) de uma solução salina varia com a profundidade ℎ de acordo com
𝜌 = 1 + ℎ/50 (ℎ está em cm e 𝜌, em g/cm3). Nela, são introduzidas duas bolinhas, unidas
por meio de um fio inextensível muito leve e fino. Os volumes e as massas delas são 0, 1
cm3, 0, 2 cm3, 0, 13 g e 0, 34 g, respectivamente. A primeira afundou 20 cm até o sistema
alcançar o equilíbrio. Se a gravidade local tem magnitude igual a 10 m/s2, determine o
comprimento daquele fio.
94CAPÍTULO 7. FLUIDOMECÂNICA
A 6 cm B 7, 5 cm C 8 cm D 12, 5 cm E 15 cm
240 Um recipiente cônico sem fundo de massa𝑚 fica firmemente sobre umamesa. Um líquido
é despejado no recipiente e assim que seu nível atinge a altura ℎ, a pressão do líquido
eleva o recipiente. O raio da base maior inferior do vaso é 𝑅 e o ângulo entre a geratriz
do cone com a vertical é 𝛼. Qual será a densidade do líquido?
Dado: a gravidade local é ®𝑔
7.2 Escoamento, Equações de Bernoulli e Torricelli
241 Uma bola de basquete de raio 𝑅 gira com velocidade angular constante 𝜔 (o seu eixo
está na direção do eixo-𝑧) e seu centro de massa apresenta uma velocidade ®𝑣0 (direção
do eixo-𝑥). Nesse instante, determine a força de Magnus resultante do ar sobre ela. A
densidade do ar é 𝜌.
Dado: a gravidade local é ®𝑔.
𝑅
®𝑣0𝜔
𝑦
𝑥
𝑧
242 Um recipiente cônico vertical de altura igual a ℎ e ângulo de abertura 2𝛼 contém água
até ocupar metade do seu volume. O sistema é posto para girar, em torno do eixo do
cone, com velocidade angular uniforme 𝜔. Para quais valores de 𝛼 não haverá vazamento
d’água?
Dados: volume de um paraboloide circular de raio 𝑥 e altura 𝑦 é igual a 𝜋𝑥2𝑦/2, e a
gravidade local é ®𝑔
A 𝛼 < arctg
( 𝑔
𝜔2ℎ
)
B 𝛼 > arctg
( 𝑔
𝜔2ℎ
)
C 𝛼 < arcsen
( 𝑔
2𝜔2ℎ
)1/2
D 𝛼 > arcsen
( 𝑔
2𝜔2ℎ
)1/2
E 𝛼 < arctg
(
2𝑔
3𝜔2ℎ
)1/2
243 A água doce atrás de uma barragem de reservatório tem 15 m de profundidade. Um tubo
horizontal de 4, 0 cm de diâmetro atravessa a barragem a 6, 0 m abaixo da superfície da
7.2. ESCOAMENTO, EQUAÇÕES DE BERNOULLI E TORRICELLI 95
água, conforme mostrado na figura. Um tampão na extremidade livre do tubo impede
que a água saia. (a) Determine a força de atrito entre o tampão e a parede do tubo; (b) O
tampão é removido. Qual será o volume d’água que fluirá para fora do tubo em 3 h?
Dados: 𝜋 = 3, 14 e 𝑔 = 9, 8 m/s2
15 m
6 m Tampão
244 A figura mostra um tubo vertical muito longo de raio 𝑅, cujo interior existe um líquido
incompressível de densidade 𝜌0, e um cilindro sólido de densidade 𝜌 > 𝜌0 e raio 𝑟, que
desce ao longo do eixo. Determine o módulo da aceleração do cilindro. Despreze todos
os atritos.
Dado: a gravidade local é ®𝑔
𝑅
𝑟
®𝑔
245 Um antigo relógio d’água grego (clepsidra) é um recipiente com um pequeno orifício 𝑂,
como mostra a figura. O tempo é medido pelo nível de água na parte superior. Qual deve
ser a forma do relógio para que a escala de tempo seja uniforme?
Dado: a gravidade local é ®𝑔
96 CAPÍTULO 7. FLUIDOMECÂNICA
𝑥
𝑦
𝑂
(𝑆1)
(𝑆2)
®𝑣1
®𝑔
246 Uma bomba consta de um cilindro, situado horizontalmente, com um pistão de área 𝑆 e
um orifício de saída de área 𝑠 que se encontra próximo do eixo do cilindro. Determine
a magnitude da velocidade de saída do jato da bomba se, sob a ação de uma força ®𝐹, o
pistão desloca-se com uma velocidade constante. A densidade do líquido é igual a 𝜌.
247 No problema 246, para 𝑠 → 𝑆, a velocidade de saída do jato, ®𝑣, tem módulo tornando-se
cada vez maior, inclusive quando 𝐹 é pequeno. Explique por que surge esse resultado
paradoxal.
248 Calcule a força que age sobre a paleta de uma roda, considerando que o jato após colidir
com a paleta, continua o movimento com a velocidade dela. A altura do reservatório
d’água é ℎ, o raio da roda é 𝑅, a velocidade angular da roda é 𝜔 e a área da seção
transversal do jato é 𝑆.
Dado: a gravidade local é ®𝑔
𝑅
ℎ ®𝑔
7.2. ESCOAMENTO, EQUAÇÕES DE BERNOULLI E TORRICELLI 97
A 2𝜌𝑆𝜔𝑅
√︁
𝑔ℎ
B 𝜌𝑆𝜔𝑅
√︁
𝑔ℎ
C 𝜌𝑆
(√︁
2𝑔ℎ − 𝜔𝑅
)2
D 𝜌𝑆
(√︁
2𝑔ℎ + 𝜔𝑅
)2
E 0, 5𝜌𝑔𝑆ℎ
249 Um líquido está contido dentro de um tubo fino circular, situado em um plano vertical,
que gira em torno de seu diâmetro vertical com uma velocidade angular 𝜔. Se o líquido
subtende um ângulo 2𝛼 no centro, quais os valores da velocidade angular 𝜔 este líquido
pode ser dividido em duas partes iguais?
Dado: a gravidade local é ®𝑔
2𝛼
𝑅𝑅
®𝑔
A 𝜔 >
√︂
𝑔
𝑅
sec
(𝛼
2
)
B 𝜔 <
√︂
2𝑔
𝑅
sec
(𝛼
2
) C 𝜔 >
√︂
3𝑔
𝑅
sec
(𝛼
2
)
D 𝜔 <
√︂
𝑔
𝑅
tg
(𝛼
2
) E 𝜔 >
√︂
𝑔
𝑅
tg
(
3𝛼
2
)
250 Um jato vertical d’água de densidade 𝜌 suporta uma bola de massa 𝑚. Se o fluxo de
água lançado do expansor tem diâmetro 𝑑 e velocidade ®𝑣0, calcule a altura ℎ, acima do
expansor, na qual a bola é suportada. Suponha que o jato se mantenha constante, e que o
atrito é desprezado.
Dado: a gravidade local é ®𝑔
𝑚
ℎ
®𝑔
𝑑
®𝑣0
98 CAPÍTULO 7. FLUIDOMECÂNICA
Capítulo 8
Termologia
8.1 Termometria, lei Zero da Termodinâmica, Dilatação de
Sólidos e Líquidos
251 Um estudante encontra em um laboratório, localizado ao nível do mar, um velho termôme-
tro de mercúrio cuja escala se apagou completamente e resolve calibrá-lo. Inicialmente,
ele prepara dois sistemas: (𝐴) água líquida em equilíbrio com certa massa de gelo e (𝐵)
água em ebulição. Em seguida, coloca o termômetro em contato com o sistema 𝐴 e
espera que a coluna de mercúrio atinja um valor de equilíbrio que, então, é marcada com
um ponto. Repete esse procedimento com o sistema 𝐵. Após marcar esses dois pontos
se faz marcas igualmente espaçadas ao longo do instrumento. A figura abaixo é uma
representação desse termômetro no momento que está registrando a temperatura ambiente
do laboratório, depois de calibrado. Em graus Celsius, qual é essa temperatura?
𝐴 𝐵
252 A escala Fahrenheit é normalmente utilizada nos EUA,mas ela não nos é comumnoBrasil.
De maneira prática, podemos aproximar as contas na conversão de graus Fahrenheit (𝑇F)
para graus Celsius (𝑇C) com equações um pouco diferentes da equação tradicional e linear
de conversão. Determine uma aproximação que garanta um erro menor do que 2 ◦C na
faixa de temperatura de 26 ◦F a 44 ◦F.
A 𝑇C = 𝑇F − 15
B 𝑇C = 𝑇F − 10
C 𝑇C =
𝑇F
3
− 15
D 𝑇C =
𝑇F
3
− 10
99
100 CAPÍTULO 8. TERMOLOGIA
E 𝑇C = 𝑇F − 20
253 Termistores são dispositivos cuja resistência varia com a temperatura. Suas aplicações
envolvem circuitos de segurança em motores, proteção contra a dissipação ineficiente
de calor ou curtos-circuitos entre outras. Esses dispositivos precisam ser calibrados para
determinar valores de temperatura e resistência. Empregando a expressão 𝑅(𝑇) = 𝑅0𝑒𝑏/𝑇 ,
onde 𝑅 é expressa em ohms (Ω), 𝑇 em Kelvin (K), 𝑅0 e 𝑏 são constantes,
(a) qual o menor número de medidas necessárias para calibrar o termistor?
(b) É possível obter 𝑅0 e 𝑏 com essas medidas? Justifique.
254 Um cilindro maciço de alumínio é suspenso por meio de uma cinta de aço flexível presa
nas extremidades em dois pontos situados no mesmo nível, conforme indicado na figura.
Desejamos que o eixo 𝐶 do cilindro não sofra nenhum deslocamento com as contrações
ou expansões térmicas do cilindro e da cinta. O ângulo 𝜃 praticamente não é afetado por
variações de temperatura. Calcule o raio 𝑅 do cilindro, sendo 𝜃 > 2
√
2 rad.
𝐿𝐿 𝑅
𝐶𝜃
255 Uma barra isotrópica, muito fina e uniforme, está apoiada, inicialmente, sobre uma parede
vertical, sem atrito. O solo é horizontal e também não admite aspereza com a barra. O
extremo 𝑂 é fixo e 𝑃 pode mover-se. Por hipótese e sem perda de generalidade, a sua
temperatura inicial é zero. A barra é aquecida, por uma fonte com potência constante, tal
que a taxa de variação de temperatura na unidade de tempo da barra é 𝜆. Qual a velocidade
de 𝑃 para uma temperatura 𝑇? A situação inicial é mostrada na figura.
Dados: a barra tem comprimento inicial igual a 𝑙 e coeficiente de dilatação igual a 𝛼
𝜃
𝑂
𝑃
𝛼, 𝑙
8.2. GASES IDEAIS, 1º E 2º LEIS DA TERMODINÂMICA 101
256 Na figura, temos duas placas quadradas, uma de aço (𝛼1) e outra de alumínio (𝛼2), de
lados 𝑎 e 𝑏, respectivamente, dentro dum quadrado de cobre (𝛼3). Quando esquenta ou
esfria o conjunto, a sua forma não é alterada. Para que isso seja possível, mostre que
𝑎
𝑏
=
√︂
𝛼2 − 𝛼3
𝛼3 − 𝛼1
,
com 𝛼2 > 𝛼3 > 𝛼1.
𝑏
𝑎
𝑏𝑎
Cobre
257 Consideremos um termômetro de mercúrio-em-vidro. Suponhamos que a seção transver-
sal do capilarseja constante, 𝐴0, e que𝑉0 seja o volume do tubo do termômetro a 0 ◦C. Se
o mercúrio for exatamente suficiente para encher o tubo a 0 ◦C, provar que o comprimento
da coluna de mercúrio no capilar, à temperatura 𝑇 , será
ℎ =
(𝛾 − 3𝛼)𝑉0𝑇
𝐴0
.
Ou seja, é proporcional à temperatura; 𝛾 é o coeficiente de dilatação volumétrica do
mercúrio e 𝛼, o coeficiente linear do vidro.
8.2 Gases Ideais, 1º e 2º leis da Termodinâmica
258 Num recipiente isolado termicamente, à temperatura de 800 K, encontram-se 1, 00 mol
de CO2 e 1, 00 mol de H2. Esse sistema é sujeito a uma reação química
CO2 + H2 → CO + H2O + 40, 1 kJ/mol,
e a pressão
Dado: A constante universal dos gases ideais é 𝑅 = 8, 31
J
mol · K
A diminui em 3 vezes.
B diminui em 2 vezes.
C aumenta em 3 vezes.
D aumenta em 2 vezes.
E aumenta em 4 vezes.
259 Um mol de um gás ideal obedece à restrição de processo dada por (𝑝 + 𝑝0) (𝑉 + 𝑉0) = 𝑘 ,
onde 𝑝0 e 𝑉0 são a pressão e o volume do gás em algum estado, e 𝑘 > 0 é uma constante.
Determine a temperatura máxima desse gás.
Dados: 𝑁A é o número de Avogadro e 𝑘B é a constante de Boltzmann
102 CAPÍTULO 8. TERMOLOGIA
260 Um balão está no fundo de um lago de 90 m de profundidade e para trazê-lo à superfície
começa a ser preenchido, por meio de uma bomba, com um hipotético gás ideal, cuja
densidade é menor que a densidade do ar. O volume deste balão se altera de maneira que
a pressão interna do gás seja igual à pressão média externa. Num determinado instante,
quando o seu volume é𝑉0, ele é desconectado da bomba, começa a subir e escapa da água.
Considere que a massa do balão, incluindo a massa do gás, é de 10 kg e que as variações
de temperatura são desprezíveis. Determine o menor volume 𝑉0 que faz com que o balão
não retorne ao lago. Observação: para fins de cálculo, despreze a diferença da pressão
externa entre a base e o topo do balão.
Dados: 𝜌Ar � 1, 23 kg/m3, 𝜌Água = 1, 00×103 kg/m3, 𝑔 = 10m/s2 e 1 atm � 1, 013×105
N/m2
A 0, 75 m3 B 0, 80 m3 C 0, 81 m3 D 0, 90 m3 E 0, 91 m3
261 Uma bolha de gás, inicialmente com pressão interna 𝑝0 e volume 𝑉0, é mantida em
equilíbrio estático dentro de um lago cuja densidade é 𝜌. Num dado instante a bolha é
levemente perturbada e inicia um movimento acelerado. Considerando que a temperatura
da bolha é praticamente constante e que a aceleração da gravidade local é ®𝑔, determine a
energia cinética dela quando ela subir uma pequena altura ℎ.
Dado: (1 + 𝑥)𝑛 � 1 + 𝑛𝑥, se |𝑥 | � 1
A
𝜌2𝑔2𝑉0
2𝑝0
ℎ2
B
𝜌2𝑔2𝑉0
𝑝0
ℎ2
C
2𝜌2𝑔2𝑉0
𝑝0
ℎ2
D
𝜌2𝑔2𝑉0
3𝑝0
ℎ2
E
2𝜌2𝑔2𝑉0
3𝑝0
ℎ2
262 Um contêiner hermético de comprimento 2𝐿, que está girando em torno de uma de suas
extremidades com velocidade angular constante, 𝜔, contém um êmbolo que separa-o em
duas regiões, onde a da mola é evacuada e a outra contém um gás. A mola está no seu
comprimento natural, e tanto o gás como a mola são ideais. O eixo de rotação é vertical.
Quando o sistema tem sua velocidade angular dobrada, a distância do êmbolo ao eixo passa
a ser 3𝐿/2. E se o sistema tiver a sua velocidade triplicada, qual deverá ser a distância
entre o eixo e o êmbolo? Considere que as transformações desse gás são quase-estáticas
e puramente isotérmicas.
𝐿𝐿
𝜔
8.2. GASES IDEAIS, 1º E 2º LEIS DA TERMODINÂMICA 103
A
(
4 −
√
6
)
𝐿
B
(
2
√
2 − 1
)
𝐿
C
(√
6 + 1
)
𝐿
D
(√
6 − 1
)
𝐿
E
(
2
√
6 − 3
)
𝐿
263 Dentro de um tubo vedado de comprimento 2𝑙, no centro, existe uma cortiça em equilíbrio.
Ao aquecer lentamente o mesmo até uma temperatura absoluta 𝑇 , a cortiça se desloca
para esquerda. Se a temperatura alcançada for 2𝑇 , o deslocamento será 𝑙/3. Se a força
de atrito sobre a cortiça não depende da temperatura, qual temperatura 𝑇 ′ o deslocamento
será de 2𝑙/5?
𝑙𝑙
A
25
63
𝑇 B
3
2
𝑇 C
113
50
𝑇 D
31
5
𝑇 E
5
7
𝑇
264 Um cilindro selado com gás ideal tem direção vertical. Um pistão pesado, deslizando
livremente dentro do cilindro, em estado de equilíbrio, divide o volume do cilindro em
duas partes, relacionadas como 1 : 3. As massas de gás abaixo e acima do pistão são as
mesmas. Qual será a proporção do volume se a temperatura absoluta do gás triplicar?
A
√
97 + 4
9
B
√
97 − 5
9
C
√
97 + 5
9
D
√
97 − 2
9
E
√
97 + 2
9
𝑉
3𝑉
265 Para que uma bola seja aprovada pela federação de futebol deve possuir certas caracte-
rísticas. Entre elas está a perda de pressão: iniciando-se com uma pressão de 0, 8 bar ao
nível do mar, é aceitável uma perda máxima de 20% em 72 horas. Suponha que o interior
da bola contenha um gás ideal e que a temperatura seja constante, mas com o volume
variando 3% devido à perda de ar. Que fração máxima de gás pode ser liberada da bola
para que, ainda assim, seja reconhecida pela federação?
A 12% B 15% C 20% D 23% E 33%
266 A figura mostra dois ciclos termodinâmicos em um diagrama 𝑇 × 𝑆. Sabendo que a
temperatura máxima em cada ciclo é 𝑛 > 1 vezes maior que a temperatura mínima,
escreva o rendimento de uma máquina térmica operando com 𝑛 moles de um gás ideal em
cada um dos ciclos. Em qual dos ciclos o rendimento é maior?
104 CAPÍTULO 8. TERMOLOGIA
𝑇
0
𝑆
Fig. I
𝑇
0
𝑆
Fig. II
267 Na figura, um mol de um gás ideal de coeficiente de Poisson igual a 𝛾 realiza o ciclo
𝐴𝐵𝐶𝐴, onde os processos 𝐴𝐵 e 𝐶𝐴 são, respectivamente, isovolumétrico e isobárico. O
trecho 𝐵𝐶 é dividido em 𝑛 > 1 degraus ganhando um formato de uma escada. Calcule a
eficiência 𝜂 da máquina térmica, que opera, segundo o ciclo 𝐴𝐵𝐶𝐴.
𝑝
0
𝑉
𝑝
𝐴
𝑉
𝐶
𝛼𝑉
𝛼𝑝
𝐵
268 Um recipiente isolado termicamente é dividido por um pistão, o qual pode movimentar-
se sem atrito. A parte da esquerda é preenchida com um mol de gás monoatômico; a
parte direita do recipiente encontra-se evacuada. O pistão é conectado a parede da direita
por meio de uma mola, cujo comprimento livre é igual ao tamanho total do recipiente.
Determine a capacidade térmica 𝐶 do sistema, desprezando a capacidade do recipiente, a
do pistão e a da mola. Considere como sendo 𝑅 a constante dos gases ideais.
269 Existe um recipiente cúbico de lado 𝑙 de peso desprezível sobre o plano horizontal que é
dividido em duas partes por um pistão móvel de massa 𝑚. Cada parte tem 1 mol de um
gás ideal a uma temperatura 𝑇 . Qual força vertical deverá agir sobre uma das arestas para
que o pistão não se mova, na sua nova posição de equilíbrio mecânico, e o recipiente faça
um ângulo 𝛼 com o plano?
Dado: a gravidade local é ®𝑔
8.3. CALORIMETRIA E PROPAGAÇÃO DO CALOR 105
𝑚 ®𝑔
270 Um gás é submetido a uma expansão isotérmica reversível num recipiente cilíndrico
munido de um pistão de área 𝐴 e massa 𝑀 . O pistão desloca-se na direção 𝑥 com
velocidade constante 𝑢. Tem-se 𝑢 � 𝑣qm e 𝑀 � 𝑚, onde 𝑣qm é a velocidade quadrática
média das moléculas, cuja massa é 𝑚. Suponha as colisões das moléculas com o pistão
perfeitamente elásticas num referencial que se move com o pistão.
(a) Mostre que, no referencial do laboratório (onde o cilindro está em repouso), as colisões
com o pistão não são perfeitamente elásticas, calculando a perda de energia cinética de
uma molécula que colide com o pistão com componente 𝑥 da velocidade 𝑣𝑥 > 0 (no
resultado, despreze 𝑢 em confronto com 𝑣𝑥).
(b) Some sobre todas as moléculas e mostre que a perda total de energia cinética é igual
ao trabalho realizado na expansão do gás.
8.3 Calorimetria e Propagação do Calor
271 Um satélite de raio 𝑟 viaja ao redor do Sol de raio 𝑅 em uma órbita circular a uma
distância 𝐷 do seu centro (𝑟 � 𝐷). Considerando que o Sol irradia como um corpo negro
a uma temperatura 𝑇0, e que é coberto por um arco 2𝜃 (visto pelo satélite), determine a
temperatura de equilíbrio 𝑇 do satélite.
272 Um cilindro situado horizontalmente, que contém 1 mol de gás a temperatura inicial 𝑇0 e
pressão 𝑝0, está fechado por causa de um êmbolo de área 𝑆. À direita do êmbolo, a pressão
atmosférica é constante e igual a 𝑝0. O gás é aquecido por meio de um resistor. Quando
o êmbolo se movimenta atua sobreele uma força de atrito de módulo fixo 𝐹 devido às
paredes do recipiente. Metade do calor gerado por causa do atrito entre o êmbolo e o
cilindro é absorvido pelo gás. A energia interna do gás é da forma 𝐸int = 𝑐𝑇 , onde 𝑐 é uma
constante e 𝑇 é a sua temperatura absoluta. Como depende a temperatura 𝑇 do sistema
com o calor transmitido 𝑄 pelo resistor?
𝑆𝑝0, 𝑇0
𝑝0 (Atmosfera)
106 CAPÍTULO 8. TERMOLOGIA
273 Certo gás sai adiabaticamente de um recipiente através de um tubo. A temperatura do gás
no recipiente é 𝑇1 e a pressão, 𝑝1. Na saída do tubo a pressão do gás é 𝑝2. Determine
a velocidade do gás na saída do tubo. A massa molecular do gás é 𝑀 e o coeficiente de
Poisson desse gás é 𝛾.
Dado: a constante universal dos gases ideais é 𝑅
A
√√
2𝛾𝑅𝑇1
𝑀 (𝛾 − 1)
[
1 −
(
𝑝2
𝑝1
) (𝛾−1)/𝛾]
B
√√
2𝑅𝑇1
𝑀 (𝛾 − 1)
[
1 −
(
𝑝2
𝑝1
) (𝛾−1)/𝛾]
C
√√
2𝛾𝑅𝑇1
𝑀
[
1 −
(
𝑝2
𝑝1
) (𝛾−1)/𝛾]
D
√√
𝛾𝑅𝑇1
𝑀
[
1 −
(
𝑝2
𝑝1
) (𝛾−1)/𝛾]
E
√√
2𝑅𝑇1
𝛾𝑀
[
1 −
(
𝑝2
𝑝1
) (𝛾−1)/𝛾]
274 Duas placas paralelas, no vácuo, separadas por uma distância, que émuito pequena quando
comparada com as outras dimensões, estão a temperaturas 𝑇1 e 𝑇2 < 𝑇1, respectivamente.
A constante de Boltzmann é 𝜎. A intensidade térmica, quando há 𝑛 placas ideais paralelas
(𝜀 = 1), entre aquelas, será igual a
A
𝜎
(
𝑇41 − 𝑇
4
2
)
𝑛
.
B
𝜎
(
𝑇41 − 𝑇
4
2
)
2𝑛
.
C
𝜎
(
𝑇41 − 𝑇
4
2
)
2𝑛 + 1 .
D
𝜎
(
𝑇41 − 𝑇
4
2
)
2𝑛 − 1 .
E
𝜎
(
𝑇41 − 𝑇
4
2
)
𝑛 + 1 .
275 Determine o fluxo de radiação térmica que se transmite de uma placa paralela a outra, se
as temperaturas delas são 𝑇1 e 𝑇2 < 𝑇1. Os coeficientes de radiação são 𝜀1 e 𝜀2. A área de
cada placa é 𝑆. A distância entre as placas é muito menor que suas dimensões.
Dado: a constante de Stefan-Boltzmann é 𝜎
A
(
𝜀1 + 𝜀2
𝜀1𝜀2
)
𝜎𝑆
(
𝑇41 − 𝑇
4
2
)
B
(𝜀1 − 𝜀2)2
𝜀1 + 𝜀2
𝜎𝑆
(
𝑇41 − 𝑇
4
2
)
C
(𝜀1 + 𝜀2)2
𝜀1𝜀2
𝜎𝑆
(
𝑇41 − 𝑇
4
2
)
D
(𝜀1 − 𝜀2)3
𝜀1𝜀2
𝜎𝑆
(
𝑇41 − 𝑇
4
2
)
E
(
𝜀1𝜀2
𝜀1 + 𝜀2 − 𝜀1𝜀2
)
𝜎𝑆
(
𝑇41 − 𝑇
4
2
)
276 Em tempos de economia de energia elétrica, um estudante tem a seguinte idéia para
esquentar a água de seu banho. A caixa d’água de sua casa tem forma cúbica, com
volume de 1 m3, e encontra-se cheia de água. O estudante imagina então soltar do
repouso, a partir da superfície da água, esferas de massa 1 kg cada. A energia dissipada
devido à viscosidade da água e à colisão das esferas com o fundo da caixa d’água pode,
em princípio, elevar a temperatura da água. Suponha que toda a energia dissipada seja
8.3. CALORIMETRIA E PROPAGAÇÃO DO CALOR 107
transferida para a água na forma de calor e que não haja perdas térmicas nesse processo.
Considere ainda as esferas puntiformes e despreze o calor absorvido por elas.
Dados: densidade da água é 1 g/cm3, calor específico da água é 1 cal/(g◦C) e a gravidade
local é 10 m/s2
(a) Calcule quantas esferas o estudante deverá soltar a fim de elevar em 1 ◦C a temperatura
da água.
(b) Se o estudante soltar as esferas à taxa de uma esfera por segundo, calcule a ordem de
grandeza do número de horas que levará nesse processo.
277 Um gás ideal monoatômico está preso em um cilindro fechado em sua extremidade direita.
O cilindro é dividido em duas partes por uma divisória condutora de calor fixa e um pistão
que fica à esquerda da divisória fixa. O pistão e as paredes do cilindro não podem conduzir
calor. As massas do gás nas partes esquerda e direita são 𝑚1 e 𝑚2. Uma força ®𝐹 aplicada
no pistão é aumentada lentamente, a partir de algum valor inicial. Qual é o calor específico
molar do gás na parte esquerda durante este processo?
Dado: 𝑅 é a constante universal dos gases ideais
®𝐹
A
3𝑚1𝑅
2𝑚2
B −3𝑚1𝑅
2𝑚2
C
3𝑚2𝑅
2𝑚1
D −3𝑚2𝑅
2𝑚1
E
2𝑚1𝑅
𝑚2
108 CAPÍTULO 8. TERMOLOGIA
Capítulo 9
Ondulatória
9.1 Ondas Transversais e Longitudinais
278 Os ramos da corda se movem em sentido transversal de maneira que a região de flexão
é deslocada para a direita a uma velocidade 𝑣 sem mudar sua inclinação. Como se
relacionam a deformação 𝜖 na zona de flexão e a velocidade 𝑢 das partículas da corda?
𝑦
0
𝑥
®𝑣
279 (a) Explique por que aumenta o impulso do ramo destacado da corda. Determine a
taxa temporal de variação do impulso mediante a massa por unidade de comprimento da
corda 𝜇; a deformação na região de flexão é −𝑏/𝐿 = 𝜖 (0 < 𝜖 � 1) e a velocidade de
deslocamento da zona de flexão é 𝑣.
𝑦
0
𝑥
®𝑣
𝑏
𝐿
𝑇
𝑇
(b) Qual será a soma das forças que agem sobre o ramo em destaque se a tensão da corda
é 𝑇? A taxa temporal da variação do impulso é igual a esta soma de forças. Expresse 𝑣
em função de 𝑇 e 𝜇.
109
110 CAPÍTULO 9. ONDULATÓRIA
280 Nas extremidades de uma corda são aplicadas forças longitudinais 𝑇 . Durante o deslo-
camento transversal dos ramos da corda apareceu o perfil mostrado na figura. De que
maneira 𝐹 dependerá da flexão 𝜖 = Δ𝑦/Δ𝑥 dessa corda? Quais forças transversais devem
manter aquele perfil em equilíbrio?
𝑦
0
𝑥
1
2
3
𝑏
𝐿 𝑙
𝑇
𝑇
281 Determine a velocidade das ondas na água com baixas profundidades. Assim são deno-
minadas, em geral, as perturbações do nível d’água, cuja extensão é muito maior que a
profundidade da água ℎ. A mudança do nível por causa dessa perturbação é pequena em
comparação com ℎ.
Dado: a gravidade local é ®𝑔
𝑣
ℎ ®𝑔
A
√︁
5𝑔ℎ
B
√︁
4𝑔ℎ
C
√︁
3𝑔ℎ
D
√︁
2𝑔ℎ
E
√︁
𝑔ℎ
282 Uma onda senoidal longitudinal de frequência 𝜔 percorre uma cadeia de bolas de massa
𝑚, unidas por meio de molas de comprimento natural 𝑙 e constante elástica 𝑘 = 𝑚𝜔20.
Na figura, os deslocamentos das bolas são traçados pela vertical em escala aumentada.
A amplitude dos deslocamentos é muito menor diante de 𝑙. Determine a velocidade
de propagação dessa onda. No limite de baixas frequências (𝜔 � 𝜔0), obtenha essa
velocidade.
𝑙
𝑣
𝐴
9.2. ONDAS SONORAS E INTENSIDADE 111
283 Uma placa 𝐿 × 𝐿 vibra harmonicamente na sua direção transversal com frequência 𝜔 �
𝑣s/𝐿, onde 𝑣s é a velocidade do som no ar. Calcule a força, em módulo, que exerce sobre
a placa por causa do ar no instante em que a sua velocidade é 𝑣. A densidade do ar é 𝜌.
Que tipo de movimento o ar deverá apresentar quando 𝜔 � 𝑣s/𝐿? Por que nesse caso a
emissão do som é mais fraca?
𝐿
𝐿
𝑣
284 Um anel é formado por dois semianéis de materiais diferentes por meio de soldas. O raio
comum é 𝑅. Em um dos pontos de solda, golpea-se o anel. Depois de quanto tempo as
ondas sonoras se encontrarão? A média harmônica das velocidades do som nesses meios
é 𝑣.
A
2𝜋𝑅
𝑣
B
𝜋𝑅
𝑣
C
𝜋𝑅
2𝑣 D
2𝑅
𝑣
E
𝑅
𝑣
9.2 Ondas Sonoras e Intensidade
285 Uma onda de choque é uma região de alta pressão acústica que se propaga na velocidade
do som. Suponha que a pressão em uma dessas ondas de choque seja 2𝑝atm (figura I). Esta
onda de choque está viajando horizontalmente na direção-𝑥 e atinge uma pequena cunha
(figura II). A cunha tem massa 𝑚 e volume 𝑉 e está sobre uma superfície horizontal lisa.
Determine a magnitude da velocidade adquirida pela cunha imediatamente após a onda
de choque passar por ela. A velocidade adquirida pela cunha deve ser assumida como
sendo muito menor do que a velocidade da onda.
Dado: a pressão atmosférica é 𝑝atm
𝑝
𝑥
𝑝atm
2𝑝atm
𝑣s
Fig. I Fig. II
112 CAPÍTULO 9. ONDULATÓRIA
A
2𝑝atm𝑉
𝑚𝑣s
B
𝑝atm𝑉
𝑚𝑣s
C
6𝑝atm𝑉
𝑚𝑣s
D
3𝑝atm𝑉
𝑚𝑣s
E
𝑝atm𝑉
2𝑚𝑣s
286 Um avião supersônico sobrevoa com velocidade ®𝑣 sempre com altura fixa sobre um solo
plano e horizontal. Após um tempo 𝜏, um dado observador estacionário sobre o solo ouve
o som das suas turbinas. Sendo 𝑣s a velocidade do som no ar parado, determine a altura
do avião.
287 Considere um tubo fechado (𝑥 = 0) de comprimento 𝑙 que tem o eixo-𝑥 como sendo o seu
eixo de simetria. A densidade do ar é 𝜌 e a velocidade do som é 𝑣s. O tubo ressoa em seu
𝑛-ésimo harmônico (𝑛 = 1, 2, 3, ...) com amplitude 𝐴, e a extremidade em 𝑥 = 0 é fechada
e a outra, em 𝑥 = 𝑙,não. Qual será a expressão da variação de pressão a uma distância 𝑥
da extremidade fechada, que está na origem do eixo dos 𝑥?
𝑥
𝑂 (𝑥, 0)
𝑃
𝑙
A
𝜋𝐴𝜌𝑣2s
𝑙
(
𝑛 + 1
2
)
cos
[(
𝑛 + 1
2
)
𝜋𝑥
𝑙
]
B
𝜋𝐴𝜌𝑣2s
𝑙
(
𝑛 − 1
2
)
cos
[(
1 − 1
2
)
𝜋𝑥
𝑙
]
C
𝜋𝐴𝜌𝑣2s
𝑙
𝑛 cos
(𝑛𝜋𝑥
𝑙
)
D
𝜋𝐴𝜌𝑣2s
𝑙
(
𝑛 + 1
2
)
sen
[(
𝑛 + 1
2
)
𝜋𝑥
𝑙
]
E
𝜋𝐴𝜌𝑣2s
𝑙
(
𝑛 − 1
2
)
sen
[(
𝑛 − 1
2
)
𝜋𝑥
𝑙
]
288 Uma fonte pontual 𝑆, que produz ondas esféricas, é colocada em um segmento de reta 𝑃𝑄.
As oscilações das partículas do meio em 𝑃 e𝑄 têm amplitudes 𝐴𝑃 e 𝐴𝑄 , respectivamente.
Para um ponto fixo 𝑂, os raios vetores de posição de 𝑃, 𝑄 e 𝑆 são, respectivamente, ®𝑟𝑃,
®𝑟𝑄 e ®𝑟. Mostre que
®𝑟 =
𝐴𝑃®𝑟𝑃 + 𝐴𝑄®𝑟𝑄
𝐴𝑃 + 𝐴𝑄
.
289 Paredes, piso e teto de um grande salão são cobertos com um revestimento de absorção de
som perfeito. Uma poderosa fonte pontual que pode emitir ondas sonoras de frequência
2, 0 kHz isotropicamente em todas as direções está instalada a uma altura de 5, 0 cm acima
do piso. A velocidade das ondas sonoras no ar é de 340 m/s. Ummicrofone pequeno, mas
muito sensível, é instalado a uma distância horizontal de 4, 0 m da fonte e a uma altura
de 3 m acima do piso. O microfone está conectado a um voltímetro muito sensível, cuja
9.2. ONDAS SONORAS E INTENSIDADE 113
leitura é proporcional à amplitude das ondas sonoras recebidas pelo microfone. Quando
a fonte de som é ligada, o voltímetro lê 0, 10 V.
(a) Se o revestimento absorvente de som do piso for completamente removido, quanto
será o aumento na leitura da voltagem?
(b) Agora o piso está novamente coberto com algum material absorvente de som de
qualidade inferior que absorve 50% da energia sonora incidente. Nesse caso, quanto
aumentará a voltagem no microfone?
290 Três aviões 𝐴, 𝐵 e 𝐶 estão voando numa linha reta com a mesma velocidade. Outro,
𝐷, está voando em outra linha reta que faz um ângulo agudo com a linha de movimento
de 𝐴, 𝐵 e 𝐶 como mostra a figura. Se os pilotos desses aviões escutam o som de 𝐷,
simultaneamente, o que podemos concluir sobre a velocidade de 𝐷?
𝐷
𝐶
𝐵
𝐴
A É determinável apenas quando 𝐷 está se movendo com a velocidade do som
B É determinável apenas quando 𝐷 está se movendo com velocidade abaixo da velo-
cidade do som
C É determinável apenas quando 𝐷 está se movendo com velocidade acima da veloci-
dade do som
D Os pilotos de 𝐴, 𝐵 e 𝐶 não podem ouvir o som de 𝐷, ao mesmo tempo
E Nada pode ser concluído com essas informações
291 Duas hastes finas de metal estão dispostas na água paralelas uma à outra a uma distância
𝑑. As velocidades 𝑣1 e 𝑣2 do som na água e na haste, respectivamente, não são iguais. Se
uma das hastes é tocada no ponto 𝐴, encontre o menor tempo que o som leva para viajar
do ponto 𝐴 até um ponto 𝐵 na outra haste.
𝑑
𝐴
𝐵
𝑙
114 CAPÍTULO 9. ONDULATÓRIA
292 Dois navios estão ancorados no mar, sendo que a distância entre eles é de 3 km. O fundo
de cada um deles está a 1, 0 km do fundo do mar, que é feito de rocha e considerado plano.
Se uma arma é disparada de um dos navios, qual será o menor tempo para que o tiro seja
ouvido pelo outro navio? As velocidades do som no ar, na água e na rocha (pedra) são,
respectivamente, iguais a 333 m/s, 1, 5 km/s e 4, 5 km/s.
A 1, 75 s B 1, 80 s C 1, 92 s D 2, 05 s E 2, 50 s
9.3 Cordas Vibrantes, Tubos Sonoros e Efeito Doppler
293 Uma corda esticada de comprimento 𝑙 está presa a duas paredes verticais na mesma altura.
A tensão nela é 𝑇 . Em dado instante, ela é deslocada para cima, desde seu ponto médio,
por uma distância ℎ � 𝑙. Depois, é abandonada como mostra a figura. A tensão é
constante durante o movimento vibratório subsequente. Determine a energia mecânica
total da corda.
ℎ
𝑙
294 Uma corda inextensível envolve um cilindro de eixo vertical e àspero. O coeficiente de
atrito entre eles é 𝜇. Um aluno do ITA pendura essa corda no teto do laboratório, depois,
percebe que o tempo de propagação dos pulsos nela é 𝑡. Despreze qualquer deslizamento
na direção da corda. A velocidade de rotação do cilindro é constante e igual a 𝜔. Para
que isso seja possível, assinale a alternativa correta.
A 𝜇 >
8𝜋
𝜔2𝑡2
B 𝜇 >
4𝜋
𝜔2𝑡2
C 𝜇 >
2𝜋
𝜔2𝑡2
D 𝜇 <
1
𝜔2𝑡2
E 𝜇 <
1
2𝜔2𝑡2
295 Um menino 𝐹 está sentado em um balanço e sopra um apito na frequência de 1, 00 kHz.
O balanço está se movendo por um ângulo de 30◦ com a vertical. O menino está a 2, 00
m do ponto de apoio do balanço e uma menina 𝑂 fica na frente do balanço. Determine a
frequência máxima ouvida por ela.
Dados: a gravidade local tem módulo igual a 10, 0 m/s2, a velocidade do som no ar
parado é 330 m/s, sen 30◦ = 0, 500 e cos 30◦ = 0, 866
𝐹
𝑂
®𝑔
9.3. CORDAS VIBRANTES, TUBOS SONOROS E EFEITO DOPPLER 115
296 Uma fonte sonora de frequência 3, 2 kHz percorre um caminho reto 𝑆𝐴 com uma veloci-
dade de 198 m/s. Um observador estacionário 𝑂 está a uma distância de 𝑙 = 250 m desse
trecho. Calcule a frequência aparente percebida por 𝑂 quando a fonte está próxima de 𝑂.
A velocidade do som é 330 m/s.
𝑂
𝑙
𝑆
𝜃
𝑣s
𝐴
A 3, 2 kHz B 4, 0 kHz C 4, 4 kHz D 8, 0 kHz E 8, 8 kHz
297 Considere uma situação mostrada na figura. Uma fonte 𝐹 e um observador 𝑂 movem-se
com as respectivas velocidades 𝑣𝐹 e 𝑣𝑂 contra uma parede móvel, que tem velocidade 𝑢.
A velocidade do som no ar é 𝑣s. O vento é soprado também contra esse obstáculo com
velocidade 𝑤. Sendo 𝜈0 a frequência de 𝐹, determine a frequência e o comprimento de
onda das ondas refletidas e recebidas por 𝑂.
𝐹 𝑂
®𝑣𝐹 ®𝑣𝑂
®𝑢
Ve
nt
o
298 Uma fonte sonora, 𝐹, que está emitindo isotropicamente pulsos sonoros com frequência
𝜈, está inicialmente parada a uma distância muito grande de um observador estacionário,
𝑂. Em dado instante, 𝐹 começa a se mover em direção a 𝑂 com aceleração constante,
cujo módulo vale 𝑎. A nova frequência, 𝜈′, do som percebido por 𝑂, logo após de 𝐹 ter
iniciado seu movimento, será igual a
Dado: a velocidade do som no ar parado é 𝑣s
A 𝜈′ =
𝑣s𝜈
2
2𝑣s𝜈 − 𝑎
.
B 𝜈′ =
2𝑣s𝜈2
2𝑣s𝜈 + 𝑎
.
C 𝜈′ =
2𝑣s𝜈2
3𝑣s𝜈 − 𝑎
.
D 𝜈′ =
2𝑣s𝜈2
2𝑣s𝜈 − 𝑎
.
E 𝜈′ =
𝑣s𝜈
2
2𝑎
.
116 CAPÍTULO 9. ONDULATÓRIA
Capítulo 10
Óptica Geométrica
10.1 Propagação Retilínea da Luz, Leis da Reflexão e da Re-
fração
299 Triângulo de Schwarz: Considere dois espelhos, 𝐸 e 𝐹, dispostos abaixo.
(𝐸) (𝐹)
𝑆
𝐴
𝐵
Uma fonte pontual, 𝑆, emite um raio luminoso. Esse raio deve chegar ao mesmo “ponto de
partida” (ou seja, deverá retornar a 𝑆), após ser emitido. Quando a trajetória tem o menor
perímetro possível, os pontos 𝐴, 𝐵 e 𝑆 serão os pés das alturas do triângulo tracejado.
Prove isso.
300 Um espelho semicilíndrico foi colocado em um amplo feixe de luz paralelo ao plano de
simetria do espelho. Encontre o ângulomáximo entre os raios no feixe refletido do espelho
(o ângulo de divergência).
A 100◦ B 120◦ C 50◦ D 60◦ E 90◦
301 Do lado da base de um cone oco de altura ℎ com um pequeno ângulo no ápice, um pequeno
anel foi cortado e colocado em um feixe de luz paralelo, com a parte larga voltada para o
feixe. A que distância do anel os raios de luz refletidos por ele serão focalizados?
117
118 CAPÍTULO 10. ÓPTICA GEOMÉTRICA
ℎ
A
ℎ
2
B
ℎ
3
C
2ℎ
3
D
ℎ
4
E
ℎ
5
302 Uma fonte puntiforme 𝐹 é colocada dentro de um círculo a uma distância 𝑥 do seu centro.
Um raio sofre duas reflexões antes de retornar a 𝐹. Se 𝑥/2 é a distância entre o centro e
𝐹′, onde o raio cruza o diâmetro do círculo que contém 𝐹, determine o raio desse círculo.
A 𝑥 B 2𝑥 C 3𝑥 D 0, 5𝑥 E 0, 25
303 O índice de refração da atmosfera de um dado planeta para ℎ � 𝑛/𝛼 diminui com a altura
ℎ sobre sua superfície de acordo com a lei 𝑛(ℎ) = 𝑛0−𝛼ℎ. O raio do planeta é 𝑅. Calcule
a que altura sobre a superfície do planeta o laser, emitido, horizontalmente, percorrerá o
planeta, voltando a atingir a posição original de sua emissão.
A
𝑛0 − 𝛼𝑅
𝛼
B
𝑛0 − 𝛼𝑅
2𝛼
C
𝑛0
2𝛼 D
𝑛0 +𝛼𝑅
𝛼
E
𝑛0 + 𝛼𝑅
2𝛼
304 Um círculo de raio 𝑅 está enegrecido em um plano horizontal. Um cone de vidro fica
verticalmente no centro do círculo, apoiando seu vértice em seu centro. O índice de
refração do vidro é 𝑛 > 1, 5. O cone tem ângulo de abertura 2𝛼 = 60◦ e raio da base 𝑅.
O círculo é visto de uma grande distância ao longo do eixo do cone. Qual é o seu raio
aparente?
2𝛼
𝑅 𝑛
10.2. ESTUDO DE ESPELHOS, LÂMINAS E PRISMAS 119
A 0, 75𝑅 B 0, 5𝑅 C 0, 3𝑅 D 0, 2𝑅 E 0, 15𝑅
305 Um cilindro de raio 𝑅 com uma superfície interna espelhada é fixado sobre uma mesa
horizontal e plana, mantendo seu eixo (𝑂) sempre na direção vertical. Dentro dele, há
uma plataforma circular e giratória, com o mesmo eixo do cilindro, onde estão uma fonte
pontual 𝐴 e um receptor 𝐵 na sua periferia, bem próximos um do outro. A frequência de
emissão é 𝜈. A fonte emite dois feixes luminosos e estreitos que são detectados por 𝐵 após
sofrerem duas reflexões: um no sentido horário e outro, em direção a ele. Nesse caso, não
haverá diferença de fase entre os feixes em 𝐵. Quando a plataforma é colocada para girar
em torno do seu eixo (𝑂) com velocidade angular constante 𝜔, haverá uma mudança de
fase entre eles, dada por Δ𝜙. Determine Δ𝜙.
𝐵𝐴
𝑂
𝜔
10.2 Estudo de Espelhos, Lâminas e Prismas
306 Para construir um telescópio astronômico, usou-se um “disco de mercúrio” em rotação,
em torno do seu eixo, com uma velocidade angular suficientemente alta 𝜔. Considerando
que a fabricação do espelho gaussiano ocorreu num ambiente com aceleração da gravidade
uniforme ®𝑔, com boa aproximação, qual será a sua distância focal?
Dados: a gravidade local é ®𝑔 e (1 + 𝑥)𝑛 � 1 + 𝑛𝑥, |𝑥 | � 1
A
𝑔
𝜔2
B
𝑔
2𝜔2
C
𝑔
3𝜔2
D
𝑔
4𝜔2
E
𝑔
5𝜔2
307 Um raio de luz penetra uma gota esférica de água cujo índice de refração é 𝑛 como mostra
a figura.
𝛼
𝜙
𝛿
120 CAPÍTULO 10. ÓPTICA GEOMÉTRICA
(a) Qual é o ângulo de incidência 𝛼 do raio na superfície interna?
(b) Determine a expressão para o ângulo de deflexão 𝛿.
(c) Determine o ângulo 𝜙 que torna essa deflexão mínima.
308 A aberração esférica de um espelho esférico é definida como a diferença entre a distância
focal 𝑓 para um raio próximo do eixo do espelho e a distância focal 𝑓 ′ para um raio
próximo de suas extremidades. Se 𝑟 é o raio de curvatura do espelho e 𝑎, o raio da sua
base, então
A 𝑓 ′ − 𝑓 =
0, 25𝑎2
𝑟
.
B 𝑓 ′ − 𝑓 = −0, 25𝑎
2
𝑟
.
C 𝑓 ′ − 𝑓 =
0, 5𝑎2
𝑟
.
D 𝑓 ′ − 𝑓 = −0, 5𝑎
2
𝑟
.
E 𝑓 ′ − 𝑓 =
𝑎2 + 𝑟2
𝑟
.
309 Sobre a superfície plana de um semicilindro circular de vidro, chegam raios com o mesmo
ângulo de incidência igual a 45◦. Sendo 𝑛 > 1 o índice de refração do vidro, a região,
segundo um ângulo plano 𝛼, que abrangerá todos os raios emergentes é tal que
A 𝛼 = 2 arcsen
(
1
𝑛
)
.
B 𝛼 = 3 arcsen
(
1
𝑛
)
.
C 𝛼 = 2 arcsen
(
2
𝑛
)
.
D 𝛼 = 3 arcsen
(
2
𝑛
)
.
E 𝛼 = arcsen
(
2
𝑛
)
.
310 Um disco circular é deitado horizontalmente dentro de uma vasilha metálica de raio igual
a 6, 0 cm. Logo, acima da borda do recipiente, é possível ver apenas a periferia do
disco. Quando é despejado um líquido de índice de refração igual a
√
2 sobre o mesmo,
até preencher a vasilha por completo, o disco passa a ser visto inteiramente pela mesma
posição. Desse jeito, determine o raio do disco.
A 1, 0 cm B 2, 0 cm C 2, 5 cm D 4, 0 cm E 5, 0 cm
311 Um feixe luminoso cilíndrico e estreito de raio 𝑅 incide perpendicularmente numa placa
de vidro plano-paralela, de espessura 𝐻, tal que, seu eixo se confunde com o do feixe. O
índice de refração do material da placa muda com
𝑛(𝑟) =
(
1 − 𝑟
2
𝑟20
)
𝑛0,
onde 𝑛0 e 𝑟0 são constantes positivas, ou seja, tem dependência radial desde o eixo.
Determine a abertura angular da convergência dos raios.
10.2. ESTUDO DE ESPELHOS, LÂMINAS E PRISMAS 121
𝑅
𝑅
A
𝑛0𝐻𝑅
𝑟20
B
2𝑛0𝐻𝑅
𝑟20
C
4𝑛0𝐻𝑅
𝑟20
D
(ln 2) 𝑛0𝐻𝑅
𝑟20
E
(ln 3) 𝑛0𝑅𝐻
𝑟20
312 Em dias quentes é comum que o asfalto seco pareça molhado, em função da reflexão
da luz que nosso cérebro instintivamente associa à presença de água. Na verdade, a
reflexão é provocada pelo aquecimento da camada de ar próxima ao asfalto que atinge
altas temperaturas devido à radiação térmica solar. A luz que se propaga em direção ao
asfalto sofre reflexão interna total ao atingir o ar quente, onde a velocidade de propagação
é maior. Os olhos do motorista estão 1, 00 m acima da fronteira na qual ocorre à reflexão
da luz, e a miragem parece começar a 10, 00 m de distância. Determine o índice de
refração do ar quente próximo ao asfalto.
Dado: Índice de refração do ar frio é 1, 010
A 1, 000
B 1, 002
C 1, 004
D 1, 005
E 1, 010
313 Dois espelhos côncavos com o mesmo raio de curvatura 𝑅 estão sobre um suporte,
rigidamente, de tal maneira que suas superfícies refletoras estão voltadas para os blocos
𝐴 e 𝐵. Todo esse sistema está sobre uma mesa plana, horizontal e lisa.
𝑥𝐴 𝐵
2𝑅 2𝑅
𝑥 = 0
®𝑣
𝐴, 𝐵 e o suporte têm a mesma massa, e em 𝑡 = 0, o suporte equidista de 𝐴 e 𝐵 por 2𝑅.
Nesse instante, a posição do suporte é 𝑥 = 0 e 𝐵 aproxima-se do suporte com velocidade
®𝑣. Considere que todas as colisões são elásticas. Para 𝑡 = 5𝑅/𝑣, qual será a distância entre
as imagens de 𝐴 e 𝐵?
122 CAPÍTULO 10. ÓPTICA GEOMÉTRICA
A
2𝑅
3
B
4𝑅
3
C
5𝑅
3
D 3𝑅
E 4𝑅
10.3 Dispersão da Luz, Lentes Delgadas e Sistemas Ópticos
314 Determine as coordenadas da imagem, em cm, de 𝑂 formada após reflexão do espelho
côncavo ( 𝑓 = 30 cm) como mostra a figura assumindo que o prisma seja fino e pequeno,
com ângulo de abertura igual a 2◦. O índice de refração do prisma é 3/2.
𝑥
𝑂 (0, 0)
𝑦
5 cm 20 cm
A
(
40,
𝜋
2
)
B
(
20,
𝜋
4
)
C
(
350,
𝜋
3
)
D
(
175,
𝜋
6
)
E
(
175,
𝜋
4
)
315 Dois prismas finos, isósceles e idênticos têm ângulo de abertura 𝛼 e índice de refração 𝑛
são colados de tal forma que a menor base seja comum a eles. Esse sistema pode funcionar
brutamente como uma lente convergente. Determine a distância focal dessa “lente". A
altura de incidência é ℎ.
𝛼
𝛼ℎ
ℎ
316 A figura mostra uma chapa de vidro de índice de refração 𝑛, com duas extremidades curvas
(𝐴𝐵𝐶 e 𝐷𝐸𝐹) como mostra a figura. Um objeto puntiforme está a 2𝑅 do vértice de 𝐴𝐵𝐶.
Que condição 𝑛 deverá satisfazer para que essa imagem seja real?
10.3. DISPERSÃO DA LUZ, LENTES DELGADAS E SISTEMAS ÓPTICOS 123
𝑂
𝐵
𝐶
𝐴 𝐹
𝐷
𝐸
𝑅/2
2𝑅 𝑅 3𝑅/2 𝑅/2
𝑅
A 1 < 𝑛 < 2
B 0, 9 < 𝑛 < 2
C 𝑛 > 2, 25
D 𝑛 > 0, 9
E 2 < 𝑛 < 2, 25
317 Uma esfera de vidro de raio 2𝑅 e índice de refração 𝑛 tem uma cavidade esférica de raio
𝑅, concêntrica com ela. Uma mancha negra na superfície interna da esfera oca é vista da
esquerda e da direita. Obtenha o desvio na posição do objeto.
318 Um prisma de vidro (𝑛1) cuja secção transversal é um triângulo isóscele tem sua base
horizontal dentro d‘água (𝑛2). As suas bases inclinadas fazem com a horizontal um ângulo
𝜃 < 𝜋/2. Um raio incidente de luz, acima e paralelo à superfície e perpendicular ao eixo
do prisma, é internamente refletido na face água-vidro e depois emerge para o ar. Para
que isso seja possível, que condição deve satisfazer 𝜃?
𝜃 𝜃
A cos 𝜃 ≤
√︄
𝑛21 − 𝑛
2
2
𝑛21 − 2𝑛2 + 1
B cos 𝜃 ≤
√︄
2𝑛21 − 𝑛
2
2
𝑛21 − 2𝑛2 + 1
C cos 𝜃 ≤
√︄
2𝑛21 + 𝑛
2
2
𝑛21 − 2𝑛2 + 1
D cos 𝜃 ≤
√︄
𝑛21 − 𝑛
2
2
𝑛21 + 2𝑛2 − 1
E cos 𝜃 ≥
√︄
𝑛21 − 𝑛
2
2
𝑛21 + 2𝑛2 − 1
124 CAPÍTULO 10. ÓPTICA GEOMÉTRICA
319 Um biprisma com um ângulo 𝛽 que é próximo de 180◦ é colocado dentro de um recipiente
preenchido com um líquido de índice de refração 𝑛1 (serve como uma das paredes do
recipiente). Calcule o ângulo 𝛿 (desvio) de um biprisma equivalente no ar. O índice de
refração do material desse biprisma é 𝑛2.
𝛽
𝐴
𝐵 𝐺
𝐹𝐷
𝐸
𝐶
(𝑛1)
(𝑛2)
320 O índice de refração do material de um prisma tem valores 𝑛1, 𝑛2 e 𝑛3 respectivamente
para a luz de três diferentes comprimentos de onda. Se 𝛿1, 𝛿2 e 𝛿3 são os respectivos
desviosmínimos para um dado prisma e esses ângulos estão em progressão aritmética,
mostre que
𝑛1 + 𝑛3
𝑛2
=
sen
(
𝛿1
2
)
+ sen
(
𝛿3
2
)
sen
(
𝛿2
2
) .
Capítulo 11
Ótica Física
11.1 Ondas Luminosas e Interferência (Experiência de Young)
321 No experimento de fenda dupla de Young, dois filmes finos são colocados na frente de
duas fendas, separadas por 𝑑, e o feixe paralelo de luz coerente incide em um ângulo 𝜃
com a normal ao plano da fenda, como mostrado na figura. Determine a coordenada 𝑦 do
máximo central 𝑃.
Dados: os índices de refração dos obstáculos são 𝑛1 e 𝑛2; as espessuras dos obstáculos
são 𝑡1 e 𝑡2; e a distância entre o eixo-𝑦 e o conjunto de fendas é 𝐷
A 𝑦 =
𝐷
𝑑
[(𝑛1 − 1)𝑡1 + (𝑛2 − 1)𝑡2 + 𝑑 sen 𝜃]
B 𝑦 =
𝐷
𝑑
[(𝑛1 − 1)𝑡1 − (𝑛2 − 1)𝑡2 + 𝑑 sen 𝜃]
C 𝑦 =
𝐷
𝑑
[(𝑛1 − 1)𝑡1 + (𝑛2 − 1)𝑡2 + 𝑑 cos 𝜃]
D 𝑦 =
𝐷
𝑑
[(𝑛1 − 1)𝑡1 − (𝑛2 − 1)𝑡2 + 𝑑 cos 𝜃]
E 𝑦 =
𝐷
𝑑
[(𝑛1 − 1)𝑡1 + (𝑛2 − 1)𝑡2 + 𝑑 tg 𝜃]
𝑥
𝑦
(𝑛1)
(𝑛2)
𝐷
𝜃
𝑡1
𝑡2
𝑃
𝑦
0
322 Considere um arranjo de um biprisma e um anteparo como mostra a figura. O ângulo
de refração do biprisma é 𝛼 = 20◦ e o índice de refração do material que o constitui é
𝑛 = 1, 5. O comprimento de onda da luz monocromática emitida de uma fonte pontual 𝐹
é 6 × 10−7 m. Encontre a largura da franja do padrão de interferência obtido na tela do
anteparo.
125
126 CAPÍTULO 11. ÓTICA FÍSICA
𝛼
𝛼
𝐹
100 cm 25 cm
A 0, 52 mm B 0, 26 mm C 0, 40 mm D 0, 20 mm E 0, 10 mm
323 Considere um arranjo de duas fendas e um anteparo. O comprimento de onda da luz usada
é 𝜆. A distância entre 𝑆1 e 𝑆2 é 𝑑 � 𝐷. A distância entre 𝑆3 e 𝑆4 é 𝑏 = 0, 25𝜆𝐷/𝑑.
Determine a razão das intensidades máxima e mínima detectadas na tela.
𝐷 𝐷
𝑑
𝑏
𝑆1
𝑆2
𝑆3
𝑆4
A 32 B 33 C 34 D 35 E 36
324 Duas ondas planas coerentes com o mesmo comprimento de onda 𝜆 atingem um anteparo
cilíndrico. O ângulo entre as direções de propagação das ondas é 𝛼. Próximo de 𝐴,
determine a distância entre as franjas adjacentes, sabendo que é muito pequena diante do
raio do cilindro. O ângulo entre 𝑂𝐴 e a direção horizontal é 𝛽.
11.1. ONDAS LUMINOSAS E INTERFERÊNCIA (EXPERIÊNCIA DE YOUNG) 127
𝑂
𝐴
𝛼
𝛽
A
𝜆
2 sen
𝛼
2
cos
(
𝛽 + 𝛼
2
)
B
𝜆
2 sen
𝛼
2
sen
(
𝛽 + 𝛼
2
)
C
𝜆
2 cos
𝛼
2
sen
(
𝛽 + 𝛼
2
)
D
𝜆
2 cos
𝛼
2
cos
(
𝛽 + 𝛼
2
)
E
𝜆
2 cos
𝛽
2
sen
(
𝛼 + 𝛽
2
)
325 Encontre a espessura de uma película de sabão que fornece interferência construtiva de
segunda ordem da luz vermelha refletida (𝜆 = 0, 7 𝜇m). O índice de refração do filme é
1, 33. Assuma o feixe de luz incidente paralelo que faz um ângulo de 30◦ com a normal.
A 0, 213 𝜇m
B 0, 300 𝜇m
C 0, 355 𝜇m
D 0, 426 𝜇m
E 0, 555 𝜇m
326 Um filme de sabão vertical é visto horizontalmente por uma luz de sódio refletida (𝜆 =
0, 589 𝜇m). A parte de cima do filme é tão fina que parece preta em todas as cores.
Existem cinco franjas brilhantes, tal que, o centro do quinto está na parte inferior. Qual é
a espessura do filme de sabão na parte inferior? O índice de refração da água é 1, 33.
Lu
z
de
N
a Filme de sabão
𝑑
327 Um interferômetro de fenda dupla de Young recebe luz de um objeto estelar que é focali-
zado no plano da figura.
128 CAPÍTULO 11. ÓTICA FÍSICA
𝑥
𝑓
𝑑 0
(a) Determinar o padrão de interferência em função de 𝑥.
(b) Se o interferômetro estiver apontado para um objeto estelar subtendendo, na Terra, um
ângulo maior que 𝜃mín, o padrão desaparece. Determine 𝜃mín.
11.2 Difração e Polarização da Luz
328 Um estudante gira o plano de polarização de um feixe de luz polarizada em 45◦, de tal
maneira que a intensidade seja reduzida em 10%. Quantas lâminas de polarizadores
perfeitos são necessárias para realizar isso?
A 2 B 4 C 6 D 8 E NDA
329 Um feixe de luz é uma mistura de luz plano-polarizada com luz não-polarizada. Quando
esse feixe atravessa uma lâmina do polaróide, incidindo perpendicularmente à lâmina,
verifica-se que a intensidade do feixe transmitido varia, desde um valor mínimo 𝐼mín até
um valor máximo 𝐼máx = 5𝐼mín, à medida que giramos o polaróide em torno da direção do
feixe transmitido. Determinar a intensidade relativa 𝐼p/𝐼n dessas duas componentes do
feixe incidente sendo 𝐼p a intensidade da componente plano-polarizada e 𝐼n a intensidade
da componente não-polarizada.
A 1 B 2 C 0, 5 D 0, 25 E 0, 125
330 Duas placas de polaróide estão “cruzadas”, isto é, com as respectivas direções caracterís-
ticas formando entre si um ângulo de 90◦. Seja 𝐼1 a intensidade do feixe plano-polarizado
que emerge do primeiro e incide sobre o segundo polarizador. Insere-se uma terceira
lâmina de polaróide entre as duas outras. Se o ângulo entre cada direção característica
dos dois polarizadores iniciais e a direção característica do terceiro polarizador for igual
a 45◦, qual será a intensidade 𝐼 do feixe transmitido?
11.2. DIFRAÇÃO E POLARIZAÇÃO DA LUZ 129
A
𝐼1
4
B
𝐼1
2 C
5
6
𝐼1 D
7
9
𝐼1 E
2
3
𝐼1
331 Luz parcialmente polarizada (uma mistura de feixes não polarizados e de feixes plano-
polarizados) pode ser representada por dois feixes plano-polarizados de intensidades
desiguais, 𝐼 ao longo do eixo dos 𝑥 e 𝑖 ao longo do eixo dos 𝑦, e com uma defasagem
aleatória. O grau de polarização é definido por
𝑝 =
𝐼 − 𝑖
𝐼 + 𝑖 .
(a) Supor que um feixe de luz parcialmente polarizada atravessa uma placa polaróide
com a sua direção característica fazendo um ângulo 𝜃 com o eixo dos 𝑥. Mostrar que a
intensidade, 𝐼t, é
𝐼t = 𝐼
(
1 + 𝑝 cos 2𝜃
1 + 𝑝
)
.
(b) Esta expressão reduz-se a valores esperados para 𝑝 = 1 e 𝑝 = 0?
332 Deduzir a seguinte distribuição de intensidades, relativa a uma “rede” de três fendas:
𝐼𝜃 =
𝐼máx
9
(
1 + 4 cos 𝜙 + 4 cos2 𝜙
)
,
onde 𝜙 = 2𝜋𝑑 sen 𝜃/𝜆. Considere que 𝑎 � 𝜆 (𝑎 é o tamanho do buraco) e 𝑑 é a distância
entre as fendas.
333 Suponha que os limites do espectro visível sejam arbitrariamente escolhidos como 430
nm e 680 nm. Calcule o número de domínios por milímetro de uma grade que irá espalhar
o espectro de primeira ordem através de um ângulo de 20◦.
Dados: sen 20◦ � 0, 342 e cos 20◦ � 0, 940
A 1, 1 × 103 B 2, 2 × 103 C 4, 5 × 104 D 9, 0 × 104 E NDA
334 Uma câmera com um buraco 𝑂 (na ordem dimensional de um alfinete) consiste em uma
caixa na qual uma imagem é formada no plano do filme que está a uma distância 𝑃 de O,
que tem diâmetro 𝑑. O objeto está a uma distância 𝐿 desse buraco, e a luz de comprimento
de onda 𝜆 é usada.
𝑂
𝐿
𝑃
𝑑
(a) Aproximadamente qual diâmetro 𝑑 dará a melhor resolução de imagem?
(b) Usando o buraco da parte (a), aproximadamente qual é a distância mínima 𝐷 entre
dois pontos no objeto que pode ser resolvido na imagem?
130 CAPÍTULO 11. ÓTICA FÍSICA
335 Uma câmera fotográfica pode ser imaginada como uma caixa cúbica de lado 𝑙, onde
existe um pequeno orifício no centro de uma de suas faces. Qual será o tamanho ideal
desse buraco 𝑑 � 𝜆 para que uma foto seja nitidamente tirada por ela? Considere que o
comprimento de onda da luz monocromática que chega ao buraco seja 𝜆.
A
√
2𝜆𝑙 B 2
√
𝜆𝑙 C
√︁
𝜆𝑙/2 D
√
𝜆𝑙 E NDA
336 Duas estrelas têmuma separação angular de 10−6 rad. Ambas emitem luz de comprimentos
de onda iguais a 5.770 e 5.790 Å. Quão grande é o diâmetro da lente do telescópio para
separar as imagens das duas estrelas? Quão grande uma grade de difração (quantas ordens)
é(são) necessária(s) para separar os dois comprimentos de onda presentes?
A 20, 0 cm; 150
B 50, 0 cm; 300
C 70, 6 cm; 129
D 70, 6 cm; 96
E 70, 6 cm; 289
337 Um campo sonoro é criado por um arranjo de fontes de linha idênticas agrupadas em duas
matrizes idênticas de 𝑁 fontes cada como mostrado abaixo:
𝑟
𝜃
𝑑
𝑐
Radiador
Radiador
Todos os radiadores estão em um plano perpendicular à página e produzem ondas de
comprimento de onda 𝜆. Assumindo 𝑟 � 𝑑, 𝑐, 𝜆, (a) determine a intensidade do som
produzido como função da intensidade máxima 𝐼máx, 𝜆, 𝜃, 𝑁 , 𝑐 e 𝑑 (distância entre os
centros dasordens). (b) Para uma boa aproximação, obtenha um resultado para o padrão
de interferência produzido por duas fendas de largura 𝑎, cujo centros estão separados por
𝑑.
11.3 Modelos Ondulatório e Corpuscular da Luz
338 Assinale a opção que consta o fenômeno que pode ser explicado pela teoria corpuscular
da luz.
11.3. MODELOS ONDULATÓRIO E CORPUSCULAR DA LUZ 131
A Refração
B Interferência
C Difração
D Polarização
E NDA
339 De acordo com a teoria corpuscular da luz, as diferentes cores são devido a
A diferentes ondas eletromagnéticas.
B diferentes forças de atração entre os corpúsculos.
C diferentes tamanhos dos corpúsculos.
D diferentes frequências de oscilação dos corpúsculos.
E NDA.
340 Se 𝑙 é o comprimento de coerência e 𝑐 a velocidade da luz, determine o tempo coerente
associado.
341 A teoria ondulatória da luz proposta por Huygens não pode explicar o fenômeno de
A interferência.
B difração.
C efeito fotoelétrico.
D polarização.
E NDA.
132 CAPÍTULO 11. ÓTICA FÍSICA
Capítulo 12
Eletrostática
12.1 Cargas Elétricas e Processos de Eletrização
342 A carga nuclear (𝑍𝑒) não é uniformemente distribuída dentro de um núcleo de raio 𝑅.
A densidade de carga 𝜌(𝑟) (carga por unidade de volume) depende somente da distância
radial 𝑟 a partir do centro do núcleo como mostra a figura. Para 𝑟0 = 0, o valor de 𝜌0
(maior valor de 𝜌) é igual a
Dados:
∑𝑁
𝑗=1 𝑗
2 = 𝑁 (𝑁 + 1) (2𝑁 + 1)/6 e ∑𝑁
𝑗=1 𝑗
3 = 𝑁2(𝑁 + 1)2/4
A
𝑍𝑒
4𝜋𝑅3
.
B
3𝑍𝑒
𝜋𝑅3
.
C
4𝑍𝑒
3𝜋𝑅3
.
D
𝑍𝑒
3𝜋𝑅3
.
E
𝑍𝑒
𝜋𝑅3
.
𝑟
0
𝜌
𝜌0
𝑅𝑟0
343 Um disco circular de 10 cm de raio contém uma carga elétrica total de 10−5 C. A densidade
de carga superficial 𝜎 é diretamente proporcional à distância desde o centro do disco. Para
uma distância de 5 cm, qual será o valor da carga?
Dado:
∑𝑁
𝑗=1 𝑗
2 = 𝑁 (𝑁 + 1) (2𝑁 + 1)/6
A 1 𝜇C B 1, 25 𝜇C C 1, 5 𝜇C D 2 𝜇C E 2, 25 𝜇C
344 Um estudante do ITA propôs que a densidade de carga elétrica para a nuvem de elétrons
no átomo de hidrogênio deve ser da forma
𝜌(𝑟) = 𝐴
𝑟
𝑓 (𝑟) + 𝐵𝑔(𝑟), onde 𝑔(𝑟) =
{
0, se 𝑟 ≠ 0
∞, se 𝑟 = 0 ,
onde 𝐴 e 𝐵 são constantes não-nulas, e 𝑟 é a distância de um elétron ao núcleo. As funções
𝑓 (𝑟) e 𝑔(𝑟) são desconhecidas. Ele está certo? Se sim, justifique a sua resposta.
133
134 CAPÍTULO 12. ELETROSTÁTICA
345 Considere dois íons 𝐴+𝑥 e 𝐵−2, que serão colocados em contato mútuo, obtendo o íon
𝐶+1, cujo número atômico é 16. Qual o valor de 𝑥? Quantos elétrons terá esse novo íon?
𝐴+𝑥 + 𝐵−2 −→ 𝐶+1
A 𝑥 = 1; 14 elétrons
B 𝑥 = 1; 15 elétrons
C 𝑥 = −1; 14 elétrons
D 𝑥 = −1; 15 elétrons
E 𝑥 = 3; 15 elétrons
346 Considere três esferas metálicas idênticas e isoladas, feitas de uma mesma substância
monoatômica, cujo número e massa atômicos são 𝑍 e 𝑀 , respectivamente. As massas das
esferas são 2𝑚0𝑥, 4𝑚0𝑥 e 24𝑚0/𝑥2, com 𝑥 > 0 (número real). Quais massas elas tornarão
a carga elétrica, após o contato mútuo, o menor valor possível? E determine o valor dessa
carga.
Dados: o número de Avogadro é 𝑁A e a carga elétrica elementar é 𝑒
A 4𝑚0, 8𝑚0 e 6𝑚0;
𝑁A𝑍𝑚0
𝑀
𝑒
B 𝑚0, 4𝑚0 e 24𝑚0;
29𝑁A𝑍𝑚0
𝑀
𝑒
C 4𝑚0, 8𝑚0 e 6𝑚0;
6𝑁A𝑍𝑚0
𝑀
𝑒
D 6𝑚0, 12𝑚0 e 24𝑚0/9;
93𝑁A𝑍𝑚0
9𝑀
𝑒
E 6𝑚0, 12𝑚0 e 24𝑚0/9;
62𝑁A𝑍𝑚0
9𝑀
𝑒
347 Três cascas esféricas metálicas e concêntricas têm raios 𝑅, 2𝑅 e 3𝑅 e cargas elétricas
iguais a 𝑄1, 𝑄2 e 𝑄3, respectivamente. Se a distribuição de carga elétrica superficial é
praticamente igual para elas, determine a proporção 𝑄1 : 𝑄2 : 𝑄3.
A 1 : 2 : 3 B 1 : 3 : 5 C 1 : 4 : 9 D 1 : 8 : 18 E NDA
12.2 Lei de Coulomb, Campo Elétrico e Potencial Elétrico
348 Uma partícula carregada positivamente de carga 𝑞 e massa 𝑚 é suspensa de um ponto por
uma corda de comprimento 𝑙. No espaço existe um campo elétrico horizontal uniforme 𝐸 .
A partícula é puxada para o lado de modo que a corda se torna vertical e então é projetada
horizontalmente com velocidade 𝑣 tal que a partícula começa a se mover ao longo de um
círculo com a mesma velocidade constante 𝑣. Encontre a velocidade 𝑣. A gravidade local
é vertical e igual a 𝑔.
𝑙
𝑣
®𝑔
®𝐸
12.2. LEI DE COULOMB, CAMPO ELÉTRICO E POTENCIAL ELÉTRICO 135
349 Dois prótons e dois pósitrons, inicialmente, em repouso nos vértices de um quadrado, são
espalhados para o infinito. Sabendo que a razão entre suas massas é 2, 00×103, determine
a razão entre os módulos de suas velocidades quando estão muito afastados entre si.
Dado: a carga elétrica elementar é 𝑒
A 10−2
B 1, 0 × 10−2
C 1, 00 × 10−2
D 8, 67 × 10−3
E 9, 00 · 10−3
𝑝
𝑝
+𝑒
+𝑒
350 Um conjunto de três barras idênticas (1), (2) e (3), muito finas de comprimento 𝑙 e
eletrizadas uniformemente com carga elétrica 𝑞, ocupam algumas arestas de um cubo
imaginário. Qual será o campo elétrico resultante, no centro desse cubo, devido a essas
barras?
Dado: a permissividade elétrica no vácuo é 𝜀0
A
1
4𝜋𝜀0
3𝑞
𝑙2
(para baixo)
B
1
4𝜋𝜀0
6𝑞
𝑙2
(para cima)
C
1
4𝜋𝜀0
6𝑞
𝑙2
(para baixo)
D
1
4𝜋𝜀0
2𝑞
𝑙2
(para cima)
E Zero
(1)
(2)
(3)
351 A estrela VY Canis Majoris, que é a maior do Universo, cabendo bilhões de planetas
terrestres, possui uma carga elétrica total distribuída de forma simetricamente esférica
com raio 𝑟0. Suponha ainda que a sua galáxia possua uma distribuição de carga elétrica
igual a 𝜌(𝑟) = 𝐴/𝑟, onde 𝐴 é uma constante e 𝑟 é a distância entre o centro da estrela a
um ponto da constelação. Determine a carga elétrica dessa estrela se o campo elétrico da
sua galáxia não dependesse de 𝑟 . E qual a magnitude desse campo?
Dado: a permissividade elétrica no vácuo é 𝜀0
352 Suponha que a lei de interação entre duas cargas elétricas 𝑞1 e 𝑞2, separadas por uma distân-
cia 𝑟, no vácuo, seja um pouco diferente da de Coulomb e tenha a forma 𝑘0 |𝑞1 | |𝑞2 | /𝑟2−𝛼,
onde |𝛼 | � 1. Considere uma esfera de raio 𝑅 e carga elétrica 𝑄. Em seu interior,
bem próximo do centro, é colocado um corpúsculo de carga elétrica 𝑞 e massa 𝑚. Essa
partícula oscilará? Se sim, determine a frequência angular desse movimento.
Dado: 𝑘0 é a constante de Coulomb no vácuo
353 Um condutor esférico metálico ôco de raio 𝑅 e massa 𝑚 é colocado dentro de um líquido
136 CAPÍTULO 12. ELETROSTÁTICA
dielétrico de permissividade elétrica 𝜀 > 𝜀0. Quando o condutor é neutro, o seu centro
fica a uma distância 𝑅/3 acima do nível do líquido. Se ele estiver eletrizado com carga
elétrica 𝑞, aquele centro fica no nível do líquido. Determine 𝑚.
Dado: a permissividade elétrica no vácuo é 𝜀0
𝑅
(𝜀)
(𝜀0)
354 Duas cargas elétricas puntiformes, 𝑞 e 𝑄, estão separadas por uma distância 𝑑, uma
da outra. Um dielétrico, com constante dielétrica 𝜅 e espessura 𝑥, é colocado entre as
mesmas. A magnitude da força elétrica entre 𝑞 e 𝑄 será igual a
Dado: a permissividade elétrica no vácuo é 𝜀0
𝑞 𝑄
𝑑
𝑥
A
1
4𝜋𝜀0
|𝑞 | |𝑄 |
𝑑2
B
1
4𝜋𝜀0
|𝑞 | |𝑄 |
(1 − 𝜅)𝑑2
C
1
4𝜋𝜀0
|𝑞 | |𝑄 |
(1 + 𝜅)𝑑2
D
1
4𝜋𝜀0
|𝑞 | |𝑄 |[
𝑑 −
(
1 −
√
𝜅
)
𝑥
]2
E
1
4𝜋𝜀0
|𝑞 | |𝑄 |[
𝑑 −
(
1 +
√
𝜅
)
𝑥
]2
355 Duas cascas esféricas metálicas 𝐴 e 𝐵 (raios 𝑎 e 𝑏, respectivamente), estão ligadas por
um fio de capacitância desprezível (figura I). Inicialmente, elas acusam uma carga total
elétrica𝑄. Em certo instante, 𝐵 é envolvido por condutor esférico𝐶 de raio 𝑏+𝑑 (𝑑 � 𝑏)
aterrado e concêntrico à 𝐵 (figura II). Quais as novas cargas elétricas de 𝐴 e 𝐵, quando o
sistema atinge o equilíbrio?
12.2. LEI DE COULOMB, CAMPO ELÉTRICO E POTENCIAL ELÉTRICO 137
𝑎 𝑏
Fig. I
𝑎 𝑏
𝑑
Fig. II
𝐴
𝐵
𝐴
𝐵
𝐶
A 𝑞𝐴 =
2𝑎𝑑
2𝑎𝑑 + 𝑏2
𝑄; 𝑞𝐵 =
𝑏2
2𝑎𝑑 + 𝑏2
𝑄
B 𝑞𝐴 =
𝑎𝑑
𝑎𝑑 + 𝑏2
𝑄; 𝑞𝐵 =
𝑏2
𝑎𝑑 + 𝑏2
𝑄
C 𝑞𝐴 =
𝑎𝑑
𝑎𝑑 + 2𝑏2
𝑄; 𝑞𝐵 =
2𝑏2
𝑎𝑑 + 2𝑏2
𝑄
D 𝑞𝐴 = 0; 𝑞𝐵 = 𝑄
E 𝑞𝐴 = 𝑄; 𝑞𝐵 = 0
356 A superfície de umcone de geratriz 𝑙, comomostrada na figura, é carregada uniformemente
com carga elétrica 𝑄. Encontre o potencial no vértice do cone.
Dado: a permissividadeelétrica no vácuo é 𝜀0
𝑙
𝑄
357 Considere um cubo, como mostrado na figura I, com carga uniformemente distribuída em
todo o seu volume. A intensidade do campo elétrico e o potencial elétrico, em 𝑃, são
iguais a 𝐸0 e 𝑉0, respectivamente. Uma porção do cubo, que tem a metade da aresta do
138 CAPÍTULO 12. ELETROSTÁTICA
original, é cortada e retirada (ver figura II). Determine a magnitude do campo e o potencial
elétrico, em 𝑃, nessa nova estrutura.
𝑃
Fig. I
𝑃
Fig. II
A
𝐸0
2
;
3
4
𝑉0
B
3
4
𝐸0;
𝑉0
2
C
3
4
𝐸0;
7
8
𝑉0
D
7
8
𝐸0;
7
8
𝑉0
E
𝐸0
8
;
𝑉0
4
358 Uma estrutura rígida em forma de pirâmide reta é feita de hastes condutoras. A base
𝐴𝐵𝐶𝐷 é um quadrado e o vértice 𝑂 está verticalmente acima do centro da base. A
estrutura é eletricamente neutra. Quando ela é colocada em um campo elétrico uniforme
de intensidade 𝐸 apontando do vértice 𝐴 ao 𝐷, sabe-se que as cargas totais induzidas nas
hastes 𝐷𝐶 e 𝑂𝐶 são 𝑞1 e 𝑞2, respectivamente. Agora, ela é rotacionada para fazer com
que o campo elétrico aponte do vértice 𝐴 ao 𝐶. Quais serão as cargas induzidas em cada
haste?
𝐷
𝑂
𝐶
𝐵𝐴
359 Uma pirâmide de base quadrada e altura 𝐻 tem uma distribuição de carga uniforme em
todo seu volume (figura I). O módulo do campo elétrico e o potencial elétrico, em 𝑃, são
𝐸0 e 𝑉0, respectivamente. Uma porção simétrica de altura ℎ, a partir de 𝑃 (vértice) tem
sido removida. Determine a magnitude do campo elétrico e o potencial, naquele ponto,
gerados pelo tronco de pirâmide (figura II).
12.2. LEI DE COULOMB, CAMPO ELÉTRICO E POTENCIAL ELÉTRICO 139
𝑃
𝐻
Fig. I
𝑃
ℎ
Fig. II
360 Um dipolo elétrico de massa 𝑚 e comprimento 𝑙 penetra numa região retangular de
comprimento 2𝐿 com uma velocidade ®𝑣0, onde existe um campo elétrico horizontal, cujo
módulo varia de acordo com a lei
𝐸 (𝑥) = 𝐸0
(
1 − 𝑥2
𝐿2
)
,
tal que, 𝐸0 > 0, −𝐿 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿 e 𝐿 � 𝑙. Quanto tempo esse dipolo permanece nessa
região?
𝑥
𝑥 = −𝐿 𝑥 = 𝐿
𝑙
−𝑞 𝑞
®𝑣0
𝑥 = 0
®𝐸
361 Uma bolinha eletrizada de massa 𝑚 está suspensa por um fio isolante e inextensível de
massa desprezível. De uma distância muito grande desse corpúsculo é trazida, lentamente,
até à posição da bolinha, por meio de um agente, outro corpo também dotado de carga
elétrica. Sendo as cargas desses objetos tendo o mesmo sinal, aquela bolinha sobe uma
altura ℎ. Quanto trabalho foi feito para realizar isso?
Dado: a gravidade local é ®𝑔
A 0, 25𝑚𝑔ℎ
B 0, 5𝑚𝑔ℎ
C 𝑚𝑔ℎ
D 2𝑚𝑔ℎ
E 3𝑚𝑔ℎ
362 Uma grade plana e regular de cargas elétricas de mesma magnitude 𝑞 positivas e negativas
alternadas, é construída colocando as cargas elétricas nos vértices dos quadrados de lado
𝑎. Obtenha a expressão da energia potencial de uma carga elétrica, localizada em 𝐴, em
função de 𝑞, 𝑎 e 𝜀0.
Dado: ln 2 =
∑∞
𝑘=0(−1)𝑘/(𝑘 + 1)
140 CAPÍTULO 12. ELETROSTÁTICA
+ + + +
+ + + +
+ + + +
+ + + +
+ + +
+ + +
+ + +
− − − −
− − − −
− − − −
− − −
− − −
− − −
− − −
𝐴
𝑎
𝑎
363 Gotas de um dado líquido, de densidade 𝜌, eletricamente carregadas caem dentro de um
recipiente condutor, esférico e metálico de raio 𝑅 e com carga elétrica zero, desde uma
altura ℎ > 2𝑅. Os diâmetros das gotas são comparáveis com o do buraco que permite a
passagem das mesmas. Considere que as gotas são pontos materiais. A massa e a carga
elétrica de cada gota valem, respectivamente, 𝑚 e 𝑞. Quantas gotas entrarão ainda nesse
recipiente?
Dados: a gravidade local é ®𝑔 e a permissividade elétrica no vácuo é 𝜀0
𝑅
ℎ®𝑔
364 Ao medir a dependência da intensidade do campo elétrico (𝐸) com o tempo (𝑡) em um
determinado ponto do espaço, foi obtido o gráfico mostrado na figura. O campo elétrico
é criado por duas cargas pontuais idênticas, uma das quais está imóvel e localizada a
uma distância 𝑟 do ponto de observação, e a outra se move a uma velocidade constante.
Encontre a magnitude das cargas, a distância mínima da carga em movimento ao ponto de
observação e a velocidade da carga em movimento.
Dado: a permissividade elétrica no vácuo é 𝜀0
𝐸0
𝑡
𝐸
0 𝑡0 2𝑡0 3𝑡0−𝑡0−2𝑡0−3𝑡0
12.3. CAPACITORES 141
A 2𝜋𝜀0𝑟2𝐸0, 𝑟 e
2𝑟
𝑡0
B 4𝜋𝜀0𝑟2𝐸0, 𝑟 e
𝑟
𝑡0
C 2𝜋𝜀0𝑟2𝐸0, 2𝑟 e
𝑟
𝑡0
D 4𝜋𝜀0𝑟2𝐸0, 2𝑟 e
𝑟
𝑡0
E
√
2𝜋𝜀0𝑥2𝐸0,
𝑟
2
e
3𝑟
𝑡0
12.3 Capacitores
365 Num campo elétrico ®𝐸 , existe um par de placas planas, paralelas e não-condutoras, cujas
cargas elétricas são opostas. Cada uma delas tem área 𝐴, e a distância que as separa é 𝑥,
muito pequena diante de suas dimensões. Na região entre as mesmas, existe um campo
elétrico ®𝐸′, cuja direção e cujo sentido são iguais ao do campo externo. Quanto trabalho
deverá ser gasto para colocar as placas paralelamente ao campo ®𝐸?
Dado: a permissividade elétrica no vácuo é 𝜀0.
A 𝜀0𝑥𝐴𝐸 (𝐸 + 𝐸′)
B 𝜀0𝑥𝐴𝐸 (𝐸 − 𝐸′)
C 𝜀0𝑥𝐴𝐸 (𝐸 + 2𝐸′)
D 𝜀0𝑥𝐴𝐸 (𝐸 − 2𝐸′)
E 𝜀0𝑥𝐴𝐸𝐸
′
366 Considere o sistema formado por condutores 𝐶1 e 𝐶2, finos, com superfícies quadradas
de lado 𝑎, paralelas entre si e separadas por uma distância fixa 𝑑 � 𝑎. 𝐶1 e 𝐶2 estão
conectados por um fio condutor fino, descarregados e isolados eletricamente de qualquer
outro sistema. A partir dessa configuração, insere-se paralelamente a 𝐶1 e 𝐶2, outra
placa quadrada, de espessura desprezível, de mesma área, porém feita de material isolante
elétrico com uma distribuição uniforme de carga 𝜎 = 𝑞/𝑎2. A figura abaixo ilustra a
configuração final obtida, onde 𝑑1 e 𝑑2 são, respectivamente, as distâncias de 𝐶1 e 𝐶2 à
placa isolante 𝑃. A relação entre 𝑑1 e 𝑑2 tal que 𝜎1 = 2𝜎2 será
𝑃
𝑑2
𝑑1
A 2𝑑2 = 𝑑1.
B 2𝑑1 = 𝑑2.
C 𝑑1 = 𝑑2.
D 2𝑑1 = 3𝑑2.
E 3𝑑1 = 2𝑑2.
367 Duas esferas condutoras de raios 𝑎 e 𝑏 estão separadas por uma grande distância 𝑑.
Encontre a capacitância do sistema.
Dado: a permissividade elétrica no vácuo é 𝜀0
142 CAPÍTULO 12. ELETROSTÁTICA
𝑑
𝑎 𝑏
A
4𝜋𝜀0
1
𝑎
+ 1
𝑏
− 2
𝑑
B
4𝜋𝜀0
1
𝑎
+ 1
𝑏
− 1
𝑑
C
4𝜋𝜀0
1
𝑎
+ 1
𝑏
D
4𝜋𝜀0
𝑎
𝑏2
+ 𝑎
𝑏𝑑
E
4𝜋𝜀0
𝑎
𝑏2
− 𝑎
𝑏𝑑
368 Uma esfera condutora neutra de raio 𝑅 é conectada a uma placa de um capacitor de
capacitância igual a𝐶, cuja outra placa é aterrada. O capacitor está a uma grande distância
dela. Duas cargas puntiformes, 𝑞 cada, começam a se aproximar da bola a uma distância
infinita. As duas cargas pontuais movem-se em direções mutuamente perpendiculares.
Calcule a carga do capacitor quando as duas cargas pontuais estão a uma distância 𝑥 e 𝑦
do centro da esfera.
Dado: a permissividade elétrica no vácuo é 𝜀0
𝑥
𝑦
𝑞
𝑞
𝑅
𝐶
A
𝑅𝐶 (𝑥 + 𝑦)
𝑥𝑦 (4𝜋𝜀0𝑅 + 𝐶) 𝑞
B
𝑅𝐶 (𝑥 + 𝑦)
𝑥𝑦 (2𝜋𝜀0𝑅 + 𝐶) 𝑞
C
𝑅𝐶 (𝑥 + 𝑦)2
𝑥2𝑦 (2𝜋𝜀0𝑅 + 𝐶)
𝑞
D
𝑅𝐶 (𝑥 + 𝑦)2
𝑥2𝑦 (2𝜋𝜀0𝑅 + 𝐶)
𝑞
E
𝑅𝐶 (𝑥 − 𝑦)2
𝑥2𝑦 (𝜋𝜀0𝑅 + 𝐶)
𝑞
369 A figura a seguir mostra um capacitor plano de placas quadradas paralelas de lado 𝑙
e separadas por 𝑑 � 𝑙. Em seu interior, há um dielétrico com constante dielétrica
𝜅(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 (𝑎 ≠ 0), que varia linearmente com 𝑥, onde 𝑎 e 𝑏 são constantes positivas.
Determine a capacitância desse sistema.
Dado: a permissividade elétrica no vácuo é 𝜀0
12.3. CAPACITORES 143
𝑙
𝑑
𝑥
A
𝜀0𝑙
2
𝑑
(
2𝑏 − 𝑎𝑙
3
)
B
𝜀0𝑙
2
𝑑
(
𝑏 − 𝑎𝑙
2
) C
𝜀0𝑙
2
𝑑
(
𝑏 + 𝑎𝑙
2
)
D
𝜀0𝑙
2
𝑑
(
𝑎 − 𝑏𝑙
2
) E
𝜀0𝑙
2
𝑑
(
𝑎 + 𝑏𝑙
2
)
370 Na figura, mostra-se um capacitor de placas não-paralelas. As placas do capacitor são
conectadas por uma bateria de fem 𝑉0. Se 𝜎 é a densidade superficial de carga elétrica e
𝐸 , a intensidade do campo elétrico, marque a alternativa correta.
A 𝜎𝐴 > 𝜎𝐵
B 𝐸𝐹 > 𝐸𝐷
C 𝐸𝐹 = 𝐸𝐷
D 𝜎𝐴 = 𝜎𝐵
E 𝜎𝐴 < 𝜎𝐵
𝑉0
𝐴
𝐵
𝐷 𝐹
371 A capacitância equivalente entre os pontos 𝐴 e 𝐵 é
A
5
7
𝐶.
B
7
5
𝐶.
C
7
11
𝐶.
D
12
7
𝐶.
E
𝐶
2
.
𝐵
𝐴
𝐶
𝐶
𝐶
𝐶
𝐶
𝐶
𝐶
𝐶
𝐶
𝐶
𝐶
𝐶
372 Uma esfera condutora 𝑆1 de raio 𝑟 está presa a um cabo isolante. Outra esfera condutora 𝑆2
de raio 𝑅 é montada em um suporte isolante. 𝑆2 é inicialmentedescarregada, e 𝑆1 recebe
uma carga 𝑄, posta em contato com 𝑆2 e removida. 𝑆1 é recarregada de tal forma que a
carga sobre ela é novamente 𝑄 e é novamente colocada em contato com 𝑆2 e removida.
Este procedimento é repetido 𝑛 vezes.
Dado: a constante eletrostática no vácuo de Coulomb é 𝑘0
(a) Determine a energia eletrostática de 𝑆2 após 𝑛 contatos com 𝑆1.
(b) Qual será o valor-limite dessa energia quando 𝑛→ ∞?
373 Um capacitor de placas paralelas formado por duas placas retangulares de comprimento
𝑙 e separadas por uma distância 𝑑 é carregado com uma diferença de potencial 𝑉 e então
desconectado da bateria. Agora as placas do capacitor são mantidas verticalmente e as
144 CAPÍTULO 12. ELETROSTÁTICA
extremidades inferiores das placas são colocadas em contato com a superfície de um
líquido dielétrico de densidade 𝜌 e constante dielétrica 𝜅. Verifica-se que o nível do
líquido sobe dentro das placas como mostrado na figura. A aceleração da gravidade é ®𝑔.
Encontre a altura do nível do líquido dentro das placas do capacitor.
Dados: a gravidade local é ®𝑔 e a permissividade elétrica no vácuo é 𝜀0
𝑑
𝑙
®𝑔
A
√︄
𝑙2
4(𝜅 − 1)2
+ 𝜀0𝑙𝑉
2
𝜌𝑔𝑑2
− 𝑙
(𝜅 − 1)2
B
√︄
𝑙2
4(𝜅 − 1)2
+ 𝜀0𝑙𝑉
2
𝜌𝑔𝑑2
+ 𝑙
(𝜅 − 1)2
C
√︄
𝑙2
4(𝜅 − 1)2
+ 𝜀0𝑙𝑉
2
𝜌𝑔𝑑2
− 𝑙
2(𝜅 − 1)
D
√︄
𝑙2
(𝜅 − 1)2
+ 𝜀0𝑙𝑉
2
𝜌𝑔𝑑2
− 𝑙
𝜅 − 1
E
√︄
𝑙2
(𝜅 − 1)2
+ 𝜀0𝑙𝑉
2
𝜌𝑔𝑑2
+ 𝑙
𝜅 − 1
Capítulo 13
Eletrodinâmica
13.1 Condutores, Isolantes e Corrente Elétrica
374 Um anel de raio 𝑅 possui uma carga elétrica por unidade de comprimento igual a 𝜆.
Se ele começa a girar em torno do eixo de simetria, perpendicular ao seu plano, com
velocidade angular constante 𝜔, determine a intensidade da corrente elétrica que fluirá no
anel durante o seu movimento rotativo.
A 2𝜋𝜆𝑅𝜔
B 𝜋𝜆𝑅𝜔
C 𝜆𝑅𝜔
D 2𝜆𝑅𝜔
E 4𝜆𝑅𝜔
𝑅
𝜔
(𝜆)
375 Uma corrente elétrica constante 𝐼 flui num condutor retilíneo, cuja resistividade aumenta
monotonicamente na direção do fluxo de corrente. Se as resistividades nas seções trans-
versais 𝐴 e 𝐵 são 𝜌𝐴 e 𝜌𝐵, encontre o excesso de carga elétrica acumulada na seção 𝐴𝐵.
Dados: a permissividade elétrica do vácuo é 𝜀0 e a permissividade relativa do material
do condutor é 𝜀r
𝐴 𝐵
𝐼
A 𝜀0(𝜌𝐵 − 𝜌𝐴)𝐼
B 𝜀r𝜀0(𝜌𝐵 − 𝜌𝐴)𝐼
C (𝜀r − 1)𝜀0(𝜌𝐵 − 𝜌𝐴)𝐼
D (𝜀2r − 1)𝜀0(𝜌𝐵 − 𝜌𝐴)𝐼
E Indeterminada
376 No interior de um condutor cuja seção transversal tem área 𝐴 e resistividade 𝜌, estabelece-
se um campo elétrico variável, cuja intensidade dependerá do tempo como 𝐸 = 𝑘𝑡 (𝑘 é
uma constante positiva). Quantos elétrons atravessarão a seção do condutor desde 𝑡 = 0
até 𝑡 = 𝑇?
Dado: a carga elétrica elementar é 𝑒
145
146 CAPÍTULO 13. ELETRODINÂMICA
A
𝑘𝐴𝑇2
2𝑒𝜌
B
𝑘𝐴𝑇2
𝑒𝜌
C
𝑘𝐴𝑇
𝑒𝜌
D
𝑘𝜌𝑇2
𝑒𝐴
E
𝑘𝜌𝑇2
2𝑒𝐴
377 Considere um condutor na forma de um tronco de cone reto. Nas seções 𝐴 e 𝐵, o
que podemos concluir sobre a corrente elétrica 𝐼, a densidade de corrente elétrica 𝐽 e a
velocidade do fluxo de elétrons 𝑣?
𝐴 𝐵
A 𝐼𝐴 < 𝐼𝐵; 𝐽𝐴 = 𝐽𝐵 e 𝑣𝐴 = 𝑣𝐵
B 𝐼𝐴 < 𝐼𝐵; 𝐽𝐴 < 𝐽𝐵 e 𝑣𝐴 = 𝑣𝐵
C 𝐼𝐴 < 𝐼𝐵; 𝐽𝐴 > 𝐽𝐵 e 𝑣𝐴 < 𝑣𝐵
D 𝐼𝐴 < 𝐼𝐵; 𝐽𝐴 < 𝐽𝐵 e 𝑣𝐴 < 𝑣𝐵
E 𝐼𝐴 = 𝐼𝐵; 𝐽𝐴 < 𝐽𝐵 e 𝑣𝐴 < 𝑣𝐵
378 Leia atentamente as seguintes afirmações:
I. A resistividade do semicondutor diminui com o aumento da temperatura.
II. Em um condutor sólido, a taxa de colisões entre elétrons livres e íons aumenta com
o aumento da temperatura.
Marque a(s) afirmação(ões) correta(s) entre as seguintes.
A I é verdadeira e a II, falsa
B I é falsa e a II, verdadeira
C I e II são verdadeiras
D I é verdadeira, e a II justifica o porquê da I
E I e II são falsas
379 Determine a condutividade de um metal, sabendo que o número de elétrons de condução
por unidade de volume é 𝑛e e o tempo entre as colisões sucessivas de um elétron com os
íons da rede cristalina é 𝜏. Após a colisão, qualquer direção do elétron é equiprovável.
Dados: a carga elétrica elementar é 𝑒 e a massa do elétron é 𝑚e
A
2𝑒2𝑛e𝜏
𝑚e
B
𝑒2𝑛e𝜏
𝑚e
13.2. RESISTÊNCIA ELÉTRICA, LEI DE OHM, RESISTIVIDADE E CONDUTIVIDADE 147
C
𝑒2𝑛e𝜏
2𝑚e
D
𝜋𝑒2𝑛e𝜏
𝑚e
E
𝜋2𝑒2𝑛e𝜏
𝑚e
13.2 Resistência Elétrica, Lei de Ohm, Resistividade e Con-
dutividade
380 Considere um conjunto de 𝑁 resistores, cada um com resistência 𝑅. Os resistores estão
conectados sobre um plano, formando um polígono de 𝑁 lados. Qual o valor máximo
para a resistência equivalente?
381 Considere o circuito abaixo, com 𝑛 = 1, 2, 3, ... e a bateria com fem igual a 𝜀. Dertermine
𝐵
𝐴
𝐷
𝐶
𝜀
𝑅 𝑛𝑅 𝑛2𝑅 𝑛3𝑅
𝑅 𝑛𝑅 𝑛2𝑅 𝑛3𝑅
𝑅 𝑛𝑅 𝑛2𝑅 𝑛3𝑅
(a) a resistência equivalente entre 𝐴 e 𝐵, e
(b) a corrente elétrica que passa pelo ramo 𝐶𝐷.
382 Os resistores 𝑅, 2𝑅, 3𝑅, ..., 𝑛𝑅 são conectados em paralelo. Assinale a alternativa correta.
A Se 𝑛 é muito grande, a resistência equivalente é finita e igual a 𝑅
B Se 𝑛 é muito grande, a resistência equivalente é finita e igual a 𝑅/2
C Se 𝑛 é muito grande, a resistência equivalente é finita e igual a 𝑅/4
D Se 𝑛 é muito grande, a resistência equivalente é finita e igual a zero.
E Se 𝑛 é muito grande, a resistência equivalente é infinita.
383 Uma sonda em forma de rede de cobre, que está conectada à Terra, por meio de uma resis-
tência 𝑅, é bombardeada por um feixe de elétrons, perpendicularmente, com velocidade
𝑣, desde o infinito. Qual é a taxa temporal de perda de energia, devido ao choque dos
elétrons, sendo 𝐼 a intensidade da corrente elétrica que passa por 𝑅.
Dados: a massa do elétron é 𝑚 e a carga elementar é 𝑒
148 CAPÍTULO 13. ELETRODINÂMICA
𝑅
384 Um fio condutor uniforme tem a forma de um círculo. O mesmo fio foi usado para fazer
sua diagonal 𝐴𝐵. Uma corrente 𝐼 entra no ponto 𝑃 e sai no ponto diagonalmente oposto
𝑄. 𝐴𝐵 faz um ângulo 𝜃 com a linha 𝑃𝑄. Encontre a corrente (𝑖), através de 𝐴𝐵 em
função de 𝜃 (0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋/2).
𝑃𝑄
𝐵
𝐴
𝜃 𝐼
385 Um pedaço de fio condutor de resistência 𝑅 é cortado em 2𝑛 partes iguais. Metade das
partes é conectada em série para formar um ramo e a outra metade em paralelo para formar
uma malha. Esses conjuntos são então conectados para fornecer a resistência máxima. A
resistência máxima da combinação é
A
𝑅
2
(
1 + 1
𝑛2
)
.
B
𝑅
2
(
𝑛2 + 1
)
.
C
𝑅
2
(
1
𝑛2 + 1
)
.
D 𝑅
(
1
𝑛
+ 𝑛
)
.
E NDA.
386 Um condutor na forma de um cilindro de comprimento 𝑙 e seção transversal de raio 𝑟 está
conectado a uma célula de fem 𝑉 . A resistividade do material do condutor é 𝜌 e não varia
muito com a temperatura. A emissividade da superfície curva do condutor é 𝜖 . Tome
a emissividade das superfícies circulares planas como zero. No estado estacionário, a
temperatura do condutor é 𝑇 quando a temperatura ambiente é 𝑇0. A diferença entre 𝑇 e
𝑇0 é muito menor que a temperatura ambiente.
Dado: a constante de Stefan-Boltzmann é 𝜎. Encontre a temperatura 𝑇 desse condutor
13.3. LEIS DE KIRCHHOFF (WHEATSTONE), GERADORES E RECEPTORES 149
A 𝑇 = 𝑇0 +
𝑉2𝑟
4𝜖𝜎𝜌𝑙2𝑇30
B 𝑇 = 𝑇0 +
𝑉2𝑟
8𝜖𝜎𝜌𝑙2𝑇30
C 𝑇 = 𝑇0 +
𝑉2𝑟
𝜖𝜎𝜌𝑙2𝑇30
D 𝑇 = 𝑇0 +
𝑉2𝑟
3𝜖𝜎𝜌𝑙2𝑇30
E 𝑇 = 𝑇0 +
𝑉2𝑟
5𝜖𝜎𝜌𝑙2𝑇30
13.3 Leis de Kirchhoff (Wheatstone), Geradores e Receptores
387 Na figura abaixo, uma polia é suspensa de um suporte fixo com a ajuda de uma mola. Um
fio resistivo e uniforme de resistência 𝑟 conectado entre os terminais imóveis 𝐴 e 𝐵, passa
sobre a polia. Uma resistência 𝑅 conectada entre os terminais 𝐴 e 𝐵 é também conectada
em paralelo com o fio resistivo. Considere que 𝑟 � 𝑅L � 𝑅. A mola que sustenta a polia
sempre mantém o fio resistivo esticado. A roda da polia e seu eixo são feitos de materiais
condutores para estabelecer contato elétrico do fio resistivo com o terminal 𝐶. Quando o
interruptor é fechado, a roda da polia começa a girar muito gradualmente e para de girar
depois de algum tempo. Com isso, pode-se afirmar corretamente que
𝐵
𝐴 𝐶𝑅𝑅L
𝐷
A A rotação ocorrerá no sentido horário e terminará quando a potência dissipada for a
mesma nas porções do fio.
B A rotação ocorrerá no sentido horário e terminará quando a potência dissipada for
diferente nas porções do fio.
C A rotação ocorrerá no sentido anti-horário e terminará quando a potência dissipada
for a mesma nas porções do fio.
D A rotação ocorrerá no sentido anti-horário e terminará quando a potência dissipada
for diferente nas porções do fio.
E Nenhuma alternativa justifica tais fenômenos descritos no enunciado.
388 Um fio uniforme de resistência 𝑅 é esticado uniformemente 𝑛 vezes e depois cortado
para formar cinco fios idênticos. Esses fios são dispostos na forma de uma ponte de
Wheatstone. A resistência equivalente dessa ponte será
A
𝑛𝑅
5
.
150 CAPÍTULO 13. ELETRODINÂMICA
B
𝑅
5𝑛2
.
C
𝑛2𝑅
5
.
D
𝑛2𝑅
5
.
E NDA.
389 (a) Uma placa fina uniformemente carregada com uma carga 𝑞 move-se entre as placas de
um capacitor com velocidade constante ®𝑣. Determine a corrente no circuito se o capacitor
estiver em curto-circuito e a distância entre as placas for 𝑑.
𝐴 𝑑
𝑞
®𝑣
(b) O resultado mudará se uma partícula puntiforme com carga 𝑞 se mover dentro do
capacitor perpendicularmente às placas com velocidade ®𝑣?
390 Três resistores de resistências elétricas de 1Ω, 8Ω e 3Ω e três capacitores de capacitâncias
elétricas de 5 𝜇F são as arestas de um cubo feito por fios condutores. Se uma bateria ideal
de fem de 12 V é conectada entre 𝐴 e 𝐵, quais serão as cargas elétricas armazenadas pelos
capacitores?
8 Ω
1 Ω
1 Ω
1 Ω
8 Ω3 Ω
8 Ω
3 Ω
3 Ω
5 𝜇F
5 𝜇F
5 𝜇F
𝐵
𝐴
A 20 𝜇C B 40 𝜇C C 60 𝜇C D 80 𝜇C E 120 𝜇C
391 Uma caixa preta contendo um circuito elétrico desconhecido tem três terminais 𝐴, 𝐵 e
𝐶. Três experimentos diferentes foram realizados com a caixa preta conectando uma
bateria, um reostato, um amperímetro ideal e um voltímetro ideal. Medidas feitas nesses
experimentos estão indicadas nos gráficos, que são mostrados juntamente com o circuito
correspondente usado. Sugira o circuito ou circuitos mais simples possíveis na caixa preta
e encontre seus parâmetros.
13.3. LEIS DE KIRCHHOFF (WHEATSTONE), GERADORES E RECEPTORES 151
Experimento I
𝐴
𝑉
𝐶 𝐵
𝐴
𝑉 (V)
𝑖 (A)
0
5
0 1 2 3
Experimento II
𝐴
𝑉
𝐴 𝐶
𝐵
𝑉 (V)
𝑖 (A)0
5
0 1 2 3
Experimento III
𝐴
𝑉
𝐵 𝐴
𝐶
𝑉 (V)
𝑖 (A)0
5
0 1 2 3
392 Cristais únicos de gálio, como muitos outros condutores, têm anisotropia de resistência:
a resistividade do gálio ao longo do eixo principal de simetria de um único cristal (eixo-𝑥)
é máxima e igual a 𝜌𝑥 , e ao longo qualquer outro eixo perpendicular ao eixo de simetria
é mínimo e igual a 𝜌𝑦, ambas constantes. Uma fina placa retangular é cortada desse
cristal de gálio (𝐴𝐵 = 3 cm e 𝐴𝐷 = 3 mm) de modo que seu lado 𝐷𝐶 forme um ângulo
𝛼 = 60◦ com o eixo-𝑥 (ver figura). Se uma diferença de potencial constante 𝑉1 = 100 mV
é gerada entre as faces 𝐴𝐷 e 𝐵𝐶 da placa, então uma corrente fluirá através dela, e em seu
centro, entre os pontos 𝐹 e 𝐺 da seção transversal, verifica-se que existe uma diferença
de potencial 𝑉2 = 6, 14 mV. Determine a proporção 𝜌𝑥/𝜌𝑦.
152 CAPÍTULO 13. ELETRODINÂMICA
𝐷
𝐺
𝐶
𝐵
𝐹
𝐴
𝑥
𝑦
𝛼
𝜌𝑦
𝜌𝑥
A 2, 15 B 2, 50 C 2, 85 D 3, 20 E 5, 70
393 Considere um arranjo de células mostrado na figura. Existem 𝑚 = 1, 2, 3, ... ramos, e em
cada ramo existem 𝑛 = 1, 2, 3, ... células. Suponha que essa combinação de células seja
substituída por uma única bateria de fem 𝐸 e resistência interna 𝑅. Com isso, quais serão
os valores de 𝐸 e 𝑅?
𝜀 𝜀 𝜀
2𝜀 2𝜀 2𝜀
𝑚𝜀 𝑚𝜀 𝑚𝜀
𝑟 2𝑟 𝑛𝑟
𝑟 2𝑟 𝑛𝑟
𝑟 2𝑟 𝑛𝑟
𝐴 𝐵
Capítulo 14
Magnetismo
14.1 Campo Magnético, Ímãs e Bobinas
394 Uma corrente elétrica é conduzida por um condutor cilíndrico muito longo e reto que
possui uma cavidade de mesma natureza geométrica. A distância entre os eixos da
cavidade e do condutor é 𝑑. Com respeito ao campo magnético, em 𝑃, dentro desse
“buraco cilíndrico”, assinale a alternativa correta. Considere que a densidade de corrente
tem a direção do eixo desse condutor (eixo-𝑧, que aponta para fora dessa página) e é
uniforme, com magnitude 𝐽.
Dado: a permeabilidade magnética no vácuo é 𝜇0
𝑥
𝑦
𝑂 𝑂′
𝑃
𝑑
®𝑟
A Não é uniforme, pois ®𝐵 = 𝜇0𝐽𝑟/
√
𝑟2 + 𝑑2 ®𝑟
B Não é uniforme, pois ®𝐵 = 𝜇0𝐽𝑟/
√
𝑟2 − 𝑑2 ®𝑟
C Não é uniforme, pois ®𝐵 = 𝜇0𝐽𝑟/
√
𝑟2 + 𝑑2 ®𝑟
D É uniforme e igual a ®𝐵 = 𝜇0𝐽𝑑 �̂�
E É uniforme e igual a ®𝐵 = 𝜇0𝐽𝑑/2 𝑗
395 Um anel uniformemente carregado de raio 𝑅 gira em torno do seu eixo de simetria com
velocidade constante 𝑣. Calcule a razão entre as intensidades dos campos elétrico e
magnético em 𝑃 no eixo-𝑥 do anel, quando 𝑥 = 𝑅.
153
154 CAPÍTULO 14. MAGNETISMO
𝑥
𝑃
𝑥 = 𝑅
𝑂
𝑣
396 Uma corrente 𝐼 flui ao longo de um fio fino moldado comomostra a figura. O raio da parte
curvada é 𝑅 e está subtendido por um ângulo 𝜋 < 2𝜋 − 2𝜃 < 2𝜋. Determine a magnitude
do campo magnético em 𝑂.
Dado: a permeabilidade magnética no vácuo é 𝜇0
𝑂
2𝜃
397 Um longo fio que conduz uma corrente 𝐼 é dobrado para formar um ângulo 𝜃. Encontre
o módulo do campo magnético em um ponto da bissetriz desse ângulo situado a uma
distância 𝑥 do vértice desse ângulo.
Dado: a permeabilidade magnética no vácuo é 𝜇0
A
𝜇0𝐼
2𝜋𝑥
cos 𝜃
B
𝜇0𝐼
𝜋𝑥
sen 𝜃
C
𝜇0𝐼
2𝜋𝑥
cotg
(
𝜃
4
)
D
𝜇0𝐼
2𝜋𝑥
tg
(
𝜃
4
) E
𝜇0𝐼
2𝜋𝑥
tg
(
𝜃
2
)
398 Um disco circular de raio 𝑅 com densidade de carga elétrica uniforme 𝜎 gira com
velocidade angular 𝜔 em torno do seu eixo de simetria, perpendicular ao seu plano.
Determine a magnitude do campo magnético no seu centro.
Dado: a permeabilidade magnética no vácuo é 𝜇0
A 𝜇0𝜎𝜔𝑅
B 2𝜇0𝜎𝜔𝑅
C
1
2
𝜇0𝜎𝜔𝑅
D
1
3
𝜇0𝜎𝜔𝑅
E
(√
2 − 1
2
)
𝜇0𝜎𝜔𝑅
14.1. CAMPO MAGNÉTICO, ÍMÃS E BOBINAS 155
399 Um capacitor plano consiste de placas paralelas e quadradas de lado 𝑎 separadas por uma
distância 𝑑 � 𝑎. Uma fonte externa de tensão 𝑉 conecta as placas até que o sistema seja
carregado completamente. Depois, o capacitor é colocado emmovimento com velocidade
constante ®𝑣 ao longo de uma de suas arestas. Determine a magnitude do campo magnético
entre as placas.
400 Um condutor reto e longo tem seção transversal uniforme na forma de dois círculos idên-
ticos sobrepostos com espaçamento de centro-a-centro 𝑎. O material da seção sobreposta
foi removido de todo o comprimento do condutor e as porções à direita e à esquerda do
plano 𝑦𝑧 são isoladas umas das outras. Essas porções transportam correntes uniformes
de densidade 𝐽 nas direções positiva e negativa do eixo-𝑧, respectivamente. A permeabi-
lidade de ambos os condutores é a mesma como a do vácuo. Assinale a alternativa que
melhor descreve o campo magnético na região vazia de sobreposição.
Dado: a permeabilidade magnética no vácuo é 𝜇0
𝑥
𝑦
⊗
𝐽
�
𝐽
A É não uniforme e aponta na direção positiva do eixo-𝑦 para qualquer ponto do eixo-𝑦
B É não uniforme e aponta na direção positiva do eixo-𝑦 para qualquer ponto do plano
𝑥𝑦
C É uniforme, com magnitude 𝜇0𝐽𝑎/2 e aponta na direção positiva do eixo-𝑦
D Para qualquer ponto, a direção muda, mas a sua magnitude é fixa e igual a 𝜇0𝐽𝑎/2
E É impossível afirmar algo sobre o campo nessa região por falta de mais informações
401 Uma lâmina feita de um material isolante que contém uma certa quantidade de carga
elétrica é colocada no plano 𝑥𝑦 de um sistema de coordenadas como mostrado na figura.
O potencial eletrostático na origem 𝑂 devido às cargas na lâmina é 𝑉0. Essa lâmina é
posta para girar em torno do eixo-𝑧 com velocidade angular 𝜔. Determine a magnitude
do campo magnético em 𝑂.
156 CAPÍTULO 14. MAGNETISMO
𝑦
𝑧
𝑥
𝑂
402 Uma barra dielétrica cilíndrica cumprida de raio 𝑟 e comprimento 𝑙 (𝑙 � 𝑟) contém uma
carga elétrica distribuída uniformemente em sua superfície (𝜎). Ela é posta para girar
em torno do seu eixo (𝐸) com velocidade angular𝜔. Determine o módulo do campo
magnético no centro da barra.
Dados: as permeabilidades magnéticas no vácuo e no material da barra são, respectiva-
mente, iguais a 𝜇0 e 𝜇r
𝐸𝑟
𝑙
A 2𝜇r𝜇0𝜎𝑟𝜔
B
(
𝜇2r − 1
)
𝜇0𝜎𝑟𝜔
C (𝜇r − 1)𝜇0𝜎𝑟𝜔
D 𝜇r𝜇0𝜎𝑟𝜔
E 𝜇r𝜇0𝜎𝑟𝜔/2
403 A figura mostra a visão superior de um tubo conductor extenso, de paredes finas e de
raio 𝑟, que conduz uma corrente elétrica uniforme 𝐼 para fora dessa página. Determine o
campo magnético no centro do tubo.
�𝐼 𝑟
14.2 Forças Magnéticas sobre Cargas e Interação entre Cor-
rentes
404 No modelo clássico de Böhr do átomo de hidrogênio, as órbitas permitidas para o mo-
vimento do elétron são circulares e concêntricas, em torno do núcleo. Em 1896, Pieter
Zeeman submeteu esse sistema a um campo magnético externo perpendicular ao plano
das órbitas afim de obter mudanças no período de revolução do elétron. Para um dado
nível energético, com raio 𝑟, mediu-se as frequências sem e com campo magnético ®𝐵.
14.2. FORÇAS MAGNÉTICAS SOBRE CARGAS E INTERAÇÃO ENTRE CORRENTES 157
Disso, o erro absoluto encontrado para essa frequência foi de
Dados: a massa do elétron é 𝑚e e a carga elétrica elementar é 𝑒
A
𝐵𝑒
𝜋𝑚e
. B
𝐵𝑒
2𝜋𝑚e
. C
𝐵𝑒
𝑚e
. D
𝐵𝑒
2𝑚e
. E
𝐵𝑒
4𝜋𝑚e
.
405 Uma corrente elétrica uniforme que passa por um anel de massa 𝑚 e raio 𝑅 é conectada
por uma fio de massa desprezível como mostra a figura. Um campo magnético uniforme
®𝐵0 existe na região para manter o anel sempre no plano horizontal. Para isso, o valor da
corrente deve ser igual a
Dado: a gravidade local é ®𝑔
®𝐵0®𝑔
A
𝑚𝑔
𝜋𝑅𝐵0
. B
𝑚𝑔
𝑅𝐵0
. C
𝑚𝑔
3𝜋𝑅𝐵0
. D
𝑚𝑔
𝜋𝑅2𝐵0
. E
𝑚𝑔
𝑅2𝐵0
.
406 O cíclotron foi inventado por Ernest O. Lawrence e M. S. Livingston em Berkeley (Ca-
lifórnia, EUA), em 1932. Consiste em um acelerador de partículas carregadas, as quais
devido à força de Lorentz e a um potencial acelerador, podem adquirir energia suficiente
para atingir um alvo e produzir uma reação nuclear. Basicamente o cíclotron consiste
em duas regiões de campo magnético uniforme ®𝐵 (saindo dessa página) em forma de
letra D entre as quais se estabelece uma diferença de potencial, cuja polaridade se inverte
periodicamente quando a partícula passa de uma região para outra. Despreze quaisquer
movimentos relativísticos dessas partículas. Considerando que a partícula tenha carga
𝑞 > 0 e massa 𝑚, determine a frequência do cíclotron e a energia cinética da partícula ao
sair do mesmo. A tensão vale 𝑉 e o raio do cíclotron é 𝑅.
𝑅
� ®𝐵
� ®𝐵
158 CAPÍTULO 14. MAGNETISMO
A
1
2𝜋
𝑞𝐵
𝑚
; 𝑞𝐵𝑅
√︂
𝑞𝑉
2𝑚
B
1
𝜋
𝑞𝐵
𝑚
; 𝑞𝐵𝑅
√︂
𝑞𝑉
2𝑚
C
1
2𝜋
𝑞𝐵
𝑚
; 𝑞𝐵𝑅
√︂
𝑞𝑉
𝑚
D
1
𝜋
𝑞𝐵
𝑚
; 𝑞𝐵𝑅
√︂
𝑞𝑉
𝑚
E
𝑞𝐵
𝑚
; 𝑞𝐵𝑅
√︂
𝑞𝑉
𝑚
407 Um condutor de comprimento 𝑙 é colocado perpendicularmente a um campo magnético
horizontal uniforme 𝐵. De repente, uma certa quantidade de carga passa por ele, quando
ele salta para uma altura ℎ. A quantidade de carga que passa pelo condutor é
Dado: a gravidade local é ®𝑔
A
√︂
2𝑚2𝑔ℎ
𝐵2𝑙2
.
B
√︂
𝑚2𝑔ℎ
𝐵2𝑙2
.
C
√︂
2𝑚𝐼
𝐵𝑙
+ 2𝑚
2𝑔ℎ
𝐵2𝑙2
.
D
√︂
2𝑚𝐼
𝐵𝑙
− 2𝑚
2𝑔ℎ
𝐵2𝑙2
.
E
√︂
2𝑚𝐼
𝐵𝑙
.
408 Na figura, uma carga 𝑞 que se move com velocidade ao longo do eixo-𝑥 entra em uma
região de campo magnético uniforme 𝐵. O valor mínimo de 𝑣 para que a carga 𝑞 possa
entrar na região 𝑥 > 𝑏 será igual a
A
𝑞𝐵𝑏
𝑚
.
B
𝑞𝐵𝑎
𝑚
.
C
𝑞𝐵(𝑏 − 𝑎)
𝑚
.
D
𝑞𝐵(𝑏 + 𝑎)
2𝑚
.
E
2𝑞𝐵(𝑏 − 𝑎)
𝑚
.
𝑥
𝑦
𝑞, 𝑚
®𝑣
𝑎
𝑏
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
409 Um fio que conduz uma corrente elétrica de 3 A é dobrada na forma de uma parábola
𝑦2 = 4 − 𝑥 como mostra a figura, onde 𝑥 e 𝑦 estão em metros. O condutor está localizado
em um campo magnético uniforme ®𝐵 = 5 T �̂� . A força atuante nele será
0 𝑥
𝑦
·
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14.2. FORÇAS MAGNÉTICAS SOBRE CARGAS E INTERAÇÃO ENTRE CORRENTES 159
A 60 N 𝑖. B −60 N 𝑖. C 30 N 𝑖. D −30 N 𝑖. E NDA
410 Uma partícula de massa 𝑚 tendo uma carga elétrica 𝑞 penetra numa região circular de
raio 𝑅 com velocidade ®𝑣 dirigida ao centro dela. A magnitude do campo magnético é 𝐵.
Determine o desvio no caminho da partícula.
®𝑣
𝑅
⊗®𝐵
411 Uma anel de raio 𝑅 é carregado uniformemente com carga elétrica 𝑄 e montado numa
barra suspendida por duas cordas inextensíveis e sem peso idênticas. A tensão nas cordas
no equilíbrio é 𝑇0. Agora, um campo magnético vertical é ligado e o anel é girado com
velocidade angular constante 𝜔. Encontre o valor máximo de 𝜔 com a qual o anel pode
ser girado se as cordas puderem suportar uma tensão máxima de 3𝑇0/2.
𝜔
𝐷
𝑅
𝐵
412 Uma partícula dotada de massa 𝑚 e carga elétrica 𝑞 > 0, ao colidir perpendicularmente
com uma superfície móvel, plana e lisa Γ, é refletida. A velocidade da parede é ®𝑢 e a
da partícula, antes do primeiro choque, é ®𝑣0. A região que contém esse sistema tem um
campo magnético uniforme ®𝐵 saindo desta página. Se 𝑃𝑛 ∈ Γ (𝑛 > 0) denota a 𝑛-ésima
colisão do corpúsculo com a parede, determine a distância entre 𝑃2𝑛 e 𝑃2𝑛+1.
®𝑢
𝑞, 𝑚
®𝑣0 �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
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�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
®𝐵
A
2𝑚
𝑞𝐵
(𝑣0 + 4𝑛𝑢)
B
𝑚
𝑞𝐵
(𝑣0 + 4𝑛𝑢)
C
2𝑚
𝑞𝐵
(𝑣0 + 𝑛𝑢)
D
𝑚
𝑞𝐵
(𝑣0 + 𝑛𝑢)
E
𝑚
𝑞𝐵
[
𝑣0
2
+
(
𝑛 + 1
2
)
𝑢
]
160 CAPÍTULO 14. MAGNETISMO
413 Uma barra metálica de massa 𝑚 pode girar em torno de um eixo horizontal, que passa por
𝑂, deslizando ao longo de um condutor circular de raio 𝑟. O arranjo está localizado em
um campo magnético uniforme de indução ®𝐵 dirigido perpendicularmente ao plano do
anel. O eixo e o anel estão conectados a uma fonte de fem desconhecida. Isso formará um
circuito cuja resistência elétrica valerá 𝑅. Desprezando o atrito, a indutância do circuito
e a resistência do condutor, determine a fem daquela fonte para que a barra gire com
velocidade angular constante 𝜔.
Dado: a gravidade local é ®𝑔
𝜔𝑡
𝑂
𝑟
⊗ ®𝐵
𝜀
®𝑔
414 Umfio fino e isolado é dobrado até formar uma espiral plana e circular, cujos raios interno e
externo serão 𝑎 e 𝑏 > 𝑎, respectivamente. Se nesse condutor, com 𝑁 voltas bem próximas
entre si, flui uma corrente elétrica 𝐼, determine o módulo do momento magnético dessa
espira.
𝑎
𝑏
415 Em 𝐴, ocorre uma explosão de partículas, com a mesma velocidade 𝑣0, cujo ângulo de
dispersão é pequeno e igual a 𝛿𝛼 � 1. Além disso, há um campo magnético uniforme
®𝐵 saindo perpendicularmente desta página. Determine a distância de 𝐴′ à 𝐴, onde em 𝐴′
haverá o reencontro do feixe. Qual será o comprimento transversal do feixe, em 𝐴′? A
massa e a carga elétrica de cada partícula serão 𝑚 e 𝑞, respectivamente.
𝐴
� ®𝐵
𝛿𝛼
Capítulo 15
Indução Eletromagnética
15.1 Indução Eletromagnética e Lei de Faraday-Lenz
416 Sobre dois trilhos paralelos, condutores, horizontais e infinitos, existem duas barras
idênticas ortogonais a eles, de comprimento 𝑙, em repouso, e livres para se movimentarem
ao longo desses. A distância entre as barras (𝑥) pode variar com o tempo. A resistência
elétrica de cada trilho é muito menor diante da resistência de uma das barras. Num dado
intervalo de tempo curto 𝛿𝑡, um campo magnético vertical uniforme pra cima, ®𝐵, é ligado,
fazendo com que as barras se movam. A distância inicial entre as barras é 𝑥0. Durante a
indução magnética
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
𝑥
A As barras serão atraídas, entre si, e 𝛿𝑥 = −2𝑙.
B As barras serão atraídas, entre si, e 𝛿𝑥 = −𝑥0/2.
C As barras serão atraídas, entre si, e 𝛿𝑥 = −𝑥0/4.
D As barras serão repelidas, entre si, e 𝛿𝑥 = 𝑥0/4.
E As barras serão repelidas, entre si, e 𝛿𝑥 = 0, 25𝑙2/𝑥0.417 Um anel delgado de arame, que tem resistência elétrica 𝑟 e raio 𝑎, encontra-se dentro de
um solenóide longo de comprimento 𝑙 e raio 𝑏 > 𝑎. O anel e o solenóide são axiais. Em
dado instante (𝑡 = 0), o solenóide é conectado a uma fonte de tensão fixa e igual a 𝑉 . A
resistência elétrica total do circuito é 𝑅. Desprezando a indutância do anel, determine a
força por unidade de comprimento máxima sobre o anel, na direção radial.
Dado: a permeabilidade magnética no vácuo é 𝜇0
161
162 CAPÍTULO 15. INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA
𝑉
Anel
418 Uma espira circular de raio 𝑎 e resistência elétrica 𝑅 está suspensa por um fio inextensível
de comprimento 𝑙, preso a um suporte fixo. A região onde esse sistema está imerso possui
um campomagnético uniforme ®𝐵, perpendicular ao plano da espira. Despreze a gravidade
local. Por causa da indução, o pêndulo oscilará com amplitude 𝑥0 e período 𝑇 . O plano
da espira sempre está na direção do fio e não gira em torno dele. Determine a corrente
elétrica induzida máxima na espira.
A
𝐵𝜋2𝑎2𝑥20
𝑅𝑇𝑙2
B
𝐵𝜋2𝑎2𝑥20
2𝑅𝑇𝑙2
C
2𝐵𝜋2𝑎2𝑥20
𝑅𝑇𝑙2
D
𝐵𝜋2𝑎2𝑥20
3𝑅𝑇𝑙2
E
3𝐵𝜋2𝑎2𝑥20
𝑅𝑇𝑙2
419 Um anel condutor circular é colocado para rotacionar com velocidade angular 𝜔 em torno
de 𝐴, como mostra a figura. O raio do anel é 𝑎. Determine (i) a ddp entre 𝐴 e 𝐶 e (ii) a
ddp entre 𝐴 e 𝐷.
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𝐴
𝐷
𝐶
𝐵
𝜔
A (i) 𝐵𝜔𝑎2; (ii) 2𝐵𝜔𝑎2
B (i) 2𝐵𝜔𝑎2; (ii) 𝐵𝜔𝑎2
C (i) 𝐵𝜔𝑎2; (ii) 𝐵𝜔𝑎2
D (i) 2𝐵𝜔𝑎2; (ii) 2𝐵𝜔𝑎2
E NDA
420 Uma espira de fio condutor tem formato de um semicírculo de raio 𝑅 e está localizada na
fronteira de um campo magnético uniforme ®𝐵. Em 𝑡 = 0, a espira é colocada em rotação
com uma aceleração angular constante 𝛼 em torno de um eixo-𝑂 coincidindo com uma
linha do vetor ®𝐵 na borda. Encontre a fem induzida no circuito em função do tempo.
15.2. AUTO-INDUÇÃO E INDUTÂNCIA 163
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𝑂
𝜃
421 Um fio uniforme de resistência por unidade de comprimento 𝜆 é dobrado num formato de
semicírculo de raio 𝑎. Ele gira com velocidade angular constante 𝜔 em um plano vertical
em torno de um eixo horizontal que passa por𝐶. Um campo magnético uniforme ®𝐵 existe
no espaço numa direção perpendicular a esta página, entrando nela.
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𝜃
𝐶
𝑂𝐴 𝐷
𝜔
(a) Calcule a ddp entre 𝐴 e 𝐷. Qual ponto tem maior potencial?
(b) Se 𝐴 e 𝐷 são conectados por um fio de resistência nula, determine a ddp entre 𝐴 e 𝐶?
15.2 Auto-indução e Indutância
422 Uma esfera de raio 𝑅 é ligada à Terra através de um indutor de indutância 𝐿. Um feixe
de elétrons dirige-se em direção à esfera com velocidade 𝑣 � 𝑐 e com uma quantidade
de partículas por unidade de volume 𝑛. Qual o valor máximo da carga elétrica líquida
acumulada na esfera?
Dados: a carga elétrica elementar é 𝑒, a velocidade da luz no vácuo é 𝑐 e a constante de
Coulomb no vácuo é 𝑘0
164 CAPÍTULO 15. INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA
𝑅
A 𝑛𝑒𝑣𝜋𝑅2
√︂
𝑅𝐿
𝑘0
B 𝑛𝑒𝑣𝜋𝑅2
√︂
2𝑅𝐿
𝑘0
C 2𝑛𝑒𝑣𝜋𝑅2
√︂
𝑅𝐿
𝑘0
D 𝑛𝑒𝑣𝑅2
√︂
𝑅𝐿
𝑘0
E 𝑛𝑒𝑣𝑅2
√︂
2𝑅𝐿
𝑘0
423 Um circuito oscilante consiste em um capacitor de capacitância 𝐶 e um indutor de in-
dutância 𝐿1. O indutor é acoplado indutivamente a uma bobina em curto-circuito com
indutância 𝐿2 e resistência desprezível. Sua indutânciamútua é 𝐿12. Encontre a frequência
angular natural do circuito oscilante dado.
𝐶 𝐿1 𝐿2
𝑀
A
√√
𝐿2(
𝐿1𝐿2 − 𝐿212
)
𝐶
B
√√
𝐿1(
𝐿1𝐿2 − 𝐿212
)
𝐶
C
√√
𝐿1 + 𝐿2(
𝐿1𝐿2 − 𝐿212
)
𝐶
D
√√
𝐿1 + 𝐿2(
𝐿1𝐿2 + 𝐿212
)
𝐶
E
√︄
𝐿2[
(𝐿1 + 𝐿2)2 − 𝐿212
]
𝐶
424 Considere o circuito mostrado na figura. Determine a frequência de ressonância do
circuito.
∼
𝑅 𝐿
𝐶
15.3. PROPAGAÇÃO E INTERFERÊNCIA DE ONDAS ELETROMAGNÉTICAS 165
425 Considere o circuito mostrado abaixo. Determine a condição que o detector 𝐷 não detecte
nenhuma corrente.
𝐶2
𝑅3
𝑅1
𝐶1
𝑅2
𝐿
∼
𝐷
426 Duas bobinas de autoindutâncias 𝐿1 e 𝐿2, respectivamente, e indutância mútua 𝐿12 estão
ligadas em série. Mostre que a indutância do sistema é dada por 𝐿 = 𝐿1 + 𝐿2 ± 2𝐿12 e
discuta a origem do duplo sinal no último termo.
427 Uma espira circular de raio 𝑎 tem no seu centro uma outra espira circular de raio 𝑏 � 𝑎.
Os planos das duas espiras formam entre si um ângulo 𝜃. Calcule a indutância mútua
entre elas.
Dado: a permeabilidade magnética no vácuo é 𝜇0
A
𝜇0𝑏
2
𝑎
tg 𝜃
B
𝜇0𝑏
2
𝑎
cos 𝜃
C
𝜋𝜇0𝑏
2
2𝑎
tg 𝜃
D
𝜋𝜇0𝑏
2
2𝑎
cos 𝜃
E
𝜋𝜇0𝑏
2
𝑎
tg 𝜃
428 Se tivermos dois indutores 𝐿1 e 𝐿2 em paralelo, com indutância mútua 𝐿12, qual será a
indutância dessa associação? Agora, eles estão bem afastados um do outro. Mostre que,
em série, a indutância equivalente é igual a 𝐿1 + 𝐿2 e em paralelo, 𝐿1𝐿2/(𝐿1 + 𝐿2).
15.3 Propagação e Interferência de Ondas Eletromagnéticas
429 Uma onda eletromagnética ocupa o espaço entre dois planos infinitos e paralelos 𝐴𝐵
e 𝐴′𝐵′. A figura a seguir mostra uma seção dessa onda, que se move com velocidade
𝑐, perpendicular a 𝐴𝐵. A intensidade do campo elétrico é 𝐸 . No circuito 𝑎′𝑏′𝑏𝑎𝑎′,
determine a indução magnética produzida pela onda.
166 CAPÍTULO 15. INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA
A
𝐸
𝑐
B 𝐸
√︂
1 + 1
𝑐2
C 𝐸
√︂
1 − 1
𝑐2
D
2𝐸
𝑐
E
𝐸
2𝑐
𝐵′
𝐴′
𝐵
𝐴®𝐸
𝑏′
𝑎′
𝑏
𝑎
𝑐
430 Para um número suficientemente grande de elétrons de condução por unidade de volume
dometal, o componente da força do campo elétrico da onda, paralela à superfície dometal,
é enfraquecido quase a zero. Portanto, a solução do problema da interação de uma onda
eletromagnética com ummetal é reduzida a encontrar duas dessas ondas viajantes perto de
sua superfície, cuja superposição fornece uma componente zero da força do campo elétrico
ao longo da superfície. Tais ondas eletromagnéticas são duas ondas perpendiculares à
incidência em uma superfície metálica: uma realmente se move no espaço fora do metal, e
a outra, fictícia, onda “invertida” se move em direção à primeira dentro do metal (na figura
I, esta onda, juntamente com a onda fictícia, está localizada à direita do plano 𝐴𝐵). A
onda fictícia torna-se real assim que ultrapassa a fronteira 𝐴𝐵, onde se sobrepõe à primeira
onda. A superposição dessas ondas à esquerda do plano 𝐴𝐵 fornece uma força de campo
elétrico zero ao longo de 𝐴𝐵 e, portanto, resolve o problema. Usando a técnica descrita,
encontre a intensidade do campo elétrico e a indução do campo magnético próximo ao
plano metálico no momento em que o topo da onda incidente atinge o plano 𝐴𝐵.
𝐵
𝐴
𝑐
𝑐
𝐸
Fig. I
𝑐
𝑐
𝑣
Fig. II
Esse método das ondas fictícias também pode ser usado para resolver o problema da refle-
xão de uma onda eletromagnética de uma superfície metálica movendo-se com velocidade
®𝑣 (figura II). Para resolver este problema, é necessário selecionar uma onda fictícia de tal
forma que, tendo entrado na região fora do metal e tornando-se real, quando sobreposta
à onda incidente, dê uma intensidade de campo elétrico no CGS que é 𝑣/𝑐 vezes menor
que a indução magnética. Explique essa condição.
431 Uma onda eletromagnética propaga-se com uma frequência de 3 MHz no vácuo e logo
15.3. PROPAGAÇÃO E INTERFERÊNCIA DE ONDAS ELETROMAGNÉTICAS 167
ingressa num meio não-magnético cuja constante dielétricaé 4. Determine a variação no
comprimento de onda dessa onda.
Dado: a velocidade da luz no vácuo é igual a 3 × 108 m/s
A 25 m B 50 m C 100 m D 200 m E 400 m
432 Emcerta região do espaço tem-se uma onda eletromagnéticamonocromática e linearmente
polarizada tal que o campo elétrico é 𝐸 = 𝐸0 sen (𝑘𝑦 + 𝜔𝑡). Se nesse meio (índice de
refração igual a 𝑛), um elétron sofre maior força magnética, determine-a, em módulo.
Considere que a velocidade do elétron tem valor constante e igual a 𝑣.
A 𝑛𝑒
(𝑣
𝑐
)
𝐸0.
B 2𝑛𝑒
(𝑣
𝑐
)
𝐸0.
C 4𝑛𝑒
(𝑣
𝑐
)
𝐸0.
D 𝑒
(𝑣
𝑐
)
𝐸0.
E 2𝑛𝑒
(𝑣
𝑐
)
𝐸0.
433 Uma antena-radar parabólica com um diâmetro de 3 m transmite pulsos de energia de 300
kW com um ritmo de repetição de 600 pulsos por segundo, cada um de 4 𝜇s. Determine
a força de reação média da antena sobre os pulsos.
Dado: a velocidade da luz no vácuo é igual a 3 × 108 m/s
434 Um astronauta flutua no espaço com somente uma lâmpada de 30 W (com uma fonte
inesgotável de energia). Utiliza-se a radiação como propulsão, então, quanto tempo será
gasto por ele para atingir uma velocidade de 10 m/s? A massa do astronauta com seus
equipamento é 100 kg.
Dado: a velocidade da luz no vácuo é igual a 3 × 108 m/s
435 A respeito das ondas eletromagnéticas, considere as seguintes afirmações:
I. A energia transportada por uma onda depende de sua frequência.
II. A radiação infravermelha tem energia superior à da ultravioleta.
III. As microondas são mais energéticas do que as radiações do infravermelho.
Assinale a alternativa correta.
A Somente a I é verdadeira
B Somente a II é verdadeira
C Somente a III é verdadeira
D I, II e III estão corretas
E Nenhuma está correta
168 CAPÍTULO 15. INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA
Capítulo 16
Física Moderna
16.1 Efeito Fotoelétrico, Átomo de H e Princípio da Incerteza
436 A energia mecânica total, 𝐸 , de um elétron de massa 𝑚 e carga elétrica −𝑒 com momento
linear ®𝑝, que está a uma distância 𝑟 do próton, num átomo de hidrogênio, é igual a
𝐸 =
𝑝2
2𝑚
− 𝑘0𝑒
2
𝑟
,
onde 𝑘0 é a constante de Coulomb para o vácuo. (a) Determine todos os valores válidos
para 𝐸 e (b) os valores de 𝑟 e 𝐸 quando o elétron está no estado fundamental. Não use a
mecânica newtoniana para resolver esse problema (princípio de correspondência de Böhr,
ou seja, o limite clássico é obtido da física quântica de Schrödinger).
437 Determine a energia cinética máxima do fotoelétron emitido da superfície de uma placa
de lítio quando exposta a uma radiação eletromagnética cuja componente elétrica varia
com o tempo como ®𝐸 = ®𝐸0(1 + cos𝜔𝑡) cos𝜔0𝑡, onde ®𝐸0 é uma constante.
Dados: ℏ = 1, 05× 10−34 Js, 1 eV = 1, 60× 10−19 J, 𝜙Li = 2, 39 eV, 𝜔 = 6, 00× 1014 rad/s
e 𝜔0 = 3, 60 × 1015 rad/s
A 0, 197 eV B 0, 232 eV C 0, 366 eV D 0, 389 eV E 0, 466 eV
438 Um condutor esférico de raio 𝑅 é irradiado com raios do ultravioleta. Percebe-se que
haverá emissão de elétrons com energia cinética 𝐸cin por efeito fotoelétrico. Qual será a
carga elétrica líquida máxima presente na superfície do condutor?
Dados: a carga elétrica elementar é 𝑒 e a permissividade elétrica do vácuo é 𝜀0
A
4𝜋𝜀0𝑅
𝑒
𝐸cin
B
2𝜋𝜀0𝑅
𝑒
𝐸cin
C
𝜋𝜀0𝑅
𝑒
𝐸cin
169
170 CAPÍTULO 16. FÍSICA MODERNA
D
𝜀0𝑅
𝑒
𝐸cin
E Impossível determiná-la usando apenas essas informações
439 Os hidrocarbonetos são compostos formados de carbono e hidrogênio nos quais os carbo-
nos podem apresentar ligações simples e duplas entre si como indicado na figura abaixo.
Considere um modelo em que cada ligação carbono-carbono tenha seus estados vibracio-
nais associados a uma constante de força restauradora 𝑘 .
H
H H
H
H H
C C 𝑚 𝑚
𝑘
H H
H H
C C
𝑘
𝑘
𝑚′ 𝑚′
Considere as diferenças de energia vibracional Δ𝐸 entre o primeiro estado excitado e o
estado fundamental. A razão entre as diferenças Δ𝐸(dupla)/Δ𝐸(simples) será
A
√
2.
B
√︂
15
28
.
C
√
2
2
.
D
√︂
15
7
.
E
√︂
7
15
.
440 Um pequeno espelho plano totalmente refletor é colocado horizontalmente sobre um feixe
luminoso, onde suas faces maiores são perpendiculares aos raios que compõem o feixe. A
massa do espelho é igual a 20 g. Despreze a absorção de energia pela lente e que somente
30% da luz emitida pela fonte puntiforme 𝑆 atravessa a lente e chega ao espelho. Qual
será a intensidade rejeitada pela lente, em W/cm2, para sustentar o espelho? A distância
focal dessa lente é igual a 0, 50 cm.
Dados: a gravidade local tem valor igual a 10 m/s2 e a velocidade da luz no vácuo,
3, 0 × 108 m/s
16.1. EFEITO FOTOELÉTRICO, ÁTOMO DE H E PRINCÍPIO DA INCERTEZA 171
𝑆
441 Em 1897, o físico irlandês Joseph Larmor escreveu um artigo onde descrevia a radiação
devido aos íons em movimento acelerado. Apesar do momento da publicação do seu
trabalho, emque a Física de Partículas ainda estava engatinhando, a fórmula de Larmor tem
prestado aos estudos de diferentesmodelos. Amaneira convencional de escrever a potência
total radiada para uma carga elétrica puntiforme 𝑞 e acelerada não-relativisticamente (®𝑎)
é dada por
𝑃L =
𝜇0𝑞
2𝑎2
6𝜋𝑐
.
Considere todas as perdas de energia pela radiação. No modelo do átomo de hidrogênio
de Böhr, um elétron orbita um próton com momento angular 𝑙 = ℎ/(2𝜋), no seu estado
fundamental. Determine Δ𝐸/𝐸0, onde 𝐸0 é a energia do sistema elétron-próton no estado
não-excitado e Δ𝐸 é a energia da radiação por ciclo.
Dados: a constante de Planck é ℎ, a constante de estrutura fina é𝛼, a constante eletrostática
de Coulomb no vácuo é 𝑘0, a velocidade da luz no vácuo é 𝑐 e a permeabilidade magnética
no vácuo é 𝜇0
A −2𝜇0𝑐
2𝛼3
𝑘0
B −𝜇0𝑐
2𝛼3
𝑘0
C −2𝜇0𝑐
2𝛼3
5𝑘0
D −2𝜇0𝑐
2𝛼3
3𝑘0
E −3𝜇0𝑐
2𝛼3
𝑘0
442 Uma pequena placa metálica de função-trabalho 𝜙 é mantida a uma distância 𝑑 de um
íon isolado. Um feixe de luz monocromática incide sobre essa placa e fotoelétrons são
emitidos. Encontre o comprimento de onda máximo do feixe de luz para que alguns dos
fotoelétrons possam orbitar o íon.
Dados: a constante de Planck é ℎ, a permissividade elétrica no vácuo é 𝜀0, a velocidade
da luz no vácuo é 𝑐 e a carga elétrica elementar é 𝑒
A
8𝜋𝜀0𝑑ℎ𝑐
𝑒2 + 8𝜋𝜀0𝜙𝑑
B
4𝜋𝜀0𝑑ℎ𝑐
𝑒2 + 4𝜋𝜀0𝜙𝑑
C
4𝜋𝜀0𝑑ℎ𝑐
𝑒2 − 4𝜋𝜀0𝜙𝑑
D
𝜋𝜀0𝑑ℎ𝑐
2𝑒2 + 𝜋𝜀0𝜙𝑑
E
𝜋𝜀0𝑑ℎ𝑐
2𝑒2 − 𝜋𝜀0𝜙𝑑
443 A diferença entre os 𝑛-ésimo e (𝑛 + 1)-ésimo raios de Böhr é igual ao (𝑛 − 1)-ésimo raio
de Böhr no átomo de H. O valor de 𝑛 será igual a
172 CAPÍTULO 16. FÍSICA MODERNA
A 1. B 2. C 3. D 4. E 5.
444 Um filme fotográfico é revestido com uma camada de brometo de prata. Quando a luz
incide sobre esses filmes, asmoléculas de brometo de prata se dissociam e o campo registra
a luz lá. É necessário um mínimo de 6, 0 eV para dissociar uma molécula de brometo
de prata. Encontre o comprimento de onda máximo de luz que pode ser registrado pelo
filme.
Dados: ℎ = 6, 63 × 10−34 Js (constante de Planck), 𝑐 = 3, 0 × 108 m/s (velocidade da luz
no vácuo) e 1 eV = 1, 6 × 10−19 J
445 Estime o maior módulo da força elétrica entre o elétron e o próton no átomo de H.
Dados: a constante eletrostática de Coulomb no vácuo é igual a 9× 109 𝑁𝑚/𝐶2 e a carga
elétrica elementar, 1, 6 × 10−19 C
A 8, 2 × 10−6 N
B 4, 1 × 10−6 N
C 8, 2 × 10−8 N
D 4, 1 × 10−8 N
E 2, 5 × 10−9 N
446 Um feixe de luz monocromática de comprimento de onda 𝜆 ejeta fotoelétrons de uma
superfície de césio com função-trabalho igual a 1, 9 eV. Esses fotoelétrons são produzidos
para colidirem com átomos de hidrogênio no estado fundamental. Determine o valor
máximo de 𝜆 para que (a) os átomos de hidrogênio possam ser ionizados, (b) os átomos de
hidrogênio possam ser excitados do estado fundamental para o primeiro estado excitado e
(c) os átomos de hidrogênio possam emitir luz visível.
Dados: ℎ = 6, 6 × 10−34 Js (constante de Planck), 𝑐 = 3 × 108 m/s (velocidade da luz no
vácuo) e 1 eV = 1, 6 × 10−19 J
447 Uma fonte pontual de luz está localizada no centro de um hemisfério. A superfície interna
é completamente refletora. Determine a força no hemisfériodevido à luz que incide sobre
ele se a fonte emite uma potência 𝑃.
Dado: a velocidade da luz no vácuo é 𝑐
A
𝑃
𝑐
B
2𝑃
𝑐
C
𝑃
2𝑐
D
3𝑃
𝑐
16.1. EFEITO FOTOELÉTRICO, ÁTOMO DE H E PRINCÍPIO DA INCERTEZA 173
E
𝑃
3𝑐
448 Uma partícula admite uma órbita circular quando está sujeita a um potencial quadrático
(proporcional a 𝑟2, onde 𝑟 é o raio orbital). Usando os postulados de Böhr, o que você
pode concluir sobre 𝑟 = 𝑟 (𝑛) e 𝐸 = 𝐸 (𝑛), com 𝑛 = 1, 2, 3, ... , sendo que 𝑟 (𝑛) e 𝐸 (𝑛) são
o raio e a energia mecânica para uma 𝑛-ésima órbita, respectivamente?
449 Numa região onde há vácuo, encontram-se duas lâminas metálicas paralelas (figura I).
Sobre a que está aterrada (1), incide luz ultravioleta com frequência 𝜈, que pode arrancar
elétrons de sua superfície. A corrente desses elétrons depende da tensão aplicada à placa
superior (2) de acordo com o gráfico (figura II). Determine a função-trabalho de (1).
Dados: a constante de Planck é ℎ e a carga elétrica elementar é 𝑒
(1)
(2)
𝑈
Fig. I
𝑈
0
𝑖
𝑖0
𝑈0
Fig. II
450 Quando um elétron percorre uma órbita com uma frequência 𝜈0, o Eletromagnetismo
clássico assegura que irradiará energia, não apenas com essa frequência, mas também
com 2𝜈0, 3𝜈0, 4𝜈0 etc. Mostrar que este fato também é previsto pela teoria de Böhr do
hidrogênio, no caso-limite de números quânticos muito grandes.
451 Um átomo de hidrogênio, inicialmente em um estado cuja energia de ligação (energia
necessária para remover o elétron) vale 0, 85 eV, efetua uma transição para um estado cuja
energia de excitação (diferença entre as energias dos níveis considerando o fundamental)
vale 10, 2 eV. Determinar a energia do fóton emitido.
A 11, 0 eV B 5, 5 eV C 2, 8 eV D 2, 6 eV E 1, 4 eV
452 Mostre que não é possível ocorrer efeito fotoelétrico se o elétron for livre.
453 A visão produzida pelo olho humano em condições de baixa luminosidade é chamada de
visão escotópica. Ela está associada diretamente aos bastonetes, que são sensíveis às alte-
rações de luminosidade. A quantidade de luz que atinge a retina e, consequentemente, os
bastonetes, é regulada pela pupila. Em condições de claridade normal, a pupila apresenta
um diâmetro entre 3 e 4 mm, podendo atingir 1, 5 mm em condições de grande luminosi-
dade e 8 mm em condições de baixa luminosidade. Sabendo que para o comprimento de
174 CAPÍTULO 16. FÍSICA MODERNA
onda de 555 nm, a intensidade mínima de luz que ainda é capaz de sensibilizar a retina
vale 1, 4 × 10−9W/m2, determine na base 105, o número de fótons que entram no olho de
uma pessoa a cada segundo, quando ela estiver em um ambiente de baixa luminosidade.
Dados: a velocidade da luz no vácuo é igual a 3 × 108 m/s, a constante de Planck é igual
a 6, 6 × 10−34 Js e 𝜋 = 3
A 2 B 2, 5 C 3 D 3, 5 E 2, 5 × 102
454 Uma molécula de gás consiste de dois átomos de massa 𝑚, separados por uma distância
fixa 2𝑟, e girando em torno de um eixo. Supondo que o seu momento angular seja
quantizado como no átomo de Böhr, determine as velocidades angulares e as energias,
ambas possíveis.
Dado: a constante de Planck reduzida é ℏ
A 𝜔𝑛 =
ℏ
5𝑚𝑟2
𝑛; 𝐸𝑛 =
ℏ2
3𝑚𝑟2
𝑛2
B 𝜔𝑛 =
ℏ
𝑚𝑟2
𝑛; 𝐸𝑛 =
ℏ2
4𝑚𝑟2
𝑛2
C 𝜔𝑛 =
ℏ
2𝑚𝑟2
𝑛; 𝐸𝑛 =
ℏ2
𝑚𝑟2
𝑛2
D 𝜔𝑛 =
ℏ
𝑚𝑟2
𝑛; 𝐸𝑛 =
ℏ2
𝑚𝑟2
𝑛2
E 𝜔𝑛 =
ℏ
2𝑚𝑟2
𝑛; 𝐸𝑛 =
ℏ2
4𝑚𝑟2
𝑛2
455 Considere um oscilador harmônico bidimensional de energia
𝐸 =
𝑝2
2𝑚
+ 𝑚𝜔
2
2
𝑟2,
onde 𝑟 é a distância ao centro e𝜔 a frequência angular do oscilador. Para órbitas circulares,
aplicando a condição de quantização de Böhr, obtenha os níveis de energia. Qual seria a
frequência da radiação emitida, numa transição entre dois níveis vizinhos?
16.2 Postulados de Einstein e Transformações de Lorentz
456 Mostre que, se as frentes de onda da luz são esféricas tanto em 𝑆 quanto em 𝑆′, é obrigatório
que o fator de Lorentz seja igual a 𝛾 = 1/
√︁
1 − 𝑣2/𝑐2, onde 𝑐 é a velocidade da luz no
vácuo.
Dado: o referencial 𝑆′ é móvel, que tem velocidade ®𝑣 ao longo do eixo-𝑥 do referencial
fixo 𝑆.
457 No experimento de Michelson-Morley, se o comprimento dos braços do interferômetro
(as distâncias dos espelhos ao divisor de feixes) é igual a 𝑙 e o comprimento de onda da
luz da fonte é 𝜆, mostre que o desvio no número de franjas é igual a
Δ𝑁 �
2𝑙𝑣2
𝑐2𝜆
,
16.2. POSTULADOS DE EINSTEIN E TRANSFORMAÇÕES DE LORENTZ 175
onde 𝑣 seria a velocidade do meio e 𝑐, a velocidade da luz no vácuo. É importante lembrar
que estamos considerando o efeito de movimento do meio e a rotação por um quarto
de volta do aparato. A teoria do éter móvel para o experimento de Michelson-Morley
discutida anteriormente considera o caso especial em que os braços do interferômetro são
paralelos e perpendiculares ao movimento dele. Considere o caso geral para uma rotação
𝜃 como mostrado na figura. Prove que, para braços iguais de comprimento 𝑙, a diferença
de tempo Δ𝑡 para os dois caminhos é dada, com boa aproximação, por
Δ𝑡 (𝜃) =
(
𝑣2𝑙
𝑐3
)
cos 2𝜃.
𝑀2
𝑀1
𝜃
𝜃
®𝑣
458 A determinação da velocidade da luz por Roemer foi feita a partir das aparentes variações
nos intervalos de tempo entre os sucessivos eclipses das luas de Júpiter. Para analisar isso
quantitativamente, considere as posições 𝑃 e 𝑄 da Terra correspondentes às observações
de dois eclipses sucessivos de uma das luas de Júpiter (veja a figura). Mostre que, se o
verdadeiro intervalo de tempo entre os eclipses é 𝜏 (igual ao período orbital da lua), o
intervalo de tempo observado é 𝜏 + Δ𝜏, onde Δ𝜏 � 𝑅 Δ𝜃 sen 𝜃/𝑐 e Δ𝜃 � 𝑣𝜏/𝑅. Portanto,
mostre que a defasagem de tempo acumulada à medida que a Terra se move de 𝐴 para 𝐵
(ignorando a própria mudança de posição de Júpiter) é 2𝑅/𝑐.
Dado: a velocidade da luz no vácuo é 𝑐
𝐴
𝐵
𝑃
𝑄
0
𝑅
𝜃
Δ𝜃
𝑣
Júpiter e lua
459 Considere dois referenciais inerciais 𝑆 e 𝑆′, onde 𝑆′ move-se com velocidade constante e
igual a (𝑣, 0, 0) na direção do eixo-𝑥 de 𝑆. O outro referencial é fixo. Uma partícula, em
176 CAPÍTULO 16. FÍSICA MODERNA
𝑆, está em movimento, com velocidade constante (𝑢𝑥 , 𝑢𝑦, 𝑢𝑧). Analogamente, esse vetor
velocidade, em 𝑆′, será (𝑢′𝑥 , 𝑢′𝑦, 𝑢′𝑧). A relação entre os fatores de Lorentz 𝛾(𝑢), 𝛾(𝑢′) e
𝛾(𝑣) será
Dado: a velocidade da luz no vácuo é 𝑐
A
𝛾(𝑢′)
𝛾(𝑢) =
𝛾(𝑣)𝑢𝑥𝑣
𝑐2
.
B
𝛾(𝑢′)
𝛾(𝑢) = −𝛾(𝑣)𝑢𝑥𝑣
𝑐2
.
C
𝛾(𝑢′)
𝛾(𝑢) = 𝛾(𝑣)
(
1 − 𝑢𝑥𝑣
𝑐2
)
.
D
𝛾(𝑢′)
𝛾(𝑢) = 𝛾(𝑣)
(
1 + 𝑢𝑥𝑣
𝑐2
)
.
E Nenhuma das alternativas acima.
460 A partir de um dado ponto, duas partículas relativísticas partem com a mesma velocidade
𝑣0, em módulo, cujas direções são perpendiculares, entre si. Determine o módulo da
velocidade relativa entre elas.
Dado: a velocidade da luz no vácuo é 𝑐
A 𝑣0
√︄
1 −
𝑣20
𝑐2
B 𝑣0
√︄
2 −
𝑣20
𝑐2
C
2𝑣20
𝑐
D
𝑣20
2𝑐
E
𝑐2
𝑣0
461 Uma elipse de semieixo 𝑎 > 𝑏 (sobre o eixo-𝑥) está em repouso num referencial parado
(𝑆). Assinale a alternativa que possui a velocidade, em módulo, de outro referencial (𝑆′),
que se move ao longo do eixo-𝑥 de 𝑆, para que esse enxergue um círculo.
Dado: a velocidade da luz no vácuo é 𝑐
A
(√
𝑎2 − 𝑏2
𝑎
)
𝑐
B
(√
2𝑎2 − 𝑏2
𝑎
)
𝑐
16.2. POSTULADOS DE EINSTEIN E TRANSFORMAÇÕES DE LORENTZ 177
C
(
𝑏
𝑎
)
𝑐
D
(
𝑏
2𝑎
)
𝑐
E
(√
3𝑎2 − 𝑏2
𝑎
)
𝑐
462 Um aluno, que se move com uma velocidade igual a 15𝑐/17 (𝑐 é a velocidade da luz no
vácuo), em relação ao professor parado, realiza uma prova cuja duração deverá ser igual
a 2, 00 h, medida pelo relógio-de-pulso do professor. O professor começa a contagem
do tempo quando o aluno passa por ele. Posteriormente, quando do término da prova no
seu referencial, emite um sinal luminoso. O estudante pára de escrever quando o sinal o
alcança. Quanto tempo o aluno teve para fazer a prova?
463 Um fio é disposto no referencial fixo 𝑆, de acordo acordo com a figura. O maior lado,
medindo 𝐿, é paralelo ao eixo-𝑥. A luz percorre o fio todo. Um outro referencial 𝑆′, que
tem velocidade®𝑣, move-se ao longo daquele eixo, no sentido positivo. Quanto tempo, em
𝑆, a luz gastará para percorrer o fio? Para qual valor de 𝑣, os tempos de viagem da luz,
registrados por 𝑆 e 𝑆′, serão iguais?
Dado: a velocidade da luz no vácuo é 𝑐
𝐿
𝐿/2
𝐿/4
𝐿/8
𝐿/16
𝐿/32...
(𝑆)
464 No experimento de Fizeau, o fluxo da água pode apresentar turbulências, gerando erros
consideráveis na interferência entre os raios no detector (telescópio 𝑇). Para fugir disso,
o meio é substituído por outro, que é um disco de vidro de índice de refração 𝑛 e de raio
𝑅, girando em torno do seu eixo com velocidade angular 𝜔. Se o coeficiente de arrasto
desse meio é 𝛿, a diferença de caminho ótico entre os raios será
Dado: a velocidade da luz no vácuo é 𝑐
178 CAPÍTULO 16. FÍSICA MODERNA
𝐹
𝑇
𝑅
𝜔
𝑙
A
2𝑛2𝛿𝑙𝜔𝑅
𝑐
.
B
2𝑛2𝛿𝑙𝜔
√
4𝑅2 − 𝑙2
𝑐
.
C
𝑛2𝛿𝑙𝜔
√
4𝑅2 − 𝑙2
𝑐
.
D
𝑛2𝛿𝑙𝜔𝑅
𝑐
.
E
3𝑛2𝛿𝑙𝜔𝑅
𝑐
.
465 Em 1851, H. Fizeau mediu a velocidade da luz ®𝑣 quando ela se propaga nu tubo cheio de
água em movimento. O escoamento da água, com velocidade ®𝑢, é na mesma direção em
que a luz se propaga. O resultado obtido por Fizeau foi
𝑣 =
𝑐
𝑛
+ 𝑢
(
1 − 1
𝑛2
)
,
onde 𝑛 é o índice de refração da água e 𝑢 � 𝑐 (𝑐 é a velocidade da luz no vácuo). Mostre
que esse resultado decorre da lei relativística de composição de velocidades.
466 Para um observador 𝑆, a posição de uma partícula no instante 𝑡 é dada por 𝑥 = 𝑢𝑡 e 𝑦 = 𝑒−𝑏𝑡
(𝑏 > 0), para 𝑡 > 0. Deduza a equação da trajetória, para um observador 𝑆′, que se move
em relação a 𝑆 com velocidade 𝑣, na direção do eixo-𝑥.
Dado: a velocidade da luz no vácuo é 𝑐
467 Uma barra homogênea de comprimento 𝑙0 no repouso, está disposta horizontalmente
de modo que a extremidade esquerda coincida, inicialmente, com o ponto (−𝑙0, 0), no
referencial 𝑆. Essa barra move-se com velocidade 𝑢 constante no sentido positivo do
eixo-𝑥. Determine o tempo que leva para a extremidade direita da barra coincidir com o
ponto (𝑙0, 0), visto por um referencial 𝑆′ que se move com velocidade 𝑣 na mesma direção
do movimento da barra.
Dado: a velocidade da luz no vácuo é 𝑐
A
𝑙0
(
1 +
√︂
1 − 𝑢
2
𝑐2
) (
1
𝑢
− 𝑣
𝑐2
)
√︂
1 − 𝑣2
𝑐2
B
𝑙0
(
1 −
√︂
1 − 𝑢
2
𝑐2
) (
1
𝑢
− 𝑣
𝑐2
)
√︂
1 − 𝑣2
𝑐2
16.2. POSTULADOS DE EINSTEIN E TRANSFORMAÇÕES DE LORENTZ 179
C
𝑙0
(
2 +
√︂
1 − 𝑢
2
𝑐2
) (
1
𝑢
− 𝑣
𝑐2
)
√︂
1 − 𝑣2
𝑐2
D
𝑙0
(
2 −
√︂
1 − 𝑢
2
𝑐2
) (
1
𝑢
− 𝑣
𝑐2
)
√︂
1 − 𝑣2
𝑐2
E
𝑙0
(
2 −
√︂
1 − 𝑢
2
𝑐2
) (
1
𝑢
− 𝑣
𝑐2
)
√︂
1 + 𝑣
2
𝑐2
468 Um ponto material move-se sobre um círculo de raio 𝑟 com velocidade escalar 𝑣0, que
tem centro em (0, 0) no referencial parado 𝑆. Para 𝑆′, que se move com velocidade 𝑣 ao
longo do eixo dos 𝑥, determine os intervalos de tempo nos trechos (𝑟, 0) ↦−→ (𝑟, 0) (uma
volta) e (𝑟, 0) ↦−→ (−𝑟, 0) (meia volta).
Dado: a velocidade da luz no vácuo é 𝑐
469 Um relógio atômico é transportado uma vez ao redor do mundo por um avião a jato, com
velocidade 𝑣, e então comparado com um relógio previamente sincronizado e similar que
não viajou. Aproximadamente quão grande é a discrepância que a relatividade especial
prevê?
Dados: a velocidade da luz no vácuo é 𝑐 e o raio terrestre é 𝑅
470 Um disco de Ehrenfest de raio 𝑟, espessura ℎ e massa de repouso 𝑚0, gira com uma
velocidade angular 𝜔 constante. Calcule a massa do disco.
Dado: a velocidade da luz no vácuo é 𝑐
A
2𝑚0𝑐2
𝜔2𝑟2
(
1 −
√︂
1 − 𝜔
2𝑟2
𝑐2
)
B
2𝑚0𝑐2
𝜔2𝑟2
(
1 +
√︂
1 − 𝜔
2𝑟2
𝑐2
)
C
𝑚0𝑐
2
𝜔2ℎ2
(
1 −
√︂
1 − 𝜔
2𝑟2
𝑐2
)
D
𝑚0𝑐
2
𝜔2ℎ2
(
1 +
√︂
1 − 𝜔
2𝑟2
𝑐2
)
E
𝑚0𝑐
2
2𝜔2𝑟2
(
1 −
√︂
1 − 𝜔
2ℎ2
𝑐2
)
471 Um globo de raio 𝑅0, em repouso, com marcas identificáveis, está se movendo com
velocidade ®𝑣 em relação a um observador localizado a uma grande distância. O observador
tira uma foto do globo no momento em que vê o globo. O que ele vê quando revela o
filme?
472 Em um referencial 𝑆, um trem de ondas planas de luz de comprimento de onda 𝜆 viaja na
direção negativa do eixo-𝑥 com respeito a um observador na origem. As suas cristas têm
abscissas iguais a 𝑥 = −𝑐𝑡 + 𝑛𝜆 (𝑛 ∈ Z). Para 𝑆′, que se move com velocidade 𝑣 ao longo
180 CAPÍTULO 16. FÍSICA MODERNA
do eixo-𝑥, o comprimento de onda 𝜆′ será igual a
Dados: a velocidade da luz no vácuo é 𝑐, 𝛽 = 𝑣/𝑐 e 𝛾 = 1/
√︁
1 − 𝑣2/𝑐2
A 𝛾
(
1 − 𝛽
1 + 𝛽
)
𝜆.
B
𝛾 (1 − 𝛽)2
1 + 𝛽 𝜆.
C
𝛾 (1 + 𝛽)2
1 − 𝛽 𝜆.
D 𝛾 (1 − 𝛽) 𝜆.
E 𝛾 (1 + 𝛽) 𝜆.
473 Em 𝑆′, uma barra reta paralela ao eixo-𝑥′ move-se ao longo do eixo-𝑦′ com velocidade
𝑢. Para 𝑆, que é fixo, em qual sentido a barra girará? Determine esse desvio angular em
termos de 𝛾 = 1/
√︁
1 − 𝑣2/𝑐2, 𝑣 (velocidade de 𝑆′ ao longo do eixo-𝑥), 𝑢 e 𝑐 (velocidade
da luz no vácuo).
A Horário; −arctg
(𝛾𝑢𝑣
𝑐2
)
B Antihorário; arctg
(𝛾𝑢𝑣
𝑐2
)
C Horário; −arctg
(𝑢𝑣
𝑐2
)
D Antihorário; arctg
(𝑢𝑣
𝑐2
)
E Horário; −arctg
(𝑢𝑣
𝑐2
)
474 Em relação ao problema 472, se
𝛽 = 0, 999...99︸ ︷︷ ︸
2𝑛 vezes
5 (𝑛 = 1, 2, 3, ...),
qual será o comprimento de onda para o referencial móvel (𝑆′)?
475 Mostre que, para qualquer instante, existe apenas um plano em 𝑆 sendo que os relógios de
𝑆 concordam com os de 𝑆′, e que esse plano move-se com velocidade(
1 − 1
𝛾
)
𝑐2
𝑣
,
sendo 𝛾 = 1/
√︁
1 − 𝑣2/𝑐2.
Dado: a velocidade da luz no vácuo é 𝑐
16.3. EFEITO DOPPLER, MOMENTUM, ENERGIA E RELAÇÃO MASSA-ENERGIA 181
476 Em 𝑆′, uma rede uniforme de relógios emitem (todos) um flash ao meio-dia. Prove que,
em 𝑆, esse flash ocorre num plano ortogonal ao eixo-𝑥, e que esse viaja em 𝑥, no sentido
positivo, com velocidade constante 𝑐2/𝑣 (𝑣 é a velocidade de 𝑆′ ao longo do eixo-𝑥).
Dado: a velocidade da luz no vácuo é 𝑐
477 Um espelho move-se na direção de sua normal, no referencial fixo 𝑆, com velocidade
®𝑣. Um raio luminoso incide sobre ele com frequência 𝜈0 e ângulo 𝜃0 e é refletido com
frequência 𝜈 e ângulo 𝜃.
Dado: a velocidade da luz no vácuo é 𝑐
(a) Mostre que
tg
(
𝜃0
2
)
=
( 𝑐 + 𝑣
𝑐 − 𝑣
)
tg
(
𝜃
2
)
.
(b) Determine a relação 𝜈/𝜈0.
(𝜈0)
(𝜈)
𝜃0
𝜃
𝑣
478 Um trem de ondas planas de comprimento de onda 𝜆, em 𝑆, propaga-se com velocidade
𝑤 atravessando a origem de 𝑆, segundo um ângulo 0 < 𝛼 < 𝜋/2 com a direção do eixo-𝑥.
Para um referencial 𝑆′, que se move com velocidade 𝑣 ao longo do eixo-𝑥, mostre que o
comprimento de onda e a velocidade serão iguais, nessa ordem, a
Dados: 𝛾 = 1/
√︁
1 − 𝑣2/𝑐2 e a velocidade da luz no vácuo é 𝑐
𝜆′ =
𝜆√︂
𝛾2
(
cos𝛼 − 𝑣𝑤
𝑐2
)2
+ sen2 𝛼
e 𝑤′ =
𝑤 − 𝑣 cos𝛼√︄(
cos𝛼 − 𝑣𝑤
𝑐2
)2
+ sen
2 𝛼
𝛾2
.
16.3 Efeito Doppler, Momentum, Energia e Relação Massa-
Energia
479 A figura abaixo mostra as curvas de intensidade em função do comprimento de onda da
luz produzida por nuvens interestelares situadas em extremidades opostas da galáxia M87.
O pico de uma das curvas está em 499, 8 nm e o da outra em 501, 6 nm. O gás gira em
torno da galáxia a uma distância 100 anos-luz, aparentemente aproximando-se da Terra
de um lado e afastando-se da Terra do outro lado. Qual das curvas está associada ao gás
182 CAPÍTULO 16. FÍSICA MODERNA
que se aproxima da Terra?
Dado: a velocidade da luz no vácuo é igual a 3, 00 × 108 m/s
𝜆
𝐼
𝜆1 𝜆2
𝐼 (𝜆1)
𝐼 (𝜆2)
A Curva pontilhada; 5, 38 × 105 m/s
B Curva pontilhada; 1, 076 × 106 m/s
C Curva preenchida; 5, 38 × 105 m/s
D Curva preenchida; 1, 076 × 106 m/s
E Curva preenchida; 1, 5 × 106 m/s
480 Em dado referencial 𝑆, um raio de luz viaja ao longo de uma linha reta que sua fonte
de frequência própria 𝜈0 cruza em 30◦ na emissão e um observador cruza em 30◦ na
recepção (não necessariamente no mesmo plano). Ambos têm velocidade 𝑢 em relação a
𝑆. Encontre a frequência 𝜈 observada. Qual é 𝜈 se o segundo ângulo é 60◦ em vez de 30◦?
Considere agora que a fonte cruza o eixo-𝑥 com um ângulo 0 < 𝜃1 < 𝜋/2 e o observador,
0 < 𝜃2 <𝜋/2, tal que, 𝜃1 ≠ 𝜃2. As velocidades da fonte e do observador, nesse instante,
para 𝑆, serão, respectivamente, iguais a 𝑢1 e 𝑢2. A frequência própria da fonte é 𝜈0.
481 No efeito Compton, um fóton de energia 𝐸 é espalhado a um ângulo de 90◦ por um elétron
de massa 𝑚. Qual será a energia do fóton após o espalhamento?
Dado: a velocidade da luz no vácuo é 𝑐
A
𝑚2𝑐4
𝐸 − 2𝑚𝑐2
B
𝑚2𝑐4
𝐸 + 2𝑚𝑐2
C
𝑚2𝑐4
𝐸 + 𝑚𝑐2
D
𝐸2
𝐸 + 𝑚𝑐2
E
𝐸𝑚𝑐2
𝐸 + 𝑚𝑐2
482 Três partículas com massa de repouso 𝑚0 estão inicialmente alinhadas. A partícula mais
à esquerda move-se com velocidade 𝑣0, para a direita, enquanto as outras duas estão em
repouso. Se na primeira colisão entre essa partícula emmovimento e a do meio ocorre um
choque totalmente inelástico e posteriormente a partícula resultante daí choca-se também
inelasticamente com a partícula da direita, qual é a velocidade e a massa de repouso finais
do sistema?
Dado: o fator deLorentz da partícula incidente é 𝛾0 = 1/
√︃
1 − 𝑣20/𝑐2, onde 𝑐 é a velocidade
da luz no vácuo
483 Um foguete ao ser impulsionado numa direção retilínea, emite uma radiação em sentido
oposto ao seu movimento. Para um referencial fixo inicial, a velocidade do foguete é ®𝑣.
16.3. EFEITO DOPPLER, MOMENTUM, ENERGIA E RELAÇÃO MASSA-ENERGIA 183
Determine 𝑣/𝑐 (𝑐 é a velocidade da luz no vácuo) em termos de 𝑚0 e 𝑚, que são nessa
ordem, as massas inicial e final do foguete.
A
𝑚20 − 𝑚
2
𝑚20 + 𝑚2
B
2𝑚0𝑚
(𝑚0 − 𝑚)2
C
2𝑚0𝑚
(𝑚0 + 𝑚)2
D
𝑚0 − 𝑚
𝑚0 + 𝑚
E
𝑚0𝑚
(𝑚0 + 𝑚)2
484 Um elétron de massa de repouso 𝑚 e velocidade 𝑢 é desacelerado numa colisão com um
núcleo metálico estacionário de massa de repouso 𝑀 e emite uma radiação de frequência
𝜈. Determine a frequência máxima do fóton, considerando que 𝛾(𝑢) = 1/
√︁
1 − 𝑢2/𝑐2,
onde 𝑐 é a velocidade da luz no vácuo.
Dado: a constante de Planck é ℎ
485 Se um nêutron e um píon são produzidos após uma colisão de um fóton com um próton
em repouso, determine a frequência mínima do fóton em termos das massas de repouso
𝑀 do próton ou nêutron e do píon, que é igual a 𝑚.
Dado: a velocidade da luz no vácuo é 𝑐
A
𝑚𝑐2
ℎ
(
1 + 𝑚
2𝑀
)
B
2𝑚𝑐2
ℎ
(
1 + 𝑚
𝑀
)
C
𝑚𝑐2
2ℎ
(
1 + 𝑚
𝑀
)
D
(𝑚 + 𝑀)𝑐2
ℎ
E
𝑚2𝑐2
𝑀ℎ
486 Mostre que um fóton não poderá se desintegrar num par de pósitrons. Mas, na presença de
um núcleo estacionário (catalisador) isso é possível. Se a massa de repouso desse núcleo
é 𝑀 e a do elétron ou pósitron, 𝑚, determine a frequência mínima do fóton.
Dados: a velocidade da luz no vácuo é 𝑐 e a constante de Planck é ℎ
487 Uma partícula colide elasticamente com outra idêntica, que está em repouso. Sendo
𝜃 + 𝜙 ≤ 𝜋/2, qual será a relação entre 𝜃 e 𝜙? Considere 𝛾 como o fator de Lorentz para a
partícula incidente.
184 CAPÍTULO 16. FÍSICA MODERNA
A tg 𝜃 tg 𝜙 = 𝛾
B tg 𝜃 tg 𝜙 = −1
C tg 𝜃 tg 𝜙 = 1
D tg 𝜃 tg 𝜙 =
2
1 + 𝛾
E tg 𝜃 tg 𝜙 =
2
𝛾 − 1
𝑚
𝑚
𝜃
𝜙
Direção inicial
488 As Variáveis de Mandelstam 𝑠, 𝑡 e 𝑢 são definidas para reação 𝐴 + 𝐵 → 𝐶 + 𝐷 por
𝑠 = ( ®𝑃𝐴 + ®𝑃𝐵)2/𝑐2, 𝑡 = ( ®𝑃𝐴 − ®𝑃𝐶)2/𝑐2 e 𝑢 = ( ®𝑃𝐴 − ®𝑃𝐷)2/𝑐2, onde ®𝑃𝐴, ®𝑃𝐵, ®𝑃𝐶 e ®𝑃𝐷
são os quadrivetores de momento-energia de 𝐴, 𝐵, 𝐶 e 𝐷, respectivamente. Mostre que
𝑠 + 𝑡 + 𝑢 = 𝑚2
𝐴
+ 𝑚2
𝐵
+ 𝑚2
𝐶
+ 𝑚2
𝐷
.
Dado: o quadrivetor momento-energia de uma partícula de massa de repouso 𝑚, energia
𝐸 e velocidade ®𝑣 é definido, no espaço-tempo de Minkowski, por ®𝑃 = (𝛾𝑚®𝑣, 𝐸/𝑐),
com 𝛾 = 1/
√︁
1 − 𝑣2/𝑐2 (𝑐 é a velocidade da luz no vácuo), tal que ®𝑃 · ®𝑃 = 𝑃2 não
depende do referencial escolhido, ou seja, é um escalar de Lorentz. No ambiente da
Relatividade Especial, o produtor escalar entre dois quadrivetores ®𝑋 e ®𝑌 quaisquer é dado
por ®𝑋 · ®𝑌 = 𝑥4𝑦4 −
∑3
𝑘=1 𝑥𝑖𝑦𝑖, com ®𝑥 = (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) e ®𝑋 = (®𝑥, 𝑥4) etc
489 Um corpo com massa 𝑚1 + Δ𝑚 está conectado a outro corpo, cuja massa é 𝑚2 − Δ𝑚, por
meio de uma mola de constante elástica 𝑘 e massa negligenciável em confronto com as
dos corpos. A mola está relaxada. O sistema está sobre uma mesa lisa e horizontal, em
repouso. Uma radiação é emitida pelo corpo 1 e absorvida pelo corpo 2, mudando suas
massas para 𝑚1 e 𝑚2, respectivamnete, e fazendo o sistema oscilar. Desprezando o tempo
de viagem da radiação entre os corpos, determine a máxima deformação sofrida por essa
mola.
Dado: a velocidade da luz no vácuo é 𝑐
1 2
𝑘
A 𝑐 Δ𝑚
√︂
𝑚1 + 𝑚2
4𝑚1𝑚2𝑘
B 𝑐 Δ𝑚
√︂
𝑚1 + 𝑚2
2𝑚1𝑚2𝑘
C 𝑐 Δ𝑚
√︂
𝑚1 + 𝑚2
𝑚1𝑚2𝑘
D 2𝑐 Δ𝑚
√︂
𝑚1
𝑚22𝑘
E 2𝑐 Δ𝑚
√︂
𝑚2
𝑚21𝑘
490 Um nêutron colide elasticamente com núcleo estacionário de dêuteron. Estime a fração
de energia cinética perdida pelo nêutron (a) se essa colisão é frontal e (b) se essa colisão
gera um espalhamento ortogonal do nêutron.
16.3. EFEITO DOPPLER, MOMENTUM, ENERGIA E RELAÇÃO MASSA-ENERGIA 185
A (a) 0, 65; (b) 0, 44
B (a) 0, 44; (b) 0, 66
C (a) 0, 89; (b) 0, 70
D (a) 0, 89; (b) 0, 67
E (a) 0, 90; (b) 0, 45
491 Considere um corpúsculo de massa de repouso 𝑚0, que se move relativisticamente num
meio material com índice de refração 𝑛 com velocidade ®𝑣, sendo 𝑣 = 𝛽𝑐 (0 < 𝛽 < 1)
e 𝑐, a velocidade da luz no vácuo. Por causa disso, o mesmo emitirá uma radiação
eletromagnética de frequência 𝜈, que formará um ângulo 0 < 𝜃c < 𝜋/2 constante com ®𝑣.
Esse fenômeno é muito parecido com o efeito Mach, onde a onda sonora de choque se
comportaria como radiação, a radiação de Cerenkov. Somente para velocidades 𝑣 > 𝑐, é
possível detectar esse fenômeno de altas energias. Determine 𝜃c em termos das grandezas
consideradas. Depois encontre o valor galileano para esse ângulo representado por 𝜃m.
492 Uma corda relativística de comprimento 𝑙 e tensão 𝑇 conecta duas partículas de massas
de repouso 𝑚 e 𝑀 . As massas são abandonadas do repouso. Determine as distâncias
percorridas pelas massas até o encontro delas.
Dado: a velocidade da luz no vácuo é 𝑐
𝑙
𝑚 𝑀
493 Uma corda de massa desprezível com tensão constante 𝑇 tem uma de suas extremidades
presa a uma parede e a outra, a uma massa 𝑀 . O comprimento inicial da corda é 𝑙. A
massa é abandonada do repouso. A meio caminho da parede, a metade de trás da massa
se separa da metade da frente (com velocidade relativa inicial zero). Qual é o tempo total
que a metade da frente leva para atingir a parede?
Dado: a velocidade da luz no vácuo é 𝑐
𝑙
𝑀
A
𝑙
𝑐
√︂
𝑀𝑐2
𝑇𝑙
+ 1
4
B
2𝑙
𝑐
√︂
𝑀𝑐2
𝑇𝑙
+ 1
C
𝑙
2𝑐
(√︂
3𝑀𝑐2
𝑇𝑙
+ 9
4
+
√︂
𝑀𝑐2
𝑇𝑙
+ 1
4
)
D
𝑙
2𝑐
(√︂
3𝑀𝑐2
𝑇𝑙
+ 1 +
√︂
𝑀𝑐2
𝑇𝑙
+ 1
)
186 CAPÍTULO 16. FÍSICA MODERNA
E
𝑙
2𝑐
(√︂
3𝑀𝑐2
𝑇𝑙
+ 1 −
√︂
𝑀𝑐2
𝑇𝑙
+ 1
)
494 Dois fótons com energia 𝐸 colidem, entre si, segundo um ângulo 𝜃. Após isso, é criada
uma partícula de massa 𝑀 . Qual é o valor de 𝑀?
Dado: a velocidade da luz no vácuo é 𝑐
495 Um fóton colide com um elétron estacionário. Se o fóton é espalhado por um ângulo
𝜃, mostre que o seu comprimento de onda, 𝜆, é dado em termos do inicial (𝜆0) por
𝜆 = 𝜆0 + 𝜆c(1 − cos 𝜃), onde 𝑚 é a massa de repouso do elétron e 𝜆c = ℎ/(𝑚𝑐) é o
comprimento de onda de Compton. Para qual ângulo 𝜃c, 𝜆 = 𝜆c?
Dado: a velocidade da luz no vácuo é 𝑐
496 Uma bola de massa 𝑀 e energia 𝐸 colide elasticamente com uma outra bola de massa 𝑚.
Mostre que a energia final de 𝑀 é dada por
Dado: a velocidade da luz no vácuo é 𝑐
𝐸′ =
2𝑚𝑐2𝑀2 + 𝐸 (𝑚2 + 𝑀2)
𝑚2 + 𝑀2 + 2𝐸𝑚/𝑐2
.
497 Uma massa 𝑥 decai em 𝑦 e 𝑧. Quais serão as energias de 𝑦 e 𝑧? E o seus momentos?
Dado: a velocidade da luz no vácuo é 𝑐
498 Considere uma caixa de massa 𝑀 e comprimento 𝐿. De uma das extremidades dela, uma
radiação de energia 𝐸 é emitida e na outra, recebida. Em quanto tempo isso ocorre? Qual
o deslocamento, em módulo, sofrido pela caixa?
Dado: a velocidade da luz no vácuo é 𝑐
𝑀
𝑙
𝐸
499 Uma massa 𝑚 é conectada a uma parede por meio de uma corda relativística com tensão
𝑇 . A massa está próxima daparede e adquire uma velocidade 𝑣. Qual a máxima distância
alcançada pela partícula? Quanto tempo é gasto?
Dado: a velocidade da luz no vácuo é 𝑐
𝑚
𝑣
16.3. EFEITO DOPPLER, MOMENTUM, ENERGIA E RELAÇÃO MASSA-ENERGIA 187
500 Tendo obtido a relação 𝑚 = 𝐸/𝑐2 para a massa inercial da energia radiante, Einstein em
1911 havia especulado se esse mesmo valor de 𝑚, substituído na fórmula da gravitação
universal, poderia descrever a deflexão da luz de uma estrela distante pelo Sol (massa
𝑀 e raio 𝑅), fazendo com que a direção aparente da estrela seja ligeiramente deslocada.
Calcule a deflexão 2𝛼 para um fóton que apenas toca a borda do Sol, supondo que, para
uma primeira aproximação, ele seja disparado ao longo de uma trajetória retilínea sempre
viajando com velocidade 𝑐.
Dado: a velocidade da luz no vácuo é 𝑐
𝑅
𝛼𝛼
𝑀
188 CAPÍTULO 16. FÍSICA MODERNA
Parte II
Gabarito
189
191
001 (𝑎𝛼 + 𝑏𝛽 − 𝑐𝛾) × 100%
002 Alternativa C
003
(
𝛿𝑎
𝑎 + 𝑏 + 𝛿𝑏
𝑎 + 𝑏
)
× 100%
004 Alternativa D
005 Alternativa E
006 Alternativa A
007 Alternativa C
008 Alternativa A
009 [𝑦] = 𝑇 e [𝑥] = 𝑀2𝐿4
010
1
4
011 Alternativa A
012 Alternativa A
013 Alternativa E
014 Alternativa B
015 Alternativa D
016 Sim, porque 𝐻0 não dependerá do referencial adotado
017 Alternativa D
018 Alternativa E
019 Alternativa E
020 Alternativa C
021 −4𝛼 ®𝑟; −𝑛𝛼 ®𝑟
022 Alternativa A
023 Demonstração
024 Harmônico
025
2𝜋
𝐶
; 𝐶 =
√︂
𝑛𝛼
𝑚
192
026
(
3𝑡𝐴 − 2𝑡𝐵 − 𝑡𝐶
2𝑡𝐴 − 2𝑡𝐵
)
𝐿
027 Demonstração
028
𝑣s𝑙√︁
𝑙2 − 𝑣2s𝜏2
029 Alternativa D
030 Alternativa A
031 𝑡máx =
ℎ
√
𝑣𝐴𝑣𝐵
(tempo); 𝜃máx = arctg
(
𝑣𝐵 − 𝑣𝐴
2√𝑣𝐴𝑣𝐵
)
(ângulo)
032
𝑔𝑡21
2
√︄
𝑡22 + 𝑡
2
1
𝑡22 − 𝑡
2
1
033
2𝑙𝑣
(√︁
𝑣2s − 𝑣2 cos2 𝛼 − 𝑣 sen𝛼
)
𝑣2s − 𝑣2
, onde 𝑣s é a velocidade do som no ar parado
034 Alternativa C
035 arctg
(
2𝑚𝑎
𝑛𝑏
)
, com 𝑚 e 𝑛 inteiros positivos
036 (a)
𝑣20
𝑙
√
3
; (b)
𝑣20
𝑙
√
3
037
𝑟𝑣
√
4𝑟2 − 𝑑2
038
𝑣1𝑣2
𝑙
039
2𝑘 (2𝑘 + 1)𝜋2𝑅
𝑣
040 (a) Dente-de-serra triangular (𝑥(𝑡)) ou quadrado (𝑣(𝑡)):
𝑡
𝑣
𝑣0
−𝑣0
𝑥0/𝑣0
3𝑥0/𝑣0 4𝑥0/𝑣00
𝑡
𝑥
𝑥0
−𝑥0
𝑥0/𝑣0
2𝑥0/𝑣0
3𝑥0/𝑣0
4𝑥0/𝑣0
193
(b) Senóides com fases diferentes:
𝑡
𝑣
𝑣0
−𝑣0
𝑥0/𝑣0
2𝑥0/𝑣0
3𝑥0/𝑣0
4𝑥0/𝑣00
𝑡
𝑥
𝑥0
−𝑥0
𝑥0/𝑣0
3𝑥0/𝑣0
2𝑥0/𝑣0
4𝑥0/𝑣0
0
041 Alternativa C
042
𝑎0𝜏
2
043
𝜋𝑣0𝑡0
4
044 Alternativa A
045 Demonstração
046 Alternativa A
047 ℎ =
2𝑢(𝑣 cos𝛼 − 𝑢)tg2𝛼
𝑔
048 Alternativa E
049
𝑣√︂
𝑅2 − 𝑣ℎ𝑡
𝜋
050
𝑣𝑅
𝑅 cos𝛼 − 𝑟 ;
𝑣
𝑅 cos𝛼 − 𝑟 ; arccos
( 𝑟
𝑅
)
051 Alternativa D
052
𝜔
2 sen2
(𝛼
2
)
053 Alternativa B
054 Alternativa A
055 𝑅
√︂
𝑔
2ℎ
194
056
√︄
(𝑣 − 2𝑢)2 + (2𝑛 − 1)2𝑔2𝐿2
(𝑣 − 𝑢)2
057 tg 𝛽 = 2 tg
(𝛼
2
)
058 Alternativa A
059
𝑚𝑔
3
(compressão)
060
𝐹
2
(tração)
061 Alternativa A
062 Alternativa D
063 Alternativa A
064 19, 6 N
065 Demonstração
066
√
3
2
𝑚𝑔
067 Alternativa D
068 Alternativa A
069 𝛼 > arctg
(
2
3
)
070 𝑁𝐴 = 𝑚𝑔
√︄
1 + tg
2𝛼
3
− tg𝛼√
3
; 𝑁𝐵 = 𝑚𝑔
(
1 − tg𝛼√
3
)
071

