4 - ANÁLISE DIMENSIONAL E TRANSFERÊNCIA DE CALOR

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FENÔMENOS DE TRANSPORTEFENÔMENOS DE TRANSPORTE
ANÁLISE DIMENSIONAL EANÁLISE DIMENSIONAL E
TRANSFERÊNCIA DE CALORTRANSFERÊNCIA DE CALOR
Autor: Me. Rafaela Guimarães
Revisor : Mar io Ca l le f i
IN IC IAR
introdução
Introdução
Nesta unidade, vamos estudar a teoria da semelhança e os critérios de aplicação desta teoria
através da análise de grandezas adimensionais. Faremos também um estudo sobre os coe�cientes
que podemos empregar no protótipo e no modelo, além de estudarmos o uso da análise
dimensional com equações diferenciais e a teoria da camada limite.
No tópico dois aprofundaremos nosso estudo sobre análise dimensional e teoria da semelhança,
analisando diversos tipos de escoamento e o balanço de energia com a inclusão das perdas por
calor, também conhecidas por perdas por atrito.
Depois, iniciaremos nosso estudo sobre as formas de transferência de calor e as equações utilizadas
na análise de problemas envolvendo esses tópicos. Por �m, terminaremos analisando a radiação, a
equação dos gases perfeitos e o conceito de resistividade térmica. Assim, teremos percorrido um
amplo caminho no estudo de fenômenos de transporte.
Muitos dos problemas envolvendo fenômenos de transporte são resolvidos por meio de
experimentos e análise de dados experimentais. Um dos objetivos de qualquer experimento é obter
resultados que podem ser usados em uma enorme gama de aplicações. O conceito de semelhança
pode ser utilizado para garantir este objetivo.
Teoria da Semelhança
De acordo com Munson, Young e Okiishi (2004, p. 344):
o conceito de semelhança garante que as medidas obtidas em um sistema (por
exemplo, em uma simulação com um protótipo feito em escala reduzida) possam ser
utilizadas para descrever o comportamento de um sistema similar (fora do laboratório).
O estudo dos fenômenos no modelo pode resultar em formulações empíricas que serão
capazes de fornecer predições especí�cas de uma ou mais características de outro
sistema similar.
Modelos e Semelhanças
Utilizamos modelos para simular grandes estruturas ou projetos como aviões, navios, portos,
barragens. Um modelo em Engenharia pode ser de�nido como uma representação de um sistema
físico que pode ser utilizado para predizer o comportamento de alguma característica de um
sistema. O sistema físico para o qual as predições são feitas é chamado de protótipo. Existem
modelos maiores que os originais, como modelos que utilizam células de glóbulos vermelhos do
nosso sangue.
Teoria dos Modelos
Esta teoria pode ser desenvolvida a partir da análise dimensional, sendo uma função de um
conjunto de termos pi, ou seja:
A formulação desta relação necessita do conhecimento da natureza geral do fenômeno físico e das
variáveis importantes do fenômeno. Não precisamos dos valores especí�cos. Podemos aplicar a
Análise Dimensional eAnálise Dimensional e
Teoria da SemelhançaTeoria da Semelhança
=  ϕ ( , , … , )        (Equação 4.1)Π1 Π2 Π3 Πn
equação 4.1 em qualquer sistema que seja descrito pelas mesmas variáveis. Se a equação 4.1
descreve o comportamento de um protótipo, uma relação similar pode ser escrita para o modelo
deste protótipo, dada por:
Onde a forma da função será a mesma desde que os fenômenos envolvidos no protótipo e no
modelo sejam os mesmos. As variáveis com o termo m serão utilizadas para o protótipo.
Agora vamos considerar que:
Como a forma de 𝝓 é a mesma para o protótipo e para o modelo, temos:
A equação 4.4 nos mostra que o valor medido no modelo será igual ao valor do protótipo,
desde que os outros termos sejam iguais. As condições especi�cadas na equação 4.3 fornecem as
condições de projeto do modelo e são chamadas de condições de semelhança ou leis do modelo.
Um ou mais termos precisam ter semelhança geométrica entre eles, ou seja, o protótipo precisa
ser uma versão em escala do modelo. Também precisamos que um ou mais parâmetros sejam
semelhantes, como a rugosidade super�cial ou o número de Reynolds. A igualdade entre os termos
 requer que a relação entre estas forças no modelo e no protótipo sejam as mesmas.
Análise dos Coe�icientes de Transferência
As razões entre quantidades semelhantes do modelo e do protótipo precisam ter condições de
semelhança. Por exemplo, se num dado problema existem dois comprimentos importantes l e l ,
os critérios de semelhança nos termos pi precisam ser:
De modo que:
A razão é chamada de escala de comprimento. Só existirá uma escala de comprimento e todos
os comprimentos estarão �xados com esta escala. O mesmo é válido para os outros parâmetros,
como velocidade, viscosidade etc.
A escala de comprimento é representada por e as outras escalas por , etc., onde o subscrito
indica o parâmetro. A indicação da escala é feita em razões 1/10 ou proporções 1: 10.
Se um ou mais critérios não forem satisfeitos, como, por exemplo, se o modelo será
chamado de modelo distorcido. Modelos distorcidos são usados no estudo de escoamentos em
canais abertos ou escoamentos com superfícies livres devido à di�culdade de encontrarmos um
protótipo que satisfaça a relação = .
=  ϕ ( , , … , )        (Equação 4.2)Π1 m Π2 m Π3 m Πn m
=Π2 m Π2 
=             (Equação 4.3)Π3 m Π3 
=Πn m Πn 
=                       (Equação 4.4)Π1 m Π1
Π1 m Π1 
π
π
π
1 2
=             (Equação 4.5)
l1
l2
l1m
l2m
=             (Equação 4.6)
l1m
l1
l2m
l2
l1m
l1
λl λv λμ
π Π2 m ≠ ,  Π2 
Π2 m Π2
Balanços Diferenciais
Algumas vezes precisamos acrescentar equações à análise dimensional. Neste caso, podemos
utilizar as leis de semelhança conjuntamente com as equações diferenciais que descrevem o
fenômeno.
