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1
Triângulos I
2B05
Aula Matemática
Introdução
O que é Trigonometria?
A palavra Trigonometria pode ser desmembrada em três outras menores que podem nos dar uma ideia do seu 
significado.
tri = três
gono = ângulo
metria = medida
A composição das palavras menores sugere que Trigonometria signifique o estudo das medidas dos triângulos.
Como medir a distância da Terra ao Sol?
Como medir a largura de um rio sem atravessá-lo?
Essas perguntas eram comuns antigamente. Como determinar distâncias inacessíveis? Das semelhanças observa-
das entre figuras menores e figuras maiores, por meio do uso de razões trigonométricas, foi possível responder a essas 
perguntas. Pode-se dizer, inclusive, que um dos principais motivos do estudo da Trigonometria foi a determinação de 
distâncias inacessíveis. Vamos citar alguns fatos relacionados a isso.
Eudoxo de Cnido (400 - 350 a.C.) foi um matemático e astrônomo grego que teria usado razões trigonométricas 
para calcular a medida da circunferência da Terra e as distâncias relativas ao Sol e à Lua.
Tales de Mileto, outro matemático grego (640 - 550 a.C.), ficou famoso em sua época graças a duas façanhas: a previ-
são de um eclipse ocorrido em 585 a.C. e a determinação da altura da pirâmide de Quéops, sem escalar o monumento.
Co
re
l S
to
ck
 P
ho
to
s
Atualmente, as aplicações trigonométricas não se restringem apenas a triângulos. Podem ser usadas na Enge-
nharia em geral, Topografia e em várias outras áreas do conhecimento. Muitas delas ligadas a fenômenos periódicos.
Nesta aula, você estudará a Trigonometria no triângulo retângulo. Aprenderá as razões trigonométricas seno, 
cosseno e tangente para triângulos que apresentam um ângulo reto 90° .
Sendo α a medida de um ângulo agudo de um tri-
ângulo retângulo, chama-se seno de α a razão entre as 
medidas do cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa do 
triângulo:
Cateto 
oposto a α.Hip
ote
nus
a
α
sen
Cateto oposto a
Hipotenusa
α
α
=
2 Extensivo Terceirão
Razão trigonométrica seno
Vamos considerar um automóvel se deslocando ao 
longo de um plano inclinado. Representando por A1, A2 
e A3 três posições do automóvel e h1, h2 e h3 suas alturas 
correspondentes em relação ao plano horizontal, temos:
Perc
urso
Perc
urso
Perc
urso
h2
h1
h3
α
α
α
P
P
P
A1
A2
A3
A razão entre a altura em que se encontra o automó-
vel e o percurso (na rampa) é constante:
h
A P
h
A P
h
A P
k1
1
2
2
3
3
Assim, podemos definir o que é seno:
Essa constante de proporcionalidade 
é a razão seno de α
Exemplo 1:
Calcule o sen 30° no triângulo retângulo a seguir.
sen 30° = 
4
8
cm
cm
sen 30° = 
1
2
8 cm
4 cm
30°
Exemplo 2:
Calcule a medida x indicada no triângulo, sendo 
sen 40° = 0,64. 
sen 40° = 
x
cm6
0,64 = 
x
cm6
6 cm
x
40°
Razão trigonométrica 
cosseno
Voltando ao problema da rampa e do automóvel, 
vamos observar, agora, em três posições, a razão entre 
o afastamento na horizontal e o percurso do automóvel:
P
A1
B1
Perc
urso
α
Afastamento
0,64 ∙ 6 cm = x 
x = 3,84 cm
Aula 05
3Matemática 2B
P
P
Afastamento B2
A2
Perc
urso
Afastamento
Perc
urso
B3
A3
α
α
A razão entre o afastamento e o percurso é constante:
Esta constante de proporcionali-
dade é a razão cosseno de α
PB
PA
PB
PA
PB
PA
k1
1
2
2
3
3
Sendo α a medida de um ângulo agudo de um 
triângulo retângulo, chama-se cosseno de α a razão 
entre as medidas do cateto adjacente ao ângulo e a 
hipotenusa do triângulo:
Hip
ote
nus
a
Cateto adjacente a α
α
cosα
α
=
Cateto adjacente a
Hipotenusa
Exemplo 1:
Calcule o cos 45° no triângulo retângulo a seguir.
cos 45° = 
4
4 2
cm
cm
cos 45° = 
1
2
2
2
cos 45° = 
2
2
4 cm
45°
4√2 cm
Exemplo 2:
Calcule a medida x indicada no triângulo, sendo 
cos α = 0,41.
cos α = x
7
0,41 = 
x
7
0,41 ∙ 7 = x ⇒ x = 2,87 cm
7 cm
x
α
Razão trigonométrica 
tangente
Considerando agora, no problema do automóvel e 
da rampa, a razão entre a altura em que se encontra o 
automóvel (em relação à horizontal) e seu correspon-
dente afastamento, temos:
�
�
�
A1
A2
A3
B1
B2
B3
h3
h2
h1
Afastamento
Afastamento
Afastamento
P
P
P
α
α
α
A razão entre a altura e o afastamento é constante:
h
PB
h
PB
h
PB
k1
1
2
2
3
3
 Esta constante de proporciona-
lidade é a razão tangente de α
4 Extensivo Terceirão
Sendo α a medida de um ângulo agudo de um 
triângulo retângulo, chama-se tangente de α a 
razão entre as medidas do cateto oposto e do cateto 
adjacente ao ângulo α.
Ca
te
to
 o
po
st
o 
a 
α
Cateto adjacente a α
tg
Cateto oposto a
Cateto adjacente a
α
α
α
=
Exemplo 1:
Calcular a tg 60° no triângulo retângulo a seguir.
5 3cm
60°
5 cm
tg 60° = 
5 3
5
cm
cm
tg 60° = 3
Exemplo 2:
Calcule a medida x indicada no triângulo, sendo 
tg α = 0,62.
tg α = 
x
cm5
0,62 = 
x
cm5
0,62 ∙ 5 cm = x 
x = 3,1 cm
5 cm
x
Ângulos complementares
a
c
α
b
β
Considere um triângulo re-
tângulo de lados medindo a, b 
e c e ângulos agudos α e β.
Vamos calcular as razões trigonométricas dos ângu-
los α e β:
sen α = c
a
; cos α = b
a
; tg α = c
b
sen β = b
a
; cos β = c
a
; tg β = b
c
Observe que:
sen α = cos β = c
a
sen = cos α = b
a
Isso ocorre quando temos ângulos complementares, 
ou seja, ângulos cujas medidas somam 90°.
sen β = cos 
sen α = cos 
 + = 90° 
Assim, por exemplo, sen 20° = cos 70°, pois 
20° + 70° = 90°.
Vale a pena ainda observar que, no caso de um triân-
gulo retângulo cujos ângulos agudos são e β o cateto 
oposto a é o cateto adjacente a e, de forma análoga, 
o cateto adjacente a é o cateto oposto a β.
Hipotenusa
Cateto oposto a α
ou Cateto 
adjacente a 
Cateto adjacente a 
ou Cateto oposto a 
Razões trigonométricas 
dos ângulos 30°, 45°e 60°
Na trigonometria em triângulos, uma grande di-
versidade de problemas pode ser resolvida a partir do 
conhecimento das razões trigonométricas dos ângulos 
30°, 45° e 60°.
Essas razões serão obtidas por meio de propriedades 
geométricas presentes no triângulo equilátero e no qua-
drado. Antes, porém, será necessário recordar o Teorema 
de Pitágoras, válido em qualquer triângulo retângulo.
Aula 05
5Matemática 2B
Teorema de Pitágoras
Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da 
medida da hipotenusa é igual à soma dos quadra-
dos das medidas dos catetos:
a
b
c
a2 = b2 + c2
Razões trigonométricas de 45°
Considere o quadrado de lado medindo x:
d
45°
45°
x
x
 • Diagonal em função do lado:
a2 = b2 + c2
d2 = x2 + x2
d2 = 2x2 d = x 2
 • sen 45° = cos 45° 
sen 45° = cos 45° = 
x
d
sen 45° = cos 45° = 
x
x 2
sen 45° = cos 45° = 
2
2
 