𝜇1 + 𝜇2
2 + ℎ
𝑙
(𝜇1 − 𝜇2)
 𝑚𝑔
072 𝛼 >
𝜋
3
rad
073 Demonstração
074 Demonstração
075 Alternativa A
076 𝑥 ≥ (1 − 𝜇)𝑎
2
195
077 arctg
(
𝜇2 − 𝜇1
1 + 𝜇1𝜇2
)
078 𝑏 = 𝑎 + 𝑑
(√︁
1 + 𝜇2 − 1√︁
1 + 𝜇2
)
079 Alternativa A
080 Alternativa A
081 Alternativa E
082 Alternativa E
083 Alternativa D
084 Alternativa A
085
𝑎
sen𝛼 tg(2𝛼)
086 Alternativa E
087 𝜆𝑔𝑅
(
sen 𝜃 − 2𝜃
𝜋
)
088
(𝜇2 − 𝜇1)𝑔
𝜋
089 Alternativa C
090 Alternativa A
091 𝑚𝑔
092 Alternativa A
093
𝑢 tg𝛼√︁
𝜇2 − tg2𝛼
094 Alternativa C
095 (a)
𝑎ℎ
√
𝑙2 − ℎ2
+
(
𝑙2 − ℎ2
ℎ
)
𝜔2; (b) 𝑚
(
𝑔 − 𝑎ℎ2
𝑙2 − ℎ2
− 𝜔2ℎ
)
096 Alternativa A
097 𝑅 =
4𝜋2𝑘𝑅0
4𝜋2𝑘 − 𝑚𝜔2
, se 𝜔 < 2𝜋
√︂
𝑘
𝑚
. Caso contrário, o anel se esticará indefinidamente
098 Alternativa B
196
099
1
𝜔
ln
©­­«
𝑙 +
√︃
𝑙2 − 𝑥20
𝑥0
ª®®¬
100 Alternativa C
101 Alternativa B
102 Demonstração
103 45◦
104 arctg
(𝑎𝑟
𝑣2
)
; 𝑎 +
√︂
𝑎2 + 𝑣
4
𝑟2
105
𝑚𝜔2𝑅
2𝜋
106 30◦
107 Alternativa E
108 Alternativa D
109 Alternativa A
110 Alternativa E
111 Alternativa D
112 1, 5𝜆(𝑎 + 𝑔)2𝑡2
113 ®𝐹 = 𝜌𝑆(𝑣 − 𝑢)2
[
(cos𝛼 − 1) 𝑖 + sen𝛼 𝑗
]
114 Alternativa A
115 − 2𝜆𝑣2
𝑚 + 2𝜆𝑥
116 𝑣𝑛 =
(
1 + 𝑒
2
)𝑛−1
𝑣1
117 Alternativa A
118 Nulo
119 Alternativa C
120 Alternativa A
121 Alternativa D
197
122
2𝑒𝑣20(𝑚 + 𝑀) (1 + 𝑒)sen𝛼
𝑔
(
𝑀 + 𝑚 sen2𝛼
)
123 Alternativa E
124 1 : 2 : 3 : ...
125 Alternativa B
126
181
126
127 Alternativa E
128 Alternativa B
129 Alternativa A
130
√︁
𝑀 (𝑚0 + 𝑀) − 𝑀; 𝐿
𝑚0
(√︁
𝑀2 + 𝑚0𝑀 − 𝑀
)
131
3
√
𝐿2 − 𝑑2
3 + 𝑟 (N) e
√︁
𝑟2𝐿2 + 3𝑑2(3 + 2𝑟)
3 + 𝑟 (H)
132 Demonstração
133 Demonstração
134 Alternativa A
135 Alternativa B
136 Alternativa C
137 ℎ
√︂
𝑚𝑔
2𝑀𝑙
138 Alternativa B
139
√︄
𝑔𝑙
[
4 cos4 𝛼
(1 + cos2 𝛼)2
− 2 sen𝛼 cos
2 𝛼
1 + cos2 𝛼
]
140 Alternativa D
141 Alternativa A
142
𝜋𝑑2𝑙2𝑔
2
(
𝜌 − 𝜌0
4
) (
1 − 𝑑2
𝐷2
)
143 2𝜏 − 𝑣
𝑔
− 𝐹
𝑀𝑔
𝜏;
𝑣2
2𝑔
+ 𝑣𝜏 +
(
𝑣
𝜏
+ 𝐹
2𝑀
) (
𝐹
𝑀
− 𝑔
)
𝜏2
𝑔
198
144 −2𝑚𝑔𝑅
(
1 −
√︂
1 − 𝑙2
4𝑅2
) √︂
1 − 𝑙2
4𝑅2
145 Alternativa C
146 Alternativa A
147 𝑔 sen
(𝛼
2
)
148
𝐹2
8𝑘
149 Alternativa A
150
2𝑚𝑀𝑙
𝑀2 − 𝑚2
151 (a) Demonstração; (b)
𝑙
4
; (c)
√︂
5𝑔𝑙
2
< 𝑣0 <
√︁
3𝑔𝑙
152 Alternativa A
153 Alternativa B
154 (a)
√︂
𝛼𝑟
𝑚
;
√︂
2𝛽𝑟2
𝑚
155 𝑣
√︂
𝑚
3𝑘
156 (𝑙 − 𝑙0) cos𝛼
√︂
𝑘
2𝑚
157 Alternativa A
158 Alternativa C
159
( 𝑎
𝑎 + 𝑏
)3/2 𝑇
2
160 (a)
𝑚𝑔𝐻
𝐹
; (b) 𝐹′ < 𝐹, 𝐹′ℎ < 𝑚𝑔𝐻; (c)
(
𝑅𝐻
𝑅 + 𝐻
)
𝑚𝑔
𝐹
161 Alternativa A
162 Alternativa B
163 Alternativa C
164
√︂
45𝐺𝑀
4𝑟
199
165 Alternativa A
166 Alternativa A
167
𝑘
2 − 𝑘
168 Alternativa A
169 Alternativa B
170 Alternativa E
171 Alternativa B
172 𝛼 =
7
288
173 Alternativa D
174
𝐺2𝑚3𝑀3(𝜖2 − 1)
2(𝑚 + 𝑀)𝐿2
175 Alternativa A
176
√︂
𝑔𝑅(𝑅 + 3ℎ)
𝑅 + ℎ
177 Alternativa A
178
√︁
10𝑔ℎ
179 (a) 𝑣1 =
√︁
2𝜋𝑅2𝐺𝜌; (b)
𝑣1𝑇
2𝜋
180 Demonstração
181 𝐴;
𝑎
𝑏
=
2𝑔𝑅
𝑣2
182 Alternativa A
183 Alternativa E
184 Alternativa C
185
𝐿
𝜋𝑣0 cos𝛼
√︂
𝑟
𝑔
= 1, 2, 3, ...
186 Alternativa D
187 (a)
4
sen𝛼
√︂
2ℎ
𝑔
; (b) Sim. Não
200
188 Alternativa A
189 Alternativa B
190 2
√︄
2𝑅
√
2
𝑔
[
1 + 1
cos(2𝛼)
]
; Sim, cujo valor será igual a 𝑇mín =
√︄
2𝑅
√
2
𝑔
191 Alternativa A
192
√︁
2𝑔𝑘 −Ω2
193 Demonstração
194 2𝜋
√︂
𝑀 + 𝑚/3
𝑘
195 (a) Demonstração; (b) Demonstração
196 Alternativa C
197 Alternativa A
198 Alternativa E
199 Alternativa E
200 Alternativa E
201 Alternativa A
202 Alternativa B
203
√︄
ℎ3𝜋2𝑚
2𝑘0𝑞2
204 (a) 𝑙0 = 𝑙 +
𝑚𝑔
𝑘
; (b) 2𝜋
√︂
𝑚
𝑘
; (c) 𝑥0 >
2𝑚𝑔
𝑘
; (d)
𝑘2𝑥2 − 4𝑚2𝑔2
8𝑚𝑔𝑘
205 (a) 𝑟0 =
𝑀𝑔
𝑚𝜔20
; (b)
𝜔0
2𝜋
√︂
3𝑚
𝑀 + 𝑚 ; (c) 𝜔
′ =
( 𝑟
𝑙 − ℎ
)2
𝜔
206 2𝜋
√︂
𝑚 + 𝜋𝑟2𝜀0𝐵2𝑑
𝑘
207 Alternativa B
208 (a) tg 𝜃0 =
𝜔2𝑟
𝑔
(1 + sen 𝜃0); (b) 2𝜋
√︄
𝑟 cos 𝜃0(1 + sen 𝜃0)
𝑔(1 + sen3𝜃0
201
209 (a)
3𝑚𝑔
2𝑘
; (b)
3𝜋
2
√︂
𝑚
𝑘
210 Demonstração
211 Alternativa A
212 Alternativa A
213
√︄
𝑔
𝑅
√︂
1 − 𝑙2
𝑅2
(no plano);
√︂
𝑔
√
𝑅2 − 𝑙2
(perpendicular ao plano)
214 (a) 𝑀 >
𝜔2𝑥0
𝑔 cos𝛼
𝑚; (b) 𝑣m =
𝑚
𝑀
tg𝛼𝑥0𝜔
215 Alternativa E
216 Alternativa A
217 Elipses rotacionadas
218
𝑝
𝑞
(𝑞 ≠ 0)
219 𝐹el = 𝑘 [𝐴2 cos(𝜔𝑡 + 𝜙2) − 𝐴1 cos(𝜔𝑡 + 𝜙1)]; �̄�pot =
𝑘
4
[
𝐴22 + 𝐴
2
1 − 2𝐴1𝐴2 cos(𝜙2 − 𝜙1)
]
220 2𝑘𝐴 sen
[(𝜔2 − 𝜔1
2
)
𝑡
]
sen
[(𝜔1 + 𝜔2
2
)
𝑡
]
221 Alternativa E
222 Alternativa D
223 Alternativa C
224 Alternativa B
225 Alternativa C
226
1
𝛿𝑡0 − (1 − 𝑒)𝑡
227 2𝜋
√︂
2𝑙1𝑙2
(𝑙1 + 𝑙2)𝑔
228 Alternativa A
229
19
8
230 Alternativa A
202
231 Alternativa E
232 Alternativa A
233 Alternativa C
234 Alternativa E
235 Alternativa D
236 Alternativa D
237 𝜌
1
2
𝑔𝑙𝑅2
√︁
(𝛼 − sen𝛼 cos𝛼)2+ sen4𝛼
238 Alternativa A
239 Alternativa D
240
𝑚
𝜋ℎ2 tg𝛼
(
𝑅 − ℎ tg𝛼
3
)
241 −2𝜋𝜌𝑣0𝜔𝑅3 𝑗
242 Alternativa E
243 (a) 74 N; (b) 150 m3
244
©­­­«
𝜌 − 𝜌0
𝜌 + 𝜌0𝑟
2
𝑅2 − 𝑟2
ª®®®¬ 𝑔
245 𝑦 =
𝜋2𝑣21
2𝑔𝑆22
𝑥4
246
√︂
2𝐹𝑆
𝜌(𝑆2 − 𝑠2)
247 O tempo de ejeção do líquido é muito curto implicando que 𝑣 → ∞ para ®𝐹 constante
248 Alternativa C
249 Alternativa A
250
𝑣20
2𝑔
− 8𝑔
(
𝑚
𝜋𝜌𝑣0𝑑2
)2
251 32 ◦C
203
252 Alternativa D
253 (a) Duas medidas; (b) A partir de duas medidas de 𝑅
254 𝑅 =
𝐿
4(𝜃2 + 1)
(
3𝜃 ±
√
𝜃2 − 8
)
255
𝑙𝛼𝜆
sen 𝜃
256 Demonstração
257 Demonstração
258 Alternativa D
259
𝑝0𝑉0
𝑁A𝑘B
(√︂
𝑘
𝑝0𝑉0
− 1
)2
260 Alternativa C
261 Alternativa A
262 Alternativa E
263 Alternativa A
264 Alternativa A
265 Alternativa D
266 O da Fig. II
267
(𝛾 − 1)
[
𝑛𝛼
(
𝑛
√
𝛼 − 1
)
− 𝛼 + 1
]
𝛼 − 1 + 𝛾𝑛𝛼
(
𝑛
√
𝛼 − 1
)
268 2𝑅
269
𝑚𝑔
2
(
2 + 𝑘𝑙 +
√
4 + 𝑘2𝑙2
𝑘
− tg𝛼
)
, onde 𝑘 =
𝑚𝑔 sen𝛼
𝑅𝑇
270 (a) A perda de energia deve ser igual a 2𝑚𝑣qm𝑢; (b) Demonstração
271 4
√︁
2(1 + sen 𝜃)
(
𝐷
𝑟 cos 𝜃
)1/2 (
1 − 𝑟
2𝐷
)
𝑇0
272 𝑇 = 𝑇0 +
𝑄
𝑐
, se 𝑄 ≤ 𝑐𝑇0𝐹
𝑝0𝑆
= 𝑄1 ou 𝑇 =
𝑄 + 𝑐𝑇0 + 𝑅𝑇0
(
1 + 𝐹
2𝑝0𝑆
)
𝑐
(
1 + 𝐹
𝑝0𝑆
)
+ 𝑅
(
1 + 𝐹
2𝑝0𝑆
) (
1 + 𝐹
𝑝0𝑆
)
, se
𝑄 ≥ 𝑄1
204
273 Alternativa A
274 Alternativa E
275 Alternativa E
276 (a) 4, 2 × 105 esferas; (b) 117 h
277 Alternativa D
278 𝑢 = −𝑣𝜖
279 (a) −𝜇𝑣2𝜖 ; (b) 𝐹 = −𝑇𝜖 e 𝑣 =
√︂
𝑇
𝜇
280 𝐹1 = −𝑇𝑏
𝐿
; 𝐹2 = 𝑇𝑏
(
𝑙 + 𝐿
𝑙𝐿
)
e 𝐹3 = −𝑇𝑏
𝑙
281 Alternativa E
282
𝜔𝑙
2 arcsen
(
𝜔
2𝜔0
) ; 𝜔0𝑙
283 𝐹 = 2𝐿2𝜌𝑣s𝑣. Se 𝜔 � 𝑣s
𝐿
, ocorre uma equalização quase completa da pressão devido à
corrente de ar
284 Alternativa B
285 Alternativa B
286
𝑣s𝑣𝜏√︁
𝑣2 − 𝑣2s
287 Alternativa A
288 Demonstração
289 (a) 0, 099 V; (b) 0, 070 V
290 Alternativa C
291
√
𝑑2 + 𝑙2
𝑣1
, se
𝑣1
𝑣2
≥ 𝑙
√
𝑑2 + 𝑙2
ou
𝑙
𝑣2
+ 𝑑
𝑣1𝑣2
√︃
𝑣22 − 𝑣
2
1, se
𝑣1
𝑣2
<
𝑙
√
𝑙2 + 𝑑2
292 Alternativa C
293
2𝑇ℎ2
𝑙
294 Alternativa A
205
295 1, 01 kHz
296 Alternativa C
297 𝜈0
(
𝑣s + 𝑤 − 𝑢
𝑣s + 𝑤 − 𝑣𝐹
) (
𝑣s − 𝑤 + 𝑣𝑂
𝑣s − 𝑤 + 𝑢
)
;
(𝑣s − 𝑤 + 𝑢) (𝑣s + 𝑤 − 𝑣𝐹)
𝜈0(𝑣s + 𝑤 − 𝑢)
298 Alternativa D
299 Demonstração
300 Alternativa B
301 Alternativa A
302 Alternativa A
303 Alternativa B
304 Alternativa B
305
12𝜋
√
3𝜔𝑅2𝑣
𝑐2
306 Alternativa B
307 (a) arcsen
(
sen 𝜙
𝑛
)
; (b) 𝜋 − 4𝛼 + 2𝜙 e (c) arccos
(√︂
𝑛2 − 1
3
)
308 Alternativa B
309 Alternativa A
310 Alternativa B
311 Alternativa C
312 Alternativa D
313 Alternativa C
314 Alternativa D
315
ℎ
𝛼(𝑛 − 1)
316 Alternativa E
317
(
𝑛 − 1
3𝑛 − 1
)
𝑅
206
318 Alternativa A
319 𝛿 =
(
𝑛2 − 𝑛1
𝑛2 − 1
)
𝛽 + 180◦
(
𝑛1 − 1
𝑛2 − 1
)
320 Demonstração
321 Alternativa B
322 Alternativa A
323 Alternativa C
324 Alternativa A
325 Alternativa D
326 𝑑 = 1, 0 𝜇m
327 (a) 𝐼 (𝑥, 𝜃) ∝
(
sen 𝛽
𝛽
)2 (
1 + sen𝛼 sen 𝛾
𝛼
)
, onde 𝛽 =
𝜋𝑎𝑥
𝜆 𝑓
, 𝛼 =
𝜋𝜃𝑑
𝜆
e 𝛾 =
2𝜋𝑥𝑑
𝜆 𝑓
; (b)
𝜃mín =
𝜆
𝑑
328 Alternativa C
329 Alternativa B
330 Alternativa A
331 (a) Demonstração; (b) Sim
332 Demonstração
333 Alternativa A
334 (a)
√︂
𝜆𝐿𝑃
𝐿 + 𝑃 ; (b)
√︂
𝜆𝐿 (𝐿 + 𝑃)
𝑃
335 Alternativa D
336 Alternativa E
337 (a) 𝐼 =
𝐼máx
𝑁2
©­­«
sen
𝑁𝛿
2
sen
𝛿
2
ª®®¬
2
cos2
(
𝜋𝑑 sen 𝜃
𝜆
)
; (b) 𝐼máx =
sen2
(
𝑎𝜋 sen 𝜃
𝜆
)
(𝑎𝜋 sen 𝜃/𝜆)2
cos2
(
𝜋𝑑 sen 𝜃
𝜆
)
338 Alternativa A
339 Alternativa C
207
340 𝐿/𝑐
341 Alternativa C
342 Alternativa B
343 Alternativa B
344 Sim, se 𝑓 (𝑟) for uma função do tipo 𝑓 (𝑟) = 𝑒−𝐴𝑟 , garantindo carga total zero para H
345 Alternativa E
346 Alternativa C
347 Alternativa B
348
𝑞𝐸
𝑚
√︂
𝑙
𝑔
349 Alternativa D
350 Alternativa E
351 𝑄est = 2𝜋𝐴𝑟20; 𝐸 =
𝐴
2𝜀0
352 𝜔 =
√︂
𝑘0𝛼𝑞𝑄
3𝑚𝑅3−𝛼
, se 𝛼𝑞𝑄 > 0
353 𝑚 =
7𝑞2(𝜀 − 𝜀0)
52𝜋𝑅2𝑔(𝜀 + 𝜀0)2
354 Alternativa D
355 Alternativa B
356
𝑄
2𝜋𝜀0𝑙
357 Alternativa A
358 −
√
2𝑞2 (𝑂𝐴); −
𝑞1√
2
(𝐴𝐵 e𝐷𝐴); 0 (𝑂𝐵 e𝑂𝐷); 𝑞1√
2
(𝐵𝐶 e𝐶𝐷) e
√
2𝑞2 (𝑂𝐶)
359
(
1 − ℎ
𝐻
)
𝐸0;
(
1 − ℎ2
𝐻2
)
𝑉0
360
√︄
𝑚𝐿2
2𝐸0𝑞𝑙
𝜋 − 2 arctg ©­«
√︄
𝑚𝑣20
2𝐸0𝑞𝑙
ª®¬

