GEOMETRIA PLANA PARTE II

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GEOMETRIA PLANA – PARTE II 
 
RELAÇÕES MÉTRICAS 
Considere um triângulo retângulo ABC, de catetos AC = b, AB = c e hipotenusa BC = a. Traçamos a altura AH = h, 
relativa à hipotenusa. O ponto H divide a hipotenusa nos segmentos BH e CH, de medidas m e n, respectivamente; 
esses segmentos são chamados de projeções dos catetos sobre a hipotenusa. 
 
 
 
 
a = m + n bc = ah 
b2 = am h2 = mn 
c2 = an 1/b2 + 1/c2 = 1/h2 
 
 
 
Teorema de Pitágoras: a2 = b2 + c2 
 
 
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NUM TRIÂNGULO QUALQUER – I 
 
INTRODUÇÃO 
 
LEI DOS COSSENOS 
 
2 2 2
2 2 2
2 2 2
ˆa = b + c 2 b c cosA
ˆb = a + c 2 a c cosB
ˆc = a + b 2 a b cosC
   
   
   
 
 
LEI DOS SENOS 
 
a b c= = = 2Rˆ ˆ ˆsenA senB senC
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA 
VOLUME 8 
 
2 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 8 GEOMETRIA PLANA – PARTE II 
DICAS !!! 
 
 Os números Pitagóricos  3, 4 e 5 
 
 x2 
 
 ÷ 10 
 
 O triângulo Retângulo Isósceles 
 
 
 A diagonal de um quadrado  2d  
 
 
 
 A altura de um triângulo equilátero  
2
3h  
 
 
 
 
 
 
 
3 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 8 GEOMETRIA PLANA – PARTE II 
 
EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM 
 
Questão 01 
Uma estação de tratamento de água (ETA) localiza-se a 
600m de uma estrada reta. Uma estação de rádio 
localiza-se nessa mesma estrada, a 1000m da ETA. 
Pretende-se construir um restaurante, na estrada, que 
fique à mesma distância das duas estações. A distância 
do restaurante a cada uma das estações deverá ser de: 
 
a) 575m 
b) 600m 
c) 625m 
d) 700m 
e) 750m 
 
 
Questão 02 
No retângulo ABCD de lados AB = 4 e BC = 3, o 
segmento DM é perpendicular à diagonal AC. O 
segmento AM mede: 
 
 
 
a) 3/2 
b) 12/5 
c) 5/2 
d) 9/5 
e) 2 
 
Questão 03 
Na figura temos três circunferências tangentes, duas a 
duas, cujos centros A, B e C são vértices de um triângulo 
retângulo em C e as duas circunferências maiores 
possuem raios com a mesma medida R. A linha l é 
tangente a duas circunferências e secante à terceira e P 
é o ponto de interseção da reta l com o segmento AB. A 
medida do segmento AP é: 
 
a) R 2 
b) R 3 
c) ( 3 - 1)R 
d) (3 - 2)R 
e) R 
 
 
 
 
 
 
 
4 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 8 GEOMETRIA PLANA – PARTE II 
Questão 04 
Na figura abaixo, a reta passando por P e Q é tangente 
às duas circunferências em P e Q. Se a distancia entre os 
centros das circunferências é igual a 18 cm e os seus 
raios medem 4 cm e 5 cm, respectivamente, então o 
numero real que representa a distancia, em cm, entre P e 
Q é: 
 
 
a) 13 3 
b) 12 3 
c) 11 3 
d) 10 3 
e) 9 3 
 
Questão 05 
Um navio navegando em linha reta passa 
sucessivamente pelos pontos A, B e C. O comandante, 
quando o navio está em A, observa o farol em L e 
calcula o ângulo LÂC como sendo 45o. Após navegar 4 
milhas atinge o ponto B quando o ângulo CB̂L é de 75o. 
Quantas milhas separam o farol do ponto B? 
a) 6
2
 