Vamos estudar o escoamento de um �uido Newtoniano com escoamento bidimensional para
ilustrar esse caso.
A equação que descreve o escoamento é a equação da continuidade, dada por:
E as equações de Navier - Strokes (MUNSON; YOUNG; OKIISHI, 2004) para esse escoamento são
dadas por:
Como podemos notar, o eixo y é vertical e a força gravitacional g está presente apenas no eixo y.
Agora temos que estabelecer as condições de contorno. Vamos especi�car as velocidades em todas
as fronteiras da região que está sendo analisada. Adotaremos e em todos os pontos
da fronteira com e . Podemos também especi�car a pressão na região da fronteira,
ou, se nossa análise for de um escoamento transitório, temos que estabelecer as condições iniciais,
usualmente adotamos .
Nossas variáveis são u, v, p, x, y e t, de modo que necessitamos de uma velocidade de referência
(pode ser a velocidade de escoamento em um ponto distante, onde o escoamento não será
turbulento, ou a velocidade na seção de entrada de um canal), uma pressão de referência , um
comprimento de referência l (pode ser o comprimento de um corpo imerso em um �uido ou a
largura de um canal) e um tempo de referência . As variáveis adimensionais (indicadas com
asterisco) são dadas por:
As equações que descrevem o fenômeno podem, então, ser reescritas em função destas novas
variáveis. Logo:
Todos os outros termos das equações podem ser expressos da mesma forma. Logo, as equações
que descrevem o fenômeno em função das novas variáveis serão:
+ = 0            (Equação 4.7)
du
dx
dv
dy
ρ (   +  u    +  v   ) = − + μ (   +   )       ( Equação 4.8)du
dt
du
dx
du
dy
dp
dx
ud2
dx2
ud2
dy2
ρ (   +  u    +  v   ) = − − ρg + μ (   +   )       (Equação 4.9)dv
dt
dv
dx
dv
dy
dp
dy
vd2
dx2
vd2
dy2
ρ
u = uB v = vB
x = xB y = yB
t = 0
p0
τ
u∗ =     v∗ =     p∗ =         (Equação 4.10)
u
V
v
V
p
p0
x∗ =     y∗ =     t∗ =         (Equação 4.11)
x
l
y
l
t
τ
= =           (Equação 4.12)
du
dx
dV u∗
dx∗
dx∗
dx
V
l
du∗
dx∗
=   ( ) =           (Equação 4.13)ud
2
dx2
V
l
d
dx∗
du∗
dx∗
dx∗
dx
V
l2
d2u∗
dx∗
2
Sendo = (força de inércia local); = (força de inércia convectiva); = 
(força de pressão); = (força gravitacional) e = (força viscosa).
Os termos que aparecem entre colchetes são quantidades de referência que podem ser
interpretadas como indicativos das várias forças(por unidade de volume). Agora, vamos dividir as
equações (4.15) e (4.16) por , que é o indicativo da força de inércia convectiva:
Os termos entre colchetes são os grupos adimensionais (ou seus recíprocos) que foram
desenvolvidos na análise dimensional, sendo que é o número de Strouhal; é o
número de Euler; é o recíproco do número de Froude e é o recíproco do número de
Reynolds.
Podemos concluir que cada um dos grupos adimensionais pode ser interpretado como uma razão
entre duas forças e que estes grupos adimensionais aparecem de maneira natural das equações que
descrevem os escoamentos.
Teoria da Camada Limite
Quando um corpo se move através de um �uido, há uma interação entre estes, ou seja, surgem
forças que atuam na interface �uido-corpo. Estas forças podem ser descritas em função da tensão
de cisalhamento na parede e da tensão normal, que é devida à pressão p. Podemos obter o
arrasto e a sustentação pela integração das tensões de cisalhamento e normais ao corpo.
Como a obtenção das integrais das tensões normais e de cisalhamento são complexas, utilizamos
coe�cientes adimensionais de arrasto e de sustentação, conhecidos por CL (coe�ciente de
sustentação) e CD (coe�ciente de arrasto). Estes coe�cientes são dados por:
Onde A é a área do objeto e U é a velocidade do escoamento em um ponto bem distante (quando a
diferença entre duas medidas for menor que 1%).
Os escoamentos externos possuem características que dependem de inúmeras variáveis. Para
simpli�car os cálculos, nós utilizamos os parâmetros adimensionais como o número de Reynolds, o
+ = 0          (Equação 4.14)
du∗
dx∗
du∗
dy∗
[ ] + [ ](     +      ) = − [ ] + [ ](   +   )     (Equaçãρ V
τ
du∗
dt∗
ρ V 2
l
u∗
du∗
dx∗
v∗
du∗
dy∗
p0
l
dp∗
dx∗
μ V
l2
d2u∗
dx∗2
d2u∗
dy∗2
[ ] + [ ](     +      ) = − [ ] − [ρ g] + [ ](   +   )     (Eρ V
τ
dv∗
dt∗
ρ V 2
τ
u∗
dv∗
dx∗
v∗
dv∗
dy∗
p0
l
dp∗
dy∗
μ V
l2
d2v∗
dx∗
2
d2v∗
dy∗
2
[ ]ρ V
τ
Fil [ ]ρ V
2
l
Fic [ ]
p0
l
Fp
[ρ g] Fg [ ]μ V
l2
Fv
ρ V 2
l
[ ] +     +     = − [ ] + [ ](   +   )     (Equação 4.17)l
τ  V
du∗
dt∗
u∗
du∗
dx∗
v∗
du∗
dy∗
p0
ρ V 2
dp∗
dx∗
μ 
ρ V  l
d2u∗
dx∗
2
d2u∗
dy∗
2
[ ] +     +     = − [ ] − [ ] + [ ](   +   )       (Equaçl
τ  V
dv∗
dt∗
u∗
dv∗
dx∗
v∗
dv∗
dy∗
p0
ρ V 2
dp∗
dy∗
g l
V 2
μ 
ρ V  l
d2v∗
dx∗
2
d2v∗
dy∗
2
[ ]l
τ V
[ ]p0
ρ V 2
[ ]g l
V 2
[ ]μ 
ρ V  l
τp
=     e       =       (Equação 4.19)CL
L
 ρ  A1
2
U 2
CD
D
 ρ  A1
2
U 2
número de Froude, o número de Mach etc. Neste momento, vamos focar nossa atenção no número
de Reynolds e considerar um escoamento variando de acordo com este parâmetro.