 • tg 45°
tg 45° = 
x
x
tg 45 ° = 1
Razões trigonométricas de 30° e 60°
Considere o triângulo equilátero de lado medindo x:
30°
60°
x
h
x/2
 • Cálculo da altura em função do lado:
a2 = b2 + c2
x h
x
h
x
h
x
2 2
2
2
2
2
3
4
3
2
= +⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
= ⇒ =
 • sen 30° = cos 60°
sen 30° = 
x
x
2
sen 30° = cos 60° = 
1
2
 • sen 60° = cos 30°
sen 60° = 
h
x
sen 60° = 
x
x
3
2 
sen 60 ° = cos 30° = 
3
2
 • tg 60°
tg 60° = 
h
x
2
tg 60° = 
x
x
3
2
2
 tg 60° = 3
 • tg 30° 
tg 30° = 
x
x
2
3
2
tg 30° = 
1
3
3
3
 tg 30° = 
3
3
6 Extensivo Terceirão
Os resultados obtidos podem ser resumidos no seguinte quadro:
30° 45° 60°
sen
1
2
2
2
3
2
cos 3
2
2
2
1
2
tg
3
3
1 3
01. (UFSC) – Em um centro de eventos na cidade de Ma-
dri, encontra-se um mural de Joan Miró (1893 -1983) 
confeccionado pelo ceramista Artigas. O mural está 
colocado no alto da parede frontal externa do prédio 
e tem 60 m de comprimento por 10 m de altura. A 
borda inferior do mural está 8 m acima do nível do 
olho de uma pessoa. A que distância da parede deve 
ficar essa pessoa para ter a melhor visão do mural, 
no sentido de que o ângulo vertical que subtende 
o mural, a partir de seu olho, seja o maior possível? 
O matemático Regiomontanus (1436 -1476) propôs 
um problema semelhante em 1471 e o problema 
foi resolvido da seguinte maneira: Imagine uma cir-cunferência passando pelo olho O do observador e 
por dois pontos P e Q, verticalmente dispostos nas 
bordas superior e inferior do mural. O ângulo α será 
máximo quando esta circunferência for tangente à 
linha do nível do olho, que é perpendicular à parede 
onde se encontra o mural, como mostra a figura.
Com estas informações, calcule a que distância OC 
da parede deve ficar o observador para ter a melhor 
visão do mural de Joan.
Linha do nivel do olho
OC
P
Q
α8 m
10 m
02. (UEMG) – Observe a figura: 
Copyright ©1999 Mauricode Souza Produções Ltda. Todos os direitos reservados.
Tendo como vista lateral da escada com 6 degraus, 
um triângulo retângulo isósceles de hipotenusa 
10 metros, Magali observa que todos os degraus 
da escada têm a mesma altura. 
A medida em cm, de cada degrau, corresponde 
aproximadamente a: 
a) 37.
b) 60.
c) 75.
d) 83.
Situações para resolver
Aula 05
7Matemática 2B
03. (UNIFOR – CE) – Uma pessoa está a 80 3 m de um 
prédio e vê o topo do prédio sob um ângulo de 30°, 
como mostra a figura abaixo. Se o aparelho que mede 
o ângulo está a 1,6 m de distância do solo, então po-
demos afirmar que a altura do prédio, em metros, é:
1, 60 m
30°
80√3 m
a) 80,2 b) 81,6 c) 82,0
d) 82,5 e) 83,2
04. (UNIFOR – CE) – Os pneus de uma bicicleta têm raio 
R e seus centros distam 3R. Além disso, a reta t passa 
por P e é tangente à circunferência do pneu, forman-
do um ângulo α com a reta s que liga os dois centros. 
P
t
s
Pode-se concluir que cos é igual a:
a) 3 2
2
 b) 2 2
3
 c) 2 3
3
d) 
3 3
2
 e) 3
3
Testes
Assimilação
05.01. (CMRJ) – A figura abaixo apresenta 100 quadrados de 
lado medindo 1 cm. Uma formiga saiu do ponto A, passou 
pelo ponto B e foi até o ponto C. Se ela tivesse seguido o 
caminho em linha reta de A até C, teria percorrido:
A
B
C
a) 13 cm
b) 2 13 cm
c) 8 cm
d) 10 cm
e) 52 cm
8 Extensivo Terceirão
05.04. Na figura, ABCD é um quadrado de lado 2 e E é o 
ponto médio do lado AB. O cosseno do maior ângulo agudo 
do triângulo ADE é igual a:
A
D
B
C
E
a) 1
2
b) 5
5
c) 2
2
d) 
1 5
2
e) 
3
2
Aperfeiçoamento
05.05. (UNIFOR – CE) – Um corredor A está sobre uma 
linha reta e corre sobre ela no sentido AX com velocidade 
constante igual à metade do corredor B que se desloca no 
sentido BX.
B
A X
α
Sendo a partida simultânea e considerando que a reta BA 
faz um ângulo reto com a reta AX, o ângulo α que a traje-
tória de B deve fazer com a reta BA para que seja possível o 
encontro é de: 
a) 30° b) 35° c) 40° d) 45° e) 60°
05.02. (IFPE) – O professor de matemática do Campus 
Pesqueira lançou um desafio à turma de Edificações: estimar a 
altura da Serra do Ororubá utilizando apenas um transferidor. 
Sara, aluna da turma, lembrou que existe uma placa turística 
a 1 km de distância da serra de onde se consegue enxergar o 
cume da Serra. Chegando a esta placa, Sara, com o transferidor 
perpendicular ao solo, estimou um ângulo de 50° entre a base 
e o cume da Serra do Ororubá. Sabendo que sen 50° = 0,77; 
cos 50° = 0,64; tg 50° = 1,19; e tomando como referência o 
esquema mostrado na figura abaixo, certo que Sara não errou 
os cálculos, qual é a altitude estimada da Serra do Ororubá 
calculada por ela?
a) 1 000 m
b) 640 m
c) 770 m
d) 1 190 m
e) 830 m
05.03. (UECE) – Se a razão entre as medidas dos catetos 
de um triângulo retângulo é igual a 
1
2
, o valor do seno 
do menor dos ângulos internos desse triângulo é 
a) 3
2
.
b) 3
3
.
c) 2
3
.
d) 
2
2
.
Aula 05
9Matemática 2B
05.06. (IFCE) – O quadrilátero ABCD é tal que os ângulos 
e ˆ ˆABC e ADC são retos. Sabendo que os lados AB, BC e 
CD medem 7 m, 24 m e 20 m, respectivamente, podemos 
concluir que o perímetro desse quadrilátero, em metros, vale 
a) 66.
b) 62.
c) 51.
d) 54.
e) 70.
05.07. (ESPCEX – SP) – Um tenente do Exército está fazendo 
um levantamento topográfico da região onde será realizado 
um exercício de campo. Ele quer determinar a largura do rio 
que corta a região e por isso adotou os seguintes procedi-
mentos: marcou dois pontos, A (uma árvore que ele observou 
na outra margem) e B (uma estaca que ele fincou no chão na 
margem onde ele se encontra); marcou um ponto C distante 
9 metros de B, fixou um aparelho de medir ângulo (teodolito) 
de tal modo que o ângulo no ponto B fosse reto e obteve 
uma medida de 
π
3
rad para o ângulo ˆACB.
Qual foi a largura do rio que ele encontrou? 
a) 9 3 metros
b) 3 3 metros
c) 9 3
3
metros
d) 3 metros
e) 4,5 metros 
05.08. (PUCCAMP – SP) – Burj Khalifa, localizado em Dubai, 
é considerado o edifício mais alto do mundo, com cerca de 
830 m. A figura ao lado da fotografia representa a extensão 
vertical desse edifício altíssimo, dividida em 8 níveis igual-
mente espaçados.
 Burj Khalifa
N8
N7
N6
N5
N4
N3
N2
N1
N0
830 m
Figura fora de 
escala
60°
300 m
P
Dado: adote 3 1 73= , em suas contas finais.
De acordo com os dados fornecidos, um feixe de laser emi-
tido a partir do ponto indicado na figura por P atingiria a 
coluna central do Burj Khalifa, aproximadamente, na marca 
a) N5. b) N6. c) N7. d) N4. e) N3.
05.09. (UFPR) – Um recipiente, no formato de hemisfério, 
contém um líquido que tem profundidade máxima de 5 cm. 
Sabendo que a medida do diâmetro do recipiente é de 
20 cm, qual o maior ângulo, em relação à horizontal, em que 
ele pode ser inclinado até que o líquido alcance a borda, 
antes de começar a derramar?
5 cm
20 
cm
a) 75° b) 60° c) 45° d) 30° e) 15° 
10 Extensivo Terceirão
05.10. (UPF – RS) – Considere o triângulo ABC representado 
na figura.
B
α
A
C
h
8
30°
 Sabe-se que:
AB 8
ˆACB 30
Qual das expressões seguintes representa BC, em função 
de α?
a) 16senα
b) 8senα
c) 4 3 senα
d) 16cosα
e) 4cosα
Aprofundamento
05.11. (UEPG – PR) – Num instante t1 um avião é visto por 
um observador situado no solo sob um ângulo de 60° e, no 
instante t2 sob um ângulo de 30°. Sabendo-se que o avião 
voa numa reta horizontal a uma altitude de 5 km assinale o 
que for correto. 
01) No instante t1 a distância entre o observador e o avião 
é 10 3 km.
02) No instante t2 a distância entre o observador e o avião 
é 10 km.
04) A distância percorrida pelo avião entre os instantes t1 e 
t2 é maior que 5 km.
08) A distância percorrida pelo avião entre os instantes t1 e 
t2 é menor que 4 km.
05.12. (UFSJ – MG) – O teodolito é um instrumento de 
medida de ângulos bastante útil na topografia. Com ele, é 
possível determinar distâncias que não poderiam ser me-
didas diretamente. Para calcular a altura de um morro em 
relação a uma região plana no seu entorno, o topógrafo pode 
utilizar esse instrumento adotando o seguinte procedimento: 
situa o teodolito no ponto A e, mirando o ponto T no topo 
do morro, mede o ângulo de 30° com a horizontal; desloca 
o teodolito 160 metros em direção ao morro, colocando-o 
agora no ponto B, do qual, novamente mirando o ponto T, 
mede o ângulo de 60° com a horizontal. 
Se a altura do teodolito é de 1,5 metros, é CORRETO afirmar 
que a altura do morro com relação à região plana à qual 
pertencem A e B é, em metros: 
a) 80 3 1 5+ ,
b) 80 3 1 5− , 
c) 160 3
3
1 5+ ,
d) 160 3
3
1 5− ,
Aula 05
11Matemática 2B
05.13. (FATEC – SP) – A maior parte dos refugiados sírios 
que solicita abrigo na Europa escolhe a Alemanha como 
destino. No entanto, muitos refugiados sírios têm vindo 
também para o Brasil.
Considere o triângulo ABC no qual o vértice A representa a 
cidade de Aleppo, na Síria; o vértice B representa a cidade 
de Berlim, na Alemanha, e o vértice C representa a cidade 
de Campinas, no Brasil.
Desenho fora de escala
C
A
B
Nesse triângulo, a distância entre A e B é de 3.700 km a me-
dida de ˆACB é igual a 18° e a medida de ˆABC é igual a 81°.
Com base nos dados apresentados, se um refugiado sírio viaja 
de Aleppo a Berlim e, em seguida, de Berlim a Campinas, 
terá percorrido no mínimo x quilômetros em todo o trajeto.
O valor de x é mais próximo de
Adote: 
sen
sen
18 0 3118 0 95
81 0 98
81 0 16
° =
° =
° =
° =
,
cos ,
,
cos ,
a) 11.300
b) 12.300
c) 13.300
d) 14.300 
e) 15.300
05.14. (UECE) – Uma pessoa, com 1,7 m de altura, está em 
um plano horizontal e caminha na direção perpendicular a 
um prédio cuja base está situada neste mesmo plano. Em 
certo instante, essa pessoa visualiza o ponto mais alto do 
prédio sob um ângulo de 30 graus. Ao caminhar mais 3 m 
visualiza o ponto mais alto do prédio, agora sob um ângulo 
de 45 graus.
Nestas condições, a medida da altura do prédio, em metros, 
é aproximadamente 
a) 5,6. b) 6,6. c) 7,6. d) 8,6.
05.15. (FGV – SP) – A figura abaixo mostra a trajetória de 
Renato com seu barco.
B
A
C
norte
50°
Renato saiu do ponto A e percorreu 10 km em linha reta, até 
o ponto B numa trajetória que faz 50° com a direção norte. 
No ponto B virou para o leste e percorreu mais 10 km em 
linha reta, chegando ao ponto C.
Calcule a distância do ponto A ao ponto C.
Dados: sen 20° = 0,342; cos 20° = 0,940.
05.16. (UEL – PR) – Convenciona-se que o tamanho 
dos televisores, de tela plana e retangular, é medido pelo 
comprimento da diagonal da tela, expresso em polegadas. 
Define-se a proporção dessa tela como sendo o quociente 
do lado menor pelo lado maior, também em polegadas. Essas 
informações estão dispostas na figura a seguir.
lado m
enor
dia
gon
al
lado maior
Suponha que Eurico e Hermengarda tenham televisores 
como dado na figura e de proporção 3/4. Sabendo que 
o tamanho do televisor de Hermengarda é 5 polegadas 
maior que o de Eurico, assinale a alternativa que apresenta, 
corretamente, quantas polegadas o lado maior da tela do 
televisor de Hermengarda excede o lado correspondente 
do televisor de Eurico. 
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
12 Extensivo Terceirão
05.17. (UDESC) – No site http://www.denatran.gov.br/publicacoes/download/minuta_contran/Arquivo%206.pdf encontra-
-se o posicionamento adequado da sinalização semafórica, tanto para semáforos de coluna simples como para semáforos 
projetados sobre a via, conforme mostra a Figura 1.
(a) Semáforo de coluna simples;
(B) Semáforo projetado sobre a via.
Figura 1
(a) (b)
H H
Para que o motorista de um veículo, ao parar, possa visualizar as luzes do semáforo, o grupo focal deve ser visto sob um ângulo 
de 20°, conforme mostra a Figura 2.
LEGENDA:
A: dimensão média da altura do grupo focal;
B: altura adotada dos olhos do condutor sentado no veículo;
C: distância adotada entre os olhos do condutor e a frente do veículo;
D: distância mínima da linha de retenção até a projeção do grupo focal sobre o solo.
Figura 2
Considerando tg (20°) ≅ 0,36, determine os valores que faltam para completar a Tabela 1.
TIPO DE SEMÁFORO D H
Coluna simples ? 2,4
Projetado sobre a via 13,1 ?
Tabela 1
Analise as proposições em relação às informações obtidas na Tabela 1 e assinale (V) para verdadeira e (F) para falsa.
( ) Para o semáforo de coluna simples, D é aproximadamente 4,5 m.
( ) Para o semáforo projetado sobre a via, H é aproximadamente 4,2 m.
( ) A altura H do semáforo projetado sobre a via é aproximadamente 3,1 m maior que a altura H do semáforo de coluna 
simples.
Assinale a alternativa correta, de cima para baixo. 
a) F – V – V b) V – F – V c) F – V – F d) V – V – F e) F – F – V 
Aula 05
13Matemática 2B
05.01. b 
05.02. d
05.03. b 
05.04. b 
05.05. a
05.06. a
05.07. a
05.08. a
05.09. d
05.10. a
05.11. 06 (02 + 04)
05.12. a
05.13. e
05.14. a
05.15. 18,8 km
05.16. c
05.17. b
05.18. b
05.19. 1,4
05.20. b
Gabarito
05.18. (INSPER – SP) – O quadrilátero ABCD indicado na 
figura possui ângulo reto em A, um ângulo externo de 60° 
em B e três lados de medidas conhecidas, que são AB = 7 cm, 
BC = 6 cm e CD = 12 cm.
BA
C
12 cm
60°
6 cm
7 cm
D
Nesse quadrilátero, a medida de AD, em centímetros, é 
igual a 
a) 3 2 3( )+
b) 2 11 3 3+
c) 2 11 3( )+
d) 9 3
e) 12 3
Desafio
05.19. O inverso da soma das tangentes de dois ângulos 
agudos é igual a 0,48. Admitindo que eles são complemen-
tares, determine a soma dos senos desses dois ângulos. 
05.20. (EBMSP) –
A capela de um hospital é decorada com vitrais semelhantes 
ao representado na figura 1. Para reproduzi-lo, uma pessoa 
decidiu fazer os cálculos relativos às dimensões de alguns 
detalhes, iniciando com a parte superior, representada na fi-
gura 2. Sabe-se que MP e NP são arcos de circunferências com 
centros em N e M, respectivamente, e que o círculo tangente 
aos arcos MP e NP e ao segmento MN tem raio r = 15 u.c.
Com base nesses dados, pode-se afirmar que a medida do 
segmento MN é igual a:
a) 45
b) 40
c) 30
d) 25
e) 15
14 Extensivo Terceirão
Matemática
2B
Triângulos II
Aula 06
Introdução 
Os problemas relativos a triângulos não são restritos 
a triângulos retângulos. Observe, por exemplo, a ilustra-
ção a seguir:
A
B C
Margem 
direita
Margem 
esquerda
60°
75° 45°
AB = 100 m
Uma região ABC (forma triangular) precisa ser demarca-
da. O topógrafo encontra-se na margem esquerda do rio e, 
com o auxílio de um teodolito, consegue obter as medidas 
dos ângulos A e B. Usando uma trena, obtém AB = 100 m. 
Como obter, sem atravessar o rio, as medidas de AC e BC?
O objetivo principal desta aula é dar condições a 
você de chegar a tais resultados.
Lei dos senos
Em qualquer triângulo, as medidas dos lados são 
proporcionais aos senos dos ângulos opostos. A 
constante de proporcionalidade é igual à medida do 
diâmetro da circunferência circunscrita ao triângulo:
a
senA
b
senB
c
senC
R2
Observe a figura:
A
B C
c b
a
R
Na Matemática, quando queremos verificar a vera-
cidade de um resultado, utilizamos uma demonstração. 
Acompanhe a demonstração para um triângulo não 
retângulo ABC:
A
B C
hB
a
bc
HB
 • Traçamos a altura hB (relativa ao lado AC), dividindo 
o triângulo ABC em dois triângulos retângulos: ABHB 
e BCHB
 • No triângulo ABHB, temos:
sen A = 
h
c
B
hB = c ∙ sen A (1)
 • No triângulo BCHB, analogamente:
sen C = 
h
a
B
hB = a ∙ sen C (2)
 • Comparando (1) e (2):
c ∙ sen A = a ∙ sen C
c
sen C
a
sen A (3) 
 • Traçamos a altura hA (relativa ao lado BC), dividindo 
o triângulo ABC em dois triângulos retângulos: ABHA 
e ACHA
A
B Ca
bc hA
HA
Aula 06
15Matemática 2B
 • No triângulo ABHA, temos:
sen B = 
h
c
A
hA = c ∙ sen B (4)
 • Analogamente, no triângulo ACHA:
sen C = 
h
b
A
hA = b ∙ sen C (5)
 • Comparando (4) e (5):
c ∙ sen B = b ∙ sen C
c
sen C
b
sen B (6)
 • Agora, comparando (3) e (6), obtemos:
a
sen A
b
sen B
c
sen C
 (7)
E o diâmetro da circunferência circunscrita ao triân-
gulo?
Inscrevemos o triângulo ABC numa circunferência e, 
a partir de um de seus vértices, traçamos o diâmetro:
A
B C
B’
2R
b
 • O ângulo B tem a mesma medida do ângulo B’, por 
serem ângulos inscritos relativos ao mesmo arco AC. 
O triângulo AB’C é retângulo em C, por estar inscrito 
numa semicircunferência. Assim:
sen B = sen B’ 
sen B = b
R2
2R = 
b
sen B
 (8)
 • Comparando (7) e (8), completamos a demonstração:
a
sen A
b
sen B
c
sen C
R2
 
