Semana II - Apostila de Matemática Aplicada à Administração

Prévia do material em texto

Semana 2 
USO DA CALCULADORA CIENTÍFICA PARA O 
CÁLCULO DA POTENCIAÇÃO E DA RACIDICAÇÃO. 
PORCENTAGEM E VARIAÇÃO PERCENTUAL. 
Objetivos da Semana 
 
Seja bem-vindo (a) à nossa aula. 
Nessa semana segunda semana iremos abordar o cálculo de potências e raízes 
utilizando a calculadora. Primeiro, com uma pequena revisão das propriedades destas 
operações. 
Num segundo momento, iremos tratar sobre o cálculo de porcentagem e variação 
percentual. 
Potências, raízes e porcentagens são aplicadas nas operações comerciais, portanto é 
muito importante que você tenha domínio sobre esse assunto. 
Desejo um bom estudo a todos! 
 
 
 
 
2 __________________________________________________________________________________ 
 
 
CURSO TÉCNICO EM ADMINISTRAÇÃO - IFSULDEMINAS - Campus Avançado de Três Corações - MG 
Matemática Aplicada à Administração - Prof. Me. Alex Reis da Silva 
 
Material Didático 
1 Potenciação e Radiciação 
 
1.1Potências com expoente natural 
Dados um número real a e um número natural n com n≥2, a potência de base “a” e 
expoente “n” é indicada por an, e é o produto de n fatores iguais a: 
an= a . a . a . … a 
 
Define-se: 
𝑎1 = 0 
𝑎0 = 1 
 
1.2 Potências com expoente inteiro 
Se 𝑎 é um número real não nulo, e 𝑛 um número inteiro e positivo, define-se: 
𝑎−𝑛 = (
1
𝑎
)
𝑛
 
“Quando um número está elevado a um expoente negativo, invertemos esse número e o expoente fica 
positivo” 
Exemplos: 
 
 
 
 
1.3 Potências com expoente racional 
Se 𝑎 é um número real positivo e 
𝑚
𝑛
 um número racional, com 𝑛 inteiro e positivo, define-se: 
𝑎
𝑚
𝑛 = √𝑎𝑚
𝑛
 
Exemplo: 
 
 IMPORTANTE: Esta conversão de raiz para potência será muito útil para o uso de radiciação com 
a calculadora. 
 
 
 
 
 
 
3 __________________________________________________________________________________ 
 
 
CURSO TÉCNICO EM ADMINISTRAÇÃO - IFSULDEMINAS - Campus Avançado de Três Corações - MG 
Matemática Aplicada à Administração - Prof. Me. Alex Reis da Silva 
 
1.4 CALCULADORA: 
 
Na calculadora, o símbolo de potência pode aparecer como ^ ou xn, depende de cada modelo. 
Até na calculadora do celular pode-se encontrar essa função. 
Também existe a possibilidade de utilizar a calculadora na internet, fazendo uma busca de calculadoras 
on-line ou baixando um app de calculadora. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESOLVENDO COM VOCÊ: 
Os exercícios propostos devem ser resolvidos com a calculadora, de acordo com a proposta da disciplina. 
Por isso, não será dado enfoque às propriedades de potenciação e radiciação. 
 Nesses exemplos o símbolo ^ representará a operação de potência. A parte destacada na resolução, em 
negrito, é como deve ser digitado na calculadora. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Função para 
calcular a 
potência. 
4 __________________________________________________________________________________ 
 
 
CURSO TÉCNICO EM ADMINISTRAÇÃO - IFSULDEMINAS - Campus Avançado de Três Corações - MG 
Matemática Aplicada à Administração - Prof. Me. Alex Reis da Silva 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - POTENCIAÇÃO: 
a) 25 = 2 ^ 5 = 32 
b) ( - 2 )4 = (-2) ^ 4 = 16 
c) - 24 = - 2 ^ 4 = -16 
d) ( - 2 )5 = (- 2 ) ^ 5 = -32 
e) 30 = 3 ^ 0 = 1 
f) 110 = 1 ^ 10 = 1 
g) 23 . 25 = (2 ^ 3) X ( 2 ^ 5 ) = 256 
h) 103 = 10 ^ 3 = 1000 
i) 2 . 102 = 2 X (10 ^ 2) = 200 
j) 10 – 3 = 10 ^ (-3) = 0,001 
k) 2
23
 = 2^(3^2) = 512 
l) (23)2 = ( 2 ^ 3 ) ^ 2 = 64 
 
 IMPORTANTE: 
Perceba a diferença entre a questão 11 e 12. Em 11, 3 está elevado ao quadrado que é 9, e depois elevamos 
2 a esse resultado, 29 = 512 . 
Na questão 12, por ter o parêntese, primeiro calcula-se 2 elevado ao cubo e depois elevamos o resultado 
ao quadrado. 
 
