Aula_03_-_Geometria_Plana_IV_-_CN_2024-409-411

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Prof. Victor So 
 
 
 
AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
𝐸𝐹 = 𝐸𝐷 + 𝐷𝐹 = 6 cos 𝛼 =
3√3
√2
 
Por fim, a área solicitada vale: 
𝑆𝐴𝐸𝐹 =
𝐸𝐹 ⋅ 𝐴𝑀
2
⇒ 𝑆𝐴𝐸𝐹 =
𝐸𝐹 ⋅ 1 ⋅ 𝑠𝑒𝑛𝛼
2
⇒ 𝑆𝐴𝐸𝐹 =
3√3
√2
⋅
√5
2√2
2
=
3√15
8
 
Gabarito: “c”. 
211. (EFOMM/2018) 
Qual é a área de uma circunferência inscrita em um triângulo equilátero, sabendo-se que esse 
triângulo está inscrito em uma circunferência de comprimento igual a 𝟏𝟎𝝅 𝒄𝒎? 
a) 
𝟕𝟓𝝅
𝟒
 
b) 
𝟐𝟓𝝅
𝟒
 
c) 
𝟓𝝅
𝟐
 
d) 
𝟐𝟓𝝅
𝟏𝟔
 
e) 
𝟓𝝅
𝟒
 
Comentários 
Um triângulo equilátero possui o incentro, o circuncentro e o baricentro coincidentes e, 
além disso, o baricentro é o ponto que divide sua altura na razão 2:1, logo: 
 
 Temos 𝑅 = 2𝑟. Como a circunferência externa possui comprimento igual a 10𝜋, temos: 
 
 
 
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2𝜋𝑅 = 10𝜋 ⇒ 𝑅 = 5 𝑐𝑚 
 Assim, 
𝑟 =
𝑅
2
=
5
2
 𝑐𝑚 
 A área da circunferência inscrita é: 
𝐴 = 𝜋𝑟2 = 𝜋 (
5
2
)
2
=
25
4
𝜋 𝑐𝑚2 
Gabarito: “b”. 
212. (EFOMM/2016) 
Determine o comprimento do menor arco 𝑨𝑩 na circunferência de centro 𝑶, representada na figura 
a seguir, sabendo que o segmento 𝑶𝑫 mede 𝟏𝟐 𝒄𝒎, os ângulos 𝑪�̂�𝑫 = 𝟑𝟎° e 𝑶�̂�𝑩 = 𝟏𝟓° e que a 
área do triângulo 𝑪𝑫𝑶 é igual a 𝟏𝟖 𝒄𝒎𝟐. 
 
a) 𝟓𝝅 𝒄𝒎 
b) 𝟏𝟐 𝒄𝒎 
c) 𝟓 𝒄𝒎 
d) 𝟏𝟐𝝅 𝒄𝒎 
e) 𝟏𝟎𝝅 𝒄𝒎 
Comentários 
Seja 𝐶𝑂 = 𝑅. Assim, 
𝑆𝐶𝐷𝑂 =
𝑂𝐷 ⋅ 𝐶𝑂 ⋅ sen𝐷Ô𝐶
2
⇒ 18 =
12 ⋅ 𝑅 ⋅ sen 30°
2
⇒ 36 = 12 ⋅ (
1
2
) ⋅ 𝑅 ⇒ 𝑅 = 6 𝑐𝑚 
Como 𝑂�̂�𝐵 = 𝑂�̂�𝐴 = 15° já que 𝑂𝐴𝐵 é um triângulo isósceles, temos: 
𝐴�̂�𝐵 = 150° =
5𝜋
6
 
E então o arco AB é dado por: 
 
 
 
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𝐴�̂�𝐵 =
𝑚(𝐴�̂�)
𝑅
⇒
5𝜋
6
=
𝑚(𝐴�̂�)
6
⇒ 𝑚(𝐴�̂�) = 5𝜋 𝑐𝑚 
Gabarito: “a”. 
213. (EFOMM/2015) 
Deseja-se construir uma janela que possuindo a forma de um retângulo sob um semicírculo, 
conforme figura abaixo, permita o máximo de passagem de luz possível. Sabe-se que: o vidro do 
retângulo será transparente; o vidro do semicírculo será colorido, transmitindo, por unidade de 
área, apenas metade da luz incidente em relação ao vidro transparente; o perímetro total da janela 
é fixo e vale 𝒑. Nessas condições, determine as medidas da parte retangular da janela, em função 
do perímetro 𝒑. Obs: Ignore a espessura do caixilho. 
 
a) 
𝟒
𝟑𝝅+𝟖
𝒑 e 
𝝅+𝟒
𝟐(𝟑𝝅+𝟖)
𝒑 
b) 
𝟐
𝟑𝝅+𝟖
𝒑 e 
𝝅+𝟒
𝟒(𝟑𝝅+𝟖)
𝒑 
c) 
𝟖
𝟑𝝅+𝟖
𝒑 e 
𝝅+𝟒
𝟑𝝅+𝟖
𝒑 
d) 
𝟔
𝟑𝝅+𝟖
𝒑 e 
𝟑(𝝅+𝟒)
𝟒(𝟑𝝅+𝟖)
𝒑 
e) 
𝟒
𝟑𝝅+𝟖
𝒑 e 
𝟖
𝟑𝝅+𝟖
𝒑 
Comentários 
 
Seja x a base do retângulo e y a altura. Logo, o raio do semicírculo vale 𝑟 =
𝑥
2
. O perímetro 
da janela é: 
𝑝 = 𝑥 + 2𝑦 +
2𝜋𝑟
2
⇒ 𝑝 − 𝑥 −
𝜋𝑥
2
= 2𝑦 ⇒ 𝑦 =
2𝑝 − 2𝑥 − 𝜋𝑥
4