Lei dos
senos
Observe, no exemplo, a utilização da lei dos senos na 
resolução de um triângulo:
Exemplo:
No triângulo ABC, a seguir, calcule a medida x indi-
cada.
x
5 cm
30° 45°
Resolução:
Pela lei dos senos, temos:
x
sen sen
x
x cm
45
5
30
2
2
5
1
2
5 2
°
=
°
=
=
A lei dos senos pode ser utilizada em qualquer triân-
gulo. No caso de triângulos retângulos, basta considerar 
sen 90 1° = .
Lei dos cossenos
Em qualquer triângulo, o quadrado da medida de 
um lado é igual à soma dos quadrados das medidas 
dos outros dois lados, menos duas vezes o produto 
das medidas desses lados pelo cosseno do ângulo 
formado por eles:
A
CB
a
c
b
a2 = b2 + c2 – 2 ∙ bc ∙ cos A
b2 = a2 + c2 – 2 ∙ ac ∙ cos B
c2 = a2 + b2 – 2 ∙ ab ∙ cos C
16 Extensivo Terceirão
Vamos provar apenas a terceira relação, consideran-
do o ângulo C agudo.
 • Traçamos aaltura AH
—
, obtendo os triângulos retân-
gulos AHC e AHB:
A
B C
H
h
a
c
b
 • No triângulo AHC, temos:
cos C = 
HC
b
 ⇒ HC = b ∙ cos C (1) 
b2 = HC2 + h2 ⇒ h2 = b2– HC2 (2)
 • No triângulo AHB, temos:
c2 = h2 + (a – HC)2 
c2 = h2 + a2 – 2 ∙ a ∙ HC + HC2
 • Substituindo (1) e (2) na equação anterior:
c2 = b2 – HC2 + a2 – 2 ∙ a ∙ b ∙ cos C + HC2
c2 = a2 + b2 – 2 ∙ ab ∙ cos C 
Lei dos
cossenos
A lei dos cossenos também pode ser utilizada em 
triângulos retângulos, considerando cos 90° = 0.
Nesse caso, a lei dos cossenos reduz-se ao Teorema 
de Pitágoras (c2 = a2 + b2).
Observe, a seguir, um exemplo da utilização da lei 
dos cossenos.
Exemplo:
Obtenha, no triângulo a seguir, a medida x indicada.
7 cm
5 cm
x
30°
e
Resolução:
Pela lei dos cossenos:
x2 = 52 + 72 – 2 ∙ 5 ∙ 7 ∙ cos 30
x2 = 25 + 49 – 70 ∙ 
3
2
x2 ≅ 74 – 35 ∙ 1,73 ( 3 ≅ 1,73)
x2 ≅ 13,45
x ≅ 3,67 cm
Aplicação
Para exemplificar uma aplicação, vamos resolver o 
problema proposto no início da aula.
A
B C
60°
75°
45°
Na figura anterior, queremos determinar as medidas 
de AC e BC:
 • Lei dos senos no triângulo ABC:
100
45 60 75sen
BC
sen
AC
sen°
=
°
=
°
 • Cálculo de BC:
100
2
2
3
2
100 3
2
50 6
BC
BC
BC m
 • Cálculo de AC:
Como não sabemos ainda o valor de sen 75°, para o 
cálculo de AC, o uso da lei dos senos não é conveniente. 
Podemos, entretanto, traçar a altura BH relativa ao lado 
AC e analisar os triângulos retângulos ABH e BCH.
100
Aula 06
17Matemática 2B
A
H
B C
60°
30°
45°
100
45°
50 6
No triângulo ABH:
sen 30° = 
AH AH
AH m
100
1
2 100
50⇒ ⇒ ⇒ = 
cos 30° = 
BH BH
BH m
100
3
2 100
50 3⇒ = ⇒ =
O triângulo BCH é isósceles, logo BH = HC.
Como AC = AH + HC, temos:
AC = AH + BH
AC = 50 + 50 3
AC = 50 ∙ (1 + 3) m
Observações:
Em aulas futuras, você aprenderá que 
sen 75° = 
6 2
4
. Com essa informação, o pro-
blema poderia ter sido resolvido diretamente pela 
lei dos senos.
Seno e cosseno de 
ângulos obtusos
Eventualmente, em algumas situações, será necessá-
rio calcular senos e cossenos de ângulos cujas medidas 
estão compreendidas entre 90° e 180°.
De momento, vamos mostrar como podem ser 
obtidos esses valores. Posteriormente, com o estudo 
avançado da trigonometria, você entenderá a justifica-
tiva de tais resultados.
 • O seno de um ângulo obtuso é igual ao seno do 
suplemento desse ângulo, ou seja:
sen = sen (180° – )
Exemplo:
sen 120° = sen (180° – 120°) = sen 60° = 
3
2
 • O cosseno de um ângulo obtuso é igual ao 
oposto do cosseno do suplemento desse ângu-
lo, ou seja:
cos = – cos (180° – )
Exemplo:
cos 150° = – cos (180° – 150°) = – cos 30° = – 3
2
Lei dos cossenos na 
Física
Na Física, existe uma aplicação importante da lei 
dos cossenos no cálculo da resultante de duas forças.
Considere duas forças de módulos F1 e F2 apli-
cadas num ponto, formando entre si um ângulo . 
Obtenha, pela regra do paralelogramo, o módulo 
da resultante R indicada na figura.
F1
F2
R
A lei dos cossenos será aplicada no triângulo 
destacado a seguir:
F1
F2
F1
180
° – 
R2 = F21 + F
2
2 – 2 ∙ F1 ∙ F2 ∙ cos (180° – )
Como cos (180° – ) = – cos , temos:
R2 = F21 + F
2
2 – 2 . F1 ∙ F2 ∙ (– cos )
R2 = F1
2 + F2
2 + 2 ∙ F1 ∙ F2 ∙ cos 
A diferença de sinal entre o cálculo do vetor 
resultante (lei dos cossenos na Física) e a lei dos 
cossenos na Matemática deve-se ao fato de que o 
ângulo que é usado na Matemática é , enquanto 
que, na Física, é (180° – ).
A lei é a mesma, apenas o ângulo considerado 
é diferente.
Na Física, o sinal é 
positivo
R
18 Extensivo Terceirão
01. Em um triângulo ABC o lado BC mede 2 3 m e os ângulos internos relativos aos vértices A e B medem, respecti-
vamente, 45° e 75°. Determine:
a) a medida, em graus, do ângulo interno relativo ao vértice C;
b) a medida, em metros, do lado AB;
c) a medida do raio da circunferência circunscrita ao triângulo ABC.
02. (UECE) Se a medida de um dos ângulos internos de um paralelogramo é 120° e se as medidas de dois de seus lados 
são respectivamente 6 m e 8m, então a medida, em metros, da menor diagonal deste paralelogramo é:
a) 
2 13
3
b) 2 13 c) 13 d) 2 15 e) 
2 15
3
03. Se o triângulo representado na figura abaixo tem x m2 de área, então:
a) x = 10 2 b) x = 5 2 c) x = 5 3 d) x = 10 3 e) x = 1 32 
8 m
5 m
60°
Situações para resolver
Aula 06
19Matemática 2B
Testes
Assimilação
06.01. (EEAR – SP) – Seja um triângulo inscrito em uma 
circunferência de raio R. Se esse triângulo tem um ângulo 
medindo 30°, seu lado oposto a esse ângulo mede:
a) 
R
2
b) R c) 2R d) 
2
3
R
06.02. (FUVEST – SP) – Um triângulo T tem lados iguais a 4, 
5 e 6. O cosseno do maior ângulo interno de T é: 
a) 
5
6
b) 
4
5
 c) 
3
4
d) 
2
3
 e) 
1
8
 