A maior parte dos escoamentos (água e ar) estão associados a objetos de tamanho moderado, com
comprimento entre 0,01 < l < 10 m e com velocidade variando entre 0,01 m/s < U < 100 m/s. Assim,
teremos números de Reynolds variando entre 10 < Re <10 . Utilizamos como regra geral que
escoamentos com número de Reynolds Re > 100 são controlados pelos efeitos da inércia, enquanto
que Re < 1 são controlados pelos efeitos viscosos.
Agora vamos nos concentrar nos escoamentos com número de Reynolds bem menores do que 1,
como óleos, lagos, estações de tratamento de esgoto etc. A Figura 4.1 mostra três escoamentos
sobre uma placa plana com comprimento l.
Quando o número de Reynolds é pequeno, os efeitos da viscosidade são fortes e a placa afetará
bastante o escoamento uniforme. Por isso deveremos medir U em uma região muito longe da placa.
Quando o número de Reynolds se torna moderado, a região onde se pode sentir o efeito da
viscosidade se limita à jusante da placa. Já para números de Reynolds grandes, o escoamento será
controlado pelos efeitos da inércia.
O físico alemão Ludwing Prandtl estudou os efeitos do escoamento na camada limite, que pode ser
de�nida por uma região muito �na e adjacente à superfície do corpo onde os efeitos viscosos são
muito importantes.
Fora da camada limite esses efeitos podem ser desprezados. Portanto, temos que estudar algumas
grandezas, como a velocidade em dois momentos:
Dentro da camada limite e
Fora da camada limite.
9
Figura 4.1 - Características do escoamento em regime permanente sobre uma placa plana paralela
ao escoamento ao longe. Escoamento com número de Reynolds a) baixo = 0,1, b) moderado = 10 e c)
alto = 107
Fonte: Munson, Young e Okiishi (2004, p. 487).
Vamos estudar a estrutura da camada limite considerando o movimento de uma partícula �uida no
campo de escoamento, conforme a Figura 4.2.
Quando a partícula entra na camada limite, o gradiente de velocidade faz com que ela comece a
distorcer, ou seja, o escoamento será rotacional dentro da camada limite. A partir de uma distância,
o escoamento se torna turbulento devido a esta distorção. O valor crítico para que esta turbulência
ocorra varia entre 2 x 10 a 3 x 10 , essa variação é função da rugosidade e da intensidade da
turbulência presente no escoamento.
A função da camada limite na placa é permitir que o �uido mude sua velocidade do valor U para
zero na placa, ou seja, teremos um per�l de velocidade dado pela Figura 4.3.
Figura 4.2 - Distorção de uma partícula �uida enquanto escoa em uma camada limite
Fonte: Munson, Young e Okiishi (2004, p. 491).
3 6
O per�l de velocidade será dado por u = u(x, y) que satisfaça as condições V = 0 em y e V U em y
= , ou seja, para = y, será adotado u = 0,99U.
Devido à diferença de velocidades U - u dentro da camada limite, a vazão através da seção b - b é
menor do que aquela apresentada na seção a - a. Assim:
Ou seja, a espessura de deslocamento representa o aumento de espessura necessário do corpo
para que a vazão do escoamento uniforme U seja igual a do escoamento viscoso apresentado no
resto do �uido. Portanto, podemos adicionar uma espessura de deslocamento na parede real para
simular este efeito.
praticar
Vamos Praticar
Na �gura a seguir temos a seção transversal de um componente estrutural longo de uma ponte. Munson,
Young e Okiishi (2004, p. 369) a�rmam que:
ocorre o desenvolvimento de vórtices na parte posterior do corpo e que estes são desprendidos
em uma forma regular e com frequência de�nida quando o vento escoa em torno deste corpo.
Estes vórtices podem criar forças periódicas que atuam na estrutura e é importante sabermos
a frequência de emissão destes componentes.
Figura 4.3 - Espessuras da camada limite: a) espessura normal e b) espessura de deslocamento
Fonte: Munson, Young e Okiishi (2004, p. 492).
≈ î
δ δ
= (1  −   ) dy      (Equação 4.20)δ∗ ∫
0
∞
u
U
Para a estrutura mostrada na Figura 4.4, temos que D = 0,2 m, H = 0,6 m e a velocidade do vento é igual a 25
km/h.
Admitindo que as condições do ar são as normais, a frequência de emissão dos vórtices deve ser
determinada utilizando um modelo (D = 40 mm) que deve ser testado em um túnel de água. A
temperatura da água no túnel é de 20ºC. Considerando que as propriedades do ar na condição padrão são μ
= 1,79 x 10 kg/ms e ρ = 1,23 kg/m e as da água a 20ºC são μ = 1,00 x 10 kg/ms e ρ = 998 kg/m , após a
determinação Hm do modelo e da velocidade do escoamento de água no teste, se a frequência do modelo
for de 25 Hz, a frequência de desprendimento dos vórtices será um número entre:
a) 0 e 10 Hz.
b) 11 e 20 Hz.
c) 21 e 30 Hz.
d) 31 e 40 Hz.
e) Acima de 41 Hz.
Figura 4.4  - Seção transversal de um componente estrutural de uma ponte
Fonte: Munson, Young e Okiishi (2004, p. 369).
m
-5 3 -5 3
Os escoamentos reais apresentam dissipação de energia mecânica por causa do atrito viscoso e
possuem a propriedade de aderência do �uido às superfícies sólidas. A seguir, vamos estudar como
obter um balanço de massa, quantidade de movimento e calor para esses escoamentos.