361 Alternativa E
208
362 − 𝑞2
𝜋𝜀0𝑎
[
ln 2 − 2
∞∑︁
𝑛=1
𝑛−1∑︁
𝑙=1
(
1
2𝑛
√
2
− 1
√
𝑛2 + 𝑙2
)]
363
4𝜋𝜀0𝑚𝑔𝑅(ℎ − 𝑅)
𝑞2
ou
4𝜋𝑅3𝜌
3𝑚
364 Alternativa B
365 Alternativa B
366 Alternativa B
367 Alternativa A
368 Alternativa A
369 Alternativa C
370 Alternativa A
371 Alternativa A
372 (a) 𝐸𝑛 =
𝑘0𝑞
2
𝑛
2𝑅
, com 𝑞𝑛 =
𝑄𝑅
𝑟
[
1 −
(
𝑅
𝑟 + 𝑅
)𝑛]
; (b) 𝐸∞ =
𝑘0𝑄
2𝑅
2𝑟2
373 Alternativa C
374 Alternativa C
375 Alternativa A
376 Alternativa A
377 Alternativa E
378 Alternativa B
379 Alternativa C
380
𝑁𝑅
4
, se 𝑁 for par ou
(
𝑁 − 1
𝑁
)
𝑅
4
, se 𝑁 for ímpar
381 (a)
𝑅
2𝑛
(
3𝑛 − 1 +
√
9𝑛2 + 2𝑛 + 1
)
; (b)
𝜀
𝑅
( √
9𝑛2 + 2𝑛 + 1 − 𝑛 − 1
√
9𝑛2 + 2𝑛 + 1 + 3𝑛 − 1
)
382 Alternativa D
383
𝑚𝑣2𝐼
2𝑒
− 𝑅𝐼2
209
384 𝑖 =
(
𝜋 − 2𝜃
𝜋 + 4
)
𝐼
385 Alternativa A
386 Alternativa B
387 Alternativa C
388 Alternativa C
389 (a)
𝑞𝑣
𝑑
e (b) Não
390 Alternativa B
391 Uma possibilidade de circuito seria:
𝐵
𝐴
𝐶
6 Ω
2 Ω 3 V
392 Alternativa D
393 𝐸 =
𝑛(𝑚 + 1)
2
𝜀 e 𝑅 =
𝑛(𝑛 + 1)
2𝑚
𝑟
394 Alternativa E
395
𝑐2
𝑣
396
𝜇0𝐼
2𝜋𝑅
(𝜋 − 𝜃 + tg 𝜃)
397 Alternativa C
398 Alternativa C
399
𝑉
𝑑
𝑣
𝑐2
400 Alternativa C
401
𝜔𝑉0
𝑐2
402 Alternativa D
403 Zero
404 Alternativa E
210
405 Alternativa A
406 Alternativa A
407 Alternativa C
408 Alternativa C
409 Alternativa A
410 2 arctg
(
𝑞𝐵𝑅
𝑚𝑣
)
411 𝜔máx =
𝐷𝑇0
𝐵𝑄𝑅2
412 Alternativa A
413
𝜔𝐵𝑟2
2
+ 𝑚𝑔𝑅
𝑟𝐵
sen(𝜔𝑡)
414
𝜋𝑁𝐼
3
(
𝑎2 + 𝑏2 + 𝑎𝑏
)
415 𝑑 (𝐴, 𝐴′) � 2𝑚𝑣0
𝑞𝐵
; 𝑙trans �
𝑚𝑣0
4𝑞𝐵
(𝛿𝛼)2
416 Alternativa B
417
𝜇0𝑎
2𝑉2
4𝑟𝑏2𝑙𝑅
418 Alternativa A
419 Alternativa B
420
(−1)𝑛
2
𝐵𝑅2𝛼𝑡, com 𝑛 = 1, 2, 3, ... (semivoltas do loop num tempo 𝑡)
421 (a) 2𝑎2𝐵𝜔 cos 𝜃. Será 𝐴 o que tem o maior potencial; (b) 2𝑎2𝐵𝜔
[
sen2
(
𝜃
2
)
+ 𝜃
𝜋
cos 𝜃
]
422 Alternativa A
423 Alternativa A
424
1
2𝜋
√︂
1
𝐿𝐶
− 𝑅2
𝐿2
425 𝐿 = 𝐶2𝑅2𝑅1 = 𝐶1𝑅3𝑅1
426 Demonstração
211
427 Alternativa D
428
𝐿1𝐿2 − 𝐿212
𝐿1 + 𝐿2 ∓ 2𝐿12
429 Alternativa A
430 𝐸 = 0, 𝐵 =
2𝐸
𝑐
; O movimento do elétrico por ser com velocidade constante nos dá
𝐸 = 𝑣𝐵/𝑐 < 𝐵
431 Alternativa B
432 Alternativa A
433 2, 4 𝜇N
434 1010 s
435 Alternativa A
436 (a) 𝐸 ≥ ℏ2
2𝑚𝑟2
− 𝑘0𝑒
2
𝑟
; (b) 𝑟mín =
ℏ2
𝑚𝑘0𝑒2
e 𝐸mín = −
𝑘20𝑒
4𝑚
2ℏ2
437 Alternativa C
438 Alternativa A
439 Alternativa D
440
7, 0 × 109
𝜋
W/cm2
441 Alternativa D
442 Alternativa A
443 Alternativa D
444 2, 07 𝜇m
445 Alternativa C
446 (a) 80 nm; (b) 102 nm e (c) 89 nm
447 Alternativa C
448 𝑟 ∝ 𝑛1/2 e 𝐸 ∝ 𝑛
449 ℎ𝜈 − 𝑒𝑈0
450 Demonstração
212
451 Alternativa D
452 Demonstração
453 Alternativa A
454 Alternativa E
455 𝐸𝑛 = 𝑛ℏ𝜔; A frequência do oscilador que é 𝜔 (2𝜋𝜈 = 𝜔)
456 Demonstração
457 Demonstração
458 Demonstração
459 Alternativa C
460 Alternativa B
461 Alternativa A
462 8, 00 h
463
2𝐿
𝑐
;
𝑣
𝑐
=
20
29
464 Alternativa B
465 Demonstração
466 𝑦′ = exp
(
−𝑏
√︁
1 − 𝑣2/𝑐2
𝑢 − 𝑣 𝑥′
)
467 Alternativa D
468 (a)
2𝜋𝑟
𝑣0
√︁
1 − 𝑣2/𝑐2
; (b)
(
𝜋𝑟
𝑣0
+ 2𝑟𝑣
𝑐2
) (
1 − 𝑣2
𝑐2
)−1/2
469 𝛿𝑡 =
𝜋𝑅𝑣
𝑐2
470 Alternativa A
471 Um globo com raio 𝑅0 que foi girado no sentido anti-horário por um pequeno ângulo
𝑣
𝑐
472 Alternativa D
473 Alternativa A
474 𝜆′ �
𝜆
2 × 10𝑛
213
475 Demonstração
476 Demonstração
477 (a) Demonstração; (b)
𝜈
𝜈0
=
sen 𝜃0
sen 𝜃
=
𝑐 cos 𝜃0 + 𝑣
𝑐 cos 𝜃 − 𝑣 =
𝑐 + 𝑣 cos 𝜃0
𝑐 − 𝑣 cos 𝜃
478 Demonstração
479 Alternativa C
480 𝜈0;
𝛾(𝑢2)
𝛾(𝑢1)
(
1 − 𝑢2 cos 𝜃2/𝑐
1 − 𝑢1 cos 𝜃1/𝑐
)
𝜈0
481 Alternativa E
482
𝛾0
2 + 𝛾0
𝑣0 e 𝑚0
√︁
5 + 4𝛾0, onde 𝛾0 = 1/
√︃
1 − 𝑣20/𝑐2483 Alternativa A
484
𝑚𝑀𝑐2 [𝛾(𝑢) − 1]
ℎ [𝑀 + 𝑚𝛾(𝑢) (1 − 𝑢/𝑐)]
485 Alternativa A
486
2𝑚𝑐2
ℎ
(
1 + 𝑚
𝑀
)
487 Alternativa D
488 Demonstração
489 Alternativa C
490 Alternativa D
491 𝜃c = arccos
[
1
𝑛𝛽
+ 𝑛ℎ𝜈
2𝑚0𝑐2
(
1 − 1
𝑛2
) √︂
1
𝛽2
− 1
]
; 𝜃m = arccos
(
1
𝑛𝛽
)
, onde 𝛽 = 𝑣/𝑐
492 𝑑𝑚 =
(
𝑇𝑙/𝑐2 + 2𝑀
𝑀 + 𝑚 + 𝑇𝑙/𝑐2
)
𝑙
2
; 𝑑𝑀 =
(
𝑇𝑙/𝑐2 + 2𝑚
𝑀 + 𝑚 + 𝑇𝑙/𝑐2
)
𝑙
2
493 Alternativa C
494 𝑀 =
2𝐸
𝑐2
sen
(
𝜃
2
)
495 𝜃c = arccos
(
𝜆0𝑚𝑐
ℎ
)
496 Demonstração
214
497
𝐸𝑦
𝑐2
=
𝑥2 + 𝑦2 − 𝑧2
2𝑥
;
𝐸𝑧
𝑐2
=
𝑥2 + 𝑧2 − 𝑦2
2𝑥
;
𝑝
𝑐
=
√︁
𝑥4 + 𝑦4 + 𝑧4 − 2𝑥2𝑦2 − 2𝑥2𝑧2 − 2𝑦2𝑧2
2𝑥
498
𝐿
𝑐
;
𝐸𝐿
𝑀𝑐2
499
𝑚𝑐2(𝛾 − 1)
𝑇
;
𝛾𝑚𝑣
𝑇
500 𝜃 = 2𝛼 =
2𝐺𝑀
𝑐2𝑅
Parte III
Soluções
215
217
001 Pelo enunciado, 𝛿𝑀/𝑀 = 𝛼, 𝛿𝐿/𝐿 = 𝛽 e 𝛿𝑇/𝑇 = 𝛾. Note que 𝑋 = 𝑓 (𝑀, 𝐿,𝑇) é
diferenciável em 𝑀 , 𝐿 e 𝑇 , disso
𝑋 + 𝛿𝑋 = (𝑀 + 𝛿𝑀)𝑎 (𝐿 + 𝛿𝐿)𝑏 (𝑇 + 𝛿𝑇)−𝑐
= 𝑀𝑎𝐿𝑏𝑇−𝑐
(
1 + 𝛿𝑀
𝑀
)𝑎 (
1 + 𝛿𝐿
𝐿
)𝑏 (
1 + 𝛿𝑇
𝑇
)−𝑐
� 𝑋 (1 + 𝑎𝛼) (1 + 𝑏𝛽) (1 − 𝑐𝛾)
1 + 𝛿𝑋
𝑋
= (1 + 𝑎𝛼 + 𝑏𝛽 + 𝑎𝑏𝛼𝛽) (1 − 𝑐𝛾)
= 1 + 𝑎𝛼 + 𝑏𝛽 + 𝑎𝑏𝛼𝛽 − 𝑐𝛾 − 𝑎𝑐𝛼𝛾 − 𝑏𝑐𝛽𝛾 − 𝑎𝑏𝑐𝛼𝛽𝛾,
e sendo os termos de 2ª e 3ª ordens desprezíveis diante dos outros, temos
1 + 𝛿𝑋
𝑋
� 1 + 𝑎𝛼 + 𝑏𝛽 − 𝑐𝛾 =⇒
(
𝛿𝑋
𝑋
)
% = (𝑎𝛼 + 𝑏𝛽 − 𝑐𝛾) × 100% .
002 Alternativa C
A menor medida, que o nônio dará, será
1 mm
10 divisões
= 0, 1 mm
e essa escala móvel (nônio) tem seu 1º traço coincidindo com o da principal. Então, a
medida da aresta do cubo será
𝑙 = 𝑝 + 𝑛 = 10 + 1 · 0, 1 = 10, 1 =⇒ 𝑙 = 1, 01 cm.
𝑙
Portanto
𝜇 =
𝑚
𝑙3
=
2, 736 g
(1, 01)3 cm3
�
2, 736
1, 03
=⇒ 𝜇 � 2, 66 g/cm3 .
003 Se 𝑋 = 𝑎 + 𝑏, evidentemente, 𝛿𝑋 = 𝛿𝑎 + 𝛿𝑏. Assim(
𝛿𝑋
𝑋
)
máx
=
𝛿𝑎 + 𝛿𝑏
𝑎 + 𝑏 =⇒
(
𝛿𝑋
𝑋
)
máx
% =
(
𝛿𝑎
𝑎 + 𝑏 + 𝛿𝑏
𝑎 + 𝑏
)
× 100% .
004 Alternativa D
Temos que
[𝜆c] = [𝑘] [ℏ]𝑥 [𝑚0]𝑦 [𝑐]𝑧
𝑀0𝐿1𝑇0 =
(
𝐿2𝑀𝑇−1
)𝑥
𝑀 𝑦
(
𝐿𝑇−1
) 𝑧
= 𝑀𝑥+𝑦𝐿2𝑥+𝑧𝑇−𝑥−𝑧 =⇒