06.03. Os ponteiros de um relógio circular medem, do 
centro às extremidades, 8 centímetros, o dos minutos, e 5 
centímetros, o das horas.
1
2
3
4
56
7
8
9
10
11
12
Determine, em centímetros, a distância entre as extremida-
des dos ponteiros quando o relógio marca 2 horas. 
06.04. (UFJF – MG) – Uma praça circular de raio R foi cons-
truída a partir da planta a seguir:
B
A
C
60°
Os segmentos AB BC e CA, simbolizam ciclovias construídas 
no interior da praça, sendo que AB 8 m0 .
De acordo com a planta e as informações dadas, é CORRETO 
afirmar que a medida de R é igual a: 
a) 
16 3
3
m
0
 
b) 
80 3
3
m 
c) 
16 3
3
m 
d) 
8 3
3
m 
e) 
3
3
m 
Aperfeiçoamento
06.05. Cada um dos vértices de um triângulo é também 
vértice de algum dos quadrados que compõem uma malha 
quadriculada, conforme esboçado na figura a seguir.
Determine o quadrado do seno do menor ângulo interno 
desse triângulo destacado na figura.
20 Extensivo Terceirão
06.06. (UECE) – Se as medidas de dois dos lados de um 
triângulo são respectivamente 7 m e 5 2 m e se a medida 
do ângulo entre esses lados é 135 graus, então, a medida, 
em metros, do terceiro lado é 
a) 12. b) 15. c) 13. d) 14.
06.07. (UFPR) – Considere o triângulo a seguir. 
8 m
x
60°75°
α
a) Quanto mede o ângulo α?
b) Quanto mede x?
06.08. (IFSP) – A base de um triângulo isósceles mede 
3 3 cm e o ângulo oposto à base mede 120°. A medida 
dos lados congruentes desse triângulo, em centímetros, é 
a) 3. 
b) 2. 
c) 3. 
d) 1 3+ . 
e) 2 3− . 
06.09. (UERJ) – Ao coletar os dados para um estudo topo-
gráfico da margem de um lago a partir dos pontos A, B e T, 
um técnico determinou as medidas AT = 32 m; BT = 13 m e 
ATB = °120 , representadas no esquema abaixo.
Calcule a distância, em metros, entre os pontos A e B, defi-
nidos pelo técnico nas margens desse lago. 
06.10. (PUCPR) – Um topógrafo deseja medir a distância x 
de um ponto Q na margem de um rio até um ponto inaces-
sível P na outra margem, conforme a figura. Sabendo-se que 
ele visualiza o ponto P segundo um ângulo β e, em seguida, 
ele se desloca uma distância b até o ponto R e observa o 
ponto P segundo o ângulo θ, a expressão que calcula a 
distância x é
a) x
b sen
=
⋅
+
θ
β θcos( )
 
b) x
b
=
⋅
+
cos
cos( )
θ
β θ
 
c) x
b sen
sen
=
⋅
+
θ
β θ( )
 
d) x
b tg
tg
=
⋅
+
θ
β θ( )
 
e) x
b sen
sen
=
⋅
+
β
β θ( )
 