b) 7
2
 
c) 8
2
 
d) 9
2
 
e) 10
2
 
 
Questão 06 
A água utilizada na casa de um sítio é captada e 
bombeada do rio para uma caixa d´água a 50m de 
distância. A casa está a 80m de distância da caixa 
d´água, e o ângulo formado pelas direções caixa d´água 
– bomba e caixa d´água – casa é de 60º. Se 
pretendemos bombear água do mesmo ponto de 
captação até a casa, quantos metros de encanamento 
serão necessários? 
a) 65m 
b) 70m 
c) 75m 
d) 80m 
e) 90m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 8 GEOMETRIA PLANA – PARTE II 
Questão 07 
Um octógono regular está inscrito em uma circunferência 
de raio 1. Os vértices A, D e E do octógono são tais que 
AE é um diâmetro de sua circunferência circunscrita e D 
e E são adjacente. Determine o comprimento da 
diagonal AD. 
a) 2 + 2 
b) 2 - 2 
c) 3 + 2 
d) 3 - 2 
 
Questão 08 
Em um triângulo com lados de comprimento a, b e c, 
tem-se (a + b + c) . ( a + b – c ) = 3ab . A medida do 
ângulo oposto ao lado de comprimento c é: 
a) 30º d) 90º 
b) 45º e) 120º 
c) 60º 
 
Questão 09 
(Fuvest 2011) No losango ABCD de lado 1, representado na 
figura, tem-se que M é o ponto médio de AB , N é o ponto 
médio de BC e MN = 144 . Então, DM é igual a 
 
a) 2
4
 
b) 2
2
 
c) 2 
d) 3 2
2
 
e) 5 2
2
 
 
Questão 10 
A diagonal de paralelogramo divide um dos ângulos 
internos em dois outros, um de 60o e outro de 45o. A 
razão entre o lado menor e o maior do paralelogramo é: 
a) 
6
3 
b) 
2
2 
c) 
9
32 
d) 
3
6 
e) 
3
3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 8 GEOMETRIA PLANA – PARTE II 
 
QUESTOES DE FIXAÇÃO 
 
Questão 01 
Um modelo de macaco, ferramenta utilizada para 
levantar carros, consiste em uma estrutura composta por 
dois triângulos isósceles congruentes, AMN e BMN, e 
por um parafuso acionado por uma manivela, de modo 
que o comprimento da base MN possa ser alterado pelo 
acionamento desse parafuso. Observe a figura: 
 
 
 
Considere as seguintes medidas: 
AM AN BM BN 4 dm;    MN x dm; AB y dm. 
O valor, em decímetros, de y em função de x 
corresponde a: 
a) 216 – 4x 
b) 264 – x 
c) 
216 – 4x
2
 
d) 
264 – 2x
2
 
 
Questão 02 
No retângulo ABCD de lado AB 3 cm, BC 7cm,  o 
segmento AP é perpendicular à diagonal BD. 
 
 
 
O segmento BP mede em cm: 
a) 9
2
 
b) 7
4
 
c) 9
4
 
d) 3
4
 
e) 5
4
 
 
 
 
7 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 8 GEOMETRIA PLANA – PARTE II 
Questão 03 
Uma bicicleta saiu de um ponto que estava a 8 metros a 
leste de um hidrante, andou 6 metros na direção norte e 
parou. Assim, a distância entre a bicicleta e o hidrante 
passou a ser: 
a) 8 m 
b) 10 m 
c) 12 m 
d) 14 m 
e) 16 m 
 
Questão 04 
Na figura plana abaixo, ABCD é um quadrado de área 10 
cm2. Os segmentos CE e CF medem 4 cm cada. Essa 
figura deverá ser dobrada nas linhas tracejadas, fazendo 
com que os pontos E e F coincidam com um ponto P do 
espaço. 
 
