RACIOCINIO LOGICO DESCOMPLICADO-451-453

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436 Raciocínio Lógico Simplificado Vol. i - Prof. Sérgio Carvalho e Prof. Weber Campos ELSEVIER
Teste d o y = 3 e x = 2 = > 2 2< 3+2 => 4 < 5 (verdade!). Pronto, já sabemos que 
existe um x, quando y=3. Passemos para o último valor de y.
• Para y=4 existe um x que satisfaz a sentença x2<[ y+2? Mantendo y=4, vamos variar o x 
para testar:
Teste d o y = 4 e x = 2 = > 2 2< 4+2 => 4 < 6 (verdade!). Pronto, já sabemos que 
existe um x, quando y = 4.
Conclui-se, então, que existe um x para todo y que satisfaz a sentença x2<y+2. Portanto, 
a proposição (3x)(Vy)(x2< y + 2) é verdadeira! O item estã Certo!
9.7. Exercícios Propostos
1. Julgue as proposições seguintes quanto ao seu valor lógico (verdadeiro ou
faiso):
D (Vx & R)(X - 4 > 9)
2) (3X s R){x - 4 > 9>
3) (Vx e fí)(lxi = x)
4) (3X e NXx2 - 4x + 4 = 0)
5) (3x e N)(2x + 4 = x + 3)
6) (3x s Z)(2x + 4 == x + 3 )
7) (->3x <s R)(x+ 3-= x + 7)
8) Olx e R)(SX = 1)
9) (3ÍX e R)(x2 - 9 --0 )
10) (V x e Z)(3 y e N)(y < x)
2. Considere o conjunto A={1, 2, 3, 4, 5}. Determine o vaior lógico das proposi­
ções a seguir:
0 (3X «: A) (x+4-7);
2) (3 y «= A) (y+3<5);
3) (3z €: A) (3z>l 2);
4) (Vx 1E A) (x<7);
5) (Vy <E A) (y+2<7);
6 ) (Vz <£ A) (4 z - z2 * 0).
3. (AFTN ~ Esaf - 1998) Indique quai das opções abaixo é verdadeira.
a) Para algum número real x, tem-se que x < 4 e que x > 5.
b ) Para todo número real y, tem-se que y < 3 e que y > 2.
c) Para algum número real x, tem-se que x < 4 e que x2 + 5x = .
d) Para algum número real k, tem-se que k > 5 e que kJ - 5k = 0.
e) Para todo número real positivo x, tem-se que x2> x.
4. (TCM-RJ - FCV - 2003) Considere os conjuntos A=|l , 3 , 5J e B-{1 , 2 , 4 , 6}. A 
partir destes dados, é correto concluir que:
a) todo elemento de A é maior que algum elemento de B;
b) todo elemento de A não é menor que algum elemento de B;
c) todo elemento de A não é menor que qualquer elemento de B;
d) todo elemento de A é menor ou igual a qualquer elemento de B.
5. (TCM-RJ - FGV - 2003) Uma afirmação verdadeira a respeito do conjunto U= {-1,0, IJé
a) para todo x, existe y ta l que x+y = 0;
b) existe x tal que para cada y, x+y = 0;
c) existe x tal que para todo y, x>y;
d) para todo x e todo y, x+y e U.
CAMPUS C ap ítu lo 9 - Quantificadores 437
6. (PM - Ceará - Cespe - 2008)
Item 1. S e Qé o conjunto dos números racionais, então a proposição (3x)(xeQ) 
(x2+x-l = 0) é julgada como V. 
item 2. Se N é o conjunto dos números Inteiros, então a proposição <Vx)<xeN) 
[(x~1)x(x+l) é divisível por 3] é julgada como V.
7. (TRT - 5a região - Cespe - 2008) Julgue os seguintes itens.
item 1. S e Q é o conjunto dos números racionais, então a proposição (Vx)(xeQ 
e x > 0)(x2 > x) é valorada como F. 
item 2. Se Q é o conjunto dos números racionais, então a proposição <3x)(xeQ) 
(x2 = 2) é valorada como V.
8. (TRT 5a Região - Técnico judiciário - Cespe - 2008)
Item 1. Se R é o conjunto dos números reais, então a proposição (Vx)(xeR)(3y) 
(yeR)(x4-y=x) é valorada como V.
d. (INSS Analista 2008 CESPE) Algumas sentenças são chamadas abertas porque
são passíveis de interpretação para que possam ser julgadas como verdadei­
ras (V) ou falsas (F). Se a sentença aberta for uma expressão da forma VxP(x), 
lida como “para todo x, P(x)”, em que x é um elemento qualquer de um conjunto 
U, e P(x) é uma propriedade a respeito dos elementos de U, então é preciso 
explicitar U e P para que seja possível fazer o julgamento como V ou como F.
A partir das definições acima, julgue os itens a seguir.
Item 1. Se U for o conjunto de todos os funcionários públicos e P(x) for a pro­
priedade “x é funcionário do INSS”, então é falsa a sentença VxP(x). 
item 2. Considere-se que U seja o conjunto dos funcionários do INSS, P(x) seja 
a propriedade "x é funcionário do INSS” e Q(x) seja a propriedade “x 
tem mais de 35 anos de idade”. Desse modo, é correto afirmar que 
duas das formas apresentadas na lista abaixo simbolizam a proposi­
ção Todos os funcionários do INSS têm mais de 35 anos de idade.