Aula 06
21Matemática 2B
Aprofundamento
06.11. (UEPG – PR) – Num quadrilátero ABCD é traçada a dia-
gonal BD. Considerando que AB BC BAD BCD= = =, , ,α β 
ADB e BDC= =γ θ, assinale o que for correto. 
01) 
sen
sen
sen
sen
α
γ
β
θ
= 
02) Se α é um ângulo reto, então sen
AB
BD
γ = . 
04) Se α é um ângulo reto e γ = 30°, então BD AB= 2 . 
08) Se β é um ângulo reto, então cos .θ =
AB
BD
 
16) 
sen
sen
sen
sen
γ
α
β
θ
= 
06.12. (UFPR) – Dois navios deixam um porto ao mesmo 
tempo. O primeiro viaja a uma velocidade de 16 km/h em 
um curso de 45° em relação ao norte, no sentido horário. O 
segundo viaja a uma velocidade 6 km/h em um curso de 105° 
em relação ao norte, também no sentido horário. Após uma 
hora de viagem, a que distânciase encontrarão separados os 
navios, supondo que eles tenham mantido o mesmo curso 
e velocidade desde que deixaram o porto? 
a) 10 km. 
b) 14 km. 
c) 15 km. 
d) 17 km. 
e) 22 km. 
06.13. (UNICAMP – SP) – A figura a seguir exibe um pentá-
gono com todos os lados de mesmo comprimento.
135°
θ
A medida do ângulo θ é igual a 
a) 105°.
b) 120°.
c) 135°.
d) 150°.
06.14. (UFSCAR – SP) – Se os lados de um triângulo medem 
x, x + 1 e x + 2, então, para qualquer x real e maior que 1, o 
cosseno do maior ângulo interno desse triângulo é igual a 
a) 
x
x +1
. 
b) 
x
x + 2
.
c) 
x
x
+
+
1
2
.
d) 
x
x
− 2
3
.
e) 
x
x
− 3
2
.
22 Extensivo Terceirão
06.15. No triângulo ABC, o lado AB mede 
20π
π
 decíme-
tros e os outros dois lados determinam um ângulo interno 
que mede 45°. Se a região limitada pela circunferência que 
circunscreve o triângulo ABC tem x cm2 de área, então x é 
igual a:
a) 10
b) 100
c) 1000
d) 10π
e) 1000π
06.16. (UFRGS) – Na circunferência de raio 1, representada 
na figura a seguir, os pontos M e N são tais que o arco de 
extremidades A e M mede 
π
2
rad e o arco de extremidades 
A e N mede −
π
3
rad.
A distância entre os pontos M e N é 
a) 2 3− . 
b) 2 3− . 
c) 2 3+ . 
d) 1.
e) 2 3+ . 
06.17. (FUVEST – SP) – No losango ABCD de lado 1, repre-
sentado na figura, tem-se que M é o ponto médio de AB, N 
é o ponto médio de BC e MN
14
4
. Então, DM é igual a
D C
A M B
N
a) 
2
4
 b) 
2
2
 c) 2 
d) 
3 2
2
 e) 
5 2
2
 
06.18. (UEM – PR) – Um engenheiro precisa conhecer a medi-
da de cada lado de um terreno triangular cujo perímetro é 20 m. 
Porém, a planta do terreno foi rasgada e o que restou foi um 
pedaço, como na figura a seguir.
60°
8 m
Os lados que não aparecem totalmente na planta do terreno 
medem:
a) 3 3 12 3 3m e m( )− 
b) 5 m e 7 m
c) 4,5 m e 7,5 m
d) 8 m e 4 m
e) 3 m e 9 m
Aula 06
23Matemática 2B
Desafio
06.19. No triângulo da figura a seguir, a média aritmética 
das medidas dos lados que determinam o ângulo interno 
em destaque é igual à medida do lado oposto a esse ângulo. 
Considerando apenas os dois ângulos internos do triângulo 
que não foram destacados na figura, determine a razão entre 
a soma dos senos e o seno da soma desses dois ângulos.
06.20. (UDESC) – Quadros interativos são dispositivos de 
interface humana que permitem ao usuário interagir com as 
imagens projetadas sobre uma tela grande, geradas por um 
computador. O uso desses quadros é cada vez mais comum 
em instituições de ensino, substituindo o quadro para giz ou 
o quadro branco.
Uma das tecnologias que possibilita essa interação funciona a 
partir de um sensor instalado em um dos cantos da tela onde 
a imagem é projetada, e de uma caneta eletrônica especial 
que, ao ser acionada, emite dois sinais simultâneos: um pulso 
sonoro (ultrassom) e um pulso luminoso (infravermelho). O 
pulso de ultrassom é usado para calcular a distância da ponta 
da caneta até o sensor, enquanto o pulso de infravermelho 
indica ao sistema o ângulo entre a base da tela e o segmento 
de reta que une o sensor à ponta da caneta.
Considere um quadro interativo de 3 metros de largura por 
2 metros de altura, representado no primeiro quadrante de 
um plano cartesiano, com o sensor instalado na origem. 
Um usuário aciona a caneta em três pontos distintos da tela, 
gerando as leituras de distância e de ângulo apresentadas 
na tabela:
PONTO DISTÂNCIA ÂNGULO
A 2 m 60°
B 2 m 30°
C 1 m 30°
O triângulo com vértices nos pontos A, B e C é: 
a) escaleno. 
b) equilátero. 
c) isósceles de base BC. 
d) isósceles de base AB. 
e) retângulo em A. 
06.01. b 
06.02. e
06.03. 7 cm
06.04. b
06.05. 0,02
Gabarito
06.06. c
06.07. a) 45°; 
b) 4 6 cm 
06.08. a
06.09. 40 m, aproximadamente.
06.10. c
06.11. 07 (01 + 02 + 04) 
06.12. b
06.13. b
06.14. e
06.15. c
06.16. c
06.17. b
06.18. b
06.19. 2
06.20. a
24 Extensivo Terceirão
Matemática
2BAula 07
Triângulos III
Introdução
Anteriormente, estudamos procedimentos para o 
cálculo das medidas dos lados e dos ângulos de triângu-
los retângulos e triângulos quaisquer.
Entretanto, não tivemos ainda a oportunidade de 
calcular as áreas desses triângulos. Dependendo das 
informações disponíveis inicialmente, podemos calcular 
a área de um triângulo de modos extremamente varia-
dos. Além disso, serão também apresentadas algumas 
aplicações geométricas do que estudamos até agora.
Área de um triângulo
1.o Modo: dados a base e a altura
Você já estudou, no Ensino Fundamental, que a 
área de um triângulo pode ser obtida pela metade do 
produto das medidas da base e da altura:
A
ltu
ra
Base
S = 
1
2
 . (base) x (altura)
Exemplo:
Calcule a área do triângulo ABC abaixo.
6 cm
8 cm
S = 
1
2
 . (8 cm) . (6 cm)
S = 
1
2
 . 48 cm2
S = 24 cm2
Mas nem sempre conhecemos as medidas da base 
e da altura de um triângulo. Observe, a seguir, como 
podemos obter a área de um triângulo quando conhe-
cemos as medidas de dois dos seus lados e do ângulo 
entre esses lados.
2.o Modo: dados dois lados e o 
ângulo entre eles
Vamos considerar a seguinte situação:
Conhecemos as medidas a e b de dois lados e a 
medida do ângulo C:
b
aC
h
 • Traçando a altura h, temos:
sen C = 
h
b
b . sen C = h (1)
 • Calculando a área S:
S =
1
2
 . (base) . (altura)
S = 
1
2
 . a . h (2)
 • Substituindo (1) em (2):
S = 
1
2
 . a . b . sen C
A área de um triângulo qual-
quer é a metade do produto 
das medidas de dois dos 
seus lados multiplicada pelo 
seno do ângulo formado por 
eles.
Aula 07
25Matemática 2B
Embora tenhamos feito apenas a verificação relacio-
nando os lados de medidas a e b, que formam o ângulo 
C, podemos dizer que essa relação também pode ser 
estabelecida considerando dois lados quaisquer de um 
triângulo e o ângulo entre eles. Assim, a área do triângu-
lo ABC a seguir pode ser obtida utilizando qualquer uma 
das relações:
A
B Ca
c b
S = 1
2
 . a . b . sen C
S = 1
2
 . a . c . sen B
S = 1
2
 . b . c . sen A
Exemplo:
Calcule a área do triângulo:
4 cm
7 cm
45°
S = 1
2
 . a . b . sen C
S = 1
2
 . 7 . 4 . sen 45°
S = 1
2
 . 7 . 4 . 
2
2
S = 7. 2 cm2
3.o Modo: dados o semiperímetro 
e o raio da circunferência inscrita 
no triângulo
Seja um triângulo ABC e r a medida do raio da 
circunferência inscrita no triângulo. O raio da inscrita é 
denominado apótema do triângulo.
A
B
I
C
Ligando o ponto I aos vértices, podemos dividir o 
triângulo ABC em três outros triângulos: ABI, ACI e BCI.
A
B
I
C
Os triângulos ABI, ACI e BCI possuem a mesma altura 
r, raio da circunferência inscrita no triângulo ABC.
A
a
b
c
r
r
r
B
I
C
Logo, a soma das medidas das áreas dos três triângu-
los é igual à medida da área do triângulo ABC:
S S S S
S
a r b r c r
S
a b c
r
ABC BCI ACI ABI
ABC
ABC
= + +
=
⋅
+
⋅
+
⋅
=
+ +⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ⋅
2 2 2
2
Observe que o semiperímetro do triângulo ABC é 
dado por:
p
a b c
=
+ +
2
Desta forma, podemos escrever:
S p rABC = ⋅
A área de um triângulo é igual ao produto da 
medida do seu semiperímetro pela medida do 
raio da circunferência inscrita nesse triângulo.
Exemplo:
Um triângulo ABC possui lados com medidas 5, 12 
e 13. Determine a medida do raio da circunferência 
inscrita nesse triângulo.
O triângulo ABC é um triângulo retângulo, pois 
satisfaz o teorema de Pitágoras:
 132 = 52 + 122
 169 = 25 + 144
 169 = 169 (igualdade verdadeira)
Se o triângulo ABC é retângulo, a medida da corres-
pondente área S pode ser calculada pelo semiproduto 
das medidas dos catetos:
S ABC =
⋅5 12
2
 ⇒ S ABC = 30
26 Extensivo Terceirão
O semiperímetro do triângulo ABC é dado por:
p
a b c
p
=
+ +
=
+ +
2
5 12 13
2 
∴
 