A distância desse ponto P ao ponto A é igual a: 
a) 6 cm 
b) 5 cm 
c) 4 2 cm 
d) 5 2 cm 
e) 6 2 cm 
 
Questão 05 
 
 
Na figura acima, que representa o projeto de uma 
escada com 5 degraus de mesma altura, o comprimento 
total do corrimão é igual a 
a) 1,8 m. 
b) 1,9 m. 
c) 2,0 m. 
d) 2,1m. 
e) 2,2 m. 
 
 
 
8 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 8 GEOMETRIA PLANA – PARTE II 
Questão 06 
Na figura, ABCDEF é um hexágono regular de lado 1 
dm, e Q é o centro da circunferência inscrita a ele. 
 
O perímetro do polígono AQCEF, em dm, é igual a 
a) 4 2 
b) 4 3 
c) 6 
d) 4 5 
e) 2(2 2) 
 
Questão 07 
Um professor de geografia forneceu a seus alunos um 
mapa do estado de São Paulo, que informava que as 
distâncias aproximadas em linha reta entre os pontos 
que representam as cidades de São Paulo e Campinas e 
entre os pontos que representam as cidades de São 
Paulo e Guaratinguetá eram, respectivamente, 80km e 
160km. Um dos alunos observou, então, que as 
distâncias em linha reta entre os pontos que representam 
as cidades de São Paulo, Campinas e Sorocaba 
formavam um triângulo equilátero. Já um outro aluno 
notou que as distâncias em linha reta entre os pontos 
que representam as cidades de São Paulo, 
Guaratinguetá e Campinas formavam um triângulo 
retângulo, conforme mostra o mapa. 
 
 
 
Com essas informações, os alunos determinaram que a 
distância em linha reta entre os pontos que representam 
as cidades de Guaratinguetá e Sorocaba, em km, é 
próxima de 
a) 80 2 5 3   
b) 80 5 2 3   
c) 80 6 
d) 80 5 3 2   
e) 80 7 3  
 
 
 
 
9 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 8 GEOMETRIA PLANA – PARTE II 
Questão 08 
A caminhadaé uma das atividades físicas que, quando 
realizada com frequência, torna-se eficaz na prevenção 
de doenças crônicas e na melhora da qualidade de vida. 
Para a prática de uma caminhada, uma pessoa sai do 
ponto A, passa pelos pontos B e C e retorna ao ponto A, 
conforme trajeto indicado na figura. 
 
Quantos quilômetros ela terá caminhado, se percorrer 
todo o trajeto? 
a) 2,29. 
b) 2,33. 
c) 3,16. 
d) 3,50. 
e) 4,80. 
 
Questão 09 
Os lados de um losango medem 4 e um dos seus 
ângulos 30°. A medida da diagonal menor do losango é 
a) 2 2 3 . 
b) 2 3 . 
c) 4 2 3 . 
d) 2 2 3 . 
e) 4 2 3 . 
 
Questão 10 
Uma praça circular de raio R foi construída a partir da 
planta a seguir: 
 
Os segmentos AB, BC e CA simbolizam ciclovias 
construídas no interior da praça, sendo que AB 80 m.
De acordo com a planta e as informações dadas, é 
CORRETO afirmar que a medida de R é igual a: 
a) 160 3 m
3
 d) 8 3 m
3
 
b) 80 3 m
3
 e) 3 m
3
 
c) 16 3 m
3
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 8 GEOMETRIA PLANA – PARTE II 
 
GABARITO 
 
Resposta da questão 1: 
 [B] 
Considere a figura. 
 
Seja H o ponto de interseção dos segmentos AB e MN. 
Como AMN e MBN são triângulos isósceles congruentes, segue que AMBN é losango. Logo, yAH
2
 e xHN .
2
 
Portanto, aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo AHN, obtemos 
2 22 2 2 2
2 2
2
y xAH HN AN 4
2 2
y 64 x
y 64 x dm.
          
   
  
  
 
 
Resposta da questão 2: 
 [C] 
Pelo Teorema de Pitágoras, temos: 
2 2 2 2 2 2BD AB AD BD 3 ( 7 )
BD 4cm.
    