(i) Vx(se Q(x) então P(x»
(ii) Vx(P(x) ou Q(x))
(iii) Vx(se P(x) então Q(x»
10. (MPE - Tocantins - Técnico - Cespe - 2006) Uma proposição pode ser expressa
em função de uma ou mais variáveis. Por exemplo, afirmativas tais como “para 
cada x, P(x)” ou "existe x, P(x>” são proposições que podem ser interpretadas 
como V ou F, de acordo com o conjunto de vaiores assumidos pela variável x e 
da interpretação dada ao predicado P.
A negação da proposição “para cada x, P(x)” é “existe x, ~>P(x)”. A negação da 
proposição “existe x, P(x)’’ é “para cada x, ->P(x)”.
Considerando as informações apresentadas acima, julgue os itens subsequen­
tes.
Item 1. A proposição “para cada x, (x + 2) > 7” é interpretada como V para x 
pertencente ao conjunto {6, 7, 8, 9}.
Item 2. Se x pertence ao conjunto {O, 1, 2, 3, 4, 5,6, 7, 8, 9}, então a proposição 
“existe x, (x + 6) < 4” é V.
Item 3. A negação das proposições “para cada x, (x + 4) * 10” e “existe x, (x + 3)
< 8” é verdadeira para x pertencente ao conjunto 12, 4, 6, 8, 10}.
11. (MPE - Tocantins - Analista - Cespe - 2006) Texto H
Proposições também são definidas por predicados que dependem de variáveis 
e, nesse caso, avaliar uma proposição como V ou F vai depender do conjunto 
no qual essas variáveis assumem vaiores. Por exemplo, a proposição “Todos 
os advogados são homens”, que pode ser simbolizada por (Vx)(A(x) -> H(x)), 
em que A(x) representa “x é advogado” e H(x) representa “x é homem”, será V 
se x pertencer a um conjunto de pessoas que torne a implicação V; caso con­
trário, será F. Para expressar simbolicamente a proposição “Algum advogado 
é homem”, escreve-se (3x)(A(x)aH(x)). Nesse caso, considerando que x pertença 
ao conjunto de todas as pessoas do mundo, essa proposição é V.
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438 Raciocínio Lógico Simplificado Vol. i - Prof. Sérgio Carvalho e Prof. Weber Campos ELSEVIER
Na tabela abaixo, em que A e B simbolizam predicados, estão simbolizadas 
algumas formas de proposições.
proposição forma simbólica
todo A é B (V*)(A(x) - * B(x))
nenhum A é B -*(3x)(A(x)AB(x))
A partir das informações dos textos I e II, julgue os itens subsequentes.
1. A proposição “Nenhum pavão é misterioso” está corretamente simbolizada 
por -»(3x ) (P (x )a M (x ) ) , se P(x) representa “x é um pavão” e M(x) representa “x 
é misterioso”.
2. Considerando que (Vx)A(x) e (3x)A(x) são proposições, é correto afirmar que 
a proposição (Vx)A(x) (3x)A(x) é avaliada como V em qualquer conjunto 
em que x assuma valores.
3. A proposição (Vx) ((x > 0) -» (x + 2) é par) é V se x é um número inteiro.
12. (TCE-ES - Cespe - 2004) Considere as seguintes afirmativas, 
i. Vx, se x(x + 1) > O, então x > 0 ou x < •!.
II. Vn, se n é divisível por 2, então n é par.
Acerca dessas Informações, julgue os itens que se seguem.
1. A negação da afirmativa II pode ser escrita da seguinte forma: 3n tal que n 
é divisível por 2 ou n não é par.
2. A afirmativa I é verdadeira para x pertencente ao conjunto dos números 
reais.
13. (Serpro - Cespe - 2004) A expressão (3y)(Vx) P(x, y) é uma fórmula sintatlcamente 
correta da lógica de predicados clássica. Diz-se que uma tal fórmula é semantíca- 
mente válida quando as suas variáveis x e y e o predicado P têm alguma interpre­
tação que os verifique. Quanto a esse assunto, julgue o item subsequente.
1. S e x e y assumem valores no conjunto dos números inteiros e o predicado 
P(x, y) é Interpretado como x<y, então a fórmula é semanticamente válida.
14. (Papiloscopista - Cespe - 2004) Considere as quatro sentenças enumeradas a 
seguir.
I. Para cada y, existe algum x, tal que x < y.
II. Para cada x e para cada y, se x < y então existe algum z , tal que x < z e z < y.
III. Para cada x, se 0 < x, então existe aigum y tal que x - y x y.
IV. Existe algum x tal que, para cada y, x < y.
Suponha que, nessas sentenças, x, y e z sejam variáveis quepodem assumir 
valores no conjunto dos números naturais (A/), no dos números inteiros (Z), no 
dos números racionais (Q) ou no conjunto dos números reais (R).
Em cada linha da tabela a seguir, são atribuídas valorações V e F, para cada 
uma das quatro sentenças enumeradas acima, de acordo com o conjunto no 
qual as variáveis x, y e z assumem valores.
sentença ;-2 ■ ' Q R
1 F V F V
II F F V V
III V F F V
IV F F F F
Julgue os itens subsequentes, a respeito dessas sentenças.
1. As avaliações dadas para as sentenças I e ill estão corretas.
2. As avaliações dadas para as sentenças II e IV estão corretas.