p =15
A medida do raio r da circunferência inscrita no 
triângulo ABC é dada por:
S
a b c
r
r
r
ABC =
+ +⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ⋅
= ⋅
=
2
30 15
2
4.o Modo: dados os três lados e o 
raio da circunferência circunscrita 
ao triângulo
Você pode ainda calcular a área de um triânguloa 
partir das medidas de seus lados e do raio da circunfe-
rência circunscrita ao triângulo.
Observe o triângulo ABC inscrito numa circunferên-
cia de raio R:
A
B
C
R
a
c
b
 • Pela lei dos senos, temos:
a
sen A
b
sen B
c
sen C
 = 2R
Se 
c
senC = 2R, então sen C = 
c
R2
Substituindo na expressão da área de um triângulo, 
sendo conhecidas as medidas de dois lados e do ângulo 
compreendido entre eles:
S = 1
2
 . a . b . sen C
S = 1
2
 . a . b . 
c
R2 S = abc
4R
A área de um triângulo é o produto das medidas dos três 
lados dividido por quatro vezes a medida do raio da circunfe-
rência circunscrita ao triângulo.
Exemplo:
Calcule a área do triângulo a seguir:
16 m
20 m
12
 m
10 m
S = 
abc
4R
S = 
12 . 16 . 20
4 . 10
S = 96 m2
“É possível obter a área de um triângulo apenas com 
as medidas dos três lados?”
A seguir, você verá que podemos obter a área de um 
triângulo quando conhecemos apenas as medidas dos 
três lados, por meio da chamada Fórmula de Heron.
5.o Modo: dados os três lados
A área de um triângulo de lados a, b e c é dada 
pela fórmula:
A
B C
a
bc
S p p a p b p c== ⋅ − ⋅ − ⋅ −( ) ( ) ( )
na qual p é o semiperímetro do triângulo, dado 
por
p = a + b + c
2
Vamos agora demonstrar a fórmula de Heron para 
o triângulo ABC a seguir, sendo AH a altura relativa ao 
vértice A.
A
B C
a
m H a – m
h
c b
 • No triângulo AHB, temos:
 c2 = h2 + m2 (1)
Aula 07
27Matemática 2B
 • No triângulo AHC, temos:
b2 = h2 + (a – m)2
b2 = h2 + a2 – 2am + m2 (2)
 • Fazendo (2) – (1), membro a membro:
b2 – c2 = a2 – 2am
 ou
m = 
a b c
a
2 2 2
2
− +
 (3)
 • Substituindo (3) em (1):
c2 = h2 + 
a b c
a
2 2 2
2
− +⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
2
ou
4a2h2 = 4a2c2 – (a2 – b2 + c2)2
 • Fatorando o segundo membro:
4a2h2 = (2ac + a2 – b2 + c2) . (2ac – a2 + b2 – c2)
 ou
 4a2h2 = [(a + c)2 – b2] . [b2 – (a – c)2]
 • Fatorando novamente o segundo membro:
4a2h2 = (a + c + b) . (a + c – b) . (b + a – c) . (b – a + c)
Tendo em vista que 2p = a + b + c, temos:
4a2h2 = 2p . 2(p – b) . 2 (p – c) . 2 (p – a)
a2h2 = 4p (p – a) . (p – b) . (p – c)
ah = 2 p p a p b p c⋅ − ⋅ − ⋅ −( ) ( ) ( )
ah
2
= p p a p b p c⋅ − ⋅ − ⋅ −( ) ( ) ( )
Portanto, como S = 
ah
2
, temos:
S p p a p b p c= ⋅ − ⋅ − ⋅ −( ) ( ) ( )
Exemplo:
Calcule a área do triângulo a seguir.
6 cm
5 cm
7 cm
 • Cálculo do semiperímetro
2p = a + b + c
2p = 5 + 6 + 7
2p = 18 ⇒ p = 9 cm
 • Cálculo da área
S = p p a p b p c⋅ − ⋅ − ⋅ −( ) ( ) ( )
S = 9 9 5 9 6 9 7⋅ − ⋅ − ⋅ −( ) ( ) ( )
S = 9 4 3 2 
S = 6 6 cm2
Aplicações geométricas
Vamos destacar agora algumas relações métricas 
envolvendo figuras geométricas planas, que serão estu-
dadas em Matemática D.
1.a Aplicação:
Expressar a altura h de um triângulo equilátero em 
função da medida do lado ℓ:
30° 30°
60° 60°
h
ℓ
ℓ
ℓ
sen 60° = h
 ℓ
3
2
 = h
 ℓ
h = 
l 3
2
2.a Aplicação:
Expressar a diagonal d de um quadrado em função 
da medida do lado ℓ:
45°
45°
ℓ
d
ℓ
ℓ
ℓ
sen 45° = ℓ
d
 ℓ
d
2
2
=
2 . d = 2 . ℓ
d =
2
2
2
2
d= 2l
ℓ
3.a Aplicação:
Expressar a medida do lado ℓ de um polígono con-
vexo inscrito numa circunferência em função do raio R 
e do ângulo α:
R Rα
ℓ
28 Extensivo Terceirão
Pela lei dos cossenos:
ℓ2 = R2 + R2 – 2 . R . R . cos α
ℓ2 = 2R2 – 2R2 . cos α
ℓ2 = 2R2 . (1 – cos α)
ℓ = 2 12R ⋅ −( cos )α
ℓ = R . 2 1 cos( )− α
4.a Aplicação:
Expressar a área de um segmento circular em função 
do ângulo α correspondente e do raio R do círculo:
O
R Rα
A B
A área do segmento circular é a diferença entre a 
área do setor circular e do triângulo correspondente. 
Observe:
A área do segmento circular
Segmento 
circular
A B
é igual à área do setor circular de ângulo α
O
R R
A B
α
Setor 
circular
menos a área do triângulo OAB
O
A B
RR
α
Triângulo 
isósceles
 • Cálculo da área do setor circular por meio de uma 
regra de três:
2π — πR2
α — SSetor
SSetor = 
R 2
2
 (α em radianos)
 • Cálculo da área do triângulo OAB:
S R R sen S
R sen
OAB OAB= ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ =
⋅1
2 2
2
α
α
 • Cálculo da área do segmento circular:
Ssegmento = Ssetor – SOAB
Ssegmento = 
R 2
2 
 – 
R sen2
2
⋅ α
Ssegmento = 
R2
2
 . (α – sen α)
As relações que você acabou de ver podem ser facil-
mente obtidas, não havendo, portanto, necessidade de 
decorá-las.
01. Um paralelogramo possui dois lados com medidas iguais a 6 m e 8 m. Se o ângulo interno entre esses lados mede 
60°, determine a medida da área do paralelogramo, em m2.
Situações para resolver
Aula 07
29Matemática 2B
02. Mostre que a medida da área de um triângulo equilátero, S, de lado medindo ℓ, pode ser calculada pela fórmula:
S
l 2 3
4
03. Considere um triângulo ABC que possui lados cujas medidas são a = 5 m, b = 6 m e c = 7 m. 
a) Calcule a área do triângulo ABC.
b) Determine a razão entre as medidas dos raios das circunferências inscrita e circunscrita ao triângulo ABC.
ℓ ℓ
ℓ
30 Extensivo Terceirão
Testes
Assimilação
07.01. (INSPER – SP) – A equipe que está preparando os 
efeitos de iluminação de um show a ser feito em um estádio 
precisa instalar um canhão de luz num ponto a 20 metros de 
altura em relação ao chão, no qual está posicionado um palco 
de 20 metros de comprimento onde o cantor irá se apresen-
tar. Para definir o ângulo de movimentação do canhão de 
luz de modo que ele possa acompanhar o cantor por todo 
o palco, a equipe modelou o problema utilizando o plano 
cartesiano abaixo, no qual cada unidade equivale a 10 metros.
x
7654321
3
2
y
palco
1
α
Para que não seja formada nenhuma sombra na projeção 
de luz feita pelo canhão, não pode haver nenhum objeto 
posicionado no espaço indicado pela região sombreada na 
figura, cuja área é igual a 
a) 2 m2.
b) 4 m2.
c) 20 m2.
d) 40 m2. 
e) 200 m2.
07.02. (UECE) – Se as medidas dos comprimentos dos lados 
de um triângulo são respectivamente 4 m, 6 m e 8 m, então, 
a medida da área desse triângulo, em m2, é 
a) 5 6. b) 3 15. c) 6 5. d) 4 15.
07.03. (PUC – RJ) – Considere o retângulo ABCD.
D C
A B3 M 3
5 5
Seja M o ponto médio do lado AB. Sabemos que AM = MB = 3 
e que DM = MC = 5. Quanto vale a área do triângulo AMD?
a) 4
b) 6
c) 15/2
d) 10
e) 15
07.04. Considere o triângulo esboçado na figura a seguir.
4 m
2 m
30°
A medida da área desse triângulo é igual a:
a) 1 m2
b) 2 m2
c) 4 m2
d) 2 3 2m 
e) 4 3 2m 
Aperfeiçoamento
07.05. (UFPI) – A medida do raio do círculo inscrito num 
triângulo retângulo, cujos catetos medem 6 cm e 8 cm, é:
a) 12 cm 
b) 10 cm
c) 7 cm
d) 2 cm
e) 3 cm
07.06. (FUVEST – SP) – Considere o triângulo representado 
na malha pontilhada com quadrados de lados iguais a 1 cm.
A área do triângulo, em cm2, é:
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
Aula 07
31Matemática 2B
07.07. (UERJ) – O retângulo PQRS é formado por seis 
quadrados cujos lados medem 2 cm. O triângulo ABC, em 
seu interior, possui os vértices definidos pela interseção das 
diagonais de três desses quadrados, conforme ilustra a figura.
R
A
C
P
S
B
Q
Determine a área do triângulo ABC tomando como unidade 
a área de um quadrado de lado igual a 2 cm.
07.08. (FGV – SP) – O triângulo ABC possui medidas confor-
me indica a figura a seguir.
4 cm5 cm
A
CB
65 cm
A área desse triângulo, em cm2, é igual a
a) 8. 
b) 6 2. 
c) 4 6. 
d) 10.
e) 6 6. 
07.09. (UFPR) – Um paralelogramo de lados medindo 6 cm 
e 13 cm é equivalente a um retângulo de dimensões 6 cm 
e 8 6, .cm 
13 cm
6 cm 6 cm
α
8,6 cm
Assinale a alternativa que representa o seno do ângulo agudo 
α formado entre os lados do paralelogramo.
a) 
3
4
 b) 
2
3
c) 
1
2
 d) 
5
4
 e) 
4
5
 