𝑥 + 𝑦 = 0
2𝑥 + 𝑧 = 1
−𝑥 − 𝑧 = 0
.
Resolvendo esse sistema, 𝑥 = 1 , 𝑦 = −1 e 𝑧 = −1 .
218
005 Alternativa E
Se tal expressão é coerente, fisicamente, temos[
1
𝑛𝛽
]
=
[
𝑋
2𝑝𝑣g
(
1 − 1
𝑛2
)]
=
[
𝑋
𝑝𝑣g
]
=⇒ [𝑋] = 𝑀𝐿2𝑇−2 ,
ou seja, 𝑋 tem unidades de energia.
006 Alternativa A
Se a expressão de 𝐸 é fisicamente aceitável, temos
[𝐸] =

𝑛∑︁
𝑗=1
𝑘 𝑗𝑣
𝑗
𝑗
𝑗!

𝑀𝐿2𝑇−2 = [𝑘 𝑗 ]
(
𝐿𝑇−1
) 𝑗
[𝑘 𝑗 ] = 𝑀𝐿2− 𝑗𝑇−2+ 𝑗 (1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛).
Portanto [
𝑘9𝑘17
𝑘12
]
=
𝑀𝐿−7𝑇7 · 𝑀𝐿−15𝑇15
𝑀𝐿−10𝑇10
= 𝑀𝐿−12𝑇12 .
007 Alternativa C
Pela lei de Força de Lorentz para uma partícula carregada, em movimento num campo
magnético, vem
®𝐹 = 𝑞®𝑣 × ®𝐵
= 𝑞®𝑣 ×
(
∇ × ®𝐴
)
, onde:

∇ = 𝑖
𝜕
𝜕𝑥
+ 𝑗 𝜕
𝜕𝑦
+ �̂� 𝜕
𝜕𝑧
(op. nabla)
®𝐴→ potencial elétrico
.
Assim
𝑀𝐿𝑇−2 = 𝐼𝑇 · 𝐿𝑇−1 · 𝐿−1 · [ ®𝐴] =⇒ [ ®𝐴] = 𝑀𝐿𝐼−1𝑇−2 .
008 Alternativa A
Se 𝐸𝑛 é fisicamente aceitável,
[𝑚2e𝑐4] = [𝑐2ℏ2𝑥2] =⇒ [𝑥] = [𝑚e𝑐/ℏ] = m−1 e [𝑚2e𝑐4] = [2𝑛ℏ𝑦𝑚e𝑐2] =⇒ [𝑦] = [𝑚e𝑐2/ℏ] = s−1.
Ou seja, [𝑦]/[𝑥] = m/s .
009 O argumento trigonométrico é sempre adimensional, então,
[𝜔𝑦 − 𝜙] = 1 =⇒ [𝜔] [𝑦] = 1 =⇒ [𝑦] = 𝑇 .
E para 𝑥, temos[
𝑚𝑣2 sen(𝜔𝑦 − 𝜙)
]
=
[
𝜋
√
𝑥
𝑦2
]
[
𝑚𝑣2
]
=
[𝑥]1/2
[𝑦]2
=⇒ 𝑀𝐿2𝑇−2 =
[𝑥]1/2
𝑇2
=⇒ [𝑥] = 𝑀2𝐿4 .
219
010 Temos que
[𝑅𝑛 cos 𝜃𝑛]𝑥
[𝑅𝑛−1 sen 𝜃𝑛−1] 𝑝
= 𝐿2 e
[𝑅𝑛−1 cos 𝜃𝑛−1]𝑦
[𝑅𝑛 sen 𝜃𝑛]𝑧
= 𝐿2,
ou seja,
𝐿𝑥−𝑝 = 𝐿2 e 𝐿𝑦−𝑧 = 𝐿2,
disso
(𝑥 − 𝑝) (𝑧−𝑦) = 2−2 = 1
4
.
011 Alternativa A
Pelo teorema de Bridgmann, 𝑚 = 𝑘 𝑐𝑎𝐺𝑏ℎ𝑐 (𝑘 é adimensional), mas, [𝑐] = 𝐿𝑇−1,
[𝐺] = 𝑀−1𝐿3𝑇−2 e [ℎ] = 𝑀𝐿2𝑇−1, disso(
𝐿𝑇−1
)𝑎 (
𝑀−1𝐿3𝑇−2
)𝑏 (
𝑀𝐿2𝑇−1
)𝑐
= 𝑀1𝐿0𝑇0
𝑀−𝑏+𝑐𝐿𝑎+3𝑏+2𝑐𝑇−𝑎−2𝑏−𝑐 =
=⇒

−𝑏 + 𝑐 = 1
𝑎 + 3𝑏 + 2𝑐 = 0
−𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 = 0
=⇒ [𝑚] = 𝑐1/2𝐺−1/2ℎ1/2 .
012 Alternativa A
Pela definição do módulo de Young, temos
𝐹
𝑆
= 𝐸
Δ𝑙
𝑙
=⇒
[
𝐹
𝑆
]
= [𝐸]
[
Δ𝑙
𝑙
]
𝑀𝐿𝑇−2
𝐿2
= [𝐸] 𝐿
𝐿
=⇒ [𝐸] = 𝑀𝐿−1𝑇−2,
disso
[𝐸] = 𝐹𝑎𝑉 𝑏𝐴𝑐 = 𝑀𝑎𝐿𝑎+𝑏+𝑐𝑇−2𝑎−𝑏−2𝑐 =⇒

𝑎 = 1
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = −1
−2𝑎 − 𝑏 − 2𝑐 = −2
,
ou seja, 𝑎 = 1 , 𝑏 = −4 e 𝑐 = 2 .
013 Alternativa E
As dimensões de 𝜂 serão
[𝜂] = 𝑀𝐿𝑇−2 · 𝑇
𝐿2
= 𝑀𝐿−1𝑇−1.
Para os itens, vem
220
(a)
[
𝑚𝑟2
6𝜋𝜂
]
=
𝑀𝐿2
𝑀𝐿−1𝑇−1 = 𝐿
3𝑇 ;
(b)
[√︄
6𝜋𝑚𝑟𝜂
𝑔2
]
=
√︂
𝑀𝐿 · 𝑀𝐿−1𝑇−1
𝐿2𝑇−4 = 𝑀𝐿−1𝑇3/2;
(c)
[
𝑚
6𝜋𝜂𝑟𝑣
]
=
𝑀
𝑀𝐿−1𝑇−1 · 𝐿2𝑇−1 = 𝐿
−1𝑇2 e
(d)
[
𝑚
𝜂𝑟𝑣
]
= 𝐿−1𝑇2.
Ou seja, nenhum item acima tem dimensão somente do tempo.
014 Alternativa B
Pelo teorema de Bridgmann, e sendo 𝑘 uma constante numérica de proporcionalidade,
podemos escrever
Δ𝑚
𝐴Δ𝑡
= 𝑘 (Δ𝑝)𝑥𝑣𝑦,
então [
Δ𝑚
𝐴Δ𝑡
]
= [Δ𝑝]𝑥 [𝑣]𝑦
𝑀
𝐿2𝑇
=
(
𝑀𝐿𝑇−2
𝐿2
)𝑥 (
𝐿𝑇−1
) 𝑦
𝑀𝐿−2𝑇−1 = 𝑀𝑥𝐿−𝑥+𝑦𝑇−2𝑥−𝑦 =⇒ 𝑥 = 1 e 𝑦 = −1 =⇒ 𝑥 = −𝑦 .
015 Alternativa D
Sendo [𝑌 ] = 𝑀𝐿−1𝑇−2, e escrevendo 𝑇 = 2𝜋 𝑚𝑎𝑙𝑏𝑌 𝑐 (teorema de Bridgmann), temos
[𝑇] = [𝑚]𝑎 [𝑙]𝑏 [𝑌 ]𝑐
𝑀𝑎+𝑐𝐿𝑏−𝑐𝑇−2𝑐 = 𝑀0𝐿0𝑇1 =⇒ 𝑐 = −1
2
, 𝑏 = −1
2
e 𝑎 =
1
2
=⇒ 𝑇 = 2𝜋
√︂
𝑚
𝑌𝑙
.
016 Para a galáxia 𝐺𝑖, o movimento da 𝐺 𝑗 é esquematizado como:
𝐺𝑖
𝐺 𝑗
®𝑟𝑖 𝑗
®𝑣𝑖
®𝑣 𝑗
Evidentemente, ®𝑣 𝑗 − ®𝑣𝑖 = 𝐻0(®𝑟 𝑗 − ®𝑟𝑖), ou seja, ®𝑣 𝑗𝑖 = 𝐻0®𝑟 𝑗𝑖. Isso significa que a lei
de Hubble continua válida para referenciais móveis (galáxias) pois 𝐻0 não depende da
escolha deles.
221
017 Alternativa D
Pela figura abaixo, a resultante ®𝑅 terá módulo tal que
𝐴
𝐵
𝑅
150
◦
𝑅2 = 𝐴2 + 𝐵2 + 2𝐴𝐵 cos 150◦
= 𝐴2 + 𝐵2 − 𝐴𝐵
√
3,
e usando o valor de 𝐴, segue
𝑅2 = 16 − 4
√
3𝐵 + 𝐵2 = 𝑓 (𝐵).
O mínimo de 𝑓 será
𝑓mín = − Δ
4𝑎
=
−
(
−4
√
3
)2
+ 4 · 1 · 16
4
=
−48 + 64
4
= 4 =⇒ 𝑅mín = 2 𝜇 .
018 Alternativa E
Representemo-lo por ®𝑅, disso
®𝑅 = ®𝐴 + ®𝐵︸︷︷︸
®𝐸
+ ®𝐶 + ®𝐷︸︷︷︸
®𝐸
+ ®𝐸 + ®𝐹︸︷︷︸
®𝐺
+ ®𝐺
= ®𝐸 + ®𝐸 + ®𝐺 + ®𝐺 =⇒ ®𝑅 = 2 ®𝐸 + 2 ®𝐺 .
019 Alternativa E
Veja o esquema abaixo:
®𝐴
®𝐵
®𝐶
𝜃
®𝑅
𝑃
𝜃
𝑀
𝑁
𝑎
−
𝑎
se
n
𝜙
𝑎 cos 𝜙 − 𝑅
𝜙
222
No triângulo 𝑀𝑁𝑃, temos
tg 𝜃 =
𝑎(1 − sen 𝜙)
𝑎 cos 𝜙 − 𝑅
𝑎 cos 𝜙 tg 𝜃 − 𝑅 tg 𝜃 = 𝑎 − 𝑎 sen 𝜙
𝑅 tg 𝜃 = 𝑎 tg 𝜃 cos 𝜙 − 𝑎 + 𝑎 sen 𝜙
𝑅 = 𝑎 cos 𝜙 + 𝑎 sen 𝜙
tg 𝜃
− 𝑎
tg 𝜃
𝑅 + 𝑎
tg 𝜃
= 𝑎 cos 𝜙 + 𝑎 sen 𝜙
tg 𝜃
,
definindo 𝑥 = 𝑅 + 𝑎/tg 𝜃, vem
𝑥 = 𝑅 + 𝑎
tg 𝜃
= 𝑎 cos 𝜙 + 𝑎 sen 𝜙
tg 𝜃
=
√︄
𝑎2 + 𝑎2
tg2𝜃
sen(𝜃 + 𝛼),
ou seja, o valor máximo disso será
𝑥máx = 𝑎
√︄
1 + 1
tg2𝜃
=
𝑎
sen 𝜃
,
assim
𝑅máx = 𝑎
(
1
sen 𝜃
− 1
tg 𝜃
)
= 𝑎
(
1 − cos 𝜃
sen 𝜃
)
= 𝑎
√︄
(1 − cos 𝜃)2
sen2 𝜃
= 𝑎
√︂
1 − cos 𝜃
1 + cos 𝜃 =⇒ 𝑅máx = 𝑎 tg
(
𝜃
2
)
.
020 Alternativa C
Observe:
®𝐵
®𝐴
®𝑥
®𝑥
®𝑥
®𝐴𝑀 𝑁
𝑁′
𝑄
𝐺
No triângulo 𝑀𝑄𝑁 , temos
3®𝑥 = ®𝐴 − ®𝐵 =⇒ ®𝑥 =
®𝐴 − ®𝐵
3
.
223
021 Veja:
®𝑟
𝐴
𝑃1
𝑃2𝑃3
𝑃4
𝑂
®𝑦
®𝑦
®𝑥
®𝑥
®𝑟1
®𝑟4
®𝑟2®𝑟3
Pela figura,
{
®𝑥 = ®𝑟4 − ®𝑟 = ®𝑟 − ®𝑟1
®𝑦 = ®𝑟1 − ®𝑟 = ®𝑟 − ®𝑟3
, ou seja, ®𝑟2 + ®𝑟4 = 2®𝑟 e ®𝑟1 + ®𝑟3 = 2®𝑟. Assim
®𝐹 = −𝛼®𝑟1 − 𝛼®𝑟2 − 𝛼®𝑟3 − 𝛼®𝑟4 =⇒ ®𝐹 = −4𝛼®𝑟 .
Sejam ®𝑅1, ®𝑅2, ®𝑅3, ..., ®𝑅𝑛 vetores que saem de 𝑂 e vão para os vértices do polígono, ou
seja, ®𝑅1 liga 𝑂 a 𝑃1 e assim por diante. E os vetores ®𝑟1, ®𝑟2, ®𝑟3, ..., ®𝑟𝑛 saem de 𝑃1, 𝑃2, 𝑃3,
..., 𝑃𝑛, respectivamente, e chegam a 𝐴, tais que
®𝑟 = ®𝑅1 + ®𝑟1
®𝑟 = ®𝑅2 + ®𝑟2
®𝑟 = ®𝑅3 + ®𝑟3
...
®𝑟 = ®𝑅𝑛 + ®𝑟𝑛
.
Somando todas essas equações, vem
𝑛 ®𝑟 =
𝑛∑︁
𝑘=1
®𝑅𝑘︸ ︷︷ ︸
0
+
(
−
®𝐹
𝛼
)
=⇒ ®𝐹 = −𝑛𝛼 ®𝑟 ,
onde a somatória desaparece porque o polígono é regular, e ®𝐹 = ®𝑓1 + ®𝑓2 + ®𝑓3 + ... + ®𝑓𝑛 com
®𝑓𝑘 = −𝛼 ®𝑟.
022 Alternativa A
O circuito vetorial destacado é fechado, logo
®𝐵
®𝐴
®𝑋
2 ®𝐴
®𝐴/2
®𝐵/4
224
®𝑋 +
®𝐴
2
−
®𝐵
4
− 2 ®𝐴 = ®0 =⇒ ®𝑋 =
3
2
®𝐴 + 1
4
®𝐵 .
023Desenhando os vetores, vem:
𝑗
𝑖
®𝑎 ®𝑏
𝛼
𝐴 = (−𝑅, 0)
𝐶 = (𝑅, 0)
𝐵 = (𝑅 cos𝛼, 𝑅 sen𝛼)
𝑅
Pela figura, os vetores ®𝑎 e ®𝑏 serão expressos por ®𝑎 = (𝑅 cos𝛼, 𝑅 sen𝛼) − (−𝑅, 0) =
𝑅(1 + cos𝛼, sen𝛼) e ®𝑏 = 𝑅(−1 + cos𝛼, sen𝛼). Assim
®𝑎 · ®𝑏 = 𝑅2(cos2 𝛼 + sen2𝛼︸ ︷︷ ︸
1
−1)
= 0.
Ou seja, o triângulo 𝐴𝐵𝐶 é retângulo em 𝐵, pois ®𝑎 e ®𝑏 são perpendiculares. (QED)
024 Podemos reescrever 𝑥 da seguinte forma
𝑥 = 𝐴 sen(𝐶𝑡) + 𝐵 cos(𝐶𝑡)
=
√︁
𝐴2 + 𝐵2
[
𝐴
√
𝐴2 + 𝐵2
sen(𝐶𝑡) + 𝐵
√
𝐴2 + 𝐵2
cos(𝐶𝑡)
]
= 𝑥0 [−sen 𝜙 sen(𝐶𝑡) + cos 𝜙 cos(𝐶𝑡)]
= 𝑥0 cos(𝐶𝑡 + 𝜙),
onde 𝑥0 =
√
𝐴2 + 𝐵2, sen 𝜙 = −𝐴/
√
𝐴2 + 𝐵2 e cos 𝜙 = 𝐵/
√
𝐴2 + 𝐵2. Isso descreve um
MHS. Todo movimento harmônico é periódico, mas, nem todo movimento periódico é
harmônico (p. ex., o movimento geostacionário de um satélite).
025 Para um instante 𝑡 + 𝑇 , a posição será
𝑥(𝑡 + 𝑇) = 𝐴 sen(𝐶𝑡 + 𝐶𝑇) + 𝐵 cos(𝐶𝑡 + 𝐶𝑇)
= 𝐴 [sen(𝐶𝑡) cos(𝐶𝑇) + cos(𝐶𝑡) sen(𝐶𝑇)] + 𝐵 [cos(𝐶𝑡) cos(𝐶𝑇) − sen(𝐶𝑡) sen(𝐶𝑇)]
= [𝐴 cos(𝐶𝑇) − 𝐵 sen(𝐶𝑇)] sen(𝐶𝑡) + [𝐴 sen(𝐶𝑇) + 𝐵 cos(𝐶𝑇)] cos(𝐶𝑡),
e para que esse movimento seja periódico, 𝑥(𝑡 + 𝑇) = 𝑥(𝑡), ou seja,{
𝐴 cos(𝐶𝑇) − 𝐵 sen(𝐶𝑇) = 𝐴
𝐴 sen(𝐶𝑇) + 𝐵 cos(𝐶𝑇) = 𝐵 ∼
{
cos(𝐶𝑇) − 1 = 𝐵/𝐴 sen(𝐶𝑇)
1 − cos(𝐶𝑇) = 𝐴/𝐵 sen(𝐶𝑇) ,
225
que nos dá
cos(𝐶𝑇) − 1
sen(𝐶𝑇) =
sen(𝐶𝑇)
1 − cos(𝐶𝑇) =⇒ 𝑛 = −1
𝑛
=⇒ 𝑛2 = −1,
ou ainda
cos(𝐶𝑇) − 1
sen(𝐶𝑇) = 𝑖 (𝑖 =
√
−1)
𝑖 sen(𝐶𝑇) + 1 − cos(𝐶𝑇) = 0 =⇒
{
sen(𝐶𝑇) = 0
cos(𝐶𝑇) = 1 ,
cujas soluções serão 𝐶𝑇 = 2𝜋 𝑘 , com 𝑘 = 1, 2, 3, ... . Precisamos ter 𝑇 > 0 (menor
intervalo de tempo), isto é,
𝐶𝑇 = 2𝜋 =⇒ 𝑇 =
2𝜋
𝐶
.
Antes, acompanhe:
𝑣(𝑡) = 𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝐴𝐶 cos(𝐶𝑡) − 𝐵𝐶 sen(𝐶𝑡)
𝑎(𝑡) = 𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
=
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= −𝐴𝐶2 sen(𝐶𝑡) − 𝐵𝐶2 cos(𝐶𝑡)
= −𝐶2
𝐴 sen(𝐶𝑡) + 𝐵 cos(𝐶𝑡)︸ ︷︷ ︸
𝑥
 = −𝐶2𝑥.
Assim
𝑎(𝑥) = 𝐹 (𝑥)
𝑚
= −𝑛𝛼
𝑚
𝑥 = −𝐶2𝑥 =⇒ 𝐶 =
√︂
𝑛𝛼
𝑚
.
026 Colocando os instantes e as distâncias, temos:
𝐵
(𝑡𝐵)
𝐴
(𝑡𝐴) 𝐶
(𝑡𝐶)
𝑂
𝑥
𝐿 𝐿
𝑥 − 𝐿
2𝐿 − 𝑥𝑣s
Pelo enunciado,

𝑡𝐴 = 𝑥/𝑣s
𝑡𝐵 = (𝑥 − 𝐿)/𝑣s
𝑡𝐶 = (2𝐿 − 𝑥)/𝑣s
. Disso, 𝑡𝐴 − 𝑡𝐵 = 𝐿/𝑣s e
3𝑡𝐴 − 2𝑡𝐵 − 𝑡𝐶 =
3𝑥
𝑣s
− 2(𝑥 − 𝐿)
𝑣s
− (2𝐿 − 𝑥)
𝑣s
=
2𝑥
𝑣s
.
226
Portanto
3𝑡𝐴 − 2𝑡𝐵 − 𝑡𝐶 =
2𝑥
𝐿/(𝑡𝐴 − 𝑡𝐵)
=⇒ 𝑥 =
(
3𝑡𝐴 − 2𝑡𝐵 − 𝑡𝐶
𝑡𝐴 − 𝑡𝐵
)
𝐿
2
.
027 O movimento da haste pode ser decomposto em dois movimentos independentes entre si:
(i) rotação instantânea em torno de𝑇 e (ii) translação ao longo da haste. Pela figura, temos
𝐴
𝐵
𝑥
𝑙 −
𝑥
𝑅
𝛼
𝑇 (eixo de rotação)
𝑣𝐵
𝑣𝐴 sen𝛼
𝑣 𝐴
cos
𝛼
�̂�
𝑡
𝑣𝐵𝑡 = 𝑣 cos𝛼 =
𝑥
√
𝑥2 + 𝑅2
𝑣 e 𝑣𝐵𝑛 =
𝑥𝑅
(𝑙 − 𝑥)
√
𝑥2 + 𝑅2
𝑣.
Assim
𝑣2𝐵 =
𝑥2𝑅2𝑣2
(𝑙 − 𝑥)2(𝑥2 + 𝑅2)
+ 𝑥2𝑣2
𝑥2 + 𝑅2
e para 𝑥 = 𝑙/2 = 𝑥0
𝑣2𝐵 =
𝑥20𝑅
2𝑣2
(2𝑥0 − 𝑥0)2(𝑥20 + 𝑅2)
+
𝑥20𝑣
2
𝑥20 + 𝑅2
=
(𝑥20 + 𝑅
2)𝑣2
𝑥20 + 𝑅2
= 𝑣2 =⇒ 𝑣𝐵 = 𝑣. (QED)
028 Considere o esquema trigonométrico abaixo:
90◦ − 𝛼
𝛼
𝐵
𝑣𝑡2
𝐴
𝑀1
𝑀2
𝑂
𝑣s𝑡1
𝑣s 𝑡2
𝑙
Fig. I
227
É evidente que os microfones 𝑀1 e 𝑀2 detectam o som em instantes diferentes e iguais a
𝑡1 e 𝑡2 (𝑡2 > 𝑡1), disso, 𝐴𝑀1 = 𝑣s𝑡1 e 𝐴𝑀2 = 𝑣s𝑡2. E o avião percorre 𝐴𝐵 num tempo 𝑡2.
Do triângulo 𝐴𝐵𝑀2, temos
cos(90◦ − 𝛼) = sen𝛼 =
𝑣s𝑡2
𝑣𝑡2
=⇒ sen𝛼 =
𝑣s
𝑣
(I) e
usando a lei dos cossenos no triângulo 𝐴𝑀1𝑀2, vem
𝑣2s 𝑡
2
1 = 𝑣
2
s 𝑡
2
2 + 𝑙
2 − 2𝑙𝑣s𝑡2 cos𝛼 =⇒ 𝑣2s
(
𝑡22 − 𝑡
2
1
)
= 2𝑙𝑣s𝑡2 cos𝛼 − 𝑙2 (II),
e usando (I) em (II), temos
𝑣2s
(
𝑡22 − 𝑡
2
1
)
= 2𝑙𝑣s𝑡2
√︄
1 − 𝑣2s
𝑣2
− 𝑙2
𝑣𝑣2s
(
𝑡22 − 𝑡
2
1
)
= 2𝑙𝑣s
√︃
𝑣2 − 𝑣2s 𝑡2 − 𝑣𝑙2
𝑣𝑙2 + 𝑣𝑣2s𝜏(𝑡1 + 𝑡2) = 2𝑡2𝑙𝑣s
√︃
𝑣2 − 𝑣2s
𝑣𝑙2
2𝑙𝑣s
√︁
𝑣2 − 𝑣2s − 𝑣𝑣2s𝜏
+
𝑣𝑣2s𝜏
2𝑙𝑣s
√︁
𝑣2 − 𝑣2s − 𝑣𝑣2s𝜏
𝑡1 = 𝑡2,
como 𝑡2 = 𝑡1 + 𝜏, vem
𝑣𝑣2s𝜏
2𝑙𝑣s
√︁
𝑣2 − 𝑣2s − 𝑣𝑣2s𝜏
= 1 =⇒ 𝑣𝑣2s𝜏 = 𝑙𝑣s
√︃
𝑣2 − 𝑣2s =⇒ 𝑣 =
𝑙𝑣s√︁
𝑙2 − 𝑣2s𝜏2
.
Por curiosidade, a outra relação nos dá um valor imaginário para 𝑣, ou seja, não serve.
Apesar do termo independente ser 𝜏, temos ainda a outra solução para 𝑣, que é real com
𝑙 > 𝑣s𝜏.
Solução alternativa por Ondulatória: Nesse caso, é preciso considerar 𝜏 � 𝑡1, 𝑡2. Disso,
a diferença de caminho sonoro será 𝑣s(𝑡2 − 𝑡1) = 𝑣s𝜏. Na figura I, o segmento 𝐵𝑀2 é a
geratriz do cone de Mach:
®𝑣
𝑙
®𝑣s
𝛼
𝛼
𝑣s𝜏
√︁
𝑙2 − 𝑣2s𝜏2
Fig. II
228
Da relação de Mach, cos𝛼 = 𝑣s/𝑣. Do triângulo destacado da figura II, cos𝛼 =√︁
𝑙2 − 𝑣2s𝜏2/𝑙. Assim √︁
𝑙2 − 𝑣2s𝜏2
𝑙
=
𝑣s
𝑣
=⇒ 𝑣 =
𝑣s𝑙√︁
𝑙2 − 𝑣2s𝜏2
.
029 Alternativa D
SejaΔ𝑡 → 0 o intervalo de tempomedido entre dois quadros consecutivos. Disso, observe
as situações de deslocamento após o lançamento da esfera e na altura máxima, descritas
pelo enunciado:
𝑑
𝐴′
2𝑑
𝐵′
𝐴 𝐵
ℎ
𝛼
Δ𝑡
Δ𝑡
®𝑔
𝑡 = 0
Como a distribuição dos quadros sobre a trajetória da bola é contínua, o vetor velocidade
de lançamento é paralelo a 2 ®𝑑, ou seja, 2𝑑 � 𝑣0Δ𝑡 (I). Sendo a altura máxima ℎ, o
deslocamento entre 𝐴 e 𝐵 será {
Δ𝑥𝐴𝐵 = 𝑣0 cos𝛼Δ𝑡
Δ𝑦𝐴𝐵 = ℎ − ℎ = 0
,
ou seja, 𝑑 = 𝑣0 cos𝛼Δ𝑡 (II). Dividindo (I) por (II), teremos
2𝑑
𝑑
=
𝑣0Δ𝑡
𝑣0 cos𝛼Δ𝑡
2 =
1
cos𝛼
=⇒ cos𝛼 =
1
2
=⇒ 𝛼 = 60◦ .
030 Alternativa A
Considere duas situações a seguir:
𝐴
𝑣 𝑣
𝑑
𝑙
𝐵 𝐶
𝐷
𝜃
(I)
𝐴 𝐶
𝐷
(II)
229
Seja 𝐷𝐶 a trajetória do pedestre, com direção 𝜃. Enquanto o carro da frente percorre
𝐴𝐶, o pedestre percorrerá 𝐷𝐶 com velocidade 𝑢. Disso, 𝐴𝐶 = 𝑣𝑡 e 𝐷𝐶 = 𝑢𝑡, ou seja,
𝑢 = (𝐷𝐶/𝐴𝐶)𝑣 (I). Da figura, 𝐴𝐶 = 𝑑 + 𝑙 tg 𝜃 (II) e 𝐷𝐶 = 𝑏/cos 𝜃 (III). Com (II) e (III)
em (I), vem
𝑢 =
𝑙𝑣
𝑑 cos 𝜃 + 𝑙 sen 𝜃 .
Para minimizar 𝑢, devemos maximizar o denominador acima. Mas, antes, observe que
𝑑 cos 𝜃 + 𝑙 sen 𝜃 = 𝑑
√
𝑙2 + 𝑑2
√
𝑙2 + 𝑑2
cos 𝜃 + 𝑙
√
𝑙2 + 𝑑2
√
𝑙2 + 𝑑2
sen 𝜃
=
√︁
𝑙2 + 𝑑2
(
𝑑
√
𝑙2 + 𝑑2
cos 𝜃 + 𝑙
√
𝑙2 + 𝑑2
sen 𝜃
)
=
√︁
𝑙2 + 𝑑2 sen(𝜃 + 𝛼),
tais que, sen𝛼 = 𝑑/
√
𝑙2 + 𝑑2 e cos𝛼 = 𝑙/
√
𝑙2 + 𝑑2, pois
sen2𝛼 + cos2 𝛼 =
𝑑2
𝑙2 + 𝑑2
+ 𝑙2
𝑙2 + 𝑑2
=
𝑙2 + 𝑑2
𝑙2 + 𝑑2
= 1.
Assim
𝑢mín =
𝑙𝑣
√
𝑙2 + 𝑑2
.
O ângulo será máximo dado por
𝜃máx + 𝛼 =
𝜋
2
=⇒ 𝜃máx =
𝜋
2
− 𝛼,
disso
cos 𝜃máx =
𝑑
√
𝑙2 + 𝑑2
e sen 𝜃máx =
𝑙
√
𝑙2 + 𝑑2
.
Se 𝐿 é a largura da avenida, 𝐿 = 𝑢mín cos 𝜃máxΔ𝑡trav. Disso
𝐿 =
𝑙𝑣
√
𝑙2 + 𝑑2
𝑑
√
𝑙2 + 𝑑2
Δ𝑡trav
=
𝑙𝑑𝑣
𝑙2 + 𝑑2
Δ𝑡trav =⇒ Δ𝑡trav =
𝐿
𝑣
(
𝑙
𝑑
+ 𝑑
𝑙
)
.
031 De acordo com enunciado, temos:
230
𝑥
ℎ
𝐴 𝐵𝑃
𝑂
𝜃1
𝜃2
𝜃
𝑣𝐴𝑡 𝑣𝐵𝑡 − 𝑣𝐴𝑡
Da trigonometria e vendo que tg 𝜃1 = 𝑣𝐴𝑡/ℎ e tg 𝜃2 = 𝑣𝐵𝑡/ℎ, vem
tg 𝜃 = tg(𝜃2 − 𝜃1) =
tg 𝜃2 − tg 𝜃1
1 + tg 𝜃1 tg 𝜃2
=
(𝑣𝐵 − 𝑣𝐴)ℎ𝑡
ℎ2 + 𝑣𝐴𝑣𝐵𝑡2
=
1
ℎ
(𝑣𝐵 − 𝑣𝐴)𝑡
+ 𝑣𝐴𝑣𝐵𝑡
(𝑣𝐵 − 𝑣𝐴)ℎ
,
que será máximo se e somente se, por desigualdade entre as médias aritmética e geomé-
trica,
1
2 tg 𝜃
≥
√︂
𝑣𝐵𝑣𝐴
(𝑣𝐵 − 𝑣𝐴)2
=⇒ 𝜃máx = arctg
(
𝑣𝐵 − 𝑣𝐴
2√𝑣𝐴𝑣𝐵
)
.
E o instante que isso ocorre será
𝑣𝐵 − 𝑣𝐴
2√𝑣𝐴𝑣𝐵
=
(𝑣𝐵 − 𝑣𝐴)ℎ𝑡máx
ℎ2 + 𝑣𝐴𝑣𝐵𝑡2máx
ℎ2 + 𝑣𝐴𝑣𝐵𝑡2máx = 2ℎ
√
𝑣𝐴𝑣𝐵𝑡máx =⇒
(√
𝑣𝐴𝑣𝐵𝑡máx − ℎ
)2
= 0 =⇒ 𝑡máx =
ℎ
√
𝑣𝐴𝑣𝐵
.
032 De acordo com o enunciado, temos:
𝑥
𝐴
𝑦
1º ti
ro
𝐵
𝐶
ℎ
2º
tir
o
𝑥
𝑣
𝑢
𝛼 2𝛼
®𝑔
231
Para o 1º tiro, em 𝐵, temos 
𝑥 = 𝑣 cos𝛼 𝑡1
0 = 𝑣 sen𝛼 𝑡1 −
𝑔𝑡21
2
e para o 2º tiro, em 𝐶, vem 
𝑥 = 𝑢 cos(2𝛼) 𝑡2
ℎ = 𝑢 sen(2𝛼) 𝑡2 −
𝑔𝑡22
2
.
Do 1º tiro
0 =
𝑥
𝑡1 cos𝛼
sen𝛼 𝑡1 −
𝑔𝑡21
2
= 𝑥 tg𝛼 −
𝑔𝑡21
2
=⇒ ℎ =
𝑔𝑡21
2
(I).
Analogamente, para o 2º tiro, vem
ℎ =
𝑥
𝑡2 cos(2𝛼)
sen(2𝛼) 𝑡2 −
𝑔𝑡22
2
= 𝑥 tg(2𝛼) −
𝑔𝑡22
2
,
mas
tg(2𝛼) = 2 tg𝛼
1 − tg2𝛼
=
2ℎ/𝑥
1 − ℎ2/𝑥2
=
2ℎ𝑥
𝑥2 − ℎ2
,
disso
ℎ =
2ℎ𝑥2
𝑥2 − ℎ2
−
𝑔𝑡22
2
ℎ
(
2𝑥2
𝑥2− ℎ2
− 1
)
=
𝑔𝑡22
2
=⇒ ℎ
(
𝑥2 + ℎ2
𝑥2 − ℎ2
)
=
𝑔𝑡22
2
(II).
Com (I) e (II), vem
𝑥2 + ℎ2
𝑥2 − ℎ2
=
𝑡22
𝑡21
𝑡21𝑥
2 + 𝑡21ℎ
2 = 𝑡22𝑥
2 − ℎ2𝑡22
𝑥2(𝑡22 − 𝑡
2
1) = ℎ
2(𝑡21 + 𝑡
2
2) =⇒ 𝑥 =
𝑔𝑡21
2
√√
𝑡22 + 𝑡
2
1
𝑡22 − 𝑡
2
1
.
033 Observe:
232
𝑣𝑡
𝑣 s
𝑡
𝐴
𝛼
𝐵
𝐶
𝑙
𝑙
90
◦ +
𝛼
𝛽
𝛽
No triângulo 𝐴𝐶𝐵, temos
𝑣𝑡
sen 𝛽
=
𝑣s𝑡
sen(90◦ + 𝛼) =⇒ sen 𝛽 =
𝑣
𝑣s
cos𝛼 e
𝑣2𝑡2 = (2𝑙)2 + 𝑣2s 𝑡2 − 2(2𝑙) (𝑣s𝑡) cos 𝛽 =⇒
(
𝑣2s − 𝑣2
)
𝑡2 − 4𝑙𝑣s cos 𝛽 𝑡 + 4𝑙2 = 0,
disso (
𝑣2s − 𝑣2
)
𝑡2 − 4𝑙𝑣s
√︄
1 − 𝑣2 cos2 𝛼
𝑣2s
𝑡 + 4𝑙2 = 0(
𝑣2s − 𝑣2
)
𝑡2 − 4𝑙
√︃
𝑣2s − 𝑣2 cos2 𝛼 𝑡 + 4𝑙2 = 0,
então, 𝑡 será
𝑡 =
[
4𝑙
√︁
𝑣2s − 𝑣2 cos2 𝛼 ±
√︃
16𝑙2
(
𝑣2s − 𝑣2 cos2 𝛼
)
− 16𝑙2
(
𝑣2s − 𝑣2
) ]
2
(
𝑣2s − 𝑣2
)
= 2𝑙
(√︁
𝑣2s − 𝑣2 cos2 𝛼 ± 𝑣 sen𝛼
𝑣2s − 𝑣2
)
,
logo
𝐴𝐶 = 2𝑙𝑣
(√︃
𝑣2s − 𝑣2 cos2 𝛼 − 𝑣 sen𝛼
𝑣2s − 𝑣2
)
.
De acordo com princípio de Fermat, 𝐴𝐶 deverá ser mínima, logo, Δ𝑡𝐴𝐶mín.
034 Alternativa C
Observe a ilustração:
233
(𝑣′ = 0)
𝐴 𝐵
𝐿
𝑣′𝑎𝑣 𝑣
O tempo total de percurso será Δ𝑡𝐴𝐵 = 𝐿/𝑣 + 𝑣/𝑎.
Sendo 𝑣 > 0, podemos usarMA ≥ MG. Assim
1
2
(
𝐿
𝑣
+ 𝑣
𝑎
)
≥
√︂
𝐿
𝑣
· 𝑣
𝑎
=⇒ Δ𝑡mín = 2
√︂
𝐿
𝑎
.
E ainda
𝐿
𝑣0
+ 𝑣0
𝑎
= 2
√︂
𝐿
𝑎(
𝑎𝐿 + 𝑣20
)2
𝑎2𝑣20
=
4𝐿
𝑎(
𝑎𝐿 + 𝑣20
)2
= 4𝑎𝐿𝑣20
𝑎2𝐿2 + 𝑣40 + 2𝑎𝐿𝑣
2
0 = 4𝑎𝐿𝑣
2
0
𝑣40 − 2𝑎𝐿𝑣
2
0 + 𝑎
2𝐿2 = 0(
𝑣20 − 𝑎𝐿
)2
= 0 =⇒ 𝑣0 =
√
𝑎𝐿 .
035 Para a trajetória 11
tg𝛼1 = tg 𝛽1 =
𝐴
𝐵
=
𝑎
𝑏
.
Para a trajetória 21
tg𝛼2 =
𝐴
2𝐵
=
𝑎
2𝑏
.
...
Para a trajetória 𝑖1 (𝑖 > 0 é inteiro)
tg𝛼𝑖 =
𝐴
𝑖𝐵
=
𝑎
𝑖𝑏
.
Para a trajetória 12
tg 𝛽2 =
2𝐴
𝐵
=
2𝑎
𝑏
.
...
Para a trajetória 1 𝑗 ( 𝑗 > 0 também é inteiro)
tg 𝛽 𝑗 =
𝑗 𝐴
𝐵
=
𝑗𝑎
𝑏
,
É fácil ver que 𝑗 deverá ser um número par inteiro não-nulo ( 𝑗 = 2𝑚) e 𝑖 um inteiro
não-nulo (𝑖 = 𝑛). Assim
tg 𝜃 =
2𝑚𝑎
𝑛𝑏
(𝑚, 𝑛 ∈ Z+) .
234
Sendo as colisões elásticas entre a bolinha e as paredes, tais paredes podem ser tratadas
como objetos especulares perfeitos. Podemos deslocar, virtualmente, as paredes para
obter todas as trajetórias desejadas de três formas diferentes: (i) afastando as paredes 𝐿1 e
𝐿3 simultaneamente, mantendo 𝐿2 fixa, de 0 (buraco); (ii) afastando 𝐿2 de 0 e mantendo
𝐿1 e 𝐿3 fixas e (iii) afastando 𝐿1, 𝐿2 e 𝐿3 de 0, simultaneamente, de 0. Note que 𝐿1 e 𝐿3
deslocam-se por números inteiros enquanto 𝐿2 desloca-se por números pares.
0
𝛼1 𝛼2
𝛽2
𝐿1 𝐿3
𝐿2
036 Pela figura:
2𝑙
2𝑙
𝑣0
𝐵
𝐴
3𝑙
𝑂
𝑦
𝑥
𝛼
𝛽
{
𝑥𝐴 = 2𝑙 cos𝛼
𝑦𝐴 = 2𝑙 sen𝛼
e
{
𝑥𝐵 = 2𝑙 cos𝛼 + 2𝑙 cos 𝛽
𝑦𝐵 = 2𝑙 sen 𝛽 − 2𝑙 sen𝛼 .
235
Usando as condições de 𝐵, vem
−2𝑙𝜔𝐴 sen𝛼 − 2𝑙𝜔𝐵 sen 𝛽 = 0
𝜔𝐴 sen𝛼 + 𝜔𝐵 sen 𝛽 = 0 (I) e
𝜔𝐵 cos 𝛽 − 𝜔𝐴 cos𝛼 =
𝑣0
2𝑙
(II).
E a relação de vínculo será
3𝑙 = 2𝑙 cos𝛼 + 2𝑙 cos 𝛽 =⇒ cos𝛼 + cos 𝛽 =
3
2
(III).
(a) Quando 𝛼 = 0, cos𝛼 = 1 e cos 𝛽 = 1/2, de (III). De (I)
𝜔𝐵 = 0 =⇒ 𝜔𝐴 = −𝑣0
2𝑙
,
disso
𝑎𝐴𝑥 = −2𝑙𝛾𝐴 sen𝛼 − 2𝑙𝜔2𝐴 cos𝛼 = −2𝑙
(
−𝑣0
2𝑙
)2
= −
𝑣20
2𝑙
.
De (I) e (II)
𝛾𝐴 sen𝛼 + 𝛾𝐵 sen 𝛽 + 𝜔2𝐴 cos𝛼 + 𝜔2𝐵 cos 𝛽 = 0
0 +
√
3
2
𝛾𝐵 +
𝑣20
4𝑙2
= 0 =⇒ 𝛾𝐵 = −
𝑣20
2
√
3𝑙2
,
𝛾𝐵 cos 𝛽 − 𝛾𝐴 cos𝛼 − 𝜔2𝐵 sen 𝛽 + 𝜔2𝐴 sen𝛼 = 0(
−
𝑣20
2
√
3𝑙2
)
1
2
− 𝛾𝐴 = 0 =⇒ 𝛾𝐴 = −
𝑣20
4
√
3𝑙2
.
Com isso
𝑎𝐴𝑦 = 2𝑙𝛾𝐴 cos𝛼 − 2𝑙𝜔2 sen𝛼 = 2𝑙
(
−
𝑣20
4
√
3𝑙2
)
= −
𝑣20
2
√
3𝑙2
,
finalmente
𝑎2𝐴 = 𝑎2𝐴𝑥 + 𝑎
2
𝐴𝑦 =⇒ 𝑎𝐴 =
𝑣20
2𝑙
√︂
1
3
+ 1 =⇒ 𝑎𝐴 =
𝑣20
𝑙
√
3
.
(b) No caso em que 𝐴 está parado, 𝑣𝐴𝑥 = −2𝑙𝜔𝐴 sen𝛼 = 0 e 𝑣𝐴𝑦 = 2𝑙𝜔𝐴 cos𝛼 = 0, temos,
cos𝛼 ≠ 0 (ou igual a zero) e sen𝛼 ≠ 0 (ou igual a zero), e, obrigatoriamente, 𝜔𝐴 = 0. De
(I) e (II), seguem ainda,
𝜔𝐵 sen 𝛽 = 0 e 𝜔𝐵 cos 𝛽 =
𝑣0
2𝑙
.
Isso significa que 𝜔𝐵 ≠ 0, obviamente, e cos 𝛽 ≠ 0, então, sen 𝛽 = 0, que nos dá 𝛽 = 0 e
cos𝛼 = 1/2. E a velocidade angular de 𝐵 como sendo
𝜔𝐵 =
𝑣0
2𝑙
.
Portanto, a aceleração nessa situação será a mesma do caso anterior, em módulo.
236
037 Denotemos 𝑆 como sendo o ponto de intersecção superior entre as argolas:
𝑟
𝑢
𝑣/2
𝑆
𝑑/2
√︁
𝑟2 − (𝑑/2)2
Essa configuração é vista por um referencial móvel para a esquerda com velocidade 𝑣/2.
Os triângulos destacados são semelhantes, disso√︂
𝑟2 − 𝑑2
4
𝑣
2
=
𝑟
𝑢
=⇒ 𝑣𝑟
𝑢
=
√︁
4𝑟2 − 𝑑2 =⇒ 𝑢 =
𝑟
√
4𝑟2 − 𝑑2
𝑣 .
038 Do triângulo 𝐴𝐵𝑅 abaixo, temos
tg 𝜃 =
𝑣1𝑡
𝑙
� 𝜃 =
𝑣2𝑡
𝑅
=⇒ 𝑅 =
𝑣2
𝑣1
𝑙.
𝑅
𝑅
𝜃
𝐶
𝑣2
𝑅 𝑣1
𝐴
𝐵
𝜃
𝑙
𝑣1𝑡
𝑣2𝑡 𝑂
Assim
𝑎2 =
𝑣22
𝑅
=
𝑣1𝑣2
𝑙
.
237
039 Pelo triângulo hachurado, usemos o teorema de Pitágoras:
𝜃
=
0 R
ef.
𝑥
𝑣
𝑅 − 𝑣𝑡
𝑅
𝑥
𝑂 𝑂′
𝑅2 = (𝑅 − 𝑣𝑡)2 + 𝑥2
= 𝑅2 − 2𝑅𝑣𝑡 + 𝑣2𝑡2 + 𝑥2
𝑥2 = 2𝑣𝑅𝑡 − 𝑣2𝑡2,
onde 𝑡 é um instante muito pequeno, então, 𝑡2 � 0. Disso
𝑥2 = 2𝑣𝑅𝑡 − 𝑣2𝑡2 � 2𝑣𝑅𝑡 =⇒ 𝑡 =
1
2𝑅𝑣
𝑥2 = 𝑓 (𝑥).
Seja 𝑙 o comprimento da corda, então, 𝑙 = 2𝜋𝑅𝑘 (𝑘 = 1, 2, 3, ...). Considerando que após
a corda desenrolar-se por completo, o corpo descreverá um semicírculo de raio 𝑙, disso
Δ𝑡total = 2 ·
[
(2𝜋𝑅𝑘)2 − 02
2𝑣𝑅
]
+ 𝜋 · (2𝜋𝑅𝑘)
𝑣
=
4𝑘2𝜋2𝑅
𝑣
+ 2𝑘𝜋
2𝑅
𝑣
=⇒ Δ𝑡total =
2𝑘 (2𝑘 + 1)𝜋2𝑅
𝑣
.
040 (a) Para o gráfico 𝑣 × 𝑡, de 0 a 𝑥0/𝑣0, a velocidade tem sinal positivo (𝑣0). Em 𝑥0/𝑣0,
esse sinal muda para −𝑣0 (negativo). Em 3𝑥0/𝑣0, muda novamente para 𝑣0 onde dura até
4𝑥0/𝑣0:
238
𝑡
𝑣
𝑣0
−𝑣0
𝑥0/𝑣0
3𝑥0/𝑣0 4𝑥0/𝑣00
Para 𝑥 × 𝑡, segue:
𝑡
𝑥
𝑥0
−𝑥0
𝑥0/𝑣0
2𝑥0/𝑣0
3𝑥0/𝑣0
4𝑥0/𝑣0
(b) Temos:
𝑡
𝑣
𝑣0
−𝑣0
𝑥0/𝑣0
2𝑥0/𝑣0
3𝑥0/𝑣0
4𝑥0/𝑣00
𝑡
𝑥
𝑥0
−𝑥0
𝑥0/𝑣0
3𝑥0/𝑣0
2𝑥0/𝑣0
4𝑥0/𝑣0
0
041 Alternativa C
Destacando a região entre 𝑥 = 1 m e 𝑥 = 4 m, veja:
𝑣 (m/s)
𝑥 (m)
1 2 3 4 50
1
2
3
4
3 m
3
m
/s
𝛼
239
Pela definição de aceleração
𝑎 =
Δ𝑣
Δ𝑡
=
Δ𝑥
Δ𝑡︸︷︷︸
𝑣
Δ𝑣
Δ𝑥
= 𝑣
Δ𝑣
Δ𝑥
.
Para 𝑥 = 3 m
𝑎 = 2 · (−tg𝛼) = −2 m/s2 .
Nos intervalos 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 m e 4 m ≤ 𝑥 ≤ 5 m, a velocidade é constante.
No trecho 𝑥 = 1 m a 𝑥 = 4 m, 𝑎 = −𝑣 tg𝛼. Para 𝑣 = 4 m/s, a aceleração é máxima
absolutamente. Assim
𝑎máx = −4 · 1 =⇒ 𝑎máx = −4 m/s2 .
042 Sendo 𝜏 → 0, o gráfico 𝑎 × 𝑡 é de um oscilador harmônico. Então
𝑥 = 𝑥0 cos(𝜔𝑡 + 𝜑) � 𝑥0
[
1 − 1
2
(𝜔𝑡 + 𝜑)2
]
= 𝑥0
(
1 − 𝜑2
2
)
− 𝑥0𝜔𝜑𝑡 −
𝑥0𝜔
2
2
𝑡2.
Como, em 𝑡 = 0, há repouso da partícula, vem
𝑣 = −𝑥0𝜔𝜑 − 𝑥0𝜔2 · 0 = 0 =⇒ 𝜑 = 0 =⇒ 𝑥 = 𝑥0 −
1
2
𝑥0𝜔
2 𝑡2.
No nosso caso, de 0 a 𝑡 = 𝜏, a aceleração é positiva, ou seja, 𝑥 = 𝑥0 + 𝑎0𝑡2/2. Então, o
espaço percorrido nesse intervalo será Δ𝑥 = 𝑎0𝜏
2/2. Para um ciclo (𝑁 = 1), Δ𝑥total, 1 =
4Δ𝑥 = 2𝑎0𝜏2. Assim, a velocidade escalar média para 𝑡 → ∞ será
𝑣m =
𝑁Δ𝑥total, 1
𝑁 (4𝜏) =
2𝑎0𝜏2
4𝜏
=⇒ 𝑣m =
𝑎0𝜏
2
.
043 A área destacada a seguir é numericamente igual ao espaço percorrido Δ𝑠 entre 𝑡 = 0 e
𝑡 = 𝑡0:
𝑡
𝑣
𝑣0
𝑡00 𝑡0/2
Δ𝑠
Podemos ter 𝑅 = 𝑣0 = 𝑡0/2 (numericamente). Logo
Δ𝑠 =
𝜋
2
𝑣0
( 𝑡0
2
)
=⇒ Δ𝑠 =
𝜋 𝑣0𝑡0
4
.
240
044 Alternativa A
Destacando cada deslocamento, temos:
𝑣
𝑡
𝜏 2𝜏
𝑣0
2𝑣0
0
Δ𝑠1 Δ𝑠2
𝑣0𝑡/𝜏
𝑡
Δ𝑠tot
𝑡 − 𝜏
Sendo o deslocamento escalar numericamente igual à área do gráfico, temos
Δ𝑠total = Δ𝑠1 + Δ𝑠2
= 𝜏𝑣0 +
1
2
(
𝑣0 +
𝑣0
𝜏
𝑡
)
(𝑡 − 𝜏)
= 𝑣0𝜏 +
1
2
(
𝑣0𝑡 − 𝑣0𝜏 +
𝑣0
𝜏
𝑡2 − 𝑣0𝑡
)
= 𝑣0𝜏 +
𝑣0
2𝜏
𝑡2 − 𝑣0𝜏
2
=
1
2
𝑣0𝜏 +
𝑣0
2𝜏
𝑡2
=
𝑣0𝜏
2
2𝜏
+ 𝑣0𝑡 −
2𝑣0𝑡
2𝜏
𝜏 + 𝑣0
2𝜏
𝑡2
= 𝑣0𝑡 +
𝑣0
2𝜏
(
𝜏2 − 2𝜏𝑡 + 𝑡2
)
=⇒ Δ𝑠total = 𝑣0𝑡 +
𝑣0
2𝜏
(𝑡 − 𝜏)2 .
045 Temos:
𝑥
𝑦
𝑂
𝑃
𝑄ℎ/tg𝛼
ℎ
𝐴
A equação do trecho parabólico será
𝑦 = 𝑥 tg 𝜃 − 𝑔
2𝑣20 cos2 𝜃
𝑥2 = 𝑥 tg 𝜃
(
1 − 𝑥
𝐴
)
,
241
onde 𝐴 é o alcance. Para o ponto 𝑃 = (ℎ/tg𝛼, ℎ), teremos de imediato
ℎ =
ℎ
tg𝛼
tg 𝜃

1 − ℎ
tg 𝜃
(
ℎ
tg𝛼
+ ℎ
tg 𝛽
)

=⇒ tg 𝜃 = tg𝛼 + tg 𝛽. (QED)
046 Alternativa A
Observe:𝑑
𝐴
𝐵
𝐶
𝑐 − 𝑎
𝐿
®𝑣𝐿
𝑏
®𝑔
A velocidade em 𝐴, usando o método da parábola de segurança, que passa por 𝐴 e 𝐵, será
tal que
𝑣2𝐴 = 𝑔
[
𝑐 − 𝑎 +
√︁
𝑑2 + (𝑐 − 𝑎)2
]
= 𝑔(𝑐 − 𝑎 + 𝑏),
então, em 𝐿, por conservação de energia entre 𝐴 e 𝐿, vem
𝑣2𝐿 = 𝑔(𝑐 + 𝑏 − 𝑎) + 2𝑔𝑎 =⇒ 𝑣𝐿 =
√︁
𝑔(𝑎 + 𝑏 + 𝑐) .
047 No referencial do pato, veja:
𝑦
𝑥
ℎ
𝑣
se
n
𝛼
𝑣 cos𝛼 − 𝑢
𝛼
𝑂
𝑃
®𝑔
Ref. parado
ℎ/tg𝛼
As equações horárias para a pedra no referencial do pato serão

𝑥 = (𝑣 cos𝛼 − 𝑢)𝑡
𝑦 = 𝑣 sen𝛼 𝑡 − 1
2
𝑔𝑡2
.
O instante que a pedra leva para atingir o pato será
𝑡0 =
ℎ
tg𝛼(𝑣 cos𝛼 − 𝑢) ,
242
portanto
ℎ = 𝑣 sen𝛼 𝑡0 −
𝑔𝑡20
2
= 𝑣 sen𝛼
[
ℎ
tg𝛼(𝑣 cos𝛼 − 𝑢)
]
− 𝑔
2
ℎ2
tg2𝛼(𝑣 cos𝛼 − 𝑢)2
1 =
𝑣 cos𝛼
𝑣 cos𝛼 − 𝑢 − 𝑔ℎ
2tg2𝛼(𝑣 cos𝛼 − 𝑢)2
=⇒ ℎ =
2 tg2𝛼 𝑢(𝑣 cos𝛼 − 𝑢)
𝑔
.
048 Alternativa E
As equações cartesianas serão
𝑦 = tg𝛼 𝑥 − 𝑔
2𝑣2 cos2 𝛼
𝑥2
𝑦 = tg 𝛽 𝑥 − 𝑔
2𝑣2 cos2 𝛽
𝑥2
.
No encontro
tg𝛼 𝑥 − 𝑔
2𝑣2
(
1 + tg2 𝛼
)
𝑥2 = tg 𝛽 𝑥 − 𝑔
2𝑣2
(
1 + tg2 𝛽
)
𝑥2
tg𝛼 𝑥 − 𝑔
2𝑣2
tg2 𝛼 𝑥2 = tg 𝛽 𝑥 − 𝑔
2𝑣2
tg2 𝛽 𝑥2
tg𝛼 − tg 𝛽 =
𝑔
2𝑣2
(
tg2 𝛼 − tg2 𝛽
)
𝑥 (𝑥 ≠ 0)
𝑥 =
2𝑣2
𝑔(tg𝛼 + tg 𝛽) (tg𝛼 ≠ tg 𝛽).
Assim
𝐿 =
2𝑣2 tg𝛼
𝑔(tg𝛼 + tg 𝛽) −
2𝑣2
𝑔
(
1 + tg2𝛼
)
(tg𝛼 + tg 𝛽)2
=
2𝑣2
𝑔
[
tg𝛼(tg𝛼 + tg 𝛽) − 1 − tg2𝛼
(tg𝛼 + tg 𝛽)2
]
=⇒ 𝐿 =
2𝑣2
𝑔
[
tg𝛼 tg 𝛽 − 1
(tg𝛼 + tg 𝛽)2
]
.
049 Pegando um pedaço do rolo com espessura desprezível, temos:
𝑣𝑡
ℎ ®𝑣
Para um instante 𝑡 > 0,
𝜋 𝑟2 = 𝜋 𝑅2 − 𝑣𝑡 ℎ =⇒ 𝑟 =
√︂
𝑅2 − 𝑣ℎ𝑡
𝜋
.
243
Assim, quando ℎ � 𝑅, temos
𝑣 = 𝜔𝑟 =⇒ 𝜔 =
𝑣√︂
𝑅2 − 𝑣ℎ𝑡
𝜋
.
Solução alternativa (pelo comprimento): Suponha que o rolo tenha 𝑛 voltas, então, seu
comprimento total será (figura I)
𝑙𝑛 = 2𝜋ℎ + 2𝜋(2ℎ) + 2𝜋(3ℎ) + ... + 2𝜋(𝑛ℎ)
= 2𝜋ℎ (1 + 2 + 3 + ... + 𝑛)︸ ︷︷ ︸
𝑛(𝑛+1)
2
= 𝜋 ℎ𝑛(𝑛 + 1).
Como 𝑛ℎ = 𝑅 é uma constante, para ℎ → 0 devemos ter 𝑛 → ∞, disso, 𝑙𝑛 � 𝜋𝑛2ℎ. Em
termos de ℎ e 𝑅, vem
®𝑣
𝑅
Fig. I
Δ𝑙 ®𝑣
𝑟
Fig. II
𝑙𝑅 = 𝜋
𝑅2
ℎ2
ℎ =
𝜋
ℎ
𝑅2.
Suponha que o rolo seja desenrolado por Δ𝑙 (figura II), então
Δ𝑙 = 𝑙𝑅 − 𝑙𝑟 =
𝜋
ℎ
(
𝑅2 − 𝑟2
)
𝑣 =
Δ𝑙
Δ𝑡
=
𝜋
ℎ𝑡
(
𝑅2 − 𝑟2
)
=⇒ 𝑟 =
√︂
𝑅2 − 𝑣ℎ𝑡
𝜋
.
Como 𝑣 = 𝜔𝑟, obtém-se a velocidade angular do rolo num instante 𝑡 > 0, que é igual a
𝜔 =
𝑣√︂
𝑅2 − 𝑣ℎ𝑡
𝜋
050 Observe:
244
®𝑣
𝛼𝛼
𝑂
𝑅
𝐵
𝑟
𝑣0𝑣 0
cos
𝛼
𝜔
𝑟
𝐴
𝜔
Para 𝐴, o movimento resultante é ®𝑣, ou seja, 𝑣 = 𝑣0 cos𝛼 − 𝜔𝑟.
Para 𝐵, analogamente, 𝑣0 − 𝜔𝑅 = 0 (sem deslizamento).
Disso
𝑣 = 𝑣0 cos𝛼 − 𝑣0
𝑅
𝑟 =
(
cos𝛼 − 𝑟
𝑅
)
𝑣0 =⇒ 𝑣0 =
𝑅
𝑅 cos𝛼 − 𝑟 𝑣 e 𝜔 =
𝑣
𝑅 cos𝛼 − 𝑟 .
Sendo 𝑣 = (cos𝛼 − 𝑟/𝑅) 𝑣0 ≥ 0, 𝑣0 pode ser positivo ou negativo.
1º) Move-se para a direita:
𝑣0 > 0 =⇒ cos𝛼 − 𝑟
𝑅
> 0 =⇒ cos𝛼 >
𝑟
𝑅
.
2º) Move-se para a esquerda:
𝑣0 < 0 =⇒ cos𝛼 <
𝑟
𝑅
.
051 Alternativa D
Decompondo a velocidade da bolinha (em relação a 𝑂) nas direções horizontal e vertical,
temos:
𝑂
𝑅𝑅
𝑣 cos𝛼
𝑣 sen𝛼
𝛼𝛼
2𝑅 cos𝛼
Como 𝜔 é medido em relação a 𝑂, vem
𝑣 cos𝛼 = 𝜔(2𝑅 cos𝛼) =⇒ 𝑣 = 2𝑅𝜔,
245
assim
𝑎 =
𝑣2
𝑅
=
(2𝑅𝜔)2
𝑅
= 4𝜔2𝑅 .
052 O ponto 𝑃 é o eixo de rotação instantâneo:
𝜔𝑦𝑦
𝜔𝑥𝑥
𝑥
𝑥
𝛼
𝑦
𝑂
𝑃
𝑇
90◦ − 𝛼/2
Da figura, e usando a lei dos cossenos no triângulo 𝑂𝑇𝑃, vem
𝑦2 = 𝑥2 + 𝑥2 − 2𝑥2 cos𝛼 =⇒ 𝑦 = 2𝑥 sen
(𝛼
2
)
.
Portanto
cos
(
90◦ − 𝛼
2
)
=
𝜔𝑥𝑥
𝜔𝑦𝑦
=⇒ 𝜔𝑦 =
𝜔
2 sen2
(𝛼
2
) .
053 Alternativa B
Usando movimento relativo, temos:
®𝑣2
®𝑣1
𝛼
𝛼
𝑙2
𝑙2 cos𝛼
®𝑣2
®𝑣 21
𝑑mín
𝑙1
(Cruzamento)
Traj. de 2 vista por 1
246
O vetor tracejado ®𝑣21 é medido pelo referencial de 1. Da geometria dos vetores, obtém-se,
𝑣1 = 𝑣2 cos𝛼. Assim
𝑑mín = |𝑙1 − 𝑙2 cos𝛼 | .
054 Alternativa A
Olhe o seguinte esquema vetorial:
−®𝑢
®𝑢
®𝑢rel
®𝑣
𝛼
Usando a lei dos cossenos no triângulo destacado, vem
𝑢2 = 𝑣2 + 𝑢2rel − 2𝑣𝑢rel cos𝛼
𝑢2 − 𝑣2 = 𝑢2rel − 2𝑣𝑢rel cos𝛼
2𝑣𝑢rel cos𝛼 − 𝑢2rel = 𝑣
2 − 𝑢2 > 0 (const.),
para 𝑢rel =
(
𝑣2 − 𝑢2
)1/2, vem
𝛼máx = arcsen
(𝑢
𝑣
)
.
055 Quando o pião tem sua base no plano da mesa, obtemos:
𝑣0𝑡𝑂
1
2
𝑔𝑡2
𝑂
𝐴 𝑂
𝐵
𝑅
ℎ
®𝑣0
®𝑔
247
O triângulo 𝐵𝐴𝑂 é retângulo em 𝐴 e meio meridiano quando 𝑅 = 𝑣0𝑡𝑂 e ℎ = 𝑔𝑡2
𝑂
/2,
assim
𝑅2
ℎ
=
𝑣20𝑡
2
𝑂
𝑔𝑡2
𝑂
/2
=
2𝑣20
𝑔
=⇒ 𝑣0 =
√︂
𝑔𝑅2
2ℎ
.
056 Estudando os movimentos horizontal e vertical da bolinha, temos:
(𝑡1)
𝑡2𝑛−1
𝑣
𝑣𝑦(1)
𝑣𝑥(1) = 𝑣 − 2𝑢
𝑣𝑦(2𝑛−1)
𝑣𝑥(2𝑛−1) = 𝑣 − 2𝑢
𝑢𝑢
𝐿
𝑦
0
𝑥
®𝑔
O instante para a enésima colisão com a parede direita será 𝑡2𝑛−1 = (2𝑛 − 1)𝐿/(𝑣 − 𝑢).
Então,
𝑣𝑦(2𝑛−1) = 𝑔𝑡2𝑛−1 =
𝑔𝐿
𝑣 − 𝑢 (2𝑛 − 1) e
𝑣𝑥(2𝑛−1) = 𝑣 − 2𝑢,
assim
𝑣22𝑛−1 = 𝑣
2
𝑥(2𝑛−1) + 𝑣
2
𝑦(2𝑛−1)
= (𝑣 − 2𝑢)2 + 𝑔2𝐿2
(𝑣 − 𝑢)2
(2𝑛 − 1)2 =⇒ 𝑣2𝑛−1 =
√︄
(𝑣 − 2𝑢)2 + 𝑔
2𝐿2(2𝑛 − 1)2
(𝑣 − 𝑢)2
.
057 Colocando todas as forças, temos:
248
𝑃
𝑇
𝛼
2
𝑁
𝛽
(Cilindro da esquerda)
(Cilindro central)
2𝑃
𝑁𝑁
𝛽 𝛽
Para um dos cilindros laterais, temos
𝑁 sen 𝛽 = 𝑇 sen
(𝛼
2
)
(I)
𝑇 cos
(𝛼
2
)
= 𝑁 cos 𝛽 + 𝑃 (II)
.
Para o cilindro central, 2𝑁 cos 𝛽 = 2𝑃 =⇒ 𝑁 cos 𝛽 = 𝑃 (III). Usando (III) em (II),
podemos reescrever o sistema como

