RACIOCINIO LOGICO DESCOMPLICADO-448-450

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CAMPUS Capítulo 9 - Quantificadores 433
A sentença "x é animai e x é mamífero” é uma conjunção, e sua negação é dada por: 
l c) nega-se o primeiro termo: x não é animal.
2 a) nega-se o segundo termo: x não é mamífero.
3a) troca-se o E pelo OU.
O resultado é: “x não é animal ou x nâo é mamífero”.
Para transformar numa proposição com quantificador, nunca devemos partir de uma 
disjunção. Portanto, transformaremos essa disjunção em uma condicional, utilizando a se­
guinte regra de equivalência: p ou q = ~p q. Ou seja:
Ia) nega-se o primeiro termo: x é animal.
2a) repete o segundo termo: x não é mamífero.
3Q) troca-se o OU pelo Se... então.
O resultado é: “Se x é animal, então x não é mamífero”.
Acrescentando o quantificador universal (para todo) na frente da sentença negada, teremos: 
“Para todo x, se x é animal, então x não é mamífero”
Esta frase na linguagem corrente pode ser expressa por:
Todo animal não é mamífero. (Resposta!)
Teria sido mais fácil fazer a negação da sentença (V x ) ~P(x), em seguida encontrar a frase 
na linguagem corrente, e por fim efetuar uma nova negação nessa frase. (Lembre que uma 
dupla negação não modifica o sentido da sentença.)
A negação de (Vx ) ~P(x) é feita pela troca do quantificador V pelo quantificador 3 e pela 
negação do que vem em seguida (~P(x)), que resulta em P(x). Ou seja: negação de (Vx) 
~P(x) é igual a (3x) P(x).
A frase correspondente a (3x)P (x) foi obtida no item A, e havíamos encontrado a frase: 
Existe um animal que é mamífero.
Fazendo a negação dessa frase, a fim de anular a primeira negação, teremos:
Nenhum animal é mamífero. (Resposta!)
Esta resposta não está diferente da que encontramos por primeiro, é só aplicar a regra de 
equivalência “Todo... nâo » Nenhum” para que elas fiquem iguais.
2. (AFC - 1997 ~ Esaf) Dizer que é verdade “para todo x, se x é uma rã e x é verde, 
então x está saltando" é logicamente equivalente a dizer que não é verdade que:
a) algumas rãs que não são verdes estão saltando;
b) algumas rãs verdes estão saltando;
c) nenhuma rã verde não está saltando;
d) existe uma rã verde que não está saltando;
e) algo que não seja uma rã verde está saltando.
Solução:
Dizer que uma sentença não é verdade significa que temos que negar a sentença.
Mas anrpç de efetuar a negação da sentença é aconselhável traduzi-la para a linguagem 
corrente.
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434 Raciocínio Lógico Simplificado Voi. I - Prof. Sérgio Carvalho e Prof. Weber Campos ELSEVIER
A sentença “Para todo x ,s e x é uma rã e x é verde, então x está saltando** pode ser sim­
plificada para:
“Para todo x, se x é uma rã verde, então x estã saltando".
E esta última pode ser traduzida para a linguagem corrente como:
“Toda rã verde está sakando“.
Somente agora efetuaremos a negação da sentença. A negação de uma proposição categó­
rica que inicia pela palavra todo é feita trocando-se todo por algum e acrescentando um não 
antes do verbo. Teremos:
“Alguma rã verde não estã saltando11
Não há opção de resposta que seja idêntica a frase acima, mas da equivalência entre al­
gum e existe, chega-se à frase:
Existe uma rã verde que não está saltando.
Resposta: Alternativa D.
3. (BB1 - 2007 - Cespe) Na lógica de primeira ordem, uma proposição é funcional 
quando é expressa por um predicado que contém um número finito de variáveis e 
é interpretada como verdadeira (V ) ou falsa (F ) quando são atribuídos valores às 
variáveis e um significado ao predicado. Por exemplo, a proposição “Para qualquer 
x, tem-se que x - 2 > 0” possui interpretação V quando x é um número real maior do 
que 2 e possui interpretação F quando x pertence, por exemplo, ao conjunto (-4, -3, 
-2, -1, 0}.
Com base nessas informações, julgue os próximos itens.