Analogias Entre Balanço de Massa, Quantidade
de Movimento e Calor
A perda de carga, de acordo com Livi (2017, p. 112):
representada por hp, é a parcela de energia mecânica do escoamento que é
irreversivelmente convertida em energia térmica por causa do atrito viscosoentre duas
seções consideradas. Ela também representa a energia mecânica por unidade de peso
do �uido que é dissipada devido ao atrito viscoso.
Temos dois tipos diferentes de perda de carga, ainda de acordo com Livi (2017, p. 112), dados por:
•  Perda de carga distribuída, hp,d, que ocorre devido ao atrito viscoso ao longo da
tubulação entre duas seções;
•  Perda de carga localizada ou acidental, hp,l, que ocorre devido aos acessórios ou
acidentes localizados em determinadas posições nas tubulações como, por exemplo, as
válvulas, as variações de diâmetro nas seções da tubulação, as curvas etc.
A perda de carga total dada por hp será a soma de todas as perdas de cargas distribuídas e
localizadas entre 2 seções, dada por:
Tomemos como exemplo um duto horizontal de diâmetro D constante, conforme está mostrado na
Figura 4.5, onde temos um escoamento permanente de um �uido incompressível de massa
especí�ca , não havendo perda de carga localizada.
Perda de CargaPerda de Carga
hp = +     (Equação 4.21)∑hp,d ∑hp,l
ρ
Figura 4.5 - Representação grá�ca da equação de Bernoulli para um escoamento com atrito viscoso
em um duto horizontal de diâmetro pequeno e constante
Fonte: Livi (2017, p. 110).
Na seção (1) temos uma pressão estática p1 e na seção temos uma pressão p2. A perda de carga
distribuída, devido ao atrito viscoso entre as seções (1) e (2) que são separadas por um comprimento
L, pode ser dada pela equação de Bernoulli somada a perda de carga, dada por:
Neste exemplo, temos duto horizontal de diâmetro constante, então e , logo, a
equação (4.22) �ca reduzida a:
Ou seja, segundo Livi (2017, p. 112), “a perda de carga distribuída, em um escoamento dentro de um
duto horizontal com diâmetro constante, é dada pela queda de carga da pressão entre as duas
seções consideradas”.
Através de simulações, veri�camos que, para escoamentos dentro de seções tubulares constantes, a
queda de pressão estática, devido ao atrito viscoso entre duas seções, depende do diâmetro do
duto, da rugosidade da parede do tubo, da velocidade média do escoamento, da massa especí�ca e
da viscosidade do �uido. A equação de Darcy-Weisbach relaciona estas variáveis e é dada por:
Onde f é um coe�ciente de proporcionalidade chamado de fator de atrito, L é o comprimento
considerado do duto, D é o diâmetro interno da tubulação e é a velocidade média do escoamento.
Livi (2017, p. 113) ressalta que se pode obter  “o fator de atrito experimentalmente, ele é função de
dois parâmetros adimensionais dados por:
+ + = + + + hp, d      (Equação 4.22)y1
V 21
2 g
p1
ρ g
y2
V 22
2 g
p2
ρ g
=V1 V2 =y1 y2
=       (Equação 4.23)hp,d
  −  p1 p2
ρ g
= f                 (Equação 4.24)hp,d
L
D
V 2−−−
2 g
V
−
f
Onde Re é o número de Reynolds do escoamento e é a rugosidade relativa do duto”.
Ainda recorrendo a Livi (2017, p. 113), temos que esta rugosidade pode ser de�nida “como a altura
média das saliências da superfície interna do duto e a rugosidade relativa é o quociente entre a
rugosidade e o diâmetro interno do duto, sendo que ambos são expressos nas mesmas unidades”.
O fator de atrito pode ser obtido pelo diagrama de Moody dado na �gura 4.6, este fator é
adimensional.
Figura 4.6 - Diagrama de Moody para os fatores de atrito para escoamentos em dutos de seção
circular
Fonte: Livi  (2017, p. 113).
Podemos determinar a rugosidade relativa quando conhecermos o diâmetro do duto e o material
que ele foi construído através do diagrama mostrado na Figura 4.7.
f = f  (Re,   )             (Equação 4.25)e
D
e
D
f
e
D
Figura 4.7 - Diagrama de Moody para a rugosidade relativa de dutos de seção circular
Fonte: Livi  (2017, p. 114).
A perda de carga localizada (também chamada de acidental) é obtida por meio da equação:
Sendo que K é o coe�ciente de perda de carga localizada. Ele é determinado experimentalmente
para cada componente da tubulação e pode ser encontrado em tabelas e manuais do fabricante.
Aplicação da Análise Dimensional
A seguir, estudaremos a análise dimensional no estudo dos modelos de escoamentos em condutos
fechados, em torno de corpos imersos e com superfície livre, assim teremos um padrão que poderá
ser aplicado na maioria das análises de fenômenos de transporte.
Escoamento em Condutos Fechados
Estes escoamentos ocorrem em tubos, válvulas, conexões ou outros dispositivos e geralmente são
usados para a medida de características dos escoamentos. A maioria destes componentes possui
seção transversal circular, mas podem apresentar outros formatos. Como não existe uma interface
com a atmosfera, as forças dominantes são as de inércia e as devido à viscosidade do �uido.
Se o número de Ma for menor do que 0,3, os efeitos da compressibilidade podem ser desprezados.
Geralmente estes escoamentos são descritos por uma série de termos de comprimento dados por l
, l , ...l , onde l é alguma dimensão de comprimento. Esta série nos leva a uma série de termos 
que possuem a forma:
Sendo i = 1, 2, … Dois fatores são importantes nesse tipo de escoamento: a rugosidade das
superfícies internas e a geometria básica do sistema. Se de�nirmos a altura média da rugosidade da
superfície como , o termo que representa a rugosidade será de�nido por . A rugosidade da
hp,l
= K                 (Equação 4.26)hp,l
V 2−−−
2 g
1 2 i π
=               (Equação 4.27)Πi
li
l
ε π ε
l
superfície tem que estar em escala para podermos obter a semelhança geométrica completa. Para
isto, a superfície do modelo tem que ser mais lisa do que aquela do protótipo se a escala de
comprimento for menor do que 1.