𝑇 sen
(𝛼
2
)
= 𝑁 sen 𝛽 (I)
𝑇 cos
(𝛼
2
)
= 2𝑁 cos 𝛽 (IV)
.
Dividindo (I) por (IV), vem
𝑇 sen(𝛼/2)
𝑇 cos(𝛼/2) =
1
2
𝑁 sen 𝛽
𝑁 cos 𝛽
=⇒ tg 𝛽 = 2 tg
(𝛼
2
)
.
058 Alternativa A
Veja:
𝑓
𝐹
Situação genérica
249
É possível escrever que 𝑓1 = 𝐹 = 𝐹0 e 𝐹1 = 𝑓 = 𝑓0, ou ainda, 𝐹𝑛 = 𝑓𝑛−1 e 𝑓𝑛 = 𝐹𝑛−1.
Assim
𝑓𝑛
𝑓𝑛−1
=
𝐹𝑛−1
𝐹𝑛
= ... =
𝑓
𝐹
=⇒

𝑓𝑛
𝑓𝑛−1
=
𝑓
𝐹
𝑓𝑛−2
𝑓𝑛−3
=
𝑓
𝐹
...
𝑓0
𝐹0
=
𝑓
𝐹
,
isto é,
𝑓𝑛
𝐹
=
𝑓 𝑛
𝐹𝑛
=⇒ 𝑓𝑛 = 𝑓 𝑛 · 𝐹1−𝑛 .
059 Identificando todas as forças, vem:
𝑚
®𝑔
𝐴
𝐹
𝐵
𝐶
𝐸
𝐷 𝑙/2𝑙/2
𝑚𝑔
𝑇
𝑇 ′
𝑇 ′
𝑇 𝑇
𝑇𝑇
𝑇 ′
𝑇 ′
𝑇 ′ 𝑇 ′
𝑇
𝑇 ′
𝑇 ′
𝑇 ′ 𝑇 ′
(i) Com respeito a 𝐴, vem
𝑚𝑔𝑙 − 𝑇 𝑙
√
3
2
= 0 =⇒ 𝑇 =
2𝑚𝑔
√
3
,
ou ainda, em 𝐷
2𝑇 ′ cos 30◦
𝑚𝑔
𝑇45◦
𝐷
Nó em eq.
𝑇 cos 30◦ = 𝑚𝑔 =⇒ 𝑇
√
3
2
= 𝑚𝑔 =⇒ 𝑇 =
2𝑚𝑔
√
3
.
250
(ii) Em 𝐷, ainda,
𝑇 sen 30◦ = 2𝑇 ′ cos 30◦
𝑇 ′ =
1
2
tg 30◦ 𝑇 =
1
2
·
√
3
3
· 2𝑚𝑔√
3
=⇒ 𝑇 ′ =
𝑚𝑔
3
(compressão em 𝐴𝐶).
060 Observe:
𝐹
45◦45◦
𝐹𝐵𝐶𝐹𝐴𝐵
𝐵
𝐹𝐴𝐶
𝑁𝐶
𝐶
𝐹/
√
2
45◦
De
∑
𝐹𝑥 = 0,
𝐹𝐴𝐵 = 𝐹𝐵𝐶
(B) e √
2
2
𝐹
(√
2
2
)
− 𝐹𝐴𝐶 = 0 =⇒ 𝐹𝐴𝐶 =
𝐹
2
(𝐶)
pois, por
∑
𝐹𝑦 = 0
2𝐹𝐴𝐵
√
2
2
− 𝐹 = 0 =⇒ 𝐹𝐴𝐵 =
√
2
2
𝐹.
®𝐹𝐴𝐶 é de tração!
061 Alternativa A
Veja:
(1)𝛼
𝑅
𝑙 + 𝑟
𝑟
+ 𝑅
𝑚𝑔
𝑇
𝑁
𝛼
(2)
251
Do triângulo (2), tg𝛼 =
𝑚𝑔
𝑇
e
do triângulo (1), tg𝛼 =
𝑅
𝑙 + 𝑟 .
Assim
𝑚𝑔
𝑇
=
𝑅
𝑙 + 𝑟 =⇒ 𝑇 = 𝑚𝑔
(
𝑙 + 𝑟
𝑅
)
.
Solução alternativa: Tomando o centro da esfera maior como polo, temos
𝑇
𝑚𝑔
𝑁
Centro de 𝑟
Centro de 𝑅
𝑙 + 𝑟
𝑅
−
+
𝑇𝑅 − 𝑚𝑔(𝑙 + 𝑟) = 0 =⇒ 𝑇 =
𝑚𝑔(𝑟 + 𝑙)
𝑅
.
062 Alternativa D
Veja:
𝑥
𝑦
𝐶
0
𝑃
𝜇𝑁
𝑁
𝜃
Da parábola
𝑦(𝑥 + Δ𝑥) = 𝑎(𝑥 + Δ𝑥)2 + 𝑏(𝑥 + Δ𝑥)
= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 2𝑎𝑥Δ𝑥 + 𝑏Δ𝑥 + 𝑎(Δ𝑥)2
Δ𝑦
Δ𝑥
= 2𝑎𝑥 + 𝑏 + 𝑎Δ𝑥
tg 𝜃 =
(
Δ𝑦
Δ𝑥
)
Δ𝑥→0
= 𝑏 + 2𝑎𝑥.
252
Para o equilíbrio de 𝐶: {
𝜇𝑁 ≥ 𝑃 sen 𝜃
𝑁 = 𝑃 cos 𝜃
.
Ou ainda
𝜇𝑃 cos 𝜃 ≥ 𝑃 sen 𝜃
tg 𝜃 ≤ 𝜇
𝑏 + 2𝑎𝑥 ≤ 𝜇 =⇒ 𝜇 ≤ 𝜇 − 𝑏
2𝑎
.
Logo
ℎ = 𝑎
(
𝜇 − 𝑏
2𝑎
)2
+ 𝑏
(
𝜇 − 𝑏
2𝑎
)
=
(𝜇 − 𝑏)2
4𝑎
+ 𝑏(𝜇 − 𝑏)
2𝑎
=
𝜇2 − 2𝜇𝑏 + 𝑏2 + 2𝜇𝑏 − 2𝑏2
4𝑎
=
𝜇2 − 𝑏2
4𝑎
=⇒ 𝜇 =
√︁
4𝑎ℎ + 𝑏2 .
063 Alternativa A
Tomando uma parte pequena da corda, vem:
𝑁
𝜇𝑁
𝜃
2
𝜃
2
𝐹′
𝐹′𝜃/2
𝐹
𝐹𝜃/2
Para o equilíbrio da corda
𝐹′ + 𝜇𝑁 = 𝐹
1
2
(𝐹 + 𝐹′)𝜃 = 𝑁
∼

𝐹 − 𝐹′ = 𝜇𝑁 (I)
𝐹 + 𝐹′ =
2𝑁
𝜃
(II)
.
253
Dividindo (I) por (II)1
𝐹 − 𝐹′
𝐹 + 𝐹′ =
𝜇𝜃
2
𝐹′=
©­­«
1 − 𝜇𝜃
2
1 + 𝜇𝜃
2
ª®®¬ 𝐹 =
(
1 − 𝜇𝜃
2
)2
1 − 𝜇2𝜃2
4
𝐹
�
©­­«
1 − 2 · 𝜇𝜃
2
1
ª®®¬ 𝐹 =⇒ 𝐹′ � (1 − 𝜇𝜃)𝐹 .
1Para o caso em que 𝜃 não é muito pequeno, tomemos um elemento inifinitesimal da corda submetido às forças
𝑓 e 𝑓 + 𝑑𝑓 como mostra a figura:
𝑥
0
𝑦
𝑓
𝑓 + 𝑑𝑓
𝑑𝑁
𝜇𝑑𝑁
𝜃 + 𝑑𝜃
2
𝑑𝜃
Para o equilíbrio do elemento, vem:
𝑑𝑁 cos
(
𝜃 + 𝑑𝜃
2
)
+ 𝑓 sen 𝜃 = ( 𝑓 + 𝑑𝑓 ) sen(𝜃 + 𝑑𝜃) + 𝜇𝑑𝑁 sen
(
𝜃 + 𝑑𝜃
2
)
𝑑𝑁 sen
(
𝜃 + 𝑑𝜃
2
)
+ 𝜇𝑑𝑁 cos
(
𝜃 + 𝑑𝜃
2
)
+ ( 𝑓 + 𝑑𝑓 ) cos(𝜃 + 𝑑𝜃) = 𝑓 cos 𝜃
.
Fazendo aproximações lineares, vem
𝑑𝑁
(
cos 𝜃 − 𝑑𝜃
2
sen 𝜃
)
+ 𝑓 sen 𝜃 = ( 𝑓 + 𝑑𝑓 ) (sen 𝜃 + 𝑑𝜃 cos 𝜃) + 𝜇𝑑𝑁
(
sen 𝜃 + 𝑑𝜃
2
cos 𝜃
)
(I)
𝑑𝑁
(
sen 𝜃 + 𝑑𝜃
2
cos 𝜃
)
+ 𝜇𝑑𝑁
(
cos 𝜃 − 𝑑𝜃
2
sen 𝜃
)
+ ( 𝑓 + 𝑑𝑓 ) (cos 𝜃 − 𝑑𝜃 sen 𝜃) = 𝑓 cos 𝜃 (II)
.
Os termos de 2ª ordem devem ser desprezados, então, (I) se torna
𝑑𝑁 cos 𝜃 � 𝑑𝜃 cos 𝜃 𝑓 + sen 𝜃 𝑑𝑓 + 𝜇𝑑𝑁 sen 𝜃 =⇒ 𝑑𝑁 (cos 𝜃 − 𝜇 sen 𝜃) = 𝑑𝜃 cos 𝜃 𝑓 + sen 𝜃 𝑑𝑓 (I)
e para (II), temos
𝑑𝑁 (sen 𝜃 + 𝜇 cos 𝜃) = 𝑑𝜃 sen 𝜃 𝑓 − 𝑑𝑓 cos 𝜃 (II).
Isolando 𝑑𝑁 em (I) e (II) e fazendo a devida comparação, temos
𝑑𝜃 cos 𝜃 𝑓 + sen 𝜃 𝑑𝑓
cos 𝜃 − 𝜇 sen 𝜃 =
𝑑𝜃 sen 𝜃 𝑓 − 𝑑𝑓 cos 𝜃
sen 𝜃 + 𝜇 cos 𝜃
𝑑𝜃 sen 𝜃 cos 𝜃 𝑓 + sen2 𝜃𝑑𝑓 + 𝜇𝑑𝜃 cos2 𝜃 𝑓 + 𝜇 sen 𝜃 cos 𝜃𝑑𝑓 = 𝑑𝜃 sen 𝜃 cos 𝜃 𝑓 − cos2 𝜃𝑑𝑓
− 𝜇𝑑𝜃 sen2 𝜃 𝑓 + 𝜇𝑑𝑓 sen 𝜃 cos 𝜃(
sen2 𝜃 + cos2 𝜃
)
︸ ︷︷ ︸
1
(𝑑𝑓 + 𝜇 𝑓 𝑑𝜃) = 0
𝑑𝑓 + 𝜇 𝑓 𝑑𝜃 = 0 =⇒ 𝑑𝑓
𝑓
= −𝜇𝑑𝜃,
resolvendo essa equação diferencial, temos∫ 𝐹 ′
𝐹
𝑑𝑓
𝑓
= −𝜇
∫ 𝜃
0
𝑑𝜃 ′ =⇒ ln
(
𝐹 ′
𝐹
)
= −𝜇𝜃 =⇒ 𝐹 ′ = 𝐹𝑒−𝜇𝜃 .
254
064 Decompondo as forças segundo o diagrama 0𝑥𝑦, temos:
60◦ 45◦
®𝑔
𝑃
𝐴
𝑇 ′
𝑇
𝑦
0
𝑥
Para o equilíbrio do lustre, {
𝑇 cos 60◦ = 𝑇 ′ sen 45◦
𝑇 sen 60◦ + 𝑇 ′ sen 45◦ = 𝑃
.
No que 𝑇 > 𝑇 ′, ou seja, o fio de esquerda romperá primeiro, logo
𝑃máx = 𝑇 (sen 60◦ + cos 60◦) =⇒ 𝑃máx � 19, 6 N .
065 Para o corpo a seguir, temos
®𝐹1 + ®𝐹2 + ®𝐹3 = ®0 (I) e
®𝑟1 × ®𝐹1 + ®𝑟2 × ®𝐹2 + ®𝑟3 × ®𝐹3 = ®0. (II)
Por (I)
®𝐹1 × ®𝐹2 + ®𝐹2 × ®𝐹2 + ®𝐹3 × ®𝐹2 = ®𝐹1 × ®𝐹2 + ®𝐹3 × ®𝐹2 = ®0(
®𝐹1 × ®𝐹2
)
· ®𝐹3 = −
(
®𝐹3 × ®𝐹2
)
· ®𝐹3 = 0,
ou seja, ®𝐹1, ®𝐹2 e ®𝐹3 são coplanares.
Para a (di)convergência dessas forças, vem
Quando 𝜃 é pequeno, vem
𝐹 ′ = 𝐹
(
1 − 𝜇𝜃 + 𝜇
2𝜃2
2!
− 𝜇3𝜃3
3!
+ ...
)
� 𝐹 (1 − 𝜇𝜃) .
255
®𝑟2
®𝑟3
®𝑟1
®𝐹1
®𝐹2
®𝐹3
𝑂
1
2
3
®𝑟1 × ®𝐹1 + ®𝑟2 × ®𝐹2 = ®𝑟3 ×
(
®𝐹1 + ®𝐹2
)
=⇒ ®𝑟13 × ®𝐹1 = ®𝑟23 × ®𝐹2,
com ®𝑟13 e ®𝑟23 estando no mesmo plano. Usando 𝑎 ®𝑟13 + 𝑏 ®𝑟23 = ®0, vem
𝑏 (𝑎 ®𝑟13) × ®𝐹1 = 𝑎 (𝑏 ®𝑟23) × ®𝐹2
𝑏 (−𝑏 ®𝑟23) × ®𝐹1 = 𝑎 (𝑏 ®𝑟23) × ®𝐹2
®𝑟23 ×
(
−𝑏 ®𝐹1 − 𝑎 ®𝐹2
)
= 0 =⇒ 𝑏 ®𝐹1 + 𝑎 ®𝐹2 = ®0,
analogamente
®𝑟12 × ®𝐹1 = ®𝑟32 × ®𝐹3
𝑐 ®𝑟12 − 𝑏 ®𝑟32 = ®0 =⇒ 𝑐 ®𝐹3 − 𝑏 ®𝐹1 = ®0 e
®𝑟21 × ®𝐹2 = ®𝑟31 × ®𝐹1
−𝑐 ®𝑟21 − 𝑎 ®𝑟31 = ®0 =⇒ −𝑎 ®𝐹2 − 𝑐 ®𝐹3 = ®0.
Para quaisquer 𝑎, 𝑏 e 𝑐 reais. Isso mostra que tais forças concorrem num ponto ou no
infinito. (QED)
066 Colocando todas as forças, vem:
256
𝐹mín
(𝑅𝑥 = 0) (𝑅𝑥 = 0)
𝑃/
√
3 𝑃/
√
3
𝑃/
√
3
𝑃/
√
3 𝑃/
√
3
𝑃/
√
3 𝑃/
√
3
𝑃/
√
3 3𝑃/
√
3𝑃/
√
3
60◦
Resultante
Logo
3𝑃
√
3
cos 60◦ = 𝐹mín =⇒ 𝐹mín =
√
3
2
𝑚𝑔 .
067 Alternativa D
Como a força de atrito máximo entre a mão e o livro é maior do que a entre um livro e
outro, haverá somente deslizamento entre o conjunto 2 + (𝑛 − 1) e os livros extremos (1 e
𝑛).
· · ·1 2 3 4 5 6 𝑛 − 3 𝑛 − 2 𝑛 − 1 𝑛
Disso
(𝑛 − 2) livros
(𝑛 − 2)𝑚𝑔
𝜇′𝑁(𝑛−1)𝑛𝜇′𝑁12
257
𝜇′𝑁12 + 𝜇′𝑁(𝑛−1)𝑛 ≥ (𝑛 − 2)𝑚𝑔
0, 25 · 120 + 0, 25 · 120 = (𝑛máx − 2) · 0, 4 · 10 =⇒ 𝑛máx = 17 .
Entre os livros 3 e 15, há 11 livros, assim
2𝐹at(mín) = 11 · 0, 4 · 10 =⇒ 𝐹at(mín) = 22 N .
068 Alternativa A
Para o polo 𝑂, vem
𝑚
®𝑔 · · ·
𝑚𝑔
𝐵 𝐴 𝑇𝑛
(Ref.)
(Linha vertical)
𝑂 𝑥(
𝑛 − 1
2
)
𝑥
𝑥
√
3/2
𝑇𝑛 ·
𝑥
√
3
2
= 𝑚𝑔 ·
(
𝑛 − 1
2
)
· 𝑥 =⇒ 𝑇𝑛 =
𝑚𝑔(2𝑛 − 1)
√
3
.
069 O centro de massa de U estará a 𝑥/2 do plano inclinado e das faces paralelas à mesma,
mas, a 𝑥/3 da face abaixo. Para que essa armação tombe, será preciso que 𝛼 ultrapasse
𝛼0, onde 𝛼0 é para a iminência de giro de U.
𝛼0
𝑥/2
𝑥/3 𝛼0𝐺
𝑂
Pela figura
tg𝛼0 =
𝑥/3
𝑥/2 =
2
3
.
O centro de massa (𝐺) dessa armação não pode passar pro lado esquerdo da linha vertical
tracejada para evitar tombamentos. Assim,
𝛼 > arctg
(
2
3
)
nos dará tombamento de U em torno de 𝑂.
258
070 Para o equilíbrio inicial da armação, a linha vertical, que passa por 𝐴, também deverá
passar pelo centro de massa 𝐺 da mesma. Para o novo equilíbrio, obviamente, 𝛼 < 60◦.
𝐴
𝐵
𝐶®𝑁𝐵 𝐺
𝑚®𝑔
60◦
®𝑁𝐴
𝑦
0
𝑥
𝑃
𝑅
𝑅
𝑅
(+) (−)
𝑂
60 ◦
−
𝛼
Perceba que 𝑂𝐺 = 𝑅 tg𝛼 e 𝐴𝐺 = 𝑅/cos𝛼. Tomando 𝐴 como sendo o pólo de rotação,
vem
𝑁𝐵 sen 60◦ · 𝑅−𝑚𝑔 ·
𝑅
cos𝛼
sen(60◦ − 𝛼) = 0
𝑁𝐵 =
(
sen 60◦ cos𝛼 − cos 60◦ sen𝛼
sen 60◦ cos𝛼
)
𝑚𝑔 =⇒ 𝑁𝐵 =
(
1 − tg𝛼√
3
)
𝑚𝑔 .
As componentes de ®𝑁𝐴 sobre os eixos 𝑥 e 𝑦 serão
𝑁𝐴, 𝑥 = −𝑁𝐵 sen 60◦ = −
√
3
2
(
1 − tg𝛼√
3
)
𝑚𝑔 e
𝑁𝐴, 𝑦 = 𝑚𝑔 − 𝑁𝐵 cos 60◦ = 𝑚𝑔 −
1
2
(
1 − tg𝛼√
3
)
𝑚𝑔
=
1
2
(
1 + tg𝛼√
3
)
𝑚𝑔.
Assim
𝑁𝐴 = 𝑚𝑔
√︄
1 + tg
2𝛼
3
− tg𝛼√
3
.
259
071 Segue o diagrama de forças:
𝑁1
𝑁2
𝐹at(2)
®𝐹
𝑂
𝑚𝑔
𝐺𝐺
ℎ/2
𝑙
𝐹at(1)
(−)
(+)
Para 𝑂
𝑃𝑙
2
>
𝐹ℎ
2
+ 𝑁1𝑙 (I).
Para 𝐺
(𝜇1𝑁1 + 𝜇2𝑁2)
ℎ
2
+ 𝑁1𝑙
2
<
𝑁2𝑙
2
(𝑁2 − 𝑁1)𝑙 > (𝜇1𝑁1 + 𝜇2𝑁2)ℎ
𝑁2(𝑙 − 𝜇2ℎ) > 𝑁1(𝜇1ℎ + 𝑙),
mas 𝑃 = 𝑁1 + 𝑁2. No limite de tombamento
𝑁1(𝜇1ℎ + 𝑙) = (𝑃 − 𝑁1) (𝑙 − 𝜇2ℎ)
𝑁1 =
𝑚𝑔(𝑙 − 𝜇2ℎ)
ℎ(𝜇1 − 𝜇2) + 2𝑙
(II).
Assim, usando (II) em (I), vem
𝐹ℎ = (𝑚𝑔 − 2𝑁1)𝑙
=
[
𝑚𝑔 − 2(𝑙 − 𝜇2ℎ)
ℎ(𝜇1 − 𝜇2) + 2𝑙
]
𝑙
= 𝑚𝑔
[
ℎ𝜇1 − ℎ𝜇2 + 2𝑙 − 2𝑙 + 2𝜇2ℎ
2𝑙 + ℎ(𝜇1 − 𝜇2)
]
𝑙
=
𝑚𝑔ℎ(𝜇1 + 𝜇2)𝑙
2𝑙 + ℎ(𝜇1 − 𝜇2)
=⇒ 𝐹 =
𝑚𝑔(𝜇1 + 𝜇2)
2 + ℎ(𝜇1 − 𝜇2)
𝑙
(valor máximo).
072 Decompondo o peso da esfera nas direções tangencial e normal ao plano, temos a figura
abaixo. O torque gerado por 𝑚𝑔sen𝛼, em relação a 𝑂, deve superar o feito por 𝑚𝑔 cos𝛼.
Então:
260
𝑚𝑔𝑦 sen𝛼 > 𝑚𝑔𝑥 cos𝛼
tg𝛼 >
𝑥
𝑦
tg𝛼 >
𝑟 sen 60◦
𝑟 cos 60◦
tg𝛼 > tg 60◦ =⇒ 𝛼 >
𝜋
3
. 𝛼
𝑚𝑔 sen𝛼
𝑚
𝑔
co
s𝛼 𝑦
𝑥
𝑂
𝐺
60◦
𝑟
073 Seja 𝛼 o ângulo entre ®𝑁 e a direção inicial do palito (horizontal), disso, 2𝑁 sen𝛼 = 𝑃.
𝑁 𝑁
𝑃
𝛼 𝛼
𝑃
𝜃
𝑁
𝜃 + 𝛼
𝑙 sen(𝜃 + 𝛼)
𝑙
2
cos 𝜃
𝑂
(−)
(+)
Suponha que o palito seja perturbado, de tal maneira que, a extremidade esquerda desça
e a direita suba, com isso, o torque resultante sobre o mesmo, tomando 𝜃 � 𝛼, será
𝜏𝑂,res = − 𝑙
2
cos 𝜃𝑃 + 𝑁𝑙 sen(𝛼 + 𝜃) � −𝑃𝑙
2
+ 𝑁𝑙 sen𝛼︸ ︷︷ ︸
0
+𝑁𝑙 cos𝛼 𝜃 = 𝑁𝑙 cos𝛼 𝜃 > 0,
ou seja, o equilíbrio da direção horizontal do palito é instável, pois ®𝑁 não muda com 𝜃.
(QED)
074 Deslocando o cubo por um ângulo 𝜃 > 0:
N. R.
𝑦 ⊕
𝑇
𝜃
ℎ1
ℎ2 = 𝑟
𝜃
𝐺
𝑆
𝑂
𝑉
261
No triângulo 𝑂𝑆𝑉 , o segmento 𝑂𝑆 vale 𝑂𝑆 = 𝑟 cos 𝜃. Então, 𝑆𝑇 = 𝑟 − 𝑟 cos 𝜃 =
𝑟 (1 − cos 𝜃). Com isso, ℎ1 valerá
ℎ1 =
[𝑎
2
+ 𝑟 (1 − cos 𝜃)
]
cos 𝜃 =
(𝑎
2
+ 𝑟
)
cos 𝜃 − 𝑟 cos2 𝜃,
assim, a altura do centro de gravidade 𝐺 será
𝑦𝐺 = 𝑉𝐺 cos 𝜃
= ℎ1 + ℎ2
=
(𝑎
2
+ 𝑟
)
cos 𝜃 − 𝑟 cos2 𝜃 + 𝑟
=
(𝑎
2
+ 𝑟
)
cos 𝜃 + 𝑟 sen2𝜃.
Para deslocamentos angulares pequenos 𝜃 � 1, temos
𝐸pot = 𝑚𝑔𝑦𝐺 � 𝑚𝑔
[(𝑎
2
+ 𝑟
) (
1 − 𝜃2
2
)
+ 𝑟𝜃2
]
= 𝑚𝑔
(𝑎
2
+ 𝑟 − 𝑎
4
𝜃2 − 𝑟
2
𝜃2 + 𝑟 𝜃2
)
= 𝑚𝑔
( 𝑟
2
− 𝑎
4
)
𝜃2 + constante.
Para termos equilíbrio estável em torno de 𝑉 ,
𝑟
2
− 𝑎
4
> 0 =⇒ 𝑟 >
𝑎
2
. (QED)
075 Alternativa A
Para o equilíbrio translacional da placa
𝑂
𝑁1
𝜇𝑁1
𝑁2𝜇𝑁2
(1 − 𝑥/𝑙) 𝑃
𝑥𝑃/𝑙
𝑎
𝑎
𝑥/2
𝑁1 + 𝜇𝑁2 = 𝑃 =⇒ 𝑁1 =
𝑃
𝜇2 + 1
.
262
Para o equilíbriorotacional da placa (para 0), vem
𝑁1𝑎 = 𝜇𝑁1𝑎 +
𝑥
𝑙
𝑃
𝑥
2
=⇒ 𝑁1 =
𝑥2𝑃
2𝑎𝑙 (1 − 𝜇) .
Disso
𝑥2𝜇2 + 2𝑎𝑙𝜇 + 𝑥2 − 2𝑎𝑙 = 0 =⇒ 𝜇 =
√︃
𝑙2𝑎2 + 𝑥2
(
2𝑎𝑙 − 𝑥2
)
− 𝑎𝑙
𝑥2
.
076 Com o diagrama de forças, vem:
𝑃
𝐺
𝛼
𝑎/2
𝑥𝑎
2
− 𝑥
𝑁
𝜇𝑁
𝑅
𝛼
Para o equilíbrio de 𝐺 (centro de gravidade), ®𝑅 + ®𝑃 = ®0, ou seja, 𝑅 = 𝑃. Pela geometria
acima
tg𝛼 =
𝑎/2
𝑎/2 − 𝑥 =
𝑎
𝑎 − 2𝑥 .
Voltando para a situação sem deslizamento
𝜇𝑁 ≥ 𝑃 cos𝛼 =⇒ 𝜇𝑃 sen𝛼 ≥ 𝑃 cos𝛼 =⇒ tg𝛼 ≥ 1
𝜇
,
logo
𝑎
𝑎 − 2𝑥 ≥ 1
𝜇
=⇒ 𝑎𝜇 ≥ 𝑎 − 2𝑥 =⇒ 𝑥 ≥ 𝑎
2
(1 − 𝜇) .
077 Analisando uma das cunhas e identificando todas as forças atuantes nela, temos:
263
𝑁‘
𝐹 → 0
𝜇1𝑁
′
𝑁 sen𝛼
𝑁 cos𝛼
𝜇2𝑁 cos𝛼
𝜇2𝑁 sen𝛼
Para atender a condição do problema
𝐹 + 𝜇2𝑁 cos𝛼 − 𝑁 sen𝛼 − 𝜇1𝑁 > 0,
onde 𝑁‘ = (𝜇2 sen𝛼 + cos𝛼)𝑁 , então,
tg𝛼máx =
𝜇2 − 𝜇1
1 + 𝜇1𝜇2
.
078 Identificando todas as forças, vem:
𝑑
2
𝜇𝑁𝑁
𝑏−𝑎
2
𝛼
𝜇𝑁 𝑁
𝑥
𝑦
𝛼
𝑏
Para o atrito ser o único responsável pela laminação, temos
𝜇𝑁 cos𝛼 − 𝑁 sen𝛼 > 0 =⇒ tg𝛼 < 𝜇 =⇒ cos𝛼 >
1√︁
1 + 𝜇2
.
Da geometria acima
cos𝛼 =
𝑑
2
− (𝑏 − 𝑎)
2
𝑑
2
= 1 − (𝑏 − 𝑎)
𝑑
.
Assim
1 − (𝑏 − 𝑎)
𝑑
>
1√︁
1 + 𝜇2
=⇒ 𝑏máx = 𝑎 + 𝑑
(√︁
1 + 𝜇2 − 1√︁
1 + 𝜇2
)
.
264
079 Alternativa A
Tomando um elemento infinitésimo da corda entre 0 e 180◦, vem:
𝑑𝜃
𝜃
𝑡𝑛
𝑇
𝑇 + 𝑑𝑇
𝑑𝑁
𝜇𝑑𝑁
𝑑𝑃
(𝜃 = 0) (𝜃 = 𝜋)
𝑅
Sendo 𝑑𝑃 = 𝜆𝑔𝑅𝑑𝜃 e vendo o equilíbrio desse elemento, vem∑︁
𝐹𝑡 = 0 =⇒ (𝑇 + 𝑑𝑇) cos 𝑑𝜃
2
− 𝑇 cos 𝑑𝜃
2
− 𝜇𝑑𝑁 − 𝜆𝑔𝑅𝑑𝜃 cos 𝜃 = 0
𝑑𝑇 − 𝜇𝑑𝑁 = 𝜆𝑔𝑅 cos 𝜃𝑑𝜃 (I),∑︁
𝐹𝑛 = 0 =⇒ (𝑇 + 𝑑𝑇) sen 𝑑𝜃
2
+ 𝑇 sen 𝑑𝜃
2
+ 𝜆𝑔𝑅𝑑𝜃 sen 𝜃 − 𝑑𝑁 = 0
𝑇𝑑𝜃 + 𝜆𝑔𝑅 sen 𝜃𝑑𝜃 = 𝑑𝑁 (II).
Com (II) em (I)
𝑑𝑇
𝑑𝜃
− 𝜇𝑇 = 𝜆𝑔𝑅(𝜇 sen 𝜃 + cos 𝜃).
Essa equação diferencial não-homogênea terá solução geral dada por
𝑇 (𝜃) = 𝐴𝑒𝜇𝜃 + 𝑒𝜇𝜃
∫
𝑒−𝜇𝜃
′
𝜆𝑔𝑅(𝜇 sen 𝜃′ + cos 𝜃′)𝑑𝜃′
= 𝐴𝑒𝜇𝜃 − 2𝜇𝜆𝑔𝑅
1 + 𝜇2
,
para 𝜃 = 0, 𝑇 = 0, então,
0 = 𝐴𝑒0 − 2𝜇𝜆𝑔𝑅
1 + 𝜇2
=⇒ 𝐴 =
2𝜇𝜆𝑔𝑅
1 + 𝜇2
.
Para 𝜃 = 𝜋, 𝑇 = 𝜆𝑔𝑙, disso
𝑇 =
𝜆𝑔𝑅
1 + 𝜇2
[
2𝜇𝑒𝜇𝜃 + (1 − 𝜇2)sen 𝜃 − 2𝜇 cos 𝜃
]
𝑇 (𝜋) = 𝜆𝑔𝑅
1 + 𝜇2
(2𝜇𝑒𝜇𝜋 + 0 + 2𝜇)
𝜆𝑔𝑙 =
2𝜇𝜆𝑔𝑅
1 + 𝜇2
(𝑒𝜇𝜋 + 1) =⇒ 𝑙 =
2𝜇𝑅
1 + 𝜇2
(1 + 𝑒𝜇𝜋) .
080 Alternativa A
Temos que:
265
𝑥 (NR)
𝑦
𝛼 𝐵
𝐴
𝑟
𝑟
𝜃
𝑟
co
s𝜃
𝑟 cos(𝛼 + 𝜃)
O desnível entre 𝐴 e 𝐵 será
Δ𝑦𝐴𝐵 = 𝑟 cos 𝜃 − 𝑟 cos(𝛼 + 𝜃) = 𝑟 cos 𝜃 − 𝑟 cos𝛼 cos 𝜃 + 𝑟 sen𝛼 sen 𝜃
� 𝑟 cos 𝜃 − 𝑟 cos 𝜃 + 𝑟𝛼
2
2
cos 𝜃 + 𝑟𝛼 sen 𝜃
=
𝑙2
2𝑟2
√︁
𝑟2 − 𝑥2 + 𝑥𝑙
𝑟
.
Logo
𝑎 =
Δ𝑦𝐴𝐵
𝑙
𝑔 =⇒ 𝑎 =
(
𝑙
2𝑟2
√︁
𝑟2 − 𝑥2 + 𝑥
𝑟
)
𝑔 .
081 Alternativa E
Seja 𝜃 o ângulo formado pelo fio e a direção vertical. Para 0 < 𝜃 < 𝜋/2, indiquemos as
forças atuantes no sistema. Sendo 𝑇 o módulo da tração no fio, nessa configuração
𝑀𝑔
𝑇 cos 𝜃
𝑇 sen𝜃
𝑁
𝜇𝑁
(𝑀)
𝑇
𝑣
𝑚𝑔 𝜃
(𝑚)
𝑇 − 𝑚𝑔 cos 𝜃 = 𝑚𝑣
2
𝑙
=⇒ 𝑇 = 3𝑚𝑔 · cos 𝜃 e
{
𝑇 cos 𝜃 + 𝑀𝑔 = 𝑁
𝑇 sen 𝜃 < 𝜇𝑁
.
Defina 𝑓 (𝜃) = 𝑇 sen 𝜃/𝑁 . Explicitamente em 𝜃, vem
𝑓 (𝜃) = 3𝑚𝑔 sen 𝜃 cos 𝜃
𝑀𝑔 + 3𝑚𝑔 cos2 𝜃
=
3 tg 𝜃 cos2 𝜃
1 + 3 cos2 𝜃
=
3 tg 𝜃
4 + tg2 𝜃
=
3
tg 𝜃 + 4
𝑡𝑔 𝜃
.
266
Usando a desigualdade entre as médias aritmética e geométrica, vem
tg 𝜃 + 4
tg 𝜃
2
≥
√︄
tg 𝜃 · 4
tg 𝜃
=⇒ 3
2 𝑓 (𝜃) ≥ 2 =⇒ 𝑓 (𝜃) ≤ 3
4
.
Desse jeito, 𝜇 > 0, 75 .
082 Alternativa E
No estado estacionário do vagão, o campo gravitacional não será alterado, ou seja, 𝑇0 =
2𝜋
√︁
𝑙/𝑔. Na travessia curva, a gravidade passa a ser 𝑔′ =
√︁
𝑔2 + (𝑣2/𝑟)2, então, 𝑇 =
2𝜋
√︁
𝑙/𝑔′. Logo
𝑁0𝑇0 = 2𝑁0𝑇 =⇒ 2𝑁0𝜋
√︄
ℓ
𝑔
= 4𝑁0𝜋
√︄
ℓ
𝑔′
𝑔′
𝑔
= 4
𝑔2 + 𝑣
4
𝑟2
= 16𝑔2 =⇒ 𝑣 =
√︃
𝑟𝑔
√
15 .
®𝑔
®𝑎cp
®𝑔 ′
dir. de osc.
083 Alternativa D
Considere o trecho 𝐴𝑆 qualquer, que deverá ser tomado quando o tempo é o menor
possível:
𝜃
𝑉
𝑆
𝐴
𝑃
𝛼
𝜃
𝑑
𝑔 sen(𝜃 − 𝛼)
𝑔 cos(𝜃 − 𝛼)
𝑡 = 0
Pela geometria acima e sabendo que o móvel percorrerá 𝐴𝑆 em MUV acelerado com
aceleração 𝑔 cos(𝜃 − 𝛼), vem
𝐴𝑆 =
𝑎𝑡2
2
=⇒ 𝑡2 =
2𝑑
𝑔 cos𝛼 cos(𝜃 − 𝛼) .
Devemos maximizar o denominador, disso
cos𝛼 cos(𝜃 − 𝛼) = 1
2
[cos(𝛼 − 𝜃 + 𝛼) + cos(𝛼 + 𝜃 − 𝛼)]
=
1
2
[cos(2𝛼 − 𝜃) + cos 𝜃] ,
267
ou seja, para 𝛼 = 𝜃/2, teremos tempo mínimo no percurso 𝐴→ 𝑆. Logo
𝑡2mín =
2𝑑
𝑔 cos2(𝜃/2)
=
2 · 3, 5
10 · cos2 30◦
=
28
30
=⇒ 𝑡mín =
√︂
14
15
s .
084 Alternativa A
Sejam 𝑁𝑖 𝑗 (𝑖, 𝑗 = 𝐴, 𝐵, 𝐶) as reações entre os corpos. Indicando as acelerações (o vetor
tracejado é para o referencial fixado em 𝐵), temos a figura I:
45◦
𝐴
𝐵
𝐶
𝑎 ′
𝐵
𝑎𝐴
𝑎𝐶
𝑔
𝑥0
𝑦
Fig. I
𝑎𝐵
−𝑎𝐶,𝑥
−𝑎𝐵,𝑦
𝑎𝐵,𝑥
45◦
Fig. II
Usando a 2ª lei de Newton nas direções 𝑥 e 𝑦, em cada corpo, temos
𝑥 :
{
𝑁𝐵𝐶 cos 45◦ = 𝑚𝑎𝐵,𝑥 (I)
−𝑁𝐵𝐶 cos 45◦ = 𝑚𝑎𝐶,𝑥 (II) e 𝑦 :
{
𝑁𝐴𝐵 − 𝑚𝑔 = 𝑚𝑎𝐴,𝑦 (III)
−𝑁𝐴𝐵 + 𝑁𝐵𝐶 sen 45◦ − 𝑚𝑔 = 𝑚𝑎𝐵,𝑦 (IV) .
Em 𝑥, 𝐴 não terá movimento e em 𝑦, 𝐶 não terá movimento, como se vê nas equações
acima. De (I) e (II), é evidente que 𝑎𝐵,𝑥 = −𝑎𝐶,𝑥 . Pelo diagrama vetorial das acelerações
(figura II) ®𝑎𝐵 e ®𝑎𝐶 , temos
tg 45◦ =
−𝑎𝐵,𝑦
𝑎𝐵,𝑥 − 𝑎𝐶,𝑥
= 1 =⇒ 𝑎𝐵,𝑦 = 𝑎𝐶,𝑥 − 𝑎𝐵,𝑥 = 2𝑎𝐶,𝑥 (V).
A outra relação de vínculo vem do movimento rígido de 𝐴 + 𝐵 na direção-𝑦, ou seja,
𝑎𝐴 = 𝑎𝐵,𝑦 (VI). Perceba que estamos aptos a resolver o sistema geral pois temos seis
incógnitas, quatros equações e dois vínculos cinemáticos. Somando (III) e (IV) e usando
(II) e (V), temos (−𝑚𝑎𝐶,𝑥
cos 45◦
)
sen 45◦ − 2𝑚𝑔 = 2𝑚𝑎𝐴,𝑦
−
𝑎𝐴,𝑦
2
− 2𝑔 = 2𝑎𝐴,𝑦
𝑎𝐴,𝑦 = −4𝑔
5
=⇒ 𝑎𝐴 =
4𝑔
5
.
268
085 Como não existe movimento relativo entre 𝐴 e 𝐵 na direção horizontal (eixo-𝑥), os prismas
terão os mesmo deslocamento Δ𝑥𝐴 = Δ𝑥𝐵 conforme mostra a figura abaixo:
𝛼
𝛼𝐵
𝐴®𝑔
Δ𝑥
Δ𝑦𝐴
Δ𝑦𝐵
𝑚𝑔
𝑚𝑔
𝑁𝐴
𝑁𝐵
𝑁𝑁
𝑥
𝑂
𝑦
Como se vê acima, já colocamos todas as forças atuantes no sistema, individualmente. As
relações de vínculo serão tg𝛼 = Δ𝑦𝐵/Δ𝑥 e tg𝛼 = Δ𝑥/Δ𝑦𝐴. Usando a 2ª lei de Newton
em cada uma das cunhas, temos
𝐴 :
{
𝑁 − 𝑁𝐴 cos𝛼 = 𝑚𝑎𝐴𝑥
𝑁𝐴 sen𝛼 − 𝑚𝑔 = 𝑚𝑎𝐴𝑦
e 𝐵 :
{
𝑁𝐵 sen𝛼 − 𝑁 = 𝑚𝑎𝐵𝑥
𝑁𝐵 cos𝛼 − 𝑚𝑔 = 𝑚𝑎𝐵𝑦
.
Pelas relações de vínculos, conclui-se que 𝑎𝐴𝑥 = 𝑎𝐵𝑥 = 𝑎, e ainda
𝑎𝐵𝑦 = 𝑎 tg𝛼 e 𝑎𝐴𝑦 =
𝑎
tg𝛼
.
Disso, os sistemas acima serão simplificados como
𝐴 :

𝑁 − 𝑁𝐴 cos𝛼 = 𝑚𝑎 (I)
𝑁𝐴 sen𝛼 − 𝑚𝑔 =
𝑚𝑎
tg𝛼
(II) e 𝐵 :
{
𝑁𝐵 sen𝛼 − 𝑁 = 𝑚𝑎 (III)
𝑁𝐵 cos𝛼 − 𝑚𝑔 = 𝑚𝑎 tg𝛼 (IV) .
Eliminando 𝑁𝐴 e 𝑁𝐵, dividamos (I) por (II), e (III) por (IV), disso
tg𝛼 =
𝑚𝑎 + 𝑁
𝑚𝑎
tg𝛼
+ 𝑚𝑔
(V) e tg𝛼 =
𝑚𝑎 tg𝛼 + 𝑚𝑔
𝑁 − 𝑚𝑎 (VI).
De (V), 𝑚𝑎 + 𝑚𝑔 tg𝛼 = 𝑚𝑎 + 𝑁 =⇒ 𝑁 = 𝑚𝑔 tg𝛼. E de (VI), 𝑁 tg𝛼 − 𝑚𝑎 tg𝛼 =
𝑚𝑎 tg𝛼 + 𝑚𝑔 =⇒ 𝑁 tg𝛼 = 2𝑚𝑎 tg𝛼 + 𝑚𝑔. Disso
(𝑚𝑔 tg𝛼) tg𝛼 = 2𝑚𝑎 tg𝛼 + 𝑚𝑔 =⇒ 𝑎 =
(
tg2𝛼 − 1
2 tg𝛼
)
𝑔 =⇒ 𝑎 = − 𝑔
tg(2𝛼) .
Portanto
𝑎2𝐴 = 𝑎2 + 𝑎2
tg2𝛼
=⇒ 𝑎𝐴 =
𝑔
sen𝛼 tg(2𝛼) .
269
086 Alternativa E
Usando a 2ª lei de Newton, vem:
𝐴
𝑁𝐴
𝑀𝑔
𝐹
𝑁𝐵𝐴
𝐵
𝑚𝑔
𝑁𝐴𝐵
𝐹at
𝑁𝐶𝐵
𝐶𝑁𝐵𝐶
𝐹at
𝑀𝑔
𝑁𝐶
𝑥
𝑦
𝑎
𝐴 :
{
𝐹 − 𝑁𝐵𝐴 = 𝑀𝑎 (em 𝑥)
𝑁𝐴 = 𝑀𝑔 (em 𝑦) 𝐵 :
{
𝑁𝐴𝐵 − 𝑁𝐶𝐵 = 𝑚𝑎 (em 𝑥)
𝐹at > 𝑚𝑔 (em 𝑦)
𝐶 :
{
𝑁𝐵𝐶 = 𝑀𝑎 (em 𝑥)
𝑁𝐶 = 𝐹at + 𝑀𝑔 (em 𝑦)
Não há movimento relativo entre os corpos em 𝑥, 𝐹 = (𝑚 + 2𝑀)𝑎 =⇒ 𝑎 =
𝐹
𝑚 + 2𝑀 .
Sendo 𝐹at = 𝜇𝑁𝐶𝐵, vem
𝜇𝑁𝐵𝐶 > 𝑚𝑔
𝜇𝑀𝑎 > 𝑚𝑔𝜇𝑀
(
𝐹
2𝑀 + 𝑚
)
> 𝑚𝑔 =⇒ 𝐹 >
𝑚𝑔
𝜇
(
2 + 𝑚
𝑀
)
.
087 Tomando um elemento infinitésimo da corrente, suposta homogênea, temos:
𝜃
𝑑𝜃
𝑑𝑁
𝑇
𝑇 + 𝑑𝑇
𝑑𝑚 𝑔
𝑡𝑛
𝑥
𝑦
270
Usando a 2ª lei de Newton na direção tangencial nesse segmento, de acordo com o sistema
de coordenadas cartesiano móvel 𝑛𝑡, temos
(𝑇 + 𝑑𝑇) cos 𝑑𝜃
2
− 𝑇 cos 𝑑𝜃
2
− 𝑑𝑚 𝑔 cos 𝜃 = 𝑑𝑚 𝑎𝑡
𝑑𝑇 − 𝜆𝑅𝑔𝑑𝜃 cos𝜃 � 𝜆𝑅𝑑𝜃 𝑎𝑡 .
Imediatamente cortar a corda
𝑎𝑡 = −𝑑𝑦
𝑑𝑙
𝑔 = −
(
𝑅 − 0
𝜋𝑅/2
)
𝑔 = −2𝑔
𝜋
.
Assim
𝑑𝑇 = 𝜆𝑅𝑔
(
cos 𝜃𝑑𝜃 − 2
𝜋
𝑑𝜃
)
=⇒ 𝑇 = 𝜆𝑅𝑔
(
sen 𝜃 − 2𝜃
𝜋
)
.
088 Tomando dois elementos genéricos e simétricos (com respeito ao eixo-𝑥), temos:
𝑥
𝑦
Δ𝑚𝑖 = 𝜆𝑘𝑟𝑘Δ𝜃𝑖
Δ ®𝑓𝑖
𝜃𝑖
Δ𝑚 𝑗
Δ ®𝑓 𝑗
0
𝑟𝑘
Divida o disco em anéis muito finos, de raios 𝑟𝑘 , depois, tome dois elementos simetrica-
mente opostos ao eixo-𝑥, disso, o componente da força resultante sobre o anel devido ao
lado 2 será∑︁
𝑖
Δ𝐹𝑖 cos 𝜃𝑖 = 𝜇2𝜆𝑘𝑔
∑︁
𝑖
Δ𝑙𝑖 cos 𝜃𝑖
= 2𝜇2𝜆𝑘𝑔𝑟𝑘 = Δ𝐹2𝑘 =⇒ Δ𝐹2𝑘 =
𝜇2𝑔
𝜋
𝜆𝑘 (2𝜋𝑟𝑘 )︸ ︷︷ ︸
Δ𝑚𝑘
=
𝜇2𝑔
𝜋
Δ𝑚𝑘 .
Para o lado 1, analogamente, Δ𝐹1𝑘 = −𝜇1𝑔Δ𝑚𝑘/𝜋. Assim
𝐹res =
𝜇2𝑔
𝜋
𝑚 − 𝜇1𝑔
𝜋
𝑚
=
(𝜇2 − 𝜇1)𝑚𝑔
𝜋
=⇒ 𝑎res =
(𝜇2 − 𝜇1)𝑔
𝜋
.
271
089 Alternativa C
Tomando um canal genérico, como mostra a figura, podemos usar a 2ª lei de Newton no
grão:
𝑦
0
𝑥
𝜃
𝑚𝑔
𝜇𝑁
𝑎
𝑁
90
◦ −
𝜃
{
𝑁 = 𝑚𝑔 cos(90◦ − 𝜃) = 𝑚𝑔 sen 𝜃
𝑚𝑔 cos 𝜃 − 𝜇𝑁 = 𝑚𝑎
=⇒ 𝑎 = 𝑔(cos 𝜃 − 𝜇 sen 𝜃).
Sendo 𝑟 = 𝑎𝑡2/2 =
√︁
𝑥2 + 𝑦2, cos 𝜃 = 𝑥/𝑟 e sen 𝜃 = 𝑦/𝑟, vem
2
√︁
𝑥2 + 𝑦2
𝑡2
=
𝑔
𝑟
(𝑥 − 𝜇𝑦)
2
(
𝑥2 + 𝑦2
)
𝑡2
= 𝑔(𝑥 − 𝜇𝑦) =⇒ 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑔𝑡2
2
(𝑥 − 𝜇𝑦).
Mas, (𝑥 − 𝑥0)2 + (𝑦 − 𝑦0)2 = 𝑅2 =⇒ 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑅2 + 2𝑥0𝑥 + 2𝑦0𝑦 − 𝑥20 − 𝑦
2
0. Comparando,
𝑅2 = 𝑥20 + 𝑦
2
0,
𝑔𝑡2
2
= 2𝑥0 e −
𝜇𝑔𝑡2
2
= 2𝑦0, disso
𝑅2 =
𝑔2𝑡4
16
+ 𝜇
2𝑔2𝑡4
16
=
(
𝑔𝑡2
4
)2
(1 + 𝜇2) =⇒ 𝑅 =
𝑔𝑡2
4
√︃
1 + 𝜇2 .
090 Alternativa A
Para colisões inelásticas, a quantidade de contas que serão agregadas, depois de um
tempo grande (Δ𝑡 → ∞), será igual a 𝑣Δ𝑡/𝑑, disso, o momento linear total acrescentado
ao sistema será
Δ𝑝total = Δ𝑚total𝑣 =
𝑚𝑣Δ𝑡
𝑑
𝑣 =
𝑚𝑣2
𝑑
Δ𝑡,
portanto
𝐹 =
Δ𝑝total
Δ𝑡
=
𝑚𝑣2
𝑑
=⇒ 𝑣 =
√︂
𝐹𝑑
𝑚
.
272
Para as colisões elásticas, o momento linear transferido é de fato de um pulso. Então
𝑣′ =
1
2
(
0 +
√︂
2𝐹𝑑
𝑚
)
=
√︂
𝐹𝑑
2𝑚
.
091 Observe:
𝑚
𝐹𝛼
𝛼
𝑇
𝑚𝑔
𝑇
𝑇
(Situação I)
Na figura acima {
𝑇 = 𝑚𝑔
𝐹 = 𝑇 sen𝛼
,
ou seja
𝐹 = 𝑚𝑔 sen𝛼 =⇒ 𝐹máx = 𝑚𝑔.
𝐹𝛽
𝛽 𝑇
𝑇
𝑁
𝑚𝑔
(Situação II)
273
Nessa figura, cos 𝛽 =
𝑇
𝑚𝑔
=⇒ 𝑇 = 𝑚𝑔 cos 𝛽 e 𝐹 = 𝑇 =⇒ 𝐹máx = 𝑚𝑔. Ou seja, a situação
a seguir é o caso-limite de ®𝐹.
𝐹máx
𝑚
𝑟
Portanto
𝐹máx = 𝑚𝑔 .
092 Alternativa A
Veja:
𝑥 = 0
𝜇 = 𝜇0
𝜇 = 0
𝑥
𝑚𝑔
𝑁
𝜇𝑁
𝜇 ≠ 0
Usando a 2ª lei de Newton
𝑚 ¥𝑥 = −𝜇(𝑥) 𝑚𝑔 =⇒ ¥𝑥 +
(
1 + 𝑥
𝑥0
)
𝑔 = 0.
Fazendo 𝑋 = 𝜇𝑥0 + 𝑥, ¥𝑥 = ¥𝑋 , disso
¥𝑋 + 𝑔
𝑥0
𝑋 = 0 =⇒ 𝜔 =
√︂
𝑔
𝑥0
.
Sendo 𝑋 = 𝐴 cos(𝜔𝑡 + 𝛿) e ¥𝑋 = −𝜔𝐴 sen(𝜔𝑡 + 𝛿), para 𝑡 = 0, 𝑋 = 𝜇0𝑥0 e ¤𝑋 = 𝑣0, então{
𝑣0 = −𝜔𝐴 sen 𝛿 (I)
𝜇0𝑥0 = 𝐴 cos 𝛿 (II) ,
dividindo (I) por (II)
𝑣0
𝜇0𝑥0
= −𝜔 tg 𝛿 =⇒ tg 𝛿 = − 𝑣0
𝜇0
√
𝑥0𝑔
.
274
Para ¤𝑥 = 0, sen(𝜔𝑡 + 𝛿) = 0, ou seja
𝜔𝑡1 + 𝛿 = 𝜋 =⇒ 𝜔𝑡1 =
𝜋
2
− 𝛼.
Mas
tg 𝛿 = tg
(
𝛼 + 𝜋
2
)
= − 1
tg𝛼
=⇒ tg𝛼 =
𝜇0
𝑣0
√
𝑥0𝑔.
Portanto
𝑡1 =
√︂
𝑥0
𝑔
[
𝜋
2
− arctg
(
𝜇0
√
𝑥0𝑔
𝑣0
)]
.
093 Colocando o sistema de coordenadas no referencial inercial, vem:
𝑦
0
𝑥
(Trajetória)
𝑚𝑔 sen𝛼
𝑚
𝑔 cos𝛼 𝜃
𝑢
𝑣e𝑣e
𝑢
Para descida estacionária
𝑚𝑔 sen𝛼 = 𝜇𝑚𝑔 cos𝛼 cos 𝜃 =⇒ cos 𝜃 =
tg𝛼
𝜇
.
Como tg 𝜃 = 𝑢/𝑣e, vem√︁
1 − tg2𝛼/𝜇2
tg𝛼/𝜇 =
𝑢
𝑣e√︃
𝜇2 − tg2𝛼 =
𝑢 tg𝛼
𝑣e
=⇒ 𝑣e =
𝑢 tg𝛼√︁
𝜇2 − tg2𝛼
.
094 Alternativa C
Colocando as forças, temos:
275
𝐹
𝑇
Δ𝑥 𝑇
(Polia)
𝑇
𝛼
𝑓
Na parte sujeita ao atrito
𝐹res =
Δ𝑝
Δ𝑡
= −Δ𝑚 𝑣
Δ𝑡
= −𝜆𝑣 Δ𝑥
Δ𝑡
= −𝜆𝑣2.
O movimento estacionário do fio ocorre se a força de atrito for maior que a tração no fio,
ou seja, 𝐹 > 𝑇 . Pela 2ª lei de Newton
𝐹res = 𝑇 − 𝐹 = −𝜆𝑣2 =⇒ 𝑇 = 𝐹 − 𝜆𝑣2
e analisando a polia, temos
𝑓 2 = 2𝑇2 + 2𝑇2 cos2 𝛼 =⇒ 𝑓 = 2
(
𝐹 − 𝜆𝑣2
)
cos
(𝛼
2
)
.
095 Seja 𝑎cp a aceleração centrípeta da massa. Com o movimento de ascensão da plataforma{
𝑇 sen𝛼 = 𝑚𝑎cp
𝑁 = 𝑚𝑔 − 𝑚𝑎cp cotg𝛼
𝑇 cos𝛼
𝑇 sen𝛼
𝑚𝑔
𝑁
𝑙
𝑂′
ℎ
𝛼
𝑚
𝑎
𝑂
𝑟
®𝑔
®𝑟
®ℎ
®𝑅
Sendo o fio inextensível em todo o movimento cônico do pêndulo, que se mantém ten-
sionado, a velocidade de 𝑚 com respeito a 𝑂′ é sempre perpendicular ao fio, ou seja,
276
®𝑅 · ®𝑉 = 0 (produto escalar zero), onde ®𝑅 = ®𝑟 − ®ℎ e ®𝑉 = 𝑑®𝑟/𝑑𝑡 − 𝑑®ℎ/𝑑𝑡. Se o sistema sofre
uma translação temporal de 𝑡 para 𝑡 + 𝑑𝑡, temos(
®𝑅 + 𝑑 ®𝑅
)
·
(
®𝑉 + 𝑑 ®𝑉
)
= 0
®𝑅 · ®𝑉 + ®𝑅 · 𝑑 ®𝑉 + 𝑑 ®𝑅 · ®𝑉 + 𝑑 ®𝑅 · 𝑑 ®𝑉 = 0
®𝑅 · ®𝐴 +𝑉2 � 0
−𝑙𝑎cp sen𝛼 + 𝑙𝑎 cos𝛼 + 𝑣2 = 0,
(a) logo, a aceleração da massa será
𝑙𝑎cp sen𝛼 = 𝑣2 + 𝑙𝑎 cos𝛼 =⇒ 𝑎cp = 𝑎 cotg𝛼 + 𝑣2
𝑙 cos𝛼
,
mas, cos𝛼 = ℎ/𝑙, cotg𝛼 = 𝑙/
√
𝑙2 − ℎ2 e 𝑣 = 𝜔
√
𝑙2 − ℎ2, assim
𝑎𝑚 =
𝑎ℎ
√
𝑙2 − ℎ2
+
(
𝑙2 − ℎ2
ℎ
)
𝜔2 .
(b) A reação de Γ valerá
𝑁 = 𝑚𝑔 − 𝑚𝑎 cotg2 𝛼 − 𝑚𝑣2 cotg𝛼
𝑙 sen𝛼
= 𝑚𝑔 − 𝑚𝑎 ℎ2
𝑙2 − ℎ2
−
𝑚𝜔2
(
𝑙2 − ℎ2
) ℎ
√
𝑙2 − ℎ2√
𝑙2 − ℎ2
=⇒ 𝑁 = 𝑚
(
𝑔 − 𝑎ℎ2
𝑙2 − ℎ2
− 𝜔2ℎ
)
.
096 Alternativa A
Observe:
𝑣
𝑣
𝑣
𝑅
𝛼
2ℎ
𝑅
𝑣
𝛼
𝐴
𝜔
O movimento estacionário ocorrerá quando a correia em contato com a roda não desliza
sobre ela. Portanto
𝑣 sen𝛼 = 𝜔𝑅 =⇒ 𝑣ℎ
𝑅
= 𝜔𝑅 =⇒ 𝜔 =
𝑣ℎ
𝑅2
.
277
097 A solução desse problema é análoga à do 105. A força elástica que surgirá é
𝑚𝜔2𝑅
2𝜋
com
Δ𝑙 = 2𝜋𝑅 − 2𝜋𝑅0 = 2𝜋Δ𝑅. Logo
𝑘Δ𝑙 =
𝑚𝜔2𝑅
2𝜋
= 2𝜋𝑘Δ𝑅
Δ𝑅 =
𝑚𝜔2𝑅
4𝜋2𝑘
𝑅 − 𝑚𝜔2𝑅
4𝜋2𝑘
= 𝑅0 =⇒ 𝑅 =
4𝜋2𝑘𝑅0
4𝜋2𝑘 − 𝑚𝜔2
.
098 Alternativa B
Observe:
𝛼
𝑥
𝑦
𝛼
𝛼
𝑅
𝑚𝑔
𝛼
𝜇𝑁
𝑁
𝜔
As equações de movimento em 𝑥 e 𝑦 serão{
𝜇𝑁 sen𝛼 − 𝑁 cos𝛼 = 𝑚𝜔2𝑅 (I)
𝜇𝑁 cos𝛼 + 𝑁 sen𝛼 = 𝑚𝑔 (II) ,
e dividindo (I) por (II)
𝜇 sen𝛼 − cos𝛼
𝜇 cos𝛼 + sen𝛼 =
𝜔2𝑅
𝑔
𝜇 tg𝛼 − 1
𝜇 + tg𝛼 =
𝜔2𝑅
𝑔
𝜇𝑔 tg𝛼 − 𝑔 = 𝜇𝜔2𝑅 + 𝜔2𝑅 tg𝛼 =⇒ 𝜇 =
𝑔 + 𝜔2𝑅 tg𝛼
𝑔 tg𝛼 − 𝜔2𝑅
.
099 O referencial do tubo é acelerado e o usaremo-no para estudar o movimento da partícula
(𝑚). A força de Coriolis será neutralizada pela reação do tubo, então, 𝑚𝑎 = 𝑚𝜔2𝑥 =⇒
𝑎 + (𝑖𝜔)2𝑥 = 0 (oscilador imaginário com pulsação Ω = 𝑖𝜔), onde 𝑖 =
√
−1. Usando a
notação de Euler, 𝑥 = 𝐴𝑒𝑖Ω𝑡 + 𝐵𝑒−𝑖Ω𝑡 = 𝐴𝑒−𝜔𝑡 + 𝐵𝑒𝜔𝑡 .
278
𝑂 𝑥
𝑥
®𝐹cf𝑚
Como 𝑥(0) = 𝑥0 e 𝑣(0) = 0, obtemos o sistema,
{
𝐴 + 𝐵 = 𝑥0
𝐴 − 𝐵 = 0
, ou seja, 𝐴 = 𝐵 = 𝑥0/2, e
então, 𝑥 = (𝑥0/2) (𝑒𝜔𝑡 + 𝑒−𝜔𝑡). Desse jeito, o instante em que 𝑥 = 𝑙 (a partícula chega à
outra extremidade) será
𝑒𝜔𝑡 + 𝑒−𝜔𝑡 = 2𝑙
𝑥0
𝑤2 − 2𝑙
𝑥0
𝑤 + 1 = 0 (𝑤 = 𝑒𝜔𝑡)
𝑤 =
𝑙
𝑥0
±
√︄
𝑙2
𝑥20
− 1 =⇒ 𝑡 =
1
𝜔
ln
©­­«
𝑙 +
√︃
𝑙2 − 𝑥20
𝑥0
ª®®¬ .
Para ambos os sinais, 𝑤 > 0. Mas, o sinal negativo será desprezado porque devemos ter
𝑡 > 0, por convenção.
100 Alternativa C
(i) Quando a plataforma é acelerada:
𝑁2
𝐿/2
𝑚𝑔
𝑚𝑎0 𝐺
𝑁1
𝜇𝑁1
ℎ/2𝑥
𝑦
(−)
(+)
(Ref. do contêiner)
As equações de equilíbrio serão
𝑚𝑎0 = 𝜇𝑁1
𝑁1 + 𝑁2 = 𝑚𝑔
𝜇𝑁1ℎ + 𝑁1𝐿 = 𝑁2𝐿
,
então
𝜇𝑁1ℎ + 𝑁1𝐿 = (𝑚𝑔 − 𝑁1)𝐿 = 𝑚𝑔𝐿 − 𝑁1𝐿
𝑁1 =
𝑚𝑔𝐿
2𝐿 + 𝜇ℎ =⇒ 𝜇 =
2𝑎0𝐿
𝑔𝐿 − 𝑎0ℎ
.
279
(ii) Quando a plataforma é desacelerada por ®𝑎1:
𝑎1 =
𝜇𝑔𝐿
2𝐿 − 𝜇ℎ → O sentido da força de atrito muda!
Assim
𝑎1 =
𝑔𝐿
(
2𝑎0𝐿
𝑔𝐿 − 𝑎0ℎ
)
2𝐿 − 2𝑎0ℎ𝐿
𝑔𝐿 − 𝑎0ℎ
=⇒ 𝑎1 =
𝑎0𝑔𝐿
𝑔𝐿 − 2𝑎0ℎ
.
101 Alternativa B
Veja:
𝑥
𝑦
0
(𝑚)
𝑥0
𝜃
Conta
𝑦 = 𝑘𝑥2
®𝑔
Pos. inicial de eq.
𝑎
No referencial do arame, temos
𝑚𝑎
𝜃
𝑁
𝑃
𝜃
tg 𝜃 =
𝑚𝑎
𝑃
=
𝑚𝑎
𝑚𝑔
=
𝑎
𝑔
,
sendo 𝑦 = 𝑘𝑥2
𝑦 + Δ𝑦 = 𝑘
[
𝑥2 + 2𝑥Δ𝑥 + (Δ𝑥)2
]
𝑦 + Δ𝑦 � 𝑘 (𝑥2 + 2𝑥Δ𝑥) = 𝑘𝑥2 + 2𝑘𝑥Δ𝑥 =⇒ Δ𝑦
Δ𝑥
= 2𝑘𝑥 = tg 𝜃,
logo
2𝑘𝑥0 =
𝑎
𝑔
=⇒ 𝑥0 =
𝑎
2𝑘𝑔
.
280
102 Observe:
𝑟
𝑧
0
Δ𝑚𝜔2𝑟
Δ𝑚𝑔
𝑁
𝜙
Eq. no ref. do balde
Da figura, tg 𝜙 =
Δ𝑚𝜔2𝑟
Δ𝑚𝑔
=
𝜔2𝑟
𝑔
�
𝑑𝑧
𝑑𝑟
. Assim
𝜔2
𝑔
𝑟𝑑𝑟 = 𝑑𝑧 =⇒ 𝜔2
𝑔
∫
𝑟𝑑𝑟 =
∫
𝑑𝑧 =⇒ 𝑧 =
𝜔2
2𝑔
𝑟2 =⇒ 𝑧 =
𝜔2
2𝑔(
𝑥2 + 𝑦2
)
. (QED)
103 Temos que:
𝑚𝜔2𝑅 cos 𝜙
®𝐹res = −®𝑇pr
𝜙
𝑚
𝜔 2
𝑅sen
𝜙 cos
𝜙
𝑚
𝑔
− 𝑚
𝜔
2 𝑅 c
os
2 𝜙
𝑚
𝜔
2 𝑅 c
os
2 𝜙
𝛼
Para a Terra, ®𝐹res = ®𝑃 + ®𝐹cf + ®𝐹cor � ®𝑃 + ®𝐹cf , pois a sua rotação é baixa permitindo que
𝐹cor � 0 (força de Coriolis). Disso
𝛼 � tg𝛼 =
𝑚𝜔2𝑅sen 𝜙 cos 𝜙
𝑚𝑔 − 𝑚𝜔2𝑅 cos2 𝜙
=⇒ 𝛼 =
𝜔2𝑅 sen 𝜙 cos 𝜙
𝑔 − 𝜔2𝑅 cos2 𝜙
.
281
Para 𝛼 → 0, a tração no fio de prumo não muda com 𝜙. Disso
𝑇︸︷︷︸��� ®𝑇pr���
sen𝛼 = 𝑚𝜔2𝑅 cos 𝜙 sen 𝜙 � 𝑇𝛼
𝛼 =
𝑚𝜔2𝑅
2𝑇
sen(2𝜙)
𝛼máx =
𝑚𝜔2𝑅
2𝑇
=⇒ 𝜙 = 45◦ .
104 Para o referencial do pneu, a aceleração de 𝑃 será
®𝑎𝑃 =
(
−𝑎 cos 𝜃 𝑖 + 𝑎 sen 𝜃 𝑗
)
− 𝑣2
𝑟
𝑖 + 𝛼𝑟 𝑗 = −
(
𝑣2
𝑟
+ 𝑎 cos 𝜃
)
𝑖 + 𝑎(1 + sen 𝜃) 𝑗 .
E ainda
𝑎2𝑃 =
(
𝑣2
𝑟
+ 𝑎 cos 𝜃
)2
+ 𝑎2(1 + sen 𝜃)2
=
𝑣4
𝑟2
+ 2𝑎𝑣
2
𝑟
cos 𝜃 + 2𝑎2 + 2𝑎2sen 𝜃
=
𝑣4
𝑟2
+ 2𝑎2 + 2𝑎2
©­­­­­«
sen 𝜃 + 𝑣
2
𝑎𝑟
cos 𝜃︸ ︷︷ ︸
𝑓 (𝜃)
ª®®®®®¬
,
𝑟
®𝑣®𝑎
𝑖
𝑗
𝛼𝑟
𝑃
𝑣2/𝑟
𝜃
282
ou seja
𝑓 (𝜃) = sen 𝜃 + tg𝛼 cos 𝜃
=
sen(𝛼 + 𝜃)
cos𝛼
𝑓máx → sen(𝛼 + 𝜃) = 1 =⇒ 𝜃 =
𝜋
2
− 𝛼.
Assim
tg 𝜃 =
1
tg𝛼
tg 𝜃 =
𝑎𝑟
𝑣2
=⇒ 𝜃 = arctg
(𝑎𝑟
𝑣2
)
.
E finalmente
𝑎2𝑃 =
𝑣4
𝑟2
+ 2𝑎2 + 2𝑎2
√
𝑣4 + 𝑎2𝑟2
𝑎𝑟
=
𝑣4
𝑟2
+ 2𝑎2 + 2𝑎
𝑟
√︁
𝑣4 + 𝑎2𝑟2
=
𝑣4
𝑟2
+ 2𝑎2 + 2𝑎
√︂
𝑎2 + 𝑣
4
𝑟2
=
(√︂
𝑎2 + 𝑣
4
𝑟2
)2
+ 2𝑎
√︂
𝑎2 + 𝑣
4
𝑟2
+ 𝑎2 =⇒ 𝑎𝑃 = 𝑎 +
√︂
𝑎2 + 𝑣
4
𝑟2
.
105 Observe:
(Δ𝑚 = 2𝜆𝑅Δ𝜃)
𝑅
𝑅
Δ𝑚𝜔2𝑅
𝑇 + Δ𝑇
𝑇
90◦ − Δ𝜃
90◦ − Δ𝜃
Δ𝜃
Δ𝜃
(Corrente parada = Ref.)
283
Para o referencial da corrente
Δ𝑚𝜔2𝑅 = 𝑇 cos
(𝜋
2
− Δ𝜃
)
+ (𝑇 + Δ𝑇) cos
(𝜋
2
− Δ𝜃
)
� 2𝑇 senΔ𝜃 � 2𝑇 Δ𝜃
2𝜆𝜔2𝑅2Δ𝜃 = 2𝑇Δ𝜃 =⇒ 𝑇 =
𝑚𝜔2𝑅
2𝜋
.
106 Para que o disco caia no buraco, é necessário que a velocidade, após o esticamento do fio,
em 𝐶𝐷, aponte para 𝐵, conforme mostra a figura abaixo:
𝐶𝑙𝐴 𝑙/2
𝑙
𝛼𝛼
𝛼
𝐵
𝐷
É como se o disco fosse lançado de 𝐴, atingindo elasticamente 𝐷 (parede de um cilindro
de raio 𝑙), e chegasse em 𝐵 com a mesma velocidade em 𝐴. Desse jeito, o triângulo 𝐴𝐷𝐵
será retângulo em 𝐵, assim
sen𝛼 =
𝑙/2
𝑙
=
1
2
=⇒ 𝛼 = 30◦ .
107 Alternativa E
No referido ambiente, temos:
𝐹res
𝑣
𝑚
Usando a 2ª lei de Newton
−𝑘𝑣𝑛 = 𝑚𝑎 =⇒ 𝑎 = − 𝑘
𝑚
𝑣𝑛.
Por Torricelli, 𝑣2 = −2𝑎𝑑 (𝑎 = const.), temos
𝑣2 = −2𝑑
(
− 𝑘
𝑚
𝑣𝑛
)
=
2𝑘𝑑
𝑚
𝑣𝑛
𝑣2−𝑛 =
2𝑘
𝑚︸︷︷︸
>0
𝑑 → ∞ =⇒ 2 − 𝑛 ≤ 0 =⇒ 𝑛 ≥ 2 (00 → ∞).
Nota: sem perda de generalidade, consideramos 𝑎 sendo constante.
284
108 Alternativa D
Observe:
𝑣0 𝑣
Δ𝑚
Δ𝑙
Pela 2ª lei de Newton, vem
𝐹 =
Δ𝑚 𝑣 − (−Δ𝑚 𝑣0)
Δ𝑡
=
Δ𝑚
Δ𝑡
(𝑣0 + 𝑣) =⇒ 𝐹 = 𝜆𝑣0(𝑣0 + 𝑣) .
Nota: Sendo o fluxo livre de perda de massa (obstáculo impenetrável), vem
Δ𝑚 = 𝜆Δ𝑙 = 𝜆′Δ𝑙′ =⇒ Δ𝑙 = Δ𝑙′,
já que 𝜆 = 𝜆′. Se for penetrável, 𝜆 ≠ 𝜆′ e 𝜆′ = 𝜆𝑣0/𝑣.
109 Alternativa A
Adotando o sistema de referência 𝑂𝑥𝑦, temos:
𝑀
𝑚𝑁
𝜇𝑁
𝑁
𝜇𝑁
𝑦
𝑂
𝑥
𝑉𝑦
𝑉𝑥
𝑣0 sen𝛼
𝑣0 cos𝛼
𝑣 sen 𝛽
𝑣 cos 𝛽
𝑉0 = 0
285
Num intervalo Δ𝑡 → 0, vem
𝑚 :