 
 
 
 
 
Vídeo-aula: 
 
https://www.youtube.com/watch?v=42UyafvQ7tA&list
=PLXyBHgP9zUAxHEC-msw3tD4PuGCa3dy-u&index=4 
 
https://www.youtube.com/watch?v=H7yThfI9Hi0&list=
PLXyBHgP9zUAxHEC-msw3tD4PuGCa3dy-u&index=5 
 
https://www.youtube.com/watch?v=ZLWTe4SBmW0&li
st=PLXyBHgP9zUAxHEC-msw3tD4PuGCa3dy-
u&index=12 
 Assista estas vídeo-aulas para ter uma noção de como utilizar a calculadora antes de 
iniciar as operações desse material. 
 
 
 
 
 
 
 
5 __________________________________________________________________________________ 
 
 
CURSO TÉCNICO EM ADMINISTRAÇÃO - IFSULDEMINAS - Campus Avançado de Três Corações - MG 
Matemática Aplicada à Administração - Prof. Me. Alex Reis da Silva 
 
m) 
25
23
= (2 ^ 5) ÷(2 ^ 3) = 4 
n) 
32
34
= (3 ^ 2) ÷ (3 ^ 4 ) = 0,1111 
o) (
2
3
)
2
= (2 ÷ 3 ) ^ 2 = 0,444 
p) (
3
4
)
−2
= (3 ÷ 4 ) ^ - 2 = 1,777 
q) ( 1, 2)2 = 1,2 ^2 = 1,44 
r) (0,13)2 = 0,13 ^2 = 0,0169 
s) (0,03)2 = 0,03 ^2 = 0,0009 
t) (0,03) – 2 = 0,03 ^(-2) = 1111,1111 
u) (0,2)3 = 0,2 ^3 = 0,008 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - RADICIAÇÃO: 
a) =12 12
1
2 = 12 ^(1 ÷ 2) = 3,46 
b) 5 =3 5𝑥(3)
1
2 = 5 x (3 ^ (1 ÷2)) = 8,66 
c) 364 = (4𝑥36)1/2 = (4 x 36) ^ (1 ÷ 2) = 12 
d) = 28 (8)1/2𝑥(2)1/2= (8^(1 ÷ 2)) x (2^ (1 ÷ 2)) = 4 
e) =
33 39 91/3𝑥 31/3= (9^ (1 ÷3)) x (3^ (1 ÷3)) = 3 
f) 
√18
√12
= 18
1
2
12
1
2
= (18^(1 ÷2)) ÷ (12^(1 ÷2)) = 1,22 
g) 
√54
3
√2
3 =
54
1
3
2
1
3
 = (54^(1 ÷3)) ÷ (2^(1 ÷3)) = 3 
h) (√3
7
)
2
= (3
1
7)
2
= (3 ^ (1 ÷ 7)) ^ 2 = 1,36 
i) √32
4
= 3
2
4 = 3 ^ (2 ÷ 4 ) = 1,73 
j) √81
8
= 81
1
8 = 81 ^ (1 ÷ 8 ) = 1,73 
 
 
 
SAIBA MAIS: 
6 __________________________________________________________________________________ 
 
 
CURSO TÉCNICO EM ADMINISTRAÇÃO - IFSULDEMINAS - Campus Avançado de Três Corações - MG 
Matemática Aplicada à Administração - Prof. Me. Alex Reis da Silva 
 
Se quiser aprofundar seus estudos, além da calculadora, você pode utilizar planilhas do Excel ou do 
Calc. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em uma célula, digite a operação 
desejada, exatamente como se faz na 
calculadora, mas antes digite o sinal 
de = 
Depois, aperte “ENTER” e o resultado 
aparece na célula (a conta pode ser 
visualizada também na caixa f(x)) 
7 __________________________________________________________________________________ 
 
 
CURSO TÉCNICO EM ADMINISTRAÇÃO - IFSULDEMINAS - Campus Avançado de Três Corações - MG 
Matemática Aplicada à Administração - Prof. Me. Alex Reis da Silva 
 
2 Porcentagem 
 
2.1 Definição de Porcentagem 
 
É o número de centésimos do valor de uma grandeza. 
 % = por cento 
A taxa de porcentagem é o numerador da fração, cujo denominador é igual a cem. 
 