Um termo do nosso interesse, por exemplo, a queda de pressão, pode ser obtido por:
Termo dependente = 𝝓            (Equação 4.28)
Esta é a fórmula geral para qualquer tipo de problema. Os dois primeiros termos no lado direito
da equação (4.28) dizem respeito ao critério da semelhança geométrica, dado por:
ou
Ou seja, podemos escolher a escala, mas uma vez escolhida temos que utilizá-la em todos os
comprimentos.
Outro critério de semelhança será dado pelo número de Reynolds:
Logo, a relação entre a velocidade no modelo e a no protótipo será igual a:
Ou seja, o valor real da escala de velocidade será função das escalas de viscosidade dinâmica, de
massa especí�ca e de comprimento. Se utilizarmos o mesmo �uido no modelo e no protótipo,
podemos simpli�car a equação (4.32), porque e . O resultado desta simpli�cação
será dado por:
Ou seja, a velocidade do �uido no modelo será maior do que aquela no protótipo se a escala for
menor do que 1, porque .
O termo dependente será igual no modelo e no protótipo se os critérios de semelhança forem
satisfeitos. Vamos considerar que a variável dependente é a variação de pressão ( p) entre dois
pontos ao longo de um conduto fechado. Então, o termo dependente será dado por:
Portanto, a queda de pressão no protótipo pode ser então calculada com a relação:
Ou seja, a queda de pressão varia de acordo com a densidade do �uido, dividida pela densidade do
modelo, o quadrado da velocidade do �uido dividida pela velocidade do modelo e a variação da
π ( , ,    )li
l
ε
l
ρ V  l
μ
π
=     e     =               (Equação 4.29)
lim
lm
li
l
εm
lm
ε
l
= = =           (Equação 4.30)
lim
li
εm
ε
lm
l
λi
=           (Equação 4.31)
   ρm Vm lm
μm
ρ V  l
μ
=               (Equação 4.32)
Vm
V
μm
μ
ρ
ρm
l
lm
= μμm = ρρm
=         (Equação 4.33)
Vm
V
l
lm
= V /Vm λi
π
Δ
π
=           (Equação 4.34)Π1
Δp
ρ V 2
Δp =   Δ       (E'quação 4.35)
ρ
ρm
( )V
Vm
2
pm
pressão no modelo. Deste modo, é possível se calcular a pressão no protótipo a partir da pressão no
modelo.
Escoamentos em Torno de Corpos Imersos
Estes modelos são utilizados no estudo das características dos escoamentos associados a aviões,
automóveis, bolas de golfe, construções etc. Os critérios de semelhança são similares aos estudados
em escoamentos em dutos fechados, ou seja, temos que manter a semelhança geométrica e os
números de Reynolds no modelo eno protótipo devem ser iguais.
Para escoamentos incompressíveis (onde o número de Mach é desprezado), a fórmula geral aplicada
a este problema será a mesma equação 4.28.
Geralmente, a variável que queremos neste tipo de problema é o arrasto desenvolvido no corpo,
representado pela letra D, ou melhor, o coe�ciente de arrasto dado por:
Onde l é usado para representar a área do objeto. Se igualarmos a equação 4.36 à equação geral
dada por 4.28, teremos:
O critério de semelhança geométrica também será dado pelas equações 4.29  a 4.31. Logo, teremos:
ou
Esta equação fornece um modo para calcular o arrasto no protótipo D a partir da medição do
arrasto no modelo D .
=             (Equação 4.36)CD
D
 ρ   1
2
V 2 l2
2
= = ϕ( , ,    )         (Equação 4.37)D
 ρ   1
2
V 2 l2
CD
li
l
ε
l
ρ V  l
μ
=           (Equação 4.38)
D
 ρ   1
2
V 2 l2
Dm
     1
2
ρ2m V
2
m l
2
m
D =              (Equação 4.39)
ρ
ρm
( )V
Vm
2
( )l
lm
2
Dm
m
saiba mais
Saiba mais
A construção da usina hidrelétrica de Itaipu foi eleita uma
das sete construções mais difíceis feitas pelo homem. O
vídeo apresenta a construção desta usina, incluindo uma
parte onde é mostrada a maquete feita pela CHESF
(Companhia Hidrelétrica do São Francisco) para simular o
vertedouro da usina, quando as comportas são abertas por
excesso de água. Assista ao vídeo.
ASS IST IR
Escoamento em Super�ície Livre
Os escoamentos em canais, rios, vertedouros e cascos de navios são exemplos de escoamentos em
superfícies livres. Nesta classe de problema, as forças gravitacional e de inércia são muito
importantes, portanto, o número de Froude é um parâmetro importante de semelhança, assim
como as forças de tensão super�cial e o número de Weber. A fórmula geral para problemas em uma
superfície livre pode ser expressa como:
Termo dependente = 𝝓            (Equação 4.40)
O número de Froude do modelo e do protótipo devem ser iguais, ou seja:
Fazemos isso operando o modelo e o protótipo no mesmo campo gravitacional, ou seja:
Portanto, a escala da velocidade será determinada pela raiz quadrada da escala de comprimento.
Do mesmo modo, podemos obter a relação entre o número de Reynolds e a velocidade que será
dado por:
Como utilizamos no protótipo água doce ou salgada e a escala de comprimento é pequena,
precisamos que o critério de semelhança seja mantido também no número de Weber dado por:
É claro que muitas vezes temos que utilizar algumas simpli�cações devido a di�culdade de igualar
todos os critérios de semelhança.
praticar
Vamos Praticar
“Dados a vazão do escoamento, a massa especí�ca ρ, o diâmetro e o comprimento do tubo, podemos
calcular o número de Reynolds” (LIVI, 2017, p. 152).