𝑁 =
𝑚𝑣 cos 𝛽 + 𝑚𝑣0 cos𝛼
Δ𝑡
𝜇𝑁 =
−𝑚𝑣 sen 𝛽 + 𝑚𝑣0 sen𝛼
Δ𝑡
e 𝑀 :

𝑁 =
𝑀𝑉𝑥
Δ𝑡
𝜇𝑁 =
𝑀𝑉𝑦
Δ𝑡
.
A relação de vínculo entre 𝑣0 e 𝑉𝑥 é dada por 𝑒, isto é, 𝑒 = (𝑉𝑥 + 𝑣 cos 𝛽)/(𝑣0 cos𝛼), mas
𝜇 =
−𝑣 sen 𝛽 + 𝑣0 sen𝛼
𝑣 cos 𝛽 + 𝑣0 cos𝛼
e 𝑀𝑉𝑥 = 𝑚𝑣 cos 𝛽 + 𝑚𝑣0 cos𝛼.
Obtendo 𝑣 em função de 𝑣0, vem
𝑀 (𝑒𝑣0 cos𝛼 − 𝑣 cos 𝛽) = 𝑚𝑣 cos 𝛽 + 𝑚𝑣0 cos𝛼 =⇒ 𝑣 =
(𝑒𝑀 − 𝑚)𝑣0 cos𝛼
(𝑚 + 𝑀) cos 𝛽 ,
assim
𝜇 =
− (𝑒𝑀 − 𝑚)𝑣0 cos𝛼
(𝑚 + 𝑀) cos 𝛽 sen 𝛽 + 𝑣0 sen𝛼
(𝑒𝑀 − 𝑚)𝑣0 cos𝛼
(𝑚 + 𝑀) cos 𝛽 cos 𝛽 + 𝑣0 cos𝛼
𝜇 =
−(𝑒𝑀 − 𝑚) tg 𝛽 + (𝑚 + 𝑀) tg𝛼
𝑀 (1 + 𝑒) =⇒ tg 𝛽 =
[(
𝑀 + 𝑚
𝑒𝑀 − 𝑚
)
(tg𝛼 − 𝜇) − 𝜇
]
.
110 Alternativa E
Nas posições de máximo deslocamento da plataforma, as bolinhas sobem com a mesma
velocidade, a conhecer: 𝑣− =
√︁
2𝑔(ℎ − 𝑥0) e 𝑣+ =
√︁
2𝑔(ℎ + 𝑥0). E conseguem chegar ao
nível, sem ultrapassá-lo, onde foram abandonadas. Agora, quando as colisões ocorrem
em instantes de movimento da plataforma as bolinhas podem ou não passar daquele nível.
𝑢 � 𝑣0
𝑣0
0
𝑦 ⊕
𝑥0 − Δ𝑦
𝑥0
𝑣0
Fig. I
𝑢
𝑣0
𝑣0
Fig. II
(i) As velocidades da bolinha e da plataforma têm o mesmo sentido (figura II), antes da
colisão:
𝑒 =
𝑣 + 𝑢
𝑣0 − 𝑢
= 1 =⇒ 𝑣 = 𝑣0 − 2𝑢 =⇒ 𝐻 < ℎ.
(ii) As velocidades da bolinha e da plataforma têm sentidos opostos (figura I), antes da
colisão:
𝑒 =
𝑣 − 𝑢
𝑣0 + 𝑢
= 1 =⇒ 𝑣 = 𝑣0 + 2𝑢 =⇒ 𝐻 > ℎ.
286
Para uma oscilação completa, dividamos o tempo de acréscimo de velocidade da bolinha
como Δ𝑡desc = 2𝑥0/𝑣0 e Δ𝑡sub = 𝑇/2, assim, a quantidade de bolinhas que passa da altura
ℎ será
Fração =
Δ𝑡1 + Δ𝑡2
𝑇
=
1
2
+ 2𝑥0
𝑣0𝑇
=
1
2
+ 2𝑥0 𝑓√︁
2𝑔ℎ
.
111 Alternativa D
Observe:
𝑥
𝑣
𝐹0
𝑇
𝑙 − 𝑥
2
0𝑥
2
𝑃(𝑥)
O momento linear da parte que cai será 𝑝 = 𝜆
(
𝑙 − 𝑥
2
)
𝑣. Então, pela 2ª lei de Newton
Δ𝑝
Δ𝑡
= 𝜆
[
𝑣
(
−𝑣
2
)
+
(
𝑙 − 𝑙
2
)
𝑔
]
𝐹res = − 𝜆𝑣2
2︸︷︷︸
𝑇
+𝜆
(
𝑙 − 𝑥
2
)
𝑔, 𝑣 =
√︁
2𝑔𝑥.
Logo
𝐹0 = 𝑇 + 𝑃(𝑥) = 3
2
𝜆𝑔𝑥 =⇒ 𝑇 (𝑡) = 0, 75𝑀𝑔
2
𝑙
𝑡2 .
112 Logo após a queda da corrente, o momento linear do sistema, com respeito à extremidade
superior, será
𝑝1 = 𝜆(𝑙 − 𝑥1 − 𝑥2)𝑣1 − 𝜆(𝑥1 + 𝑥2)𝑣2,
conforme mostra a figura a seguir. Usando a 2ª lei de Newton, vem
287
𝑁
02
𝑥2
𝑥1
01
𝑙
®𝑎®𝑔
𝐹res,1 = 𝜆𝑔𝑙 − 𝑁 �
𝑑𝑝1
𝑑𝑡
= 𝜆
[
(−𝑣1 − 𝑣2)𝑣1 + (𝑙 − 𝑥1 − 𝑥2)𝑎1
− (𝑣1 + 𝑣2)𝑣2 + (𝑥1 + 𝑥2)𝑎2
]
𝜆𝑔𝑙 − 𝑁 = 𝜆
[
−(𝑎 + 𝑔)2𝑡2 − 1
2
(𝑎 + 𝑔)2𝑡2 + 𝑔𝑙
]
=⇒ 𝑁 = 1, 5𝜆(𝑎 + 𝑔)2𝑡2 .
113 Temos que:
𝛼
𝑗
𝑖
(𝑣 − 𝑢)Δ𝑡
𝑆
(𝑣
− 𝑢
)Δ
𝑡
𝑆
Δ𝑚 = 𝜌𝑆(𝑣 − 𝑢)Δ𝑡
Pela 2ª lei de Newton, temos
®𝐹 =
Δ𝑚(𝑣 − 𝑢) cos𝛼 𝑖 + Δ𝑚(𝑣 − 𝑢) sen𝛼 𝑗 − Δ𝑚(𝑣 − 𝑢) 𝑖
Δ𝑡
=
𝜌𝑆(𝑣 − 𝑢)2Δ𝑡
Δ𝑡
[
(cos𝛼 − 1) 𝑖 + sen𝛼 𝑗
]
=⇒ ®𝐹 = 𝜌𝑆(𝑣 − 𝑢)2
[
(cos𝛼 − 1) 𝑖 + sen𝛼 𝑗
]
.
Para a potência
𝑃 = ®𝐹 · ®𝑢 = 𝜌𝑆𝑢(𝑣 − 𝑢)2(cos𝛼 − 1).
288
Pela desigualdade entre as médias aritmética e geométrica, temos
2𝑢 + (𝑣 − 𝑢) + (𝑣 − 𝑢)
3
≥ 3
√︁
2𝑢(𝑣 − 𝑢)2
2𝑣
3
≥ 3
√︁
𝑓 (𝑢) =⇒ 𝑓 (𝑢)máx =
4𝑣3
27
=
𝑣
3
(
𝑣 − 𝑣
3
)2
,
ou seja, 𝑢máx = 𝑣/3. (QED)
114 Alternativa A
Veja:
(Pá parada)
𝑆
𝑆
𝑆
𝑣 − 𝑢
𝑣 − 𝑢
𝑣 − 𝑢
Δ𝑚/2
Δ𝑚
Δ𝑚/2
Com a 2ª lei de Newton, vem
𝐹 =
Δ𝑚
2
(𝑣 − 𝑢) + Δ𝑚
2
(𝑣 − 𝑢) − [−Δ𝑚(𝑣 − 𝑢)]
Δ𝑡
= 2
Δ𝑚
Δ𝑡
(𝑣 − 𝑢) = 2𝜌𝑆(𝑣 − 𝑢)2.
Portanto
𝑃 = 2𝜌𝑆 · 𝑢 · (𝑣 − 𝑢)2 = 2𝜌𝑆 𝑓 (𝑢).
No problema 113, já calculamos o valor máximo de 𝑓 (𝑢) que é 4𝑣3/27, então
𝑃máx =
8
27
𝜌𝑆𝑣3 .
115 Veja o esquema:
289
(𝜆)
Avião da FAB
𝑣
𝑣
𝑥
𝑥/2
𝑥/2
𝑙
𝑇
𝑇
O momento linear da parte móvel da corrente será
𝑝 = 2 · 𝜆𝑥
2
· 𝑣 = 𝜆𝑣 𝑥,
disso
𝑇 =
Δ𝑝
Δ𝑡
= 𝜆𝑥𝑎 + 𝜆𝑣2.
Para o avião
𝑚𝑎 = −2𝑇 = −2𝜆𝑥𝑎 − 2𝜆𝑣2 =⇒ 𝑎(𝑚 + 2𝜆𝑥) = −2𝜆𝑣2 =⇒ 𝑎 = − 2𝜆𝑣2
𝑚 + 2𝜆𝑥 .
116 Começando com 1 e 2, temos
𝑚𝑣1 = −𝑚𝑣′1 + 𝑚𝑣2 =⇒ 𝑣2 = 𝑣1 + 𝑣′1,
mas
𝑒 =
𝑣2 + 𝑣′1
𝑣1
=⇒ 𝑒𝑣1 = 𝑣2 + 𝑣′1 =⇒ 𝑣′1 = 𝑒𝑣1 − 𝑣2.
Então
𝑣2 = 𝑣1 + 𝑒𝑣1 − 𝑣2 =⇒ 𝑣2 =
(
𝑒 + 1
2
)
𝑣1.
Agora, com 2 e 3, vem
𝑚𝑣2 = −𝑚𝑣′2 + 𝑚𝑣3 e 𝑒 =
𝑣3 + 𝑣′2
𝑣2
,
ou seja
𝑣3 =
(
𝑒 + 1
2
)
𝑣2 =
(
𝑒 + 1
2
)2
𝑣1.
Entre 𝑗 e 𝑗 + 1 ( 𝑗 = 1, 2, 3, ..., 𝑛)
𝑣 𝑗+1 =
(
𝑒 + 1
2
)
𝑣 𝑗 =
(
𝑒 + 1
2
)2
𝑣 𝑗−1 =
(
𝑒 + 1
2
)3
𝑣 𝑗−2 = ...,
290
portanto
𝑣𝑛 =
(
𝑒 + 1
2
)𝑛−1
𝑣1 .
117 Alternativa A
Sejam 𝑉𝑁 e 𝑣𝑁 os módulos respectivos das velocidades de 𝑀 e de 𝑚 após a 𝑁-ésima
colisão, e ainda, 𝐷𝑁 , a distância de colisão entre as massas da parede.
𝐷
𝑀 𝑚
𝑉0
𝐷𝑁
𝑀 𝑚
𝑉𝑁 𝑣𝑁
Para a colisão de número 𝑁 + 1, vem
1
2
𝑀𝑉2𝑁+1 +
1
2
𝑚𝑣2𝑁+1 =
1
2
𝑀𝑉2𝑁 + 1
2
𝑚𝑣2𝑁
𝑀
(
𝑉2𝑁 −𝑉2𝑁+1
)
= −𝑚
(
𝑣2𝑁 − 𝑣2𝑁+1
)
(I) e
𝑀 (𝑉𝑁 −𝑉𝑁+1 = 𝑚(𝑣𝑁+1 + 𝑣𝑁 ) (II).
Dividindo (I) por (II)
𝑉𝑁 + 𝑣𝑁 = 𝑣𝑁+1 −𝑉𝑁+1. (III)
Entreas colisões 𝑁 e 𝑁 + 1, 𝑀 percorrerá uma distância 𝐷𝑁−1 − 𝐷𝑁 e m, 𝐷𝑁−1 + 𝐷𝑁 ,
com velocidades, respectivamente, iguais a 𝑉𝑁−1 e 𝑣𝑁−1. Disso
𝐷𝑁 =
(
𝑣𝑁−1 −𝑉𝑁−1
𝑣𝑁−1 +𝑉𝑁−1
)
𝐷𝑁−1 (𝑁 ≥ 1).
De (III) e (IV)
𝐷𝑁 (𝑣𝑁 −𝑉𝑁 ) = cte.
Disso
𝐷𝑁 =
𝑉0
𝑣𝑁 −𝑉𝑁
𝐷
𝐷mín �
𝑉0
𝑉0
√︂
𝑀
𝑚
− 0
𝐷 (𝑀 pára em 𝐷mín) =⇒ 𝐷mín = 𝐷
√︂
𝑚
𝑀
.
291
118 Divida o volante numa quantidade alta de segmentos com o mesmo comprimento Δ𝑙.
Disso
®𝑣 = lim
𝑁→∞
(Δ𝑚1®𝑣1 + Δ𝑚1®𝑣2 + ... + Δ𝑚𝑁 ®𝑣𝑁 )
𝑚
=
𝜆Δ𝑙
𝑚
lim
𝑁→∞
𝑁∑︁
𝑗=1
®𝑣 𝑗 =
𝜆Δ𝑙
𝑚Δ𝑡
lim
𝑁→∞
𝑁∑︁
𝑗=1
Δ®𝑟 𝑗︸ ︷︷ ︸
®0
=⇒ ®𝑝 = 𝑚®𝑣 = ®0 ,
onde
∑𝑁
𝑗=1 Δ𝑚 𝑗 = 𝑚 (massa do volante). Esse momento linear coincide com o do CM
do sistema de elementos infinitesimais. Como cada um deles está submetido às tensões
que obedecem à 3ª lei de Newton (lei da Ação-Reação), a força resultante sobre o sistema
(volante) é nula. Isso permite que o CM continue em repouso após o volante começar a
girar.
119 Alternativa C
Veja:
𝑥 Δ𝑥
Δ𝑇 Δ𝑚𝜔2𝑥
(𝑚)𝑂
𝑙
Sendo a barra rígida, em torno de 𝑂, a rotação é também com velocidade 𝜔. Então, no
seu referencial
Δ𝑇 =
𝑚
𝑙
𝜔2Δ𝑥 𝑥 =⇒ 𝑇 (𝑥) = 𝑚𝜔2
2𝑙
𝑥2.
Para 𝑥 = 𝑙/2
𝑇 =
𝑚𝜔2
2𝑙
(
𝑙
2
)2
=⇒ 𝑇 =
𝑚𝜔2𝑙2
8
.
120 Alternativa A
Veja as velocidades e o CM:
292
(2)
(1)
CM
𝑣CM
𝑣2
𝑣2 cos 𝜃
𝑣2 sen 𝜃
𝜃
𝜃
(NR)
𝑣 1,
//
𝑣1,⊥
𝑣1
𝜃
𝑙
𝑙 2𝑙 cos 𝜃
®𝑔
(i) Na direção paralela à haste:
𝑣CM cos 𝜃 = 𝑣1,// = 𝑣2 sen 𝜃 =⇒ 𝑣CM = 𝑣2 tg 𝜃.
(ii) Na direção ortogonal à haste:
𝑣2 cos 𝜃 + 𝑣CM sen 𝜃 = 𝑣1,⊥ − 𝑣CM sen 𝜃
𝑣1,⊥ = 2𝑣CM sen 𝜃 + 𝑣2 cos 𝜃
= (2 sen 𝜃 tg 𝜃 + cos 𝜃)𝑣2; 𝑣1,// = 𝑣2 sen 𝜃.
(iii) Por conservação de energia:
𝑚𝑔(2𝑙) = 𝑚𝑔(2𝑙 cos 𝜃) + 1
2
𝑚𝑣22 +
1
2
𝑚𝑣21
= 𝑚𝑔(2𝑙 cos 𝜃) + 1
2
𝑚𝑣22
[
1 + sen2𝜃 + (1 + sen 𝜃)2
cos2 𝜃
]
= 𝑚𝑔(2𝑙 cos 𝜃) + 𝑚𝑣22
(
1 + sen2𝜃
cos2 𝜃
)
=⇒ 𝑣2 =
√︂
2𝑔𝑙 (1 − cos 𝜃) cos2 𝜃
1 + sen2𝜃
.
121 Alternativa D
Observe:
𝑥
𝑦
𝐴
𝐵
𝜙
®𝑣0
𝜃
�̂�
𝑡
293
Seja 𝜙 o ângulo entre a velocidade de recuo e a direção normal à parede, disso{
𝑁Δ𝑡 = Δ𝑝𝑛 = 𝑚𝑣 cos 𝜙 + 𝑚𝑣0 cos 𝜃
−𝜇𝑁Δ = Δ𝑝𝑡 = 𝑚𝑣 sen 𝜙 − 𝑚𝑣0 sen 𝜃
,
e como 𝑒 = 𝑣 cos 𝜙/(𝑣0 cos 𝜃) = 1, conclui-se que, tg 𝜙 = tg 𝜃 − 2𝜇. E da geometria,
tg 𝜙 = 𝑦/𝑥 − tg 𝜃. Devido ao atrito, sempre, 𝜙 < 𝜃, ou seja, tg 𝜃 > 𝑦/(2𝑥). Isso significa
que o cubo passará por 𝐵 se 𝑦/(2𝑥) < tg 𝜃 < 𝑦/𝑥. Disso
tg 𝜙 = tg 𝜃 − 2𝜇 =
𝑦
𝑥
− tg 𝜃 =⇒ tg 𝜃 = 𝜇 + 𝑦
2𝑥
.
A outra possibilidade é quando 𝛽 = 0, dando-nos tg 𝜃 = 𝑦/𝑥. Portanto
tg 𝜃 = mín
{
𝜇 + 𝑦
2𝑥
,
𝑦
𝑥
}
.
122 A direção horizontal permite que o momento do sistema seja conservado durante as
colisões:
(𝑀)
𝛼
𝑥
𝑦
𝑡
𝑛
𝑣0
𝑚
(C
un
ha
pa
ra
da
)
(Antes)
𝛼
𝑥
𝑦
𝑡
𝑛
𝑣𝑥
𝑣𝑦
𝑉
𝛼
(Depois)
Conservando o momento naquela direção (eixo-𝑥):
0 = 𝑚𝑣𝑥 − 𝑀𝑉 =⇒ 𝑣𝑥 =
𝑀
𝑚
𝑉 (I), 𝑣𝑡 = 𝑣0 sen𝛼 (II).
Para o coeficiente de restituição
𝑒 =
𝑣𝑛 +𝑉 sen𝛼
𝑣0 cos𝛼
=⇒ 𝑣𝑛 = 𝑒𝑣0 cos𝛼 −𝑉 sen𝛼 (III).
Mas, 𝑣𝑥 = 𝑣𝑛 sen𝛼 + 𝑣𝑡 cos𝛼, e com (I), (II) e (III):
𝑀
𝑚
𝑉 = 𝑒𝑣0 cos𝛼 sen𝛼 −𝑉 sen2𝛼 + 𝑣0 sen𝛼 cos𝛼
𝑢1 =
𝑚𝑣0 sen𝛼 cos𝛼(1 + 𝑒)
𝑀 + 𝑚 sen2 𝛼
. (QED)
Então
𝑣𝑛 = 𝑒𝑣0 cos𝛼 − (1 + 𝑒)𝑣0 sen2 𝛼 cos𝛼
sen2 𝛼 + 𝑀/𝑚
=
©­­«
𝑀
𝑚
𝑒 − sen2 𝛼
sen2 𝛼 + 𝑀
𝑚
ª®®¬ 𝑣0 cos𝛼.
294
Para a cunha
𝑣′𝑛 = 𝑒𝑣0 cos𝛼 (IV)
𝑣′𝑡 =
©­­«
1 + 𝑀
𝑚
+ 𝑒 cos2 𝛼
𝑀
𝑚
+ sen2 𝛼
ª®®¬ 𝑣0 sen𝛼 (V).
O tempo de voo entre a 1ª e 2ª colisões, com (IV)
Δ𝑡12 =
2𝑒𝑣0
𝑔
(VI).
Portanto, usando (V) e (VI)
𝐷 =
2𝑣20𝑒 sen𝛼
(
1 + 𝑀
𝑚
+ 𝑒 cos2 𝛼
)
𝑔
(
𝑀
𝑚
+ sen2 𝛼
) +
2𝑒2𝑣20 sen𝛼
𝑔
=
2𝑒𝑣20 sen𝛼
𝑔
©­­«
1 + 𝑀
𝑚
+ 𝑒 cos2 𝛼
𝑀
𝑚
+ sen2 𝛼
+ 𝑒
ª®®¬
=
2𝑒𝑣20 sen𝛼
𝑔

1 + 𝑀
𝑚
+ 𝑒 𝑀
𝑚
+ 𝑒
1︷ ︸︸ ︷(
sen2 𝛼 + cos2 𝛼
)
𝑀
𝑚
+ sen2 𝛼

=
2𝑒𝑣20 sen𝛼
𝑔
(
𝑚 + 𝑀 + 𝑒𝑀 + 𝑒𝑚
𝑀 + 𝑚 sen2 𝛼
)
=⇒ 𝐷 =
2𝑒𝑣20(𝑚 + 𝑀) (1 + 𝑒) sen𝛼
𝑔
(
𝑀 + 𝑚 sen2 𝛼
) .
123 Alternativa E
Temos:
𝑚 𝑚
𝑀
(CM)
®𝑢
𝑙 𝑙
Repouso
295
𝑥
𝑦
(CM)
𝑉𝑥
𝑉𝑦
𝑉𝑥
𝑉𝑦
Imediatamente antes da colisão, veja:
𝑉
𝑣0
𝑉
𝑣0
𝑇 𝑇
𝑇 𝑇
𝑣0
𝑎
(i) 𝑀𝑢 = (2𝑚 + 𝑀)𝑣0 =⇒ 𝑣0 =
𝑀
2𝑚 + 𝑀 𝑢.
(ii)

2𝑇 = 𝑀𝑎
𝑇 + 𝑚𝑎 = 𝑚
𝑉2
𝑙
=⇒ 𝑇 =
𝑚𝑉2/𝑙
1 + 2𝑚
𝑀
.
(iii)
1
2
𝑀𝑢2 =
1
2
𝑀𝑣20 +
1
2
𝑚(𝑉2 + 𝑣20) +
1
2
𝑚(𝑉2 + 𝑣20)
=
1
2
(𝑀 + 2𝑚)𝑣20 + 𝑚𝑉
2
𝑚𝑉2 =
1
2
𝑀𝑢2 − 1
2
𝑀𝑢2
2𝑚 + 𝑀 =
𝑚𝑀𝑢2
2𝑚 + 𝑀 .
Assim
𝑇 =
𝑀
2𝑚 + 𝑀
1
𝑙
𝑚𝑀𝑢2
2𝑚 + 𝑀 =⇒ 𝑇 =
𝑀2𝑚𝑢2
𝑙 (2𝑚 + 𝑀)2
.
296
124 (i) Para 𝐴1:
𝑥
𝑦
1 2
𝑣0 cos𝛼
𝑣0 sen𝛼
𝑣0
𝑣0
𝛼𝛼
𝑔 sen𝛼
𝑔 cos𝛼
𝐴1
Δ𝑡12 =
2𝑣0 cos𝛼
𝑔 cos𝛼
=
2𝑣0
𝑔
,
disso
𝐴1 = 𝑣0 sen𝛼Δ𝑡12 +
1
2
𝑔 sen𝛼 (Δ𝑡12)2
= 𝑣0 sen𝛼
2𝑣0
𝑔
+ 1
2
𝑔 sen𝛼
4𝑣20
𝑔2
=
4𝑣20 sen𝛼
𝑔
.
(ii) Para 𝐴2:
𝑣2𝑥 = 𝑣0 sen𝛼 + 𝑔 sen𝛼 2𝑣0
𝑔
= 3𝑣0 sen𝛼,
disso
𝐴2 = 3𝑣0 sen𝛼
2𝑣0
𝑔
+ 1
2
𝑔 sen𝛼
4𝑣20
𝑔2
=
8𝑣0 sen𝛼
𝑔
= 2𝐴1.
(iii) Para 𝐴3:
𝑣3𝑥 = 3𝑣0 sen𝛼 + 𝑔 sen𝛼 2𝑣0
𝑔
= 5𝑣0 sen𝛼,
disso
𝐴3 =
10𝑣20 sen𝛼
𝑔
+
2𝑣20 sen𝛼
𝑔
= 3𝐴1.
Ou seja, 𝐴𝑛 = 𝑛𝐴1, com 𝑛 = 1, 2, 3, ... . Assim
𝐴1 : 𝐴2 : 𝐴3 : ... = 1 : 2 : 3 : ... .
125 Alternativa B
Colocando 𝑚 na origem 𝑥 = 0 do eixo-𝑥 que suporta essa reta, temos:
297
𝑥
𝑚
0
𝑚/2
𝑑
𝑚/4
2𝑑
𝑚/8
3𝑑
CM
· · ·
𝑥CM =
𝑚 · 0 + 𝑚
2
· 𝑑 + 𝑚
4
· 2𝑑 + ...
𝑚 + 𝑚
2
+ 𝑚
4
+ ...
=
𝑑
4
(
1 + 2
2
+ 3
4
+ 4
8
+ ...
)
︸ ︷︷ ︸
𝑆
,
onde
𝑆 = 1 + 2
2
+ 3
4
+ 4
8
=
∞∑︁
𝑖=1
𝑖
2𝑖−1
sendo que os termos genéricos no numerado e denominador nessa somatória são de uma
PA e PG com primeiro termo unitário e razões iguais a 1 e 2. Multiplicando 𝑆 por 2 e
depois tirando dela 𝑆, vem
2𝑆 − 𝑆 = 2 + 2 + 3
2
+ 4
4
+ ... −
(
1 + 2
2
+ 3
4
+ 4
8
+ ...
)
𝑆 = (4 − 1) +
(
3
2
− 2
2
)
+
(
4
4
− 3
4
)
+ ....
𝑆 = 3 + 1
2
+ 1
4
+ 1
8
+ ... =⇒ 𝑥CM = 𝑑 .
126 O limite de 𝑎 ocorrerá quando o CG do conjunto copo + livro de Química não ultrapassar
a extremidade direita (𝑂1) do livro de Física, então
Matemática
Física
𝑂2 (02)
𝑂1 (01)
𝑥𝐺,1 ≤ 01 =⇒
𝑃
10
(𝑙 − 𝑎) + 𝑃
(
𝑎 − 𝑙
2
)
𝑃 + 𝑃
10
≤ 0 =⇒ 𝑎 ≤ 6𝑙
11
.
298
Agora, para o conjunto copo + livros de Física e Química, vem
−𝑃
[
𝑙
2
− (𝑏 − 𝑎)
]
+ 𝑃
10
(𝑏 − 𝑙) + 𝑃
(
𝑏 − 𝑙
2
)
2𝑃 + 𝑃
10
≤ 02
21𝑏
10
≤ 𝑎 + 11𝑙
10
=⇒ 𝑏
𝑎
≤ 181
126
.
127 Alternativa E
Não haverá força resultante externa horizontal no sistema, então, CM só poderá descer
sobre 𝑟 quando a bola desce.
CM
𝑟
3𝑅/8
3𝑅/4
Quando está na posição mais baixa, o seu centro estará sobre 𝑟 juntamente com o centro
da casca. Disso, a casca se deslocará para a esquerda:
|Δ𝑠casca | =
3𝑅
8
.
128 Alternativa B
Veja:
𝑋 𝑌
𝐴
𝐵
0
𝛼
𝑥
CM
⊕
𝐿 − 𝑥
299
Na direção horizontal, o CM não se moverá porque a força resultante no sistema é nula,
na direção horizontal. Logo, para 𝛼 = 0
0 =
−𝑚𝑥 + 𝑀 (𝐿 − 𝑥)
𝑚 + 𝑀
(𝑚 + 𝑀)𝑥 = 𝑀𝐿 =⇒ 𝑥 =
𝑀
𝑚 + 𝑀 𝐿 .
129 Alternativa A
Temos que:
𝑣0 sen𝛼
𝑣0 cos𝛼
𝑢
®𝑔
O tempo total de voo será Δ𝑡total = 2𝑣0 sen𝛼/𝑔, já que não existe atrito na parede. Ao se
aproximar da parede, a velocidade do corpo, na direção horizontal, era de 𝑣0 cos𝛼. E a
de afastamento será
𝑒 =
�̄� − 𝑢
𝑣0 cos𝛼 + 𝑢 = 1
�̄� − 𝑢 = 𝑣0 cos𝛼 + 𝑢 =⇒ �̄� = 𝑣0 cos𝛼 + 2𝑢.
𝑑
Pos. de colisão
Δ𝑡ida
Δ𝑡volta
{
𝑑 = 𝑣0 cos𝛼Δ𝑡ida
𝑑 = �̄�Δ𝑡volta
=⇒ Δ𝑡volta = Δ𝑡ida
𝑣0 cos𝛼
𝑣0 cos𝛼 + 2𝑢 .
Assim
2𝑣0 sen𝛼
𝑔
= Δ𝑡ida + Δ𝑡ida
(
𝑣0 cos𝛼
𝑣0 cos𝛼 + 2𝑢
)
= Δ𝑡ida
(
2𝑣0 cos𝛼 + 2𝑢
𝑣0 cos𝛼 + 2𝑢
)
=⇒ Δ𝑡ida =
𝑣0 sen𝛼(𝑣0 cos𝛼 + 2𝑢)
𝑔(𝑣0 cos𝛼 + 𝑢) .
300
130 Veja:
𝐿
CM
𝐴
(𝑚0)
𝑀
𝑦
CM
(𝑚)𝑦CM
𝑚
𝐴𝑦
=
𝑚0
𝐴𝐿
=⇒ 𝑚 = 𝑚0
𝑦
𝐿
.
Para o CM
𝑦CM =
𝑀𝐿/2 + 𝑚𝑦/2
𝑚 + 𝑀 =
1
2
©­­«
𝑀𝐿 + 𝑚0
𝐿
𝑦2
𝑚0
𝐿
𝑦 + 𝑀
ª®®¬
𝑑𝑦CM𝑑𝑦
=
1
2

2𝑚0𝑦/𝐿
𝑚0𝑦/𝐿 + 𝑀 −
𝑚0
𝐿
(
𝑀𝐿 + 𝑚0𝑦2/𝐿
)
(𝑚0𝑦/𝐿 + 𝑀)2
 ,
ou seja
2𝑚0
𝐿
𝑦2 + 2𝑀𝑦 − 𝑚0𝑦
2
𝐿
− 𝑀𝐿 = 0
𝑚0
𝐿
𝑦2 + 2𝑀 𝑦 − 𝑀𝐿 = 0,
cujas raízes serão
𝑦 =
−2𝑀 ±
√︁
4𝑀2 − 4𝑚0(−𝑀𝐿)/𝐿
2𝑚0/𝐿
> 0 =⇒ 𝑦 =
(√︁
𝑀2 + 𝑚0𝑀 − 𝑀
𝑚0
)
𝐿,
disso
𝑦CM(mín) =
1
2

𝑀𝐿 + 𝑚0
𝐿
𝐿2
(√︁
𝑀2 + 𝑚0𝑀 − 𝑀
)2
𝑚20
𝑚0
√︁
𝑀2 + 𝑚0𝑀 − 𝑚0𝑀
𝑚0
+ 𝑀

=
1
2

𝑀𝐿 + 𝐿
𝑚0
(
2𝑀2 + 𝑚0𝑀 − 2𝑀
√︁
𝑀2 + 𝑚0𝑀
)
√︁
𝑀2 + 𝑚0𝑀

=
𝐿
𝑚0
(
𝑚0𝑀 + 𝑀2 − 𝑀
√︁
𝑀2 + 𝑚0𝑀√︁
𝑀2 + 𝑚0𝑀
)
=⇒ 𝑦CM(mín) =
𝐿
𝑚0
(√︁
𝑀2 + 𝑚0𝑀 − 𝑀
)
.
301
E ainda
𝑚máx =
𝑚0
𝐿
[
𝐿
𝑚0
(√︁
𝑀2 + 𝑚0𝑀 − 𝑀
)]
=⇒ 𝑚mín =
√︁
𝑀2 + 𝑚0𝑀 − 𝑀 .
Solução alternativa: Tomando 𝜆 = 𝑚0/𝑀 , a expressão do CM pode ser reescrita como
𝑦CM =
1
2
(
𝐿2 + 𝜆𝑦2
𝜆𝑦 + 𝐿
)
,
ou seja
𝜆 (𝑦 − 𝑦CM)2 = 2𝐿𝑦CM − 𝐿2 + 𝜆𝑦2CM.
Note que 𝜆 (𝑦 − 𝑦CM)2 é sempre positiva, disso
𝑝(𝑦CM) = 𝜆𝑦2CM + 2𝐿𝑦CM − 𝐿2 ≥ 0,
cujas raízes de 𝑝 serão
𝑦CM =
−2𝐿 ±
√
4𝐿2 + 4𝜆𝐿2
2𝜆
=
𝐿
𝜆
(
−1 ±
√
1 + 𝜆
)
.
Como queremos 𝑦CM > 0, temos
𝑦CM(mín) =
𝑀𝐿
𝑚0
(
−1 +
√︂
1 + 𝑚0
𝑀
)
.
Perceba ainda que podemos escrever 𝑦CM como
𝑦CM =
1
2
©­­­­«
𝑀𝐿 + 𝑚
2𝐿
𝑚0
𝑚 + 𝑀
ª®®®®¬
=
𝐿
2𝑚0
(
𝑚0𝑀 + 𝑚2
𝑚 + 𝑀
)
e usando esse valor mínimo da altura do CM, chegamos no valor da massa restante.
131 Desenhando a molécula, vem:
𝑥
𝑧
0
𝑦
𝑎
𝑏
𝑑
𝐿
CM
𝑚
𝑚
𝑚
𝑀
𝑧
302
As coordenadas do CM serão 𝑥 = 0, 𝑦 = 0 e
𝑧 =
𝑚 · 0 + 𝑚 · 0 + 𝑀
√
𝐿2 − 𝑑2
3𝑚 + 𝑀 =
𝑟
3 + 𝑟
√︁
𝐿2 − 𝑑2, 𝑟 = 𝑀/𝑚.
Disso
1º) para N:
𝑎 + 𝑟
3 + 𝑟
√︁
𝐿2 − 𝑑2 =
√︁
𝐿2 − 𝑑2 =⇒ 𝑎 =
3
3 + 𝑟
√︁
𝐿2 − 𝑑2 .
2º) para H:
𝑏2 = 𝑑2 + 𝑟2
= 𝑑2 + 𝑟2
(3 + 𝑟)2
(
𝐿2 − 𝑑2
)
=
𝑟2𝐿2
(3 + 𝑟)2
+ 𝑑2
[
1 − 𝑟2
(3 + 𝑟)2
]
=
𝑟2𝐿2
(3 + 𝑟)2
+ 3𝑑
2(3 + 2𝑟)
(3 + 𝑟)2
=⇒ 𝑏 =
𝑟
3 + 𝑟
√︂
𝐿2 + 3𝑑
2
𝑟2
(2𝑟 + 3) .
132 Observe:
𝑥
𝑅
𝑅/4
𝑅/2
Temos que
𝑥𝐺 =
𝜆𝜋𝑅2 + 3𝜆𝜋𝑅
2
4
+ 5𝜆𝜋𝑅
2
16
+ 11𝜆𝜋𝑅
2
64
+ ...
𝜆𝜋𝑅2 + 𝜆𝜋𝑅
2
2
+ 𝜆𝜋𝑅
2
4
+ 𝜆𝜋𝑅
2
8
+ ...
= 𝑅
©­­­«
1 + 3
4
+ 5
16
+ 11
64
+ ...
1 + 1
2
+ 1
4
+ 1
8
+ ...
ª®®®¬
𝑥𝐺 =
𝑅
2
(
1 + 3
4
+ 5
16
+ 11
64
+ ...
)
(I),
303
e ainda
𝑥𝐺
4
=
𝑅
2
(
1
4
+ 3
16
+ 5
64
+ 11
256
+ ...
)
(II).
Assim, com (I) + (II), vem
𝑥𝐺 + 𝑥𝐺
4
=
𝑅
2
(
1 + 1 + 1
2
+ 1
4
+ ...
)
5𝑥𝐺
4
=
3𝑅
2
=⇒ 𝑂𝐺 = 𝑥𝐺 =
6𝑅
5
. (QED)
133 Para uma altura 𝑦 de 𝑀 , a 2ª lei de Newton do sistema será
0
⊕
Re
fe
rê
nc
ia
𝑦
𝑀
®𝑔
®𝑣
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= (𝑀 + 𝑚𝑦)𝑣 𝑑𝑣
𝑑𝑦
+ 𝑣2𝜆 = −(𝑀 + 𝑚𝑦)𝑔,
onde ®𝑃 é o momento linear do sistema. Multiplicando ambos os membros dessa equação
por (𝑀 + 𝑚𝑦) e usando truques de diferenciação, temos
−(𝑀 + 𝑚𝑦)2𝑔 = (𝑀 + 𝑚𝑦)2 1
2
𝑑
𝑑𝑦
(𝑣2) + 𝑣2𝑚(𝑀 + 𝑚𝑦)
−(𝑀 + 𝑚𝑦)2𝑔 =
𝑑
𝑑𝑦
[
(𝑀 + 𝑚𝑦)2𝑣2
2
]
1
2
(𝑀 + 𝑚𝑦)2𝑣2 + (𝑀 + 𝑚𝑦)3𝑔
3𝑚
= cte.
Como para 𝑦 = 0, 𝑣 = 𝑣0, obtemos a altura máxima de 𝑀 , que será dada por
(𝑀 + 𝑚ℎ)3 =
3𝑀2𝑣20𝑚
2𝑔
+ 𝑀3 =⇒ ℎ =
𝑀
𝑚
©­« 3
√︄
1 +
3𝑚𝑣20
2𝑀𝑔
− 1ª®¬ . (QED)
Após atingir a altura máxima, o sistema descerá em queda livre a partir de ℎ, então, é
evidente que ele chega ao solo com velocidade 𝑣 =
√︁
2𝑔ℎ. (QED)
304
134 Alternativa A
Defina 𝑄, a posição do corpo quando o fio rompe-se. Por conservação de energia, entre
𝑃 e 𝑄, temos
𝑣20 = 𝑣
2
𝑄 + 2𝑔𝑙 (1 + sen𝛼) (I).
90◦ − 𝛼
𝑄
𝑃
𝑙
𝑣0𝑚
®𝑔
𝛼
𝑙 sen𝛼
𝑙
×
𝑣𝑄
𝑥
𝑦
𝑚
Utilizando a 2ª lei de Newton, em 𝑄, nesse corpo
𝑣2𝑄 = 𝑔𝑙 sen𝛼 (II).
Então, com (I) e (II)
𝑣20 = 3𝑔𝑙 sen𝛼 + 2𝑔𝑙 (III).
Após o rompimento, o corpo descreverá um movimento parabólico de 𝑄 à 𝑃. Então, com
(II)
𝑙 =
2𝑣2
𝑄
sen𝛼
𝑔 cos2 𝛼
=⇒ sen𝛼 =
√
3
3
(IV).
Com (IV) em (III), vem
𝑣20 = 3𝑔𝑙 ·
√
3
3
+ 2𝑔𝑙 =⇒ 𝑣0 =
√︂
𝑔𝑙
(
2 +
√
3
)
.
135 Alternativa B
Adotando o sistema de coordenadas 𝑂𝑥𝑦 abaixo, temos:
(i) A partícula deve chegar, com velocidade perpendicular ao eixo-𝑦, em 𝐵, para que volte,
passando por 𝐴, à 𝑃. As equações horárias de movimento dela serão
𝑥 = 𝑅 − 𝑣0 sen 𝜃 𝑡 −
1
2
𝑔 sen 𝜃 𝑡2 (I)
𝑦 = 𝑣0 cos 𝜃 𝑡 −
1
2
𝑔 cos 𝜃 𝑡2 (II)
.
305
(ii) O valor de 𝑣0 será igual a
𝑣0 =
√︁
2𝑔 · 𝐴𝑃 =
√︂
2𝑔𝑅
cos 𝜃
(III).
(iii) No ponto 𝐵, temos 
𝑅 = 𝑣0 sen 𝜃 𝑡𝐵 +
1
2
𝑔 sen 𝜃 𝑡2
𝐵
𝑅 = 𝑣0 cos 𝜃 𝑡𝐵 −
1
2
𝑔 cos 𝜃 𝑡2
𝐵
∼

𝑅 cos 𝜃 = 𝑣0 sen 𝜃 cos 𝜃 𝑡𝐵 +
1
2
𝑔 sen 𝜃 cos 𝜃𝑡2
𝐵
𝑅 sen 𝜃 = 𝑣0 sen 𝜃 cos 𝜃 𝑡𝐵 −
1
2
𝑔 sen 𝜃 cos 𝜃 𝑡2
𝐵
(+)
𝑅(sen 𝜃 + cos 𝜃) = 2𝑣0 sen 𝜃 cos 𝜃 𝑡𝐵
𝑡𝐵 =
𝑅
2𝑣0
(sec 𝜃 + cossec 𝜃) (IV)
𝑥
𝑂
𝑦
𝐴
𝐵
𝜃
𝑅
𝑔 cos 𝜃
𝑔 sen 𝜃
𝜃
𝑃
E ainda usando (IV)
𝑅 = 𝑣0 sen 𝜃
𝑅
2𝑣0
(sec 𝜃 + cossec 𝜃)
+ 1
2
𝑔 sen 𝜃
𝑅2
4𝑣20
(sec 𝜃 + cossec 𝜃)2
1 =
1
2
(tg 𝜃 + 1)
+ 𝑅𝑔 sen 𝜃
8𝑣20
(sec 𝜃 + cossec 𝜃)2.
306
Com (III)
1 =
1
2
(tg 𝜃 + 1) + 1 + 2 sen 𝜃 cos 𝜃
16 sen 𝜃 cos 𝜃
cos 𝜃 =
1
2
(sen 𝜃 + cos 𝜃) + 1 + 2 sen 𝜃 cos 𝜃
16 sen 𝜃
16 sen 𝜃 cos 𝜃 = 8 sen2 𝜃 + 8 sen 𝜃 cos 𝜃 + 1 + 2 sen 𝜃 cos 𝜃
6 sen 𝜃 cos 𝜃 = 8 sen2 𝜃 + 1
3 sen(2𝜃) = 4 − 4 cos(2𝜃) + 1
3
5
sen(2𝜃) + 4
5
cos(2𝜃) = 1,
ou seja, definindo sen 𝜑 =
3
5
e cos 𝜑 =
4
5
,
cos(𝜑 − 2𝜃) = 1 =⇒ 𝜑 = 2𝜃 =⇒ cos(2𝜃) = 4
5
=⇒ tg 𝜃 =
√√√√√√√√1 − 45
1 + 4
5
=
1
3
> 0 (V).
(iv) Portanto, com (V) e (IV)
Δ𝑡𝑃𝐴𝐵𝐴𝑃 = 2Δ𝑡𝑃𝐴 + 2Δ𝑡𝐴𝐵
= 2
√︄
2𝑅
𝑔 cos 𝜃
+ 𝑅
𝑣0
(sec 𝜃 + cossec 𝜃)
=
√︄
8𝑅
𝑔 cos 𝜃
+
√︄
𝑅 cos 𝜃
2𝑔
(
1
sen 𝜃
+ 1
cos 𝜃
)
=
√√√√√ 8𝑅
𝑔
3
√
10
+
√√√√√
𝑅
3
√
10
2𝑔
(
√
10 +
√
10
3
)
=
√︄
8𝑅
√
10
3𝑔
+ 4
√
10
3
√︄
3𝑅
2𝑔
√
10
=
√︄
8𝑅
√
10
3𝑔
+
√︄
8𝑅
√
10
3𝑔
=⇒ Δ𝑡𝑃𝐴𝐵𝐴𝑃 = 4
√︄
2𝑅
√
10
3𝑔
.
136 Alternativa C
Seja 𝑦0 a posição de equilíbrio de 𝑃, ou seja, 𝑃 abaixou 𝑦0 em relação à posição sem
deformação da mola. Disso, 𝑚𝑔 = 𝑘𝑦0. Após o rompimento do elo, a massa restante da
corrente será 𝑚′ = 𝑚(𝑙 − 𝑥)/𝑙 < 𝑚, fazendo com que 𝑃 suba ℎ > 0 com respeito à 𝑦 = 𝑦0.
A posição 𝑦 = 0 é para o estado natural da mola. Sendo 𝑦 = 0 o nível de referência,
307
podemos usar conservação de energia desde 𝑦 = 𝑦0 até 𝑦 = 𝑦0 − ℎ. Assim
−𝑚′𝑔
(
𝑙
2
+ 𝑦0
)
+ 1
2
𝑘𝑦20 = −𝑚′𝑔
(
𝑙
2
+ 𝑦0 − ℎ
)
+ 1
2
𝑘 (𝑦0 − ℎ)2
1
2
𝑘𝑦20 = 𝑚𝑔ℎ −
𝑚𝑥𝑔
𝑙
ℎ + 1
2
𝑘𝑦20 − 𝑘𝑦0ℎ +
1
2
𝑘ℎ2
0 = 𝑘𝑦0ℎ −
𝑚𝑥𝑔
𝑙
ℎ − 𝑘𝑦0ℎ +
1
2
𝑘ℎ2 (ℎ ≠ 0)
0 = −𝑚𝑔𝑥
𝑙
+ 1
2𝑦0
𝑚𝑔ℎ
0 = −𝑥
𝑙
+ ℎ
2𝑦0
=⇒ ℎ =
2𝑚𝑔𝑥
𝑘𝑙
(para cima).
137 Observe:
𝐿 𝐿
NR
𝑀 𝑀
ℎ
𝑚 (𝐴)
®𝑔
𝑥 = 𝑢𝑡
𝐵
𝑣𝑡
𝜃
𝑙𝑙
𝜃
Do triângulo destacado acima
sen 𝜃 =
𝑣𝑡
𝑢𝑡
=
𝑣
𝑢
=
𝑥
√
𝑥2 + 𝑙2
�
𝑥
𝑙
=⇒ 𝑢 =
𝑣𝑙
𝑥
,
já que 𝑙 � 𝑥. Conservando a energia entre 𝐴 e 𝐵, temos
−2𝑀𝑔𝐿 + 𝑚𝑔ℎ = −𝑚𝑔𝑥 + 1
2
𝑀𝑣2 + 1
2
𝑀𝑣2 + 1
2
𝑚𝑢2
− 2𝑀𝑔
(
𝐿 + 𝑙 −
√︁
𝑥2 + 𝑙2
)
𝑚𝑔ℎ(ℎ + 𝑥) = 2𝑀𝑔
(√︁
𝑥2 + 𝑙2 − 𝑙
)
+ 1
2
𝑚𝑢2 + 𝑀𝑣2
= 2𝑀𝑔
(√︁
𝑥2 + 𝑙2 − 𝑙
)
+ 𝑀𝑣2 + 𝑚𝑣
2𝑙2
2𝑥2
= 2𝑀𝑔
(√︁
𝑥2 + 𝑙2 − 𝑙
)
+
(
𝑀 + 𝑚𝑙
2
2𝑥2
)
𝑣2.
Aproximando 𝑣, temos
𝑣2 �
𝑚𝑔ℎ − 𝑀𝑔𝑙
(
𝑥2
𝑙2
)
𝑀 + 𝑚
2
(
𝑙
𝑥
)2 =
𝑚𝑔ℎ − 𝑀𝑔𝑙𝑧
𝑀 + 𝑚
2𝑧
.
308
A função acima atinge um máximo em 𝑧 =
𝑚ℎ
2𝑀𝑙
. Assim
𝑣2m =
𝑚𝑔ℎ − 𝑀𝑔𝑙
(
𝑚ℎ
2𝑀𝑙
)
𝑀 + 𝑚
2
· 2𝑀𝑙
𝑚ℎ
=
𝑚𝑔ℎ/2
𝑀 + 𝑀𝑙/ℎ �
𝑚𝑔ℎ2
2𝑀𝑙
=⇒ 𝑣m = ℎ
√︂
𝑚𝑔
2𝑀𝑙
.
138 Alternativa B
Temos que:
𝐴
𝐶
𝐵
4𝑅
𝑦
0
𝑥
𝑅
𝑅
®𝑔
Será igual a
𝑎 = 𝑔
Δ𝑦
Δ𝑥
= 𝑔 · 4𝑅
2𝜋𝑅
=⇒ 𝑎 =
2𝑔
𝜋
.
139 Nas colisões dianteira e traseira, vem:
2
1
𝑣′2
𝑣′1
𝛼
Colisão dianteira
1
2
𝑢1
𝑢2 𝛼
Colisão traseira
309
Na direção do plano inclinado haverá conservação de momento linear. Após a colisão
dianteira
2𝑚𝑣 cos𝛼 = 𝑚𝑣′1 + 𝑚𝑣
′
2 cos𝛼 =⇒ 𝑣′1 + 𝑣
′
2 cos𝛼 = 2𝑣 cos𝛼.
Pelo vínculo da haste rígida, vem
𝑣′1 + (𝑣′1 cos𝛼) cos𝛼 = 2𝑣 cos𝛼 =⇒ 𝑣′1 =
2𝑣 cos𝛼
1 + cos2 𝛼
.
Após a colisão traseira, 𝑢1 = 𝑢2cos𝛼, assim, por conservação de energia
1
2
𝑚𝑣′21 + 1
2
𝑚𝑣′22 =
1
2
𝑚𝑢21 +
1
2
𝑚𝑢22 + 𝑚𝑔𝑙 sen𝛼
𝑣′21 + 𝑣′22 = 𝑢21 + 𝑢
2
2 + 2𝑔𝑙 sen𝛼
4𝑣2 cos2 𝛼
(1 + cos2 𝛼)2
+
4𝑣21 cos
4 𝛼
(1 + cos2 𝛼)2
= 𝑢21 +
𝑢21
cos2 𝛼
+ 2𝑔𝑙 sen𝛼,
ou seja
𝑢1 =
√︄
4𝑔𝑙 cos4 𝛼
(1 + cos2 𝛼)2
− 2𝑔𝑙 sen𝛼 cos
2 𝛼
1 + cos2 𝛼
.
140 Alternativa D
Veja:
(𝑚)
(𝑚)
(𝑀)
𝜃
𝐺1
𝐺2
ℎ′ − (𝑅 − 𝑟)𝜃
𝑅𝜃 + ℎ
2
2(𝑅 − 𝑟)
Na situação inicial, a energia do sistema era 2𝑚𝑔ℎ′ + 𝑀𝑔ℎ
2
e na situação da figura (final),
temos
𝑀𝑔
(
ℎ
2
+ 𝑅𝜃
)
+ 2𝑚𝑔 [ℎ′ − (𝑅 − 𝑟)𝜃] = 𝑀𝑔ℎ
2
+ 2𝑚𝑔ℎ′
+ 𝑀𝑔𝑅𝜃 − 2𝑚𝑔(𝑅 − 𝑟)𝜃︸ ︷︷ ︸
Δ𝐸→apenas potencial!
.
310
A perda total no contato do cilindro ocorrerá nas situações de equilíbrio instável, ou seja,
Δ𝐸 < 0. Portanto
𝑀𝑔𝑅𝜃 − 2𝑚𝑔(𝑅 − 𝑟)𝜃 < 0 =⇒
( 𝑚
𝑀
)
mín
=
𝑅
2(𝑅 − 𝑟) .
141 Alternativa A
Observe:
𝐹
𝜇𝐹
𝜇𝐹′
𝐹′ ≠ 𝐹
0
𝐹ext
𝑅
𝑟 + 𝑅
O conjunto não poderá girar, então
𝐹ext · 𝑅 = 𝜇𝐹 · (𝑟 + 𝑅) =⇒ 𝐹ext = 𝜇𝐹
(
1 + 𝑟
𝑅
)
.
Assim
𝜏ext = 𝜇𝐹𝑙
(
1 + 𝑟
𝑅
)
.
142 Temos que:
311
𝑥
𝑃
𝐹ext
𝐸 (𝜌)
(𝜌0)
𝑦
𝑙
𝑑/2
𝐷/2
Há conservação no volume de líquido durante a subida do corpo, então
𝜋
4
(𝐷2 − 𝑑2)𝑙 = 𝜋𝑑2
4
𝑥 + 𝜋(𝐷
2 − 𝑑2)
4
𝑦 + 𝜋(𝐷
2 − 𝑑2)
4
𝑥
(𝐷2 − 𝑑2)𝑙 = 𝑥𝑑2 + 𝑦(𝐷2 − 𝑑2) + 𝑥(𝐷2 − 𝑑2).
Para 𝑦 = 0, a altura final do líquido será
𝑥final =
(
1 − 𝑑2
𝐷2
)
𝑙.
Para o espaço mínimo de subida do corpo
𝑊ext +𝑊𝐸 +𝑊𝑃 = 0 =⇒ 𝑊ext = −𝑊res.
Mas
𝐹res = 𝐸 − 𝑃
=
𝜌0𝜋𝑑
2𝑔
4
𝑦 − 𝜌𝜋𝑑2
4
(2𝑙)𝑔
=
𝜋𝑑2𝑔
4
(𝜌0𝑦 − 2𝜌𝑙)
=
𝜋𝑑2𝑔
4
[
(𝜌0 − 2𝜌)𝑙 −
𝜌0𝐷
2
𝐷2 − 𝑑2
𝑥
]
,
logo
𝑊ext = −𝜋𝑑
2𝑔
4
[
(𝜌0 − 2𝜌)𝑙2
(
1 − 𝑑2
𝐷2
)
− 1
2
𝜌0𝐷
2
𝐷2 − 𝑑2
𝑙2
(
1 − 𝑑2
𝐷2
)2]
= −𝜋𝑑
2𝑔𝑙2
4
(
1 − 𝑑2
𝐷2
) (
𝜌0 − 2𝜌 −
𝜌0
2
)
=⇒ 𝑊ext =
𝜋𝑔𝑑2𝑙2
2
(
1 − 𝑑2
𝐷2
) (
𝜌 − 𝜌0
4
)
.
143 Temos:
312
ℎmáx
𝐴
(𝑡 = 0)
𝐶
(𝑡𝐶 =?)
𝐵
(𝑡 = 𝜏)
®𝑣
𝜏
®𝑔
0
⊕
(i) 𝐶 é a posição de altura máxima. A velocidade do foguete em 𝐵 será
𝑣𝐵 = 𝑣 + 𝑎𝜏 = 𝑣 +
(
𝐹 − 𝑀𝑔
𝑀
)
𝜏.
Então, entre 𝐵 e 𝐶
𝑔 =
0 − 𝑣𝐵
𝑡𝐶 − 𝜏 =⇒ 𝑣 +
(
𝐹
𝑀
− 𝑔
)
𝜏 = 𝑔𝜏 − 𝑔𝑡𝐶 =⇒ 𝑡𝐶 = 2𝜏 − 𝑣
𝑔
− 𝐹
𝑀𝑔
𝜏
(ii) Δℎ𝐴𝐵 = 𝑣𝜏 + 1
2
(
𝐹
𝑀
− 𝑔
)
𝜏2 e
Δℎ𝐵𝐶 =
1
2𝑔
[
𝑣 +
(
𝐹
𝑀
− 𝑔
)
𝜏
]2
=
𝑣2
2𝑔
+ 𝑣𝜏
𝑔
(
𝐹
𝑀
− 𝑔
)
+ 𝜏
2
2𝑔
(
𝐹
𝑀
− 𝑔
)2
.
Disso
ℎmáx = Δℎ𝐴𝐵 + Δℎ𝐵𝐶
= 𝑣𝜏 + 1
2
(
𝐹
𝑀
− 𝑔
)
𝜏2 + 𝑣2
2𝑔
+ 𝑣𝜏
𝑔
(
𝐹
𝑀
− 𝑔
)
+ 𝜏
2
2𝑔
(
𝐹
𝑀
− 𝑔
)2
=
𝑣2
2𝑔
+ 𝑣𝜏 + 𝜏
2
2
[
1 + 2𝑣
𝑔𝜏
+ 1
𝑔
(
𝐹
𝑀
− 𝑔
)] (
𝐹
𝑀
− 𝑔
)
=
𝑣2
2𝑔
+ 𝑣𝜏 + 𝜏
2
2
(
𝐹
𝑀𝑔
+ 2𝑣
𝑔𝜏
) (
𝐹
𝑀
− 𝑔
)
,
portanto
ℎmáx =
𝑣2
2𝑔
+ 𝑣𝜏 + 𝜏
2
𝑔
(
𝐹
𝑀
− 𝑔
) (
𝐹
2𝑀
+ 𝑣
𝜏
)
.
313
144 Observe:
NR
𝑅
𝑚
𝑚
𝛼 𝛼
𝛼 𝑙 sen𝛼
𝑅 cos𝛼
𝑙/2
(i) 𝐸0 = 𝑚𝑔𝑙 sen𝛼;
(ii) 𝐸 = 2𝑚𝑔𝑅(1 − cos𝛼), disso
𝐸0 = 𝐸 − 𝐸perd
𝐸perd = −𝑚𝑔𝑙 sen𝛼 + 2𝑚𝑔𝑅(1 − cos𝛼).
Da figura, sen𝛼 =
𝑙
2𝑅
, logo
𝐸perd = −𝑚𝑔𝑙 𝑙
2𝑅
+ 2𝑚𝑔𝑅
(
1 −
√︂
1 − 𝑙2
4𝑅2
)
= −2𝑚𝑔
[
𝑙2
4𝑅
− 𝑅
(
1 −
√︂
1 − 𝑙2
4𝑅2
)]
=⇒ 𝐸perd = −2𝑚𝑔𝑅
√︂
1 − 𝑙2
4𝑅2
(
1 −
√︂
1 − 𝑙2
4𝑅2
)
.
145 Alternativa C
Usando a 2ª lei de Newton radial
𝑁 − 𝑚𝑔 cos 𝜃 = 𝑚𝑣2
𝑅
𝐹at =
𝜇𝑚𝑣2
𝑅
+ 𝜇𝑚𝑔 cos 𝜃.
𝑅
𝑅Δ𝜃
Δ𝜃
𝜃
𝑚𝑔
𝜇𝑁 = 𝐹at
𝑁
𝜃
®𝑔
314
Usando o teorema das forças dissipativas, teremos
Δ𝑊𝐹at = −𝐹at𝑅Δ𝜃 = −𝜇𝑚𝑣2 Δ𝜃 − 𝜇𝑚𝑔𝑅 cos 𝜃Δ𝜃.
Para um ciclo
(𝑊𝐹at)ciclo � −𝜇𝑚𝑣2
∑︁
ciclo
Δ𝜃 −
∑︁
ciclo
𝜇𝑚𝑔𝑅 cos 𝜃Δ𝜃︸ ︷︷ ︸
paridade de cos 𝜃
=⇒ (𝑊𝐹at) = −2𝜋𝜇𝑚𝑣2 .
146 Alternativa A
Temos:
𝑅
𝑚𝑔
𝑅
𝑅
𝜇𝑁2
𝜇𝑁1
𝑅
𝜇𝑁1
𝑅Δ𝜃
𝑅Δ𝜃
Δ𝜃
Δ𝜃
𝐺
®𝑔
𝜔
Para o equilíbrio translacional de 𝐺, 𝑁2 + 𝜇𝑁1 = 𝑚𝑔 e 𝜇𝑁2 = 𝑁1, ou seja,
𝑁2 =
𝑚𝑔
1 + 𝜇2
e 𝑁1 =
𝜇𝑚𝑔
1 + 𝜇2
.
315
Pelo teorema do trabalho-energia, temos∑︁
Δ𝑊atrito =
∑︁
(−𝜇𝑁1𝑅Δ𝜃 − 𝜇𝑁2𝑅Δ𝜃)
= −𝜇𝑅
(
𝜇𝑚𝑔
1 + 𝜇2
+ 𝑚𝑔
1 + 𝜇2
) ∑︁
Δ𝜃
= 0 − 1
2
𝑚𝑅2𝜔2
2𝜋𝑅𝜇(1 + 𝜇)𝑚𝑔𝑁
1 + 𝜇2
=
𝑚𝑅2𝜔2
2
=⇒ 𝑁 =
𝜔2𝑅
4𝜋𝑔
(1 + 𝜇2)
𝜇(1 + 𝜇) .
147 Observe:
𝑣
𝑣
2𝑣 cos
(𝛼
2
)
(Traj. efetiva)
𝐴
Por composição de movimento (translacional e rotacional), os pontos da tábua seguirão
uma direção que faz um ângulo 𝛼/2 com a horizontal. Disso
𝑎tábua = 𝑔 sen
(𝛼
2
)
.
148 Quando o bloco da direita atinge um equilíbrio após a ação de ®𝐹, 𝐹 = 2𝑘Δ𝑥máx. Nesse
momento, toda a energia do sistema massa-mola da esquerda é dissipada em calor. Disso
𝐸 =
1
2
𝑘 (Δ𝑥máx)2 =
𝑘
2
(
𝐹
2𝑘
)2
=
𝐹2
8𝑘
=⇒ 𝑊atrito = −Δ𝐸 =⇒ 𝑄 =
𝐹2
8𝑘
.
Se ocorrer trocas de calor isoladas do meio externo.
149 Alternativa A
A barra da esquerda deverá ser movida lentamente, disso:
𝑘®𝐹
𝜇
𝜇𝑚𝑔
𝑚𝑔
𝑚𝑔
𝐹el 𝐹el
𝑀𝑔
𝑀𝑔
𝜇𝑀𝑔
Δ𝑥
𝑣
316
𝑊𝐹 +𝑊atrito +𝑊mola = 0
𝐹Δ𝑥 − 𝜇𝑚𝑔Δ𝑥 − 1
2
𝑘 (Δ𝑥)2 = 0 =⇒ 𝐹 = 𝜇𝑚𝑔 + 1
2
𝑘Δ𝑥 = 𝜇𝑚𝑔 + 𝐹el
2
.
Para a barra direita, 𝐹el > 𝜇𝑀𝑔. Logo
2(𝐹 − 𝜇𝑚𝑔) > 𝜇𝑀𝑔.
2𝐹 − 2𝜇𝑚𝑔 > 𝜇𝑀𝑔
2𝐹 > 𝜇𝑔(𝑀 + 2𝑚) =⇒ 𝐹mín = 𝜇𝑔
(
𝑚 + 𝑀
2
)
.
150 Veja:
𝑚
NR
𝑀
√ 𝑥
2 + 𝑙
2
𝐿 −
√
𝑥2 + 𝑙2
𝑥
𝑙
Repouso instantâneo
®𝑔
Conservando a energia do sistema entre essas posições, temos
−𝑀𝑔(𝐿 − 𝑙) = −𝑀𝑔
(
𝐿 −
√︁
𝑥2 + 𝑙2
)
− 𝑚𝑔𝑥
−𝑀𝑔𝐿 + 𝑀𝑔𝑙 = −𝑀𝑔𝐿 + 𝑀𝑔
√︁
𝑥2 + 𝑙2 − 𝑚𝑔𝑥
𝑀𝑔𝑙 = 𝑀𝑔
√︁
𝑥2 + 𝑙2 − 𝑚𝑔𝑥
(𝑀𝑙 + 𝑚𝑥)2 = 𝑀2(𝑥2 + 𝑙2)
𝑀2𝑙2 + 𝑚2𝑥2 + 2𝑚𝑀𝑙𝑥 = 𝑀2𝑥2 + 𝑀2𝑙2 =⇒ 𝑥 =
2𝑚𝑀
𝑀2 − 𝑚2
𝑙 .
151 Veja:
317
𝑥
𝑦
−𝑙 cos𝛼/2
𝑙 sen𝛼
𝑙 cos𝛼/2
CM
𝛼
𝛼
𝑙/2
𝑙/2
0
(a) 
𝑥 =
𝑙
2
cos𝛼
𝑦 = 𝑙 sen𝛼
∼

cos2 𝛼 =
4𝑥2
𝑙2
sen2𝛼 =
𝑦2
𝑙2
=⇒ 𝑥2
(𝑙/2)2
+ 𝑦
2
𝑙2
= 1. (QED)
(b) Como CM não pode se mover pelo eixo-𝑥, quando o sistema estiver sobre o eixo-𝑦, as
massas têm a mesma velocidade em módulo, cujos sentidos são opostos.
𝑣
𝑣
CM 𝑙