07.10. Considere um triângulo – cujos lados medem 4 cm, 
5 cm e 6 cm – e duas circunferências (uma inscrita no tri-
ângulo e outra que circunscreve esse triângulo), conforme 
indicado na figura a seguir.
Se o raio de uma dessas circunferências mede x cm e o da 
outra mede y cm, então x . y é igual a:
a) 2 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 
Aprofundamento07.11. (UEPG – PR) – Um terreno tem a forma de um triân-
gulo retângulo. Se o seu perímetro mede 40 m e o menor 
lado mede 8 m assinale o que for correto. 
01) A área desse terreno é maior que 50 m2.
02) O maior lado desse terreno mede 17 m.
04) Esse terreno tem a mesma área de um terreno retangu-
lar com 10 m de comprimento e 6 m de largura. 
08) A soma dos dois menores lados desse terreno é menor 
que 30 m.
32 Extensivo Terceirão
07.12. (UNICAMP – SP) – No triângulo ABC exibido na figura 
a seguir, M é o ponto médio do lado AB e N é o ponto médio 
do lado AC.
B
C
M
N
A
Se a área do triângulo MNB é igual a t, então a área do tri-
ângulo ABC é igual a 
a) 3t.
b) 2 3t. 
c) 4t.
d) 3 2t. 
07.13. (UECE) – No triângulo MPQ, seja PH a altura relativa 
ao vértice P. O ponto H, no lado MQ, divide-o em dois seg-
mentos cujas medidas são respectivamente 3 cm e 2 cm. Se 
a medida da altura (segmento PH) é 6 cm, então, a medida 
do ângulo interno do vértice P é igual a 
a) 45°.
b) 30°.
c) 60°.
d) 50°.
07.14. O triângulo ABC tem lados AB, AC e BC medindo 
5 m, 7 m e 8 m, respectivamente. Assinale a alternativa que 
contém o valor que mais se aproxima da medida da área da 
região limitada pela circunferência que circunscreve esse 
triângulo ABC.
a) 25 m2
b) 49 m2
c) 50 m2
d) 64 m2
e) 65 m2
07.15. (UNICAMP – SP) – A figura abaixo exibe um quadri-
látero ABCD onde AB AD e BC CD cm, .= = = 2
A
D
C
B
45°
A área do quadrilátero ABCD é igual a 
a) 2 2cm . 
b) 2 2cm . 
c) 2 2 2cm . 
d) 3 2cm . 
07.16. (UNESP – SP) – Os polígonos ABC e DEFG estão dese-
nhados em uma malha formada por quadrados. Suas áreas 
são iguais a S1 e S2, respectivamente, conforme indica a figura.
C
A
B E
D
G
F
S1
S2
Sabendo que os vértices dos dois polígonos estão exata-
mente sobre pontos de cruzamento das linhas da malha, é 
correto afirmar que 
S
S
2
1
 é igual a 
a) 5,25.
b) 4,75.
c) 5,00.
d) 5,50.
e) 5,75.
Aula 07
33Matemática 2B
07.17. (UFSC) – Calcule a área, em cm2, de um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 10 cm e cujo raio da circunferência 
inscrita mede 1 cm. 
07.18. (UNB – DF) – Julgue os itens abaixo.
1. Em um triângulo qualquer, as circunferências circunscrita e inscrita são necessariamente concêntricas.
2. O centro da circunferência inscrita em um triângulo é o ponto de intersecção das bissetrizes dos ângulos internos.
3. Se r é o raio da circunferência inscrita em um triângulo de lados a, b e c, então a área do triângulo é 
2
3
( )a b c r+ + ⋅ . 
4. Se r é o raio da circunferência inscrita e o triângulo é equilátero, então seu lado mede 3 ⋅ r .
5. Os vértices do triângulo são equidistantes do centro da circunferência inscrita.
6. Se o triângulo inscrito na circunferência de raio 2 cm tem um ângulo reto, então um de seus lados mede 4 cm.
Desafio
07.19. (UEM – PR) – Dois carros A e B partem no mesmo instante t = 0, de um mesmo ponto O em movimento retilíneo uni-
forme, com velocidades, respectivamente, vA e vB, e em direções e sentidos que fazem entre si um ângulo de 60°. Considerando 
St o triângulo com vértices dados pelas posições de A e de B, num instante t > 0, e pelo ponto O, assinale o que for correto. 
01) Se vA = vB, então St é um triângulo equilátero. 
02) Se vA = 2vB, então St é um triângulo retângulo. 
04) Se vA = 3vB, então St tem um ângulo interno obtuso. 
08) Para qualquer instante t > 0 a área do triângulo St é dada por 
v v tA B
2
4
 
16) A distância entre os carros A e B, num instante t > 0, é dada por t v vA B⋅ +
2 2 
34 Extensivo Terceirão
Gabarito
07.01. e 
07.02. b
07.03. b
07.04. b
07.05. d
07.06. a
07.07. 0,5 u.a.
07.08. a
07.09. b
07.10. b
07.11. 15 (01 + 02 + 04 + 08) 
07.12. c
07.13. a
07.14. c
07.15. b
07.16. a
07.17. 11 cm2
07.18. F - V - F - F - F - V 
 07.19. 07 (01 + 02 + 04) 
07.20. c
07.20. (INSPER – SP) – No triângulo ABC da figura, M é ponto médio de AB e P e Q são pontos dos lados BC ACe , respec-
tivamente, tais que BP AQ a e PC QC 4a= = = = .
A
a
C
Q
4a
4aPB
a
O
M
Os segmentos AP BQ CM, e interceptam-se no ponto O e a área do triângulo BOM é 5 cm2. Dessa forma, a área do triângulo 
BOP, assinalado na figura, é igual a 
a) 5 cm2. b) 6 cm2. c) 8 cm2. d) 9 cm2. e) 10 cm2. 
Matemática
Aula 08
Triângulos IV
35Matemática 2B
Aula 08
Introdução
01. A distância entre os centros de duas circunferências externas é igual a 18 metros.
 Se os raios dessas circunferências medem 4 m e 5 m, então o valor que mais se aproxima da medida, em metros, do 
segmento da tangente interna comum às circunferências, é igual a:
a) 14 b) 15 c) 16 d) 17 e) 18
02. (UNICAMP – SP) – Os lados de um triângulo medem 5, 12 e 13 cm.
a) Calcule a área desse triângulo. 
Situações para resolver
Esta aula promove uma integração dos tópicos já estudados relativos a triângulos: triângulo retângulo, triân-
gulo qualquer e área de um triângulo. Nesta fase do estudo é importante destacar que a percepção espacial é 
uma habilidade que se adquire progressivamente e requer uma prática considerável de exercícios. A melhoria da 
velocidade resolutiva e a da análise geométrica são, portanto, objetivos que podem muito bem ser desenvolvidos 
nesta aula. 
Matemática
Triângulos IV
2B
36 Extensivo Terceirão
b) Encontre o raio da circunferência inscrita nesse triângulo.
03. Em um triângulo ABC, os ângulos internos relativos aos vértices A e C são agudos, E é o pé da altura relativa ao lado 
AC e F é o ponto médio do lado AB. Sabendo, ainda, que BC = 5 e que BE = BF = 4, determine:
a) as medidas dos segmentos AE e CE.
b) a área do triângulo AEF.
Testes
Assimilação
08.01. (UEMG) – Na figura, a seguir, um fazendeiro (F) dista 600 m da base da montanha (ponto B). A medida do ângulo 
AFB é igual a 30°.
Ao calcular a altura da montanha, em metros, o fazendeiro encontrou a medida correspondente a 
a) 200 3. 
b) 100 2. 
c) 150 3. 
d) 250 2.
Aula 08
37Matemática 2B
08.02. (UFPR) – Em um triângulo retângulo, o maior e o 
menor lado medem, respectivamente, 12 cm e 4 cm. Qual 
é a área desse triângulo? 
a) 4 2 2cm 
b) 16 cm2
c) 8 2 2cm 
d) 16 2 2cm 
e) 24 cm2
08.03. (UFAM) – Fazendo uso do triângulo ABC da figura a 
seguir, considere as seguintes afirmações onde a, b, c ∈ 
e 0 < b < c < a.
A B
C
b
aα
β
c
I. cos 2 2 1α β+ =sen
II. tg
tg
α
β
= 1 
III. senα β= cos
IV. cos cosα β= 
V. sen
b
a
α = 
a) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
b) Somente as afirmativas II e IV são verdadeiras.
c) Somente as afirmativas III e V são verdadeiras.
d) Somente as afirmativas I e V são falsas.
e) Somente as afirmativas IV e V são falsas.
08.04. (EEAR – SP) – Assinale a alternativa que representa, 
corretamente, a área do triângulo esboçado na figura abaixo.
10 m
6 m
30°
a) 15 m2
b) 30 2 2m 
c) 15 3 2m 
d) 30 3 2m 
Aperfeiçoamento
08.05. (UFPR) – Um triângulo possui lados de comprimento 
2 cm e 6 cm e área de 6 cm2. Qual é a medida do terceiro 
lado desse triângulo? 
a) 2 6 cm 
b) 2 10 cm 
c) 5 cm
d) 5 2 cm 
e) 7 cm
08.06. (UERJ) – A figura ilustra três circunferências, de raios 
1, 2 e 3, tangentes duas a duas nos pontos M, N e P.
B
A C
P
M
N
O comprimento do segmento de reta MN é igual à raiz 
quadrada de: 
a) 3,6
b) 3,8
c) 4,2
d) 4,4
08.07. (MACK – SP) –
A
C
B
4
Na figura acima, o triângulo ABC é retângulo em C e sua área 
vale 6, então o valor do ˆsenB é:
a) 
3
5
 