A água está escoando em uma tubulação onde a parede é de aço comercial. Esse �uido possui viscosidade
de 0,001 Pa.s e massa especí�ca igual 1.000 kg/m3. Nestas condições, a vazão da água é igual a 0,04 m3/s. A
seção circular da tubulação apresenta diâmetro de 20 e comprimento de 600 m. A perda de carga
distribuída ao longo da tubulação será um número entre:
π ( , ,    ,   ,   )li
l
ε
l
ρ V  l
μ
V
(g l)
1/2
ρ  lV 2
σ
=       (Equação 4.41)
Vm
(   )gm lm
1/2
V
(g l)1/2
= =       (Equação 4.42)
Vm
V
( )lm
l
1/2
λi
−−√
  =             (Equação 4.43)
Vm
V
( )λi
3/2
=         (Equação 4.44)
σm
ρm
σ
ρ
( )λi
2
a) 0 a 10 m.
b) 11 a 20 m.
c) 21 a 30 m.
d) 31 a 40 m.
e) Acima de 40 m.
A termodinâmica, de acordo com Moran (2005, p. 07), estuda:
as relações entre as propriedades de um sistema e as trocas de calor e trabalho com a
vizinhança, fornecendo informações sobre a quantidade de energia (calor) envolvida
para o sistema passar de um estado inicial a um estado �nal em um dado processo
termodinâmico.
De acordo com Livi (2017, p. 157), podemos de�nir “o calor como a energia que é transferida em
função de uma diferença de temperatura”.
Além disso, o autor a�rma que   “a transferência de calor é a área da ciência que estuda os
mecanismos de transporte de calor e a determinação das distribuições de temperatura e dos �uxos
ou taxas de transferência de calor” (LIVI, 2017, p. 157).
Temos três formas de transferir calor ilustradas na Figura 4.8:
Condução: ocorre devido ao aquecimento do metal que está interno ao cabo da panela;
Convecção: ocorre devido ao aquecimento da água;
Radiação: ocorre nas chamas do fogão.
Estas três formas de calor podem ocorrer simultaneamente ou separadas. Muitas vezes uma
aplicação começa utilizando a transferência de calor por condução, depois utiliza a convecção e, por
�m, termina também usando a radiação, como é o caso de quando fervemos água em uma panela
de ferro, que aquece através das chamas do fogão. A água ferverá mais rapidamente devido às
várias formas de transferência de calor.
Introdução aIntrodução a
Transferência de CalorTransferência de Calor
Segundo Livi (2017, p. 157):
o �uxo de calor é a taxa de transferência de calor, ou a quantidade de calor que é
transferida através de uma superfície por unidade de tempo e a densidade de �uxo de
calor é a quantidade de calor que é transferida por unidade de tempo e por unidade de
área.
Condução
De acordo com Livi (2017, p. 157), “a condução é caracterizada pela transferência de energia térmica
em um meio material sólido ou �uido, causada pela existência de um gradiente de temperatura”.
Livi (2017, p. 157) adicionalmente estabelece que   “a densidade de �uxo de calor por condução é
diretamente proporcional ao gradiente de temperatura, ou seja, em um processo na direção do eixo
x”, sendo assim, temos:
Sendo que Livi (2017, p. 157) denomina “ como sendo a densidade de �uxo de calor por condução
na direção x; como o gradiente de temperatura na direção x e k como o coe�ciente de
proporcionalidade conhecido como condutividade térmica do material”. Esta equação também é
conhecida como equação unidimensional de Fourier para a condução de calor.
Finalmente, Livi (2017, p. 158) estabelece que “a densidade de �uxo de calor é a taxa de
transferência de calor por unidade de área” e é dada por:
Sendo “Qx como  o �uxo de calor por condução na direção x e A como a área da seção normal ao
�uxo de calor” (LIVI, 2017, p. 158).
Figura 4.8 - Ilustração da transferência de calor por condução, convecção e radiação
Fonte: Blueringmedia / 123RF.
= −k         (Equação 4.45)qx
dT
dx
qx
dT
dx
= −k         (Equação 4.46)
Qx
A
dT
dx
A equação geral de Fourier para a condução de calor escrita na forma vetorial é dada por:
O sinal negativo na equação é devido ao fato de que o �uxo de calor por condução se dá no sentido
contrário ao gradiente (ᐁ) de temperatura.
Recorrendo novamente a Livi (2017, p. 158), temos que “a condução de calor é uma transferência de
energia térmica através de um meio material sólido ou �uido em função de um gradiente (diferença)
de temperatura”. Este �uxo ocorre da região de maior temperatura para a região de menor
temperatura.
Os materiais que são bons condutores de calor são, em geral, bons condutores de eletricidade como
os metais (cobre, ouro, alumínio), ou seja, a condutividade térmica é a propriedade do material de
conduzir calor e, na maioria das vezes, essa propriedade é dependente da temperatura.
reflita
Re�ita
As moradias em países norte-americanos e
europeus possuem um sistema de aquecimento
central devido ao intenso frio. Países tropicais como
o Brasil nunca precisaram deste aquecimento, mas
recentes mudanças climáticas têm trazido mais frio
para várias regiões de nosso país. Será que no
futuro nossas casas também não serão projetadas
com sistemas de aquecimento central utilizando
tubulações de gás natural para controlarmos a
temperatura ambiente?
Fonte: Raimo (2007).
Convecção
Esta transferência de calor ocorre pelo deslocamento de uma massa �uida. Quando um �uido está
em movimento, existe uma distribuição não uniforme de temperatura que produz um gradiente de
temperatura (condução) e o transporte dessa massa �uida também produz calor.
Esta transferênciaé classi�cada em função do escoamento em:
Convecção forçada que é causada por agentes externos como ventiladores e bombas;
Convecção natural ou livre que é causada por forças devida ao gradiente de massa
especí�ca que produz diferenças de temperatura no �uido.
Como já aprendemos, quando um �uido se movimenta sobre uma superfície sólida podemos dividir
o campo da velocidade em duas regiões principais: uma junto à superfície sólida e outra mais
distante (fora da camada limite) que apresenta uma distribuição uniforme de velocidade chamada
de escoamento livre.