2.2 Elementos da Porcentagem 
 
Os elementos que aparecem no cálculo da porcentagem são os seguintes: 
● C (capital, total ou principal) 
● i ( taxa percentual) 
● p (porcentagem) 
 
2.2.1 Capital, Total ou Principal (C) 
 
Corresponde ao valor inicial da grandeza estudada na ação, é a quantidade referencial para a análise da 
porcentagem, é o 100%. 
 Ex.: Ao entrarmos em uma loja e perguntarmos o valor de um produto, o valor indicado pelo vendedor 
corresponde ao total ou principal. 
 
2.2.2 Taxa percentual (i) 
 
Corresponde à razão de denominador 100 que indica a quantidade que deve ser analisada (desconto ou 
acréscimo) em relação ao total ou principal. 
 Ex.: Na mesma loja, ao perguntarmos se na compra à vista ele oferece desconto e ele diz que tem um 
desconto de 10%, esses 10% (
10
100
) corresponde a taxa percentual. 
 
 
2.2.2.1 Representações de uma taxa percentual 
 
● 20% Forma de Porcentagem (com o símbolo de por cento) 
● 
20
100
 Forma Fracionária (com denominador 100) 
● 0,2 Forma Decimal ou unitária 
 
8 __________________________________________________________________________________ 
 
 
CURSO TÉCNICO EM ADMINISTRAÇÃO - IFSULDEMINAS - Campus Avançado de Três Corações - MG 
Matemática Aplicada à Administração - Prof. Me. Alex Reis da Silva 
 
 Obs.: As formas fracionária e decimal são consideradasnúmeros, logo podem ser usadas nos cálculos 
e a forma de porcentagem é considerada informação, logo não pode ser usada nos cálculos. 
 
2.2.2.2 Transformação das taxas 
 
Para transformar uma taxa percentual em taxa unitária, precisamos dividir por 100. 
Agora o contrário, para transformar de taxa unitária para taxa percentual, multiplicamos por 100. 
 
 
Exemplos: 
Transforme de taxa percentual para taxa unitária: 
● 32% = 
32
100
 = 0,32 
● 0,43% = 
0,043
100
= 0,0043 
Transforme de taxa unitária para taxa percentual: 
● 0,15 = 0,15 x 100 = 15% 
● 0,081 = 0,081 x 100 = 8,1% 
 
2.2.3 Porcentagem (p) 
 
É a parte do principal que corresponde à taxa percentual analisada. 
 Ex.: Ao ganharmos 10% de desconto sobre o valor de um produto, dos 100% iremos pagar 90%. O valor 
correspondente a esses 90% realmente pago é a porcentagem do valor pago e o valor correspondente aos 
10% é a porcentagem do desconto. 
 
2.3 Cálculo da Porcentagem 
 
A porcentagem (p) é determinada através do produto entre o principal e a taxa percentual. 
p = C . i 
 
9 __________________________________________________________________________________ 
 
 
CURSO TÉCNICO EM ADMINISTRAÇÃO - IFSULDEMINAS - Campus Avançado de Três Corações - MG 
Matemática Aplicada à Administração - Prof. Me. Alex Reis da Silva 
 
2.3.1 Uso da fórmula da Porcentagem 
 
A fórmula da porcentagem pode ser usada em três casos: 
 
● achar a porcentagem se forem dados o principal e a taxa de porcentagem. 
● achar o principal se forem dados a porcentagem e a taxa de porcentagem. 
● achar a taxa de porcentagem se forem dados a porcentagem e o principal. 
 
Ex.: Ao entrar em uma loja percebo que o valor de um certo produto é R$ 90,00 e que na compra a vista 
tem 10% de desconto. Se pretendo comprar à vista, de quanto será o desconto? 
 
Dados: Cálculo 
● C = 90 p = C . i 
● i = 10% p = 90 . 0,1 
● p = ? p = 9 
R.: O desconto será de R$ 9,00. 
 
2.4 Fator de Multiplicação 
É a taxa percentual derivada do aumento ou diminuição do valor de um determinado produto. 
 
2.4.1 Lucro ou aumento 
É o aumento no valor de determinado produto. O valor final será o valor inicial mais o aumento. 
 O fator de multiplicação será 100% mais a taxa percentual do aumento. 
 Ex.: Se o preço de um produto aumentou 10%, o fator de multiplicação será 100% + 10%, ou seja, 
110%. Na forma unitária 1,1. 
 