𝑣𝑥 = −𝜔𝑙
2
sen𝛼
𝑣𝑦 = 𝜔𝑙 cos𝛼
,
 𝑎𝑥 = −𝜔
2𝑙
2
cos𝛼
𝑎𝑦 = −𝜔2𝑙 sen𝛼
,
disso
𝑟curv =
𝑣2
𝑎
=
𝜔2𝑙2/4
𝜔2𝑙
=
𝑙
4
.
(c) 𝑇 + 𝑚𝑔 = 𝑚𝑣2/𝑟curv = 4𝑚𝑣2/𝑙. Por conservação de energia
1
2
𝑚𝑣20 = 2 ·
1
2
𝑚𝑣2 + 𝑚𝑔𝑙
𝑣2 =
𝑣20
2
− 𝑔𝑙,
318
então
𝑇 + 𝑚𝑔 =
4𝑚
𝑙
(
𝑣20
2
− 𝑔𝑙
)
=
2𝑚𝑣20
𝑙
− 4𝑚𝑔
𝑇 =
2𝑚𝑣20
𝑙
− 5𝑚𝑔 > 0 =⇒ 𝑣0 >
√︂
5𝑔𝑙
2
.
A tração não deve exceder o peso da partícula. Disso, 𝑇 < 𝑚𝑔 =⇒
2𝑚𝑣20
𝑙
< 6𝑚𝑔 =⇒
𝑣0 <
√︁
3𝑔𝑙. Portanto √︂
5𝑔𝑙
2
< 𝑣0 <
√︁
3𝑔𝑙 .
152 Alternativa A
Para o sistema como um todo:
𝑚
𝑚 𝑀 ®𝑔
𝑘𝑥0
𝜇𝑚𝑔
𝜇𝑚𝑔
𝑣
(Sistema rígido)
Olhando os blocos 𝑚:
{
𝑘𝑥0 − 𝜇𝑚𝑔 = 𝑚𝑎
𝜇𝑚𝑔 = 𝑚𝑎
=⇒ 𝑘𝑥0 = 2𝜇𝑚𝑔.
O sistema como um todo: 
𝑀𝑣0 = (2𝑚 + 𝑀)𝑣
1
2
𝑀𝑣20 =
1
2
(2𝑚 + 𝑀)𝑣2 + 1
2
𝑘𝑥20
.
Ou seja
𝑀𝑣20 =
(2𝑚 + 𝑀)𝑀2𝑣20
(2𝑚 + 𝑀)2
+
𝑘2𝑥20
𝑘
=
𝑀2𝑣20
2𝑚 + 𝑀 + 4𝜇
2𝑚2𝑔2
𝑘
4𝜇2𝑚2𝑔2
𝑘
=
2𝑚
2𝑚 + 𝑀𝑣20 =⇒ 𝑘 =
2𝜇2𝑔2𝑚
𝑣20
(
1 + 2𝑚
𝑀
)
.
319
153 Alternativa B
Veja os vetores-força:
𝑠
𝑂𝑟 𝑟
𝐹t
𝐹cp
𝐹R
𝜃
0
Como 𝐸cin = 𝛼𝑠2 =
1
2
𝑚𝑣2, temos
𝐹cp =
𝑚𝑣2
𝑟
=
2𝛼𝑠2
𝑟
e ainda
𝑣 = 𝑠
√︂
2𝛼
𝑚
=⇒ Δ𝑣
Δ𝑡
=
Δ𝑠
Δ𝑡
√︂
2𝛼
𝑚
,
ou seja
𝑎 =
(
𝑠
√︂
2𝛼
𝑚
) √︂
2𝛼
𝑚
=
2𝛼
𝑚
𝑠 =⇒ 𝐹t = 𝑚𝑎 = 2𝛼 𝑠.
Assim
𝐹2R = 4𝛼2𝑠2 + 4𝛼
2
𝑟2
𝑠4 =⇒ 𝐹R = 2𝛼𝑠
(
1 + 𝑠
2
𝑟2
)1/2
.
154 Vamos considerar uma situação em que a partícula mude de órbita. A nova tem raio 𝑟 +Δ𝑟
e a mesma tem velocidade escalar 𝑣 + Δ𝑣. Nessa alternância infinitesimal, o momento
angular dessa partícula não muda, ou seja
𝑟𝑚𝑣 = (𝑟 + Δ𝑟)𝑚(𝑣 + Δ𝑣)
= 𝑟𝑚𝑣 + 𝑚𝑟Δ𝑣 + 𝑚𝑣Δ𝑟 + 𝑚Δ𝑟Δ𝑣
� 𝑟𝑚𝑣 + 𝑚𝑣Δ𝑟 + 𝑚𝑟Δ𝑣 =⇒ Δ𝑣 = −𝑣
𝑟
Δ𝑟.
320
Outra grandeza invariante sob mudança de órbita é a energia mecânica total da partícula.
Para uma situação genérica 𝐸p = 𝑓 (𝑟), vem
1
2
𝑚𝑣2 + 𝑓 (𝑟) = 1
2
𝑚(𝑣 + Δ𝑣)2 + 𝑓 (𝑟 + Δ𝑟)
�
1
2
𝑚𝑣2 + 𝑚𝑣Δ𝑣+ 𝑓 (𝑟 + Δ𝑟)
𝑓 (𝑟 + Δ𝑟) = 𝑓 (𝑟) + 𝑚𝑣
2
𝑟
Δ𝑟.
(a) Quando 𝑓 (𝑟) = 𝛼𝑟
𝛼(𝑟 + Δ𝑟) = 𝛼𝑟 + 𝑚𝑣
2
𝑟
Δ𝑟 =⇒ 𝑣 =
√︂
𝛼𝑟
𝑚
.
(b) E quando 𝑓 (𝑟) = 𝛽𝑟2
𝛽(𝑟2 + 2𝑟Δ𝑟) � 𝛽𝑟2 + 𝑚𝑣
2
𝑟
Δ𝑟 =⇒ 𝑣 =
√︂
2𝛽𝑟2
𝑚
.
155 Veja:
𝑣
𝑣𝑣
𝐺
𝑥
𝑑
60
◦
Usando conservação de energia
3 · 1
2
𝑚𝑣2 = 3 · 1
2
𝑘 (2𝑥)2 =⇒ 𝑥 =
𝑣
2
√︂
𝑚
𝑘
,
logo
𝑑 = 𝑣
√︂
𝑚
3𝑘
.
321
156 Na direção horizontal, não temos movimento relativo na mola:
𝑚
𝑚
𝑙0
𝑣
𝑣
𝑣 cos𝛼
𝑣 cos𝛼
𝑣 cos𝛼
Por conservação de energia
1
2
𝑘 (𝑙 − 𝑙0)2 = 2 ·
1
2
𝑚𝑣2 =⇒ 𝑣 = (𝑙 − 𝑙0)
√︂
𝑘
2𝑚
.
Não há movimento relativo na horizontal, logo
𝑣mola = 𝑣 cos𝛼 =⇒ 𝑣mola = (𝑙 − 𝑙0) cos𝛼
√︂
𝑘
2𝑚
.
157 Alternativa A
No perigeu, por energia, temos de imediato, o módulo de ®𝑣 dado por
𝑂
𝐴
𝑆
𝜔
Centro da Terra
ℎ
𝑅𝜔
𝑣
1
2
𝑚𝑣2 − 𝐺 𝑚𝑀
𝑅 + ℎ = −𝐺𝑚𝑀
2𝑎
= −𝐺 𝑚𝑀
2𝑅 + ℎ + 𝐻
𝑣2 = 2𝐺𝑀
(
1
ℎ + 𝑅 − 1
2𝑅 + ℎ + 𝐻
)
,
como 𝐺𝑀 = 𝑔𝑅2, temos, 𝑣 =
√︄
2𝑔𝑅2(𝑅 + 𝐻)
(𝑅 + ℎ) (2𝑅 + ℎ + 𝑅) .
322
Quando o satélite passa imediatamente acima da antena, o sistema anterna (𝐴) + satélite
(𝑆) é rígido, então, instantaneamente, um dos referenciais de 𝐴 e 𝑆 estará estacionário
(em repouso) com respeito ao outro. Então, a velocidade angular da antena será Ω =
(𝑣 − 𝜔𝑅)/ℎ, assim
Ω′ = Ω − 𝜔 =
√︄
2𝑔𝑅2(𝑅 + 𝐻)
ℎ2(𝑅 + ℎ) (2𝑅 + ℎ + 𝑅)
−
(
1 + 𝑅
ℎ
)
𝜔 .
158 Alternativa C
Colocando as áreas, vem:
𝐵
𝐸
𝐴𝐶
𝐹
𝐷
3𝑆 3𝑆
5𝑆 − 𝑋𝑋
𝑆
Pela lei das áreas de Kepler, você pode concluir a relação entre as áreas acima. Portanto
𝑆 + 𝑋 = 3𝑆 =⇒ 𝑋 = 2𝑆 =⇒ 𝑋
12𝑆
=
1
6
.
159 Podemos usar o método da elipse degenerada para a trajetória de 𝑃 após passar por 𝐴.
Então
𝐴 𝐵
𝑁 𝑏
𝑎
𝑏′ → 0
𝑟
𝑃
(i) 𝑁 é o centro polar.
(ii) Quando 𝑃 passa por 𝐴, a componente radial de sua velocidade é zero.
(iii) A excentricidade da elipse que tem um dos focos 𝑁 é unitária.
Assim
(2Δ𝑡𝐴→𝑁 )2(𝑎
2
)3 =
𝑇2(
𝑎 + 𝑏
2
)3 = 4𝜋2
𝐺 (𝑚𝑃 + 𝑚𝑁 )
= const. =⇒ Δ𝑡𝐴→𝑁 =
𝑇
2
( 𝑎
𝑎 + 𝑏
)3/2
.
323
160 Temos que:
𝑅
(𝐵)
(𝐴)
𝑣
𝐹
®𝑔
ℎ
𝐻
(a) Usando TEC entre 𝐴 e 𝐵
𝑚𝑔𝐻 − 𝐹ℎ = 0 − 0 =⇒ ℎ =
𝑚𝑔
𝐹
𝐻 .
(b) No solo, a energia cinética do foguete será
𝐸cin(solo) = 𝑚𝑔𝐻 − 𝐹′ℎ > 0 =⇒ 𝐹 > 𝐹′ ou 𝐹′ <
𝑚𝑔𝐻
ℎ
.
(c) Usando mais uma vez o TEC entre 𝐴 e 𝐵, temos
𝑊𝐴→𝐵 = 𝑔𝑅2𝑚
(
−1
𝑅 + 𝐻 + 1
𝑅
)
− 𝐹ℎ = 0 =⇒ ℎ =
𝑚𝑔
𝐹
(
𝑅𝐻
𝑅 + 𝐻
)
.
161 Alternativa A
Veja:
𝑂
𝑃
𝜃
𝑚
𝑣
(𝑚prec)
(Terra, 𝑀)
𝑟
𝑣0𝑡
𝑚
𝐴 𝑣0
(𝑁 = 𝑛𝑉)
324
Conservando a energia entre 𝐴 e 𝑃, temos
1
2
𝑚𝑣20 = −𝐺𝑚𝑀
𝑅
+ 1
2
𝑚𝑣2 =⇒ 𝑣2 = 𝑣20 + 2𝑔𝑅
e para o momento angular, 𝑣 = 𝑟𝑣0/𝑅. Para 𝜃 ≤ 𝜋/2, vem
𝑚prec = 𝑁𝑚 = 𝑛𝜋𝑟2𝑣0𝑡𝑚 =⇒ 𝑚prec =
(
2𝑔𝑅
𝑣20
+ 1
)
𝜋𝑅2𝑛𝑣0𝑚𝑡 .
162 Alternativa B
Por conservação de momento angular do planeta, entre 𝐴 e 𝐵, temos
𝑙𝐴 = 𝑙𝐵 =⇒ 𝑣𝐴
𝑣𝐵
=
3
10
= 0, 3.
Portanto
𝐸𝑐,𝐴
𝐸𝑐,𝐵
=
(
𝑣𝐴
𝑣𝐵
)2
= 0, 09 .
163 Alternativa C
O cubo será atraído pela bola por uma força, cujo módulo é constante e igual a 𝐹grav =
𝐺𝑚𝑀/𝑟2. O disco atrairá o cubo com uma força 𝑃0 = 𝑚𝑔0, que também tem magnitude
constante. As outras forças em 𝐶 são ®𝑁 (normal) e ®𝐹at (atrito), que variam de acordo com
o movimento orbital de 𝐵.
®𝑃0
®𝐹grav®𝑁
®𝐹at
®𝐹
𝛼
𝐶
𝑃0
𝐹grav
𝐹
𝛼
Usando a lei dos cossenos no triângulo vetorial, temos
𝐹2grav = 𝑃
2
0 + 𝐹
2 − 2𝑃0𝐹 cos𝛼 =⇒ 𝑃20 − 𝐹
2
grav = 𝐹 (2𝑃0 cos𝛼 − 𝐹) > 0.
É fácil ver que 𝑃0 > 𝐹grav. Quando 𝐵 está acima de 𝐶, no limite 𝑁 → 0, é necessário que
𝑃0 > 𝐹grav para garantir a não perda de contato entre 𝐶 e 𝐷. Usando a desigualdade entre
as médias aritmética e geométrica, vem
𝐹 + 2𝑃0 cos𝛼 − 𝐹
2
≥
√︃
𝑃20 − 𝐹
2
grav =⇒ 𝑃20 cos
2 𝛼 ≥ 𝑃20 − 𝐹
2
grav =⇒ 𝐹grav ≥ 𝑃0 sen𝛼.
325
Mas, para evitar escorregamento de 𝐶, 𝐹at ≤ 𝜇𝑁 , ou seja, tg𝛼 ≤ 𝜇. Assim
tg2𝛼 ≤ 𝜇2 =⇒ cotg2𝛼 ≥ 1
𝜇2
=⇒ 1
sen2𝛼
− 1 ≥ 1
𝜇2
=⇒ sen2𝛼 ≤ 𝜇2
𝜇2 + 1(
𝐺𝑀
𝑟2𝑔0
)2
≤ 𝜇2
𝜇2 + 1
1 + 1
𝜇2
≤
𝑟4𝑔20
𝐺2𝑀2
=⇒ 1
𝜇2
≤
𝑔20𝑟
4 − 𝐺2𝑀2
𝐺2𝑀2
=⇒ 𝜇 ≥ 𝐺𝑀√︃
𝑔20𝑟
4 − 𝐺2𝑀2
.
164 Temos que:
𝑣mín
𝑀, 𝑟 16𝑀, 2𝑟10𝑟
𝑚
16𝑀, 2𝑟
𝑀, 𝑟 16𝑀, 2𝑟
Pos. de eq. estável
2𝑟 8𝑟
(𝑣 = 0)
A velocidade mínima é aquela em que o corpo atinge a posição de equilíbrio com veloci-
dade zero. Usando conservação de energia entre as posições de lançamento e equilíbrio,
vem
1
2
𝑚𝑣2mín −
𝐺𝑚(16𝑀)
2𝑟
− 𝐺𝑚𝑀
8𝑟
= −𝐺𝑚(16𝑀)
8𝑟
− 𝐺𝑚𝑀
2𝑟
=⇒ 𝑣mín =
√︂
45𝐺𝑀
4𝑟
.
165 Alternativa A
Ao passar por um dos semieixos menores, veja:
𝑛
𝑀
𝑚
(Planeta)𝐵
𝑡
𝑣
𝐹grav cos𝛼
𝑏
𝑎
326
Será de:
𝑎n =
𝐹grav cos𝛼
𝑚
=
𝑣2
𝑟
=⇒ 𝑟 =
𝑣2𝑎3
𝐺𝑀𝑏
.
Para obter 𝑣, temos, em 𝐵,
−𝐺𝑚𝑀
2𝑎
=
1
2
𝑚𝑣2 − 𝐺𝑚𝑀
𝑎
=⇒ 𝑣2 =
𝐺𝑀
𝑎
.
logo
𝑟 =
𝐺𝑀
𝑎
· 𝑎3
𝐺𝑀𝑏
=
𝑎2
𝑏
.
166 Alternativa A
Observe:
𝐵
𝐴
𝑚
𝑣0
𝑅
𝑟
3𝑅
(𝑀)
ℎ
Pára
Aplicando a conservação da energia mecânica, temos
𝐸𝐴 = 𝐸𝐵 =⇒ 𝑔0𝑅
2
2𝑅
− 3
2
𝑔0𝑅 + 𝑔0𝑅 = −𝑔0𝑅
4
(
𝑔0 =
𝐺𝑀
𝑅2
)
𝑟2 =
𝑅2
2
=⇒ 𝑟 =
𝑅
√
2
ℎ = 𝑅 − 𝑟 =⇒ ℎ =
(
1 −
√
2
2
)
𝑅 .
167 Pelo enunciado, 𝐸′
cin = 𝑘𝐸cin, disso
−𝐺𝑀𝑚
2𝑎
+ 𝐺𝑀𝑚
𝑟
= 𝑘
𝐺𝑀𝑚
2𝑟
=⇒ −1
𝑎
=
𝑘 − 2
𝑟
=⇒ 𝑟 = (2 − 𝑘)𝑎,
onde 𝑎 é o semieixo maior da órbita final, que é elíptica, pois apresenta posições mínima
e máxima para o satélite. Como 𝑟 + 𝑅 = 2𝑎, vem
𝑟 = 2𝑎 − 𝑘𝑎 =⇒ 𝑟 + 𝑘𝑎 = 2𝑎 =⇒ 𝑅 = 𝑘𝑎.
Assim
𝑅
𝑟
=
𝑘𝑎
(2 − 𝑘)𝑎 =
𝑘
2 − 𝑘 .
327
168 Alternativa A
Considere uma casca esférica de raios internos 𝑎 e 𝑏 > 𝑎. A uma distância 𝑥 da superfície
interna 𝑟 = 𝑎, o campo gravitacional terá magnitude igual a
𝑎
𝑏
𝑥
(𝜌)
𝑔(𝑥) = 𝐺𝑀 (𝑥)
(𝑎 + 𝑥)2
=
𝐺
4𝜌𝜋
3
[
(𝑎 + 𝑥)3 − 𝑎3
]
(𝑎 + 𝑥)2
�
4𝜋𝜌𝐺
3
(
𝑎3 + 3𝑎2𝑥 − 𝑎3
𝑎2
)
= 4𝜋𝜌𝐺 𝑥.
No limite 𝑥 � 𝑎, esse campo é gerado por uma pastilha infinita de espessura 𝑥. Se
uma partícula teste fosse colocada nessa posição, o seu movimento seria oscilatório pois
¥𝑥 + 4𝜋𝐺𝜌𝑥 = 0, logo,
Δ𝑡𝑃→𝑄 =
𝑇
2
=
√︂
𝜋
4𝐺𝜌
.
169 Alternativa B
Temos:
𝑚
𝑚
(𝐴)
𝑟
ℎ
𝑣0
𝑟mín 𝑚
(𝐵)
𝑣
Ref.
328
(i) 𝜇ℎ𝑣0 = 𝜇𝑟mín𝑣 =⇒ 𝑣 =
ℎ𝑣0
𝑟mín
;
(ii)
1
2
𝜇𝑣20 =
1
2
𝜇𝑣2 − 𝐺𝑚
2
𝑟mín
(𝜇 = 𝑚/2) =⇒ 𝑣2 = 𝑣20 +
4𝐺𝑚
𝑟mín
=
ℎ2𝑣20
𝑟2mín
. Assim
ℎ2𝑣20
𝑟2mín
= 𝑣20 +
4𝐺𝑚
𝑟mín
𝑟2mín +
4𝐺𝑚
𝑣20
𝑟mín − ℎ2 = 0
𝑟mín =
1
2
(
−4𝐺𝑚
𝑣20
+
√︄
16𝐺2𝑚2
𝑣40
+ 4ℎ2
)
=⇒ 𝑟mín =
√︄
4𝐺2𝑚2
𝑣40
+ ℎ2 − 2𝐺𝑚
𝑣20
.
170 Alternativa E
Chamemos 𝐹1 e 𝐹2 os focos da hipérbole que contém a órbita da espaçonave. Disso:
𝑦
𝐹1
𝑥
𝐹2
2𝑎
𝜃e𝜃e
𝑇
®𝑣e
𝑃
𝑥
(𝑎 +
𝑥) sen
𝜃e
𝑎
Conservando o momento angular entre 𝑇 e 𝑃,
𝑥𝑚(𝑣0 + 𝜔) = (𝑎 + 𝑥) sen 𝜃e𝑚𝑣𝑒 =⇒ 𝑣0 + 𝜔𝑅 = 𝑣e sen 𝜃e +
𝑣e𝑎
𝑥
sen 𝜃e.
No triângulo destacado, 2𝑎 = 2𝑐 cos 𝜃e =⇒ 𝑎 = 𝑐 cos 𝜃e e 𝑐 = 𝑎 + 𝑥. Disso
𝑎
cos 𝜃e
= 𝑎 + 𝑥 =⇒ 𝑎
𝑥
=
cos 𝜃e
1 − cos 𝜃e
.
Disso, usando 𝑣e = 𝑣0 e 𝜃e = 45◦, vem
𝑣0 + 𝜔𝑅 =
𝑣0
√
2
2
+ 𝑣0
2 −
√
2
𝜔𝑅 =
(√
2
2
+ 2 +
√
2
2
− 1
)
𝑣0 =⇒ 𝜔 =
𝑣0
√
2
𝑅
.
329
171 Alternativa B
Veja:
𝑅
𝑟
𝑅
𝐴 (𝑡 = 0)
𝑚
𝐵 (𝑡 = 𝑡0)
(Atmosfera)
Temos que
𝛼 =
𝐸𝐵 − 𝐸𝐴
𝑡0
=
−𝐺𝑚𝑀
2𝑅
+ 𝐺𝑚𝑀
2𝑟
𝑡0
𝐺𝑚𝑀
2𝑟
= 𝛼𝑡0 +
𝐺𝑚𝑀
2𝑅
=⇒ 𝑟 =
(
𝐺𝑚𝑀
𝐺𝑚𝑀 + 2𝛼𝑅𝑡0
)
𝑅 .
172 Observe:
𝑀 = 𝑚/𝛼
𝑚
𝑚
3𝑙 𝑙
𝐹′
𝐺
𝐹𝐺 𝐹′
𝐺
𝐹𝐺
𝑇
𝑇
𝑎 𝑎⊕
Usando a 2ª lei de Newton nas massas 𝑚, vem
𝑚𝑎 � −𝐺𝑚𝑀
9𝑙2
+ 𝑇 (I)
𝑚𝑎 � −𝐺𝑚𝑀
16𝑙2
− 𝑇 (II)
e somando (II) de (I), temos
𝑇 =
1
2
[
𝐺𝑚𝑀
9𝑙2
− 𝐺𝑚𝑀
16𝑙2
]
=
1
2
(
16 − 9
144
)
𝐺𝑚2
𝑙2
1
𝛼
=
7
288
𝐺𝑚2
𝑙2
1
𝛼
=⇒ 𝛼 =
7
288
.
173 Alternativa D
Por conservação de energia
1
2
𝑚𝑣20 −
𝐺𝑀
𝑅
=
1
2
𝑚𝑣2 − 𝐺𝑀
2𝑅
=⇒ 𝑣 =
√︂
𝑣20 −
𝐺𝑀
𝑅
.
330
(Antes da ejeção)
𝑅
𝑚
®𝑣
𝑅
(Após a ejeção)
2𝑅
®𝑣 ′
®𝑢𝑦
®𝑢𝑥
𝑚/10
9𝑚/10
𝑦
𝑂
𝑥
Conservando o momento lineardo conjunto foguete + satélite, temos
𝑚𝑣 =
𝑚
10
𝑢𝑥
0 =
9
10
𝑚𝑣′ − 𝑚
10
𝑢𝑦
∼

𝑢𝑥 = 10𝑣
𝑢𝑦 = 9𝑣′
.
Portanto
𝐸cin =
1
2
· 𝑚
10
· (𝑢2𝑥 + 𝑢2𝑦)
=
𝑚
20
(100𝑣2 + 81𝑣′2) = 5𝑚
(
𝑣20 −
119𝐺𝑀
200𝑅
)
.
174 Analisando a figura, coloquemos as posições do planeta e do Sol, em termos das localiza-
ções do CM e da coordenada relativa, respectivamente, representadas por ®𝑟CM e ®𝑟 = ®𝑟2−®𝑟1.
Então
331
𝑦
𝑂
𝑥
®𝑟2
®𝑟1
®𝑟
®𝑟CM
CM𝑚
(2)
𝑀
(1)
Onde
®𝑟1 = ®𝑟CM + 𝜇
𝑚 + 𝑀 ®𝑟 e
®𝑟2 = ®𝑟CM − 𝜇
𝑚 + 𝑀 ®𝑟
(
𝜇 =
𝑚𝑀
𝑚 + 𝑀
)
.
A energia e o momento angular serão
𝐸 =
1
2
𝜇𝑣2 − 𝐺𝑚𝑀
𝑟
e ®𝐿 = 𝜇 ®𝑟 × ®𝑣.
Note que 𝐿2 = 𝜇2𝑟2𝑣2 − 𝜇2(®𝑟 · ®𝑣)2, então
𝐸 =
𝐿2
2𝜇𝑟2
+ 𝜇
𝑟2
(®𝑟 · ®𝑣)2 − 𝐺𝑚𝑀
𝑟
.
Tomando o menor valor para o módulo de ®𝑟, a velocidade relativa será zero (®𝑣 = ®0). Então
𝐸 =
𝐿2
2𝜇
(
1 + 𝜖
𝜖
)2
− 𝐺𝑚𝑀
(
1 + 𝜖
𝜖
)
=
𝐿2(1 + 𝜖)2𝐺2𝑚2𝑀𝜇2
2𝜇𝐿4
− 𝐺
2𝑚2𝑀2(1 + 𝜖)𝜇
𝐿2
=
𝐺2𝑚2𝑀2𝜇
𝐿2
(
1 + 2𝜖 + 𝜖2 − 2 − 2𝜖
2
)
=⇒ 𝐸 =
(
𝜖2 − 1
)
𝐺2𝑚3𝑀3
2𝐿2(𝑚 + 𝑀)
.
175 Alternativa A
Observe:
𝑟
𝑣
𝑃
𝑂 (𝑀)(𝜌)
Δ𝑀
332
Usando a 2ª lei de Newton, em 𝑃
𝐺𝑚𝑀
𝑟2
=
𝑚𝑣2
𝑟
=
2𝐸0
𝑟
=⇒ 𝑀 =
2𝐸0
𝐺𝑚
𝑟 =⇒ Δ𝑀 =
2𝐸0
𝐺𝑚
Δ𝑟.
Como Δ𝑀 = 4𝜋𝑟2𝜌(𝑟)Δ𝑟, vem
2𝐸0
𝐺𝑚
Δ𝑟 = 4𝜋𝑟2𝜌(𝑟)Δ𝑟 =⇒ 𝜌(𝑟) = 𝐸0
2𝜋𝐺𝑚
1
𝑟2
.
176 Por conservação de energia
𝑚
𝑅
ℎ
𝑔
(𝑀)
𝐸ℎ = 𝐸centro =⇒ −𝐺𝑚𝑀
𝑅 + ℎ =
1
2
𝑚𝑣2 − 3𝐺𝑚𝑀
2𝑅
=⇒ 𝑣 =
√︄
𝑔𝑅
(
𝑅 + 3ℎ
𝑅 + ℎ
)
,
com 𝑔 = 𝐺𝑀/𝑅2.
177 Alternativa A
Analisando a gravura a seguir, vem:
𝐴
𝑟𝑟
𝑟
®𝑣0
−®𝑣0𝜃
2
𝜃
2
𝑟 sen
(
𝜃
2
)
𝑟 sen
(
𝜃
2
)
𝑟 cos
(
𝜃
2
)
333
Pela figura acima
𝐴 =
1
2
𝜋
(
𝑟 sen
𝜃
2
)
𝑟 + 1
2
(
2𝑟 sen
𝜃
2
) (
𝑟 cos
𝜃
2
)
= 𝜋𝑟2 sen
𝜃
2︸ ︷︷ ︸
𝐴total
(
1
2
+ 1
𝜋
cos
𝜃
2
)
𝐴
𝐴total
=
1
2
+ 1
𝜋
cos
(
𝜃
2
)
.
Pela lei das áreas, teremos
Δ𝑡voo
𝑇0
=
1
2
+ 1
𝜋
cos
𝜃
2
=⇒ Δ𝑡voo =
(
1
2
+ 1
𝜋
cos
𝜃
2
)
𝑇0 .
178 Para que um objeto fuja da atração gravitacional de um planeta de raio 𝑅0 e massa 𝑀0,
desde sua superfície, é necessário que ele atinja o infinito com velocidade zero. Disso,
considerando que a gravidade nessa superfície é 𝑔0, temos
1
2
𝑚𝑣20 −
𝐺𝑀0𝑚
𝑅0
=
1
2
𝑚𝑣20 − 𝑚𝑔0𝑅0 = 0 =⇒ 𝑣0 =
√︁
2𝑔0𝑅0.
Para a Terra, 𝑣 =
√︁
2𝑔𝑅, então
𝑣0
𝑣
=
√︄
𝑔0𝑅0
𝑔𝑅
=⇒ 1
√
6
=
√︂
𝑔0
36𝑔
=⇒ 𝑔0 = 6𝑔.
A pressão da atmosfera sobre a superfície desse planeta será
𝑝0 =
𝑚𝑔0
𝐴0
�
𝜌𝐴0ℎ𝑔0
𝐴0
= 𝜌𝑔0ℎ = 6𝜌𝑔ℎ.
Sabe-se que 𝑝0𝑉 = 𝑁𝑘B𝑇 , então
𝑝0(𝜌𝑉) = 𝜌𝑁𝑘B𝑇
𝑝0
𝑁
𝑁A
𝑀 = 𝜌𝑁𝑘B𝑇
𝜌 =
𝑝0𝑀
𝑁A𝑘B𝑇
=⇒ (𝑣som)0 =
√︂
𝛾𝑝0
𝜌
,
onde 𝑁A e 𝑘B são as constantes de Avogadro e de Boltzmann, respectivamente. Logo
(𝑣som)0 =
√︁
10𝑔ℎ .
179 Temos que:
334
𝑟
𝑟
(Sup. de Gauss)
(𝜌)
𝑅
(𝑆)
𝑟
®𝑔
Usando a lei de Gauss em 𝑟 ∑︁
𝑆
®𝑔 · Δ ®𝐴 = −4𝜋𝐺𝑀
2𝜋𝑟𝐿𝑔 = 4𝜋𝐺𝜋𝑅2𝐿𝜌
®𝑔 = −2𝜋𝐺𝜌𝑅
2
𝑟
𝑟.
(a) 𝑚®𝑔 = −
𝑚𝑣21
𝑟
𝑟 =⇒ 𝑣1 =
√︃
2𝜋𝑅2𝐺𝜌 .
(b) 𝑣1 =
2𝜋𝑟1
𝑇
=⇒ 𝑟1 =
𝑣1𝑇
2𝜋
=
√︄
𝜌𝐺𝑅2𝑇2
2𝜋
.
180 Temos que:
Δ𝑚𝑖 = 𝜎 Δ𝐴𝑖
Δ𝑚 𝑗 = 𝜎 Δ𝐴 𝑗
𝐴
𝑚
�̂�
𝑟𝑖
𝑟 𝑗
(𝜎)
335
Δ ®𝐹result =
𝐺𝑚Δ𝑚𝑖
𝑟2
𝑖
�̂� −
𝐺𝑚Δ𝑚 𝑗
𝑟2
𝑗
�̂�
= 𝐺𝑚𝜎
©­­­­­­«
Δ𝐴𝑖
𝑟2
𝑖
−
Δ𝐴 𝑗
𝑟2
𝑗︸ ︷︷ ︸
0
ª®®®®®®¬
�̂�
= ®0 =⇒ ®𝐹𝐴 =
∑︁
Δ ®𝐹result = ®0. (QED)
181 Veja:
𝑣 (𝐴)
𝑣
(𝐵)
𝑅
𝐵
𝑣𝐵
𝐴 (𝑣𝐴 = 0)
𝑎 𝑏
Foco
(i)
1
2
𝑚𝑣2 − 𝐺𝑚𝑀
𝑅
= −𝐺𝑚𝑀
𝑎
𝑣2 − 2𝑔𝑅 = −2𝑔𝑅
2
𝑎
=⇒ 𝑎 =
2𝑔𝑅2
2𝑔𝑅 − 𝑣2
(I);
(ii) 
𝑣𝑅 = 𝑣𝐵𝑏
1
2
𝑚𝑣2 − 𝐺𝑚𝑀
𝑅
=
1
2
𝑚𝑣2
𝐵
− 𝐺𝑚𝑀
𝑏
=⇒ 𝑣2 − 2𝑔𝑅 =
𝑣2𝑅2
𝑏2
− 2𝑔𝑅
2
𝑏
(𝑣2 − 2𝑔𝑅)𝑏2 = 𝑣2𝑅2 − 2𝑔𝑅2𝑏
(2𝑔𝑅 − 𝑣2)𝑏2 − 2𝑔𝑅2𝑏 + 𝑣2𝑅2 = 0
𝑏2 − 2𝑔𝑅2
2𝑔𝑅 − 𝑣2
𝑏 + 𝑣2𝑅2
2𝑔𝑅 − 𝑣2
= 0,
resolvendo essa equação, vem
𝑏 =
1
2

2𝑔𝑅2
2𝑔𝑅 − 𝑣2
±
√︄
4𝑔2𝑅4
(2𝑔𝑅 − 𝑣2)2
− 4𝑣2𝑅2
2𝑔𝑅 − 𝑣2

=
𝑔𝑅2
2𝑔𝑅 − 𝑣2
±
√︄
𝑔2𝑅4 − 𝑣2𝑅2(2𝑔𝑅 − 𝑣2)
(2𝑔𝑅 − 𝑣2)2
=
𝑔𝑅2
2𝑔𝑅 − 𝑣2
± 𝑅
√︄
(𝑔𝑅 − 𝑣2)2
(2𝑔𝑅 − 𝑣2)2
.
336
É dito que 𝑣2 > 𝑔𝑅 e 𝑣2 < 2𝑔𝑅. Logo
𝑏 =
𝑔𝑅2
2𝑔𝑅 − 𝑣2
± 𝑅
(
𝑣2 − 𝑔𝑅
2𝑔𝑅 − 𝑣2
)
=
𝑔𝑅2 ± 𝑅𝑣2 ∓ 𝑔𝑅2
2𝑔𝑅 − 𝑣2
=

𝑅𝑣2
2𝑔𝑅 − 𝑣2
𝑅 → Não serve!
𝑏 =
(
𝑣2
2𝑔𝑅 − 𝑣2
)
𝑅 (II).
Finalmente, dividindo (I) por (II)
𝑎
𝑏
=
2𝑔𝑅
𝑣2
.
Sendo 2𝑔𝑅 > 𝑣2, temos
2𝑔𝑅
𝑣2
> 1 =⇒ 𝑎
𝑏
> 1 =⇒ 𝑎 > 𝑏.
Ou seja, (𝐴) terá maior alcance.
182 Alternativa A
Seja 𝑥 � 1, então
(𝑥 + 1)3 + 𝑥2 + 2𝑥 + 1 � 2𝑥 + 1 e (𝑥 + 1)3 � 3𝑥 + 1,
onde 𝑥2 � 0 e 𝑥3 � 0. Usando a 3ª lei de Kepler, vem
𝑇2
𝑟3
=
(𝑇 + Δ𝑇)2
(𝑟 + Δ𝑟)3
= cte =⇒ 1 �
2Δ𝑇/𝑇 + 1
3Δ𝑟/𝑟 + 1 =⇒ Δ𝑇 =
1, 5𝑇Δ𝑟
𝑟
.
183 Alternativa E
É preciso que o momento angular do planeta seja constante, durante o seu movimento
(veja a 1ª lei de Kepler).
184 Alternativa C
A velocidade orbital tem módulo constante e igual a
𝑣 =
√︂
𝐺𝑀
𝑅 + 𝑅 =
√︂
𝑔𝑅2
2𝑅
=
√︂
𝑔𝑅
2
.
Se o plano orbital do satélite gira 𝛼, então, a velocidade dele girará 𝛼, também. Assim, o
impulso valerá
337
®𝑣 + Δ®𝑣 ®𝑣
Δ®𝑣
𝛼
𝐼 = 𝑚Δ𝑣 = 𝑚
√︁
𝑣2 + 𝑣2 − 2𝑣2 cos𝛼 = 2𝑚𝑣 sen
(𝛼
2
)
=⇒ 𝐼 = 𝑚
√︁
2𝑔𝑅 sen
(𝛼
2
)
.
185 No trecho 𝐴𝐵, o tempo gasto pela bolinha deve ser um múltiplo de meio período das
oscilações da mesma na direção perpendicular à 𝐴𝐵. Assim
Δ𝑡𝐴𝐵 =
𝐿
𝑣0 cos𝛼
= 𝑁 · 𝜋
√︂
𝑔
𝑟
=⇒ 𝑁 =
𝐿
𝜋𝑣0 cos𝛼
√︂
𝑟
𝑔
= 1, 2, 3, ... .
186 Alternativa D
Veja os casos:
𝑣
𝑥/ √
2
𝑥/2
𝑥/2
(𝑛 = 4)
𝑣
𝑥/2
𝑥/2
𝑥/2
(𝑛 = 3)
Quando o lançamento é perpendicular à parede, quer dizer que a velocidade da bola
pertence ao plano de reflexão. Assim, para 𝑛 = 3
𝑇3 =
3𝑥/2
𝑣
=
3𝑥
2𝑣
,
e para 𝑛 = 4
𝑇4 =
4𝑥
√
2/2
𝑣
=
2𝑥
√
2
𝑣
.
Disso
𝑇4
𝑇3
=
2𝑥
√
2
𝑣
· 2𝑣
3𝑥
=⇒ 𝑇4
𝑇3
=
4
√
3
3
.
187 (a) Veja a figura a seguir:
𝐵
𝛼𝛼
𝐴
ℎ®𝑔
𝐶
ℎ/s
en
𝛼ℎ/sen
𝛼
338
A força resultante sobre a partícula sempre aponta para 𝐵 e terá módulo constante igual a
𝐹res = 𝑃 sen𝛼 = 𝑚𝑔 sen𝛼, disso, 𝑎res = 𝑔 sen𝛼. Os tempos nos trechos 𝐴→ 𝐵 e 𝐶 → 𝐵
são iguais, cujo valor será
Δ𝑡 =
√︄
2ℎ/sen𝛼
𝑔 sen𝛼
=
1
sen𝛼
√︄
2ℎ
𝑔
,
disso, o período será
𝑇 = 4Δ𝑡 =⇒ 𝑇 =
4
sen𝛼
√︄
2ℎ
𝑔
.
(b) Vimos anteriormente que a força resultante tem magnitude constante e não depende
da distância entre um ponto qualquer do plano duplo a 𝐵. Então, o movimento é apenas
periódico e não oscilatório, pois há uma repetição no movimento da partícula.
188 Alternativa A
Observe:
𝑣0 sen𝛼
𝑣0 cos𝛼𝐴 𝐵
𝑎
𝑔
· · ·
(3𝜌)
Usando a 2ª lei de Newton, 𝑚𝑎 = 𝐸 − 𝑃. Sendo 𝑃 = 𝑚𝑔 = 𝜌𝑉𝑔 e 𝐸 = 3𝜌𝑉𝑔 (𝑉 é o
volume da pedra), temos
𝑎 =
3𝜌𝑉𝑔 − 𝜌𝑉𝑔
𝜌𝑉
= 2𝑔,
com sentido para cima. Então
Δ𝑡𝐴𝐵 =
2𝑣0 sen𝛼
𝑎
=
𝑣0 sen𝛼
𝑔
=⇒ 𝑇 =
𝑣0 sen𝛼
𝑔
.
189 Alternativa B
Nesse caso, Δ𝑡𝐴𝐵 ≠ Δ𝑡𝐵𝐶 . Tomando Δ𝑡𝐴𝐵 = (1/sen𝛼)
√︁
2ℎ/𝑔, o outro tempo de percurso
será Δ𝑡𝐵𝐶 = (1/sen 𝛽)
√︁
2ℎ/𝑔. Assim
𝑇 = 2 (Δ𝑡𝐴𝐵 + Δ𝑡𝐵𝐶) =⇒ 𝑇 = 2
√︄
2ℎ
𝑔
(
1
sen𝛼
+ 1
sen 𝛽
)
.
190 A partícula, em relação à direção radial (normal), tem ângulos de incidência e reflexão
iguais (𝛼) pois as colisões com a parede do cilindro (𝐴 e 𝐵) são elásticas. O trajeto 𝐴𝐵 é
um ramo parabólico superior e 𝐵𝐴, inferior, que têm o mesmo alcance 𝑑 = 2𝑅 cos 𝛽.
339
𝛼
𝛼
𝛼
𝛼
𝐴 𝐵
𝑂
𝛽 − 𝛼 𝛽 − 𝛼
𝑑/2 𝑑/2
®𝑔
𝛽 𝛽
Pela figura acima, temos:
𝑑 =
𝑣20
𝑔
sen(2𝛼 + 2𝛽) =
𝑣20
𝑔
sen(2𝛽 − 2𝛼) =⇒ sen(2𝛽 + 2𝛼) = sen(2𝛽 − 2𝛼).
Desenvolvendo isso, vem
sen(2𝛽 + 2𝛼) = sen(2𝛽 − 2𝛼)
sen(2𝛽) cos(2𝛼) + cos(2𝛽)sen(2𝛼) = sen(2𝛽) cos(2𝛼) − cos(2𝛽)sen(2𝛼)
2 sen(2𝛼) cos(2𝛽) = 0
cos(2𝛽) = cos 𝜋
2
=⇒ 𝛽 =
𝜋
4
.
Assim, o período do movimento será
𝑇 = Δ𝑡𝐴𝐵 + Δ𝑡𝐵𝐴
=
2𝑣0
𝑔
sen
(𝜋
4
+ 𝛼
)
+ 2𝑣0
𝑔
sen
(𝜋
4
− 𝛼
)
=
2𝑣0
𝑔
(
2 sen
𝜋
4
cos𝛼
)
=
2𝑣0
√
2
𝑔
cos𝛼.
Em termos de 𝑔 e 𝑅, vem
𝑅
√
2 =
𝑣20
𝑔
sen
(
2𝛼 + 𝜋
2
)
=
𝑣20𝑔
cos(2𝛼) =⇒ 𝑣0 =
√︄
𝑔𝑅
√
2
cos(2𝛼) ,
portanto
𝑇 =
2
√
2
𝑔
cos𝛼
√︄
𝑔𝑅
√
2
cos(2𝛼) = 2
√︄
2𝑅
√
2 cos2 𝛼
𝑔 cos(2𝛼) = 2
√︄
𝑅
√
2
𝑔
[
1 + 1
cos(2𝛼)
]
.
O menor período acontecerá quando cos(2𝛼) = 1, disso
𝑇mín = 2
√︄
2𝑅
√
2
𝑔
.
340
Solução alternativa: Note que
Δ𝑡𝐴𝐵 =
2𝑣0
𝑔
sen
(𝜋
4
+ 𝛼
)
e Δ𝑡𝐵𝐴 =
2𝑣0
𝑔
sen
(𝜋
4
− 𝛼
)
,
então
Δ𝑡𝐴𝐵Δ𝑡𝐵𝐴 =
2𝑣20
𝑔2
cos(2𝛼) = 2𝑔𝑅
√
2
𝑔2
=
2𝑅
√
2
𝑔
,
assim, usando desigualdade entre as médias aritmética e geométrica, vem
1
2
(Δ𝑡𝐴𝐵 + Δ𝑡𝐵𝐴) ≥
√︁
Δ𝑡𝐴𝐵Δ𝑡𝐵𝐴 =⇒ 𝑇mín = 2
√︄
2𝑅
√
2
𝑔
.
Isso significa que ®𝑣0 na incidência ou reflexão tem direção radial.
191 Alternativa A
Classicamente, é evidente que
1
2
𝑚𝑣20 = 𝐸𝑛 =⇒ 𝑣𝑛 =
𝑛ℎ
2𝑚𝑙
.
Assim
𝑇𝑛 =
2𝑙
𝑣𝑛
=⇒ 𝑇𝑛 =
4𝑚𝑙2
𝑛ℎ
.
192 A força resultante sobre o anel, na direção 𝑡, será
𝑥
𝑦
𝑚
𝑚𝜔2𝑥
𝑚𝑔
𝑡
𝜃
𝜃
90◦ − 𝜃
𝑂
𝐹res = −𝑚𝑔 sen 𝜃 + 𝑚Ω2𝑥 cos 𝜃
� −𝑚𝑔𝜃 + 𝑚Ω2𝑥
� −𝑚𝑔(2𝑘𝑥) + 𝑚Ω2𝑥
� −𝑚
(
2𝑘𝑔 −Ω2
)
𝑥 =⇒ ¥𝑥 +
(
2𝑘𝑔 −Ω2
)
𝑥 = 0.
Assim
𝜔 =
√︃
2𝑘𝑔 −Ω2 .
Note que usamos sen 𝜃 � tg 𝜃 = 2𝑘𝑥.
341
193 Tomando um deslocamento qualquer para 𝑚 e 𝑀 , veja:
𝑦
𝑥
𝜙
𝑀
𝑚
®𝑔
𝑋 + 𝑙 sen 𝜙
𝑙 cos 𝜙
𝑋
Na direção-𝑥, o momento linear do sistema é conservado. Disso
𝑀𝑉 + 𝑚(𝑉 + 𝜔𝑙 cos 𝜙) = 0 =⇒ 𝜔 = −
(
𝑚 + 𝑀
𝑚
)
𝑉
𝑙 cos 𝜙
(I).
A energia mecânica total do sistema também será conservada, então
𝐸 =
1
2
(𝑚 + 𝑀)𝑉2 + 1
2
𝑚𝜔2𝑙2 + 𝑚𝑉𝜔𝑙 cos 𝜙 − 𝑚𝑔𝑙 cos 𝜙
𝑑𝐸
𝑑𝑡
=
(
1 + 𝑀
𝑚
)
𝑉𝐴
𝑙
+ 𝜔𝑙𝛼 + 𝐴𝜔 cos 𝜙 +𝑉𝛼 cos 𝜙 −𝑉𝜔2sen 𝜙 + 𝑔𝜔 sen 𝜙 = 0 (II).
Usando (I) em (II)(
1 + 𝑀
𝑚
)
𝑉𝐴
𝑙
−
(
1 + 𝑀
𝑚
)
𝑉𝛼
cos 𝜙
−
(
1 + 𝑀
𝑚
)
𝑉𝐴
𝑙
+𝑉𝛼 cos 𝜙 −𝑉
(
1 + 𝑀
𝑚
)2
𝑉2
𝑙2 cos2 𝜙
sen 𝜙
− 𝑔
(
1 + 𝑀
𝑚
)
𝑉
𝑙
tg 𝜙 = 0,
ou seja
−
(
1 + 𝑀
𝑚
)
𝛼
cos 𝜙
+ 𝛼 cos 𝜙 −
(
1 + 𝑀
𝑚
)2
𝑉2 sen 𝜙
𝑙2 cos2 𝜙︸ ︷︷ ︸
𝑉�0
−
(
1 + 𝑀
𝑚
)
𝑔
𝑙
tg 𝜙 = 0,
disso
−𝑀
𝑚
𝛼 −
(
1 + 𝑀
𝑚
)
𝑔
𝑙
𝜙 � 0
𝛼 +
(
𝑚 + 𝑀
𝑀
)
𝑔
𝑙
𝜙 = 0 =⇒ 𝜔𝑚 =
√︂
𝑚𝑔
𝜇𝑙
. (QED)
Onde a massa reduzida é dada por 𝜇 = 𝑚𝑀/(𝑚 + 𝑀).
342
194 Observe:
𝑀
𝑋
𝑑𝑋
𝑘, 𝑚, 𝑙®𝑔
0
𝑥
𝑥
⊕
Primeiro, vamos determinar a energia total da mola. A energia cinética dela será
𝑑𝐸cin =
1
2
𝑑𝑚 ¤𝑋2 = 𝑚
2𝑙
𝑑𝑋 ¤𝑋2, 𝑑𝑋
𝑑𝑡
=
𝑑𝑋
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=
𝑋
𝑙
¤𝑥.
Para o elemento da mola
𝑑�̄�cin =
𝑚 ¤𝑥2
2𝑙3
𝑋2𝑑𝑋 =⇒ 𝑚 ¤𝑥2
2𝑙3
∫ 𝑙
0
𝑋2𝑑𝑋 =
1
6
𝑚 ¤𝑥2.
Então
𝐸mola =
1
6
𝑚 ¤𝑥2 + 1
2
𝑘𝑥2.
Naquele instante da figura
𝐸 =
1
2
(
𝑀 + 𝑚
3
)
· 𝑥2 + 1
2
𝑘𝑥2 = cte.
Se esse sistema é conservativo, temos
(
𝑀 + 𝑚
3
)
¥𝑥 + 𝑘𝑥 = 0 =⇒ ¥𝑥 +
(
3𝑘
3𝑀 + 𝑚
)
𝑥 = 0 =⇒ 𝑇 = 2𝜋
√︂
𝑀 + 𝑚/3
𝑘
.
195 (a) Fazendo para o conjunto de molas 1 e 2, os seus comprimentos 𝑙1 e 𝑙2 serão:
2
4
1
3
𝑥
𝑦
𝑂−𝑎 𝑎
𝑙1 𝑙2
𝑚
343
𝑙1 =
√︃
(𝑎 + 𝑥)2 + 𝑦2 = 𝑎
©­­­­«
1 + 2𝑥
𝑎
+ 𝑥
2 + 𝑦2
𝑎2︸ ︷︷ ︸
𝜖
ª®®®®¬
1/2
� 𝑎
[
1 + 1
2
(
2𝑥
𝑎
+ 𝑥
2 + 𝑦2
𝑎2
)
− 1
8
(
2𝑥
𝑎
)2]
= 𝑎 + 𝑥 + 𝑦2
2𝑎
,
onde usamos a aproximação até a 2ª ordem em 𝜖 , dada por (1+ 𝜖)1/2 � 1+ 𝜖
2
− 𝜖
2
8
. Disso,
a energia armazenada da mola 1 será
𝐸pot,1 =
1
2
𝑘 (𝑙1 − 𝑙)2 =
𝑘
2
(
𝑎 − 𝑙 + 𝑥 + 𝑦2
2𝑎
)2
�
1
2
𝑘
[
(𝑎 − 𝑙)2 + 2(𝑎 − 𝑙)𝑥 + 𝑥2 +
(
1 − 𝑙
𝑎
)
𝑦2
]
.
Para a mola 2, o procedimento é análogo, pois basta trocar 𝑥 por −𝑥. Logo, a energia
potencial total do sistema de molas 1 + 2 será
𝐸pot,1+2 = 𝑘
[
(𝑎 − 𝑙)2 + 𝑥2 +
(
1 − 𝑙
𝑎
)
𝑦2
]
= 𝑘𝑥2 + 𝑘
(
1 − 𝑙
𝑎
)
𝑦2.
Agora, para as outras molas 3 e 4, vem de forma análoga
𝐸pot,3+4 = 𝑘𝑦
2 + 𝑘
(
1 − 𝑙
𝑎
)
𝑥2,
portanto, para o sistema como um todo
𝐸pot = 𝑘 (𝑥2 + 𝑦2) + 𝑘
(
1 − 𝑙
𝑎
)
(𝑥2 + 𝑦2)
= 𝑘
(
2𝑎 − 𝑙
𝑎
) (
𝑥2 + 𝑦2
)
. (QED)
(b) Note que 𝐸pot =
1
2
𝑚𝜔2𝑟2, assim
𝜔 =
√︄
2𝑘
𝑚
(
2𝑎 − 𝑙
𝑎
)
. (QED)
196 Alternativa C
Pertubando 𝑞, por 𝑥 � 𝑅, achemos a força resultante sobre ela. Ou seja
344
𝑄
𝑛
𝑡
𝑚, 𝑞0
𝑥
𝑁
𝑚𝑔
𝐹el
𝜙
𝑅
𝜙
90 ◦−
𝜙
𝐹res,𝑥 = 𝑚𝑔 sen(2𝜙) − 𝐹el sen 𝜙
� −
(
𝑘𝑞𝑄
8𝑅3
− 𝑚𝑔
𝑅
)
𝑥 =⇒ 𝑘𝑞𝑄 > 8𝑚𝑔𝑅2 ,
para termos oscilações.
197 Alternativa A
Para um deslocamento angular pequeno 𝜖 , vem:
𝐴 𝐵
0
𝑙/2
𝐶
𝜃𝜃 𝜃 + 𝜖
𝜃 − 𝜖
𝜖
𝑥
𝑇
𝑇
⊕ℎ
345
Assim, temos, (i) usando lei dos senos no triângulo 𝐴𝑂𝐶, vem
𝑥
sen 𝜖
=
𝑙
2 sen(𝜃 − 𝜖)
𝑥
𝜖
�
𝑙
2(sen 𝜃 − 𝜖 cos 𝜃)
2𝑥 sen 𝜃 − 2𝑥𝜖 cos 𝜃 = 𝜖𝑙
2𝑥 sen 𝜃 = 𝜖 (𝑙 + 2𝑥 cos 𝜃)
2𝑥 sen 𝜃 (𝑙 − 2𝑥 cos 𝜃) = 𝜖 (𝑙2 − 4𝑥2 cos2 𝜃) � 𝜖𝑙2
2𝑥𝑙 sen 𝜃 � 𝜖𝑙2 =⇒ 𝜖 =
2 sen 𝜃
𝑙
𝑥 =
4ℎ
𝑙2
𝑥. (I) (0 < 𝜖 � 𝜃)
(ii) A força resultante sobre 𝐶 será
𝐹res = 𝑇 cos(𝜃 + 𝜖) − 𝑇 cos(𝜃 − 𝜖)
� (cos 𝜃 − 𝜀 sen 𝜃 − cos 𝜃 − 𝜀 sen 𝜃)𝑇
= −2𝑇 sen 𝜃 𝜀 = −𝑚𝑔 𝜀. (II)
Usando (I) em (II), vem
¥𝑥 + 4𝑔ℎ
𝑙2
𝑥 = 0 =⇒ 𝑇 = 𝜋
√︄
𝑙2
𝑔ℎ
.
198 Alternativa E
Observe:
𝑃
𝐸
𝜌, 2𝑉
(𝜌0)
®𝑔
Fig. I
𝑃
𝐸′
®𝑔
𝑥
Fig. II
Na situação inicial (figura I), 𝑃 = 𝐸 = 𝜌0𝑉𝑔 (equilíbrio). Na situação da figura II, a força
resultante sobre a esfera será, e portanto, sua frequência dada por
𝐹res = 𝑃 − 𝐸′ � 𝜌0𝑉𝑔 − 𝜌0
(
𝑉 + 𝜋𝑟2𝑥
)
𝑔 = −𝜌0𝜋𝑟2𝑔 𝑥 =⇒ 𝜔 =
√︄
𝜌0𝜋𝑅2𝑔
2𝜌𝑉
.
Mas, 𝐸 = 𝑃 =⇒ 𝜌0𝑉𝑔 = 2𝜌𝑉𝑔 =⇒ 𝜌0 = 2𝜌. Assim
𝜔 =
√︂
𝜋𝑟2𝑔
𝑉
=
√︂
3𝜋𝑟2𝑔
2𝜋𝑟3
=⇒ 𝜔 =
√︂
3𝑔
2𝑟
.
346
199 Alternativa E
Veja as colisões:
𝑘
𝑚 𝑚
®𝑣
𝑚 𝑚
®𝑣 −®𝑣
CM
(®𝑣CM = ®0)
(1ª colisão)
𝑇
4
𝑚 𝑚
CM
(®𝑣CM = ®0)
𝑇
4
𝑚 𝑚
CM
−®𝑣 −®𝑣
−®𝑣
(2ª colisão)
Sistema rígido
Serão duas colisões, conforme mostra a figura acima. O tempo para uma oscilação
completa do sistema será
𝑇 ′ =
𝑇
4
+ 𝑇
4
=
𝑇
2
= 𝜋
√︂
𝑚2
2𝑚𝑘
=⇒ 𝑇 ′ = 𝜋
√︂
𝑚
2𝑘
.
200 Alternativa E
Para que a caixa perca contato com solo é preciso que
𝑘
𝑚𝑔
𝐹el
𝜔
2
𝐴
𝑀𝑔
𝐹el
{
𝐹el > 𝑀𝑔
𝑚𝜔2𝐴 = 𝑚𝑔 + 𝐹el
,
ou seja
𝐴 >
(𝑚 + 𝑀)𝑔
𝑘
=⇒ 𝐴mín =
(1 + 5) · 10
10
=⇒ 𝐴mín = 6 cm .
347
201 Alternativa A
Veja:
ℎ = 0 (Ref.)
𝐶
𝑚𝑔
®𝑁 = ®0
®𝑔
𝐴 + 𝑔
𝜔2
Δℎmín
®𝑣 = ®0
®𝑣0
A altura da plataforma para que 𝐶 perca contato com essa será
𝑚𝑔 = 𝑚𝜔2(ℎ1 − 𝐴) =⇒ ℎ1 = 𝐴 + 𝑔
𝜔2
.
Da posição ℎ = ℎ1, C possui uma velocidade de fuga 𝑣0 dada por
𝑣20 = 𝜔
2 [
𝐴2 − (ℎ1 − 𝐴)2
]
= 𝜔2𝐴 − 𝑔2
𝜔2
=⇒ Δℎmáx =
𝑣20
2𝑔
=
𝜔2𝐴2
2𝑔
− 𝑔
2𝜔2
.
Finalmente
ℎmáx = ℎ1 + Δℎmáx = 𝐴 + 𝑔
2𝜔2
+ 𝜔
2𝐴2
2𝑔
.
202 Alternativa B
Na configuração da figura e usando a 2a lei de Newton, temos
𝑚𝑎 = −𝑘𝑥 + 𝐺𝑚𝑀
(𝑙 − 𝑥)2
=⇒ 𝑎 � − 𝑘
𝑚
𝑥 + 𝐺𝑀
𝑙2
(
1 + 2𝑥
𝑙
)
,
com posição de equilíbrio em 𝑥 = 𝑥0 tal que
0 = − 𝑘
𝑚
𝑥0 +
𝐺𝑀
𝑙2
(
1 + 2𝑥0
𝑙
)
.
Tomando posições 𝑥′ = 𝑥 − 𝑥0 em torno dessa posição, vem
𝑎′ = − 𝑘
𝑚
(𝑥′ + 𝑥0) +
𝐺𝑀
𝑙2
[
1 + 2
𝑙
(𝑥′ + 𝑥0)
]
= −
(
𝑘
𝑚
− 2𝐺𝑀
𝑙3
)
𝑥′ = −𝜔2𝑥′,
uma vez que 𝑘/𝑚 > 2𝐺𝑀/𝑙3. Assim
𝜔 =
√︂
𝑘
𝑚
− 2𝐺𝑀
𝑙3
.
348
203 A carga imagem será −𝑞. Veja:
(𝑉 = 0)
𝑚, 𝑞
−𝑞
ℎ
ℎ
(ℎ � 𝑅)
Carga-imagem
Suponha que a carga-objeto esteja 𝑥 da superfície da esfera. Então, a força elétrica entre
as cargas será
𝐹el = 𝑘0
𝑞2
(2𝑥)2
=
𝑘0𝑞
2/4
𝑥2
=
𝑘0𝑞
2
4
= 𝐺𝑚𝑀 =⇒ 𝐺𝑀 =
𝑘0𝑞
2
4𝑚
.
Omovimento da carga-objeto pode ser tratado como de um planeta de massa 𝑚 orbitando
o Sol (𝑀), por exemplo. Logo
𝑇2
𝑎3
=
4𝜋2
𝐺𝑀
(3ª lei de Kepler) =⇒
(2Δ𝑡queda)2(
0 + ℎ
2
)3 =
4𝜋2
𝑘0𝑞
2
4𝑚
=
𝜋2𝑚
2𝑘0𝑞2
=⇒ Δ𝑡queda =
√︄
ℎ3𝜋2𝑚
2𝑘0𝑞2
.
204 Veja:
𝑘®𝑔
𝑋
0
𝑙
𝑙0
𝑥
349
(𝐴)
𝑥
𝑙 − 𝑥
(𝐵)
𝑣0
𝑙0 +
𝑚𝑔
𝑘
0
𝑙
𝑙0
𝑥
(a) Para o equilíbrio do corpo superior, vem
𝑚𝑔 = 𝑘 (𝑙0 − 𝑙) =⇒ 𝑙0 = 𝑙 +
𝑚𝑔
𝑘
.
(b) Usando a 2ª lei de Newton, no corpo superior, temos
𝑚 ¥𝑥 = −𝑚𝑔 + 𝑘𝑥 (𝑥 → 𝑥eq − 𝑋)
𝑚 ¥𝑥 = −𝑚𝑔 + 𝑘 (𝑥eq − 𝑋)
𝑚 ¥𝑋 = −𝑚𝑔 + 𝑘𝑥eq︸ ︷︷ ︸
0
−𝑘𝑋
¥𝑋 + 𝑘
𝑚
𝑋 = 0 (QED) =⇒ 𝑇 = 2𝜋
√︂
𝑘𝑚
.
(c) Para uma amplitude de oscilação menor que 2𝑥eq, a massa inferior não perde contato
com o solo. Disso
𝑥0 ≤ 2𝑥eq =⇒ (𝑥0)máx =
2𝑚𝑔
𝑘
.
(d) O corpo superior perderá contato quando a mola ter uma deformação superior a𝑚𝑔/𝑘 .
Conservando a energia do sistema entre 𝐴 e 𝐵, vem
𝑚𝑔(𝑙 − 𝑥) + 1
2
𝑘 [𝑙0 − (𝑙 − 𝑥)]2 = 1
2
𝑚𝑣20 +
1
2
𝑘
(𝑚𝑔
𝑘
)2
+ 𝑚𝑔
(
𝑙0 +
𝑚𝑔
𝑘
)
𝑚𝑔𝑙 − 𝑚𝑔𝑥 + 𝑘
2
(
𝑚2𝑔2
𝑘2
+ 𝑥2 + 2𝑚𝑔
𝑘
𝑥
)
=
1
2
𝑚𝑣20 +
𝑚2𝑔2
2𝑘
+ 𝑚𝑔𝑙 + 2𝑚
2𝑔2
𝑘
𝑚𝑔2
𝑘
+ 𝑘𝑥
2
𝑚
= 𝑣20 +
𝑚𝑔2
𝑘
+ 4𝑚𝑔
2
𝑘
𝑣0 =
√︂
𝑘𝑥2
𝑚
− 4𝑚𝑔
2
𝑘
,
350
logo
(𝑥CM)máx =
1
2𝑔
(𝑣0
2
)2
=
1
8𝑔
(
𝑘𝑥2
𝑚
− 4𝑚𝑔
2
𝑘
)
=⇒ (𝑥CM)máx =
𝑘2𝑥2 − 4𝑚2𝑔2
8𝑚𝑔𝑘
.
(e) Será igual a
𝑇CM = 2𝜋
√︂
𝜇
𝑘
=⇒ 𝑇CM = 2𝜋
√︂
𝑚
2𝑘
.
205 Colocando o sistema de coordenadas 𝑂𝑟𝑧, veja:
𝑂
𝑧
𝑀 (0, 𝑧)
𝑟
𝑟
𝑚
(𝑟, 0)
®𝑔
ℎ
(a) A tração, no fio, que terá módulo igual a 𝑇0 = 𝑀𝑔, funcionará como resultante
centrípeta na partícula, disso
𝑀𝑔 = 𝑚
(𝜔𝑟0)2
𝑟0
=⇒ 𝑟0 =
𝑀𝑔
𝑚𝜔2
.
(b) A energia mecânica total do sistema na configuração anterior será
𝐸 =
1
2
𝑀𝑉2 − 𝑀𝑔𝑧︸ ︷︷ ︸
𝑀
+ 1
2
𝑚
(
𝑣2𝑟 +
𝜔20𝑟
4
0
𝑟2
)
︸ ︷︷ ︸
𝑚
= cte,
Portanto
1
2
(𝑚 + 𝑀) 𝑑
𝑑𝑡
(𝑣2𝑟 ) +
𝑚𝜔20𝑟
4
0
2
𝑑
𝑑𝑡
(𝑟−2) − 𝑀𝑔(−𝑣𝑟) = 0
(𝑚 + 𝑀)𝑎𝑟 −
𝑚𝜔20𝑟
4
0
(𝑟0 + Δ𝑟)3
+ 𝑀𝑔 = 0
(𝑚 + 𝑀)𝑎𝑟 − 𝑚𝜔20𝑟0
(
1 − 3Δ𝑟
𝑟0
)
+ 𝑀𝑔 � 0
(𝑚 + 𝑀)𝑎𝑟 + 3𝑚𝜔20 Δ𝑟 = 0 =⇒ 𝑓 =
𝜔0
2𝜋
√︂
3𝑚
𝑚 + 𝑀 .
351
Como 𝑧 + 𝑟 = cte, é evidente que, 𝑉 = −𝑣𝑟 . (c) Por conservação do momento angular da
partícula girante, vem
𝜔𝑟2 = 𝜔′(𝑙 − ℎ)2 =⇒ 𝜔′ =
( 𝑟
𝑙 − ℎ
)2
𝜔 .
206 A partir do instante em que o disco é posto naquele ambiente, cargas livres gerarão um
campo elétrico dentre desse disco, funcionando como um dipolo elétrico. Externamente,
a força de Lorentz tenderá anular esse efeito via a força magnética, disso, no equilíbrio
daquelas cargas
Δ𝐹el = Δ𝐹mag =⇒
𝑒𝜎
𝜀0
= 𝑒𝑣𝐵 =⇒ 𝜎 = 𝜀0𝑣𝐵.
A corrente elétrica associada a esse movimento antes do equilíbrio estará associada a uma
aceleração, isto é
𝑖 =
Δ
Δ𝑡
(
𝜋𝑟2𝜎
)
= 𝜋𝑟2𝜀0𝐵
Δ𝑣
Δ𝑡
→ 0
onde a força magnética sobre a parte lateral terá magnitude igual
𝐹mag = 𝑖𝐵𝑑 = 𝜋𝑟2𝜀0𝐵
2𝑑 ¥𝑥.
Assim, pela 2ª lei de Newton(
𝑚 + 𝜋𝑟2𝜀0𝐵2𝑑
)
¥𝑥 = −𝑘𝑥 =⇒ ¥𝑥 + 𝑘
𝑚 + 𝜋𝑟2𝜀0𝐵2𝑑
𝑥 = 0 =⇒ 𝑇 = 2𝜋
√︂
𝑚 + 𝜋𝑟2𝜀0𝐵2𝑑
𝑘
.
207 Alternativa B
Observe:
0
𝑢
𝑣
𝑥
Fig. I
0
𝐹′
m 𝐹m
𝑥 ⊕
𝑥
Fig. II
Analisando a figura I, para algumas colisões elásticas, vem
1ª colisão: 𝑣0 + 𝑢 = 𝑣1 − 𝑢 =⇒ 𝑣1 = 𝑣0 + 2𝑢
2ª colisão: 𝑣2 = 𝑣1 + 2𝑢 = 𝑣0 + 4𝑢
...
𝑁-ésima colisão: 𝑣𝑁 = 𝑣0 + 2𝑁𝑢
ou ainda
Δ𝑣 = 2𝑢 Δ𝑁 (I).
352
Após colidir 𝑁 vezes com a parede, o tempo gasto será
𝑡 =
2(𝑙 − 𝑥)
𝑣
𝑁 =⇒ Δ𝑡 =
2(𝑙 − 𝑥)
𝑣
Δ𝑁 (II).
Dividindo (I) por (II)
Δ𝑣
Δ𝑡
=
( 𝑣
𝑙 − 𝑥
) Δ𝑥
Δ𝑡
=⇒ Δ𝑣
Δ𝑡
(𝑙 − 𝑥) = −𝑣
(
−Δ𝑥
Δ𝑡
)
=⇒ Δ
Δ𝑡
[𝑣(𝑙 − 𝑥)] = 0 =⇒ 𝑣(𝑙 − 𝑥) = cte.
A força média, para 𝑁 colisões, sobre o pistão será
𝐹m = −𝑁Δ𝑝
Δ𝑡
= −𝑁

