LMAT814 Análise Combinatória e Probabilidade Lista 2

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ITA18 - Matemática
LMAT8-14 Análise Combinatória e Probabilidade (Lista 2)
Questão 1
Permutação com Repet ição
Uma formiga vai de A até B seguindo sempre para cima ou para a direita, andando sempre sobre os
elos de um quadriculado 10 × 10, veja o desenho da Figura abaixo. Quantos são os caminhos
possíveis? Quantos são os caminhos possíveis passando por C e D?
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Questão 2
Permutação com Repet ição
Uma formiga está no vértice A de um cubo 10 × 10 × 10, veja a Figura, e vai para o vértice oposto B
andando sobre os elos nos quadriculados sobre a superfície do cubo, sem nunca diminuir a distância
ao seu ponto de partida A. Quantos são os percursos possíveis? E se fosse possível andar pelos elos
internos do cubo, quantos seriam os percursos possíveis?
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Dica: cuidado para não contar uma mesma trajetória mais de uma vez
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Questão 3
Permutação com Repet ição
Quantas são as soluções em inteiros e não negativos de
a) x + y + z + w ≤ 28
b) 14 ≤ x + y + z + w ≤ 28
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Questão 4
Permutação com Repet ição
(OBM-2002)
Jogamos 10 dados comuns (com 6 faces equiprováveis numeradas de 1 a 6). Calcule a probabil idade
de que a soma dos 10 resultados seja igual a 20.
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Questão 5
Permutação com Repet ição
Qual o coeficiente de x2 · y5 ·z3 na expansão de (x + y + z)10?
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Questão 6
Lemas de Kaplansky
Quantos são os anagramas de uma palavra com 40 letras A, 50 letras B, 60 letras C e 70 letras D que
não têm letras A adjacentes?
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Questão 7
Lemas de Kaplansky
(IME) Doze cavaleiros estão sentados em torno de uma mesa redonda. Cada um dos doze cavaleiros
considera seus dois vizinhos como rivais. Deseja-se formar um grupo de cinco cavaleiros para
libertar uma princesa, sendo que nesse grupo não poderá haver cavaleiros rivais. Determine de
quantas maneiras é possível escolher esse grupo.
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Questão 8
Recorrências
De quantas maneiras podemos colocar torcedores do Bahia, Vitória e Feirense em uma fi la de 6
cadeiras numeradas se torcedores do Bahia não podem se sentar ao lado de torcedores do Vitória?
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Questão 9
Recorrências
Um certo tipo de árvore é tal que cada um de seus galhos, após dois meses de existência, gera um
novo galho e, a partir disso, gera um galho novo todo mês. No tempo inicial há um galho, que
esperará dois meses para gerar o próximo. Esta árvore terá quantos galhos após 11 meses?
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Questão 10
Recorrências
De quantas maneiras podemos cobrir uma caixa 2 × n com n retângulos 2 × 1?
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Questão 11
Recorrências
Deseja-se descobrir o número maneiras de abrir e fechar n pares de parênteses. Observemos que
para n = 2, por exemplo, a sequência ()() é permitida, mas )(() não é, pois neste último caso
fechamos um parêntese antes de abri-lo. Quantas maneiras conseguimos abrir e fechar 6
parênteses?
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Questão 12
Recorrências
Uma triangulação de um polígono convexo P é uma divisão de P em triângulos usando algumas de
suas diagonais de modo que suas diagonais não se intersectem, veja a Figura.
De quantas maneiras se pode triangular um eneágono regular conforme explicado anteriormente?felipe13games@gmail.c
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Questão 13
Considere um reticulado 10 × 10. Vamos chamar de trajetória permitida um caminho poligonal que
sai de (0, 0), chega em (10, 10), nunca toca pontos abaixo da diagonal e a cada passo sobe uma
unidade ou anda para a direita uma unidade, veja a Figura. De quantos modos podemos efetuar o
percurso conforme descrito?
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Questão 14
Princípio da ref lexão
Numa eleição, o candidato A obtém 40 votos e o candidato B obtém 31 votos. Suponha que a
contagem seja feita voto a voto. Qual a probabil idade de que, durante a apuração dos votos, o
candidato B em algum momento fique à frente do candidato A?
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Questão 15
Princípio da ref lexão
Num cinema, há 60 pessoas na fi la. Quarenta delas têm uma nota de R$ 5,00 e vinte delas têm uma
nota de R$ 10,00. O ingresso custa R$ 5,00 e a bilheteria começa inicialmente sem dinheiro algum.
Qual a probabil idade de que a bilheteria não fique sem troco em nenhum momento?
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Questão 16
Princípio da ref lexão
Resolva novamente o problema 11 desta l ista usando o princípio da reflexão.
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	Permutação com Repetição
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	Lemas de Kaplansky
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	Recorrências
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	Princípio da reflexão
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