Item 1. A proposição funcional “Para qualquer x, tem-se que x2 > x” é verdadeira para
5 3 1
todos os valores de x que estão no conjunto 5 — , 3 , — 2 — -
2 2 5 ’ 2
Solução:
A proposição utiliza o quantificador universal (para qualquer = para todo); portanto, 
para que a proposição seja verdadeira é necessário que todos os valores que estão no con­
junto satisfaçam a sentença x2 > x.
Vamos testar cada número do conjunto:
Para x = 5, temos: 52> 5. Proposição verdadeira!
Para á = 5/2, temos: (5/2)2> 5/2. Proposição verdadeira!
Para x = 3, temos: 32> 3. Proposição verdadeira!
Para x - 3/2, temos: (3/2)2 > 3/2. Proposição verdadeira!
Para x = 2, temos: 22> 2. Proposição verdadeira!
Para x = 1/2, temos: (l/2 )2> 1/2. Proposição falsa!
O item afirmou que a proposição é verdadeira, mas isso não é verdade, pois houve um 
elemento do conjunto A que não satisfez a sentença x2> x. Item Errado.
Item 2. A proposição funcional “Existem números que são divisíveis por 2 e por 3” é 
verdadeira para elementos do conjunto {2, 3, 9, 10, 15,16}.
CAMPUS Capítulo 9 - Quantificadores 435
Solução:
A proposição utiliza o quantificador existencial (existe); portanto, para que a proposição 
seja verdadeira é preciso apenas um número do conjunto satisfazendo a sentença: “número 
é divisível por 2 e por 3”.
Vamos testar cada número do conjunto:
Número 2: é divisível por 2, mas não é por 3!
Número 3: é divisível por 3, mas não é por 2!
Número 9: é divisível por 3, mas não é por 2!
Número 10: é divisível por 2, mas nâo é por 31 
Número 15: é divisível por 3, mas não é por 2!
Número 16: é divisível por 2, mas não é por 3!
O item afirmou que a proposição é verdadeira, mas isso não é verdade, pois concluímos 
que nenhum número do conjunto é divisível por 2 e 3 ao mesmo tempo. Item Errado!
4. (Petrobras - 2007 - Cespe) Uma proposição funcional simbólica é uma expressão 
que contém variáveis x, y, z , ... e predicados P, Q, R, que dizem respeito às va­
riáveis, e pode ou não conter os símbolos quantificadores denotados por V (para 
todo) e 3 (existe) que atuam sobre as variáveis. Uma proposição funcional pode ser 
julgada como verdadeira (V ) ou falsa (F), dependendo do conjunto de valores que 
são atribuídos às variáveis e à interpretação dada aos predicados.
Proposições funcionais são expressões, por exemplo, do tipo (Vx)P (x), (3y)Q(y), 
(Vx)(3y)P (x, y ) etc.
A partir das informações acima, julgue o item a seguir.
Item 1. Se as variáveis x e y pertencem ao conjunto A = {2, 3, 4} e o predicado P(x, y) 
é interpretado como x2< y + 2, então a proposição funcional (3x)(Vy)P(x, y) é 
avaliada como verdadeira.
Solução:
Temos que verificar se a proposição (3x)(Vy)(x2 < y + 2), definida no conjunto A = {2, 3, 
4}, é verdadeira ou falsa.
Esta proposição é diferente das que vimos até o momento, pois ela tem duas variáveis: x e y. 
Podemos ler a proposição (3x)(Vy)(x2<y+2) do seguinte modo: existe um x para todo y tal 
que x2 < y + 2. Onde as variáveis x e y assumem os valores que estão no conjunto A = {2, 3,4}.
Será que existe mesmo um x para todo y, no conjunto A, que satisfaça x2< y + 2? Como é 
para todo y, devemos testar todos os valores que y pode assumir:
♦ Para y = 2 existe um x que satisfaz a sentença x2á y-s-2? Mantendo y - 2, vamos variar o 
x para testar:
Teste d o y - 2 e x = 2 = > 2 2< 2+2 =í> 4 < 4 (verdade!). Pronto, já sabemos que 
existe um x, quando y - 2. Passemos para outro valor de y.
• Para y - 3 existe um x que satisfaz a sentença x2á y+2? Mantendo y=3, vamos variar o x 
para testar:
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