−2𝑚𝑣0𝑙
𝑙 − 𝑥
𝑁
2(𝑙 − 𝑥)
𝑣
 =
𝑚𝑙2𝑣20
(𝑙 − 𝑥)3
(III).
Analogamente para a figura II, temos
𝐹′
m =
𝑚𝑙2𝑣20
(𝑙 + 𝑥)3
(IV).
Usando a 2ª lei de Newton, no pistão, e (III) e (IV)
−(𝐹m − 𝐹′
m) = 𝑀 ¥𝑥
−
𝑚𝑣20
𝑙
[(
1 − 𝑥
𝑙
)−3
−
(
1 + 𝑥
𝑙
)−3]
= 𝑀 ¥𝑥 (𝑙 � 𝑥)
−
𝑚𝑣20
𝑙
(
1 + 3𝑥
𝑙
− 1 + 3𝑥
𝑙
)
� 𝑀 ¥𝑥
¥𝑥 +
6𝑚𝑣20
𝑀𝑙2
𝑥 = 0, 𝑇 =
2𝑙
𝑣0
=⇒ 𝑓 =
𝑣0
2𝑙
¥𝑥 + 24𝑚 𝑓
2
𝑀
𝑥 = 0 =⇒ 𝑇0 =
𝜋
𝑓
√︂
𝑀
6𝑚
.
208 (a) As forças que atuam na partícula são seu peso𝑚®𝑔 e reação do tubo ®𝑁0. Veja o diagrama
de forças abaixo:
𝑦
𝑥
𝑚𝑔
𝑁0
𝜃0
𝑅cp
353
cotg 𝜃0 =
𝑚𝑔
𝑚𝜔2(𝑟 sen 𝜃0 + 𝑟)
=
𝑔
𝜔2𝑟 (1 + sen 𝜃0)
=⇒ tg 𝜃0 =
𝜔2𝑟
𝑔
(1 + sen 𝜃0) .
(b) Agora, por exemplo, considere que essa partícula seja ligeiramente perturbada de
𝜃 = 𝜃0 tomando a posição 𝜃 = 𝜃0 + Δ𝜃. Nesse instante, a força resultante será
𝑚𝑎 = −𝑚𝑔sen(𝜃0 + Δ𝜃) + 𝑚𝜔2𝑟 [1 + sen(𝜃0 + Δ𝜃)] cos(𝜃0 + Δ𝜃)
𝑎 � −𝑔(sen 𝜃0 + cos 𝜃0Δ𝜃) + 𝜔2𝑟 (1 + sen 𝜃0 + cos 𝜃0Δ𝜃) (cos 𝜃0 − sen 𝜃0Δ𝜃)
= −𝑔(sen 𝜃0 + cos 𝜃0Δ𝜃) + 𝑔 sen 𝜃0 +
𝑔 tg 𝜃0
1 + sen 𝜃0
(cos2 𝜃0 − sen2 𝜃0 − sen 𝜃0)Δ𝜃0
=
𝑔
1 + sen 𝜃0
(− cos 𝜃0 − tg 𝜃0sen2 𝜃0 − tg 𝜃0 sen 𝜃0)Δ𝜃0
= −𝑔
(
cos 𝜃0
1 + sen 𝜃0
+ tg 𝜃0 sen 𝜃0
)
Δ𝑥
𝑟
= −𝑔
𝑟
[
1 + sen3 𝜃0
cos 𝜃0(1 + sen 𝜃0)
]
Δ𝑥 =⇒ 𝑇 = 2𝜋
√︄
𝑟 cos 𝜃0(1 + sen 𝜃0)
𝑔(1 + sen3 𝜃0)
.
𝑥
𝐹cf, 𝑥
𝑃𝑥
𝑟
𝑟
Ponto de tangência
Δ𝜃
Δ𝑥
Ref. do tubo
A partícula, após sofrer uma pequena perturbação em torno de 𝜃 = 𝜃0, executará um
movimento harmônico simples.
209 Veja:
𝑚
𝐴
𝑘
(N.R.)
®𝑣0
®𝑔
𝐵 (Repouso)
𝑚𝑔
𝑘𝑥0
𝑥0
𝑁 = 0
354
(a) Chame 𝑥0 a deformação elástica crítica da mola quando há eminência de decolagem
da massa inferior. Então
𝑘𝑥0 = 𝑚𝑔 =⇒ 𝑥0 =
𝑚𝑔
𝑘
.
Considerando a energia da massa superior entre 𝐴 e 𝐵, temos
1
2
𝑚𝑣20 = 𝑚𝑔𝑥0 +
1
2
𝑘𝑥20 = 𝑚𝑔ℎ0
𝑚𝑔ℎ0 =
𝑚2𝑔2
𝑘
+ 𝑘
2
𝑚2𝑔2
𝑘2
=
3𝑚2𝑔2
2𝑘
=⇒ ℎ0 =
3𝑚𝑔
2𝑘
.
(b) O trecho abaixo corresponde a 3/4 do período das oscilações da massa superior.
Portanto
𝑥0 𝑥0
𝑥0
(Pos. crítica)
Def. máxima da mola
Mola relaxada
Δ𝑡crít =
3𝜋
2
√︂
𝑚
𝑘
.
210 Temos que:
𝑦
𝑂
𝑥
®𝑣0
®𝑣0
𝑟
(1)
𝑟 + 𝑑
(2)
(𝑡 = 0)
As equações paramétricas de (1) e (2) serão 𝑥1 = 𝑥2 = 𝑣0𝑡 e 𝑦1 = 𝑟 cos(𝜔𝑡 + 𝛿) e
𝑦2 = (𝑟 + 𝑑) cos(𝜔𝑡 + 𝛿), com 𝜔 ≠ 0 e 𝛿 sendo constantes.
Como em 𝑡 = 0, 𝑣𝑦 = 0 para qualquer partícula, podemos tomar 𝛿 = 0 sem haver perda
de generalidade. A pulsação 𝜔 não depende da amplitude, caso essa seja muito pequena.
Para 𝑦𝑖 = 0 (𝑖 = 1, 2), 𝑟 cos(𝜔𝑡) = 0 e (𝑟 + 𝑑) cos(𝜔𝑡) = 0, ou seja, 𝑡𝑛 = (𝑛 + 1/2) 𝜋/𝜔,
com 𝑛 = 0, 1, 2, 3, ... . O feixe convergirá para
𝑥𝑛 = 𝑣0𝑡𝑛 = 𝜋𝑣0
√︂
𝑚
𝑘
(
𝑛 + 1
2
)
,
que é comum, obviamente, às partículas. (QED)
355
211 Alternativa A
Observe:
Pos. de eq.
𝑟 = 𝑟0
𝑥
𝑂
(Ref. não-inercial) 𝑘 𝑘 (𝑟 − 𝑙0) 𝑚Ω2𝑟
Pela 2ª lei de Newton
𝑚Ω2𝑟 − 𝑘 (𝑟 − 𝑙0) = 𝑚𝑎,
e no equilíbrio
𝑚Ω2𝑟0 = 𝑘 (𝑟0 − 𝑙0).
Fazendo 𝑟 = 𝑟0 + 𝑥, vem
𝑚Ω2(𝑟0 + 𝑥) − 𝑘 (𝑟0 + 𝑥 − 𝑙0) = 𝑚𝑎′
𝑚Ω2𝑟0 − 𝑘 (𝑟0 − 𝑙0) + 𝑚Ω2𝑥 − 𝑘𝑥 = 𝑚𝑎′,
disso
𝑎′ +
(
𝑘
𝑚
−Ω2
)
𝑥 = 0 =⇒ 𝜔 =
√︂
𝑘
𝑚
−Ω2 ,
com 𝑘/𝑚 > Ω2.
212 Alternativa A
Observe:
𝑅
𝑅 − 𝑥
𝑥
𝛿𝑝𝐴ef
𝑟
𝑂
𝑃
𝑄
356
Do triângulo destacado, 𝑅2 = (𝑅 − 𝑥)2 + 𝑟2 = 𝑅2 − 2𝑥𝑅 + 𝑥2 + 𝑟2 � 𝑅2 − 2𝑥𝑅 + 𝑟2 =⇒
𝑟2 = 2𝑥𝑅 (𝑥 � 𝑅). A força resultante sobre o globo será 𝑚𝑎 = −𝛿𝑝𝐴ef = −𝛿𝑝𝜋𝑟2 =
−2𝛿𝑝𝜋𝑅 𝑥. Assim
Δ𝑡def =
𝑇
2
=⇒ Δ𝑡def = 𝜋
√︂
𝑚
2𝜋𝑅 𝛿𝑝
.
213 (i) Temos:
𝛼
𝛼
−
𝜃𝜃
𝜃
𝑙− 𝑙+
𝑚𝑔
𝑚𝑔
𝜏res = −𝑚𝑔
𝑙+︷ ︸︸ ︷
𝑅 sen(𝛼 + 𝜃) +𝑚𝑔
𝑙−︷ ︸︸ ︷
𝑅 sen(𝛼 − 𝜃)
= −𝑚𝑔𝑅 (sen𝛼 cos 𝜃 + cos𝛼 sen 𝜃 − sen𝛼 cos 𝜃 + cos𝛼 sen 𝜃)
� −2𝑚𝑔𝑅 cos𝛼 𝜃,
mas 𝜏res = 2𝑚𝑅2 ¥𝜃, chegamos à equação de movimento ¥𝜃 + (𝑔 cos𝛼/𝑅) 𝜃 = 0, ou seja
𝜔// =
√︂
𝑔
𝑅2
√︁
𝑅2 − 𝑙2 .
(ii) O sistema oscila como um pêndulo simples cujo comprimento do fio seria
√
𝑅2 − 𝑙2.
Disso
𝜔⊥ =
√︂
𝑔
√
𝑅2 − 𝑙2
.
214 (a) Utilizando a 2ª lei de Newton, em 𝑚, vem
𝑚𝑎 = −𝑚𝑔 cos𝛼 − 𝐹el
−𝑚𝜔2𝑥0 sen(𝜔𝑡) = −𝑚𝑔 cos𝛼 − 𝐹el
𝐹el = −𝑚𝑔 cos𝛼 + 𝑚𝜔2𝑥0 sen(𝜔𝑡) (I),
357
onde 𝐹el é a força elástica resultante das molas. Para o cubo, a reação do plano inclinado,
𝑁 , será
𝑁 = (𝑀 − 𝑚)𝑔 cos𝛼 − 𝐹el (II).
Com (I) e (II)
𝑁 = 𝑀𝑔 cos𝛼 − 𝑚𝜔2𝑥0 sen(𝜔𝑡).
Para que o cubo não tombe, sendo um ponto material, é preciso que 𝑁 > 0, disso
𝑀 >
𝜔2𝑥0𝑚
𝑔 cos𝛼
.
(b) Vendo que a parte harmônica maximiza 𝑁 . Agora, use a 2ª lei de Newton, na direção
do plano, no cubo. Portanto
𝑎′ =
𝜇𝑚𝑥0𝜔
2
𝑀
sen(𝜔𝑡)
𝑣′ =
𝜇𝑚𝑥0𝜔
𝑀
[1 − cos(𝜔𝑡)]
𝑣m =
𝜔
2𝜋
∫ 2𝜋/𝜔
0
𝑣′𝑑𝑡 =⇒ 𝑣m =
𝑚 tg𝛼 𝑥0𝜔
𝑀
.
215 Alternativa EObserve:
0 (Ref.)𝑥
𝑚, +𝑞 𝐹el𝜙
𝑚,−𝑞𝐹el𝜙
CM
𝑑/2
𝑑/2
𝑑/2
𝜙
De acordo com a figura, temos
𝑚 ¥𝑥 � −𝐹el𝜙
� −2𝑘0𝑞
2
𝑑3
𝑥 =⇒ 𝜔 =
√︂
2𝑘0𝑞2
𝑚𝑑3
.
358
Para uma carga
𝑃L =
2𝑘0𝑞2𝜔4
3𝑐3
𝑥2 = 𝛼 𝑥2
(𝑃L)m = 𝛼(𝑥2)m
Δ𝐸
𝑇
= 𝛼
(
𝑙
2
)2 1
2
1 +
0︷ ︸︸ ︷
(cos 2𝜑)m
 =
𝛼𝑙2
8
Δ𝐸 =
𝜋𝛼𝑙2
4𝜔
=
𝜋𝑘0𝑙
2𝑞2𝜔3
6𝑐3
=⇒ Δ𝐸
𝐸
=
4𝜋𝑘0𝑞2𝜔
3𝑚𝑐3
.
216 Alternativa A
Lembrando que a frequência é 𝑓 = 𝑛/Δ𝑡, onde 𝑛 é o número de repetições no intervalo de
tempo Δ𝑡, temos:
(i) Para (a) e (f), 𝑛𝑥 = 𝑚 e 𝑛𝑦 = 𝑚, 𝑚 = 1, 2, 3, ... , disso, 𝑓𝑥 = 𝑓𝑦 = 300 Hz.
(ii) Para (b), 𝑛𝑥 = 2𝑚 e 𝑛𝑦 = 3𝑚, então, 𝑓𝑥/ 𝑓𝑦 = 2/3 =⇒ 𝑓𝑦 = 450 Hz.
(iii) Para (c), 𝑛𝑥 = 2𝑚 e 𝑛𝑦 = 4𝑚, então, 𝑓𝑥/ 𝑓𝑦 = 1/2 =⇒ 𝑓𝑦 = 600 Hz.
(iv) Para (d), 𝑛𝑥 = 4𝑚 e 𝑛𝑦 = 2𝑚, então, 𝑓𝑥/ 𝑓𝑦 = 2 =⇒ 𝑓𝑦 = 150 Hz.
(v) Para (e), 𝑛𝑥 = 3𝑚 e 𝑓𝑦 = 2𝑚, então, 𝑓𝑥/ 𝑓𝑦 = 3/2 =⇒ 𝑓𝑦 = 200 Hz.
Logo, a associação correta será aIII, bII, cI, dIV, eVI e fIII.
217 As equações serão 𝑥 = 𝐴𝑥 cos(𝜔𝑥𝑡) e 𝑦 = 𝐴𝑦 cos
(
𝜔𝑦𝑡 − 𝛿
)
, onde 𝛿 é a diferença de fase
entre os movimentos em 𝑥 e 𝑦.
𝑦
0
𝑥
®𝑟
(𝑥, 𝑦)
𝜔𝑥
𝜔𝑦
Tomemos 𝜔𝑥 = 2𝜋𝑝/𝜏 e 𝜔𝑦 = 2𝜋𝑞/𝜏, com 𝑝 e 𝑞 inteiros. Para 𝑥
𝑥(𝑡 + 𝜏) = 𝐴𝑥 cos [𝜔𝑥 (𝑡 + 𝜏)]
= 𝐴𝑥 cos(𝜔𝑥𝑡 + 𝜔𝑥𝜏)
= 𝐴𝑥 cos(𝜔𝑥𝑡 + 2𝜋𝑝)
= 𝐴𝑥 cos(𝜔𝑥𝑡) cos(2𝜋𝑝)︸ ︷︷ ︸
1
−𝐴𝑥sen(𝜔𝑥𝑡) sen(2𝜋𝑝)︸ ︷︷ ︸
0
𝑥(𝑡 + 𝜏) = 𝐴𝑥 cos(𝜔𝑥𝑡) = 𝑥(𝑡).
359
Analogamente, para 𝑦, 𝑦(𝑡 + 𝜏) = 𝑦(𝑡), para todo 𝑞 inteiro. (QED)
Se 𝑝 = 𝑞, as frequências serão iguais (𝜔𝑥 = 𝜔𝑦 = 𝜔), disso, 𝑥 = 𝐴𝑥 cos(𝜔𝑡) e 𝑦 =
𝐴𝑦 cos(𝜔𝑡 − 𝛿). Ou ainda
𝑦 = 𝐴𝑦 cos(𝜔𝑡) cos 𝛿 + 𝐴𝑦sen(𝜔𝑡) sen 𝛿
= 𝐴𝑦 cos 𝛿
𝑥
𝐴𝑥
+ 𝐴𝑦 sen 𝛿
√︄
1 − 𝑥2
𝐴2𝑥
𝑦 −
𝐴𝑦 cos 𝛿
𝐴𝑥
𝑥 = 𝐴𝑦sen 𝛿
√︄
1 − 𝑥2
𝐴2𝑥
𝑦2 +
𝐴2𝑦 cos2 𝛿
𝐴2𝑥
𝑥2 −
2𝐴𝑦 cos 𝛿
𝐴𝑥
𝑥𝑦 = 𝐴2𝑦 sen2𝛿
(
1 − 𝑥2
𝐴2𝑥
)
= 𝐴2𝑦 sen2𝛿 −
𝐴2𝑦 sen2𝛿
𝐴2𝑥
𝑥2
𝑦2 +
𝐴2𝑦
𝐴2𝑥
𝑥2 −
2𝐴𝑦 cos 𝛿
𝐴𝑥
𝑥𝑦 = 𝐴2𝑦sen2𝛿,
que é uma elipse rotacionada.
218 Temos que, {
𝑥 = 𝐴 cos(𝜔𝑥𝑡)
𝑦 = 𝐵 cos
(
𝜔𝑦𝑡 − 𝛿
) (𝐴, 𝐵 ≠ 0).
As funções 𝑥(𝑡) e 𝑦(𝑡) são limitadas, ou seja, quando cos(𝜔𝑥𝑡) = ±1, 𝑥 = ±𝐴, e
cos
(
𝜔𝑦𝑡 − 𝛿
)
= ±1, 𝑦 = ±𝐵. A grandeza 𝛿 diz sobre a diferença de fase nas oscila-
ções em 𝑥 e 𝑦.
𝑥
𝑦
−𝐵
𝐵
𝐴−𝐴
Disso, as curvas 𝑦 = 𝑦(𝑥) estarão contidas no retângulo de lados 2𝐴 e 2𝐵, acima. (QED)
As frequências serão 𝜔𝑥 = 2𝜋𝑝/𝜏 e 𝜔𝑦 = 2𝜋𝑞/𝜏, sendo 𝑝 e 𝑞 ≠ 0 números reais. Assim
𝜔𝑥
𝜔𝑦
=
2𝜋𝑝/𝜏
2𝜋𝑞/𝜏 =⇒ 𝜔𝑥
𝜔𝑦
=
𝑝
𝑞
.
219 Observe:
360
0 𝑥1 𝑥2
𝑥
®𝐹el,2®𝐹el,1
1 2𝑘
Em 1 e 2, as tensões têm sentidos opostos. A força na mola será
𝐹el = 𝐹el,2 − 𝐹el,1
= 𝑘𝑥2 − 𝑘𝑥1 =⇒ 𝐹el = 𝑘 [𝐴2 cos(𝜔𝑡 + 𝜙2) − 𝐴1 cos(𝜔𝑡 + 𝜙1)] .
E a energia média será
𝐸pot =
1
2
𝑘 (𝑥2 − 𝑥1)2
=
𝑘
2
[
𝐴21 cos
2(𝜔𝑡 + 𝜙1) + 𝐴22 cos
2(𝜔𝑡 + 𝜙2) − 2𝐴1𝐴2 cos(𝜔𝑡 + 𝜙1) cos(𝜔𝑡 + 𝜙2)
]
�̄�pot =
𝑘
2
[
𝐴21
2
+
𝐴22
2
− 𝐴1𝐴2 cos(𝜙2 − 𝜙1)
]
=
𝑘
4
[
𝐴21 + 𝐴
2
2 − 2𝐴1𝐴2 cos(𝜙2 − 𝜙1)
]
.
220 Chame 𝜔2𝑡 = 𝑥 − 𝑦 e 𝜔1𝑡 = 𝑥 + 𝑦, então
𝑥 =
1
2
(𝜔1 + 𝜔2)𝑡 e 𝑦 =
1
2
(𝜔1 − 𝜔2)𝑡.
Portanto
𝑇 = 𝑘𝐴 [cos(𝜔2𝑡) − cos(𝜔1𝑡)]
= 2𝑘𝐴 sen
[
1
2
(𝜔1 + 𝜔2)𝑡
]
sen
[
1
2
(𝜔1 − 𝜔2)𝑡
]
.
221 Alternativa E
Observe:
𝑙 𝑙
𝑘 (𝑥1 − 𝑥2)
𝑚𝑔
𝑥1
𝑙
𝑘 (𝑥1 − 𝑥2)
𝑚𝑔
𝑥2
𝑙
1 2
𝑥1 𝑥2
As equações de movimento para as massas pendulares serão
𝑚𝑎1 � −𝑘 (𝑥1 − 𝑥2) −
𝑚𝑔
𝑙
𝑥1 e 𝑚𝑎2 � −𝑚𝑔
𝑙
𝑥2 + 𝑘 (𝑥1 − 𝑥2).
361
Note que 𝑥1 + 𝑥2 = 2𝑏 cos(𝜔0𝑡 + 𝜑) e 𝑥1 − 𝑥2 = 2𝑎 cos𝜔𝑡, ou seja, oscilam, indepen-
dentemente, entre si, de formas harmônicas e simples, então, 𝑎1 + 𝑎2 = −𝜔20(𝑥1 + 𝑥2) e
𝑎1 − 𝑎2 = −𝜔2(𝑥1 − 𝑥2). Então
𝑎1 − 𝑎2 = −2𝑘
𝑚
(𝑥1 − 𝑥2) −
𝑔
𝑙
(𝑥1 − 𝑥2)
= −𝜔2(𝑥1 − 𝑥2) =⇒ 𝜔2 =
2𝑘
𝑚
+ 𝑔
𝑙
e
𝑎1 + 𝑎2 = −𝑔
𝑙
(𝑥1 + 𝑥2)
= −𝜔20(𝑥1 + 𝑥2) =⇒ 𝜔20 =
𝑔
𝑙
.
Logo,
𝜔2 − 𝜔20 =
2𝑘
𝑚
=⇒ 𝑘 =
𝑚
2
(
𝜔2 − 𝜔20
)
.
222 Alternativa D
Seguem as situações a considerar:
Fig. I
®𝑣0
®𝑔
𝑀 𝑚
Fig. II
®𝑣1 ®𝑢1
𝑀
®𝑔
𝑚
Fig. III
®𝑔
Fig. IV
−®𝑣1 −®𝑢1
Como𝑀 > 𝑚, a partícula commenormassa atingirá uma alturamaior, pois sua velocidade
após o 1º choque é maior. As duas massas voltarão a colidir sobre a reta tracejada, pois o
sistema pendular é conservativo. Assim
Δ𝑡12 = 2 ·
𝑇
4
= 𝜋
√︄
𝑙
𝑔
.
223 Alternativa C
Sendo 𝑥 = 𝐴 cos(𝜔𝑡 + 𝛿), com 𝜔 =
√︁
𝑔/𝑙, vem:
(i) Para 𝑡 = 0, 𝑥 = 𝐴, ou seja, cos 𝛿 = 1. Disso
𝑥 = 𝐴 [cos(𝜔𝑡) cos 𝛿 − sen(𝜔𝑡) sen 𝛿] = 𝐴 cos(𝜔𝑡).
(ii) Para 𝑡 = 𝑡1, 𝑥 = −𝐴/2, em outras palavras,
𝜔𝑡1 =
2𝜋
3
=⇒ 𝑡1 =
2𝜋
3
√︄
𝑙
𝑔
.
362
𝐴
𝑥
−𝐴
𝑡 = 𝑡1
𝐴
2𝜋/3 = 𝜔𝑡1
𝐴/2
𝑡 = 0
𝑡 = 2𝑡1
O período será
𝑇 = 2𝑡1 =⇒ 𝑇 =
4𝜋
3
√︄
𝑙
𝑔
.
224 Alternativa B
Observe:
𝐶
𝐵
𝐴
CM
𝑥
𝑙 − 𝑥
®𝑔
O trecho 𝐴𝐵 continua vertical se 𝐵 não sofre força resultante horizontal, e o CMdo sistema
não se move nessa direção. Como as oscilações são muito pequenas, CM funciona para
𝐵 e 𝐶 como centro de oscilação. Para CM
𝑀𝑥 = 𝑚(𝑙 − 𝑥) =⇒ 𝑥 =
𝑚𝑙
𝑀 + 𝑚,
com 𝑙 = 𝐵𝐶. Assim
𝑇 = 2𝜋
√︄
𝑚𝑙
𝑔(𝑚 + 𝑀) =⇒ 𝑇2
4𝜋2
=
𝑚𝑙
𝑔(𝑚 + 𝑀) =⇒ 𝑙 =
𝑔𝑇2
4𝜋2
(
1 + 𝑀
𝑚
)
.
363
225 Alternativa C
Temos que:
𝑙1
𝑙2
𝑎
𝑚®𝑔
𝐴
𝐵
𝛼
𝛽
ℎ
90◦ − 𝛼
𝑃
𝑂
A oscilação deve ocorrer em torno de 𝑂, então
𝑇 = 2𝜋
√︄
ℎ
𝑔 cos(90◦ − 𝛼) = 2𝜋
√︄
ℎ
𝑔 sen𝛼
.
Na figura
sen 𝛽 =
ℎ
𝑙1
=
𝑙2√︃
𝑙21 + 𝑙
2
2
=⇒ ℎ =
𝑙1𝑙2√
𝑎2 + 𝑏2
,
e sendo tg𝛼 = 𝑎/𝑏, temos, ℎ = 𝑙1𝑙2 sen𝛼/𝑎. Assim
𝑇 = 2𝜋
√︄
𝑙1𝑙2 sen𝛼/𝑎
𝑔 sen𝛼
=⇒ 𝑇 = 2𝜋
√︄
𝑙1𝑙2
𝑎𝑔
.
226 Antes da 1ª colisão, cadamassa se aproximada outra comvelocidade 𝑣0 = 𝜔𝐴 sen(𝜔𝛿𝑡0) �
𝜔2𝐴 𝛿𝑡0 (𝛿𝑡0 → 0). Com a definição de coeficiente de restituição, para a enésima colisão,
temos, 𝑒 = 𝑣𝑛/𝑣𝑛−1 =⇒ 𝑣𝑛 = 𝑒
𝑛𝑣0 (𝑛 = 1, 2, 3, ...). Note que 𝑣𝑛 ∝ 𝛿𝑡0, então, 𝛿𝑡𝑛 = 𝑒𝑛𝛿𝑡0.
Sendo esses intervalos pequenos, é difícil perceber diferenças de tempo entre colisões
consecutivas. Isso significa que os instantes de colisão são variáveis contínuas. Até a
enésima oscilação, o tempo de oscilação foi
𝑡𝑛 = 𝛿𝑡0 + 𝛿𝑡1 + ... + 𝛿𝑡𝑛−1
=
(
1 + 𝑒 + 𝑒2 + ... + 𝑒𝑛−1
)
𝛿𝑡0 =
(
1 − 𝑒𝑛
1 − 𝑒
)
𝛿𝑡0
𝛿𝑡𝑛 = 𝛿𝑡0 − (1 − 𝑒)𝑡𝑛.
Para o contexto contínuo, 𝛿𝑡 = 𝛿𝑡0 − (1 − 𝑒)𝑡, portanto
𝑓 (𝑡) = 1
𝛿𝑡
=
1
𝛿𝑡0 − (1 − 𝑒)𝑡 .
364
227 Sendo a haste rígida, ao perturbar uma das massas por 𝑥 � 𝑙1, 𝑙2, a outra também será
deslocada por 𝑥:
𝑙1
𝑚
𝑙2
𝑚
𝑥
𝑥
®𝑔
A energia potencial gravitacional do sistema, com respeito às posições iniciais das massas,
será
𝐸pot = 𝑚𝑔ℎ1 + 𝑚𝑔ℎ2
= 𝑚𝑔(ℎ1 + ℎ2) = 𝑚𝑔
𝑙1 − 𝑙1
(
1 − 𝑥
2
𝑙21
)1/2
+ 𝑙2 − 𝑙2
(
1 − 𝑥
2
𝑙22
)1/2
�
1
2
𝑚𝑔
(
1
𝑙1
+ 1
𝑙2
)
𝑥2 =
1
2
𝑘𝑥2 =⇒ 𝑘 =
(
1
𝑙1
+ 1
𝑙2
)
𝑚𝑔.
A massa oscilante é 𝑚sist = 𝑚 + 𝑚 = 2𝑚 e não 𝜇sist = 𝑚/2, pois, não há movimento
relativo ao longo das perturbações. Finalmente
𝑇 = 2𝜋
√︄
2𝑚
𝑚𝑔 (1/𝑙1 + 1/𝑙2)
=⇒ 𝑇 = 2𝜋
√︄
2𝑙𝑙 𝑙2
𝑔(𝑙1 + 𝑙2)
.
228 Alternativa A
Vamos dividir esse cone em duas partes: a imersa, com volume 𝑉2 (tronco de cone de
altura 𝑥 e raios 𝑟1 e 𝑟 > 𝑟1) e uma não-imersa, de volume 𝑉1 (cone menor de raio 𝑟1),
tal que 𝑉1 + 𝑉2 = 𝜋𝑟2ℎ/3. Considere que 𝐺 e 𝐻 sejam, respectivamente, os centros de
gravidade e de flutuação desse corpo. Os pontos 𝑀 e 𝐴 são o metacentro e o centro da
base do cone, respectivamente. Para o equilíbrio translacional, 𝑃 = 𝑃1 + 𝑃2 = 𝐸 =⇒
𝜌(𝑉1 +𝑉2)𝑔 = 𝜌0𝑉2𝑔 (princípio de Arquimedes). E para o equilíbrio rotacional, em torno
de 𝐴, vem
Superfície
do líquido
𝑀
𝐺
𝐻
𝑥
𝐴′
𝐴 𝑟
ℎ
𝑟1
365
𝐸 · 𝐴𝐺 = 𝑃1 ·
(
𝑥 + ℎ − 𝑥
4
)
+ 𝑃2 · 𝐴𝐻
ℎ
4
(𝑉1 +𝑉2) =
𝑉1
4
(3𝑥 + ℎ) +𝑉2 · 𝐴𝐻
𝐴𝐻 =
ℎ
4
− 3𝑉1
4𝑉2
𝑥
𝐴𝐺 − 𝐴𝐻 =
3𝑉1
4𝑉2
𝑥 = 𝐺𝐻.
A condição paraequilíbrio estável é esta: 𝑀𝐻 > 𝐺𝐻, onde 𝑀𝐻 = 𝐴𝑘2/𝑉2 (nesse caso,
𝐴 = 𝜋𝑟21 e 𝑘 = 𝑟1/2), com 𝑘 sendo o raio de giro e 𝐴 a área da seção reta de flutuação que
passa pelo centróide 𝐴′. Então
𝜋𝑟21 · (𝑟1/2)
2
𝑉2
>
3𝑉1
4𝑉2
𝑥 =⇒ 𝑥(ℎ − 𝑥) < 𝑟21 =⇒
ℎ2
ℎ2 + 𝑟2
<
ℎ − 𝑥
𝑥
.
Voltando à 𝑃 = 𝐸 , temos ainda
𝜌0𝑉2𝑔 = 𝜌(𝑉1 +𝑉2)𝑔 =⇒ (𝜌0 − 𝜌) (𝑉1 +𝑉2) = 𝜌0𝑉1,
finalmente
𝜌0 − 𝜌
𝜌0
=
𝑉1
𝑉1 +𝑉2
=
(
ℎ − 𝑥
ℎ
)3
=⇒ 𝜌
𝜌0
<
7ℎ6 + 𝑟6 + 6ℎ2𝑟2
(
2ℎ2 + 𝑟2
)
8ℎ6 + 𝑟6 + 6ℎ2𝑟2
(
2ℎ2 + 𝑟2
) .
229 Identificando todas as forças, temos:
𝑧
𝐶
𝑃𝐵
𝐸𝐵
𝑇𝐵𝐶
𝑇𝐴𝐵
𝐹cp,𝐵 𝐵
3𝑟𝐴
𝑟𝐴
𝑃𝐴
𝐸𝐴
𝐹cp,𝐴 𝑇𝐴𝐵
𝐴
𝛼
®𝑔
366
Usando a 2ª lei de Newton, no instante da figura, nas bolinhas, temos:
(𝜌 − 𝜌𝐴)𝑉𝐴𝜔2𝑟𝐴 = 𝑇𝐴𝐵 sen𝛼
(𝜌 − 𝜌𝐴)𝑉𝐴𝑔 = 𝑇𝐴𝐵 cos𝛼
3(𝜌𝐵 − 𝜌)𝑉𝐵𝜔2𝑟𝐴 = 𝑇𝐴𝐵 sen𝛼 + 𝑇𝐵𝐶 cos𝛼
(𝜌𝐵 − 𝜌)𝑉𝐵𝑔 = 𝑇𝐴𝐵 cos𝛼 − 𝑇𝐵𝐶 sen𝛼
Usando as equações de 𝐵, vem
3𝜔2𝑟𝐴
𝑔
=
𝑇𝐴𝐵 sen𝛼 + 𝑇𝐵𝐶 cos𝛼
𝑇𝐴𝐵 cos𝛼 − 𝑇𝐵𝐶 sen𝛼
,
mas, 𝜔2𝑟𝐴/𝑔 = tg𝛼, portanto
3 tg𝛼 =
𝑇𝐴𝐵 sen𝛼 + 𝑇𝐵𝐶 cos𝛼
𝑇𝐴𝐵 cos𝛼 − 𝑇𝐵𝐶 sen𝛼
=⇒ 𝑇𝐴𝐵
𝑇𝐵𝐶
=
19
8
.
230 Alternativa A
As forças atuantes na tampa serão𝑃 = 𝑚𝑔 (peso da tampa), 𝐹inf = [𝑝atm + 𝜌𝑔(𝑥 + ℎ)] 𝜋(𝑅2−
𝑟2) e 𝐹sup = (𝑝atm + 𝜌𝑔ℎ)𝜋𝑅2, como ilustradas na figura. Para o equilíbrio da mesma,
sem ascensão, 𝐹sup + 𝑚𝑔 ≥ 𝐹inf, disso
𝐹sup
𝑃
𝐹inf
(𝑝atm + 𝜌𝑔ℎ)𝜋𝑅2 + 𝑚𝑔 ≥ (𝑝atm + 𝜌𝑔ℎ + 𝜌𝑔𝑥)𝜋(𝑅2 − 𝑟2)
≥ (𝑝atm + 𝜌𝑔ℎ)𝜋𝑅2 + 𝜌𝑔𝑥𝜋𝑅2
− (𝑝atm + 𝜌𝑔ℎ + 𝜌𝑔𝑥)𝜋𝑟2
𝑚𝑔 ≥ −𝑝atm𝜋𝑟2 − 𝜌𝑔ℎ𝜋𝑟2 + 𝜌𝑔𝑥𝜋(𝑅2 − 𝑟2),
portanto
ℎ ≥
(
𝑅2 − 𝑟2
𝑟2
)
𝑥 − 𝑚
𝜌𝜋𝑟2
− 𝑝atm
𝜌𝑔
.
231 Alternativa E
De 𝐴 até 𝐵, o volume do líquido será conservado, então
𝑉0 = 𝑙 (2𝑟)2 − 𝜋𝑟2𝑙
= 4𝑟2𝑙 − 3𝑟2𝑙 = 2𝑟ℎ𝑙 =⇒ ℎ =
𝑟
2
.
367
NR
𝑟
𝑟
𝜌1, 𝑉0
(𝜌2)
𝑉
(𝐴) (𝐵)
ℎ
®𝑔
As energias do sistema nessas situações valerão
(𝐴): 𝐸𝐴 = (𝜌1𝑉0 + 𝜌2𝑉)𝑔𝑟 = (𝜌1𝑟2𝑙 + 3𝜌2𝑟2𝑙)𝑔𝑟 = (𝜌1 + 3𝜌2)𝑔𝑟3𝑙 e
(𝐵):
𝐸𝐵 =
1
2
𝜌1𝑉0𝑔ℎ + 𝜌2𝑉𝑔(ℎ + 𝑟) =
1
4
𝜌1(𝑟2𝑙)𝑔𝑟 + 𝜌2(3𝑟2𝑙)𝑔
3𝑟
2
=
( 𝜌1
2
+ 9𝜌2
) 𝑔𝑟3𝑙
2
.
Assim
𝑊ext = 𝐸𝐵 − 𝐸𝐴 =
(
𝜌1
4
+ 9𝜌2
2
− 𝜌1 − 3𝜌2
)
𝑔𝑟3𝑙
=
(
3𝜌2
2
− 3𝜌1
4
)
𝑔𝑟3𝑙 =⇒ 𝑊ext = 1, 5 (𝜌2 − 0, 5𝜌1) 𝑔𝑟3𝑙 .
232 Alternativa A
Temos:
𝐴 𝐵
𝐶
𝑋
𝑥 𝑙 − 𝑥
60◦ 60◦
60◦
𝑥
𝑙 − 𝑥
𝑙 − 𝑥
𝑥
(𝜌1)
(𝜌3)
(𝜌2)60◦
(𝑙
−
𝑥
)s
en
60
◦
𝑥
se
n
60
◦
𝑥sen
60 ◦
(𝑙−
𝑥)sen
60 ◦
368
Seja 𝑝𝐶 a pressão no ponto 𝐶.
(i) Devido a 1 e 2, 𝑝 = 𝑝𝐶 + 𝜌2𝑔𝑥 sen 60◦ + 𝜌1𝑔(𝑙 − 𝑥) sen 60◦.
(ii) Devido a 2 e 3, 𝑝 = 𝑝𝐶 + 𝜌2𝑔(𝑙 − 𝑥) sen 60◦ + 𝜌3𝑔𝑥 sen 60◦, ou seja
𝑝𝐶 + 𝜌2𝑔𝑥 sen 60◦ + 𝜌1𝑔(𝑙 − 𝑥) sen 60◦ = 𝑝𝐶 + 𝜌2𝑔(𝑙 − 𝑥) sen 60◦ + 𝜌3𝑔𝑥 sen 60◦
𝜌2𝑥 + 𝜌1𝑙 − 𝜌1𝑥 = 𝜌2𝑙 − 𝜌2𝑥 + 𝜌3𝑥
(𝜌2 − 𝜌1 + 𝜌2 − 𝜌3)𝑥 = (𝜌2 − 𝜌1)𝑙 =⇒ 𝑥 =
(
𝜌2 − 𝜌1
2𝜌2 − 𝜌1 − 𝜌3
)
𝑙 .
233 Alternativa C
Colocando as forças, temos:
𝑦
𝑥
(𝑚 + 𝑀)𝑔
𝑝0𝐴ef
𝐹ext
𝐺
(𝑚)
(𝜌)
𝑅
𝑅
Para equilibrar 𝐺, vem
(i) 𝐹𝑥 = −𝑝0𝐴ef = −𝜌𝑔𝜋𝑅3;
(ii) 𝐹𝑦 = (𝑚 + 𝑀)𝑔 =
(
𝑚 + 2
3
𝜋𝑅3𝜌
)
𝑔. Logo
𝐹ext =
[
𝜌2𝑔2𝜋2𝑅6 +
(
𝑀 + 2
3
𝜋𝑅3𝜌
)2
𝑔2
]1/2
= 𝑔
(
𝑚2 + 4
3
𝜋𝑅3𝜌 + 13
9
𝜋2𝑅6𝜌2
)1/2
,
369
assim
𝐹ext =
(
𝑚2 + 13
9
𝜋2𝑅6𝜌2 + 4
3
𝜋𝑅3𝑚𝜌
)1/2
𝑔 .
234 Alternativa E
Observe:
𝑅
𝑟
𝐴 𝐶
𝜋(𝑅2 − 𝑟2)
𝜋𝑅2
𝑝atm 𝑝atm
(𝜌)
®𝑔
ℎ
𝜋𝑟2
(plano isobárico)𝐵
Para o equilíbrio do sistema, 𝑝𝐵 = 𝑝𝐴 = 𝑝𝐶 , e sabendo que
𝑝coluna = 𝑝atm + 𝜌𝑔ℎ
𝑝tampa = 𝑝atm + 𝑃
𝜋(𝑅2 − 𝑟2)
,
vem
𝑝atm + 𝜌𝑔ℎ = 𝑝atm + 𝑃
𝜋(𝑅2 − 𝑟2)
=⇒ 𝜌𝑔ℎ =
𝑃
𝜋(𝑅2 − 𝑟2)
=⇒ 𝜌 =
𝑃
𝑔ℎ𝜋
(
𝑅2 − 𝑟2
) .
235 Alternativa D
Veja:
Ar
𝐴 10 cm20 cm
®𝑔 100 cm desce isotermicamente
𝐴0
370
A pressão em 𝐴 por causa do ar será
𝑝atm𝐴0 · 100 = 𝑝𝐴𝐴0 · (80 + 10)
𝑝𝐴 =
10
9
𝑝atm =⇒ 𝑝𝐴 =
106
3
N/m2.
Por Stevin, nesse ponto, 𝑝𝐴 = 𝑝atm + 𝜌𝑔ℎ, disso
106
9
= 105 + 𝜌 · 10 · 10 · 10−2
𝜌 =
106
9
− 105 =⇒ 𝜌 � 11 g/cm3 .
236 Alternativa D
No setor 𝐵𝐶𝐷𝐴, temos
𝐷 𝐵
𝐴
𝐶
𝐹𝑥 < 0
𝐹𝑦
𝑅/2
𝑂
−𝐹𝑥
𝐹𝑦 < 0
−𝐹𝑥
−𝐹𝑦
𝑥0
𝑦
𝐹𝑥 = −𝑝m ·𝐴ef = −𝜌𝑔𝑅
2
·𝑅𝑙 = −1
2
𝜌𝑔𝑅2𝑙 e 𝐹𝑦 = −𝜌𝑉desl𝑔 = −𝜌
(
𝜋𝑅2𝑙
4
)
𝑔 = −1
4
𝜋𝜌𝑅2𝑙𝑔.,
disso, a força resultante sobre o cilindro está em 𝐴𝐵, cuja intensidade será
𝐹2 =
1
4
𝜌2𝑔2𝑅4𝑙2 + 𝜋
2
16
𝜌2𝑔2𝑅4𝑙2 = 𝜌2𝑔2𝑅4𝑙2
(
4
16
+ 9
16
)
=⇒ 𝐹 =
√
13
4
𝜌𝑔𝑅2𝑙 .
237 Temos:
𝛼
𝑂 𝐶
𝐵
𝐴
𝑅 cos𝛼
𝑅 sen𝛼
𝑥
𝑦®𝑔
𝐹𝑥
𝐹𝑦
(𝑆)
371
Calculando as componentes 𝐹𝑥 e 𝐹𝑦 da força resultando exercida pela água sobre a parede,
temos
(i) 𝐹𝑥 = 𝑝med𝑆, 𝑆 = 𝑙𝑅 sen𝛼 =⇒ 𝐹𝑥 = 𝜌𝑔
(
𝑅 sen𝛼
2
)
(𝑙𝑅 sen𝛼) = sen
2𝛼
2
𝜌𝑔𝑅2𝑙 e
(ii) 𝐹𝑦 = 𝑃𝐴𝐵𝐶 = 𝜌𝑉𝐴𝐵𝐶𝑔 = 𝜌𝑔
(
𝑙𝑅2𝛼
2
− 𝑙𝑅2
2
sen𝛼 cos𝛼
)
=
(
𝛼
2
− 1
2
sen𝛼 cos𝛼
)
𝜌𝑔𝑅2𝑙.
Portanto
𝐹2 = 𝐹2𝑥 + 𝐹2𝑦
=
sen2𝛼
4
(
𝜌2𝑔𝑅2𝑙
)2
+
(
𝛼
2
− 1
2
sen𝛼 cos𝛼
)2 (
𝜌𝑔𝑅2𝑙
)2
=
(
𝜌𝑔𝑅2𝑙
)2
4
[
(𝛼 − sen𝛼 cos𝛼)2 + sen4𝛼
]
=⇒ 𝐹 =
𝜌𝑔𝑅2𝑙
2
[
sen4𝛼 + (𝛼 − sen𝛼 cos𝛼)2
]1/2
.
238 Alternativa A
A gravura segue:
𝛼
𝐵′
𝐴′
𝛼 + 𝜃
ℎ𝐴
ℎ𝐵
ℎ𝐵 − ℎ𝐴
𝑙
𝐴
𝐵
𝑔 cos𝛼
𝑔 sen
𝛼
𝜃
𝑝atm
(Ref. do recipiente)
𝐵 𝐴
𝐴′𝐵′
𝑝𝐵𝐴0
𝑝𝐴𝐴0𝑚𝑔 sen𝛼
𝑚𝑎
𝐴0
372
Em relação ao plano inclinado:
{
𝑝𝐴 = 𝑝atm + 𝜌𝑔 cos𝛼ℎ𝐴
𝑝𝐵 = 𝑝atm + 𝜌𝑔 cos𝛼ℎ𝐵
. Ou seja
𝑝𝐵 − 𝑝𝐴 = 𝑝atm + 𝜌𝑔ℎ𝐵 cos𝛼 − 𝑝atm − 𝜌𝑔ℎ𝐴 cos𝛼
= 𝜌𝑔 cos𝛼(ℎ𝐵 − ℎ𝐴) > 0 =⇒ 𝑝𝐵 − 𝑝𝐴 = 𝜌𝑔 cos𝛼 tg 𝜃 𝑙.
No referencial considerado
𝑝𝐴𝐴0 + 𝑚𝑎 = 𝑚𝑔 sen𝛼 + 𝑝𝐵𝐴0, 𝜌 =
𝑚
𝐴0𝑙
(𝑝𝐵 − 𝑝𝐴)𝐴0 = 𝑚(𝑎 − 𝑔 sen𝛼)
𝑝𝐵 − 𝑝𝐴 =
𝑚
𝐴0︸︷︷︸
𝜌𝑙
(𝑎 − 𝑔 sen𝛼)
𝑝𝐵 − 𝑝𝐴 = 𝜌𝑙 (𝑎 − 𝑔 sen𝛼).
Disso, comparando essas expressões
𝜌𝑙 (𝑎 − 𝑔 sen𝛼) = 𝜌𝑔 cos𝛼 tg 𝜃 𝑙 =⇒ tg 𝜃 =
𝑎
𝑔 cos𝛼
− tg𝛼.
Assim
tg(𝛼 + 𝜃) = tg𝛼 + tg 𝜃
1 − tg𝛼 · tg 𝜃
=
tg𝛼 + 𝑎
𝑔 cos𝛼
− tg𝛼
1 − tg𝛼
(
𝑎
𝑔 cos𝛼
− tg𝛼
) =
𝑎
𝑔 cos𝛼
1 − 𝑎 sen𝛼
𝑔 cos2 𝛼
+ tg2𝛼
=
𝑎 cos𝛼
𝑔 − 𝑎 sen𝛼 .
Se o recipiente desce livremente, 𝑎 = 𝑔 sen𝛼. Portanto
tg(𝛼 + 𝜃) = 𝑔 sen𝛼 cos𝛼
𝑔 − 𝑔 sen2𝛼
= tg𝛼,
ou seja
𝜃hor = 𝛼 := 𝛼 + 𝜃.
239 Alternativa D
Indicando as forças atuantes, temos:
20 cm𝐸𝐴
𝑃𝐴𝑇
𝑇
𝑃𝐵
𝐸𝐵
𝐴
𝐵
𝑉𝐴 = 0, 1 cm3
𝑉𝐵 = 0, 2 cm3
𝑚𝐴 = 0, 13 g
𝑚𝐵 = 0, 34 g
𝑙
373
Se o sistema está em equilíbrio, temos{
𝐸𝐴 = 𝑃𝐴 + 𝑇
𝑇 + 𝐸𝐵 = 𝑃𝐵
=⇒ 𝐸𝐴 + 𝐸𝐵 = (𝑚𝐴 + 𝑚𝐵)𝑔,
logo (
1 + 20
50
)
· 0, 1 +
(
1 + 20 + 𝑙
50
)
· 0, 2 = 0, 47
70
50
· 0, 1 +
(
70 + 𝑙
50
)
· 0, 2 = 0, 47
42 + 0, 4𝑙 = 47 =⇒ 0, 4𝑙 = 5 =⇒ 𝑙 = 12, 5 cm .
240 Temos:
𝐴
𝐶
𝐵 𝑅𝑅
ℎ
𝑅 − 𝑟 𝑟 𝑟
𝑚𝑔
𝐺
𝑃L 𝑃L
𝛼
𝐹
Do triângulo 𝐴𝐵𝐶, tg𝛼 = (𝑅 − 𝑟)/ℎ =⇒ ℎ tg𝛼 = 𝑅 − 𝑟 =⇒ 𝑟 = 𝑅 − ℎ tg𝛼. O volume do
líquido destacado será
𝑉 =
ℎ
3
[
𝜋𝑅2 + 𝜋(𝑅 − ℎ tg𝛼)2 + 𝜋𝑅(𝑅 − ℎ tg𝛼)
]
− 𝜋(𝑅 − ℎ tg𝛼)2ℎ
= 𝜋ℎ2tg𝛼
(
𝑅 − 2ℎ
3
tg𝛼
)
.
Para o equilíbrio do sistema, temos
𝑃L + 𝑚𝑔 = 𝐹 = 𝜌𝑔ℎ𝜋(𝑅2 − 𝑟2)
= 𝜌𝑔𝜋ℎ2tg𝛼(2𝑅 − ℎ tg𝛼)
𝜌𝑔𝜋ℎ2 tg𝛼 + 𝑚𝑔 = 𝜌𝑔𝜋ℎ2tg𝛼(2𝑅 − ℎ tg𝛼)
(
𝑅 − 2ℎ
3
tg𝛼
)
𝑚𝑔 = 𝜌𝑔𝜋ℎ2 tg𝛼
(
𝑅 − ℎ
3
tg𝛼
)
=⇒ 𝜌 =
𝑚
𝜋ℎ2 tg𝛼
(
𝑅 − ℎ
3
tg𝛼
) .
241 No referencial do CM, veja:
374
𝐵
𝐴
𝐺
𝑣𝐴
𝑣𝐵
𝑝𝐵𝜋𝑅
2
𝑝𝐴𝜋𝑅
2
𝐹Mag
(Ref. da bola)
Parado
Usando a equação de Bernoulli para o movimento do ar próximo à superfície da bola,
entre 𝐴 e 𝐵, vem
𝑝𝐴 +
1
2
𝜌𝑣2𝐴 + 𝜌𝑔(2𝑅) = 𝑝𝐵 +
1
2
𝜌𝑣2𝐵
𝑝𝐴 − 𝑝𝐵 =
1
2
𝜌
(
𝑣2𝐵 − 𝑣2𝐴
)
+ 2𝜌𝑔𝑅
=
1
2
𝜌
[
(𝑣0 + 𝜔𝑅)2 − (𝑣0 − 𝜔𝑅)2
]
+ 2𝜌𝑔𝑅
=
1
2
𝜌
(
𝑣20 + 2𝑣0𝜔𝑅 + 𝜔2𝑅2 − 𝑣20 + 2𝑣0𝜔𝑅 − 𝜔2𝑅2
)
+ 2𝜌𝑔𝑅
= 2𝜌𝑣0𝜔𝑅 + 2𝜌𝑔𝑅 � 2𝜌𝑣0𝜔𝑅 (𝑣0𝜔 � 𝑔).
Portanto
𝐹mag = (𝑝𝐴 − 𝑝𝐵)𝜋𝑅2 = 2𝜌𝑣0𝜔𝑅 · 𝜋𝑅2 =⇒ 𝐹Mag = 2𝜌𝑣0𝜔𝜋𝑅3 ,
que aponta para baixo.
242 Alternativa E
Na superfície externa do cone e na superfície livre (parabolóide), a pressão efetiva é a
mesma igual a 𝑝0. Por Bernoulli
𝑝0=
1
2
𝜌𝜔2𝑟2 − 𝜌𝑔𝑧 + 𝐶 e 𝑝0 =
1
2
𝜌𝜔2𝑎2 − 𝜌𝑔ℎ + 𝐶,
ou seja,
𝑎2 =
2𝑔
𝜔2
(
ℎ + 𝑝0 − 𝐶
𝜌𝑔
)
e 𝑝0 = −𝜌𝑔𝐻 + 𝐶 =⇒ 𝐻 = −
(
𝑝0 − 𝐶
𝜌𝑔
)
,
que nos dá 𝑎2 = 2𝑔(ℎ − 𝐻)/𝜔2. O volume 𝑉 do parabolóide não pode exceder
𝑉 < 𝑉cone −
𝑉cone
2
=
𝑉cone
2
.
Disso
375
𝑦
𝑧
𝑥
𝜔
𝐻
ℎ
𝑎
®𝑔
1
2
𝜋𝑎2(ℎ − 𝐻) < 1
2
· 1
3
𝜋𝑎2ℎ
ℎ − 𝐻 <
ℎ
3
𝜔2𝑎2
2𝑔
<
ℎ
3
𝜔2
2𝑔
ℎ2tg2𝛼 <
ℎ
3
=⇒ 𝛼 < arctg
(
2𝑔
3𝜔2ℎ
)1/2
.
243 Veja a figura:
2
1ℎ
𝑝atm
𝑝atm
𝑝1𝐴
𝐹at
𝑝2𝐴
𝐴
(Equilíbrio)
(a) 𝑝2𝐴 = 𝑝1𝐴 + 𝐹at =⇒ 𝐹at =
(𝑝2 − 𝑝1)𝜋𝑑2
4
. Mas, 𝑝1 = 𝑝atm e 𝑝2 = 𝑝atm + 𝜌𝑔ℎ, logo
𝐹at = 𝜌𝑔ℎ ·
𝜋𝑑2
4
= 𝜋
(
2 · 10−2
)
· 103 · 6 · 9, 8 =⇒ 𝐹at � 74 N .
(b)
2
1ℎ
𝑝atm3
𝑝atm
0
𝑦
®𝑔
𝑣3 = 0
𝑣1
376
Usando a equação de Bernoulli, temos
𝑝3︸︷︷︸
𝑝atm
+ 1
2
𝜌𝑣23︸︷︷︸
0
+𝜌𝑔𝑦3 = 𝑝1︸︷︷︸
𝑝atm
+1
2
𝜌𝑣21 + 𝜌𝑔𝑦1︸︷︷︸
0
𝜌𝑔ℎ =
1
2
𝜌𝑣21 =⇒ 𝑣1 =
√︁
2𝑔ℎ � 11 m/s.
E finalmente
Δ𝑉
Δ𝑡
= 𝐴
Δ𝑠
Δ𝑡
= 𝐴𝑣1 =⇒ Δ𝑉 = 𝜋
(
2 · 10−2
)2
· 11 · 3 · 3.600 =⇒ Δ𝑉 � 150 m3 .
244 Quando o cilindro está em repouso, as forças que atuam nele são 𝜌𝑔𝑉 (peso) e 𝜌0𝑉𝑔
(empuxo), sendo 𝑉 = 𝜋𝑟2𝑙 o seu volume.
(Antes)
𝐺𝑙
(Depois)
NR
𝐺
ℎ
Na descida do cilindro, o líquido subirá. Por causa disso, a distribuição de pressão ao
redor do cilindro muda de maneira complicada. Pela equação da continuidade
𝑣
𝑣0
𝑟
(Líquido)
𝑅
(Cilindro)
(𝜌)(𝜌0)
𝑣𝜋𝑟2 = 𝑣0𝜋
(
𝑅2 − 𝑟2
)
=⇒ 𝑣0 =
𝑣𝑟2
𝑅2 − 𝑟2
.
377
Usando conservação de energia entre (Antes) e (Depois), temos
𝐸(Antes) = 𝐸(depois)
𝑚cil𝑔ℎ =
1
2
𝑚cil𝑣
2 + 1
2
𝑚líq𝑣
2
0
(𝜌 − 𝜌0)𝜋𝑟2𝑙𝑔ℎ =
1
2
𝜌𝜋𝑟2𝑙𝑣2 + 1
2
𝜌0𝜋
(
𝑅2 − 𝑟2
)
𝑙
(
𝑣𝑟2
𝑅2 − 𝑟2
)2
(𝜌 − 𝜌0)𝑔ℎ =
1
2
𝜌𝑣2 + 1
2
𝜌0
𝑣2𝑟2
𝑅2 − 𝑟2
=
𝑣2
2
(
𝜌 + 𝜌0𝑟
2
𝑅2 − 𝑟2
)
=⇒ 𝑣 =
√√√√√2(𝜌 − 𝜌0)𝑔ℎ
𝜌 + 𝜌0𝑟
2
𝑅2 − 𝑟2
=
√
2𝑎ℎ.
Finalmente
𝑎 =
©­­­«
𝜌 − 𝜌0
𝜌 + 𝜌0𝑟
2
𝑅2 − 𝑟2
ª®®®¬ 𝑔 .
Quando 𝑅 � 𝑟, 𝑎 � (1 − 𝜌0/𝜌)𝑔, que é um resultado já esperado.
245 Veja:
𝑥
𝑦
𝑦
𝑥𝑥
𝑣1
𝑣0
𝑂
𝑆2
𝑆1
®𝑔
𝑆2 é a área do orifício 𝑂, que é constante, 𝑣1 também é constante. Temos
(i) 𝜌𝑆1𝑣1 = 𝜌𝑆2𝑣0 =⇒
𝑣1
𝑆2
=
𝑣0
𝜋𝑟2
;
(ii) Por Bernoulli, 𝑣0 =
√︁
2𝑔𝑦. Logo
𝑣21
𝑆22
=
2𝑔𝑦
𝜋2𝑥4
=⇒ 𝑦 =
𝑣21𝜋
2
2𝑔𝑆22
𝑥4 .
246 Temos que:
378
(𝑠)
(𝑆)
𝐹
𝑢Δ𝑡
𝑣Δ𝑡
A equação da continuidade nos dá 𝑆𝑢 = 𝑠𝑣, já que o líquido é incompressível. Pelo
teorema da energia cinética
𝐹 · 𝑢Δ𝑡 = 1
2
𝜌𝑆𝑢Δ𝑡 (𝑣2 − 𝑢2)
𝐹 =
1
2
𝜌𝑆(𝑣2 − 𝑢2) = 𝜌𝑆
2
(
1 − 𝑠2
𝑆2
)
𝑣2 =⇒ 𝑣 =
√︄
2𝐹
𝜌𝑆
(
1 − 𝑠2
𝑆2
)−1
.
247 A massa de líquido que sai do cilindro é constante e igual a Δ𝑚 = 𝜌𝑠𝑣Δ𝑡. Sendo
𝑣2 =
2𝐹
𝜌𝑆
(
1 − 𝑠2
𝑆2
)−1
𝜌𝑆𝑣2
2𝐹
=
(
1 − 𝑠2
𝑆2
)−1
1 − 𝑠2
𝑆2
=
2𝐹
𝜌𝑆𝑣2
1 = lim
𝑠→𝑆
(
𝑠2
𝑆2
+ 2𝐹
𝜌𝑆𝑣2
)
= 1 + 2𝐹
𝜌𝑆
lim
𝑠→𝑆
1
𝑣2
=⇒ lim
𝑠→𝑆
1
𝑣2
= 0,
ou seja, 𝑣 → ∞. Como 𝜌, 𝑆 e Δ𝑚 são constantes, Δ𝑡 → 0.
248 Alternativa C
O jato d‘água sai do reservatório com velocidade 𝑣 =
√︁
2𝑔ℎ, por Bernoulli. Agora, para
o referencial da paleta, temos
𝜔𝑅𝑚
𝑣
(parada)
(Antes)
𝑚
𝑣 − 𝜔𝑅
(parada)
(Depois)
Pára
Usando a 2ª lei de Newton, vem
𝐹 =
|Δ𝑝 |
Δ𝑡
=
𝑚𝑢 − 0
Δ𝑡
=
𝜌𝑆𝑢Δ𝑡 · 𝑢
Δ𝑡
= 𝜌𝑆𝑢2 =⇒ 𝐹 = 𝜌𝑆
(√︁
2𝑔ℎ − 𝜔𝑅
)2
.
379
249 Alternativa A
Considere o sistema 0𝑥𝑦 abaixo:
𝑥
𝑦
𝑅𝑅
𝛼𝛼
𝑃(𝑥, 𝑦)
𝜔
𝜃
®𝑔
𝑝0𝑝0
0
A variação de pressão efetiva em 𝑃 será
Δ𝑝 = 𝜌𝜔2𝑥Δ𝑥 + 𝜌𝑔Δ𝑦 =⇒ 𝑝 =
1
2
𝜌𝜔2𝑥2 + 𝜌𝑔𝑦 + 𝐶.
Em 𝜃 = 𝛼,
𝑝(𝛼) = 1
2
𝜌𝜔2𝑅2 sen2 𝛼 + 𝜌𝑔𝑅 cos𝛼 + 𝐶.
Em 𝜃 = 0, 𝑝(0) = 𝜌𝑔𝑅+𝐶. Para haver separação em 𝜃 = 0 é necessário que 𝑝(0) < 𝑝(𝛼).
Assim
𝜌𝑔𝑅 + 𝐶 <
1
2
𝜌𝜔2𝑅2 sen2 𝛼 + 𝜌𝑔𝑅 cos𝛼 + 𝐶
𝑅𝑔 <
1
2
𝜔2𝑅2 sen2 𝛼 + 𝑔𝑅 cos𝛼
𝜔2 >
2𝑔(1 − cos𝛼)
𝑅 sen2 𝛼
=⇒ 𝜔 >
√︂
𝑔
𝑅
sec
(𝛼
2
)
.
250 Identificando os pontos de pressão, vem:
𝑚
ℎ
®𝑔
𝑑
®𝑣0
0
𝑦
1
2
®𝑣
𝐴 = 𝜋𝑑2/4
𝑝atm
𝑝atm
380
Usando a equação de Bernoulli entre 1 e 2, temos
𝑝atm + 1
2
𝜌𝑣20 = 𝑝atm + 1
2
𝜌𝑣2 + 𝜌𝑔ℎ =⇒ 𝜌𝑔ℎ =
1
2
𝜌(𝑣20 − 𝑣
2) =⇒ ℎ =
𝑣2
2𝑔
−
𝑣20
2𝑔
.
Para sustentar a bola
𝑚𝑔 =
Δ𝑝
Δ𝑡
=
𝜌Δ𝑉𝑣
Δ𝑡
=
𝜌𝜋𝑑2
4
𝑣0𝑣 =⇒ 𝑣 =
4𝑚𝑔
𝜌𝜋𝑣0𝑑2
,
portanto
ℎ =
𝑣20
2𝑔
− 1
2𝑔
16𝑚2𝑔2(
𝜌𝜋𝑣0𝑑2
)2
=
𝑣20
2𝑔
− 8𝑚2𝑔(
𝜌𝜋𝑣0𝑑2
)2 =⇒ ℎ =
𝑣20
2𝑔
− 8𝑔
(
𝑚
𝜌𝜋𝑣0𝑑2
)2
.
251 Batizemos essa escala do termômetro como 𝑋 , onde a distância entre as marcações vale
𝑢.
3 (𝐴)
Escala 𝑋
28 (𝐵)
0
Escala Celsius
100
11 𝑇
A primeira marcação de 𝑋 indica o zero, sem perda de generalidade. Pelo teorema de
semelhança nessas escalas, temos
11 − 3
𝑇 − 0 =
28 − 3
100 − 0 =⇒ 𝑇 = 32 ◦C .
252 Alternativa D
Seja 𝜃 a temperatura empírica simbolicamente. Disso, precisamos encontrar uma relação
381
linear entre 𝜃C e 𝜃F, ou seja, obter 𝑎 e 𝑏 de 𝜃C = 𝑎𝜃F+𝑏 (𝑎 ≠ 0). A temperatura 𝑇 indicará
o valor teórico. Então
|𝜃C − 𝑇C | = 2 ◦C e
 𝑇C =
5
9
𝑇F −
32
9
𝜃C = 𝑎𝜃F + 𝑏
.
Ou seja 
44𝑎 + 𝑏 =
14
3
(I)
26𝑎 + 𝑏 = −4
3
(II)
,
Fazendo (I) − (II), temos
44𝑎 − 26𝑎 =
14 − (−4)
3
18𝑎 =
18
3
=⇒ 𝑎 =
1
3
e
26
3
+ 𝑏 = −4
3
=⇒ 𝑏 = −10,
ou seja
𝑇C =
𝑇F
3
− 10 .
253 (a) Será 2, já que temos duas constantes (𝑏 e 𝑅0) a serem determinadas. Essas medidas
correspondem aos pontos de gele e de vapor.
(b) Sim. Sejam 𝑇g e 𝑇v tais medidas, então{
𝑅(𝑇g) = 𝑅0𝑒𝑏/𝑇g (I)
𝑅(𝑇v) = 𝑅0𝑒𝑏/𝑇v (II) .
Conhecendo 𝑅(𝑇g) e 𝑅(𝑇v), é possível resolver o sistema determinado. Dividindo (I) por
(II)
𝑅(𝑇g)
𝑅(𝑇v)
= 𝑒𝑏(1/𝑇g−1/𝑇v) =⇒ 𝑏 =
ln 𝑅(𝑇g) − ln 𝑅(𝑇v)
1/𝑇g − 1/𝑇v
e
usando isso em (I), vem
ln 𝑅(𝑇g) − ln 𝑅0 =
1
𝑇g
[ ln 𝑅(𝑇g) − ln 𝑅(𝑇v)
1/𝑇g − 1/𝑇v
]
ln 𝑅0 = ln 𝑅(𝑇g) −
ln 𝑅(𝑇g) − ln 𝑅(𝑇v)
1 − 𝑇g/𝑇v
𝑅0 = 𝑒
ln 𝑅(𝑇g)−
ln𝑅 (𝑇g)−ln𝑅 (𝑇v)
1−𝑇g/𝑇v =⇒ 𝑅0 = 𝑅(𝑇g)𝑒
− ln𝑅 (𝑇g)−ln𝑅 (𝑇v)
1−𝑇g/𝑇v .
254 Pela simetria do sistema (para 𝑙), 𝐶 somente se moverá ao longo do eixo-𝑙.
382
(𝛼)
𝐿 −
𝑅𝜃
𝑙
𝜃
𝐶𝜃
𝐴
𝐵 𝐷
𝑅𝜃
𝑥
(2𝛼)
Pelo teorema de Pitágoras no triângulo 𝐴𝐵𝐶, vem
𝑥2 = (𝐿 − 𝑅𝜃)2 + 𝑅2 = const.
2𝑥Δ𝑥 � 2(𝐿 − 𝑅𝜃) (Δ𝐿 − 𝜃Δ𝑅) + 2𝑅Δ𝑅 = 0
2𝛼𝑅2Δ𝑇 + 𝛼(𝐿 − 𝑅𝜃) (𝐿 − 2𝜃𝑅)Δ𝑇 = 0
2𝑅2 + (𝐿 − 𝑅𝜃) (𝐿 − 2𝑅𝜃) = 0,
ou seja
2(1 + 𝜃2)𝑅2 + 𝐿2 − 3𝐿𝜃𝑅 = 0
𝑅2 − 3𝜃
2(1 + 𝜃2)
𝐿𝑅 + 𝐿2
2(1 + 𝜃2)
= 0,
resolvendo essa equação, obtemos
𝑅 =
𝐿
4(1 + 𝜃2)
(
3𝜃 ±
√︁
𝜃2 − 8
)
.
Perceba que 3𝜃 >
√
𝜃2 − 8, então as duas respostas são válidas.
255 Temos:
𝑥
𝑦
𝑙 (1 +
𝛼Δ𝑇)
𝑃
𝑂
𝑂′
𝑙 sen 𝜃 Δ𝑥
𝑙 cos 𝜃 ®𝑣
Pelo teorema de Pitágoras no triângulo 𝑂𝑂′𝑃, temos
𝑙2(1 + 𝛼Δ𝑇)2 = 𝑙2 cos2 𝜃 + (𝑙 sen 𝜃 + 𝑣Δ𝑡)2
𝑙2(1 + 2𝛼Δ𝑇) � 𝑙2 cos2 𝜃 + 𝑙2sen2𝜃 + 2𝑙 sen 𝜃𝑣Δ𝑡 + 𝑣2Δ𝑡2
� 𝑙2 + 2𝑙 sen 𝜃𝑣Δ𝑡 =⇒ 𝑣 =
𝑙𝛼𝜆
sen 𝜃
.
383
256 A área do quadrado não mudará. Disso:
𝑎
+
Δ
𝑎
𝑏
+
Δ
𝑏
(𝑇 + Δ𝑇)
(𝑎 + 𝑏)2(1 + 2𝛼3Δ𝑇) � 𝑎2(1 + 2𝛼1Δ𝑇) +
Área total das placas︷ ︸︸ ︷
𝑏2(1 + 2𝛼2Δ𝑇) + 2𝑎𝑏(1 + 2𝛼1Δ𝑇)︸ ︷︷ ︸
Área total dos buracos
(𝑎 + 𝑏)2𝛼3 = 𝑎2𝛼1 + 𝑏2𝛼2 + 2𝑎𝑏𝛼3
𝑎
𝑏
=
√︂
𝛼2 − 𝛼3
𝛼3 − 𝛼1
. (QED)
257 Observe:
(𝛼)
ℎ
(𝛾)
(𝐴0)
(0 ◦C) (𝑇)
Será de
Δ𝑉ap = Δ𝑉 − Δ𝑉term
𝐴0ℎ = 𝑉0𝛾Δ𝑇 − 3𝑉0𝛼Δ𝑇
ℎ =
𝑉0
𝐴0
(𝛾 − 3𝛼)𝑇. (QED)
384
258 Alternativa D
Pela definição de entalpia, temos
Δ𝐻 = Δ(𝑈 + 𝑝𝑉)
=
11
2
𝑅Δ𝑇 + 𝑅Δ𝑇 =
13
2
𝑅Δ𝑇.
Usando valores
Δ𝑇 =
2
13
· 40, 1 · 103 · 1
8, 31
� 742 K.
Pela equação de estado
Δ𝑝𝑉 = 𝑅Δ𝑇
Δ𝑝 = 𝑝
Δ𝑇
𝑇
� 0, 928𝑝 =⇒ 𝑝′ = 1, 92𝑝 ,
ou seja, a pressão final é duas vezes maior do que a pressão inicial.
259 Do vínculo
𝑝0𝑉0
(
1 + 𝑝
𝑝0
) (
1 + 𝑉
𝑉0
)
= 𝑘 =⇒ (1 + 𝑥) (1 + 𝑦) = 𝛼,
onde 𝑝/𝑝0 := 𝑥, 𝑉/𝑉0 := 𝑦 e 𝑘/(𝑝0𝑉0) := 𝛼. Analogamente, para a equação de estado,
vem
𝑝𝑉
𝑝0𝑉0
=
𝑅𝑇
𝑅𝑇0
=⇒ 𝑥𝑦 = 𝑧,
com 𝑇/𝑇0 := 𝑧. Note que 𝑧 varia com 𝑥 e 𝑦. Usando a desigualdade entre as