 
 
Portanto, como o quadrado de um cateto é igual ao produto da sua projeção pela hipotenusa, vem: 
2 2AB BP BD 3 BP 4
9BP cm.
4
    
 
 
 
Resposta da questão 3: 
 [B] 
Sejam A o ponto onde se encontrava inicialmente a bicicleta e B o ponto a 6 metros ao norte de A. Chamando de C 
o ponto onde se encontra o hidrante, segue que a distância pedida corresponde à hipotenusa do triângulo retângulo 
ABC, reto em A. Portanto, pelo Teorema de Pitágoras, vem 
 
2 2 2 2 2 2BC AC AB BC 8 6
BC 100
BC 10 m.
    
 
 
 
 
Resposta da questão 4: 
 [A] 
Como o quadrado ABCD tem área igual a 210cm , vem que 
2 2AB 10cm . 
De acordo com as informações, temos que o segmento PA é a hipotenusa do triângulo retângulo de catetos CP 4cm 
e AC AB 2 cm. Portanto, pelo Teorema de Pitágoras, obtemos 
2 2 2 2 22
2 2
2
PA AC CP PA (AB 2) CP
PA 2 10 4
PA 36
PA 6cm.
    
   
 
 
 
 
11 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 8 GEOMETRIA PLANA – PARTE II 
Resposta da questão 5: 
 [D] 
 
Considere a figura, em que BC x. 
 
 
 
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ABC, obtemos 
 
     2 2 2x 90 120 x 22500 150cm 1,5 m. 
 
Portanto, o comprimento total do corrimão é   1,5 2 0,3 2,1m. 
 
Resposta da questão 6: 
 [B] 
 
Como EF FA AQ QC 1dm,    basta calcularmos CE. 
 
Sabendo que CDE 120  e CD DE 1dm,  pela Lei dos Cossenos, obtemos 
 
2 2 2
2 2
CE CD DE 2 CD DE cosCDE
11 1 2 1 1
2
3.
     
        
 

 
 
Portanto, CE 3 dm e o resultado pedido é 
 
EF FA AQ QC CE (4 3 )dm.      
 
Resposta da questão 7: 
 [B] 
 
Sejam S,P, G e C, respectivamente, os pontos que representam as cidades de Sorocaba, São Paulo, Guaratinguetá e 
Campinas. 
 
Sabendo que SPC 60  e CPG 90 ,  vem SPG 150 .  Logo, aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo SPG, 
encontramos 
 
2 2 2
2 2
SG SP PG 2 SP PG cosSPG
80 160 2 80 160 cos150
36400 25600 2 12800
2
6400 (5 2 3)
     
      
 
      
 
 
   
 
 
Portanto, SG 80 5 2 3 km.    
 
 
12 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 8 GEOMETRIA PLANA – PARTE II 
Resposta da questão 8: 
 [D] 
 
Pela Lei dos Cossenos, obtemos: 
 
2 2 2
2 2
BC AC AB 2 AC AB cosBAC
(0,8) 1 2 0,8 1 cos150
30,64 1 2 0,8
2
1,64 0,8 1,7
3.
     
      
 
      
 
  

 
 
Logo, BC 1,7 e, portanto, o resultado é 1 0,8 1,7 3,5.   
 
 
Resposta da questão 9: 
 [C] 
 
Considere a figura. 
 
 
 
Como AB AD 4 u.c.  e BAD 30 ,  pela Lei dos Cossenos, obtemos 
 
2 2 2
2 2
BD AB AD 2 AB AD cosBAD
34 4 2 4 4
2
2 16 16 3.
     
     
  
 
 
Portanto, 
 
BD 4 2 3 u.c.  
 
 
Resposta da questão 10: 
 [B] 
 
Pela Lei dos Senos, segue que: 
 
AB 80 80 3 80 32R 2R R m.
sen60 33 3 3
2
      