= −k T           (Equação 4.47)q
− −
Do mesmo modo, quando existir uma diferença de temperatura entre a superfície sólida e o �uido
adjacente a ela, podemos dividir o campo da temperatura do �uido em dois: um junto à superfície
sólida chamado de camada limite térmica e um outro mais distante onde o �uido apresenta
distribuição uniforme de temperatura.
Considerando uma situação de transferência de calor, por convecção forçada, de uma placa sólida
aquecida, vamos manter a superfície da placa a uma temperatura constante T, sendo que o �uido
adjacente possui Temperatura conforme é mostrado na Figura 4.9.
Temos a formação de uma película �uida em repouso aderida à placa devido à propriedade da
aderência dos �uidos viscosos às superfícies sólidas. A velocidade de escoamento nesta película é
zero, sendo que o calor é transferido somente por condução.
À medida que o �uido escoa sobre a superfície sólida, temos um efeito retardado exercido pela
placa sobre o movimento das partículas do �uido, de maneira que a espessura $\delta $ da camada
limite hidrodinâmica aumenta em função do eixo x, que tem origem no bordo de ataque da placa.
Se a superfície da placa e o escoamento livre do �uido apresentarem temperaturas diferentes,
aparecerá uma camada limite térmica com espessura que aumentará à medida que o �uido
escoar sobre a superfície sólida.
Alguns valores típicos do coe�ciente de transferência de calor por convecção são dados na Tabela
4.1.
T∞
Figura 4.9 - Gradiente de transferência de calor por convecção forçada em uma placa aquecida por
um �uido
Fonte: Livi (2017, p 159).
δT
Processo H (W/m .K)
Convecção natural
Gases 2 – 25
Líquidos 50 – 1.000
Convecção forçada
Gases 25 – 250
Líquidos 100 – 20.000
Convecção com mudança de fase
Ebulição ou condensação 2.500 – 100.000
Tabela 4.1 - Valores típicos do coe�ciente de transferência de calor por convecção
Fonte: Bergman e Lavine (2019, p. 06).
O número de Prandtl é dado pela relação entre as espessuras das camadas limites hidrodinâmica e
térmica, e é um parâmetro adimensional que representamos por Pr, que é de�nido como o
quociente entre a viscosidade cinemática e a difusividade térmica do �uido, dado por:
Para os gases, o número de Prandtl é próximo da unidade. Já para os metais líquidos, temos Pr <<1 e
para os óleos viscosos, Pr >> 1.
Para a mesma situação representada pela �gura 4.8, a densidade de �uxo de calor por convecção é
diretamente proporcional à diferença entre as temperaturas da superfície sólida e do �uido e é dada
por:
Onde q é a densidade de �uxo de calor por convecção, Ts é a temperatura da superfície sólida, é
a temperatura do �uido e h é o coe�ciente de transferência de calor por convecção também
chamado de coe�ciente de película. A equação (4.49) é conhecida por Lei de Newton do
resfriamento.
Este coe�ciente h depende do tipo de escoamento, da geometria do sistema, das propriedades do
�uido, se a convecção é forçada ou natural, e da posição ao longo da superfície. Geralmente este
coe�ciente é determinado experimentalmente.
praticar
Vamos Praticar
2 
Pr =                 (Equação 4.48)
ν
α
q = h(Ts − )                  Equação4.49)T∞
T∞
“Um forno industrial foi construído com tijolo refratário de 0,25 cm de espessura, conforme mostra a Figura
4.10. A condutividade térmica do tijolo usado na construção é de 1,7 W/m.K. Os medidores de temperatura
instalados na parede externa e interna deste registraram medidas de 1.200 e 1.500ºC, respectivamente. Este
forno foi construído com 1,4 m de comprimento por 0,75 m de altura. A taxa de calor perdida neste sistema
será um número entre:
a) Entre 0 e 500 W.
b) Entre 501 e 1.000 W.
c) Entre 1.001 e 1.500 W.
d) Entre 1.501 e 2.000 W.
e) Acima de 2.001 W.
Figura 4.10 - Parede de um forno construído com tijolo refratário
Fonte: Bergman e Lavine  (2019, p. 04).
Continuando nosso estudo de transferência de calor, agora vamos estudar a radiação, a Lei dos
Gases Perfeitos e o conceito de resistividade térmica, ou seja, a maior ou menor facilidade que um
material possui de absorver calor e a relação deste conceito com a Termodinâmica.
Radiação
Livi (2017, p. 161) a�rma que “a   radiação é quando ocorre uma transferência de calor sem a
necessidade de um meio material, o transporte de energia tem e�ciência máxima através do vácuo
absoluto”.
Qualquer superfície com temperatura acima de 0 K emite radiação térmica. Um corpo negro pode
ser de�nido como uma superfície que absorve totalmente a radiação incidente sobre ele. Este corpo
negro (radiador ideal) emite radiação térmica com uma densidade de �uxo dada pela Lei de Stefan-
Boltzmann (quando o nome de uma lei aparece separado por hífen, o hífen indica que a lei foi
descoberta por dois cientistas), dada por:
Onde q é a densidade de �uxo de energia radiante emitida pela superfície, $\sigma $é a constante
de Stefan-Boltzmann e Ts é a temperatura absoluta da superfície.
As superfícies reais emitem menos energia que um corpo negro, então a densidade de �uxo destas
superfícies será dada por:
Onde é a emissividade da superfície.
Segundo Livi (2017, p. 161), “a emissividade é uma propriedade da superfície e indica a e�ciência
com que a radiação térmica é emitida pela superfície em comparação com um corpo negro”, como é
o caso das substâncias não metálicas que possuem emissividade alta, enquanto que os metais
polidos apresentam emissividade baixa.