2.4.2 Prejuízo ou desconto 
É a diminuição no valor de determinado produto. O valor final será o valor inicial menos o desconto. O 
fator de multiplicação será 100% menos a taxa percentual do desconto. Ex.:9 Se 
o preço de um produto diminuiu 10%, o fator de multiplicação será 100% - 10%, ou seja, 90%. Na 
forma unitária 0,9. 
 
 
 
 
 
10 
__________________________________________________________________________________ 
 
 
CURSO TÉCNICO EM ADMINISTRAÇÃO - IFSULDEMINAS - Campus Avançado de Três Corações - MG 
Matemática Aplicada à Administração - Prof. Me. Alex Reis da Silva 
 
 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
01) Comprando um objeto à vista, obtenho um desconto de R$ 9,00 correspondente a 20% do preço. Qual 
o preço real do objeto? 
1º Passo) Retirar os dados do enunciado, lembrando que a fórmula de porcentagem é “p = C . i”. 
a) p é a porcentagem, parte da grandeza relacionada ao fator de multiplicação, na questão é o R$ 9,00. 
b) C é o capital, no caso o valor real do objeto a ser descoberto. 
c) i é a taxa percentual ou fator de multiplicação relacionado a porcentagem, na questão é o 20%. 
 Obs.: é importante lembrar que a forma de porcentagem não é número, mas sim informação. 
Logo para se fazer o cálculo devemos passar o 20% para forma unitária (0,2) ou para a forma 
fracionária(
20
100
). 
Dados: 
● p = 9 
● C = ? 
● i = 20%, que é equivalente a 0,2. 
2º Passo) Substituir os dados na fórmula e fazer o cálculo. 
p = C . i 
 9 = C . 0,2 
 C = 
9
0,2
 
 C = 45 
R.: O preço real do objeto é de R$ 45,00. 
11 
__________________________________________________________________________________ 
 
 
CURSO TÉCNICO EM ADMINISTRAÇÃO - IFSULDEMINAS - Campus Avançado de Três Corações - MG 
Matemática Aplicada à Administração - Prof. Me. Alex Reis da Silva 
 
 
02) Um televisor que custava R$ 490,00 estava em promoção por R$ 392,00. Qual foi o porcentual do 
desconto? 
1º Passo) Retirar os dados do enunciado, lembrando que a fórmula de porcentagem é “p = C . i”. 
Dados: 
● p = 98 (o desconto é a diferença entre o valor inicial e o valor em promoção) 
● C = 490 (é o valor inicial, sobre o qual calculamos o desconto) 
● i = ? (ao se perguntar o percentual, o que quer saber é a taxa do desconto) 
2º Passo) Substituir os dados na fórmula e fazer o cálculo. 
p = C . i 
 98 = 490 . i 
 i = 
98
490
 
 i = 0,2 
Obs.: A taxa é encontrada na forma unitária, para darmos a resposta devemos transformá-la em 
porcentagem e para isso basta multiplicar por 100, o que nos dá 20%. 
R.: O percentual de desconto foi de 20%. 
 
03) Um vendedor ganha 5 % de comissão sobre o que vende. Num determinado dia, vendeu R$ 
4 000,00. Quanto ele ganhou neste dia? 
1º Passo) Retirar os dados do enunciado, lembrando que a fórmula de porcentagem é “p = C . i”. 
Dados: 
● p = ? (é a parte da venda que ele ganhou no dia) 
● C = 4000 (é o valor vendido no dia, sobre o qual calculamos a comissão) 
● i = 5% = 0,05 (é a taxa de comissão, que para virar número dividimos por 100) 
2º Passo) Substituir os dados na fórmula e fazer o cálculo. 
p = C . i 
 p = 4000 . 0,05 
 p = 200 
R.: Ele ganhou nesse dia R$ 200,00 de comissão. 
 
 
 
 
12 
__________________________________________________________________________________ 
 
 
CURSO TÉCNICO EM ADMINISTRAÇÃO - IFSULDEMINAS - Campus Avançado de Três Corações - MG 
Matemática Aplicada à Administração - Prof. Me. Alex Reis da Silva 
 
04) Um produto teve seu preço aumentado em 30% para pagamento a prazo, resultando um 
total de R$ 299,00. Qual era o preço a vista do produto? 
1º Passo) Retirar os dados do enunciado, lembrando que a fórmula de porcentagem é “p = C . i”. 
Dados: 
● p = 299 (é o valor após o reajuste) 
● C = ? (é o valor inicial, antes do reajuste) 
● i = 130% = 1,3 (é o fator de multiplicação, isto é, o 100% mais os 30% de aumento) 
2º Passo) Substituir os dados na fórmula e fazer o cálculo. 
p = C . i 
 299 = C . 1,3 
 C = 
299
1,3
 
 C = 230 
R.: O preço à vista do produto era de R$ 230,00 
. 
05) Uma fatura recebeu um abatimento de 18% por ter sido paga antes do vencimento, resultando um 
líquido de R$ 984,00, qual era o seu valor inicial? 
 