b) 1
c) 
4
5
 
d) 
2
5
 
e) 
1
5
 
38 Extensivo Terceirão
08.08. (FGV – SP) – Um triângulo isósceles tem a base me-
dindo 10 e um dos ângulos da base medindo 45°. A medida 
do raio da circunferência inscrita nesse triângulo é: 
a) 5 2 4− 
b) 5 2 6− 
c) 5 2 3− 
d) 5 2 5− 
e) 5 2 2− 
08.09. (IFSC) – Em uma aula prática, um professor do curso 
técnico de edificações do campus Florianópolis do IFSC pede 
para que seus alunos determinem a altura de um poste que 
fica nas instalações da instituição, porém há uma impossi-bilidade para se chegar tanto ao topo do poste, bem como 
sua base. Para realizar tal medida, são disponibilizados para 
os alunos uma trena (fita métrica) e um teodolito. É realizado 
o seguinte procedimento: primeiro crava-se uma estaca no 
ponto A a x metros da base do poste e mede-se o ângulo 
formado entre o topo do poste e o solo, que é de 60° (ses-
senta graus); em seguida, afastando-se 10 m (dez metros) em 
linha reta do ponto A e cravando uma nova estaca no ponto 
B, mede-se novamente o ângulo entre o topo do poste e o 
solo, que é de 30° (trinta graus).
A partir do procedimento descrito e da figura abaixo, é COR-
RETO afirmar que a altura do poste é de aproximadamente:
B A
a) 8,65 m
b) 5 m
c) 6,65 m
d) 7,65 m
e) 4 m
08.10. Sessenta graus é a medida de dois dos ângulos 
internos de um quadrilátero convexo, cujos lados medem 
10 m, 4 m, 6 13 m e x m, conforme indicado na figura a 
seguir.
4 m
6 13m
x m
10 m
60° 60°
O valor de x é igual a:
a) 9
b) 16
c) 21
d) 28
e) 26
Aprofundamento
08.11. (FAC. ALBERT EINSTEIN – SP) – No pentágono 
ABCDE da figura, o lado AB mede 3 cm; o lado AE mede 
8 cm; o lado CD mede 4 cm e os ângulos ˆ ˆ ˆBEC, A e D me-
dem 30°, 60°e 90° respectivamente.
Sendo a área do triângulo BCE igual a 10,5 cm2, a medida, 
em cm, do lado DE é:
a) 18 
b) 20 
c) 22 
d) 24 
Aula 08
39Matemática 2B
08.12. (IFPE) – Os alunos pré-egressos do campus Jaboatão 
dos Guararapes resolveram ir até a Lagoa Azul para celebrar 
a conclusão dos cursos. Raissa, uma das participantes do 
evento, ficou curiosa pra descobrir a altura do paredão 
rochoso que envolve a lagoa. Então pegou em sua mochila 
um transferidor e estimou o ângulo no ponto A, na margem 
onde estava e após nadar, aproximadamente, 70 metros em 
linha reta em direção ao paredão estimou o ângulo no ponto 
B, conforme mostra a figura a seguir: 
BA
Margem 90°
Paredão
27°17°
De acordo com os dados coletados por Raissa, qual a altura 
do paredão rochoso da Lagoa Azul? 
Dados: sen ( ) , , tan ( ) , , cos ( ) ,17 0 29 17 0 30 27 0 89° = ° = ° = 
e tan ( ) , .27 0 51° = 
a) 50 metros. 
b) 51 metros. 
c) 89 metros. 
d) 70 metros. 
e) 29 metros. 
08.13. (ITA – SP) – Um triângulo está inscrito numa circunfe-
rência de raio 1 cm. O seu maior lado mede 2 cm, e sua área é 
de 
1
2
2cm . Então, o menor lado do triângulo, em cm, mede 
a) 1
1
2
− . 
b) 2 2− . 
c) 
1
2
. 
d) 
2
6
. 
e) 
3
6
. 
08.14. (UFU – MG) – O esquema abaixo mostra um com-
passo articulável ajustado de modo que o braço articulável 
AO é perpendicular a AB e OP.
Para essa configuração, a medida, em cm, do raio da circun-
ferência traçado com o compasso é:
a) 5 3. 
b) 8 3. 
c) 9 3. 
d) 13 3. 
08.15. (ITA – SP) – Seja ABC um triângulo equilátero e 
suponha que M e N são pontos pertencentes ao lado BC 
tais que BM MN NC= = . Sendo α a medida, em radianos, 
do ângulo MAN, então o valor de cos α é 
a) 
13
14
. 
b) 
14
15
. 
c) 
15
16
. 
d) 
16
17
. 
e) 
17
18
.
40 Extensivo Terceirão
08.16. (UNESP – SP) – Uma pessoa se encontra no ponto 
A de uma planície, às margens de um rio e vê, do outro lado 
do rio, o topo do mastro de uma bandeira, ponto B. Com o 
objetivo de determinar a altura h do mastro, ela anda, em 
linha reta, 50 m para a direita do ponto em que se encontrava 
e marca o ponto C. 
Sendo D o pé do mastro, avalia que os ângulos ˆˆBAC e BCD 
valem 30°, e o ˆACB vale 105°, como mostra a figura:
A altura h do mastro da bandeira, em metros, é
a) 12,5. 
b) 12 5 2, . 
c) 25,0.
d) 25 0 2, . 
e) 35,0.
08.17. (FUVEST – SP) – Para se calcular a altura de uma torre, 
utilizou-se o seguinte procedimento ilustrado na figura: um 
aparelho (de altura desprezível) foi colocado no solo, a uma 
certa distância da torre, e emitiu um raio em direção ao ponto 
mais alto da torre. O ângulo determinado entre o raio e o solo 
foi de α
π=
3
 radianos. A seguir, o aparelho foi deslocado 4 
metros em direção à torre e o ângulo então obtido foi de β 
radianos, com tgβ = 3 3.
α β
É correto afirmar que a altura da torre, em metros, é 
a) 4 3 b) 5 3 c) 6 3 d) 7 3 e) 8 3 
08.18. (UDESC) – As instruções da figura abaixo referem-
-se ao início da construção de um avião de origami (papel 
dobrado).
BA C
D
Passo 3Passo 2Passo 1
A CA C
B E
E
F
D D
Passo 4 Passo 5
1 – Dobre a folha exatamente ao meio no sentido mais longo para 
fazer um vinco e desdobre (Passo 1, 2, e 3).
2 – Dobre o canto B baixo de forma a colocar o segmento CB sobre 
o segmento CD (Passo 4).
3 – Dobre o papel de forma que o segmento CE fique sobre o serg-
mento CD (Passo 5).
Se a folha de papel inicial tem 25 cm × 40 cm, o lado maior 
do triângulo isósceles CEF, formado após a última dobra 
indicada, é: 
a) 
25 4 2 2
2
−
cm 
b) 12,5 cm
c) 
25 2
2
cm 
d) 25 cm
e) 25
2 2
2
+
cm 
Aula 08
41Matemática 2B
Desafio
08.19. (MACK – SP) – Na figura a seguir, AC e BD medem, 
respectivamente, 8 3 e 5. Então a área do quadrilátero 
ABCD é:
A
C
60°
DB
a) 30
b) 35
c) 40
d) 60 
e) 80
08.20. (FUVEST – SP) – O paralelepípedo reto-retângulo 
ABCDEFGH, representado na figura, tem medida dos lados 
AB = 4, BC = 2 e BF = 2.
A B
C
G
F
H
E
D
O seno do ângulo HAF é igual a:
a) 
1
2 5
 
b) 
1
5
 
c) 
2
10
 
d) 
2
5
 
e) 
3
10
 
Gabarito
08.01. a
08.02. d
08.03. a
08.04. a
08.05. b
08.06. a
08.07. a
08.08. d
08.09. a
08.10. d
08.11. b
08.12. b
08.13. b
08.14. d
08.15. a
08.16. b
08.17. c
08.18. e
08.19. a
08.20. e
42 Extensivo Terceirão
 
Anotações