Lei dos Gases Perfeitos
Transferência de CalorTransferência de Calor
q = σ               (Equação 4.50)T 4s
q = εσ                 (Equação 4.51)T 4s
ε
ε
Gases são mais compressíveis que líquidos. De acordo com Munson (2004, p. 11-12), “a massa
especí�ca de um gás está relacionada com a pressão e a temperatura através da equação:
Sendo que p é a pressão absoluta, é a massa especí�ca,  T é a temperatura absoluta (em Kelvin) e
R é a constante do gás. A equação (4.52) é chamada de Lei dos gases perfeitos ou de equação de
estado para os gases perfeitos, porque aproxima o comportamento dos gases reais nas condições
normais. A pressão é dada em N/m2 ou Pa e a pressão absoluta pode ser obtida somando-se a
pressão relativa com a pressão atmosférica local (MUNSON; YOUNG; OKIISHI, 2004,  p. 11-12).
Resistência Térmica
Bergman (2019, p. 08) a�rma que  “os três modos de transferência de calor, condução, convecção e
radiação, apresentam uma taxa de transferência de calor” que pode ser representada na forma:
Onde T é a diferença de temperatura e A é a área perpendicular à direção da transferência de
calor. Chamamos Ri de resistência térmica.
A energia térmica é constituída por uma componente sensível, chamada de Usens, que leva em
consideração os movimentos de translação, rotação e vibração dos átomos que compõem a matéria
e um componente latente Ulat, que é relacionado com as forças intermoleculares ligadas a
mudanças de fase entre os estados sólido, líquido e gasoso.
Os índices de Usens e Ulat são associados ao calor especí�co, chamado de c de um material.
Imaginemos um volume de controle em regime estacionário e na ausência de geração de energia
térmica ou mecânica, ou seja, a energia de entrada é igual a energia de saída. O coe�ciente de
energia chamado de calor especí�co c é conhecido, assim como a temperatura de entrada e saída
do nosso volume de controle. A relação entre estas grandezas é dada pela 1ª Lei da Termodinâmica,
ou seja:
O lado direito daequação 4.54 representa a taxa líquida de saída da entalpia (a energia térmica mais
trabalho do escoamento) para um gás ideal ou de saída de energia térmica de um líquido
incompressível.
praticar
Vamos Praticar
A Figura 4.11 mostra uma tubulação de vapor d’água, esta não tem isolamento térmico e atravessa uma sala
que está a uma temperatura ambiente de 25 ºC. Medimos a temperatura externa de tubo de diâmetro
externo de 50 mm e a leitura foi de 300 ºC, sendo que esta superfície possui emissividade igual a 0,9.
p = ρRT                (Equação 4.52)
ρ
q = A =                 (Equação 4.53)
dx
dt
ΔT
Ri
Δ
q = mc ( − )            (Equação 4.54)Tsai Tent
Adotar  que σ = constante de Stefan-Boltzmann que vale 5,67 x 10-8 W/(m2. K4).
Dado que o coe�ciente associado à transferência de calor por convecção natural da superfície para o ar é
igual a 15 W/m2K, a taxa de calor perdida pela superfície por unidade de comprimento do tubo será um
número entre:
a) 0 a 500 W/m.
b) 501 a 1.000 W/m.
c) 1.001 a 1.500 W/m.
d) 1.501 a 2.000 W/m.
e) acima de 2.001 W/m.
Figura 4.11 - Tubulação sem isolamento térmico
Fonte: Bergman e  Lavine (2019, p. 0 8).
indicações
Material
Complementar
FILME
Volcano
Ano : 1997
Comentário : O �lme conta o caos que seria se um terremoto
provocasse uma erupção vulcânica na cidade de Los Angeles. A lava
utiliza as diversas tubulações de água e do metrô para queimar e
destruir a cidade. Bombeiros, engenheiros e geólogos se juntam para
criar um plano e tentar desviar a lava para o mar. No vídeo, é possível
acionar as legendas.
TRA ILER
LIVRO
Princípios de Termodinâmica para Engenharia
Editora : LTC
Autores : MICHAEL, J. M.; SHAPIRO, H. N., BOETTNER, D. D.; BAILEY, M. B.
ISBN : 978-85-216-3489-8
Comentário : Este livro estuda de uma forma prática a Termodinâmica
e suas Leis. Ele tem uma explicação muito didática sobre o ciclo de
Rankine que é apresentada nas páginas 357 a 364, inclusive com
exemplo muito ilustrativo.
conclusão
Conclusão
Chegamos ao �nal de nosso estudo e nesta unidade foi possível entender as vantagens da análise
dimensional aliadas com a aplicação de equações diferenciais para podermos simular situações
reais em laboratório.
Também aprendemos sobre as perdas nas tubulações por calor ou atrito e como incluí-las no estudo
do balanço de energia, massa e movimento.
Além disso, estudamos a transferência de calor por convecção e condução, assim como suas
aplicações técnicas.
Encerramos nosso estudo com a radiação e a resistividade térmica dos materiais. Assim, pudemos
ter um amplo panorama dos fenômenos de transporte, sua utilização e aplicações na Engenharia.
referências
Referências
Bibliográ�cas
BERGMAN, T. L.; LAVINE, A. S. Incropera Fundamentos de Transferência de Calor e de Massa .
Tradução e revisão técnica de Fernando Luiz Pellegrini Pessoa, Eduardo Mach Queiroz & André Luiz
Hemerly Costa. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2019.
LIVI, C. P. Fundamentos de Fenômenos de Transporte : um texto para Cursos Básicos. 2. ed. Rio de
Janeiro: LTC, 2017.
MORAN, M. J.; SHAPIRO, H. N.; MUNSON B. R.; DEWITT, D. P. Introdução à Engenharia de Sistemas
Térmicos : Termodinâmica, Mecânica dos Fluidos e Transferência de Calor. Tradução de Carlos
Alberto Biolchini da Silva. Rio de Janeiro: LTC, 2005.
MUNSON, B. R.; YOUNG, D. F; OKIISHI, T. H. Fundamentos da Mecânica dos Fluidos . Tradução da
quarta edição americana de: Euryale de Jesus Zerbini. São Paulo: Edgard Blucher, 2004.
RAIMO, P. A. Aquecimento de Água no Setor Residencial . Dissertação (Mestrado em Energia) -
Programa Interunidades de Pós-Graduação de Energia, Universidade de São Paulo, São Paulo, 2007.