1º Passo) Retirar os dados do enunciado, lembrando que a fórmula de porcentagem é “p = C . i”. 
Dados: 
● p = 984 (é o valor após o abatimento) 
● C = ? (é o valor inicial, antes do abatimento) 
● i = 82% = 0,82 (é o fator de multiplicação, isto é, o 100% menos os 18% de desconto) 
2º Passo) Substituir os dados na fórmula e fazer o cálculo. 
p = C . i 
 984 = C . 0,82 
 C = 
984
0,82
 
 C = 1200 
R.: O seu valor inicial era de R$ 1200,00. 
 
 
 
 
 
13 
__________________________________________________________________________________ 
 
 
CURSO TÉCNICO EM ADMINISTRAÇÃO - IFSULDEMINAS - Campus Avançado de Três Corações - MG 
Matemática Aplicada à Administração - Prof. Me. Alex Reis da Silva 
 
 
 ATENÇÃO: 
 
 
 
Videoaula da Semana 
https://youtu.be/_hOTa6tLjj0 
 
Saiba Mais 
● https://www.youtube.com/watch?v=CERiIwParX4 
Resumo do conteúdo apresentado na semana 
 
Nessa semana vimos que : 
 
● Porcentagem é o número de centésimos do valor de uma grandeza. 
● Capital, total ou principal (C) é o valor inicial da grandeza estudada na ação, é a quantidade 
referencial para a análise da porcentagem, é o 100%. 
● Taxa percentual(i) é a razão de denominador 100 que indica a quantidade que deve ser analisada. 
● Porcentagem(p) é a parte do principal que corresponde à taxa percentual analisada. 
● Que a porcentagem pode ser representada na forma percentual, fracionária e unitária, sendo que 
a forma percentual não pode ser usada em cálculos, pois é apenas uma informação. 
● Sua fórmula é p = C. i. 
● Fator de multiplicação é a taxa percentual derivada do aumento ou diminuição do valor de um 
determinado produto. 
https://youtu.be/_hOTa6tLjj0
https://www.youtube.com/watch?v=CERiIwParX4
14 
__________________________________________________________________________________ 
 
 
CURSO TÉCNICO EM ADMINISTRAÇÃO - IFSULDEMINAS - Campus Avançado de Três Corações - MG 
Matemática Aplicada à Administração - Prof. Me. Alex Reis da Silva 
 
● Lucro ou aumento é o aumento no valor de determinado produto. 
● Prejuízo ou desconto é a diminuição no valor de determinado produto. 
 
Bibliografia da semana 
 
 
Bibliografia Básica: 
 
BRUNI, A. L.; FAMÁ, R. Matemática financeira: com HP 12C e Excel. 5. ed. São Paulo: Atlas, 2008. 
468 p. (Finanças na prática). ISBN 978-85-224-5141-8 (broch.). 
 
LAPPONI, J. C. Matemática financeira. 2. ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2014. ISBN 
9788535274417. 
 
PADOVEZE, C. L. Matemática financeira. Editora Pearson 140 ISBN 9788564574502. 
 
Bibliografia Complementar: 
 
CASAROTTO FILHO, N.; KOPITTKE, B. H. Análise de investimentos: matemática financeira 
engenharia econômica, tomada de decisão, estratégia empresarial. 11. ed. São Paulo: Atlas, 
2010.411 p. ISBN 978-85-224-5789-2 (broch.). 
 
GIMENES, C. M. Matemática Financeira com HP 12C e Excel: uma abordagem descomplicada - 
2ª edição. Editora Pearson 322 ISBN 9788576055662. 
 
IEZZI, G. et al. Matemática: ciência e aplicações: volume 1: ensino médio. São Paulo: Atual, 2014. 
448 p. ISBN 978-85-357-1959-8. 
 
SMOLE, K. C. S.; DINIZ, M. I. S. V. Matemática ensino médio. 8.ed. São Paulo: Saraiva, 2013. 320 
p. (v.3). ISBN 978-85-02-19179-2 (broch.). 
 
TAHAN, M. Matemática divertida e curiosa. 33. ed. Rio de Janeiro: Record, 2017. 158 p. SBN 
978-85-01-03375-8 (broch.)